Поворотная симметрия n

Проектно-исследовательская работа
по теме
Поворотная симметрия
n-ого порядка
Автор Бухтийчук Юлия 9 «А» класс
ГОУ СОШ №887
ЗАО г. Москвы
Научный руководитель:
Горшенина Татьяна Валентиновна
учитель математики высшей
квалификационной категории
ГОУ СОШ №887.
20010/2011 учебный год
2
Оглавление.
1. Введение
3
2. Цель
3
3. Задачи
4
4. Виды симметрии
5
5. Построение фигур, обладающих поворотной симметрией
14
6. Поворотная симметрия в природе
19
7. Поворотная симметрия в искусстве
25
8. Выводы
28
9. Список литературы
28
3
Симметрия является той идеей,
посредством которой человек на
протяжении веков пытался
постичь и создать порядок, красоту
и совершенство.
Г. Вейль
Введение:
С темой осевая, центральная, зеркальная, поворотная симметрии учащиеся
впервые встречаются на уроках наглядной геометрии в 5-6 классах. В 8 классе
изучаются не только понятие симметрии, но вводятся определения и
рассматриваются их свойства. Большое внимание уделяется симметрии в
живой, неживой природе, архитектуре, декоративном искусстве, математике,
литературе. В данной работе было решено остановиться на поворотной
симметрии, и рассмотреть ее в растительном (цветочном), животном мире, в
декоративно-прикладном искусстве, монументальном, связанном с
архитектурой (в витражах, мозаике, рельефах и др.), в мотивах орнаментов.
Выяснить, какие порядки поворотной симметрии наиболее часто встречаются
в жизни. Научиться делить окружность на 3,4,5,6, 8, 10,15 равных частей с
помощью циркуля и линейки и освоить простой и, что важно, пригодный в
разных ситуациях приближенный метод решения задачи для n=7;9 с помощью
практического приема французского математика Н. Биона.
Цель:
изучение понятия поворотной симметрии, примеров ее проявления в природе
и человеческой культуре и практических методов построения поворотносимметричных объектов.
4
Задачи:
 Подобрать примеры:
1. поворотной симметрия как вида преобразования плоскости.
Другие виды симметрий;
2. поворотной симметрии в живой природе- цветы глазами
математика;
3. поворотной симметрии в искусстве
 Рассмотреть геометрические методы построения поворотносимметричных объектов- геометрия орнамента и деление круга на nравных частей.
5
Виды симметрии.
• Осевая (зеркальная) симметрия.
• Центральная симметрия.
• Поворотная симметрия.
• Зеркально-поворотная симметрия.
Осевая (зеркальная) симметрия.
Две точки называются симметричными относительно прямой a, если эта
прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.
Каждая точка прямой a считается симметричной самой себе.
Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для
каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также
принадлежит этой фигуре.
Прямая a называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура
обладает осевой симметрией.
6
На рисунке показан простой пример объекта и его зазеркального двойника –
треугольник ABC и треугольник А1В1С1 (здесь MN – пересечение плоскости
зеркала с плоскостью рисунка). Каждой точке объекта соответствует
определённая точка зазеркального двойника. Эти точки находятся на одном
перпендикуляре к прямой MN, по разные стороны и на одинаковом расстоянии
от неё. Объект на рисунке выбран для простоты двухмерным. В общем случае
объект (и соответственно его зазеркальный двойник) является трёхмерным.
7
Примеры осевой симметрии.
У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена
биссектриса угла.
Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось
симметрии.
А равносторонний треугольник - три основные симметрии
8
Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси
симметрии
Квадрат имеет четыре оси симметрии.
У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её
центр, является осью симметрии.
9
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам
относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний
треугольник.
Центральная симметрия.
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой
точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также
принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.
Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.
Примеры центральной симметрии.
Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является
окружность и параллелограмм.
10
Поворотная симметрия.
Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг
некоторой оси на угол, равный 360/n (или кратный этой величине), где n = 2,
3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют
поворотной осью n-го порядка. Рассмотрим примеры со всеми известными
буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая
поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180 вокруг оси,
перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква
совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична
относительно поворота на 180. Заметим, что поворотной симметрией
обладает также буква «Ф».
На рисунке даны примеры простых объектов с поворотными осями разного
порядка – от 2-го до 5-го.
У трехмерного объекта может быть несколько поворотных осей.
Например, первый объект на рисунке имеет не одну, а три поворотные оси
2-го порядка, второй объект имеет наряду с поворотной осью 3-го порядка три
поворотные оси 2-го порядка, третий объект имеет наряду с поворотной осью
11
4-го порядка четыре поворотные оси 2-го порядка (дополнительные
поворотные оси показаны на рисунке штриховыми прямыми).
Интересна поворотная симметрия кругового цилиндра.
Он имеет бесконечное число поворотных осей 2-го порядка и одну
поворотную ось бесконечно высокого порядка.
Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные
оси и их порядок, а также все плоскости симметрии.
Рассмотрим, например, геометрическое тело, составленное из двух
одинаковых правильных четырехугольных пирамид.
Оно имеет одну поворотную ось 4-го порядка (ось АВ), четыре поворотные
оси 2-го порядка (оси СЕ, DF, MP, NQ), пять плоскостей симметрии
(плоскости CDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).
12
Зеркально-поворотная симметрия.
Доказать, что существует такой вид симметрии можно самостоятельно
следующим образом:
Вырежьте из плотной бумаги квадрат и впишите внутрь его косо другой
квадрат (рис.1).
рис.1.
Затем отогните углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний квадрат
(соседние углы отгибаются в противоположные стороны). В результате
получите объект, показанный на рисунке (рис.2)
рис.2.
. Он имеет поворотную ось 2-го порядка (ось АВ) и не имеет плоскостей
симметрии. Будем рассматривать изделия сначала сверху, а затем снизу (с
противоположной стороны листа бумаги). Мы обнаружим, что никакого
различия между «верхом» и «низом» нет; в обоих случаях объект выглядит
одинаково. В связи с этим возникает мысль, что поворотная симметрия 2-го
порядка не исчерпывает всей симметрии данного объекта.
Дополнительная симметрия, которой обладает наш объект, - это так
называемая зеркально-поворотная симметрия: объект совмещается сам с собой
13
в результате поворота на 90 вокруг оси АВ и последующего отражения в
плоскости CDEF. Ось АВ называют зеркально-поворотной осью 4-го порядка.
Таким образом, здесь наблюдается симметрия относительно двух
последовательно выполняемых операций – поворота на 90 и отражения в
плоскости, перпендикулярной к оси поворота.
14
Построение фигур, обладающих поворотной симметрией.
В основе построения фигуры, обладающей поворотной симметрией n-ого
порядка, лежит тот факт, что в такой фигуре можно выделить базовый
элемент. Поворачивая данный элемент n-1 раз вокруг центра симметрии на
угол  
3600
и копируя его, можно получить исходную фигуру. Возможность
n
такого построения с помощью циркуля и линейки определяется возможностью
построения угла  . Таким образом, мы приходим к задаче о разбиении
окружности на n равных частей или эквивалентной задачи о построении
правильного n-угольника при помощи циркуля и линейки.
Эта задача, кстати, стоит наряду с тремя знаменитыми задачами древности:
квадратурой круга, трисекцией угла и удвоением куба. И попала туда не
только благодаря своей многовековой истории, но и потому, что не всегда
разрешима с помощью упомянутых инструментов.
Ещё со времён Пифагора греческие учёные проявляли интерес к правильным
многоугольникам и развивали искусство их точного построения. Впоследствии
эти знания были систематизированы Евклидом и изложены в 4-ой книге
«Начало».
При помощи циркуля и линейки древние геометры умели строить правильные
n-угольники с числом сторон, равным 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15. При этом
использовалась окружность, описанная около многоугольника.
15
M
B
A
R
N
Q
F
C
J
D
L
P
Пример построения правильного пятиугольника:
Пусть O-центр окружности, A-точка на окружности и Е–середина отрезка ОА.
Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с
окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок
CE=ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника
равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для
начертания правильного пятиугольника
Одни из указанных фигур могут получиться на основе других. Так, имея
квадрат, легко построить правильный восьмиугольник: достаточно разделить
пополам каждую из четырёх дуг, на которые вершины квадрата разбивают
описанную около него окружность. Всего на окружности будут отмечены
восемь точек–вершин искомой фигуры. Остаётся последовательно соединить
их отрезками.
16
Умея строить правильный n-угольник, нетрудно получить правильный 2n-,
затем 4n-, 8n- и вообще всякий правильный (2k n) -угольник, повторяя
процедуру деления необходимое число раз. Отсюда следует, что достаточно
решить исходную задачу для правильных многоугольников с нечётным
числом сторон.
пример 16-ти угольника
А вот правильный n-угольник, для которого n=km, а числа k и m взаимно
просты (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), можно построить на
основе двух правильных многоугольников–с числом сторон k и m, вписанных
в одну окружность. В «Началах» Евклида приводится решение этой задачи для
пятнадцатиугольника 15  3  5
17
Знаменитый немецкий математик К.Ф. Гаусс (1777-1855) доказал следующую
теорему.
Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля
возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее
разложение на множители:
n  2 m  p1 p2 ... ps ,
где m-целое неотрицательное число, а p1, p2,..., ps -различные между собой
простые числа вида 22  1 .
k
Вот несколько примеров:
При m  0, s  1 число n имеет вид n  22  1 .
k
Для k  0 имеем n  3 ; для k  1имеем n  5 ; для k  2 имеем n  17 ; для
k  3 имеем n  257 ; для k  4 имеем n  65537 ;
При m  0, s  2 имеем n  p1 p2 .
Если, например, p1  3, p2  5 , то n  15 .
После открытия Гаусса стало ясно, что, помимо ранее известных правильных
многоугольников с 3;4;5;6;8;10;12;15;16;20;24;30;32;40;…сторонами, можно
построить с помощью циркуля и линейки правильные многоугольники с
17;34;68;126;252;257;…сторонами.
С другой стороны, невозможно циркулем и линейкой построить правильные
многоугольники со следующим числом сторон:
7;9;11;13;14;18;19;21;22;23;25;27;28;… .
18
Еще в древности практиковалось для разных приближенное построение
любого правильного многоугольника. Так , например, Герон Александрийский
находит приближенное значение стороны правильного девятиугольника.
Задача построения правильного n-угольника сводится к делению окружности
на n равных частей. Один практический приём такого деления предложил
французский математик
Н. Бион.
Прием этот состоит в следующем:
Пусть требуется разделить окружность, например, на 9 равных частей.
C
A
B
D
На диаметре окружности строится равносторонний треугольник ABC.
Диаметр AB делим на 9 равных частей ( разделить данный отрезок на n равных
частей можно с помощью теоремы Фалеса).
Соединяя вторую точку деления с вершиной треугольника C, продолжим
прямую до пересечения с окружностью в точке D.
Дуга AD является девятой частью окружности, хорда AD- стороной
правильного девятиугольника.
В общем случае метод подходит для деления окружности на n  10 частей и
имеет погрешность построения не превышающую 1%.
19
Поворотная симметрия в природе
Цветы издавна считаются символом красоты и совершенства. По словам
известного математика Германа Вейля (1885-1955), человек на протяжении
веков пытался постичь и то и другое посредством симметрии.
Как истинный учёный, он считал, что цветы достойны внимания
исследователя, потому что обладают свойством поворотной симметрии,
весьма распространённой в мире растений. Биологи с математиками согласны:
характер симметрии в строении цветка служит одним из его существенных
признаков.
Свойственная большинству цветов поворотная симметрия n-го порядка
проявляется в том, что цветок совмещается сам с собой при повороте вокруг
своей оси на любой из углов, где n>1, k=1,2,3…,n.
Что это означает в простейшем случае, когда располагающиеся по кругу
лепестки образуют один слой? А вот что: всякий раз при повороте на угол
каждый лепесток встаёт на место соседнего и после n таких перемещений в
одном направлении занимает исходное положение. Таким образом, порядок
поворотной симметрии цветка определяется, по сути, числом лепестков.
20
Например, для цветка молочая n=2, он совмещается сам с собой при
повороте на углы 1800 и 3600.
Для триллиума и ириса n=3, а подходящие углы поворота-1200,2400,3600.
Нередко встречаются цветы с поворотной симметрий 4-го порядка (сирень,
чистотел)
21
6-го порядка (лилия, шафран)
8-го порядка (космея, сангвинария)
и более высокого порядка, но особенно часто – 5-го (герань, лютик)
Не странно ли, что из этого стройного ряда выпадает семицветик? Природа
явно отдаёт предпочтение цветам с другим числом лепестков, в частности
22
кратным 3,4 или 5. А может, семицветик не был ею предусмотрен? Известно
ведь, что в неживой природе у безупречно симметричных кристаллов, из
которых состоят все твёрдые тела, поворотная симметрия 7-го порядка
принципиально невозможна, а в животном мире из всех видов симметрии
преобладает зеркальная; поворотная встречается куда реже и опять же другого
порядка…
И всё-таки семицветик нашёлся! В малочисленном роду Trientalis
(семейства первоцветных) всего-то три вида, из них два встречаются на
территории нашей страны.
Вот он - похожий на звёздочку белоснежный цветок многолетнего
травянистого растения седмичник европейский (или trientalis europaea).
Воочию полюбоваться этим обитателем елового леса можно в период
цветения, приходящийся на май-июль.
Вероятно, русское название «седмичник» произошло от слова «седмь» - семь
да так и закрепилось за диковинным растением: одиночный цветок с семью
лепестками в природе – явление и впрямь редкостное! И даже
исключительное, если учесть, что у данного растения к тому же 7
чашелистиков и 7 тычинок, в завязи выделяются 7 частей, а плод (коробочка)
раскрывается 7-ю створками и нередко содержит 7 семян. Даже листьев – и тех
зачастую бывает 7!
23
Любопытно, что в толковом словаре В.Даля упоминаются и другие
названия этого растения. В народе его прежде величали семитычинником, и
троичницей. Если первое название указывает на число тычинок цветка, то
второе, от латинского «triens» - третья часть, говорит о другой особенности
растения: длинна его цветоножки составляет примерно треть от длинны
стебля.
Остаётся добавить, что цветки семью лепестками встречаются и у некоторых
других видов, например у печёночницы благородной, но чаще лепестков
бывает всё-таки шесть или восемь.
24
Примеры снежинок под микроскопом и их схемы показывают наличие
поворотной симметрии.
25
Поворотная симметрия в искусстве.
Итак, в природе поворотная симметрия 7-го порядка – большая редкость.
Быть может, она свойственна творениям рук человеческих? Логично было бы
поискать подходящие образцы в декоративном искусстве: прикладном
(вышивке, росписи, резьбе, чеканке) и монументальной, связанной с
архитектурой (в витражах, мозаике, рельефах и пр.).
Здесь симметрия господствует как ни в каком другом виде искусства.
Свидетельства тому – художественные изделия и памятники зодчества,
созданные разными народами в разные эпохи. Поворотная симметрия чётко
прослеживается в круглом и круговом орнаментах, которыми украшают
одежду и предметы быта, фасады и интерьеры домов и других зданий.
Во все времена одним из наиболее популярных орнаментальных мотивов
был растительный, навеянный человеку самой природой. Растения для
орнамента выбирались разные: египтяне часто изображали лотос и папирус,
греки и римляне – листья аканта, европейцы эпохи Средневековья –
трилистник и т.д.
Вот несколько примеров. Во-первых, каменные цветы. Это не только
декоративные вазы и чаши, вроде тех, что изготовлял герой рассказов
П.Баженова Данила-мастер, но и фонтаны в парках, и венчающие колонны
капители. Во-вторых, украшающие потолки и стены рельефные орнаменты и
гипсовые розетки. В-третьих, роскошные витражи готических соборов:
нередко их узор тоже имеет «цветочное происхождение». Плоский цветочный
орнамент встречается в росписи блюд и подносов, аппликации на одежде,
рисунке плитки и паркета.
26
И что же мы видим? В декоративных элементах преобладает поворотная
симметрия порядка n, равного или кратного 3, 4 либо 5, но никак не 7.
Похожая картина наблюдается и в других случаях. Поворотная симметрия 7-го
порядка не нашла отражения ни в оригинальной форме окон, ни в строении
колонн, ни в конструкциях куполов и сводов, ни в общей планировке
сооружений. Выходит, семицветик – диковинка не только в природе, но и в
искусстве.
27
28
Выводы:
В результате выполненной работы было выяснено, что поворотная симметрия
свойственна большинству цветов. Наиболее часто встречается поворотная
симметрия n=5 порядка, а также 3,4,6,8.порядков. В животном мире
преобладает зеркальная симметрия. В неживой природе у безупречно
симметричных кристаллов, из которых состоят все твердые тела, поворотная
симметрия n=7 порядка принципиально невозможна.
Поворотная симметрия n=7 порядка нашлась у одного семейства цветов, в
природе оказалась большой редкостью. Практически не встречается 7 порядок
в архитектуре , декоративно-прикладном искусстве, орнаментах. Изученные
способы деления окружности на n-равных или почти равных частей дают
простор для развития фантазии в создании орнаментов, узоров паркетов,
витражей и т.д.
Список литературы:
1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Учебник геометрии 7-9класс.
2. Н.Карпушина «В поисках семицветика» Наука и жизнь №3 2009г.
3. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов Геометрия 9 кл, дополнительные главы
4. Г.И. Глейзер «История математики в школе» 7-8кл.
5. Я.П. Понарин Геометрия для 7-11 классов.