МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ: МЕТОДОЛОГИЯ, ТЕОРИЯ

МЕТОДИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ В КОНТЕКСТЕ
ЭВОЛЮЦИИ ПРЕДМЕТНЫХ ДИДАКТИК
Г.И. Саранцев,
член-корреспондент РАО
Методика обучения предмету возникла с целью сбора дидактических
приемов учителя и поиска их рационального сочетания. По мере увеличения
числа приёмов стало ясно, что некоторые из них являются общими в обучении
различным предметам. Появилась необходимость систематизации и
обобщения приёмов. Такую задачу взяла на себя дидактика, что
способствовало её формированию как самостоятельной научной области.
Предметные методики стали рассматриваться как приложения дидактики. Все
методические исследования начинают выполняться в контексте дидактических
концепций. Основная их тематика затрагивает по прежнему формы и методы
обучения.
Во второй половине 20-го века методика обучения математике
трансформировалась в самостоятельную научную область. К этому времени
появляются работы, исследующие объект, предмет методической науки,
вводится
понятие
методической
системы
обучения
математике,
предполагающее использование системного анализа, начинает оформляться
деятельностный подход к исследованию методических проблем. Начало
нового этапа в развитии методики обучения математике положено работами
А.М. Пышкало, Г.И. Саранцева, М. Нугмонова.
С развитием методики обучения математике стали замечать, что
содержание ряда методических явлений не укладывается в их дидактические
трактовки. Примером может служить понятие метода обучения. Определение
метода обучения как способа взаимосвязанной деятельности учителя и
ученика не охватывало всех методов обучения в предметных методиках. Так, в
методике обучения математике наряду с традиционными дидактическими
методами стали появляться специальные методы обучения: аксиоматический
метод и моделирование. Чтобы «узаконить» такое пополнение методов
следует определить методы обучения математике как способы движения
(развития) деятельностей учителя, учащихся и математического содержания
обучения.
Подобные
несоответствия
стимулировали
исследования
компонентов методической системы обучения математике: целей, содержания,
методов, средств и форм обучения.
Результаты наших исследований отражены в ряде статей,
опубликованных в журнале «Педагогика».
Отдельные исследователи стали расширять компонентный состав
методической системы обучения математике, вводя в него личность
обучаемого, его индивидуальность, результаты обучения и т.д. Расширение
методической системы обучения математике привело к значительным
трудностям в её исследовании. Для их снятия, стала очевидной необходимость
ее исследования на методологическом, теоретическом уровнях, уровне
учебника и уровне реального учебного процесса. Результаты этих
исследований позволили вскрыть структуру ряда важных методических
2
явлений, например, структуру урока. Традиционное представление об уроке
как организационной форме обучения ограничивает содержание урока лишь
со стороны отношения между учителем и учащимися, оставляя вне
рассмотрения такие компоненты процесса обучения, как: содержание, цели,
средства, методы обучения. Однако исследование методической системы
обучения математике на разных уровнях её представления привело к выводу,
что урок есть системное образование, составляемое содержанием обучения
(учебником), целями учителя и ученика, их деятельностями и
индивидуальностями, функционирующее в специально ограниченных
условиях (продолжительность, место и т.д.). Такое понимание урока является
оригинальным в методике обучения математике и эффективным, поскольку
становится возможным диагностировать цели урока.
Известно, что система функционирует на фоне внешней среды.
Возникает вопрос: какова внешняя среда методической системы обучения
математике? Исследования выявили её строение. Она составляется
педагогикой, психологией, логикой, закономерностями развития личности,
целями образования, информатикой, новыми образовательными идеями
(гуманизацией, гуманитаризацией, фундаментализацией образования). Мной и
моими коллегами были выполнены исследования ряда проблем, связанных с
внешней средой: содержание гуманитаризации математического образования,
влияние предмета математики на компоненты методической системы
обучения математике, фундаментализация математического образования,
связь методики обучения математике с другими науками и т.д.
Большие дискуссии сопровождали исследование гуманитаризации
математического образования. Нами выявлены различные взгляды на
сущность данного явления. Её связывают с увеличением в учебных планах
числа часов на изучение гуманитарных дисциплин; приоритетом развивающей
функции обучения математике; приобщением школьников к духовной
культуре, творческой деятельности, вооружением их методами научного
поиска; целями и средствами формирования духовно богатой личности;
увеличением числа гуманитарных дисциплин; процессом, направленным на
усвоение
гуманитарного
знания;
многогранным
явлением,
характеризующимся определенной совокупностью признаков; отражением в
образовании деятельностной природы математического знания. Наиболее
перспективным является представление о гуманитаризации математического
образования как об отражении в образовании деятельностной природы знания.
Целесообразность такой трактовки обусловлена и рядом других обстоятельств.
Приведем одно из них.
Вторая половина прошлого столетия ознаменовалась выходом
математики из ее логической формы и наполнением её деятельностью. Однако
изменения в математической науке не нашли адекватного отражения в
математическом образовании. Знания по-прежнему отождествляются с
фактами. Развитие начинают противопоставлять знаниям и связывать его с
формированием познавательных психических действий. Роль знаний начинает
снижаться, и на первое место выдвигается развивающая функция обучения.
Причем развитие рассматривают в отрыве от структуры предметного
3
содержания,
логики
изложения учебного материала, усвоения системы
научных понятий. На самом деле решение проблемы развития лежит
в плоскости изменения взгляда на сущность понятия «знание». Разрешает
«знаниевый кризис» понимание знания как деятельности и её результата.
Таким образом, знание, как информация, факт, отрицает развитие,
рассматриваемое как формирование познавательных психических процессов,
которое, в свою очередь, отрицает знание как деятельность и её результат.
Сутью гуманитаризации математического образования является отражение в
нём деятельностной природы знания. Такое понимание гуманитаризации
предполагает пересмотр основных положений методики обучения математике.
Так, если с содержанием образования традиционно связывают совокупность
аксиом, определений, теорем, то деятельностная основа содержания должна
охватывать и действия, адекватные понятиям, теоремам, и способы
деятельности, и эвристики, которые должны быть указаны в программах по
математике.
Нами было исследовано влияние эстетики на обучение математике и
изучения математики на формирование эстетического вкуса учащихся.
Известно, что выбор наиболее оптимального пути из различных
альтернативных направлений научного поиска обусловлен эстетическим
фактором. Понимание механизма этой обусловленности определяет феномен
красоты. Выполненный анализ различных точек зрения на содержание этого
понятия позволил выделить следующие признаки красоты математического
объекта: соответствие математического объекта его стандартному,
стереотипному образу; порядок, логическая строгость; простота;
универсальность использования объекта в различных разделах математики,
оригинальность, неожиданность. Понятие красоты вносит коррективы в
методику обучения математике. Так, с позиции эстетики основная цель
обучения математике в V-VI классах заключается в формировании
обобщенных моделей фигур, стандартов логических рассуждений,
эмоционально-образном воспитании учащихся. В мотивационной сфере
должны
преобладать
эстетические
мотивы.
Обучение
учащихся
самостоятельному доказательству следует основывать на понимании ими
готового доказательства.
Продвигаясь в исследовании влияния внешней среды на методическую
систему обучения математике, мы подошли к пониманию методологии
методической науки. Её составляют: диалектика, системный анализ и
деятельностный подход; концепции образования, воспитания, развития и
обучения; объект и предмет методики математики; конструирование
методических систем и внешних сред; положения, связывающие внешнюю
среду с исследуемой методической системой; методы методического
исследования; взаимосвязь теории и практики обучения предмету.
Закономерные связи между компонентами методической системы образуют
теорию обучения математике. Применение теории к решению конкретных
методических задач даёт ее приложения.
По проблемам методологии методики обучения математике нами
опубликовано более 50 работ, причём около 20 статей опубликовано мной в
4
журнале «Педагогика». Обобщением результатов
исследований
методологических основ методики обучения математике явилась монография
«Методология методики обучения математике», изданная в 2001г.
В контексте разработанной методологии исследованы важнейшие
проблемы теории обучения математике: роль и место задач в обучении,
формирование математических понятий, обучение решению задач, обучение
доказательству, использование эвристик т.д. Известно, что в последнее время
проблема задач является одной из центральных проблем методики обучения
математике. В отличие от традиционного понимания задачи (упражнения), в
наших исследованиях используется системное представление о них.
Упражнение рассматривается как методическое явление, обладающее
следующими свойствами: 1) быть носителем действий, адекватных
содержанию обучения математике; 2) являться средством целенаправленного
формирования знаний, умений и навыков; 3) быть способом организации и
управления учебно-познавательной деятельностью учащихся; 4) являться
одной из форм реализации методов обучения; 5) служить средством связи
теории с практикой.
Новизной исследования проблемы упражнений в обучении математике
явилось и то, что его предметом была система «ученик – система задач».
Заметим, что ранее выполненные исследования ограничивались системой
«ученик – задача». В учебном процессе упражнения могут выполнять своё
назначение, если они представлены в определённой системе. В качестве
теоретической модели системы упражнений принята система «Упражнения»,
составляемая целями использования упражнений, их содержанием,
умственной деятельностью учащихся, последовательностью выполнения
упражнений и организационными формами их выполнения. Конкретная
система упражнений есть проекция системы «Упражнения» на содержание
учебного материала курса математики.
Нами выявлены закономерности влияния последовательности
выполнения упражнений на умственную деятельность учащихся,
закономерности функционирования системы «задача – ученик», исследована
роль упражнений при формировании понятий, разработан механизм их
конструирования, выявлены функции упражнений при изучении теорем,
формировании
обобщенных
умений,
творческого
мышления,
пространственных представлений.
Заметим, что содержание понятия «задачи – средство обучения
математике» сводили к использованию задач как средства мотивации введения
учебного материала и его применения. Роль задач в процессе формирования
математического понятия и изучения теоремы не исследовалась. В наших
работах этот пробел ликвидирован. Нами исследованы процессы
формирования понятия, изучения теоремы, обучения доказательству,
выделены действия, адекватные этапам этих процессов. Теоретические
положения послужили основой построения конкретных систем упражнений,
обеспечивающих усвоение учебного материала. Результаты исследований
опубликованы в различных журналах, в частности, в журналах «Педагогика»,
«Математика в школе», сборниках научных трудов, материалах различных
5
конференций,
учебных
изданиях, имеющих гриф МО РФ. Обобщение
всех публикаций по проблемам задач выполнено в книге «Упражнения в
обучении математике», вышедшей в издательстве «Просвещение» в 1995г., в
2005г. вышло 2-е издание, доработанное в соответствии с различными
пожеланиями. В книгах представлены наиболее важные системы упражнений,
ориентированные на усвоение основных методов школьного курса
математики, в частности, методов геометрических преобразований, векторов,
координат и т.д. Кстати, первый сборник задач по геометрическим
преобразованиям был подготовлен мной и издан издательством
«Просвещение» в 1975г., в 1997г. вышло 3-е издание. Указанная книга имела
целью оказать помощь учителю в реализации одной из важных идей
школьного курса геометрии – идеи геометрических преобразований.
Принципиальная особенность данного учебного издания заключалась в
использовании деятельностного подхода к конструированию задач и
системного анализа – к их объединению в блоки. Отдельная глава учебного
издания «Упражнения в обучении математике» посвящена отбору и
конструированию упражнений к урокам и организации их выполнения на
уроке.
Методология методики обучения математике была исходной базой
исследования проблемы обучения доказательству. Понятие доказательства в
данном контексте следует рассматривать не только как цепочку
умозаключений, ведущую от истинных посылок к доказываемому тезису.
Доказательство включает способы его открытия, эвристики, логические
действия, приёмы опровержения утверждений, оценку способов аргументации.
Нами был исследован процесс обучения теореме, выделены действия,
адекватные ему, определена последовательность этапов, разработаны
упражнения, реализующие их. Также была исследована деятельность по
опровержению предложенных «доказательств», выделены составляющие её
действия, разработаны упражнения, ориентированные на их усвоение.
Результаты исследований положены в основу учебных пособий «Обучение
математическим доказательствам в школе» (Просвещение, 2000) и «Обучение
математическим доказательствам и опровержениям в школе» (ВЛАДОС,
2005). Несколько статей было опубликовано в журнале «Математика в школе».
По проблемам обучения понятиям, доказательствам, роли задач было
защищено несколько диссертаций.
В отечественной методике обучения математике проблемы обучения
доказательству и формирования математических понятий в таком объёме
исследуются впервые. Многие выводы исследования оригинальны и не имеют
аналогов в мировой практике обучения математике. Книги «Упражнения в
обучении математике», «Обучение математическим доказательствам в школе»
имеют монографический характер. Однако многие практические приложения
теоретических выводов исследования доведены до технологического уровня.
В контексте разработанной методологии было выполнено исследование
методической подготовки учителя математики в современных условиях.
Известно, что важная роль в реализации любых программ, идей концепций
принадлежит учителю. Поэтому проблема его подготовки к работе в
6
современных условиях, т.е. в условиях фундаментализации математического
образования, повышения требований к выпускнику педвуза, становления
методики обучения математике самостоятельной научной областью, является
весьма актуальной. Нами был выполнен ряд исследований теоретикометодологических основ методической подготовки и её информационного
обеспечения. Результаты исследования заключались в функциях методической
науки, в содержании методической деятельности и методической подготовки,
в единице анализа готовности студента к методической деятельности, в
уровнях сформированности методической подготовки, в положениях,
составляющих основу современного учебного пособия по методике обучения
математике. Это учебное пособие было издано в 2002г. издательством
«Просвещение». Оно получило гриф МО РФ. Учебное издание значительно
отличается от ранее изданных учебных пособий по методике обучения
математике для студентов педвуза. Его отличает наличие методологической
части методики математики, о чём совершенно не упоминалось ранее,
современных трактовок традиционно основных понятий методики: целей,
содержания, методов, форм обучения математике, урока математики. В
пособии содержится глава «Эвристики в обучении математике», впервые
введенная в курс методики математики. Изложение учебного материала
ведется в контексте системного анализа, деятельностного подхода с учётом
найденных учителем оригинальных методических приёмов и нестандартных
форм обучения, результатов научных исследований, проведённых в последние
20 лет. Пособие имеет широкого адресата: студента, учителя, преподавателя
педвуза и института повышения квалификации. Каждая глава снабжена
задачами, решение которых вводит студента в мастерскую исследователя,
приобщает его к творческой деятельности, помогает усвоить учебный
материал. Совокупность ряда задач может служить основой научного
исследования со всеми его атрибутами. Отдельные аспекты проблемы
фундаментализации методической подготовки анализируются в специальных
статьях, опубликованных в журналах «Педагогика», «Математика в школе»,
сборниках научных трудов и материалах конференций.
Проблемы методологии и теории обучения математике исследовались и
членами кафедры методики преподавания математики Мордовского
государственного педагогического института им. М.Е. Евсевьева. Были
исследованы и исследуются проблемы мотивации учения содержанием
математического образования, интеграции математических методов в школе,
использования реальности в обучении математике, фундаментализации
методической подготовки студентов математических специальностей
педвузов,
понимания,
истории
развития
методики
математики,
информационных технологий в обучении математике, игровой учебной
деятельности, создания математических курсов в контексте укрупнения
дидактических единиц. По результатам исследований было защищено
несколько докторских и кандидатских диссертаций.
Итак, методическая наука из прикладной педагогической отрасли
трансформировалась в самостоятельную научную область, исследующую
крупные проблемы образования, обучения и воспитания, что в значительной
7
мере
расширило
ее
функции. Номенклатура
их
такова:
методологическая,
прогностическая,
объяснительная,
описательная,
систематизирующая,
образовательная,
эвристическая,
эстетическая,
практическая, нормативная и оценочная. Они призваны обеспечить разработку
методов исследования, конструирование методических систем, путей, средств
и форм внедрения результатов исследования в практику, выполнение
исследования, что включает прогнозирование его результатов, их объяснение
и описание, систематизацию полученных закономерностей, предложить
учителю различные способы организации учебного процесса, вооружить его
умениями применять их в различных ситуациях и внедрять теоретические
положения в практику.
Функции методической науки реализуются в адекватной им
деятельности. Такую деятельность будем называть методической. Сопоставив
каждой функции методики обучения предмету определенный аспект
методической
деятельности,
выделим
следующие
ее
аспекты:
методологический,
прогностический,
объяснительный,
описательный,
систематизирующий,
образовательный,
практический,
нормативный,
оценочный. Методическая подготовка будущего учителя заключается в
овладении им методической деятельностью, которая обусловлена структурой
и функциями методической науки. Содержание подготовки составляют
формирование методологии исследования, его предмета, т.е. методической
системы, адекватной объекту исследования, разработка конкретных методик, в
частности методики организации учебного процесса. Качество методической
подготовки учителя в педагогическом вузе измеряется количеством аспектов
методической деятельности, которые может осуществлять выпускник вуза.
Поэтому целью студента является овладение всеми ее составляющими. В
создании условий для эффективного протекания этого процесса заключается
цель педагога. Таким образом, современная подготовка будущего учителя
является более сложной по сравнению с ее традиционным содержанием.
Акцент в ней должен смещаться с подготовки узкоспециализированного
учителя с хорошей технологической базой на подготовку специалиста
широкого общенаучного и общекультурного профиля. Такой специалист
должен обладать методологией научного поиска, культурой системного
анализа, технологиями принятий оптимальных решений, умением
адаптироваться к различным изменениям, прогнозировать ход развития той
или иной ситуации и т.д. Однако увлечение методологической составляющей
подготовки учителя и забвение ее технологического аспекта может привести к
перекосу этой подготовки. Ее эффективность лежит в плоскости сочетания
профессиональной мобильности учителя и технологичности его деятельности
с высоким методологическим кругозором.