Рис. 1.0 - Reshaem.Net

1. ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
БИБЛИОТЕКИ УЧЕБНЫХ ПОДПРОГРАММ
В вариантах данного ниже задания такие вычисления, как нахождение корней, точек экстремума, значения многочлена, его производных, и получение конечного результата — площади S реализуются с
обязательным использованием заданных подпрограмм.
Заголовки подпрограмм и параметры обращений к ним даны в
приложении. Следует тщательно изучить эти обращения, дать все
требуемые описания, определить входные величины, представить
функциями зависимости и правые части уравнений.
Особенностью задания является применение глобальных переменных. Такова, например, переменная C. Участвуя в записи подчиненных
функций с единственным аргументом x, она не может быть аргументом
этих функций. Значение 1 ≤ C ≤ 8 задайте в обработчике.
Задание. Применив подпрограмму IntF, вычислить площадь S заданной фигуры. В каждом варианте задания даны характеристика фигуры и
округленное значение результата S для C = 5 (контрольное значение).
В вариантах 2, 6, 11, 13, 18, 22, 26, 27 задания участвует многочлен
P(x) = 0,5x4 – x3 + 1,4x2 – 0,7x + 2,3 и/или его производные P '(x), P ''(x).
Варианты задания
0. Площадь S фигуры, ограниченной кривыми
3
f1(x) =  3 A 2  3 x 2  , f2(x) = (x4–13x2+36) ex /(B+5)


(рис. 1.0), где B ― точка локального минимума
функции φ(x) =
Ce x  x 2 , B > 0; A ―
наименьшее абсолютное значение рационального
корня трехчлена x4 – 13x2 + 36,
Ответ: S = 11,51.
1. Площадь S в эллипсе
x2
A2

y2
B2
Рис. 1.0
 1 за
2
2
вычетом другого эллипса 4x  A 2  9 y  1
2
2
A
B
(рис. 1.1), где B ― точка локального экстx
ремума функции f ( x ) 
, A ― зна2
Cxx
4
Рис. 1.1
чение суммы ряда 1  C  C  C   .
1!
3!
5!
Ответ: S = 30,49.
2. Площадь S между графиками P(x) и P' (x)
(рис. 1.2) на отрезке [B, D], где B ― точка
локального минимума P(x) на отрезке [0, 1],
D ― точка пересечения графиков P(x) и P' (x);
0 ≤ D ≤ 5.
Ответ: S = 1,58.
Рис. 1.2
2
3. Площадь S под кривой f ( x )  Ce  x
(рис. 1.3) над отрезком [А, В], где А ― точка
локального минимума (А < 0) функции φ(x)=
x
=
,
B ― точка ее локального
T  x  x2
максимума, Т < 5 ― положитель-ный корень
уравнения
e x 5  x  52  0 .
Рис. 1.3
Ответ: S = 8,8.
4. Площадь S фигуры, ограниченной кривыми
ex
ln x  (рис. 1.4) и
A
осями координат, где А ― наибольший корень
f 1( x )  x  c , f 2( x ) 
многочлена 24 x  22 x  x  3 .
3
2
Ответ: S = 3,05.
5.
Площадь

S
 x 2

(рис.
2
Рис. 1.4
1.5)

под
кривой
f ( x)  1  e
x  Cx  20 над отрезком
[А, В], где А ― точка локального максимума
(А ≥ 0) функции f (x ) , В ― положительный
корень уравнения 0,2 x  A x  0,1  1  0 .
Ответ: S = 0,24.
Рис. 1.5
5
Рис. 5.3.5
6. Площадь S (рис. 1.6) под графиком первой производной многочлена
P(x) над отрезком [0,5, В], где B ― точка локального максимума



функции φ(x) = Cx  e  x  5 1  0,5 x 2 на от-резке [0, 5].
Ответ: S = 1,07.
Рис. 1.6
7. Площадь S фигуры, ограниченной кривой
2
2
f ( x)  e  x C
и прямой
y
B  1 (рис.
B3
1.7) , где B ― наибольший корень многочлена
x 3  2 x 2  11x  12 .
Рис. 1.7
Ответ: S = 10,47.
8.
Площадь
1.8) под кривой
f ( x)  z1 x  z 2 x  z 3 над отрезком [B, D],
где z1 , z 2 , z 3 ― решение системы уравнений
10 z1  5z 2  3z 3  3,5

5z1  10 z 2  2 z 3  2 , В ― точка локального
3z  2 z  4 z  4
2
3
 1
4
S
(рис.
2
минимума функции φ(x) =
x
C  x  x2
,
D ― точка ее локального максимума.
Рис. 1.8
Ответ: S = 6,71.
9. Площадь S (рис. 1.9) фигуры, ограниченной
кривыми
f 1( x )  B 1  x A2 ,
3
f 2( x)  0,5  3 A2  3 x 2  , где B ― локальный


1
 e x / C на
x  0,1
наибольший корень
минимум функции φ(x) =
отрезке [0, С], А ―
6
Рис. 1.9
 x1  2 x 2  x3  3,
системы уравнений 2 x  x  x  7,
 1
2
3
Ответ: S = 11,0.
 x  x  2 x  6.
2
3
 1
10. Площадь S фигуры, ограниченной кривыми
(рис. 1.10) f 1( x ) 
 4 x 6  61x 4  261x 2  324
C 3e x
f 2( x )  4 B 1  x 2 A2 , где А
и
― наименьшая
абсолютная
величина
корня многочлена
6
4
2
φ(x) =  4 x  61x  261x  324, В ― точка
e x  x 2 на
локального максимума функции
отрезке [0, 1].
Рис. 1.10
Ответ: S = 7,98.
11. Площадь S (рис. 1.11) под кривой
f ( x )  x  C 2 x  1 / C над отрезком [B, D],
где B ― положительный корень уравнения
e x  7  x  7 2  0 , D ― значение P' (x)
в точке x = B.
Ответ: S = 8,88.
12. Площадь S фигуры, ограниченной кривыми
f2(x)= 2Ce
 0,3x C 2
и
Рис. 1.11
2
f1(x) = C 1  x
B2
(рис. 1.12), над отрезком [0, В+С], где B ―
наибольший корень
 x1  2 x 2  x3  3,

2 x1  x 2  x3  7,
 x  x  2 x  6.
2
3
 1
системы
уравнений
Ответ: S = 51,71.
Рис. 1.12
13. Площадь S фигуры, ограниченной снизу
графиком многочлена P(x), а сверху – кривой
7
f ( x)  6e  x 
C 2
(рис. 1.13), на отрезке [B, D], где B ― точка
локального минимума (B > 0) многочлена P(x), D ― точка пересечения
кривых f (x) и P (x).
x
Ответ: S = 1,16.
14. Площадь S над отрезком [А, B] под кривой
A
f ( x) 
 ln x  (рис. 1.14) , где А ―
x  C 50
сумма ряда 1/1! – 1/2! + 1/3! – 1/4! + … В ―
точка локального максимума функции φ(x) =
x
=
.
C  x  x2
Ответ: S = 1,22.
Рис. 1.13
Рис. 1.14
15. Площадь S (рис. 1.15) под кривой f(x) = =
Cxe  x 5 над отрезком [B, D], где B ― точка
локального максимума функции f (x ) (B >
0), D ― значение квадратного трехчлена
A1 x 2  A2 x  A3 в точке x = B, причем
2
A1 , A2 , A3
члена
― рациональные корни много-
24x3 –
Рис. 1.15
22x2 – x + 3.
Ответ: S =21,8.
x2
 2 x1  x 2  5 x3  1,

 x1  x 2  x3  0,7,
 4 x  x  5 x  2.
1
2
3


y2
 1 ниже
B2
C2
параболы y = A + x2 (рис. 1.16), где B ― нуль
функции x  C ( x  1) на отрезке [0, C +1],
А – наибольший корень системы уравнений
16. Площадь S в эллипсе
Рис. 1.16
Ответ: S = 78,42.
17. Площадь S (рис. 1.17) под кривой f(x) =
=A1 x4 + A2 x3 + A3 x2 + A4 x над отрезком [B,
Рис. 1.17
8
Рис. 1.18
2B], где B ― точка локального минимума функции φ(x) =
1
 ln x  на
x  0,1
отрезке [0, 5], коэф-фициенты A1 , A2 , A3 , A4 должны быть найдены как
положительные корни уравнений вида
x  C j x 1
для C1 = 0,5; C2 = 1; C3 = 1,5; C4 = 2. 0 < Aj <
Cj2 +1
соответст-венно
для j = 1, 2, 3, 4.
Ответ: S = 11,44.
18. Площадь S (рис. 1.18) под кривой f(x) = |sin(x2 + D) | над отрезком
[А, B] , где А ― положительный корень уравнения P' (x) = 0, В ― точка
2
2
локального максимума функции φ(x)= xe  x C на отрезке [0, C],
D  x1  x2  x3  / 3 , x1 , x 2 , x3 ― корни
 x1  2 x 2  x3  3,

системы уравнений 2 x1  x 2  x3  7,
 x  x  2 x  6.
2
3
 1
Ответ: S = 1,96.
Cx
19. Площадь S под кривой f ( x) 
C  x  x2
(рис. 1.19) над отрезком [А, B], где А ―
точка локального максимума функции f(x),
A > 0; D ― наименьший положительный
корень многочлена 10x3 – x2 –10x + 1,
В ― точка, в которой выражение
равно D.
e x
2
Рис. 1.19
C2
Ответ: S = 5,37.
20. Площадь S (рис. 1.20) фигуры, ограниченной осями координат, кривыми f1(x) = =
e x
2
Рис. 1.20
C 2 , f (x) = e x ln  x  и прямой x = B, где
2
В ― наибольший корень многочлена
23 x2 + 16x – 3.
6x3 –
Ответ: S = 4,3.
2
21. Площадь S под кривой f ( x )  De  x C
(рис. 1.21) над отрезком [А, B], где D ―
положительный
корень
уравнения
9
Рис. 1.21
e x  2  x  2 2  0 ,
А ― наименьший,
3
корень многочлена 6x – 23 x2 + 16x – 3.
а В ― наибольший
Ответ: S = 10,16.
2
22. Площадь S (рис. 1.22) фигуры, ограничен-ной кривыми f(x) = Ce  x
и P' (x) на отрезке [А, B], где А > 0 ― точка локального миниму-ма P(x),
В ― точка пересечения графиков P' (x) и
Рис. 1.22
f (x) .
Ответ: S = 1,78.
23. Площадь S (рис. 1.23) фигуры, ограничен4
2
2
ной кривыми f1(x) = (4 x  25x  36) /(Cx  11)
и f2(x) = (3  B / 3) 1  x 2 D 2 на отрезке [–D, D],
где D ― наименьшая абсолютная величина
корня многочлена 4 x 4  25 x 2  36 , B ― корень
уравнения x  C x  1 на отрезке [C, C 2 +1].
Ответ: S = 22,4.
Рис. 1.23
24. Площадь S (рис. 1.24) под кривой
2
2
2
f ( x )  e  x C  e  x  C 
над отрезком
[А, B], где В ― точка локального минимума
функции f (x ) (0 < B < C), А ― наименьший из корней системы уравнений
10 x1  5 x 2  3x3  2,

5 x1  10 x 2  2 x3  3,
3x  2 x  4 x  2.
2
3
 1
Рис. 1.24
Ответ: S = 3,17.
25. Площадь S (рис. 1.25) фигуры, ограниченной эллипсами x2/A2 + y2/B2 =1, x2/B2 + y2/A2 =1,
где А, В ― рациональные корни многочлена
x4 – 4x3 + (3+C)x2 – 4Cx + 3C.
Указание. В точке P пересечения эллипсов
х = у, поэтому легко найти ее координаты.
Ответ: S = 15.
10
Рис. 1.25
26. Площадь S под кривой f ( x)  xe  x
2 C2
(рис. 1.26) над отрезком
[B, D], где В ― корень уравнения x  x  1  1 C  0 , D ― значе-ние
второй производной многочлена P(x) в точке x = B.
Ответ: S = 10,9.
27.
Площадь S фигуры, ограниченной
кривыми f ( x)  Cx /(2 x  x 2  2) и P' (x) + ½
(рис. 1.27) на отрезке [B, D], где В, D ―
наименьшая и наибольшая абсолютные
величины корня многочлена
24x4 – 4x3 + (6C2+4) x2 +C2 x + C2.
Рис. 1.26
Ответ: S = 21,98.
28. Площадь S (рис. 1.28) фигуры, ограни-
Рис. 1.27
ченной эллипсом
+
= 1 и параболой y2 = x – C, где В > 0 ― точка локального максимума функции
φ(x) = =
x2/A2
2
y2/B2
2
xe  x C , А = 2В.
Указание. Определяя координату х точки
пересечения эллипса с параболой, решите
уравнение
x  C  B 1  ( x 2 A2 )  0 .
Рис. 1.28
Ответ: S = 75,04.
29. Площадь S (рис. 1.29), ограниченная
кривыми f1(x) = (e x ln x ) / C и f2(x) = D x  1 ,
где D ― локальный максимум значения
2
2
функции φ(x) = Cxe  x C на отрезке [0, C].
A, B – это абсциссы точек пересечения
кривых f1(x) и f2(x).
Ответ: S = 25,91.
Рис. 1.29
30. Площадь S (рис. 1.30), ограниченная
2
2
2
кривыми x2/A2 + y2/B2 = 1, x 3  y 3  C 3
и отрезками осей координат, где A ―
корень уравнения x  C x  1  0 на
11
отрезке [0, C+1] , B > 0 ― точка локального минимума функции φ(x) =
x  3C 3 x 2 .
Ответ: S = 20,22.
Рис. 1.30
12