Контрольная работа по матанализу

Задание 1. Вычислить пределы:
1.
4n 6  n  5
;
lim
6
3
n  n  3n  1
1  2  3    n 2  n2 
;

n
3n 

2. lim 
3.
3x
lim
1 x  1 x
x 0
4.
;
lim ln( 3x  1)  ln( 3x  2);
x 
5.
lim 1  cos x 
x
lim
x 0
8.
3 x
;
tgx  sin x
;
x sin x
x( x  1)
lim x (1 
x 0
9.
lim
ч 0
10.
;
2
x  4
6. lim 

x   x  8 
7.
3
cos x
;
x
1 x2
 tg
;
x
2
lim 7 x
x 
x)
x 2  9x  6
2
 10 x 4  5 x
.
Задание 2.
Используя правило Лопиталя, вычислить пределы:
1.
e2x 1
lim
ч 0 ln 1  2 x 
2.
lim x 1 x
1
x 1
3.
lim (2 x  x)
1
x
Х 0
Найти точки экстремума функции:
4. y = x ln x;
5. y  1  3 ( x  4) 2 ;
6. y 
3  x2
.
x2
Найти абсциссы точек перегиба графика функции:
7. y 
1
2
 2;
4
x
x
8. y 
e  ln x
;
x
Найти вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты функции:
9. y 
3  4x 2
;
x2
10. y  2arctg x 
x 2  3x
.
x4
Задание 3.
1. Найти предел функции двух переменных


sin x 3  y 3
.
lim
x2  y2
x 0
y 0
U U

x y
3
3
2. Пусть U = x y – у x. Найти
U U

x y
.
x 1
y 2
3. Пусть U = x2y – у2x и х = U cos V, y = U sin V. Найти
U
V
U 1
.
V 0
4. Найти полный дифференциал первого порядка функции U=arctg (xy).
5. Найти полный дифференциал третьего порядка функции U=x2y.
6. Найти величину градиента функции U = x2 + y2 + z2 в точке (2; -2; -1).
7. Найти уравнение касательной к поверхности U = sin x * cos y в точке
  1
М  ; ;  .
 4 4 2
8. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (0;0) до членов
третьего порядка включительно функцию U (x; y) = ex sin y.
9. Найти максимум функции:
U
1
 x y
xy  45  x  y    .
2
3 4
10. Найти наименьшее значение функции U = x2 + y2 в круге:
x  2   y  2 
2
2
 9.
Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы.
2 х  arcsin x
1.

2.

3.
 x e
1 x2
х dx
3
x 2  43 x
2
x
dx , -1 < x < 1.
, x > 0.

 ln 2 x dx , x >0.
4.  x 3 ch3 xdx .
dx
5.
 5  4 sin x  3 cos x .
6.
 sin
7.
 x 1  x
8.

9.
dx
2
x  2 cos 2 x
dx
3
3
2
.
, x  0, x  1 .
x 3  x 4 dx, x  0 .
x 9 dx
 x
10.

4
 x

1
2
, x  1 .
xdx
2

 3x  2 x 2  4 x  3
, x  1  x  3.
Задание 5.
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами:
у2 + 8х = 16,
у2 – 24х = 48.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, уравнение
которой задано в параметрической форме x = 2 acos t – asin 2t, a > 0.
3. Вычислить площадь четырехлепестковой розы, уравнение которой задано
в полярных координатах:
  a sin 2 , a  0 .
4. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в декартовой
системе координат
x
1 2 1
y  ln y, 1  y  e .
4
2
5. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в
параметрической форме:
x  e t cos t , y  e t sin t , 0  t  ln  .
6. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в полярной
системе координат
  а (1  cos ), a  0 .
7. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной
кривыми y = sin x, y = 0 (0 ≤ x ≤ π), вокруг оси 0у.
8. Вычислить объем тела, полученного вращением одной арки циклоиды
(уравнение циклоиды задано в параметрической форме)
x  a (t  sin t ), y  a (1  cos t ), a  0 .
9. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением эллипса
x2 y2

 1 вокруг малой оси (эллипсоид вращения).
25 9
10. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки
циклоиды
x  a (t  sin t ), y  a (1  cos t ), a  0 вокруг оси 0у.