Юные дарования 2009

Республиканская математическая олимпиада
«Юные дарования-2009»
5-класс
1. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними
точками поставили ещё по точке. Аналогично эту операцию проделали ещё три раза. В
результате на прямой оказалось ровно 33 точки. Сколько точек было первоначально?
2. Из набора гирек 1г,2г,3г,….,21г удалили гирьку массой 7г. Можно ли остальные гирьки
разложить на две чаши весов, по 10 гирек на каждую, так, чтобы весы были в равновесии?
3. Три игрока Андрей, Боря и Витя играли в настольный теннис на вылет ( то есть после
каждой партии проигравший уступает место третьему). Андрей сыграл 10 партий, а Боря
сыграл 21 партию. Сколько партий сыграл Витя?
4. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться в
результате число 20092009?
5. Расшифруйте действие умножения
***
2**
2**5
**0
83***
6. Закрасьте клетки доски 5х5 в пять цветов так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в
каждом вертикальном ряду и в каждом выделенном блоке (см.рис.) все цвета встречались
по одному разу.
____________________________________________________________________________
Республиканская математическая олимпиада
«Юные дарования-2009»
5-класс
1. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними
точками поставили ещё по точке. Аналогично эту операцию проделали ещё три раза. В
результате на прямой оказалось ровно 33 точки. Сколько точек было первоначально?
2. Из набора гирек 1г,2г,3г,….,21г удалили гирьку массой 7г. Можно ли остальные гирьки
разложить на две чаши весов, по 10 гирек на каждую, так, чтобы весы были в равновесии?
3. Три игрока Андрей, Боря и Витя играли в настольный теннис на вылет ( то есть после
каждой партии проигравший уступает место третьему). Андрей сыграл 10 партий, а Боря
сыграл 21 партию. Сколько партий сыграл Витя?
4. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться в
результате число 20092009?
5. Расшифруйте действие умножения
***
2**
2**5
**0
83***
6. Закрасьте клетки доски 5х5 в пять цветов так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в
каждом вертикальном ряду и в каждом выделенном блоке (см.рис.) все цвета встречались
по одному разу.
Республиканская математическая олимпиада
«Юные дарования-2009»
6-класс
1. Белка за 20 минут приносит орех в гнездо. Далеко ли орешник от гнезда, если известно,
что налегке белка бежит со скоростью 5м/с, а с орехом – 3м/с?
2. В воинской части более семисот но менее тысячи солдат. Командир части хочет
построить их на плацу в форме прямоугольника. Сначала он хотел поставить по 17 солдат
в каждой шеренге, но для этого не хватило одного солдата. Тогда он попытался поставить
по 19 солдат в каждой шеренге, но для этого опять не хватило одного солдата. Сумеет ли
командир поставить по 22 солдата в каждой шеренге?
3. Куб сложен из 27 одинаковых кубиков размерами 1х1х1. Из него вынули все угловые
кубики. Найдите площадь поверхности получившейся фигуры.
4. Существуют ли четыре натуральных числа, попарные разности которых равны
2;2;3;4;5;6 ?
5. Разрежьте изображённую на рисунке доску на четыре одинаковые части, чтобы каждая
из них содержала три заштрихованные клетки.
6. Расшифруйте ребус, если одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами, а
разные цифры – разными буквами: ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ.
_____________________________________________________________________________
Республиканская математическая олимпиада
«Юные дарования-2009»
6-класс
1. Белка за 20 минут приносит орех в гнездо. Далеко ли орешник от гнезда, если известно,
что налегке белка бежит со скоростью 5м/с, а с орехом – 3м/с?
2. В воинской части более семисот но менее тысячи солдат. Командир части хочет
построить их на плацу в форме прямоугольника. Сначала он хотел поставить по 17 солдат
в каждой шеренге, но для этого не хватило одного солдата. Тогда он попытался поставить
по 19 солдат в каждой шеренге, но для этого опять не хватило одного солдата. Сумеет ли
командир поставить по 22 солдата в каждой шеренге?
3. Куб сложен из 27 одинаковых кубиков размерами 1х1х1. Из него вынули все угловые
кубики. Найдите площадь поверхности получившейся фигуры.
4. Существуют ли четыре натуральных числа, попарные разности которых равны
2;2;3;4;5;6 ?
5. Разрежьте изображённую на рисунке доску на четыре одинаковые части, чтобы каждая
из них содержала три заштрихованные клетки.
6. Расшифруйте ребус, если одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами, а
разные цифры – разными буквами: ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ.
Республиканская математическая олимпиада
«Юные дарования-2009»
7-класс
1. Билл и Джек живут в небоскрёбе, на каждом этаже которого 10 квартир. Номер этажа
Билла равен номеру квартиры Джека, а сумма номеров их квартир равна 239. В какой
квартире живёт Билл?
1
1
1
2. Вычислите:
+
+……..+
7 * 9 9 * 11
2007 * 2009
3. Дан угол в 34º. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить угол в 12º?
Если да, то обосновать; если нет, то – почему?
5
4. В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причём
9
7
улова первого рыбака составляли караси, а
улова второго – окуни. Сколько щук
17
поймал каждый из рыбаков, если оба поймали поровну карасей и окуней?
5. Дан равнобедренный треугольник АВС ( АС = ВС). На сторонах ВС, АС, АВ отмечены
точки А 1 , В 1 , С 1 соответственно. Оказалось, что С 1 В 1 перпендикулярно АС,
В 1 А 1 перпендикулярно ВС и В 1 А 1 =В 1 С 1 . Докажите, что А 1 С 1 перпендикулярно АВ.
6. Длину прямоугольника уменьшили на 10%, а ширину уменьшили на 20%. При этом
периметр прямоугольника уменьшился на 12%. На сколько процентов уменьшится
периметр прямоугольника, если его длину уменьшить на 20%, а ширину уменьшить на
10%?
_____________________________________________________________________________
Республиканская математическая олимпиада
«Юные дарования-2009»
7-класс
1. Билл и Джек живут в небоскрёбе, на каждом этаже которого 10 квартир. Номер этажа
Билла равен номеру квартиры Джека, а сумма номеров их квартир равна 239. В какой
квартире живёт Билл?
1
1
1
2. Вычислите:
+
+……..+
7 * 9 9 * 11
2007 * 2009
3. Дан угол в 34º. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить угол в 12º?
Если да, то обосновать; если нет, то – почему?
5
4. В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причём
9
7
улова первого рыбака составляли караси, а
улова второго – окуни. Сколько щук
17
поймал каждый из рыбаков, если оба поймали поровну карасей и окуней?
5. Дан равнобедренный треугольник АВС ( АС = ВС). На сторонах ВС, АС, АВ отмечены
точки А 1 , В 1 , С 1 соответственно. Оказалось, что С 1 В 1 перпендикулярно АС,
В 1 А 1 перпендикулярно ВС и В 1 А 1 =В 1 С 1 . Докажите, что А 1 С 1 перпендикулярно АВ.
6. Длину прямоугольника уменьшили на 10%, а ширину уменьшили на 20%. При этом
периметр прямоугольника уменьшился на 12%. На сколько процентов уменьшится
периметр прямоугольника, если его длину уменьшить на 20%, а ширину уменьшить на
10%?
Республиканская математическая олимпиада
«Юные дарования-2009»
5-класс, условие и решение.
1. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними
точками поставили ещё по точке. Аналогично эту операцию проделали ещё три раза. В
результате на прямой оказалось ровно 33 точки. Сколько точек было первоначально?
ОТВЕТ: 5 точек.
Решение: Пусть первоначально было х точек, тогда в первый раз отметили х-1 точку и их
стало 2х-1, во второй раз отметили 2х-2 точки и их стало 4х-3, а в третий раз отметили
4х-4 точки, тогда их стало 8х-7 или по условию 33. Отсюда составим уравнение:
8х-7 = 33, решив это уравнение получим, что х = 5.
2. Из набора гирек 1г,2г,3г,….,21г удалили гирьку массой 7г. Можно ли остальные гирьки
разложить на две чаши весов, по 10 гирек на каждую, так, чтобы весы были в равновесии?
ОТВЕТ: да.
Решение: Разложим гирьки на пары, без гирьки в 11г. Например так: 1 и 21; 2 и 20;
3 и 19;……..10 и 12. Если из пары 7 и 15 убрать гирьку в 7г, то вместо гирьки в 7г
положим гирьку в 11г. А чтобы весы были в равновесии, пары с гирьками, например 6г и
4г поменяем местами в своих парах, причём гирьки 6г и 18г кладём на ту чашку весов где
лежит гирька в 11г, а гирьки в 4г и 16г кладём на другую чашку весов. Тогда на чашках
весов будет по 112г.
3. Три игрока Андрей, Боря и Витя играли в настольный теннис на вылет ( то есть после
каждой партии проигравший уступает место третьему). Андрей сыграл 10 партий, а Боря
сыграл 21 партию. Сколько партий сыграл Витя?
ОТВЕТ: 11 партий.
Решение: Пусть Витя сыграл х партий, тогда всего сыграно ( 10 + 21 + х ) : 2 партий.
Также можно легко определить, что Боря, минимум, 11 партий играл с Витей, так как по
условию игра была на вылет. Значит Боря все игры выиграл, а Витя с Андреем все игры
проиграли. Но ещё следует доказать, что нет других вариантов решения.
Примечание: Если нет доказательства, то ставить 4балла.
4. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться в
результате число 20092009?
ОТВЕТ: Нет.
Решение: Такое число в результате невозможно, так как, если искомые числа одинаковой
чётности, то разность – чётное число, значит произведение чётное, а если числа разной
чётности, то их произведение чётное. Откуда и следует ответ.
Примечание: Ответ без обоснований нельзя считать решением и оценить в 0 баллов.
5. Расшифруйте действие умножения
ОТВЕТ:
4 05
2 05
20 25
810
***
2**
2**5
**0
83***
830 25
6. Закрасьте клетки доски 5х5 в пять цветов так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в
каждом вертикальном ряду и в каждом выделенном блоке (см.рис.) все цвета встречались
по одному разу.
Решение: Привести пример раскраски, удовлетворяющий условию задачи:
1
5
2
3
4
3
2
4
5
1
2
1
3
4
5
5
4
1
2
3
4
3
5
1
2
Республиканская математическая олимпиада
«Юные дарования-2009»
6-класс, условие и решение.
1. Белка за 20 минут приносит орех в гнездо. Далеко ли орешник от гнезда, если известно,
что налегке белка бежит со скоростью 5м/с, а с орехом – 3м/с?
ОТВЕТ: 2250м.
Решение: Пусть S – расстояние от гнезда до орешника, тогда S/5 – время, затраченное от
гнезда до орешника, S/3 – время, затраченное от орешника до гнезда. Тогда по условию
составим уравнение: S/5 – S/3 = 20*60.
2. В воинской части более семисот но менее тысячи солдат. Командир части хочет
построить их на плацу в форме прямоугольника. Сначала он хотел поставить по 17 солдат
в каждой шеренге, но для этого не хватило одного солдата. Тогда он попытался поставить
по 19 солдат в каждой шеренге, но для этого опять не хватило одного солдата. Сумеет ли
командир поставить по 22 солдата в каждой шеренге?
ОТВЕТ: Да, сумеет.
Решение: Если добавить ещё одного солдата, то командиру удастся построить личный
состав в форме прямоугольника по 17 солдат и по 19 солдат. Так как 17*19 = 323 что
меньше 700, а 17*19*2 = 646, что также не удовлетворяет условию, 17*19*3 = 969 а это
число подходит. Значит всего в воинской части было 969 – 1 = 968 солдат. Так как
968:22 = 44, то ответ да.
3. Куб сложен из 27 одинаковых кубиков размерами 1х1х1. Из него вынули все угловые
кубики. Найдите площадь поверхности получившейся фигуры.
ОТВЕТ: 54.
Решение: Заметим, что угловые кубики не меняют площадь поверхности фигуры.
4. Существуют ли четыре натуральных числа, попарные разности которых равны
2;2;3;4;5;6 ?
ОТВЕТ: нет.
Решение: Предположим, что такие натуральные числа существуют: причём a < b <c < d.
Тогда b – a = 2; c – b = 3; c – a = 5; d – c = 2; d – b = 4; d – a = 6. Значит b = 2 + a = c – 3 =
=d – 4. Из этого следует, что c – a = 5, d – c = 1, а это противоречит условию d – c = 2.
5. Разрежьте изображённую на рисунке доску на четыре одинаковые части, чтобы каждая
из них содержала три заштрихованные клетки.
6. Расшифруйте ребус, если одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами, а
разные цифры – разными буквами: ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ.
ОТВЕТ:
85679 + 85679 = 171 358.
Республиканская математическая олимпиада
«Юные дарования-2009»
6-класс, условие и решение.
1. Белка за 20 минут приносит орех в гнездо. Далеко ли орешник от гнезда, если известно,
что налегке белка бежит со скоростью 5м/с, а с орехом – 3м/с?
ОТВЕТ: 2250м.
Решение: Пусть S – расстояние от гнезда до орешника, тогда S/5 – время, затраченное от
гнезда до орешника, S/3 – время, затраченное от орешника до гнезда. Тогда по условию
составим уравнение: S/5 – S/3 = 20*60.
2. В воинской части более семисот но менее тысячи солдат. Командир части хочет
построить их на плацу в форме прямоугольника. Сначала он хотел поставить по 17 солдат
в каждой шеренге, но для этого не хватило одного солдата. Тогда он попытался поставить
по 19 солдат в каждой шеренге, но для этого опять не хватило одного солдата. Сумеет ли
командир поставить по 22 солдата в каждой шеренге?
ОТВЕТ: Да, сумеет.
Решение: Если добавить ещё одного солдата, то командиру удастся построить личный
состав в форме прямоугольника по 17 солдат и по 19 солдат. Так как 17*19 = 323 что
меньше 700, а 17*19*2 = 646, что также не удовлетворяет условию, 17*19*3 = 969 а это
число подходит. Значит всего в воинской части было 969 – 1 = 968 солдат. Так как
968:22 = 44, то ответ да.
3. Куб сложен из 27 одинаковых кубиков размерами 1х1х1. Из него вынули все угловые
кубики. Найдите площадь поверхности получившейся фигуры.
ОТВЕТ: 54.
Решение: Заметим, что угловые кубики не меняют площадь поверхности фигуры.
4. Существуют ли четыре натуральных числа, попарные разности которых равны
2;2;3;4;5;6 ?
ОТВЕТ: нет.
Решение: Предположим, что такие натуральные числа существуют: причём a < b <c < d.
Тогда b – a = 2; c – b = 3; c – a = 5; d – c = 2; d – b = 4; d – a = 6. Значит b = 2 + a = c – 3 =
=d – 4. Из этого следует, что c – a = 5, d – c = 1, а это противоречит условию d – c = 2.
5. Разрежьте изображённую на рисунке доску на четыре одинаковые части, чтобы каждая
из них содержала три заштрихованные клетки.
6. Расшифруйте ребус, если одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами, а
разные цифры – разными буквами: ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ.
ОТВЕТ:
85679 + 85679 = 171 358.
Республиканская математическая олимпиада
«Юные дарования-2009»
7-класс, условия и решения.
1. Билл и Джек живут в небоскрёбе, на каждом этаже которого 10 квартир. Номер этажа
Билла равен номеру квартиры Джека, а сумма номеров их квартир равна 239. В какой
квартире живёт Билл?
ОТВЕТ: 217.
Решение: Пусть х – номер квартиры Билла. Тогда номер его этажа равен 239 – х. Частное
от деления с остатком номера квартиры на 10 равно номеру предыдущего этажа, поэтому:
4r
х = 10*( 238 – х ) + r, где 0 ≤ r < 9, х = 2380 – 10х + r; 11х = 2380 + r; х = 216 +
.
11
Поскольку х является натуральным числом тогда и только тогда, когда r = 7, значит
х = 217.
2. Вычислите:
ОТВЕТ:
1
1
1
+
+……..+
7 * 9 9 * 11
2007 * 2009
143
2009
1
1
1
1
2
2
2
+
+……..+
= (
+
+……+
)=
7 * 9 9 * 11
2007 * 2009
2 7*9
9 * 11
2007 * 2009
1 1 1
1 1
1
1
143
( - + - +………+
)=
.
2 7 9
9 11
2007 2009
2009
Решение:
3. Дан угол в 34º. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить угол в 12º?
Если да, то обосновать; если нет, то – почему?
ОТВЕТ: Да.
Решение: С помощью циркуля и линейки можно построить угол в 90º, затем от одной из
сторон угла три раза отложить угол 34º. 34º×3 - 90º = 12º.
4. В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причём
5
9
7
улова второго – окуни. Сколько щук
17
поймал каждый из рыбаков, если оба поймали поровну карасей и окуней?
улова первого рыбака составляли караси, а
ОТВЕТ: Первый – 2 щуки, второй – 0 щук.
Решение: Из условия следует, что улов первого рыбака равен 9n, а улов второго рыбака
равен 17k, где n и k – целые неотрицательные числа . Тогда рыбаки поймали по 5n
карасей и по 7k окуней. Общий улов составляет 70 рыб, значит , получаем уравнение
9n + 17k = 70. Таким образом, 70 – 17k должно делиться на 9. Перебором находим , что
подходит только k = 2 , откуда n = 4. То есть первый поймал 36 рыб, а второй – 34 рыбы.
Тогда оба рыбака поймали по 5n = 20 карасей и 7k = 14 окуней, откуда получим ответ для
щук.
Примечание: Только ответ – 1 балл. За идею, что число рыб первого рыбака должно
делиться на 9, а количество рыб второго рыбака на 17, но без полного перебора всех
возможностей – 3 балла.
5. Дан равнобедренный треугольник АВС ( АС = ВС). На сторонах ВС, АС, АВ отмечены
точки А 1 , В 1 , С 1 соответственно. Оказалось, что С 1 В 1 перпендикулярно АС,
В 1 А 1 перпендикулярно ВС и В 1 А 1 =В 1 С 1 . Докажите, что А 1 С 1 перпендикулярно АВ.
À  Â   . Тогда Ñ    2 . Треугольник СА 1 В 1


прямоугольный, значит, CÂ1 А 1 =
- ( π - 2 ) = 2  .
2
2


Тогда A1 В 1 С 1 =   - ( 2  - ) =   2 . Так как В 1 А 1 = В 1 С 1 ,
2
2


то Â1 С 1 А 1 = Â1 А 1 С 1 =  . Значит ÀÑ1 А 1 =  АС 1 В 1 + Â1 С 1 А 1 =
-    ,
2
2
то есть, А 1 С 1 перпендикулярно АВ.
Доказательство: Пусть
6. Длину прямоугольника уменьшили на 10%, а ширину уменьшили на 20%. При этом
периметр прямоугольника уменьшился на 12%. На сколько процентов уменьшится
периметр прямоугольника, если его длину уменьшить на 20%, а ширину уменьшить на
10%?
ОТВЕТ: 18%
Решение: Пусть Х- длина, У – ширина прямоугольника. Тогда по условию составим
уравнение: 2( 0,1Х + 0,2У ) = 0,12×2( Х + У ), отсюда следует, что Х = 4У. А по условию
2(0,2 Õ  0,1Ó )
следует найти значение выражения:
× 100% = 18%.
2( Õ  Ó )