Критерий знаков G Критерий знаков G Парный критерий Т (Вилкоксона) Парный критерий Т (Вилкоксона) Таблицы для критерия 2 Фридмана Таблицы для критерия 2 Фридмана Критерий тенденций L (Пейджа) Критерий тенденций L (Пейджа) Критерий Макнамары Случай (а) B+C < 20 M(m=min(B,C), n=B+C) > M M0.05 = 0.025, M0.01 = 0.005 Случай (б) B+C > 20 Mэмп= < M M0.05 = 3.841, M0.01 = 6.635 Критерий Макнамары Случай (а) B+C < 20 M(m=min(B,C), n=B+C) < M M0.05 = 0.025, M0.01 = 0.005 Случай (б) B+C > 20 Mэмп= < M M0.05 = 3.841, M0.01 = 6.635 Критерий U Вилкоксона-Манна-Уитни nmax = max(n1,n2), nmin = max(n1,n2) Способ А (все числа разные) U(x|y) – сумма числа инверсий выборки x по отношению к y U(y|x) – сумма числа инверсий выборки y по отношению к x Uэмп = min(U(x|y), U(y|x)) Uэмп >U(nmin, nmax) Способ Б (есть одинаковые числа) R(x|y) – сумма реальных рангов выборки x в общей выборке R(y|x) – сумма реальных рангов выборки y в общей выборке Rmax = max(R(x|y), R(y|x)) Uэмп >U(nmin, nmax) Критерий U Вилкоксона-Манна-Уитни nmax = max(n1,n2), nmin = max(n1,n2) Способ А (все числа разные) U(x|y) – сумма числа инверсий выборки x по отношению к y U(y|x) – сумма числа инверсий выборки y по отношению к x Uэмп = max(U(x|y), U(y|x)) Uэмп ≥U(nmin, nmax) H0 Способ Б (есть одинаковые числа) R(x|y) – сумма реальных рангов выборки x в общей выборке R(y|x) – сумма реальных рангов выборки y в общей выборке Rmax = min(R(x|y), R(y|x)) Uэмп ≥ U(nmin, nmax) H0 Критерий Q Розенбаума Критерий Q Розенбаума Критерий H Крускала-Уоллиса ni – объемы выборок N – сумма объемов выборок Ri – суммарные ранги выборок Критерий H Крускала-Уоллиса ni – объемы выборок N – сумма объемов выборок Ri – суммарные ранги выборок S – критерий тенденций Джонкира 1) Выборки одинакового объема (n) 2) Число выборок (c) от 3 до 6 1. Выборки упорядочивают по возрастанию суммы их элементов 2. Для каждого элемента подсчитывается число элементов, превышающих его, в выборках, расположенных правее 3. Подсчитывается сумма инверсий А 4. Вычисляется статистика , где S – критерий тенденций Джонкира 1) Выборки одинакового объема (n) 2) Число выборок (c) от 3 до 6 1. Выборки упорядочивают по возрастанию суммы их элементов 2. Для каждого элемента подсчитывается число элементов, превышающих его, в выборках, расположенных правее 3. Подсчитывается сумма инверсий А 4. Вычисляется статистика , где Критерий хи-квадрат 2 Пирсона А) Сравнение теоретического и эмпирического распределения (задача согласия) Для одномерных величин: xi – теоретическая частота (Npi) fi – эмпирическая частота K – количество значений случайной величины Критическое значение – (), где =K-1 Для двумерных величин: Критическое значение – (), где = KL-1 Б) Сравнение двух эмпирических распределений (задача однородности) N=n1+n2 - суммарный объем выборки K – количество значений случайной величины f1i, f2i – эмпирические частоты двух выборок В) Проверка гипотезы о независимости признаков fij – частоты fi fj – суммы частот по строкам и столбцам N – объем выборки Критическое значение – (), где =(K-1)(L-1) Критерий хи-квадрат 2 Пирсона А) Сравнение теоретического и эмпирического распределения (задача согласия) Для одномерных величин: xi – теоретическая частота (Npi) fi – эмпирическая частота K – количество значений случайной величины Критическое значение – (), где =K-1 Для двумерных величин: Критическое значение – (), где =KL-1 Б) Сравнение двух эмпирических распределений (задача однородности) N=n1+n2 - суммарный объем выборки K – количество значений случайной величины f1i, f2i – эмпирические частоты двух выборок В) Проверка гипотезы о независимости признаков fij – частоты fi fj – суммы частот по строкам и столбцам N – объем выборки Критическое значение – (), где =(K-1)(L-1) Коэффициент корреляции Пирсона где где Коэффициент корреляции Пирсона где где Коэффициент ранговой корреляции Спирмена Случай разных рангов где Случай одинаковых реальных рангов где j - номер группы одинаковых рангов mj – число одинаковых рангов в j-ой группе первой выборки kj – число одинаковых рангов в j-ой группе второй выборки Коэффициент ранговой корреляции Спирмена Случай разных рангов где Случай одинаковых реальных рангов где j - номер группы одинаковых рангов mj – число одинаковых рангов в j-ой группе первой выборки kj – число одинаковых рангов в j-ой группе второй выборки Коэффициент ранговой корреляции Кендалла Вычисление - Парные наблюдения упорядочиваются по возрастанию рангов первой выборки - Считается число инверсий для элементов второй выборки (число значений ниже этого элемента, которые меньше него) где Q – общее число инверсий Проверка гипотезы о значимости отличия от нуля с помощью T - критерия Стьюдента: Вход в таблицу с числом степеней свободы k=n-2 Коэффициент ранговой корреляции Кендалла Вычисление - Парные наблюдения упорядочиваются по возрастанию рангов первой выборки - Считается число инверсий для элементов второй выборки (число значений ниже этого элемента, которые меньше него) где Q – общее число инверсий Проверка гипотезы о значимости отличия от нуля с помощью T - критерия Стьюдента: Вход в таблицу с числом степеней свободы k=n-2 Однофакторный дисперсионный анализ Несвязные выборки (p групп) P=0.05 P=0.01 Общая сумма квадратов отклонений Сумма квадратов отклонений от групповых средних Сумма квадратов отклонений групповых средних от общего среднего Правило сложения: Общая дисперсия Средняя внутригрупповая дисперсия Дисперсия групповых средних Проверка гипотезы Критерий: Однофакторный дисперсионный анализ Несвязные выборки (p групп) P=0.05 Общая сумма квадратов отклонений Сумма квадратов отклонений от групповых средних Сумма квадратов отклонений групповых средних от общего среднего Правило сложения: Общая дисперсия Средняя внутригрупповая дисперсия Дисперсия групповых средних Проверка гипотезы Критерий: P=0.01 Регрессия Модель регрессии: - парная выборка, наблюдается – неизвестны Отклонения (невязки): Критерий МНК: Оценки МНК: Гипотеза: , H0: =0 Тест: Точечный прогноз точке : Полуширина доверительного интервала с уровнем доверия : , Доверительные пределы: Регрессия Модель регрессии: - парная выборка, наблюдается – неизвестны Отклонения (невязки): Критерий МНК: Оценки МНК: Гипотеза: , H0: =0 Тест: Точечный прогноз точке : Полуширина доверительного интервала с уровнем доверия : , Доверительные пределы: