7 класс
1. Существует ли двузначное число, у которого произведение цифр, умноженное на сумму
цифр, равно 84? Если да – найдите все такие числа, если нет – докажите это.
Решение. Существует, это 43 и 34. Если число записано цифрами х и у, то ху(х + у) = 84.
Один из множителей делится на 7. Если х + у = 14, то xy явно больше 6, что противоречит
условию. Если, скажем, х = 7 или у = 7, то х + у = 12 (других делителей, больших 7, не
остается) – тоже неверно. Значит, х + у = 7. Далее аккуратный перебор.
Критерии. Каждое предъявленное число – 2 балла, обоснование отсутствия других решений – до трех баллов.
2. Клетки доски 7×7 покрашены в шахматном порядке (угловая клетка – черная). Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки. Можно ли с
помощью таких операций перекрасить всю доску в черный цвет?
Решение. Можно. Вариант решения (жирно выделены перекрашиваемые «доминошки»).
Звездочками помечены черные клетки.
Шаг 1
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Шаг 2
* _ _ * * _ *
*
* *
*
* *
*
*
* *
*
* *
*
*
* *
*
* *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Шаг 3.
* * * _ *
* * *
*
* * *
* * *
* * *
*
* * *
*
* * *
Разумеется, возможны и другие варианты порядка раскрашивания.
Критерий: любая правильная цепочка раскрашиваний – 7 баллов. Только ответ – 0.
3. На острове растут 18 пальм. На них поровну кокосов. Подул ветер, и с некоторых пальм
кокосы осыпались: с каких-то могла упасть ровно половина, с каких-то – ровно треть всех
кокосов, с остальных же ничего не упало. При этом со всех пальм вместе упала ровно одна девятая часть всех кокосов. Со скольких пальм кокосы могли не упасть?
Ответ: 12, 13 или 14.
1/9 часть всех кокосов – это количество кокосов на 2 пальмах.
Как можно получить число 2, складывая только дроби ½ и ⅓?
Возможны варианты:
1) с 2 пальм упало по половине кокосов, с 3 – по трети. Тогда ответ 13.
2) с 4 пальм упало по половине кокосов, по трети не падало. Тогда ответ 14.
3) с 6 пальм упало по трети кокосов, по половине не падало. Тогда ответ 12.
Критерии. Предъявлен только ответ 13 – 3 балла, за остальные – по 2 балла.
4. Несколько тракторов вспахивают поле в 300 га за целое число дней, причем каждый
трактор вспахивает в день 15 га. Сколько тракторов потребуется дополнительно для того,
чтобы выполнить работу на 6 дней раньше?
Количество тракторов может быть только делителем числа 20, т.е. 1, 2, 4, 5, 10, 20. В этих
случаях тракторам потребуется соответственно 20, 10, 5, 4, 2 и 1 день для окончания работы. Разница в 6 дней возможна, только если сначала дней было 10 (для двух тракторов), а
затем стало 4 (для 5 тракторов). Таким образом, потребуются 3 трактора.
Критерий: за ответ 3 с примером – не более 3 баллов.
5. Можно ли из 5 одинаковых прямоугольников с периметром 10 и сторонами, длины которых не являются целыми числами, составить один прямоугольник с периметром 22?
Можно. Достаточно взять 5 прямоугольников 3,5×1,5 и приложить их большими сторонами руг к другу.
8 класс
1. В записи 1 * 2 * 4 * 8 * 16 * 32 * 64 = 35 замените знаки «*» знаками «+» и «−» так, чтобы равенство стало верным
Ответ: 1 – 2 – 4 – 8 + 16 – 32 + 64
2. Квадрат 5×5 заполнен некоторыми числами (положительными и отрицательными) так,
что в каждой строке произведение чисел отрицательно. Докажите, что хотя бы в одном
столбце произведение чисел тоже отрицательно
Решение 1. Если в каждой строке произведение отрицательно, то произведение чисел во
всей таблице отрицательно (находим его как произведение этих пяти произведений; перемножаем 5 отрицательных чисел, получаем отрицательное). Тогда, если бы произведение
чисел в каждом столбце было бы положительным, то и произведение чисел во всей таблице тоже было бы положительным – противоречие.
Решение 2. В каждой строке нечетное число отрицательных чисел, общее число строк нечетно, значит, общее количество отрицательных чисел в квадрате нечетно. Нечетное число нельзя представить в виде суммы пяти четных чисел, значит, хотя бы в одном столбце
количество отрицательных чисел нечетно.
3. Можно ли составить три несократимые дроби, произведение которых равно 1, использовав в качестве числителей и знаменателей этих дробей шесть чисел из набора {1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9}? (Каждое число можно использовать один раз или не использовать вовсе)
Можно. Пример: 1/6 * 8/3 * 9/4
4. Клетки доски 7×7 покрашены в шахматном порядке (угловая клетка – белая). Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки. Можно ли с
помощью таких операций перекрасить всю доску в черный цвет?
Нельзя. Первоначально белых клеток 25, черных 24. При любом перекрашивании 2 клеток
разница между числом белых и числом черных клеток либо не изменяется (если красятся
клетки разного цвета), либо меняется сразу на 4 (если красятся клетки одного цвета). Вначале разность между числом черных и белых клеток равнялась 24 – 25 = – 1, а должна
стать 49 – 0 = 49, т.е. ей придется измениться на 50. Но 50 на 4 не делится – противоречие.
5. Три натуральных числа a, b, c подобраны так, что НОД(ab, c)=НОД(a, bc). Докажите,
что после сокращения дроби a/c получится несократимая дробь, числитель и знаменатель
которой взаимно просты с b.
Достаточно доказать, что любое простое число p, входящее в разложение на простые
множители числа b, входит в разложение числа а и в разложение числа с в одинаковых
(возможно, нулевых) степенях. Докажем это. Действительно, пусть, например, в разложение числа a входит больше множителей p, чем в разложение числа c. Тогда в разложение
числа НОД(ab,c) число p входит с тем же показателем, что и в число с. А в НОД(а, сb)
входит с большим показателем, потому что и в числе а и в числе cb больше множителей p,
чем в числе с. Аналогично разбирается второй случай.
9 класс.
1. Найти все значения x и y, удовлетворяющие равенству xy + 1 = x + y.
После разложения на множители (х – 1)(у – 1) = 0 ответ очевиден.
Ответ: х = 1, у – любое или у = 1, х – любое.
2. Квадрат 7×7 заполнен некоторыми числами (положительными и отрицательными) так,
что в каждой строке произведение чисел отрицательно. Докажите, что хотя бы в одном
столбце произведение чисел тоже отрицательно.
Решение 1. Если в каждой строке произведение отрицательно, то произведение чисел во
всей таблице отрицательно (находим его как произведение этих семи произведений; перемножаем 7 отрицательных чисел, получаем отрицательное). Тогда, если бы произведение
чисел в каждом столбце было бы положительным, то и произведение чисел во всей таблице тоже было бы положительным – противоречие.
Решение 2. В каждой строке нечетное число отрицательных чисел, общее число строк нечетно, значит, общее количество отрицательных чисел в квадрате нечетно. Нечетное число нельзя представить в виде суммы семи четных чисел, значит, хотя бы в одном столбце
количество отрицательных чисел нечетно.
3. На какое количество нулей может оканчиваться произведение трех натуральных чисел,
если их сумма равна 207? Указать все варианты и доказать, что других нет.
Максимум – 5 (125, 50, 32). Все три числа делиться на 5 не могут (иначе их сумма делилась бы на 5); ни одно число не может делиться на 54 = 625 > 207; два числа не могут делиться оба на 53, т.к. 125 + 125 > 207.
Далее достаточно привести примеры произведений, оканчивающихся на 4, 3, 2, 1, 0 нулей.
Вариантов много. К примеру:
На 4 нуля: 100, 100, 7
На 3 нуля: 100, 5, 102
На 2 нуля: 100, 99, 8
На 1 нуль: 4, 5, 198
Нет нулей: 205, 1, 1.
Комментарий: доказательство, что нулей не больше пяти – 3 балла. Пример на 5 нулей – 2
балла. За примеры для остальных вариантов – еще 2 балла.
4. На плоскости даны некоторая точка и квадрат. Могут ли расстояния от этой точки до
вершин квадрата быть равными 1, 1, 2 и 3?
Нет.
а) Пусть точка О равноудалена от двух соседних вершин квадрата (А, В). Если она при
этом не принадлежит границе квадрата, то получаем равнобедренный треугольник АОВ.
Независимо от того, внутри квадрата она или вне квадрата, имеем равнобедренный треугольник COD (аналогично, если О лежит на границе). Противоречие.
б) Пусть точка О равноудалена от двух противоположных вершин квадрата (А, С) и лежит
внутри квадрата. Тогда она на диагонали BD. Значит, ВО + OD = 5 = АС. В треугольнике
АСО нарушено неравенство треугольника.
в) Пусть точка О равноудалена от двух противоположных вершин квадрата (А, С) и лежит
вне квадрата. Тогда она на продолжении диагонали BD. Пусть D лежит между В и О, значит, OD = 2 и в треугольнике ADO против тупого угла D лежит меньшая сторона.
г) Если точка О равноудалена от двух противоположных вершин квадрата и лежит на его
границе, то она совпадает с одной из вершин, что невозможно.
За рассмотрение не всех случаев расположения точки О – не более 3 баллов
5. Можно ли расставить в таблице 3×3 девять различных четырехзначных чисел так, чтобы сумма чисел в любых двух соседних клетках делилась нацело на 2014?
Можно. Пример:
2014 – х 6042 + х
8056 – х
2014 + х 6042 – х
8056 + х
4028 – х 4028 + х 10070 – х
В качестве х можно взять, например, 100 (чтобы все числа остались 4-значными)
10 класс
1. В Мордоре живут эльфы и люди. От тяжелой жизни каждый десятый человек считает
себя эльфом, а каждый десятый эльф считает себя человеком. Всего же каждый пятый житель Мордора считает себя эльфом. Какова доля настоящих эльфов среди населения Мордора?
Ответ: 1/8.
Пусть х – число настоящих людей, y – число настоящих эльфов. Тогда эльфами себя считают 0,1х + 0,9y = 0,2 (х + у). Решая, получим: х = 7у – людей в 7 раз больше, чем эльфов.
Значит, эльфы составляют 1/8 часть всего населения Мордора.
2. Доказать, что число 55555…55555 (в записи 2015 пятерок) делится на 41.
Это число делится на 11111 = 41*271.
3. Сколько единиц можно расставить в клетках данного квадрата так, чтобы сумма чисел в
каждом из рядов (горизонтальных, вертикальных и всех диагональных), оказалась не более двух? Две единицы уже стоят.
1
1
Ответ: 12 (с учетом уже стоящих).
Максимальность следует из того, что в каждой из 6 горизонталей может стоять не более 2
единиц, итого – не более 12.
Пример:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Только ответ – 0.
Доказательство максимальности без примера – 2
Пример без доказательства максимальности – 4
1
4. Пусть около треугольника АВС описана окружность. Прямая l касается этой окружности в т. А. На сторонах АВ и АС взяты точки D и Е соответственно, так, что AD = 6, АЕ = 5,
ЕС = 7 и DE || l. Найти длину отрезка BD
Углы МАВ и АСВ равны как угол между касательной и хордой и вписанный угол, опирающийся на ту же хорду. Углы МАВ и АDЕ равны как внутренние накрест лежащие. Значит, треугольники АDЕ и АСВ подобны (угол А у них общий). Имеем:
AD : AC = AE : AB,
6 : 12 = 5 : (6 + ВD),
BD = 4.
5. Известно, что a  b  c  d  e  0 и a  b  c  d  e  100. Какое наименьшее значение
может принимать сумма a  c  e ?
Ответ: 50.
Из условия следует, что
ab cd
ab cd e 1
ace

e

  (a  b  c  d  e)  50.
2
2
2
2
2 2
Равенство достигается, например, при a  b  c  d  25, e  0.
Пример без доказательства минимальности – 2 балла.
11 класс
1. Доказать, что число 55555…55555 (в записи 2015 пятерок) делится на 271.
Это число делится на 11111 = 41*271
2. Найти все тройки целых чисел a, b, c таких, что a 2  b 2  c 2  2a  4b  6c  13
Выделим полные квадраты: (a  1)2  (b  2)2  (c  3)2  1
Так как числа a, b, c целые, то один из квадратов равен 1, остальные – нулю.
Перебором получаем все ответы:
(1, –2, 2), (1, –2, 4), (1, –1, 3), (1, –3, 3), (2, –2, 3), (0, –2, 3).
3. Найти все значения параметра a, при котором уравнение | x  2 |  | x  1|  a имеет хотя
бы одно целое решение.
Достаточно построить график левой части
Тогда это уравнение имеет целочисленные решения только при а = ±1 и а = ±3
4. В равнобедренном треугольнике угол АВС = 100º, ВР – биссектриса. Доказать, что
АР + РВ = ВС.
Так как угол ВАС тупой, то АВ и ВС – боковые стороны, углы АВС и АСВ равны 40º,
АВР и РВС – по 20º. Возьмем на стороне ВС точку М такую, что ВМ = ВР. В равнобедренном треугольнике ВМР углы при основаниях равны 80º. Сумма углов ВАР и РМВ равна 180º, то есть четырехугольник АВМР – вписанный. Хорды АР и РМ равны, так как
равны опирающиеся на них вписанные углы. Треугольник РМС равнобедренный (в нем
угол СРМ = 180º – ВРМ – АРВ = 180º – 80º – 60º = 40º), РМ = МС = АР, откуда и следует
условие задачи.
5. Для заданного простого числа р найти все пары целых чисел x, y, для которых выполняется равенство p(x + y) = ху (III.37.12)
kp
. Так как
k 1
числа k и k – 1 взаимно простые, то p делится на k – 1. Но так как число p простое, то k – 1
может равняться только 1, –1, p и –р. Рассмотрев 4 случая (k = 2, 0, 1 + р, 1 – р) и не забыв
про симметричный вариант, когда у делится на p , получим 6 решений:
(0; 0), (2р, 2р), (р + 1, р(р + 1) ), (р(р + 1), р + 1), (р – 1, р(1 – р) ), (р(1 – р), р – 1).
Хотя бы одно из чисел х, у делится на р. Пусть х = kp, k – целое. Тогда y 