ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ 1. Полушар в поле тяжести. Описать движение.

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ
1. Полушар в поле тяжести. Описать движение.
z
y
x
Указание. Перейти в кенигову СО. Центр масс будет двигаться по
параболе, в кениговой СО будет регулярная прецессия (случай Эйлера).
2. Что можно сказать о ТТ, у которого следующий тензор инерции?
1
0
0
J C  0 10 0
0 0 100
Указание. Задача «с подвохом». Стоит задуматься, возможно ли такое.
Почему невозможно?
3. Найти главные центральные моменты инерции плоской однородной
фигуры массы m .
a
a
2
a
4. Нарисуйте эллипсоид инерции куба в точке А.
A
Указание. В центре куба эллипсоид инерции – сфера. Направим главную
центральную ось по диагонали, проходящей через точку А, две другие
главные центральные оси произвольно перпендикулярно диагонали.
Параллельным переносом нарисуем главные оси в точке А. По теореме
Гюйгенса-Штейнера найдем главные моменты инерции в точке А, именно
они определяют форму эллипсоида инерции.
5. По поверхности радиуса R без проскальзывания катится диск радиуса r.
Скорость центра диска V. Определить кинетическую энергию диска.
V
r
R
Указание. Задача «пугает» простотой.
6. По поверхности без проскальзывания катится конус. Определить его
кинетическую энергию. Известно: m, d ,  , A, B, C , B  C ,  .
O

d
Указание. Пример разобран в семинарах.
7. Найти обобщенную силу Qx для катящегося без проскальзывания
диска. За обобщенную координату взята координата центра диска x.
Сила F постоянна по модулю и направлению и действует по
касательной в точке касания.
F  const
F  const

F  const
a)
b)
c)
x
Указание. Считаем виртуальную работу  A  F dt , где  - скорость точки
приложения силы. Т.к. для центра диска dx  Rdt , то в выражении для
обобщенной
силы
Qx 
A
dx

F
.
R
После
раскрытия
скалярного
произведения сократится и  , R .
8. Определить кинетическую энергию диска. Дано m, R,  .


Указание. Задача решается просто если решать в главных осях.
9. Шарнирная система из двух невесомых стержней вращается с
постоянной угловой скоростью. Найти положение относительного
равновесия.
  const
1
l
m
l
2
m
Указание. Перейти в неинерциальную СО. Учесть появление сил инерции.
10.Найти положение равновесия.
a)
b)
F
90O
F
Замечание. Один из примеров разобран в книге Г.Н. Яковенко.
11.Составить уравнения Лагранжа
y
F2
y  x2
F1  kOA
A
F2   A cos t , B 
F1
F3   
x
O
12.Составить уравнения Лагранжа
y
x2 y 2

1
a 2 b2
F2
F1  kOA
A
F1
x
F3   
O
Указание.
Перейти
x  a cos  , y  b sin  .
F2   A, B cos t 
в
эллиптическую
Виртуальную
 A    Fj , drj     Fjx dx j  Fjy dy j  .
работу
систему
координат
считать
так
13.Описать движение. В начальный момент однородному диску ( m, R ) с
закрепленным центром на шарнире сообщается угловая скорость  под
углом  .


Указание. Случай Эйлера. Динамическая симметрия. Найти параметры
регулярной прецессии.
14.Конус катится без проскальзывания. Ось симметрии конуса вращается
с угловой скоростью  и угловым ускорением  . Найти ускорение
точки B. OB  a .
B


O
Указание. Задача разбиралась на семинаре.
15.Найти угловые скорости 2 , 3 .
3R
1
2R
R

Указание. Метод Виллиса.
16.Геометрическим построением найти угловую скорость диска, если
известна угловая скорость оси, на которой он закреплен. Качение без
проскальзывания.
ОСИ
Указание. Качение без проскальзывания и формула a  e  r .
17.Привести к винту
2
V
3
1
18.Найти угловую скорость и угловое ускорение. Собственное вращение
происходит с 1 , а ось собственного вращение движется с 2 .
1
2
Указание. Формулы сложения угловых скоростей и угловых ускорений
для сложного движения.
19.Составить уравнения Лагранжа для груза массы M и стержня длины l
на конце которого груз массы m .
F1
O
A
F2
B
mg
F1  kOA
F2    B