Раскраска

Из квадрата со стороной 5 клеток вырезали одну клетку, после чего его разрезали на 8
одинаковых прямоугольников размером 31. Какую клетку изначально вырезали из
квадрата? (Московские регаты)
Ответ. Изначально вырезали центральную клетку.
Решение.
Рис.4а
Рис. 4б
Рис. 4в
Несложно заметить, что центральная клетка квадрата могла быть вырезана (см. рис. 4а).
Докажем, что никакая другая клетка не могла быть вырезана. Для этого, раскрасим
квадрат в три цвета, используя «диагональную» раскраску (см. рис. 4б). Получим 9 белых,
8 серых и 8 черных клеток. Любой прямоугольник размером 31, независимо от его
расположения, будет содержать клетки трех цветов, поэтому вырезанной может оказаться
только белая клетка. Для того, чтобы показать, что остальные белые клетки не являются
решением задачи, еще раз используем «диагональную» раскраску, «повернув» квадрат на
90 (см. рис. 4в). В этом случае, количество клеток каждого цвета не изменится, значит,
вырезанной по прежнему может быть только белая клетка, но единственной белой
клеткой, сохранившей свой цвет, является центральная.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Можно ли закрасить некоторые клетки квадрата 9  9 так, чтобы у каждой клетки было
ровно два закрашенных соседа? (Клетки называются соседними, если они имеют общую
сторону).(МО)
Ответ. Нельзя.
Решение.
Пусть такая раскраска существует. Тогда клетки 2 1 2
и 3 – соседи клетки 1 – закрашены. Эти же клетки –
соседи клетки 4, значит, клетки 5 и 6 – не 3 4 5
закрашены. Тогда клетки 8 и 9 – соседи клетки 7 –
6 7 8
закрашены. Продолжая эти рассуждения, получаем,
9 10
что закрашены клетки 11, 12, 13, 14. Тогда клетки
16 и 17 – соседи клетки 15 не закрашены. Значит, у
11
клетки 18 нет закрашенных соседей.
12
13
14 15 16
17 18
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Сто сумасшедших красят доску 100  100 в 100 цветов, соблюдая единственное правило: в
одной строке и в одном столбце не может быть двух клеток, раскрашенных одинаково.
Могут ли сумасшедшие правильно раскрасить доску, если уже раскрашено 100 клеток? (?)
Ответ. Не всегда.
Решение.
Раскрасим первые 99 клеток первой строки в первые 99 цветов, а последнюю клетку
второй строки - в оставшийся 100-й цвет. Тогда последнюю клетку первой строки
раскрасить уже не удастся.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Можно ли покрасить некоторые клетки доски 8 8 так, чтобы в любом квадрате 3 3
было ровно 5 закрашенных клеток, а в каждом прямоугольнике 2 4 (вертикальном или
горизонтальном) – ровно 4 закрашенные клетки?
(МО)
Ответ. Нельзя.
Решение.
Предположим, что такая раскраска возможна. Доска 8 8 разбивается на 8
непересекающихся прямоугольников 2 4 . По условию, в каждом таком прямоугольнике
ровно 4 закрашенные клетки, следовательно, на всей доске закрашено ровно 32 клетки.
Разобьем доску следующим образом (на 4 квадрата 3 3 , 3 прямоугольника 2 4 и
квадрат 2 2 ):
Т.к. в каждом квадрате 3 3 закрашено ровно 5 клеток, а в каждом прямоугольнике 2 4
ровно 4 клетки, то в четырех квадратах и трех прямоугольниках закрашено 4  5  3  4  32
клетки. Значит, левый нижний квадрат 2 2 не содержит ни одной закрашенной клетки.
Рассмотрев левый нижний квадрат 3 3 и левый нижний горизонтальный прямоугольник
2 4 , получим единственную возможную раскраску этой части доски, удовлетворяющую
условию:
Но тогда найдется квадрат 3 3 , содержащий 6 закрашенных клеток. Противоречие.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
На белой доске 4 4 одну клетку закрасили в черный цвет. Разрешается в любой полоске
1 3 у всех клеток поменять цвет на противоположный. Укажите все возможные
варианты расположения черной клетки, чтобы за несколько ходов доску можно было
сделать одноцветной.
(Пермский ГТЮМ)
Решение.
На доске 4 4 есть три существенно различных расположения черной клетки (не
получающиеся друг из друга поворотом или симметрией).
а) Поменяв цвет в выделенных полосках, легко сделать всю доску
черной.
б) Припишем черной клетке (-1), белой (+1). Рассмотрим
произведение
чисел в центральном квадратике 2 2 . Вначале оно равно (-1), и
любом изменении цветов в полоске 1 3 не меняется. Но если
одноцветная, то в этом квадратике все клетки должны быть либо
либо белые, значит, произведение чисел (+1). Следовательно, доску нельзя
сделать одноцветной.
при
доска
черные,
в) Аналогично случаю б) рассмотрим произведение чисел в
выделенных
клетках. Вначале оно равно (-1), после любой операции не
меняется.
Значит, и в этом случае доску нельзя сделать одноцветной.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Покрасьте девять клеток квадрата 5×5 клеток так, чтобы каждая неокрашенная клетка
имела общую сторону ровно с одной окрашенной клеткой.
(?)
Решение:
Известно два способа окрасить девять клеток, чтобы соблюдалось условие задачи.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Покажите, как можно покрасить семь клеток шахматной доски 8 8 в красный цвет,
чтобы любой квадрат 3 3 содержал ровно одну красную клетку.
(?)
Ответ.
Решение не единственное.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Раскрасьте клетки доски 8 8 так, чтобы у каждой клетки было закрашено ровно 2
соседние?(СПБО)
(Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).
Ответ.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Покрасьте более половины клеток квадрата 5 5 клеток так, чтобы каждая окрашенная
клетка имела общую сторону ровно с одной неокрашенной.(КостромаТЮМ)
Решение.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Покрасьте 16 клеток таблицы 8 8 так, чтобы никакие три центра окрашенных клеток не
лежали на одной прямой. (Интеллектуальные марафоны, турниры, бои. Блинков.)
Ответ. Например, так:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Покрасьте шесть клеток таблицы размером 6 6 в чёрный цвет так, чтобы из неё нельзя
было вырезать ни белой полоски размером 1 6 , ни белого квадрата размером 3 3 .(МО)
Ответ. Например, так
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Раскрасьте клетки квадрата 3 3 в пять цветов (каждую клетку одним цветом) так, чтобы
для любых двух цветов нашлись две клетки этих цветов, имеющие общую сторону.(?)
Решение.
Обозначим цвета через цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Раскраска может быть такой:
4 2 3
3 1 5
5 4 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Раскрасьте клетки квадрата 5 5 в красный, желтый, зеленый и синий цвет так, чтобы 9
клеток было окрашено в синий цвет, и в любом квадрате 2 2 были клетки всех цветов.(?)
Решение.
Например, так:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Раскрасьте клетки доски 4 4 в 10 цветов так, чтобы в каждом квадрате 2 2 нашлась
пара клеток одного цвета.(?)
Решение.
Обозначим цвета числами: 1, 2, …, 10. Раскраска может быть такой:
5
3
6
10
4
3
7
10
2
3
7
9
1
3
7
8