9 класс - Параметры в ГИА (образец)

Уравнения и неравенства второй
степени с параметрами.
9 класс.
Кружок (элективный курс), факультатив.
Учитель математики МБОУ СОШ № 3.
Г Мытищи.
Московской области.
Солдатова Л.В.
2015 год.
1
Календарно тематическое планирование.
№
тема
Количество
занятия
часов
1-3
Квадратные уравнения с параметром
3
4
Квадратные уравнения с параметром
1
и модулем
5-6
Графики квадратичной функции с
2
параметрами и модулем
7-8
Системы квадратичных уравнений и
2
неравенств с параметром
9
Графическое решение систем с
1
параметром и модулем
10-12 Квадратичные
неравенства
с
3
параметром
13-14 Квадратные уравнения с параметром
2
и модулем
15-16 Дробно-рациональные уравнения с
2
параметром
17-18 Дробно-рациональные неравенства с
2
параметром
Итого: 18 часов.
2
Занятие 1-3.
Раздел 1. Квадратичные уравнения с параметром.
а𝒙𝟐 + вх + с = 𝟎, где а, в, с коэффициенты.
Коэффициенты
а≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0.
Уравнение.
D=в2 − 4ас.
D< 0
D=0
в нечетное
D> 0
в четное
D> 0
Решение
х∈∅
в
Х=2а
х1,2
−в ± √в2 − 4ас
=
2а
х1,2 =
а=1
х1,2
а=0
Вх+с=0
в=0, с< 0
а𝑥 2 + с = 0
с=0
а𝑥 2 + вх = 0
в
в2
2
4
− ± √ − ас
Х=-
с
а
−в ± √в2 − 4с
=
2
в
с
Х=±√
а
х=0
х (ах+в)=0⇔ |х = − в
а
Пример 1.
Найдите значение параметра, при котором корни уравнения 𝑥 2 + (а + 1)х +
а + 4 = 0 отрицательны.
D>0
{ х1 х2 > 0 ;
х1 + х2 < 0
D>0
(а + 1)2 − 4(а + 4) > 0
а2 + 2а + 1 − 4а − 16 > 0 ;
;
{а + 4 > 0 ; {
{
а > −4
а > −1
а+1>0
а > −1
2
а ∈ (−∞; −3) ∪ (5; ∞)
; а ∈ (5; ∞).
{а − 2а − 15 > 0 ; {
а ∈ (−1; ∞)
а > −1
Ответ: а ∈ (5; ∞).
3
Занятие 4.
Раздел2.Квадратичные уравнения с параметрами и
модулем.
Пример 1.
Решите уравнение: 𝑥 2 + а|х − 2| = 0.
х≥2
{ 2
| 𝑥 + ах − 2а = 0;
х<2
{ 2
𝑥 − ах + 2а = 0
1) {
х≥2
; 𝑥 2 + ах − 2а = 0, 𝐷 = а2 + 8а.
𝑥 + ах − 2а = 0
2
D> 0 при а ∈ (−∞; −8) ∪ (0; ∞). Уравнение имеет корни:|
х1 =
х2 =
−а−√а2 +8а
2
.
−а+√а2 +8а
2
Так как х ≥ 2, то
а) х1 =
−а−√а2 +8а
2
≥ 2 ⇒ √а2 + 8а ≤ −а − 4 ⇒
−а − 4 ≥ 0
а ≤ −4
а ∈ ]−∞; −4]
2
; {]−∞; −8] ∪ [0; ∞[ ; {]−∞; −8] ∪ [0; ∞[;а∈ ]−∞; −8].
{
а + 8а ≥ 0
2
2
16 ≥ 0
а + 8а ≤ а + 8а + 16
а∈𝑅
б)х2 =
−а+√а2 +8а
2
≥ 2 ⇒ √а2 + 8а ≥ а + 4 ⇒
16 ≤ 0
а2 + 8а ≥ (а + 4)2 {а2 + 8а ≥ а2 + 8а + 16
{
а ≥ −4
а ≥ −4
4+а≥0
;|
;|
;
а < −4
а < −4
4+а <0
{
{ 2
{
а ∈ ]−∞; −8] ∪ [0; ∞[
а(а + 8) ≥ 0
а + 8а ≥ 0
а∈∅
;а∈ ]−∞; −8].
|
а ∈ ]−∞; −8]
Следовательно, при а∈ ]−∞; −8] уравнение имеет два различных корня
неменьших 2.
D=0. При а=-8 один корень.
D< 0. 𝑎 ∈ (−8; 0)x∈ ∅.
{
|
2) {
4
х<2
; 𝑥 2 − ах + 2а = 0, 𝐷 = а2 − 8а.
𝑥 − ах + 2а = 0
2
D> 0 при а ∈ (−∞; 0) ∪ (8; ∞). Уравнение имеет корни:|
х3 =
х4 =
а−√а2 −8а
2
.
а+√а2 −8а
2
Так как х < 2, то
а) х3 =
а−√а2 −8а
2
< 2 ⇒ √а2 − 8а > а − 4 ⇒
0 > 16
а2 − 8а > (а − 4)2 {а2 − 8а > а2 − 8а + 16
{
{
а≥4
а≥4
а−4≥0
|
;|
;|
;
а
<4
а<4
а−4<0
{
{ 2
{
а ∈ ]−∞; 0] ∪ [8; ∞[
а(а − 8) ≥ 0
а − 8а ≥ 0
а∈∅
;а∈ ]−∞; 0].
|
а ∈ ]−∞; 0]
б)х4 =
а+√а2 −8а
2
< 2 ⇒ √а2 − 8а < 4 − а ⇒
4−а>0
а<4
а ∈ (−∞; 4)
2
; {а ∈ ]−∞; 0] ∪ [8; ∞[ ; {а ∈ ]−∞; 0] ∪ [8; ∞[;
{
а − 8а ≥ 0
2
2
а − 8а < а − 8а + 16
16 > 0
а∈𝑅
]−∞;
а∈
0].
Уравнение
𝑥 2 − ах + 2а = 0
имеет
корни
х3 =
а−√а2 −8а
2
и х4 =
а+√а2 −8а
2
меньше 2 при а∈ (−∞; 0), причем х3 = х4 при а = 0.
Ответ: если а∈ (−∞; −8) ∪ (−8; 0) два решения,
если а=-8 одно решение х=4,
если а=0 одно решение х=0,
если а∈ (0; ∞)решений нет х∈ ∅.
Графический способ решения.
𝑥 2 + а|х − 2| = 0.
𝑥 2 = −а|х − 2|.
1)а> 0 уравнение не имеет решения, так как 𝑥 2 ≥ 0 и − а|х − 2| ≤ 0.
Значит х=0 и х=2 одновременно не могут быть. Поэтому 𝑥 2 < 0 решений
нет.
2) а=0 𝑥 2 = 0|х − 2|, х = 0 единственное решение.
3) а< 0.Строим у=𝑥 2 и у = −а|х − 2|.
a) х< 2 ; у = ах − 2а пересекает у = 𝑥 2 в двух точках.
б) х> 2; у = ах − 2а будет ли касаться у = 𝑥 2 ?
Предположим, что касательная проходит при а= а0 (а0 < 0) в точке с
абсциссой х0 (х0 > 2) ⇒ 𝑓(𝑥)/ = 2𝑥, 𝑓(𝑥0 )/ = 2𝑥0 .
5
2𝑥0 = −𝑎0
𝑓(𝑥0 )/ = −𝑎0 .
𝑎
;{ 2
; 𝑥0 = − 0, а0 можно определить
{
2
𝑓(𝑥0 ) = −𝑎0 𝑥0 + 2𝑎0 𝑥0 = −𝑎0 𝑥0 + 2𝑎0
а =0
а2
из уравнения: 0 + 2а0 = 0 ⇒ | 0
.
4
а0 = −8
Если а0 = −8, то х0 = 4 и это удовлетворяет условию х0 > 2.
Ответ:если а∈ (−∞; −8) ∪ (−8; 0) два решения,
если а=-8 одно решение х=4,
если а=0 одно решение х=0,
если а∈ (0; ∞)решений нет х∈ ∅.
Занятие 5-6.
Раздел 3. Графики квадратичной функции с параметрами и
модулем.
у =а𝑥 2 + вх + с.
а
D
а> 0
график
Решение
уравнений
𝑥 + вх + с > 0
𝑥 2 + вх + с < 0
(−∞; х𝟏 ) ∪ (х𝟐 ; ∞)
(х𝟏 ; х𝟐 )
(−∞; х𝟏 ) ∪ (х𝟏 ; ∞)
∅
R
∅
D> 0
2 корня
х1 < х2
а> 0
D =0
1 корень
х1
а>0
D< 0
∅
а<0
а<0
а
Решение неравенств
2
<0
D> 0
2 корня
х1 < х2
(х𝟏 ; х𝟐 )
1 корень
х1
∅
(−∞; х𝟏 ) ∪ (х𝟏 ; ∞)
∅
R
D=0
D< 0
∅
6
(−∞; х𝟏 ) ∪ (х𝟐 ; ∞)
У = а(х − в)2 + с-график квадратичной функции.
Строим график у =𝑥 2 .
Перенос графика вправо на в единиц, если в> 0,
перенос графика влево на в единиц, если в< 0.
Если, |а| < 1, то ветви параболы приближаются к оси ОХ,
если, |а| > 1, то ветви параболы приближаются к оси ОУ.
Если с> 0, то переносим график на с единиц вверх по оси ОУ,
если с< 0, то переносим график на с единиц вниз по оси ОУ.
Пример 1.
Построить график функции у= а𝑥 2 + 4х −3.
а > 0 ветви параболы направлены вверх.D = 4+3а.
а>0
1)4+3а> 0 {а > − 4 ⇒ а > 0, то две точки пересечения графика с осью ОХ.
3
2
х1 = −2 − √3а + 4 и х2 = −2 + √3а + 4, хв = − а ,
хв < 0.
у
|а| > 1 или| а| < 1
-2-√3а + 4 -2+√3а + 4х
2)а < 0ветви параболы направлены вниз.D = 4+3а. у
4
4
D> 0, а > − 3 , а ∈ (− 3 ; 0), то хв > 0,
то две точки пересечения графика с осью ОХ.
х1 = −2 − √3а + 4 и х2 = −2 + √3а + 4.
х
у
3
3)а=0, то у =4х-3 линейная функция х
4
-3
4
в
3
2а
4)D=0, 3а+4=0, а =- ; х1 = хв = −
=−
4
8
3
−
= 1,5
у
1,5
7
х
4
2
3
а
5)D< 0, а< − пересечения с осью ОХ нет,хв = − , хв > 0.
у
2
хв = − , х
а
Занятие 7-8.
Раздел 4. Системы квадратных уравнений и неравенств с
параметрами и модулем.
Пример 1.
Найдите все значения параметра, при которых система уравнений
х+у=а
имеет единственное решение. Найдите эти решения.
{
ху = 9
х = а − у, (а − у)у = 9, ау − у2 = 9, у2 − ау + 9 = 0, у1,2 =
1)𝐷 > 0, а2 − 36 > 0, а ∈ (−∞; −6) ∪ (6; ∞) два корня;
2) 𝐷 = 0, а = ±6.
а=-6⇒ у = −3 и х = −3.
а=6⇒ у = 3 и х = 3.
3)𝐷 < 0, а ∈ (−6; 6) решений нет.
Ответ: если а=-6, то (-3;-3),
если а=6, то (3;3).
8
а±√а2 −36
2
.
Занятие 9.
Раздел 5.Графическое решение систем с параметрами и
модулем.
Пример 1.
𝑥 2 + у2 = 1
Найти число решений в зависимости от параметра {
.
ху = а
𝑥 2 + у2 = 1 окружность с центром (0; 0)и 𝑅 = 1.
а
х у = а; у = . Обратная пропорциональная функция, график гипербола.
х
1)а> 0
*а=0,5, то 2 точки пересечения графиков,
*а> 0,5, то решений нет,
∗ 0 <а< 0,5, то 4 точки пересечения.
2)а < 0.
∗ а =−0,5 то 2 точки пересечения графиков,
*а ∈ (−0,5; 0) четыре точки пересечения графиков.
∗ а ∈ (−∞; −0,5) решений нет.
3) а = о четыре решения: (-1;0), (1;0), (0;1), (0;-1).
Ответ:а∈ (−∞; −0,5) ∪ (0,5; ∞) решений нет
а = ±0,5
два решения ,
а ∈ (−0,5; 0,5)четыре решения.
9
у
а=0,5
Занятие10-12.
Раздел 6.Квадратичные неравенства с параметром.
Пример 1.
Решите неравенство: 𝑥 2 < ах.
𝑥 2 − ах < 0; х(х − а) < 0.
∗ а = о, то 𝑥 2 < 0, х ∈ ∅.
∗ а < 0, то х ∈ (а; 0).
+ а - 0 +
*а> 0, то х ∈ (0; а).
+ 0 - а +
Ответ: если а∈ (−∞; 0), то х ∈ (а; 0),
если а=0,
то х ∈ ∅,
если а∈ (0; ∞) , то х∈ (0; а).
Занятие 13-14.
Раздел 7.Квадратные неравенства с параметром и модулем.
Пример 1.
Решите неравенство: (х − а)|х − 5| ≤ 0.
1)а=5, то (х − 5)|х − 5| ≤ 0, х − 5 ≤ 0, х ≤ 5. х∈ ]−∞; 5].
х≤а
х−а ≤0
2)а < 5, то |
; |
;
а 5
х∈ ]−∞; а] ∪ {5}.
х=5
х=5
х≤а
х−а≤0
3)а> 5, то |
; |
;
5 а
х∈ ]−∞; а].
х=5
х=5
Ответ: если а ∈ (−∞; 5), то х∈ ]−∞; а] ∪ {5},
если а=5,
то х∈ ]−∞; а] ∪ {5},
если а∈ (5; ∞), то х∈ ]−∞; а].
Занятие 15-16.
Раздел 8. Дробно рациональные уравнения с параметром
и модулем. (Выход на квадратное уравнение).
Пример 1.
Найдите все значения параметра, при которых уравнение:
𝑥 2 +(3в−1)х+2в2 −2
𝑥 2 −3х−4
10
= 0 имеет одно решение.
х1,2 =
1−3в±√(в−3)2
2
.
х = −в − 1
(х + в + 1)(х + 2в − 2) = 0 |х = −2в + 2
= 0; {
;{
;
(х−4)(х+1)
х ≠ −1
(х − 4)(х + 1) ≠ 0
х≠4
Проверим, при каких значениях параметра кони равны -1 или 4:
1)-в-1≠ −1; в ≠ 0;
2)-в-1≠ 4;
в ≠ −5;
3)-2в+2≠ −1; в ≠ 1,5;
4)-2в+2≠ 4; в ≠ −1.
х=4
*если в=-5, то |
, но х≠ 4, следовательно, х = 12 один корень,
х = 12
х=4
*если в=-1, то |
, но х≠ 4, следовательно, х = 0 один корень,
х=0
х = −1
*если в=0, то |
, но х≠ −1, следовательно, х = 2 один корень,
х=2
х = −2,5
*если в=1,5, то |
, но х≠ −1, следовательно, х = −2,5 один корень,
х = −1
1−3в
1−9
*если в=3, D=0,то х =
=
= −4.
(х+в+1)(х+2в−2)
2
2
Ответ: при в∈ {−5; −1; 0; 1,5; 3} уравнение имеет один корень.
Занятие 17-18.
Раздел 9. Дробно рациональные неравенства с
параметром. ( Выход на квадратное уравнение).
Пример 1.
Решить неравенство:
1)а∈ (−∞; −3)
2)а=-3,
х(х+3)
х+3
3)а∈ (−3; 0)
4)а=0,
𝑥2
х+3
х(х−а)
х+3
≤ 0.
- а + -3 - 0 +
х∈ ]−∞; а] ∪ ]−3; 0].
х≤0
≤ 0, {
; х∈ (−∞; −3) ∪ ]−3; 0].
х ≠ −3
- -3 + а - 0 +
х+3<0
≤ 0, |
;
х=0
|
х < −3
;
х=0
х∈ (−∞; −3) ∪ [а; 0].
х ∈ (−∞; −3) ∪ {0}.
5)а ∈ (0; ∞), - -3 + 0 - а + х∈ (−∞; −3) ∪ [0; а].
11
Ответ: если а∈ (−∞; −3) , то х∈ ]−∞; а] ∪ ]−3; 0],
если а=-3,
то х∈ (−∞; −3) ∪ ]−3; 0],
если а∈ (−3; 0) , то х∈ (−∞; −3) ∪ [а; 0],
если а = о,
то х ∈ (−∞; −3) ∪ {0},
если а ∈ (0; ∞),
то х∈ (−∞; −3) ∪ [0; а].
12