08-11-04

08-11-04. Вписанный четырехугольник.
1. Напомним, что окружность называется описанной около многоугольника, если все
вершины многоугольника лежат на этой окружности. В таком случае многоугольник
называется вписанным.
Существуют четырехугольники, около которых окружность можно описать.
Например, помещая центр окружности в центре квадрата и проведя окружность через
одну из его вершин, мы получим, что все вершины квадрата лежат на этой окружности.
Однако, существуют четырехугольники около которых окружность описать нельзя.
Например, возьмем ромб, составленный из двух равносторонних треугольников ABD и
BCD . Через точки A , B , C можно провести единственную окружность, центр которой
совпадает с точкой D . Следовательно, все вершины этого ромба не могут лежать на
одной окружности, то есть ромб ABCD на рисунке 2 не является вписанным
четырехугольником.
Каждый вписанный в окружность четырехугольник обладает следующим свойством.
Теорема.
Сумма двух противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 .
Доказательство. Рассмотрим вписанный четырехугольник ABCD и опишем около
него окружность. Тогда углы BAD и BCD являются вписанными в эту окружность.
Поэтому
1
1
BAD  BCD BCD  BAD
2
2
Следовательно,
1
1
BAD  BCD  ( BCD  BAD)   360  180 
2
2
Равенство ABC  ADC  180 можно получить аналогичными рассуждениями.
Однако, проще воспользоваться тем, что сумма внутренних углов четырехугольника
равна 360 . Тогда
ABC  ADC  360  (BAD  BCD)  369  180  180 
Пример 1. Около треугольника ABC опишем окружность и из произвольной точки
M дуги AC , не содержащей вершину B , опустим перпендикуляры MP и MR на
прямые AB и BC (рисунок 4). Докажем, что прямоугольные треугольники AMP и
CMR подобны.
Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCM . Так как он вписан в
окружность, то ABC  AMC  180 . Рассмотрим теперь четырехугольник PBRM . Так
как BPM  BRM  90 , то PBR  PMR  360  (BPM  BRM )  180 или
ABC  PRM  180 . Из последнего равенства и равенства ABC  AMC  180
следует, что AMC  PMR . Если предполагать, что точка P лежит на стороне AB , то
из этого равенства следует, что точка R вне стороны BC . Тогда равенство
AMC  PMR перепишется в виде AMP  PMC  PMC  CMR . Откуда
AMP  CMR . Это значит, что прямоугольные треугольники AMP и CMR имеют по
равному острому углу, а поэтому подобны.
Доказанная в этом пункте теорема устанавливает свойство вписанного
четырехугольника. Это значит, что если про четырехугольник известно, что он вписан в
окружность, то он обладает свойством, сформулированном в теореме: сумма
противоположных углов четырехугольника равны по 180 .
Справедливо утверждение, обратное свойству вписанного четырехугольника,
которое можно считать признаком вписанного четырехугольника.
Если сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 180 , то около
него можно описать окружность.
2.** Докажем признак вписанного четырехугольника, который сформулирован в
предыдущем пункте.
Доказательство. Пусть для четырехугольника ABCD выполняется равенство
BAD  BCD  180
(1)
Опишем около треугольника BAD окружность и выберем на дуге BmD этой
окружности некоторую точку K (рисунок 5). Тогда четырехугольник ABKD
вписанный, а поэтому по доказанному в предыдущем пункте свойству выполняется
равенство
BAD  BKD  180 
(2)
Из равенств (1) и (2) получаем, что BCD  BKD , то есть отрезок BD виден из
точек C и K под равными углами. Теперь расположены в одной полуплоскости
относительно прямой BD , а в пункте 7 уроков 3 - 4 было доказано, что множество всех
точек полуплоскости, из которых отрезок BD виден под заданным углом, совпадает с
дугой окружности с концами B и D . Отсюда следует, что точка C попадает на
окружность, которая проходит через точки B , D , K , то есть на окружность,
построенную на рисунке 6.
Пример 2. Рассмотрим один пример на применение признака описанного
четырехугольника.
Биссектрисы двух углов перпендикулярны, а их стороны пересекаются в четырех
точках A , B , C , D , как на рисунке 7. Докажем, что точки A , B , C , D лежат на одной
окружности.
Доказательство. Обозначим BEL  LEC   , CFL  LFD   .
На рисунке 8 имеем LPF  90   ,
PBE  LPB  LEQ  (90   )    90     
PBQ  180  (90     )  90     
Аналогично на рисунке 9 получаем
ERL  90    RDF  ERL  DFR  90     
В итоге в четырехугольнике ABCD имеем
ABC  ADC  PBQ  RDF 
 (90     )  (90     )  180 
По признаку четырехугольник ABCD вписанный. Это и означает, что точки A , B ,
C , D лежат на одной окружности.
3.** В этом пункте разберем одну известную теорему.
Теорема Птолемея.
Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника ABCD
равно сумме попарных произведений противоположных сторон:
AC  BD  AB  CD  AD  BC
Доказательство. Отметим на диагонали AC точку F , для которой BFC  BAD
(рисунок 10). Тогда AFB  180  BFC  180  BAD . Но из свойства вписанного
четырехугольника BCD  180 BAD . Поэтому AFB  BCD .
Измеряя вписанные углы дугами окружностей, получаем, что BCF  BDA ,
BAF  BDC . Следовательно, треугольники BFC и BDA имеют по два
BC
соответственно равных угла, а поэтому подобны (рисунок 11). Значит CF
AD  BD , откуда
(1)
BD  CF  AD  BC
Аналогично, треугольники BAF и BDC имеют по два соответственно равных угла, а
поэтому подобны (рисунок 12). Значит,
AF AB


CD BD
откуда
(2)
BD  AF  AB  CD
Складывая почленно равенства (1) и (2), получаем
BD  CF  BD  AF  AD  BC  AB  CD
BD  ( AF  FC )  AD  BC  AB  CD
BD  AC  AD  BC  AB  CD
что и требовалось доказать.
Контрольные вопросы
1. Какую окружность называют описанной около многоугольника?
2. Какую окружность называют вписанной в многоугольник?
3. Какой многоугольник называют описанным около окружности?
4. Какой многоугольник называют вписанным в окружность?
5. Каким свойством обладает вписанный в окружность четырехугольник?
6. Сформулируйте признак вписанного четырехугольника.
7. Докажите признак вписанного четырехугольника.
8. Сформулируйте теорему Птолемея.
9. Сформулируйте утверждение, обратное теореме Птолемея.
Задачи и упражнения
1. Докажите, что если две хорды одной окружности равны между собой, то расстояние от
точки пересечения этих хорд или их продолжений до концов той и другой хорды
соответственно равны между собой.
2. Докажите, что всякая трапеция, вписанная в окружность — равнобочная.
3. В какой параллелограмм можно вписать окружность?
4. В какую трапецию можно вписать окружность?
5. Около какого параллелограмма можно описать окружность?
6. Около какой трапеции можно описать окружность?
7. В какой прямоугольник можно вписать окружность?
8. Существует ли внутри прямоугольника точка, одинаково удаленная:
а) от всех его сторон;
б) от всех его вершин?
9. Докажите, что через точки пересечения биссектрис внутренних углов прямоугольника
можно провести окружность.
10. В каком случае через середины сторон четырехугольника можно провести окружность?
11. Через середину C дуги AB проводят две произвольные прямые, которые пересекают
окружность в точках D , E и хорду AB в точках F , H . Докажите, что
четырехугольник DEFH может быть вписан в окружность.
12. Докажите, что во всяком треугольнике точки, симметричные с точкой пересечения
высот относительно трех сторон треугольника, лежат на описанной окружности.
13. Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов
треугольника, образованного их основаниями.
14. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из какой-либо точки
окружности на три стороны вписанного треугольника, лежат на прямой.
15. Две окружности S1 и S 2 пересекаются в точках A и B . Через точки A и B проводятся
прямые a и d , пересекающие окружность S1 в точках M и N , а окружность S 2 в
точках K и L . Докажите, что прямые MN и KL параллельны.
16. Четыре окружности расположены так, что каждая из них касается двух других
окружностей. Докажите, что четыре точки касания расположены либо на одной прямой,
либо на одной окружности.
17. На плоскости даны угол AOB и биссектриса OL . Через вершину O проводится
произвольная окружность, пересекающая стороны угла в точках P и Q , а биссектрису
— в точке S . Докажите, что отношение (OP  OQ)  OS не зависит от выбора
окружности.
18. На плоскости проведены четыре прямые, среди которых никакие две не параллельны и
никакие три не проходят через одну точку. При пересечении этих прямых образуется
четыре треугольника. Докажите, что окружности, описанные около этих четырех
треугольников, имеют общую точку.
19. Окружность с центром O касается сторон угла в точках A и B . Через точку X
отрезка AB перпендикулярно OX проводится прямая, пересекающая стороны угла в
точках M и N . Докажите, что MX  NX .
20. Дан параллелограмм ABCD . Точка O плоскости расположена вне параллелограмма
так, что OAB  OCB . Докажите, что тогда AOB  COD .
21. Дан квадрат ABCD . Точки P на стороне AB и Q на стороне BC выбраны так, что
BP  BQ . Из точки B на прямую PC опущен перпендикуляр BH . Докажите, что угол
DHQ — прямой.
22. Дан треугольник ABC . Постройте точку X так, чтобы четырехугольник ABCX был
одновременно и вписанным, и описанным.
23. Постройте треугольник по углу при вершине, высоте и медиане, проведенной к
основанию.
24. Постройте треугольник по основанию, углу при вершине и сумме двух других сторон.
25. Постройте треугольник по основанию, углу при вершине и разности двух других
сторон.
26. Впишите в данную окружность четырехугольник, у которого даны сторона и два угла,
не прилежащие к этой стороне.
27. Постройте четырехугольник по двум диагоналям, двум соседним сторонам и углу,
образованному двумя другими сторонами.
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 9. Указание. Точки пересечения биссектрис являются вершинами квадрата.
Задача 10. Указание. Середины сторон четырехугольника всегда являются
вершинами параллелограмма.
Задача 11. Указание. Вычислить два противолежащих угла четырехугольника
DEFH с помощью дуг окружности.
Задача 12. Указание. Если H — точка пересечения высот треугольника ABC , то
AHC  ABC  180 , и т. д.
Задача 13. Указание. Приведем одно из возможных решений. Рассмотрим угол
HNM . Из того, что точки N , H , M , C расположены на одной окружности, следует
равенство
Аналогично
получается
равенство
HNM  HCM .
HNK 
 HAK . Так как KAH  MCH , то KNH  MNH .
Задача 14. Указание. Точки A , P , Q , M лежат на одной окружности и точки M ,
Q , C , R также лежат на одной окружности. Далее, так как AMC  ABC  180 и
PMR  PBR  180 , то AMP  CMP . Поэтому AQP  AMP  CMR  CQR .
Задача 16. Указание. Если O1 , O2 , O3 , O4 — центры окружностей, точки M , N ,
K , L — точки касания (рис. 6), то треугольники O1ML , O2 MN , O3 NK , O4 KL –
равнобедренные. Исходя из этого можно получить, что LMN  LKN  180 .
Задача 17. Указание. Проведем SK  OP и SL  OQ (рис. ?). В результате
получаем равные треугольники SPK и SQL . Поэтому OP  OQ  2  OK , откуда
(OP  OQ)  OS  2  (OK  OS )  2 cos KOS .
Задача 18. Указание. Отметить точку пересечения двух из этих окружностей и
доказать, что полученная точка лежит на третьей и на четвертой окружности.
Задача 19. Указание. Из условия следует, что точки O , A , M , X лежат на одной
окружности и точки O , B , N , X лежат на одной окружности. Исходя из этого можно
доказать, что треугольник MON подобен треугольнику AOB , откуда и следует
равенство MX  NX .
Задача 20. Указание. Построим вспомогательные параллелограммы CDOL и
ADOK так, как на рис. 8. Тогда BLO  BAO  BCO , откуда следует, что точки B ,
C , L , O лежат на одной окружности. Поэтому DOC  OCL  OBL  AOB .
Задача 21. Указание. Пусть M — точка пересечения прямой BH со стороной
AD . Тогда AM  BP  BQ . Следовательно, через точки C , D , M , Q можно провести
окружность. Далее нужно установить, что точка H попадает на эту окружность.
Задача 22. Указание. Пусть AB  BC . Тогда задача сводится к построению такого
треугольника ACX , для которого AX  CX  AB  BC и AXC  180  ABC .
Задача 26. Указание. Пусть ABCD — искомый четырехугольник, у которого
заданы сторона AB и углы при вершинах C и D . Угол, равный углу ACB и углу ADB ,
находится независимо от положения точек C и D , причем, имеется две возможности
для
выбора
такого
угла.
Если
этот
угол
найден,
то
тогда
ABD 
BAC  BDC  ADC  ADB ,
 ACD  BCD  BCA .