КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО СТАТИСТИКЕ
АВТОР: ИЛЬИНА Г.Г.,к.э.н.,
проф. кафедры « Финансы и банковское дело»,РОСноу.
Тема 1.Общее понятие о статистике.
План
1.Общее понятие о статистике и о ее предмете.
2.Основные категории статистики.
3. Основные задачи статистики.
4.Основные методы статистики.
1.Статистика-наука,которая изучает приемы и методы сбора и
обработки информации о каких –либо явлениях и процессах , происходящих
в общественной жизни.
Статистика имеет многовековую историю.Термин « статистика»
произошел от латинского слова status, что в средние века означало
политическое состояние государства. Впервые статистика как наука о
государстве – государствоведение встречается в работе « Описание
государства западных европейских стран» немецкого ученого Г.
Ахенваля в 1749г.Эволюция и становление статистики в России имеет три этапа:
1 Этап- Организационная статистика, период с11в. по середины 18 в(
летопись Нестора« Повесть временных лет»- 1059г.,подворные
переписи при правлении Ивана111 и Ивана1V-« переписные наказы», «
сказки» и т.д.Подушные переписи при Петре 1 и особенности.)
2.Этап.Описательная статистика. Период с середины 18 века до
начала 19 века.(работа Журавского « Описание Киевской
губернии»,1846г.; труды Карамзина, Чулкова,Ломоносова,Татищева)
3.Этапа Познавательная статистика. Начало 19 века до наших дней
Предметом статистики являются массовые случайные явления,
происходящие в общественниой жизни.
Статистика тесно связана с законом больших чисел: «Чем больше
число наблюдений, тем ярче вырисовывается та или иная
закономерность» ( пример).
2.Стастическая совокупность-совокупность элементов, образованных
по одному группировочному признаку.
Статистическая единица- элементы из которых состоит
статистическая совокупность.
Признаки бывают количественные и качественные( атрибутивные)
Статистический показатель- обобщающая величина качественнооднородной совокупности.
3.К основным методам статистики относятся:
1. Статистическое наблюдение.
2.Статистическая сводка,группировка и статистические таблицы.
3.Абсолютные и относительные величины.
4.Средние величины и показатели вариации.
5.Ряды динамики.
6.Статистические индексы.
7.Теория корреляционного анализа
8.Выборочный метод.
3.Основными задачами статистки являются:
1.Всесторонее исследование экономических и социальных процессов.
2.Способствует выявлению резервов эффективности экономических и
социальных процессов.
3.Прогнозирование тенденций развития национальных экономик.
4. Завершить переход на новую , принятую в международной практике
СНС.
5.Реформировать и совершествовать методоголию статистики в
новых рыночных условиях хозяйствования.
2
6.Повысить исполнитеь скую дисциплину по своевременному
представлению статистической отчетности в законодательные ,
управленческие ихозяйственные органы.
7.Всемирное расширение гласности.
8.Иметь четкую законодательную базу.
Тема2. Статистическое наблюдение.
План.
1.Статистическое наблюдение-исходная стадия статистического
исследования.Его виды.
2.План статистического наблюдения.
3. Способы статистического наблюдения.
4.Ошибки статистического наблюдения и пути их устранения.
Статистическое наблюдение –первый этап статистического
исследования.
Статистическое наблюдение-планомерно организованный сбор
информации о каких –либо явлениях или процессах, происходящих в
общественной жизни.
Статистическое наблюдение классифицируется по следующим
признакам:
- по объему охвата;
-по времени проведения статистического наблюдения.
По объему охвата статистическое наблюдение бывает сплошное и
несплошное.
Сплошное наблюдение – когда все единицы пдвергаются
наблюдения.Например, при проведении переписи населения
обследуется все население.
Несплошное наблюдение- когда часть статистической совокупности
подвергается наблюдению.Оно применяется в основном в тех случаях .
когда исследователя интересуют качественные показатели
3
статистической совокупности.несплошное наблюдение имеет ряд
преимуществ перед сплошным, т.к. можно более детально изучить
объекты исследования.
Принципы отбора единиц объекта , подлежащего статистическому
наблюдению делятся на 3-и вида :наблюдение основного массива,
монографическое и выборочное наблюдение.
Метод основного массива подразумевает исследование одного или
небольшого числа признаков у различных субъектов,которые наиболее
полно характеризуют изучаеме субъекты.Например, при изучении
эффективности ипользования трудовых ресурсов
машиностроительного комплекса целесообразно изучить уровень
производительности труда на предприятии этого комплекса.
Монографическое наблюдение- подробное описание объекта
исследования.Например, анализ финансового состояния предприятия.
Выборочное наблюдение-основной вид несплошного наблюдения.(
Более подробно см. в теме « Выборочное наблюдение»).
По времени проведения статистическое наблюдение может быть
прерывным или непрерывным.
Прерывное наблюдение- при котором регистрация признаков
производится по мере надобности через какие-то промежутки
времени.Оно может быть периодическим( переписи населения) и
единовременным или эпизодическим.
2.План статистического наблюдения включает следующие вопросы:
1.Цель и задачи статистического наблюдения.
2.Объект и единицы статистического наблюдения.
3. Вид статистического наблюдения.
4.Программа статистического наблюдения.
5. Время проведения наблюдения.
6. Инструкция по проведению статистического наблюдению.
4
4. Способы проведения статистического наблюдения бывают 3-х видов:
экспедиционный, корреспондентский и саморегистрации.
Экспедиционный способ- запись показателей со слов опрашиваемого
заносится в формуляры наблюдения.( Таким способом проводится
перепись в РФ).
Корреспондетский способ-почтовые формуляры доставляются чаще
всего почтой и заполняются респондентами самостоятельно.этот
способ экономичен и применяется в том случае, если есть уверенность
в правильности заполнения.( Таким способом производится перепись в
США).
Способ саморегистрации объединяет первые два способа сбора
информации и применяется во основном при социологических
опросах.(Например. при обследовании домашних хозяйств).
5. Ошибки статистического наблюдения бывают преднамеренные и
непреднамеренные.Непреднамеренные ошибки делятся на случайные
и систематические.
Виды контроля при статистическом наблюдении:арифметический,
счетный и логический.
ТЕМА 3 Статистическая группировка и статистическая таблица
ПЛАН.
1.Статистическая сводка и её понятие.
2. Статистическая группировка и ее виды.
3. Статистические таблицы и их виды по подлежащему и
сказуемомому.
4.Требования. предъявляемые к составлению статистических таблиц.
1.Статистическая сводка
– научно организованная
обработка материалов наблюдения (по заранее разработанной
программе), включающая в себя кроме обязательного контроля
собранных данных, систематизацию, группировку материалов,
составление таблиц, получение итогов по группам и в целом.
5
Программа сводки включает определение групп и подгрупп,
системы показателей и видов таблиц. По технике и способу
выполнения сводка может быть ручной либо механизированной.
2. Статистическая группировка – объединение единиц
статистической совокупности, однородные по какому-либо
признаку
в группы, однородные по каким-либо признакам.
Устойчивое разграничение объектов называется классификацией
или стандартом, в котором каждая атрибутивная запись может быть
отнесена лишь к одной группе или подгруппе. Метод группировки
основывается на двух категориях – группировочном признаке и
интервале.
Группировочный признак – признак, по которому происходит
объединение отдельных единиц совокупности в однородные
группы. Он может носить как количественный, так и качественный
характер. В ряде случаев группировка, которая представляется
чисто качественной, в конечном итоге оказывается основанной на
количественном признаке. Такова, например, классификация
промышленных предприятий по отраслям. Поскольку одно и то же
предприятие выпускает продукцию разных видов, статистика
решает этот вопрос по количественному преобладанию того или
иного вида.
Интервал очерчивает количественные границы групп и
представляет собой промежуток между максимальным и
минимальным значениями признака в группе. Интервалы бывают
равные, неравные, закрытые (когда имеется верхняя и нижняя
граница) и открытые (когда одна из границ отсутствует).
Статистические группировки и классификации преследуют
цели выделения качественно однородных совокупностей, изучения
структуры совокупности, исследования взаимосвязи факторных и
результативных
признаков.
Статистические
группировки
бывают
четырех видов: простые, аналитические, типологические и структурные.
Простыми
группировками
называются
такие
группировки,
которые
представляют перечень значений изучаемых признаков (например, география
рынков
сбыта
легковых
автомобилей
Land
Rover
no
странам).
Аналитическими группировками называются такие группировки, которые
6
изучают
связи
и
зависимости
между
анализируемыми
признаками
(например, зависимость средней стоимости потребительской корзины от
уровня дохода населения).
Пример построения группировки:
производственного стажа.
Группа рабочих
стажу, лет
зависимость
по Число рабочих, чел.
Выпуск
шт.
средней
выработки
продукции, Средняя
одного
шт/чел.
рабочих
от
выработка
рабочего,
До 1
1-5
5-10
Свыше 10
Типологическими группировками называют такие группировки, которые
образованы по типам изучаемых явлений (например, группировка рынков
сбыта кондитерских изделий по полу или по возрасту и т.д.). Структурная
группировка показывает, какой удельный вес занимает каждая группа во всем
объеме совокупности. Структурные группировки могут быть: простыми,
аналитическими и типологическими.
3.Статистическая таблица – это система строк и
столбцов, в которых в определенной последовательности и связи
излагается статистическая информация о социально-экономических
явлениях. Статистическая таблица – статистическая группировка,
имеющая итоговую строку .Статистическая таблица-это
логическое изложение цифрового материала о каких –либо
явлениях или процессах. Происходящих в общественной
жизни.Статистическая таблица состоит из подлежащего и
сказуемого. Подлежащее- значение изучаемого признака.Сказумоехарактеристика подлежащего.
По характеру подлежащего статистические таблицы
подразделяются на простые, групповые и комбинационные. В
подлежащем простой таблицы объект изучения не подразделяется
на группы, а дается либо перечень всех единиц совокупности, либо
указывается совокупность в целом. В подлежащем групповой
таблицы объект изучения подразделяется на группы по одному
признаку, а в сказуемом указываются число единиц в группах
(абсолютное или в процентах) и сводные показатели по группам . В
7
подлежащем
комбинационной
таблицы
совокупность
подразделяется на группы не по одному, а по нескольким
признакам и имеют частные и общий итог.
По виду сказуемого статистическая таблица делится на таблицы с
простой и со сложной разработкой сказуемого.
При построении таблиц необходимо руководствоваться следующими
общими требованиями.
1. Подлежащее таблицы располагается в левой (реже – верхней) части, а
сказуемое – в правой (реже – нижней).
2. Заголовки столбцов содержат названия показателей и их единицы
измерения.
3. Итоговая строка завершает таблицу и располагается в ее конце, но иногда
бывает первой: в этом случае во второй строке делается запись «в том
числе», и последующие строки содержат составляющие итоговой строки.
4. Простая таблица имеет итоговую строку, а комбинационная – частные и
общий итог.
5. Если вместо числа стоит тире следует понимать, что данные отсутствуют;
если вместо числа стоит многоточие следует понимать,что данные к
моменту регистрации фактов ещё не поступили; если вместо числа стоит
0,0.... млн. руб., следует понимать ,что это есть 26 тыс. руб
4.
ТЕМА 4.Абсолютные и относительные величины.
План.
1. Абсолютные величины и их характеристики.
2. Относительные величины и их виды.
1. Результаты статистических наблюдений регистрируются сначала
в виде абсолютных величин, отражающих уровень развития явления
или процесса. В статистике в отличие от математики все
абсолютные величины именованные, обладают конкретной
размерностью, а также могут быть положительными и
отрицательными.
Единицы измерения абсолютных величин отражают технические
или потребительские свойства и являются простыми, отражая одно
свойство (например, масса груза в т.), а также сложными, отражая
несколько свойств в их взаимосвязи (например, тонно-километр или
8
киловатт-час).
Единицы измерения могут быть натуральными, условнонатуральными и стоимостными. Первые применяются для
исчисления величин с однородными свойствами (например, штуки,
тонны, погонные метры, квадратные метры и т.д.). Недостаток в
том, что они не позволяют суммировать разнородные величины.
Условно-натуральные единицы измерения применяются к
абсолютным величинам с однородными свойствами, но
проявляющим их по-разному. Например, общая масса
энергоносителей (дрова, торф, каменный уголь, нефтепродукты,
природный газ) измеряется в т.у.т. — тонны условного топлива,
поскольку каждый его вид имеет разную теплотворную
способность, а за стандарт принято 29,3 МДж/кГ. Аналогично общее
количество школьных тетрадей измеряется в у.ш.т. — условные
школьные тетради размером 12 листов. Аналогично продукция
консервного производства измеряется в у.к.б. — условные
консервные банки емкостью 1/3 литра. Аналогично продукция
моющих средств приводится к условной жирности 40%.
Стоимостные единицы измерения выражаются в рублях или в
иной валюте, представляя собой меру стоимости каждой
абсолютной величины. Они позволяют суммировать даже
разнородные величины, но недостаток в том, что при этом часто не
учитывается негативное изменение экономических условий в виде
инфляции. Поэтому статистика стоимостные величины всегда
пересчитывает в сопоставимых ценах.
Смысловой набор абсолютных величин называется
статистической совокупностью, в которой их можно группировать
по характерным признакам: количественным и словесным.
Количественные признаки выражаются числами и могут быть
дискретными и интервальными. Так, возраст человека по паспорту
9
— признак дискретный, а возраст группы людей (от и до) —
признак интервальный.
Словесные признаки выражаются словами и, если слов только
два, признак называется альтернативным. Например, пол человека:
мужской или женский. Если выражающих слов больше двух, то
признак называется атрибутивным. Например, национальность,
профессия и т.п.
2. Относительная статистическая величина представляет собой
соотношение двух абсолютных величин и, если последние
однородны, имея одинаковую размерность, то относительная
величина получается безразмерной, принимая статус коэффициента.
Например, фондоотдача (оборачиваемость) как отношение
стоимости выпущенной продукции к стоимости основных фондов
является коэффициентом.
Часто применяется искусственная размерность коэффициентов
путем их умножения или на 100 (получают проценты), или на 1000
(получают промилле), или на 10000 (получают деципромилле). Две
последние размерности используются в статистике населения, где
коэффициенты и проценты выражаются очень малыми величинами.
Наиболее употребимы проценты.
Однако искусственная размерность коэффициентов удобна лишь
в разговорной речи и в отчетах, а в расчетах она только мешает, т.к.
сотни и тысячи «путаются под пером» и в конце концов
сокращаются. Поэтому существует «золотое» правило финансистов:
«Говорим и учитываем процентом — считаем коэффициентом».
Виды относительных величин
Относительные величины – это соотношение абсолютной величины
изучаемого явления к другой абсолютной величине, принятой за
базу сравнения. Они выражаются в % или коэффициентах.
10
Рассмотрим относительные величины выполнения плана (ОВВП),
относительные
величины
планового
задания
(ОВПЗ),
относительные
величины динамики (ОВД), относительные величины структуры (ОВС),
относительные величины координации (ОВКоорд.), относительные величины
интенсивности (ОВИ), относительные величины эффективности (ОВЭ).
Относительная величина выполнения плана измеряет, как выполнен
план:
ОВВП 
Ф
 100% , где
П
Ф – фактический выпуск,
П – плановый выпуск.
Относительная величина планового задания показывает насколько
изменится план по сравнению с фактически достигнутым уровнем
ОВПЗ 
П1
 100% , где
Ф0
«0» и «1» – базисный и отчетный периоды.
Относительная
величина
динамики
(по
фактическому
выпуску)
показывает, как изменился фактический выпуск в отчетном периоде по
сравнению с базисным:
факт .
ОВД 
Ф1
 100%
Ф0
Существует взаимосвязь между рассмотренными относительными
величинами:
факт .
ОВД  ОВВП  ОВПЗ
Относительная величина структуры измеряет отношение части к
целому и показывает, какой удельный вес занимает данный вид продукции.
Относительная величина координации измеряют соотношение частей
целого между собой (собственного и заемного капитала и т.д.).
11
ОВД интенсивности – характеризуют степень распространенности,
развития какого-либо явления в соответствующей среде – % рабочих высшей
квалификации, % брака и т.д.
ОВ эффективности – соотношение эффекта с ресурсами или затратами,
выработка продукции на единицу затрат времени (час, день) выпуск
продукции на 1 руб. затрат и т.д.
Тема5. Средние величины и показатели вариации.
План.
1.Средние величины , их виды и характеристика.
2. Средняя арифметическая величина простая и взвешенная.
3.Структурные средние : Мода, Медиана. Соотношение моды , медианы
и средней величины.
4. Степенные средние и порядок их расчета.
5.Показатели вариации и их виды.
6. Среднеквадратическое отклонение и дисперсия, их характеристики.
7. Коэффициент вариации- относителый показатель вариации.
8. Свойство об общих и частных средних и дисперсий.
Средние величины широко применяются в экономическом анализе.
Средние величины являются обобщающими характеристиками качественнооднородной совокупности, именованной величиной, а также абстрактной
величиной средней величины, как правило, не равны ни одному из
вариантов.
Существуют
различные виды
средних
величин:
средняя
арифметическая простая и взвешенная, средняя гармоническая, средняя
геометрическая, средняя хронологическая и др. Самой распространенной
средней
является
средняя
арифметическая.
Простая
средняя
арифметическая величина применяется тогда, когда каждая единица
статистической совокупности встречается один раз или одинаковое число
раз. Она равна:
x
x
n
, где
12
х – единицы (вариант) статистической совокупности,
n – объем совокупности.
Средняя взвешенная арифметическая тогда, когда каждый вариант
встречается неодинаковое число раз, в совокупности равна:
x
 xm
m
, где
m – частота, которая показывает, сколько раз каждый вариант встречается в
совокупности.
Например, при сдаче экзамена 24 студента получили следующие оценки:
пять студентов пятерки, десять студентов четверки, шесть студентов тройки
и три студента двойки. Надо найти средний балл студентов на экзамене.
Средний балл в группе равен:
x
 xm  2  3  3  6  4 10  5  5  89  3,71 балла
24
24
m
3. Структурные средние величины.
К структурным средним величинам относятся величины,которые
показывают
структуру
совокупности.К
ним
распределения
относятся
единиц
статистической
мода,
медиана.Мода-
вариант,который чаще всего встречается в совокупности,а медианавариант , который делит распределение пополам.
Кроме моды и медианы для характеристики структуры распределения
значений признака изучаются квартили: нижняя и верхняя. Квартиль нижняя
- QH (значение признака, который делит ряд распределения в отношении 1/4
к 3/4 всех ответов), квартиль верхняя - QB (квартиль верхняя, который делит
ряд распределения в отношении 3/4 к 1/4 всех ответов).
Показывает ассиметрия распределение признака соотношение Мо,Ме и
средней величины; а также соотношение полусуммы квартилей и медианы.
4.Степенные средние.
13
Средняя гармоническая величина применяется тогда, когда нет
достаточно исходных данных для её расчета. Она равна:
x гарм 
М
М
х
, где
М  х  m - произведение вариантов на соответствующие частоты.
Как показано выше средняя арифметическая взвешенная применяется
тогда, когда известны варианты х и их частоты m. А средняя гармоническая
взвешенная применяется тогда, когда отсутствует данные по частотам m, а
представлено произведение вариантов на частоты х  m  М .
Рассмотрим среднюю цену яблок по трем магазинам по следующим
данным.
Таблица 2
Цена и выручка от реализации яблок по 3-м магазинам
Исходные данные
Номер магазина
1
2
3
Цена х яблок,
руб/кг
Выручка М от
реализации, руб
16
18
20
3200
2700
1600
Итого:
Средняя цена 1 кг яблок =
 М  7500
Расчетные
данные
М
Количество
х
реализованных
единиц, кг
200
150
80

М
 430
х
Выручка от реализации
Количество реализованных единиц
Определяющим показателем в данном примере является числитель этой
«неявной формы средней», т.е. известна выручка от реализации М
(числитель), а количество реализованных единиц неизвестно, но может быть
найдена как частное от деления выручки от реализации (М) на цену яблок (х)
по каждому магазину. Таким образом, средняя цена яблок определяется по
средней гармоничной и равна:
14
x гарм 
М
М
х

7500
 17,44 руб.
430
В статистике существует негласные правила определения формулы
средней:
Правило 1. Если по неявной форме средней дан знаменатель, то средняя
определяется по формуле средней арифметической.
Правило 2. Если по неявной форме средней дан числитель, то средняя
определяется по формуле средней гармонической.
4. Показатели вариации.
Для полной характеристики статистической совокупности необходимо
рассчитать среднеквадратическое отклонение, которое изучает вариацию
внутри совокупности. Оно равно:

Изучить
степень
 ( x  x)
m
вариации
2
m
позволят
коэффициент
вариации
–
относительный показатель вариации, который равен:


x
 100%
Если коэффициент вариации менее 40%, то колебание внутри
рассматриваемой совокупности незначительная и совокупность качественно
однородна.
Если коэффициент вариации более 40%, то колеблемость внутри
совокупности значительная и совокупность неоднородна.
Тема 6. РЯДЫ ДИНАМИКИ.
ПЛАН.
1. Общее понятие о рядах динамики и их виды.
2. Средние уровни в рядах динамики.
3. Аналитические показатели рядов динамики базисные и цепные.
4. Экстраполяция и интерполяция.
15
5. Приведение ряда динамики к сопоставимому виду.
6. Определение общей тенденции развития явления- тренда методом:
6.1. скользящей средней;
6.2 аналитического выравнивания.
7. Индексы сезонности.
8. Прогнозирование ряда динамики методом:
8.1.точечных оценок;
8.2. интервальных оценок.
1.Ряд динамики — это последовательность упорядоченных во
времени количественных статистических величин, характеризующих
развитие изучаемого явления или процесса. Конкретное значение
величины называется уровнем ряда и обозначается Y, а их число в
ряду
обозначается
по
n.
времени
Ряды
—
динамики
классифицируются
моментные
и
по
интервальные,
которые показывают уровень явления на конкретный момент времени
или за определенный его период. По интервалам времени — ряды
динамики
бывают
интервалами
с
равноотстоящими
и
неравноотстоящими
времени.
2.Средние уровни
в
рядах
динамики.
В зависимости от вида ряда динамики алгоритмы средних величин
рассчитываются по разным формулам.
В интервальных рядах динамики средняя рассчитывается по
простой арифметической величине.
В моментных рядах динамики с равноотстоящими уровнями
применяется :
Средняя хронологическая величина применяется в моментных рядах
динамики с равноотстоящими уровнями.
Она равна:
y хронол.
y
y1
 y 2  y 3  ...  n
2 , где
 2
n 1
16
y1 и y 2 – уровни первого и последнего года
n – число лет.
Найдем среднегодовую численность населения России за 2002-2007 г.г.
по следующим данным:
Таблица 4
Динамика численности населения России за 2002-2007 г.г.1
Годы
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Численность населения
145
144,2 143,5 142,8 142,2 142,0
на конец года (млн.
чел.))
Среднегодовая численность населения с 2002 по 2007 г.г. в России
равна:
y хронол.
В
145
142
 144,2  143,5  142,8  142,2 
2  716,2  143,24 млн.чел.
 2
5
5
моментных
рядах
с
неравноотстоящими
периодами
применяется средняя взвешенная арифметическая величина.
3.Аналитические показатели рядов динамики бывают базисные и
цепные.Базисные- это когда последующие уровни сравниваются с
одним уровнем, принятым за базисный уровень. Цепные- это когда
последующие уровни сравниваютя с уровнями предыдущего периода.
Аналитические показатели динамики
бывают абсолютные
приросты, коэффициенты и темпы роста , коэффициенты и темпы
прироста; абсолютное значение одного процента прироста.( более
подробно см. уч-к Ильина Г.Г. Статистические приемы и методы в
рядах динамики», М.,РосНОУ,2004.С.88- 92.
Средние величины аналитических показателей.
Средняя геометрическая величина применяется в рядах динамики при
расчете среднегодового коэффициента или темпа роста на базе цепных
коэффициентов роста:
1
См. Россия в цифрах. 2008: Крат. стат. сб. / Росстат – М., 2008, с.29
17
y геометр. или k  n П ( ц k p ) , где
П ( ц k р ) ц k p1 ц k p2 ц k p3  ...ц k pn 
y
y 2 y3 y 4
   ...  n
y1 y 2 y3
y n1
–
произведение
цепных
коэффициентов роста
n – число коэффициентов роста
y – уровни ряда динамики
Рассчитаем среднегодовой рост пенсионеров в России за 4 года (с 2004
по 2007 г.г.) по следующим данным:
Таблица 3
Динамика численности пенсионеров (на конец года) в России1
Годы
2004
2005
2006
2007
Численность пенсионеров в
100,1
100,3
100,0
100,4
% к предыдущему году
(цепные темпы роста)
Среднегодовой рост пенсионеров равен (среднегодовой темп роста):
Т рост  n П ( ц k р )  100%  4 1,001  1,003  1,00  1,004  100%  4 1,08  100%  100,2%
4.Метод приведения рядов динамики к сопоставимому виду.
Так, на практике в рядах динамики встречаются случаи, когда одно и
тоже явление по годам выражается в различных измерениях (например,
переоценка имущества, уровень стоимости жизни и т.д.).
Для изучения в целом рядов динамики за весь рассматриваемый период
необходимо привести его к сопоставимому виду при помощи коэффициентов
пересчета.
Задача. Имеется динамика численности населения в N-м районе за семь
лет в старых и новых границах. Требуется привести ряд динамики к
сопоставимому виду (в новых границах).
Таблица 7
Численность населения в N-м районе с 2002-2008 г.г. (тыс.чел.)
1
См. Россия в цифрах. 2008: Крат. стат. сб. / Росстат – М., 2008, с.35
18
Годы 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
В старых границах
45
48
50
В новых ганицах
70
71,3
73,2
74,2
75
Решение: Предварительно определим коэффициент пересчета уровней в
2004 г., в котором произошло изменение границ: К  70 : 50  1,4 .
Умножая на этот коэффициент уровни ряда динамики в старых
границах, получаем их сопоставимыми с уровнями в новых границах.
В 2002 г. – 45  1,4  63,0 (тыс. чел.)
В 2003 г. – 48  1,4  67,2 (тыс. чел.)
Теперь получим сопоставимый ряд динамики.
Таблица 8
Численность населения в N-м районе с 2002-2008 г.г. (тыс.чел.)
Годы 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Сопоставимый ряд
63
67,2
70,0
71,3
73,2
74,2
75
Подробно материал пунктов :6,7,8 изложен в уч. пос автора : «
Статистические приемы и методы в маркетинге», с.98-106.
Тема 7.Статистические индексы.
Рассмотрим на примере использование индексного метода.
Задача. Имеются данные о цене и количестве реализуемых товаров 2-х
видов за 2-а смежных квартала. Определите индексы цен, физического
объема и стоимости, а также показать индексную и факторная взаимосвязь.
Таблица 13
Расчет индексов цен, физического объема и стоимости
Количество
Цена за единицу,
Стоимость реализованной
реализованной
тыс. руб.
продукции, тыс. руб.
продукции
Единиц
Вид
ы
Условна
това
измерен
I
II
I
II
I
II
я
ра
ия
кварт кварт кварт кварт кварт кварт стоимост
ал
ал
ал
ал
ал
ал
ь во 2-м
квартале
19
в ценах
1-го
квартала
А
А
Б
Б
л
кг
p0
p1
q0
q1
p0 q0
p1q1
p0 q1
1
1,0
4,0
2
1,5
10,0
3
1500
250
4
2000
200
5  1 3
6  24
7  1 4
1500
800
3000
2500
2000
1000
p q
0
Решение:
0
p q
1 1
p q
0 1
=2300 =5500
=3000
Прежде чем определить индексы, необходимо найти
стоимость реализованной продукции за I-ый и II-ой кварталы, а также
условную стоимость во II-м квартале при ценах I-го квартала (см гр.5, 6, 7
табл. 13).
А теперь построим индексную и факторную взаимосвязь и сделаем
выводы:
Индексная связь
J pq  J p  J q
5500 5500 3000


2300 3000 2300
2,39  1,83  1,3
Индекс стоимости  индекс цены  индекс физическог о объема
Фактическая взаимосвязь
pq  p  q
(5500  2300)  (5500  3000)  (3000  2300)( тыс. руб.)
3200тыс. руб.  2500тыс. руб.  700тыс. руб.
Прирост стоимости рост цен( за счет) увеличения объема реализации
Таким образом, в отчетном периоде (II квартале) по сравнению с
базисным (I квартал) стоимость реализованной продукции возросла на 139%
( J pq =2,39) за счет роста цен на 83% ( J p =1,83) и прироста объема
реализованной продукции на 30% ( J q =1,3), что составило в абсолютном
выражении прирост стоимости на 3200 тыс. руб., за счет роста цен прирост
стоимости составил 2500 тыс. руб. и увеличилась стоимость реализованной
продукции на 700 тыс. руб. за счет роста объема продукции; на сумму 2500
тыс. руб. произошел перерасход денежных средств у населения.
20
Надо отметить, что при построении индексов и изучении влияния
изменения
факторов
на
признак-результат
не
надо
соблюдать
последовательность факторов. Основным условием при формировании
индексов надо знать, что при построении индексов качественного состава
необходимо индексируемую величину взвешивать по весам отчетного
(текущего) периода. Индексы количественного состава соизмеряются при
помощи соизмерителей базисного периода ( J q 
 p q ).
p q
0
1
0
0
Тема 8. Метод корреляционного анализа.
План
1. Функциональные и корреляционные связи. Теория корреляции и её
основные задачи.
2. Виды корреляционной зависимости.
3. Графическое изображение корреляционной зависимости.
4. Показатели направления зависимости: эмпирическая линия регрессии
(для сгруппированных данных), теоретическая линия регрессии.
5. Показатели тесноты связи: коэффициент корреляции, эмпирическое
корреляционное
отношение
(для
сгруппированных
данных),
теоретическое корреляционное отношение (для сгруппированных и
несгруппированных данных).
6. Простейшие
показатели
тесноты
связи
(коэффициент Фехнера,
коэффициент корреляции рангов, коэффициент ассоциации).
7. Методы оценки существенности расчета коэффициента корреляции.
a. При большом объеме выборки
b. При малой выборки
8. Проверка возможности использования прямолинейной функции –
гипотезы Кендэла о линейной корреляционной зависимости.
21
1. Функциональные и корреляционные связи. Теория корреляции и её
основные задачи.
Одним из методов определения стохастической связи является метод
корреляционного анализа. Слово «correlation» в переводе с английского
языка означает взаимосвязь, соотношение, соответствие.
Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий, и
составляет содержание теории корреляции1.
В
предыдущей
6-ой
главе
подробно
рассматриваются
детерминированные – функциональные связи. Однако, чаще в экономических
исследованиях встрнечается вероятностные – стохастические зависимости,
которые являются неточными, нестрогими. Корреляционная связь является
частным случаем стохастической связи, как неполная, нежесткая связь.
Итак, связи между изучаемыми явлениями бывают функциональные
(детерминированными) и стохастическими (корреляционными).
Функциональные связи – зависимости, при которой изменению каждого
признака-фактора «х» соответствует изменение определенного признакарезультата «y». Длина окружности четко зависит от длины радиуса.
Корреляционные связи – зависимости, при которой изменению каждого
признака-фактора
«х»
соответствует
изменение
ряда
распределения
признака-результата «y».
Если при функциональной зависимости каждому значению факторного
признака соответствует только одно значение результативного признака, то
корреляционная зависимость появляется при большом числе наблюдений.
При корреляционной связи устанавливается лишь тенденция изменения
результативного признака при изменении факторного признака, т.е.
результативный признак показывает, как в среднем он изменяется в
зависимости от изменения признака фактора.
Задачи корреляционного анализа.
Основоположниками теории корреляции являются английские ученые Ф. Гальтон (1822-1911 г.г.) и К. Пирсон
(1857-1936 г.г.). Слово корреляция было заимствовано из естествознания и в математической статистике
обозначает взаимозависимости между случайными переменными величинами. – авт.
1
22
Основными задачами корреляции являются:
1. Определение направления зависимости между признаком фактором и
признаком результатов.
2. Определение тесноты связи.
Первая задача корреляции решается при помощи расчета эмпирической
линии регрессии (рассчитывается только для сгруппированных данных),
теоретической линии регрессии (различные математические функции в
зависимости от исходных данных).
Вторая задача корреляции – определение тесноты связи при помощи r –
коэффициента
корреляции
зависимости),
ρ
–
(применяется
эмпирическое
только
при
корреляционное
прямолинейной
отношение
для
сгруппированных данных), η – теоретическое корреляционное отношение.
2. Виды корреляционной зависимости.
Корреляционная связь классифицируется так же, как и функциональная
(см. тему 6) по направлению зависимость и по аналитическому
выражению.
По направлению связи могут быть прямыми и обратными. Примером
прямой связи может быть зависимость объема выпуска продукции от
производительности труда. С ростом выработки растет выпуск продукции. А
обратной связи – зависимость объема выпуска продукции от трудоемкости.
Чем ниже трудоемкость, тем выше объем выпускаемой продукции.
По аналитическому выражению связи бывают прямолинейными и
криволинейными (см. более подробно тема 6 §2 стр. 51).
Покажем на графике виды этих связей.
1-ый график. Связь прямая, прямолинейная
y
x
2-ой график. Связь обратная, прямолинейная
23
y
x
3-ий график. Связь прямая, криволинейная
y
x
4-ый график. Связь обратная, криволинейная
y
x
Рис.1 Графическое изображение видов корреляционной зависимости
3. Графическое изображение корреляционной зависимости.
В зависимости от исходных данных корреляция изображается поразному. Для несгруппированных данных на поле координат наносятся общие
точки. Точки не соединяются. Для сгруппированных данных на поле
координат строится корреляционное поле.
Несгруппированными данными называются такие, когда каждому
признаку-результату «y» ставится в соответствие признак-фактор «х».
Сгруппированными данными называются такие, когда каждому значению
признака-результата «y» ставится в соответствие ряд распределения значений
признака-фактора «х».
Пример. Имеются 50 предприятий, которые сгруппированы по товарной
продукции (тыс. руб.) и по производительности труда (руб./чел.). За признакрезультат «y» принята товарная продукция за признак-фактор «х» производительность труда.
Товарная продукция «y» сгруппирована по 5 группам: 5-15, 15-25, 25-35,
35-45, св. 45.
24
Производительность труда «х» сгруппирована по 4-м группам: до 7,5,
7,5-12,5, 12,5-17,5, св. 17,5.
Изобразим графически связь между «х» и «y» в виде корреляционного
поля. Точки, изображенные на поле корреляции обозначают общие
предприятия имеющие ту или иную выработку и объем товарной продукции.
Рассмотрим фрагментарно несколько предприятий:
№ Предприятий
Товарная продукция, Производительность
тыс. руб.
труда, руб./чел.
1
5
2,6
2
7
3,0
3
16
6,0
4
18
7,5
и т.д.
и т.д.
и т.д.
Например, первое предприятие имеет объем товарной продукции 5 тыс.
руб. и выработку – 2,6 руб./чел., значит общую точку надо поставить в общий
клетке 5-15 по «y» и 2,5-7,5 по «х» и т.д. Всех точек будет 50 (сколько
предприятий).
св. 45
.
35-45
25-35
...
15-25 .....
5-15
...
......
......
........
......
...
....
.
..
7,512,5Св.
xi
12,5
17,5
17,5
Рис.2 Корреляционное поле зависимости изменения товарной
продукции от производительности труда.
yi
до 7,5
Поле корреляции не дает картины направления зависимости. Оно
показывает, где точки сконцентрировались.
25
На основании корреляционного поля составим корреляционную таблицу
(см. табл. 14).
Таблица 14
Корреляционная таблица зависимости товарной продукции (y) от
производительности труда (х)
х
xi
y
yi
5
10
15
20
до
7,5
7,512,5
12,517,5
св.
17,5
100
50
св.
45
40
3545
30
2535 3
20
1525 5
10
515
2
120
3
90
180
150
7500
15
600
24000
20
600
18000
10
200
4000
2
20
200
90
3
80
4
3
240
6
6
100
y 2my
1
6
8
ym y
50
240
240
my
20
1
20
2
ym  ym
 m  m 
x
mx
ym x
yi 
ym x
mx
xmx
xymx
2
x mx
bx( 1,162 x)
y i  16,875  bx
yi  y
( y i  y )m x
10
15
15
10
210
440
540
380
21
29,3
36
38
50
1050
250
5,81
22,68
5
-10,4
-104
150
4400
150
11,62
225
8100
3375
17,43
200
7600
4000
23,24
28,495
34,305
40,115
-21
-31,5
4,6
69
6,6
66
x
=50
y
y
=1570
y
2
my
=53700
 xm  625
 xym  21150
 x m  9125
x
x
2
x
26
( y i  y ) 2 mx
1081,
66,15
317,4
6
yx  y
-2,905 2,905
8,715
( y x  y )m x
-43,575 43,575
87,15
( y x  y) 2 mx
759,5 126,58
126,58
1
5
5
Для удобства расчета всех
( y
435,6
 y) 2 mx  1900,75
i
8,715
87,15
(y
759,51
x
 y) 2 mx  1772,2
показателей выпишем из корреляционной
таблицы необходимые расчетные показатели.
n   mx  m y  50
 xm
x
x
2
 625
mx  9125
 ym
y
2
 1570
(y
i
 y ) 2 m y  1900,75
m y  53700
(y
x
 y) 2 m x  1772,2
y
 xym
x
 21150
4. Показатели направления зависимости: эмпирическая линия регрессии
(для сгруппированных данных), теоретическая линия регрессии.
Эмпирическая линия регрессии показывает как в среднем изменяется
признак-результат «y» в зависимости от изменения признака-фактора «х» при
условии неизменности всех остальных факторов. Эмпирическая линия
регрессии применяется только для сгруппированных данных, она равна:
yi 
 ym
m
x
x
Втором показателем направления зависимость является теоретическая
линия регрессии, которая показывает как в среднем изменяется признакрезультат «y» в зависимости от изменения признака-фактора «х» при полном
исключении всех остальных факторов.
Теоретическая
линия
регрессии
строится
по
результатам
математическим функциям в зависимости от исходных данных1.
Более подробно см. Ильина Г.Г. Статистические приемы и методы в маркетинге: Учеб. пос. – М.: РосНОУ, 2004,
с. 105-106
1
27
Теоретическая линия регрессии по прямой равна:
y x  a  bx , где
а – параметр, который показывает высоту графика и экономического
смысла не имеет;
b – коэффициент регрессии, который показывает, на сколько в среднем
изменится признак-результат «y» при увеличении признака-фактора «х» на
единицу измерения (то есть параметр b изучает направление признакарезультата).
Для определения параметров (а и b) необходимо решить систему
нормальных уравнений.
Для несгруппированных данных:

 y  an  b x

2

 xy  a  x  b x
Для сгруппированный данных:

 ym y  an  b xmx

2

 xymx  a xm x  b x m x
Показатели
направления
зависимости
для
сгруппированных
данных.
Рассчитаем эти показатели для сгруппированных данных по данным
корреляционной таблице.
Значения эмпирической линии регрессии следующие:
для x1  5
y i1 
210
 21тыс. руб.
10
для x2  10
y i2 
440
 29тыс. руб.
15
для x3  15
y i3 
540
 36тыс. руб.
15
для x4  20
y i4 
380
 38тыс. руб.
10
Нанесем эти значения на графики – на поле корреляции.
28
Находим параметры (а и b) при помощи системы нормальных
уравнений:
1570  a  50  b  625

21150  a  625  b  9125
Получаем значение параметров:
a  16,875
b  1,162
Коэффициент
регрессии
b
показывает,
что
с
увеличением
производительности на 1 руб./чел., товарная продукция вырастает на 1,162
тыс. руб.
Теоретическая линия регрессии равна:
y x  16,875  1,162 х
Значение теоретической линии регрессии такие:
для x1  5
y x1  22,685тыс. руб.
для x2  10
y x2  28,495тыс. руб.
для x3  15
y x3  34,305тыс. руб.
для x4  20
y x4  40,115тыс. руб.
Нанесем на рисунок теоретическую линию регрессии.
Показатели направления зависимости для несгруппированных
данных.
Рассчитаем показатель направления зависимости – теоретическую
линию регрессии для несгруппированных данных. Для этого на основании
таблицы
15
определим
направление
зависимости
среднесуточного
производства продукции «y» (тыс. руб.) от «х» - простоев (в % к
календарному времени работы).
Таблица 15
Зависимость среднесуточного производства продукции от простоев
Просто Средне
yx  y
№ й в % суточн
y2
y x  a  bx
y  y ( y  y)2
( y x  y)2
xy
bx
x2
п/п
к
ое
календ произв
29
арному одство
времен продук
и
ции,
работы
тыс.
шт.
«х»
«y»
А
1
2
6
3  12
7  a  6 8  2  y 9  82 10  7  y 11  10
4  22 5  1 2
1
35,5
3,8 1260,25 14,42 134,9 -7,7
2,62 -2,88 8,2944 -4,06 16,4836
2
29,5
3,7
870,25 13,69 109,15 -6,4
3,92 -2,98 8,8804 -2,76 7,6176
3
24,2
4,2
585,64 17,64 101,64 -5,22
5,1
-2,48 6,1504 -1,58 2,4964
4
17,9
5,4
320,41 29,16 96,66 -3,88 6,44 -1,28 1,6384 -0,24 0,0576
5
14,5
6,5
210,25 42,25 94,25 -3,12 7,22 -0,18 0,0324 0,52 0,2704
6
10,4
7,9
108,16 62,41 82,16 -2,26 8,06 1,22 1,4884 1,38 1,9044
7
9,3
9,1
86,19 82,81 84,63 -2,02
8,3
2,42 5,8564 1,62 2,6244
8
9,1
9,1
82,81 82,81 82,81 -1,97 8,35 2,42 5,8564 1,67 2,7889
9
9,0
8,8
81 77,44 79,2 -1,92
8,4
2,12 4,4944 1,72 2,9584
10
8,8
8,3
77,44 68,89 73,04 -1,91 8,41 1,62 2,6244 1,78 2,9929
итог
y2
хy
( y  y)2
( y x  y) 2
2




y
 х
о  x =168,2  y =66,8  x =491 =938,4
=45,31
=40,194
=66,8
=3682,7 ,54
4
6
6
Найдем параметры теоретической линии регрессии - y x  a  bx1 , при
2
помощи решение системы нормальных уравнений.

 y  an  b x

2

 xy  a  x  b x
66,8  10a  168,2b

938,44  168,2a  3682,7b
Получаем значение параметров:
a  10,32
b  0,21689
-
коэффициент
регрессии
показывает, что с ростом простоев на 1% к календарному времени работы
среднесуточное производство продукции снизилось на 0,21689 тыс. шт. или
на 216,89 шт.
Теоретическая линия регрессии равна:
y x  10,32  (0,21689) х
Значение теоретической линии регрессии такие:
30
для:
x1  35,5
y x1  2,62
x2  29,5
y x2  3,92
x3  24,5
y x3  5,1
x4  17,9
y x4  6,44
x5  14,5
y x5  7,2
x6  10,4
y x6  8,06
x7  9,3
y x7  8,3
x8  9,1
y x8  8,35
x9  9,0
y x9  8,4
x10  8,8
y x10  8,41
Надо отметить, что при выборе вида теоретической линии регрессии
можно
не
только
воспользоваться
графическими
изображениями
эмпирических данных и эмпирическим путем определять вид направления
зависимости, но и можно использовать метод конечных разностей между
последующими и предыдущими вариантами.
Так если первые разности между последующими и предыдущими
вариантами одинаковы, т.е. xi  xi 1   , то теоретическая линия регрессии
выражается линейным уравнением y x  a  bx .
Если вторые разности вариантов рядов распределения одинаковые, т.е.
'i'  'i  'i 1 , то теоретическая линия регрессии выражается параболой
второго порядка y x  a  bx  cx2 . Данное уравнения позволяет выявить не
только скорость изменения вариантов «х», которую отражает коэффициент
регрессии – «b», но и ускорение, которое учитывает параметр «с».
Для определения параметров a, b и с решаются следующие уравнения
нормальных уравнений:
Для несгруппированных данных:
31
 y  an  b x  c  x 2


2
3
 xy  a  x  b x  c  x

2
2
3
4

 xy  a  x   x  c  x
Для сгруппированных данных:
 ymy  an  b xmx  c  x 2 mx


2
3
 xymx  a  xmx  b x mx  c  x mx

2
2
3
4

 xy mx  a  x mx   x mx  c  x mx
Надо отметить, что криволинейную тенденцию во многих случаях
можно аппроксимировать при помощи параболы более высокого порядка:
y x  a  bx  сx2  dx3  ...  ktn
Существуют и другие методы при выборе формы уравнения1.
5. Показатели тесноты связи: коэффициент корреляции, эмпирическое
корреляционное отношение (для сгруппированных данных),
теоретическое корреляционное отношение (для сгруппированных и
несгруппированных данных).
Показатели тесноты связи показывают, какой удельный вес занимает
признак-фактор «x» среди всех факторов, влияющих на признак-результат –
«y». Они отвечают на вопрос: насколько необходимо изучение данной связи
между признаками и целесообразности её практического применения, а
также позволяет выявить наиболее значимые факторы, которые являются
решающими при формировании результативного признака.
Коэффициент корреляции2 r является показателем тесноты связи. Он
измеряется так же и направление зависимости.
Коэффициент корреляции равен:
Для сгруппированных данных:
Более подробно см. Ильина Г.Г. Статистические приемы и методы в маркетинге: Учеб. пос. – М.: РосНОУ, 2004,
с.106
2
Коэффициент корреляции был предложен английским математиком К. Пирсоном.
1
32
r
n x
n xymx   xmx  ym y
2

m x  ( xmx ) 2  n y 2 m y  ( ym y ) 2

Для не сгруппированных данных:
r
n x
n xy   x y
2

 ( x ) 2  n  y 2  ( y ) 2

Если коэффициент корреляции принимает значение:
- от 0 r до 0,45, то связь между х и y – слабая
- от 0,4 r до 0,6, то связь между х и y – средняя
- от 0,6 r до 0,8, то связь между х и y – сильная
- от 0,8 r до 1 – очень тесная
Кроме того, коэффициент корреляции, как указано выше, показывает
направление зависимости.
Если коэффициент корреляции принимает значение: от -1 до 0, то связь
обратная.
Если коэффициент корреляции принимает значение от 0 до 1 – то связь
прямая. Если r = 0, то связь отсутствует, если r = 1, то связь функциональная.
Коэффициент корреляции применяется только для прямолинейной связи.
Эмпирическое корреляционное отношение – ρ, которое является
универсальным показателем тесноты связи, так как применяется для прямо
или криволинейной зависимости. Но в отличие от коэффициента корреляции,
этот показатель не показывает направления связи. Он применяется только
для сгруппированных данных. Эмпирическое корреляционное отношение
равно:
y

y
y
2
i
2
 ( y  y)

m
i
2
mx
2
i
 y2
, где
- дисперсия по эмпирической линии регрессии
x
 ( y  y)

m
x
2
mx
y m

m
2
или  y
2
y
y
(
 ym
m
y
) 2 - общая дисперсия
y
33
Степень тесноты связи у эмпирического корреляционного отношения
такая же как у коэффициента корреляции.
При
прямолинейной
зависимости
эмпирическое
корреляционное
отношение всегда будет немножко больше, чем абсолютное значение
коэффициента корреляции.
Теоретическое корреляционное отношение –  
y
2
x
 y2
, где:
Для сгруппированных данных:
y
 ( y  y)

m
2
2
mx
i
x
- дисперсия по теоретической линии регрессии
x
Расчет:  y 2 общая дисперсия см. выше
Для несгруппированных данных:
y
y
y

2
(y
x
 ( y  y)

m
2
i
x
- дисперсия по теоретической линии регрессии
n
x
2
 y) 2
2
mx
- дисперсия по теоретической линии регрессии
x
 ( y  y)

n
Поэтому,
2
- общая дисперсия
для
несгруппированных
данных
теоретическое
корреляционное отношение примет такой вид:

 ( y  y)
 ( y  y)
2
i
2
Теоретическое корреляционное отношение так же, как и эмпирическое
корреляционное отношение является универсальным показателем, так как
применяется при прямолинейной и криволинейной зависимости.
Степень тесноты связи у теоретического корреляционного отношения
такая
же
как
у
коэффициента
корреляции
и
у
эмпирического
корреляционного отношения.
При
прямолинейной
зависимости
теоретическое
корреляционное
отношение будет всегда равно коэффициенту корреляции. А эмпирическое
34
корреляционное
отношение
всегда
будет
незначительно
больше
теоретического корреляционного отношения.
Рассмотрим показатели тесноты связи для сгруппированных данных.
Для расчета воспользуемся корреляционной таблицей зависимости товарной
продукции «y» от производительности труда «х» (см. табл. 14).
Коэффициент корреляции равен:
r

n x m
n xymx   xmx  ym y
2
x

 ( xmx )  n y m y  ( ym y )
2
2
2


50  21  150  625  1570
625 2  
1570 2 

50  9125  ( 50 )  50  53700  ( 50 ) 
76250
 0,635 или 63,5%, т.е. связь между производительностью труда и
120145,49
товарной продукцией будет тесная, прямолинейная корреляционная, на
63,5%
изменения
товарной
продукции
зависят
от
изменения
производительности труда, и на 36,5% - от других факторов (учтенных и не
учтенных).
Эмпирическое корреляционное отношение равно:
y

y
2
i
y
 ( y  y)

m
2
i
y
y

x
 ym
2 m

y
y
y m

m
2

38,015
 0,43  0,66 , где
88,04
1900,75
 38,015
50
1570
 31,4
50
2
2
mx
2
i
y
(
y
 ym
m
y
)2 
y
53700 1570 2
(
)  1074  985,86  88,04
50
50
Таким образом, связь между производительностью труда и товарной
продукцией будет тесная, корреляционная; на 66% изменение товарной
продукции зависит от изменения производительности труда.
Теоретическое корреляционное отношение равно:

y
2
x
y
2

35,444
 0,4026  0,635 или 63,5%
88,04
35

y
2

x
 ( y  y)
m
2
x
mx
x

1772,2
 35,444
50
 y 2  88,04 1
Таким образом, связь между производительностью труда и товарной
продукцией будет тесная, корреляционная; на 63,5% изменение товарной
продукции зависит от изменения производительности труда. Мы видим, что
  r  0,635 .
Далее рассчитаем показатели тесноты связи для несгруппированных
данных на основе таблицы …
Коэффициент корреляции равен:
r

n x
n xy   x  y
2

 ( x )  n  y  ( y )
2
2
2


10  938,44  168,2  66,8
10  3682,7  (168,2) 10  491,54  (66,8) 
2
2

 1851,36
 0,94.или.  94%
1966,7396
Связь между среднесуточным производством продукции и простоями
будет обратная, довольно-таки тесная; т.е. на 94% среднесуточное
производство зависит от снижения простоев, а на 6 % от других факторов.
Теоретическое корреляционное отношение равно:

 ( y  y)
 ( y  y)
2
x
2

40,1946
 0,887  0,94
45,316
Таким образом, связь между среднесуточным производством продукции
и простоями будет довольно таки тесная и на 94% среднесуточное
производство зависит от простоев.
6. Простейшие показатели тесноты связи (коэффициент Фехнера,
коэффициент корреляции рангов, коэффициент ассоциации).
1
Расчет
 y2
см. выше
36
Рассмотрим ряд простейших показателей тесноты связи, которые
приблизительно измеряют зависимости между признаком-фактором «х» и
признаком-результатом «y».
Коэффициент Фехнера (1801-1887 г.г.) измеряет тесноту связи по числу
совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней. Степень
тесноты связи такая же как у коэффициента корреляции. Он равен:
k фехн . 
сн
, где
сн
с – число совпадений знаков отклонений индивидуальных значений от
средней по признаку-фактору – «х» и признаку-результату «y».
н – число несовпадений знаков отклонений.
Этот показатель принимает значение от -1 до +1. Если знаки всех
отклонений совпадут, то н = 0 и тогда k фехн . = +1, что говорит о возможном
наличии прямой связи.
Если же знаки всех отклонений – разные, то с = 0 и k фехн . = -1, что
говорит о возможном наличии обратной связи. Рассчитаем этот показатель
(см. табл. 16). Рассчитаем средние величины по «х» и по «y».
Таблица 16
Расчет коэффициентов Фенхера и корреляции рангов Спирмэна
Среднеспи
сочная
численнос
№п/п
ть
работнико
в «х»
400
1
460
2
1000
3
1300
4
2000
5
300
6
900
7
1100
8
Товарна
я
продукц
ия,
тыс.руб.
«y»
2,5
5,0
6,0
3,0
1,6
2,0
1,5
10,5
xx
y y
Совпадение
или
несовпадение
знаков
+
+
+
+
+
+
+
с
н
с
н
н
с
с
с
Px
Py
d  Py  Px
d2
2
3
5
7
8
1
4
6
4
6
7
5
2
3
1
8
+2
+3
+2
-2
-6
+2
-3
+2
4
9
4
4
36
4
9
4
37
итого
с=5
н=3
Средняя списочная численность рабочих равна:
7460
+11
-11
32,1
x
d
=74
 x  7460  932,5чел.
n
8
Средний объем товарной продукции равна:
y
 y  32,1  4,01тыс. руб.
n
8
Затем находим отклонения от средних величин и посчитаем число
совпадений и несовпадений знаков.
Коэффициент Фехнера составит k фехн . 
слабой
связи
прямой
между
списочной
53 2
  0,25 , что говорит о
53 8
численностью
и
товарной
продукцией.
Этот показатель целесообразно использовать для установления факта
наличия при небольшом объеме исходной информации.
Коэффициент корреляции рангов Спирмэна равен:
 ранг.  1 
6 d 2
n(n 2  1)
, где
n – количество рангов
d  Py  Px – разность между рангов
Р – ранг (порядковые номера вариантов).
Он варьирует от -1 до +1 и измеряет тесноту связи при небольшом
количестве исходной информации и измеряет тесноту связи как между
количественными, так и между качественными признаками при условии, что
значение этих признаков могут быть проранжированны по степени убывания
или возрастания. Коэффициент корреляции рангов Спирмена равен:
 ранг  1 
2
6  74
 0,12 или 12%
8(8 2  1)
Теснота связи между признаком «x» и признаком «y» - слабая, прямая.
38
Коэффициент ассоциации применяется для изменения тесноты связи
для качественных альтернативных признаков. Он равен:
k асс. 
ad bc
, где
ad  bc
a – противоположно b
c – противоположно d
Расчетная таблица в этом случае состоит из четырех ячеек (таблица
«четырех полей»), стратегическое сказуемое, которое схематически может
быть представлено в следующем виде (см. табл. 17)
Таблица 17
Расчетная таблица для коэффициента ассоциации
Оценки
Студенты
Работающие
специальности
Работающие
специальности
Неудовлетво
-рительные
оцени
по
а
b
138
12
не
по
c
d
102
48
Итого:
240
60
Коэффициент ассоциации равен:
k асс. 
Положитель
ные оценки
Итого:
150
150
300
138  48  102  12
 0,688 или 68,8%
138  48  102  12
Данный показатель показывает частоту связи между показателями
оценок, работающего по специальности и не по специальности. Связь между
показателями будет тесная (68,8%), т.е. чем больше студенты будут работать
по специальности, тем больше будет положительных оценок.
7. Методы оценки существенности расчета коэффициента корреляции.
Как правило расчет коэффициента корреляции при определении тесноты
связи производится на базе небольшого числа исходных данных –
выборочных данных.
39
В этой связи возникает необходимость оценить существенности
коэффициента корреляции, которая дает возможность распространить
выводы по результатам выборочных данных на генеральную совокупность.
Критерии оценки существенности расчета коэффициента корреляции
основаны на условии нормального распределения значений признака в
генеральной совокупности. Рассмотрим некоторые из них: при большом
объеме выборки и при малом объеме выборки.
7.1 При большом объеме выборки
При большой выборке, отобранной из генеральной совокупности
нормального
распределения,
предполагается
считать
распредение
коэффициента корреляции близко к нормальному со средней, равной «r» и
дисперсией  r2 
(1  r 2 ) 2
, а среднеквадратическая ошибка коэффициента
n2
корреляции тогда будет равна:
r 
1 r2
n2
, где
r – коэффициент корреляции выборочной совокупности;
n – объем выборки;
k = n – 2 – число степеней свободы при линейной зависимости.
Если величина r >  r в t раз, или t расч. 
Найдем
для
сгруппированных
r
r
> t 1
данных
(см.
таб.
14)
среднюю
квадратическую ошибку коэффициента корреляции:
r 
1  0,635 2
n2

0,596775
t расчет. 
1
t

48
0,635
0,08614
 0,08614 , тогда
 7,37
- табличные значения t – критерия Стьюдента
- уровень значимости
40
С вероятностью0,95 и числом степеней свободы k = 50 – 2 = 48,
t ( табл)  1,96 1.
Поскольку t расчет . > t (табл ица) , следует, что с вероятностью Р = 0,95 и числом
степеней свободы k = 48 можно утверждать о существенности выборочного
коэффициента корреляции, т.е. связь между х и y – значимая.
Для
генеральной
совокупности
коэффициент
корреляции
будет
находится в пределах.
r  t
0,635  1,96
1 r 2
n2
1  0,635 2
50  2
 rген.  r  t
1 r 2
n2
 rген.  0,635  1,96
1  0,635 2
50  2
0,635  1,96  0,08614  rген.  0,635  1,96  0,08614
0,466  rген.  0,804
или
46,6%  rген.  80,4%
С вероятностью 0,95 можно утверждать, что коэффициент корреляции
будет не ниже 46,6% и не выше 80,4%.
7.2 При малой выборки
Для малого объема выборочной совокупности t расчет. 
r n2
1 r2
для оценки
значимости коэффициента корреляции.
Если t расчет . > t (табл.) , то расчетный коэффициент корреляции существенен
и связь между х и y вполне реальна. Если t расчет . < t (табл.) , то связь между х и y
несущественна и корреляционная связь в генеральной совокупности
отсутствует.
По данным таблицы 15
1
По таблице Значения
занятости


- процентных пределов
t ,k
в зависимости от k степеней свободы и заданного уровня
для распределения Стьюдента, см. прил. 1, стр. 164.
41
t расчет. 
 0,94 10  2
1   0,94
2
 7,8 , а с вероятностью 0,95 и числом степеней свободы k
= 10 – 2 = 8, t ( табл)  2,306 1.
Значит связь между х (простоями) и y – (выпуском продукции)
существенна, т.к.
t расчет . > t (табл.)
8. Проверка возможности использования прямолинейной функции –
гипотезы Кендэла2 о линейной корреляционной зависимости.
Для проведения гипотезы Кендэла о линейной зависимости определяется
величина вероятности, которая рассчитывается по следующей формуле:
F
2
расч.

 2  ч2 1  2
m2
:
3
nm
, где
n – объем совокупности
m – число групп по признаку фактору х
Если критерий F расч. найденный с определенной вероятностью и
критериями свободы ( k1  m  2 и k 2  n  m ) будут меньше F расчетного, то
гипотеза о линейной связи между х и у отвергается. Если наоборот – то
возможность использовать линейную функцию не опровергается.
По данным таблицы 14 рассчитаем этот критерий.
Критерий
свободы
k1  m  2  4  2  2 ,
а
k 2  n  m  50  4  46 .
С
вероятностью Р  0,95 , k1  2 и k 2  46 табличное значение Fтабл. - критерия 4 =
3,2.
Расчетный критерий равен:
2
Fрасч
. 
0,66 2  0,635 2 1  0,66 2
:
 1,3
2
46
См. прил. 1, стр. 164.
Доказательство этого свойства приведены в книге: Дж. Эдни, М.Дж. Кендэл «Теория статистики» М.,
Госстатиздат, 1960 г., 300 с.
3
Применяется эта формула только для сгруппированных данных.
4
См. прил. 2, стр. 165.
1
2
42
2
Поскольку Fрасч
.  1,3 меньше Fтаб  3,2 , то это не позволяет отклонить
гипотезу о линейной связи между производительностью труда – х и товарной
продукцией – y.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое функциональные и корреляционные связи?
2. Какие задачи стоят перед корреляционным анализом?
3. Назовите виды корреляционной зависимости и рассмотрите их.
4. Как графически изображается корреляционная зависимость для
несгруппированных и сгруппированных данных?
5. Эмпирическая линия регрессии и её характеристика.
6. Теоретическая линия регрессии и её характеристика.
7. Показатели тесноты связи и их характеристика.
8. Сущность коэффициента корреляции.
9. Характеристика эмпирического корреляционного отношения.
10.Теоретическое корреляционное отношение и его характеристика.
11.Простейшие показатели тесноты связи: коэффициент Фехнера,
коэффициент корреляции рангов, коэффициент ассоциации.
12.Методы оценки существенности расчета коэффициента корреляции.
13.Гипотеза Кендела о линейной корреляционной зависимости.
Тема 9. Выборочный метод.
План
1. Общие понятия о выборочном методе и причины, вызывающие
выборочное обследование.
2. Условия правильности проведения выборочного отбора.
3. Задачи выборки.
4. Способы отбора.
1. Общие понятия о выборочном методе и причины, вызывающие
выборочное обследование.
43
Приемы выборочного метода используется для более объективной
оценки основных характеристик изучаемых явлений для более углубленного
анализа изучаемого явления.
При выборочном наблюдении изучается только часть совокупности,
которая
отбирается
по
определенным
правилам,
обеспечивающим
беспристрастность отбора единиц. Эти правила основаны на законе больших
чисел и теории вероятностей.
Обобщающие
показатели,
полученные
по
отобранной
части
совокупности, распространяются на всю совокупность.
Математическая статистика располагает методами анализа выборочных
данных, при применении которых эти обобщающие показатели достаточно
точно отражают, воспроизводят соответствующие показатели совокупности в
целом.
Это позволяет использовать выборочное наблюдение в следующих
целях:
– в случаях, когда изучаемая совокупность очень велика и поэтому не
может быть практически охвачена сплошным наблюдением;
– с целью экономии сил, средств и времени;
– с целью расширения программы обследования – чем меньше
отобранная часть, тем более детально ее можно изучить;
– в случаях, когда изучение единиц совокупности сопровождается их
порчей или уничтожением, например, при определении качества товаров
(крепость ткани, нити, продолжительность горения электролампы).
В экономике выборочное наблюдение применяется очень широко. Так, в
промышленности
оно
применяется
для
контроля
качества
готовой
продукции, в сельском хозяйстве – для определения урожайности, в торговле
– для определения естественной убыли, установление конъюнктурного
ассортимента товаров при проведении маркетинговых исследованиях.
Генеральная и выборочная совокупности
44
Вся совокупность, из которой производится отбор некоторого числа
единиц
для
выборочного
наблюдения,
называется
генеральной
совокупностью.
Часть
генеральной
совокупности,
отобранная
для
обследования,
называется выборочной совокупностью.
Принятые условия обозначения выборки:
N – объем генеральной совокупности
n – объем выборочной совокупности
x0 – средняя величина генеральной совокупности
p 0 – генеральная доля, т.е. соотношение числа единиц m в генеральной
совокупности обладающих данным значением признака ко всей численности
генеральной совокупности
pв
– выборочная доля, т.е. отношение числа единиц в выборочной
совокупности обладающих данным значением признака ко всему объему
выборки
 в – среднеквадратичное в выборочном случайном отборе
 i2 – средняя из внутригрупповых дисперсий для типичного отбора равна:

2
i
  n

n
2
i
i
i
q0  1  p0 - вероятность не появления события в генеральной совокупности
qв  1  pв - вероятность не появления события в выборочной совокупности
Средняя из противоположенных долей изучаемых явлений:
pi  qi 
 p q
n
i
i
 ni
i
Средняя доля для типического отбора:
pi 
 p n
n
i
i
i
2. Условия правильности проведения выборочного отбора.
45
Основное условие – случайность отбора, репрезентативность или
представительность отбора.
Ошибки
репрезентативности
могут
быть
систематическими
и
случайными. Случайные возникают в том случае, если выборочная
совокупность недостаточно представительна. Систематические возникают
при нарушении установленных правил отбора единиц.
Величина
случайных
ошибок
определяет
надежность
данных
выборочных наблюдений, их пригодность для суждения о генеральной
совокупности. При помощи формул теории вероятности можно рассчитать
возможную
максимальную
случайную
ошибку
–
вероятностный
(стохастический) предел ошибки выборки (Δ). Максимально возможная
(предельная) ошибка – это отклонение выборочной средней (или доли) от
генеральной средней (доли). Ее величина зависит:
–
от
степени
колеблемости
изучаемого
признака
генеральной
совокупности
– от способа формирования выборочной совокупности
– от объема выборки.
Ошибка репрезентативности представляет собой разность между
показателями выборочной и генеральной совокупности:
Для средней
xв   x  x0  xв   x
предельная ошибка выборки для средней
x  t
x 
1
 в2
n
 в2
n
1
или  x  t   , где
– средняя ошибка выборки для средней
Приведены формулы для случайного повторного отбора.
46
t
xx

– стандартное отклонение – «коэффициент доверия», который
зависит от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка
вероятности.
Для генеральной доли
pв   p  p0  pв   p
предельная ошибка выборки для доли
 p  t   2 1, где
p 
pв  qв
n
2
– средняя ошибка выборки для доли
Помимо ошибок репрезентативности существуют ошибки регистрации,
которые свойственны для выборочного и сплошного наблюдения. Это
ошибки, которые возникают вследствие недостаточной квалификации
наблюдателя, неточности расчетов и несовершенством приборов.
Таким образом, ошибки статистического наблюдения складываются из
ошибок регистрации (сплошное и выборочное наблюдение) и ошибок
репрезентативности (выборочное наблюдение).
3. Задачи выборки:
– определение доверительных пределов, в которых находятся показатели
генеральной совокупности (Δ)
– определение доверительной вероятности того, что разность между
показателями выборочной и генеральной совокупности не превзойдет
наперед заданного числа: Р = F(t). F(t) – интеграл вероятности.
– определение минимального объема выборки. Необходимо отобрать как
можно меньше единиц выборки, но достаточное количество для данных
условий (n)
Виды отбора:
1
2
Приведены формулы для случайного повторного отбора.
Приведены формулы для случайного повторного отбора.
47
– Повторный (по схеме возвращенного в урну шара)
– Бесповторный (по схеме не возвращенного в урну шара)
При повторном отборе численность единиц генеральной совокупности в
процессе выборки остается неизменной. Ту или иную единицу, попавшую в
выборку возвращают в генеральную совокупность, и она сохраняет равную
возможность со всеми прочими единицами попасть в выборку при повторном
отборе.
При бесповторном отборе единица совокупности, попавшая в выборку
не возвращается и при последующих отборах в выборке не участвует. Таким
образом, при бесповторной выборке численности единиц генеральной
совокупности сокращается в процессе исследования1.
4. Способы отбора
Способы отбора определяют конкретный механизм отбора единиц из
генеральной совокупности.
По степени охвата единиц совокупности разделяют большие и малые
выборки (с объемом n  30 ).
Наибольшее распространение получили следующие виды выборки:
– собственно-случайная
– механическая
– типическая
– серийная (гнездовая)
Собственно-случайная выборка
Случайным отбором называется такой отбор, при котором единицы из
генеральной совокупности отбираются наудачу, по жребию. При этом каждая
единица совокупности обладает одинаковой объективной возможностью
быть отобранной. Таким образом, в отобранной части могут быть
представлены единицы от всех частей генеральной совокупности, со всеми
На практике, чтобы определить вид отбора надо знать, что если дан повторный отбор, то отсутствуют данные о
численности генеральной совокупности или не указан скольки процентный отбор. Если же дан бесповторный
отбор – то вышеперечисленные условия, присутствуют. – авт.
1
48
признаками, которые имеются у единиц генеральной совокупности. При
таком отборе в средней выборочной xв значения изучаемого признака будут
представлены достаточно точно и, как принято говорить, выборочная
совокупность будет репрезентативна генеральной совокупности то есть
обобщающие характеристики выборочной совокупности будут близки к
соответствующим характеристикам генеральной совокупности.
Но случайный отбор не следует понимать как беспорядочный отбор.
Производя
отбор,
необходимо
обеспечить
соблюдение
принципа
случайности, организовать отбор так, чтобы его ошибки были действительно
случайными.
Случайный отбор может быть повторным и бесповторным.
Механическая выборка
При механическом отборе единицы для обследования отбираются уже не
наудачу. При этой форме выборочного наблюдения единицы генеральной
совокупности располагаются в каком-то порядке, но только не по
изучаемому признаку, а, скажем, в алфавитном. Затем упорядоченная
известным образом исходная совокупность делится на определенное число
равных частей, и из каждой такой части отбирается одна единица –
представитель с определенным порядковым номером (10-я, 20-я, 30-я).
Например, при 10% выборке из совокупности в 1000 единиц она должна быть
разделена на 100 равных частей, из которых могут быть отобраны 5-я, 15-я,
25-я и т.д. единицы.
5-я
15-я
25-я
…
10
20
30
…980
Могут быть взяты и другие порядковые номера.
985-я
990
995-я
1000
Таким образом, если при случайном отборе есть лишь возможность
попадания в выборку единиц от всех частей генеральной совокупности, то
механический отбор направлен на то, чтобы обеспечить попадание в выборку
таких представителей. В этом смысле, механический отбор можно назвать
49
направленным отбором, и поэтому, при правильной организации, он
репрезентативнее случайного отбора.
Математическая статистика не располагает специальными зависимости
для расчета средней ошибки выборки при механическом отборе, и она
вычисляется по той же формуле, что и в условиях случайного бесповторного
отбора. Следовательно, величина вычисленной таким образом средней
ошибка механического отбора оказывается несколько завышенной.
Типическая выборка
Типический отбор также принадлежат к числу направленных видов
отбора. При типическом отборе совокупность также разделяется на части, но
не механически, а по каком-то типическому признаку. Например, для
обследования
бюджетов
рабочих
все
рабочие
данного
предприятия
предварительно группируются по профессиям, т.е. по признаку, который
определяет уровень заработной платы. Затем из каждой группы производят
случайный или механический отбор. При типическом отборе обеспечивается
попадание в выборку представителей всех типических групп, что повышает
репрезентативность выборочных данных.
Типичные группы могут быть как равными, так и не равными по
численности. В последнем случае отбор производится пропорционально
объему каждого типа во всей генеральной совокупности. Типический отбор
бывает повторным и бесповторным.
Серийная (гнездовая) выборка
Серийный (гнездовой) отбор заключается в том, что отбору подвергается
совокупность не отдельных единиц, а серий или групп их. При этом внутри
групп обследуются все единицы, без исключения. В сельскохозяйственной
статистике, где отбираемые серии хозяйств называют «гнездами», этот вид
отбора получил название гнездового.
Отбор
серий
может
быть
организован
как
случайный,
так
и
механический. Серийный отбор бывает повторный и бесповторный.
50
Рассмотрим основные типы задач согласно задачам выборочного
метода1.
Случайный отбор
1-ый тип задач – Определение предельной ошибки выборки.
Для случайного повторного отбора (для средней)
Задача. С вероятностью 0,9973 определить в каких пределах находится
средний срок изделий в генеральной совокупности ( x0 ), если
отобрано 250 деталей, из которых средний срок службы 41,9 месяца (
xв ) и среднеквадратическое отклонение  в = 6,2 месяца.
Дано:
n  250шт.
 в  6,2 мес.
P  F (t )  0.9973
t  3по.табл.F (t )
2
xв  41,9 мес.
__________________
 x  ?; x0  ?
Решение:
x  t
 в2
n
3
6,2 2
 1,2 мес.
250
xв   x  x0  xв   x
41,9  1,2  x0  41,9  1,2
40,7  x0  43,1( мес.)
Вывод: С вероятностью 0,9973 можно утверждать, что средний срок службы
изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 40,7 до
43,1 месяца.
Для случайного повторного отбора (для доли)
Задача. С вероятностью 0,9973 определить в каких пределах находится в
генеральной совокупности доля изделий срок службы которых
Формулы предельной ошибки выборки, стандартного отклонения и объема выборки при различных видах и
способах отбора представлены в таблице 18.
2
См. прил. 3, стр. 166.
1
51
превышает 50 месяцев, если доля изделий, срок службы которых
превышает 50 месяцев в выборочной совокупности равна 0,124,
отобрано 250 изделий.
Дано:
n  250шт.
p в  0,124
P  F (t )  0,9973
t  3по.табл.F (t )
q в  1  0,124  0,876
______________________
 pв  ?; p 0  ?
Решение:
 pв  t
pв qв
0,124  0,876
3
 0,063.или.6,3%
n
250
0,124  0,063  0,124  0,063
0,061  p 0  0,187
или
6,1%  p 0  18,7%
Вывод: С вероятностью 0,9973 можно утверждать, что доля деталей в
генеральной совокупности срок службы которых превышает 50
месяцев составляет не менее 6,1% и не более 18,7%.
52
Таблица 18
Предельная ошибка выборки и объем выборки при различных видах отбора
Виды отбора

Случайный отбор
1. Для средней
в2
t
2. Для доли
xb
n
n – объем выборки
t – стандартное
отклонение
t
Повторный
t
дисперсия средняя
в
x  x0
 xm

m
 (x  x )

m
в
2
Бесповторный
t 2
n  2в
ч
2

n
объем выборки
2

n
 x  t в (1  )
n
N
2
t
дисперсия средняя
t
x
 в2
n
объем выборки
2
n
n
(1  )
n
N
m
t 2 в N
2
 x N  t 2 в
2
0
t 2 pв qв
n 2
 p
pq
p  t в в
n
p в - частность
pq
n
p  t в в (1  ) t 
n
N
p
pв qв
n
(1  )
n
N
t 2 pв qв N
n 2
 pN  t 2 pв qв
–-
выборочная
m
n
qв  1  pв
pв 
Механический отбор
Типический отбор
1. Для средней
t
b
 i2 
n
i 
2. Для доли
p  t
i
t 2 в
n
2х
i
i
n – объем выборки
2
 n
n
x n

n
Формулы случайного бесповторного отбора
2
2
2
  i ni
 ni
pi qi
n
xв
i
2
i
i
i – тип явления
средняя доля
pi 
pq
n
pqn

n
i
n
i
i
pi qi
i
i
i
n – выборочное
i
t 2 pi qi
2р
i2
n
x  t
(1  )
n
N
2
  i ni
 i2 
 ni
t
pq
n
p  t i i (1  )
n
N
t
x
2
n
(1  )
n
N
p
pq
n
t i i (1  )
n
N
t 2 i N
2
n
n
 x N  t 2 i
2
2
t 2 pi qi N
 p N  t 2 pi q i
2
Для случайного повторного отбора (для средней)
Задача. При испытании на крепость отобраны в случайном порядке 400
отрезков пряжи одиночной нити (основа – 65 кордная) были
получены следующие результаты20:
Таблица 19
Расчет основных выборочных характеристик ( xв и  ).
2
в
Крепость
пряжи
(гр.) x i
A
105-125
125-145
145-165
165-185
185-205
205-225
225-245
245-265
265-285
285-305
Итого
Число
испытанных
образцов m
1
8
24
40
36
104
120
35
20
7
6
 m  400
x
(середина
интервала)
2
115
135
155
175
195
215
235
255
275
295
xm
x  xв
3  1 2
920
3240
6200
6300
20280
25800
8225
5100
1925
1770
79760
( x  xв ) 2
( x  xв ) 2 m
4  2  199,4
5  42
6  1 5
-84,4
-64,4
-44,4
-24,4
-4,4
15,6
35,6
55,6
75,6
95,6
7123,36
4147,36
1971,36
595,36
19,36
243,36
1267,36
3091,36
5715,36
9139,36
56986,88
99536,64
78854,4
21432,96
2013,44
29203,2
44357,6
61827,2
40007,52
54836,16
 ( x  x)
2
m  489056
Определите с вероятностью 0,97 среднюю крепость пряжи во всей
партии.
Для определения основных характеристик ( xв
и  в2 ) выборочной
совокупности необходимо найти графы с 3-ей по 6-ую в таблице 19.
Выборочная средняя крепость пряжи равна:
xв 
 xm  79760  199,4гр.
 m 400
Выборочная дисперсия составляет:
2 
 (x  x )
m
в
2
m

489056
 1222,64
400
Итак, на основе следующих данных определим среднюю крепость пряжи
во всей партии.
Дано:
20
Были представлены исходные данные по двум графам (колонка «А» и 1)
54
n  400
 в2  1222,64
P  F (t )  0,97
t  2,17по.табл.F (t )
21
x в  199,4 гр.
____________________
 x  ?; x 0  ?
Решение:
x  t
 в2
n
 2,17
1222,64
 3,79  3,9гр.
400
Тогда средняя крепость пряжи во всей партии будет находиться в
следующих пределах:
xв   x  x0  xв   x
199,4  3,9  x0  199,4  3,9
195,6  x0  203,2( гр.)
Вывод: С вероятностью 0,97 можно утверждать, что средняя крепость во всей
пряжи в генеральной совокупности будет не менее 195,6 гр. и не
более 203,2 гр.
Доля случайного повторного отбора (для доли)
Задача. По данным предыдущей задачи с вероятностью 0,97 найти доля
образцов пряжи во всей партии с крепостью выше 185 гр.
Дано:
pв 
292
 0,73
400
(292 образца имеют крепость пряжи выше 185 гр.)
F (t )  0,97
t  2,17по.табл.F (t )
22
q в  1  p в  1  0,73  0,27
n  400
___________________________________________________
 p  ?; p 0  ?
21
См. прил. 3, стр. 166.
55
Решение:
p  t
pв qв
0,73  0,27
 2,17
 0,048.или.4,8%
n
400
доля образцов пряжи во всей
партии с крепостью.
Вывод: С вероятностью 0,97 можно утверждать, что доля образцов во всей
партии в генеральной совокупности с крепостью выше 185 гр.
0,73  0,048  p 0  0,73  0,048
находятся в пределах 73%  4,8%  p0  73%  4,8% .
68,2%  p 0  77,8%
2-ой тип задач – Определение вероятности того, что предельная ошибка
выборки не превышает заданной величины.
Случайный повторный отбор
Задача. С какой вероятностью можно утверждать, что выборочная доля
бракованных деталей будет отличатся от генеральной доли не более
чем на 1%, если при измерении 115 деталей установлена доля брака
равная 0,5%?
Дано:
n  115
p в  0,005
q в  1  p в  0,995
 p  0,01
_________________
P  F (t )  ?
Решение:
Знаем, что:
p  t
22
pв qв
n
См. прил. 3, стр. 166.
56
тогда t 
p
pв qв
n

0,01
0,005  0,995
115
 1,52 , а вероятность P  F (t )  0,8714 (по таблице
F(t))23
Вывод: С вероятностью 0,8714 можно утверждать, что выборочная доля
бракованных деталей будет отличаться от генеральной доли не более
чем на 1%.
3-ий тип задач – Определение минимального объема выборки
Случайный бесповторный отбор.
Задача. Сколько следует проверить деталей для установления процента
годности, чтобы с вероятностью 0,9973 ожидать отклонения
выборочной доли от генеральной, не превышающей 5%. По прежним
испытаниям 98% годовых деталей предлагается проводить через
бесповторный отбор, объем генеральной совокупности N = 5000 шт.
деталей.
Дано:
p в  0,98
q в  0,02
 p  0,05(5%)
P  F (t )  0,9973
24
t  3по..таб.F t 
N  5000шт.
___________________
n?
Решение:
n
t 2 pв qв N
32  0,98  0,02  5000

 70шт.
2p N  t 2 pв qв 0,052  5000  9  0,98  0,02
Вывод: Следует проверить не менее 70 образцов деталей, чтобы с
вероятностью 0,9973 можно ожидать отклонения выборочной доли от
генеральной, не превышающей 5%.
23
24
См. прил. 3, стр. 166.
См. прил. 3, стр. 166.
57
Механический отбор имеет формулу предельной ошибки выборки для
случайного бесповторного отбора.
Типический бесповторный отбор
(для средней)
2-ый тип задач – определение вероятности того, что предельная ошибка
выборки не превзойдет наперед заданного числа.
Задача. В магазине 3-х различных типов произведено обследование
среднедневной выработки 10% продавцов. По каждому типу
магазинов в случайном порядке была взято по 100 продавцов каждого
типа. Причем:
– в магазине 1-го типа среднедневная выработка одного продавца
оказалась равной 650 руб. при среднеквадратичном отклонении 50
руб.
– в магазине 2-го типа среднедневная выработка одного продавца –
600 руб. при среднеквадратичном отклонении – 30 руб.
– в магазине 3-го типа соответственно 575 руб. и 45 руб.
Какова вероятность утверждения, что среднедневная выработка всех
продавцов, обследованных в магазинах, не будет больше или меньше
среднедневной выработки продавцов, попавших в выборку на 1,75
руб.
Дано:
58
n  300чел.
N  3000чел.(10%отбор)
x 1  650 руб.
x 2  600 руб.
x 3  575 руб.
 1  50 руб.
 2  30 руб.
 3  45 руб.
 x  1,75 руб.
_______________________
P  F (t )  ?; t  ?
Решение:
x
t

2
i
n
xв 

n
)
N
(1 
x n
n
i
i

i

2
i
  n

n
2
i
i
i
1,75
1808,3
300
 (1 
)
300
3000
 0,75 , где
650  100  600  100  575  100
 608,3 руб.
300
50 2  100  30 2  100  45 2  100

 1808,3
300
P  F (t )  0,5467(по..табл.F (t )) 25
Вывод: С вероятностью 0,5467 можно утверждать, что среднедневная
выработка всех продавцов, обследованных в магазинах не будет более
1,75 руб.
Типический бесповторный отбор (для средней)
1-ый тип задач – определение генеральной средней
(предельной ошибки выборки)
Задача. С вероятностью 0,9973 найти среднедневную выборку рабочих 2-х
профессий слесарей и токарей в генеральной совокупности. Проведен
10% отбор. Имеются следующие данные:
Таблица 2026
25
26
См. прил. 3, стр. 166.
Исходные данные были представлены по первым 3-м графикам, остальные – расчетные.
59
Расчет основных выборочных характеристик.
Число
m
по слесарей
(чел.)
Группа
рабочих
дневной
выборке
(руб.)
A
до 500
500-700
700-900
900-1100
св. 1100
Итого
xi
1
2
5
10
6
1
24
x i Число m
по слесарей
(чел.)
Группа
рабочих
дневной
выборке
(руб.)
A
до 500
500-700
700-900
900-1100
св. 1100
Итого
x1
(середина
интервала)
2
400
600
800
1000
1200
x1  xi1
( x1  xi1 )m1
3  1 2
4
-391,67
-191,67
8,33
208,33
408,33
5  1 4
6  45
-783,4
-958,35
83,3
1249,98
408,33
0
306810,778
183686,944
693,889
260408,333
166733,383
918333,333
( x2  xi2 ) 2 m2
800
3000
8000
6000
1200
19000
x2
(середина
интервала)
1
1
5
11
5
2
24
x1  m1
2
400
600
800
1000
1200
( x1  xi1 ) 2 m1
x2  m2
x2  xi2
( x2  xi2 )m2
3  1 2
4
-416,67
-216,67
-16,67
183,33
383,33
5  1 4
6  45
-416,67
-1083,35
-183,37
916,65
766,64
173613,889
234729,444
3056,7779
168049,445
293876,111
873325,667
400
3000
8800
5000
2400
19600
0
Таблица 21
Расчет общей средней и средней из частных дисперсий.
Группа
рабочих
Среднедневная
выработка
(руб.)
791,67
816,67
Слесари
Токари
итого
ni
Число
рабочих (чел.)
24
24
48
 i2
x i  ni
 i2  ni
38263,89
36388,86
19000
19600
38600
918333,333
873325,667
1791659
Выборочная среднедневная выработка рабочих равна:
xв 
x n
n
i

i
i
791,67  24  816,67  24
 804,2 руб. , где среднедневная выработка:
48
– слесарей x1  
x1m1
m
x m

m

19000
 791,67 руб.
24

19600
 816,67 руб.
24
1
– токарей x2
2
2
2
Выборочная средняя из внутригрупповых дисперсий равна:

2
i
 n

n
2
i i
i

1791659
 37326,2292 , где внутригрупповая дисперсия:
48
60
– слесарей 
2
1
 (x  x )

m
1
i1
2
m1

918333,333
 38263,8889
24

873325,667
 36388,5695
24
1
– токарей 
2
2
 (x

2
 x i2 ) 2 m 2
m
2
Итак, на основе следующих данных определим среднедневную
выработку рабочих (слесарей и токарей) в генеральной совокупности.
Дано:
n  48
N  480
P  F (t )  0.9973
t  3по.табл.F (t )
27
xв  804,2 руб.
 i2  37326,2292
_________________
 x  ?; x0  ?
Среднедневная
выработка
рабочих
в
генеральной
совокупности
находится в следующих пределах:
804,2  79,36  x0  804,2  79,36
724,84  x0  883,56( руб.)
x  t
 i2
n
(1 
, где предельная ошибка выборки составляет:
n
37326,2292
48
) 3
 (1 
)  79,36 руб.
N
48
480
Типический бесповторный отбор
(для доли)
Задача. При обследовании семейных бюджетов города была организованна
10%-ая типическая выборка, результаты которой представлены
следующим образом.
Группа населения по
семейному положению
Одинокие
Семейные
Итого
27
Объем выборки ni
35
115
150
Доля расходов на оплату
жилья (в %) p i
9
6
См. прил. 3, стр. 166.
61
С вероятностью 0,68328 (t = 1 по табл.) установите границы доли расходов на
оплату жилья населения города?
Решение:
средняя доля выборки равна:
pi 
pn
n
i
i

i
0,09  35  0,06  115 3,15  6,9 10,05


 0,067.или.6,7%
150
150
150
qi  1  pi  1  0,067  0,933.или.93,3%  доля.доходов
pi qi 
pqn
n
i
i
i
0,09  0,91  35  0,06  0,94  115
 0,063.или.6,3%
150

i
Предельная ошибка доли составит:
p  t
pi qi
n
0,063
(1  )  1
 (1  0,1)  0,019.или.1,9%
n
N
150
Тогда, доля расходов на оплату жилья в генеральной совокупности
находится в следующих пределах:
0,067  0,019  p0  0,067  0,019
0,048  p0  0,086
или
4,8%  p0  8,6%
Таким образом, доля расходов на оплату жилья в генеральной
совокупности будет не менее 4,8% и не более 8,6% от семейных бюджетов.
Вопросы для самопроверки.
1. Назовите причины, вызывающие выборочные наблюдения. И в чем
преимущество его применения?
2. Что такое генеральная и выборочная совокупность?
3. Какие необходимые условия правильности проведения выборочного
отбора?
4. Какие Вы знаете ошибки статистического наблюдения?
5. Назовите задачи выборочного метода.
6. Какие существуют виды выборочного отбора?
28
См. прил. 3, стр. 166.
62
7. Какие существуют способы выборки?
8. Экономический
смысл
собственно-случайного
и
механического
отбора.
9. В чем особенности типичного отбора?
10. В чем преимущества серийной выборки перед случайной.
11. Назовите важнейшие области применения выборочного отбора в
практике государственной статистике.
Тема10.Система национально счетоводства
1) Общие понятия об СНС и основные принципы построения СНС
2) Основные счета СНС , их назначение и краткая характеристика
3) Макроэкономические показатели в системе национальных счетов, их
взаимосвязь
4) Три метода расчета ВВП: производственный, распределительный и
счето-использование конечного продукта
СНС- система взаимосвязанных показателей и классификаций, применяемый
для анализа макроэкономических процессов в странах с рыночной
экономикой. СНС представляет систему макроэкономических показателей,
которые охватывают процесс производства, распределения,
перераспределения и использования товаров и услуг. При построении СНС
надо учитывать следующие принципы:
1. Расширить трактовку сферы производства – это значит, что все виды
деятельности признаются равноправными
2. Признание теории факторов производства, это значит что факторы
производства признаются : труд, земля, капитал и
предпринимательскую деятельность .
3. При построении счетов СНС происходит двойная регистрация
экономических операций, это значит, что каждый показатель,
соответствующий определенной операции проходит два вида – один
раз он учитывается в ресурсной части, второй раз он учитывается в
разделе использования. Такая система может контролировать
правильность заполнения счетов на основе взаимосвязанной увязки
между показателями
4. Ограничение движения материальных потоков от финансовых, это
значит, что потоки товаров и услуг отражаются в одних счетах, а
потоки доходов-в других
63
5. Учет показателей в СНС ведется на валовой и чистой основе. На
валовой - учитывается потребление основного капитала, на чистой-за
исключением потребления основного капитала
6. Деление производимого продукта на промежуточные и конечные.
Промежуточный продукт предназначен для производительного
потребления, конечный продукт предназначается для
непроизводительного
7. Экономика делится на внутреннюю и внешнюю. Внутренняя –
охватывает экономическую деятельность резидентов,
институциональных единиц, на данной экономической территории и
за ее пределами, национальная экономика охватывает деятельность
резидентов на данной экономической территории без учета
деятельности за ее пределами, а так же включает экономическую
деятельность нерезидентов и нерезидентных институциональных
единиц на данной экономической территории.
8. Деление экономики по секторам: нефинансовый сектор, финансовый
сектор, государственные учреждения, некоммерческие организации,
обслуживающие домашнее хоз-во, домашнее хозяйство. Нефинансовый
сектор-цель получение прибыли. Финансовый сектор - предприятии ,
выполняющие функции по кредитованию, по страхованию других
отраслей экономики. Доходы сектора формируются по кредитованию
за счет разности между полученными и выданными процентами, а так
же за счет инвестированию собственных средств. По страхованию
доходы формируются за счет полученных взносов от страхователей.
Государственные учреждения - институциональные единицы,
учреждения, оказывающие услуги другим областям экономики в
области обороны, образования, здравоохранения, спорта, культуры.
Финансирование данного сектора происходит из государственного
бюджета цель сектора - создание индивидуальных или коллективных
услуг другим секторам экономики. Некоммерческая организация –
институциональные единицы других секторов для выполнения
определенных функций – партийные, благотворительные, религиозные
организации. Деятельность такого сектора осуществляется за счет
пожертвований. Домохозяйства – совокупность группы людей,
проживающих на одной территории, ведущих совместный бюджет и
потребляющих то, что производят.
9. Деление экономики по отраслям
10.Классификация экономических операций - Производственного
характера, распределительного конечного использования.
64
1)общее понятие СНС и его структура
2) Характеристика счета производства и дохода
3) Характеристика дохода
4)Счет использования валового национального располагаемого дохода
5) Характеристика счетов накопления – счет операции с капиталом и
финансовый счет
6) Счет товаров и услуг – консолидирующий счет
СНС – система расчетов макроэкономических показателей, построенных в
виде набора взаимосвязанных счетов и таблиц.
Задача СНС дать упрощенное по форме, но вместе с тем полное по
содержанию описание явлений процессов, характеризующее экономическую
жизнь страны – производство , образование и распределение доходов,
потребления , накопления , наличие движения национального богатства,
затем проследить взаимосвязь между ними. Таким образом СНС показывает
движение стоимости товаров и услуг на различных стадиях по их
производству , образование доходов , их распределение , перераспределение,
использование и образование дохода страны.
В структуре СНС можно выделить следующие виды счетов
1) Набор счетов для пяти секторов национальной экономики ( см.
выше) в том числе счета текущих операций. Они описывают движение
стоимости ТиУ от производства до конечного использования . в эту
группы входит – счет производства, счет образования доходов, счет
распределения первичных доходов, счет вторичного распределения
доходов, счет перераспределения доходов в натуральной форме, счета
использования доходов.
При построении счетов используется принцип двойной записи. Правая
сторона - ресурсы. Левая – использовании. Последняя балансирующая
статья в данной группе счетов - сбережение, которое равно текущие
доходы минус текущие расходы, включающие расходы на конечное
потребление.
Счета накопления предназначены для описания всех операций и других
экономических потоков, которые приводят к изменению объема , состава
и стоимости активов, обязательств и чистой стоимости собственного
капитала. Источниками финансирования этих операций являются валовые
сбережения и капитальные трансферты. В данную группу счетов
включают – счета операции с капиталом, финансовые счет, счет других
изменений активов, счет переоценки, эти счета связаны с балансами
65
активов и пассивов. Правая часть баланса активов и пассивов служит ля
отражения финансовых обязательств и чистой стоимости собственного
капитала. В левой – активы, которые находятся в собственности
институциональных единиц. Эти балансы составляются на начало и конец
периода, а изменения между этими моментами времени показываются в
счетах накопления, поэтому баланс активов и пассивов на конец периода
должен быть согласован с данными баланса на начало периода и счетов
накопления.
Балансы активов и пассивов
Завершающим блоком СНС являются балансовые таблицы, которые
отражают изменение нац. Богатства в текущем периоде и межотраслевой
баланс, в котором показывается производство и использование ТиУ в
детальном, отраслевом разрезе
2) Счета для отраслей экономики.
Составляются счета производства и образования доходов
3) Счет внешних операций (счета для секторов «основной мир») они
описываю потоки между институциональными единицами,
резидентами и не резидентами и означают ресурсные части, стоимость
, полученную нерезидентами от нерезидентов, а в разделе
использования- как стоимость , переданная остальному миру, а для
внешних операций – в разделе использования отражаются стоимость,
переданная нерезидентами резидентам.
! если балансирующая статья имеет положительный знак в этих
операциях, то означает, что передано остальному миру больше , чем
получено от него резидентами страны.(дефицит для национальной
экономики).
Эти счета внешних операций состоят из
 Счет текущих операций, в том числе счета внешних операций с
ТиУ, счет внешних первичных доходов и трансфертов
 Счета накопления: счет операций с капиталом , фин.счет и счета
других изменений в активах
 Баланс активов и пассивов
4) Счета для отдельных видов экономических операций : это выплаты
процентов, налогов, социальных пособий, операций с фин.
Инструментами. Их назначение: показать итог по данной группе
операций или группе операций по каждому сектору экономику (
сколько получено и сколько передано)
66
5) Наиболее важный среди них – счет товаров и услуг –
консолидирующий счет, которые составляется по экономики в целом и
группах продуктах, он объединяет несколько составляющих отдельных
счетов. Формируется за счет выпуска импорта и их использования на
целях промежуточного потребления, конечного потребления,
накопления и экспорта. Отличительной чертой этого счета является :
он должен балансироваться по определению : объем ресурсов (правая
часть) должен быть равен объему использования ТиУ по всем
направлениям. Однако, в силу неполноты информации и
приближенных расчетов между этими составляющими обязательно
будут статистические расхождения, которые должны быть не более 45% от ВВП, рассчитываются производственным способом.
Таблица
Использование
Ресурсы
Формула расчета
сальдовой статьи
Валовой выпуск
продуктов и услуг в
рыночных ценах (ВВ)
ВВП=ВВ-ПП
Счет производства
Промежуточное
потребление (ПП)
^ Валовой внутренний
продукт (ВВП)
^ Счет образования доходов
Оплата труда наемных
работников (ОТ)
ВВП в рыночных ценах ВП/ВСД=ВВП-О(на уровне всей
экономики)
-Н+С
Налоги на производство и
импорт (Н)
Валовая добавленная
стоимость (ВДС) (на
Субсидии на
уровне отдельного
производство и импорт
сектора или отрасли
(С)
экономики)
^ Валовая прибыль
67
экономики и валовые
смешанные доходы
(ВП/ВСД)
^ Счет распределения первичных доходов
Доходы от собственности
переданные (ДохПр)
Валовой национальный
доход (ВНД)
Валовая прибыль
экономики и валовые
смешанные доходы
(ВП/ВСД)
ВНД=ВП/ВСД+ОТ+НС+ДохПо-ДохПр
Оплата труда наемных
работников (ОТ)
Налоги на
производство и импорт
(Н)
Субсидии на
производство и импорт
(С)
Доходы от
собственности
полученные (ДохПо)
^ Счет вторичного распределения доходов
Текущие трансферты
переданные (ТТПр)
Валовой национальный
доход (ВНД)
ВНРД=ВНД+ТТПо-ТТПр
Валовой национальный
располагаемый доход
(ВНРД)
Текущие трансферты
полученные (ТТПо)
^ Счет использования располагаемого дохода
Расходы на конечное
потребление (КП)
Валовой национальный
располагаемый доход
ВС=ВНРД-КП
68
(ВНРД)
Валовое сбережение (ВС)
^ Счет операций с капиталом
Валовое накопление ОК
(ВНОК)
Валовое сбережение
(ВС)
ЧК/ЧЗ=ВС+КТПо-КТПр-ВНОК-
Изменение запасов МОС
(ИзмОб)
Чистое приобретение
ценностей (ЧПЦ)
Чистое приобретение
земли и нефинансовых
непроизведенных активов
(ЧПЗННА)
Капитальные
трансферты
полученные (КТПо)
-ИзмОб-ЧПЦ-ЧПЗННА
Капитальные
трансферты
переданные (-)(КТПр)
^ Чистое кредитование
(ЧК+), чистое
заимствование (ЧЗ-) и
статистическое
расхождение
Счет товаров и услуг является своеобразной сводной таблицей:
Использование
Ресурсы
Промежуточное потребление
Выпуск продуктов и
услуг в рыночных ценах1
Расходы на конечное
потребление
Валовое накопление
Экспорт товаров и услуг
^ Статистическое
расхождение
69
Итого
Итого
Литература.
1. Гусаров В.М., Проява С.М. Статистика: Уч. пособие для студентов
вузов, занимающихся по экономическим специальностям – 2-е изд.,
перераб. и доп., ЮНИТИ-ДАНА, 2008, 207 с.
2. Елисеева И.И., Егорова И.И., Курышева С.В. и др. Статистика:
Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. – М.: Проспект, 2009. – 448 с. М.:
Высшее образование, 2009 – 590 с.
3. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцов В.Н. Общая теория статистики:
Учебник. 2-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА – М, 2007. – 417 с.
(Высшее образование).
4. Ефимова М.Р. Практикум по общей теории статистики, 2008, 368 с.
5. Ильина Г.Г. Статистические приемы и методы в маркетинге: Учеб. пос.
– М.: РосНОУ, 2004, 128 с.
6. Савицкая Г.В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия. –
Мн.: ИП «Экоперспектива», 2009, 530 с.
70