2.1

2. Постоянный электрический ток
2.1. Электрический ток. Проводимость. Сопротивление
2.1.1. Напряжение в проводнике сопротивлением R = 1 Ом нарастает по линейному закону от Umin = 1 B до Umax = 10 В в течение времени
 = 10 с. Определить заряд, прошедший через проводник.
Решение
1. Заряд, прошедший через поперечное сечение проводника определяется уравнением
Ut 
(1)
dt .
0
0 R
2. В данном случае напряжение
является функцией времени, поэтому
необходимо представить эту функцию
в виде уравнения
(2)
Ut   U min  kt
3. Подставим зависимость (2) в
уравнение (1)

U  kt  dt  U min  dt  U max  U min  tdt ,
(2)
Q   min

R
R 0
R
0
0
где (Umax  Umin)/ = k  коэффициент пропорциональности.
4. Проинтегрируем выражение (2)


Q   Idt  
U min  k
0,9 100

 10 
 55 Кл .
R
2R
2 1
2
Q
(3)
2.1.2. Определить плотность тока j в золотом проводнике, длиной l
=10 м, если к его концам приложена разность потенциалов U = 2 В.
Решение
1. Плотность тока в проводнике определяется как
I U Us U
(1)
j 

 ,
s Rs ls l
где I  сила тока в проводнике, s  поперечное сечение проводника,  
210  8 Омм.
102
2. Подставим числовые значения величин в уравнение (1)
2
7 A
j
 110 2 .
8
2 10 10
м
(2)
2.1.3. Сила тока в проводнике нарастает в течение  = 10 с по линейному закону от Imin = 1A до Imax = 11A. Определить заряд, прошедший по проводнику за это время.
Решение
1. Сила тока по определению равна
dQ
I
,  dQ  Idt .
(1)
dt
2. В данном случае сила тока I = f(t) = Imin + kt, где k = (ImaxImin)/,
поэтому уравнение (1) можно привести к виду


Q   Idt  
0
0
I max  I min  dt  I

dt
 I max  I min   ln t ,
t
0 t
Q  10  дт10  10  2,3  23Кл .
max
 I min 
(2)
(3)
2.1 4. Разность потенциалов на клеммах генератора U = 10 кВ.
Необходимо организовать двухпроводную линию длиной l = 10 км.
Необходимо выбрать сечение медного провода, если максимальная токовая нагрузка составляет I = 100 A. Потери напряжения в проводах
не должны превышать  = 3%.
Решение
1. Сопротивление двухпроводной линии электропередачи
2l
R
,
(1)
s
где s  площадь поперечного сечения проводника,   1,610  8 Омм.
2. Выразим сопротивление линии, используя закон Ома для участка
цепи
8
2U 2l
Il 10 1,6 10 10
5 2

, s 

 5,3 10 м .
4
I
s
U
0,03 10
2
R
4
(2)
2.1.5. Вычислить сопротивление R графитового проводника, изготовленного в виде прямого круглого усечённого конуса высотой h = 20
см и радиусами оснований r1 = 12 мм и r2 = 8 мм, находящегося при
температуре 20 0С.
103
Решение
1. В данном случае имеет место проводник переменного сечения, средняя величина
которого определится как
r

 r2
.
(1)
2
2. Удельное сопротивление графита примем равным   410  6 Омм
и определим электрическое сопротивление усечённого графитового конуса
2h
2  0,2
6
5
R   2 2  4 10
 6 10 Ом .
(2)
3
 r1  r2
3,14  8 10
 s  

2
1
2

2.1.6. Длинный, равномерно заряженный
по всей поверхности, стержень радиуса r =
0,1м движется с постоянной скоростью v =
10 м/с, направленной вдоль его оси. Напряжённость электрического поля у поверхности стержня Е = 9104 В/м. Найти силу тока, обусловленного механическим перемещением зарядов.
Решение
1. Поскольку вблизи поверхности цилиндра имеется электрическое
поле напряжённостью Е, то стержень несёт заряд Q

Q
E

,
(1)
2 0 r 2 0 r
где   линейная плотность электрического заряда,   длина стержня, r
 радиус стержня.
2. Заряд стержня, таким образом, представится следующим образом
(2)
Q  2 0 rE  2 0 r  v  t  E ,
где t  время перемещения стержня на расстояние  .
3. Сила тока, обусловленная механическим перемещением зарядов
Q 2 0 rvtE
12
4
I 
 2 0 rvE  6,28  9 10  0,1 10  9 10  0,5 мкА . (3)
t
t
2.1.7. В синхротроне радиусом r = 10 м электроны движутся по,
практически, круговой траектории со скоростью близкой к скорости
света c  310 8 м/с. Одновременно на орбите находится одновременно
N = 1011 электронов. Чему равен ток?
104
Решение
1. Определим время, в течение которого электроны делают один оборот, т.е. период вращения
электронов
2r 6,28 10
7


 2,110 c .
8
v
3 10
(1)
2. Определим суммарный заряд, переносимый электронами
19
8
(2)
Q  eN  1,6 10 10  1,6 10 Кл .
3. Заряд, переносимый вращающимися электронами, поделенный на
период вращения, даст силу возникающего электрического тока
8
Q 1,6 10
(3)
I 
 0,76 A .
7
 2,110
11
2.1.8. В рентгеновской трубке пучок
электронов с плотностью тока j = 0,2
А/мм2 попадает на скошенный под углом
 = 300 торец металлического стержня
площадью сечения s = 410 –4 м2. Определите силу тока в стержне.
Решение
1. Сила тока в данном случае определится уравнением
j s
0,2 10 6  4 10 4
I

 10 A .
sin 
0,87
(1)
2.1.9. Какой будет средняя скорость электронов проводимости в
серебряной проволоке радиусом r = 1 мм, по которой течёт постоянный ток силой 30 А?
Решение
1. Бесконечно малый заряд dQ, переносимый электронами за время
dt через элементарную площадку ds, перпендикулярную направлению
средней скорости v, определяется как
dQ  envds dt ,
(1)
 19
28
3
где е  1,610
Кл  заряд электрона, n  610 1/м  концентрация
свободных электронов в серебре
2. Сила тока на основании определения будет равна
105
dQ
 envds .
(2)
dt
3. Поскольку проводник имеет цилиндрическую форму и его сечение постоянно, то
I
I  envr ,
откуда скорость дрейфа электронов определится как
I
30
3
v 2 
 110 м / с .
6
28
19
r ne 3,14 10  6 10 1,6 10
2
(3)
(4)
2.1.10. В протонный пучок с плотностью тока j = 1 мкА/см2 поместили металлический шар радиусом r = 10 см.
Определите, за какое время  шар зарядится до потенциала  = 220 В? Действие собственного поля шара на поток
пренебрежимо мало.
Решение
1. Изменение электрического потенциала шара определяется уравнением
1 dQ
d 
,
(1)
4 0 r
откуда изменение электрического заряда шара
(2)
dQ  d 4 0 r .
2. Запишем далее уравнение силы тока в следующей форме
4 0 rd
dQ
2
I
 js ,
 r j ,
(3)
dt
dt
откуда
12

4 0  4  9 10  220

 8 мкс .
2
rj
0,110
(4)
2.1.11. В проводнике длиной l = 1 м полный движущийся заряд, равномерно распределённый по проводнику, равен Q = 1 мКл. Определить
среднюю скорость движения зарядов, если сила тока в проводнике I =
10 А.
Решение
1. Определим время перемещения проводника на расстояние l
106
Q
Q
,   .

I
2. Скорость перемещения зарядов определится как
 I 110
м
v    3  10 4 .
 Q 10
с
I
(1)
(2)
2.1.12. Сила тока в проводнике изменяется со временем по закону
I(t) = 2+1/t. Какой заряд проходит через поперечное сечение проводника
за время t1 = 10 c до t2 = 100 c?
Решение
1. Сила тока по определению определяется уравнением
dQ
I
,  dQ  Idt ,
dt
откуда конечная величина заряда определится как
t2
t2
t2
t2
1
dt

,
Q  I( t )dt   2  dt  2dt 
t
t

t1
t1 
t1
t1




Q  2t 1 0  ln t 1 0  200  20   ln100 - ln10   82 ,3 Кл .
100
(1)
100
(2)
2.1.13. Медный проводник массой m = 1 кг имеет сопротивление R =
100 Ом. Определить радиус поперечного сечения проводника.
Решение
1.Запишем уравнения для сопротивления и массы заданного проводника

2
(1)
R   R 2 , m  V  r ,
r
где R  1,610  8 Омм удельное электрическое сопротивление меди, 
 длина проводника, r  радиус проводника,   9103 кг/м3.
2. Выразим из уравнения массы длину проводника и подставим полученное значение в уравнение электрического сопротивления
 m
m

, R  R2 4 ,
(2)
2
r
 r
откуда
r4
R m
 R
2
8
4
1,6 10 1
9 10 10 100
3
107
4
 2 10 м  0,2мм .
(3)
2.1.13. Температура вольфрамовой спирали электрической лампочки
равна t = 2000 0С, диаметр проволоки составляет d = 210  4 м, сила
тока I = 2 А. Найти напряжённость электрического поля.
Решение
1. Запишем уравнение плотности тока j
I
4I
(1)
j  2 ,
s d
величину которой можно выразить, воспользовавшись законом Ома в
дифференциальной форме
E
,
(2)
j  E 
 R 0 
где   удельная электропроводность вольфрама, R(0)  510 8 Омм 
удельное электрическое сопротивление при t = 0 0C, Е  искомая напряжённость электрического поля.
2. Приравняем уравнения (2) и (4) и определим величину напряжённости поля
4I R
4I
E

, E 
.
(3)
2
2
 R 0 
d
d
3. Поскольку сопротивление проводников зависит от температуры
 R   R 0  1  t  ,
(4)
где   510  3 0С  1.
4. Совместим уравнения (3) и (4)
4I R 0  1  t  4  2  5 10 8 1  5 10 3  2 10 3
В
E

 37 .
2
8
м
d
3  4 10


(5)
2.1.14. На концах нихромовой нити длиной l = 5 м поддерживается
разность потенциалов  = 10 В. Найти плотность электрического
тока в проводнике, если он находится при температуре Т = 800 К.
Решение
1. Запишем закон Ома в дифференциальной форме
E

j  E 

,
 R  R 0  1  T 
(1)
где R(0)  10010  8 Омм  удельное сопротивление при Т = 273 К,  
0,210  3 К  1  температурный коэффициент электрического сопротивления нихрома, Е  напряжённость электрического поля,   разность
108
потенциалов на концах проводника.
2. Подставим табличные и заданные данные в уравнение (1)
10
6 А
j
 1,7 10 2 .
6
4
5 10 1  2 10  800
м


(2)
2.1.15. В стальном проводнике длиной l  100 м свободные электроны под действием электрического поля движутся со средней скоростью <v>  510  4 м/с. Определить концентрацию носителей заряда,
если разность потенциалов на концах провода равна U = 200 В.
Решение
1. Сила тока в проводнике может быть представлена, исходя из двух
соображений:
Us
I  ne v s, I 
,
(1)
R 
где n  концентрация электронов, е  1,610  19 Кл  заряд электрона,
,<v>  средняя дрейфовая скорость электронов, s  площадь поперечного сечения проводника, R  110  7 Омм  удельное электрическое сопротивление стали.
2. Приравняем уравнения (1) и разрешим полученное соотношение
относительно концентрации
Us
U
en v s 
, n 
,
R 
e v R 
(2)
200
29 1
n

2
,
5

10
.
19
7
4
2
3
1,6 10 10  5 10 10
м
2.1.16. Электрическая ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком из фторопласта (тефлона) составляет С = 1 пФ. Чему равно
электрическое сопротивление этого диэлектрика?
Решение
1. В данном случае необходимо определить сопротивление прямоугольной диэлектрической призмы с площадью основания s и высотой d. Так как прима является составным элементом конденсатора и
одновременно электрическим сопротивлением, то уместно записать следующие
уравнения
109
 0 s
d
, R  R ,
(1)
d
s
где  = 8  диэлектрическая проницаемость фторопласта, d  толщина
диэлектрика, s  площадь пластин, R  105 Омм  удельное сопротивление фторопласта.
2. Выразим из уравнения ёмкости величину площади s и подставим
её в уравнение сопротивления
C
 
dC
10  8  9 10
, R  R 0 
12
 0
C
10
5
s
12
 7,2 МОм .
(2)
2.1.17. Нихромовая спираль при температуре
Т0 = 273 К обладает электрическим сопротивлением R0 = 80 Ом. Какова станет температура спирали, если при подключении её к сети с
напряжением 100 В течёт постоянный ток силой I = 1 A?
Решение
1. Сопротивление спирали в зависимости от температуры определяется уравнением
(1)
R  R 0 1  T  ,
4
1
где   210 К  термический коэффициент сопротивления.
2. В соответствии с законом Ома
U
U
I  , R  .
(2)
R
I
3. Подставим значение сопротивления R из уравнения (2) в уравнение (1)

U
U
1 U
(3)
 R 0 1  T , 
 1  T,  T  
 1 ,
I
IR 0
  IR 0

1  100

T
 1  1250 K .
(4)

4
2 10  1  80 
110
2.2. Закон Ома для участка цепи
2.2.1. В приведенной схеме все электрические сопротивления одинаковы и
равны R1 = R2 = = R6 = R= 8 Ом. Определить общее сопротивление цепи R0.
Решение
1. Сопротивления R3 и R4 соединены
последовательно
R 3, 4  R 3  R 4  2 R .
(1)
2. Сопротивления R3,4 и R5 включены параллельно, поэтому
2R  R
2
R 3, 4 , 5 
 R.
(2)
2R  R 3
3. Аналогично находятся сопротивления, включенные последовательно и параллельно
2
5
R 2 , 3, 4 , 5  R  R  R .
(3)
3
3
5
R R
3  5R.
(4)
R 46 
5
R R 8
3
5
5
13
R 0  R  R  R  R  R  13 Ом .
(5)
8
8
8
2.2.2. Определить общее сопротивление цепи R0, если она составлена из двенадцати одинаковых резисторов R = 1 Ом.
Решение
1. В данном случае применять
непосредственно уравнения для
последовательного и параллельного включения резисторов не представляется возможным, однако
симметрия схемы относительно
точки О даёт основание считать,
что ток через неё не течёт.
111
2. Точку О можно разорвать, представив её двумя точками О и О *,
что даёт возможность выделить параллельные и последовательные
включения резисторов
3. Общее сопротивление, таким образом, определится как
3R  3R
3
R0 
 R  1,5 Ом .
3R  3R 2
(1)
2.2.3. Имеется четыре одинаковых резистора сопротивлением R =
1 Ом каждый. Какие магазины сопротивлений можно получить, включая одновременно все резисторы?
R 01
Решение
1. Пусть все сопротивления
включены последовательно друг
другу
(1)
 R1  R 2  R 3  R 4  4 Ом .
2. При параллельном включении всех
сопротивлений
1
1
1
1
1




,
(2)
R 02 R 1 R 2 R 3 R 4
R 02  R 4  0,25 Ом .
(3)
3. Пусть три резистора будут включены параллельно, а один последовательно им
R
R 03  R   1,33 Ом .
(4)
3
112
4. Представим далее магазин в
виде последовательного соединения двух параллельных сопротивлений
R R
(5)
R 04    1Ом .
2 2
5. Рассмотрим вариант параллельного включения двух пар последовательных соединений
2R  2 R
R 05 
 R  1Ом . (6)
2R  2R
6. Включим два сопротивления
параллельно и последовательно с
ними остальные два сопротивления
R
R 06  2R   2,5R  2,5 Ом . (7)
2
7. Пусть три сопротивления будут включены последовательно, а
одно параллельно им
3R  R
3
R 07 
 R  0,75 Ом . (8)
3R  R 4
8. Далее к двум последовательно
включенным сопротивлениям подсоединим два параллельных сопротивления
0,5R  2R
R 08 
 0,4R  0,4Ом . (9)
0,5R  2R
9. Последний возможный вариант будет представлять собой комбинацию двух
параллельных сопротивлений с последующим включением последовательно им одного сопротивления и параллельным включением четвёртого
0,5R  R R  3 R  0,6 Ом . (10)
R 09 
0,5R  2R
5
113
2.2.4. Какой шунт нужно присоединить
к гальванометру, имеющему шкалу на N =
100 делений с ценой деления i = 1 мкА и
внутренним сопротивлением rA = 180 Ом,
чтобы им можно было измерять ток силой до I = 1 мА?
Решение
1. Определим силу тока, соответствующую отклонению стрелки на
полную шкалу
I A  iN  1 10 6 100  1 10 4 A .
(1)
2. Определим сопротивление шунта с учётом того, что измеряемый
ток I разветвляется на токи Iш и IА, которые обратно пропорциональны
соответствующим сопротивлениям
I r
10 4 180
R ш I  I A   I A rA ,  R ш  A A  3
 20 Ом .
(2)
I  I A 10  10 4
2.2.5. Вольтметр включён как
показано на схеме и показывает UV
= 36 В. Определите отношение силы тока, идущего через измерительную катушку вольтметра IV и сопротивление R2 = 6 кОм. Что покажет вольтметр если сопротивления уменьшить в 1000 раз, т.е. до R1 = 4 Ом и R2 = 6 Ом?
Решение
1. Определим силу тока через резистор R1
U
36
I1  V 
 9 мА .
(1)
R 1 4 10 3
2. Падение напряжения на резисторе R2 будет составлять
(2)
U 2  U 0  U V  64 B ,
ток через этот резистор
U
64
I2  2 
 10,7 мА .
(3)
R 2 6 10 3
3. Сила тока, протекающего через измерительную катушку вольтметра
(4)
I V  I 2  I1  1,7 мА ,
4. Определим искомое отношение сил токов
114
IV
1,7

 0,159 .
I 2 10,7
5. Определим внутреннее сопротивление вольтметра
R I
4 10 3
RV  1 2 
 25,1кОм
IV
0,159
6. Найдём общее сопротивление
вольтметра и сопротивления R 1*
R 1*  R V
4  25

 3,45 Ом .
R 1*  R V
29
7. Общее сопротивление цепи
R 0  R 3  R *2  9,5 Ом .
8. Суммарная сила тока
U
100
I0  0 
 10,5 A .
R 0 9,5
R3 
(5)
(6)
(7)
(8)
9. Найдём далее падение напряжения на сопротивлении R *2
U 2  I 0 R *2  10,5  6  63 B .
10. Падение напряжения на вольтметре
U V  U 0  U 2  100  63  37 B .
(9)
(10)
2.2.6. Чему равна разность потенциалов
между клеммами Ux в схеме, если сопротивления равны: R1 = 2 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = 8 Ом,
R4 = 2 Ом, а U0 = 80 В.
Решение
1. Определим общее сопротивление цепи
R 1  R 2 R 3  R 4   100  5 Ом . (1)
R0 
R 1  R 2   R 3  R 4  20
2. Ток потребляемой всеми сопротивлениями от источника
U
I 0  0  16 A ,
(2)
R0
поскольку сопротивление цепочек R1, R2 и R3,R4 одинаковы, то через
них текут одинаковые по величине токи I1,2 = I3,4 = I0/2 = 8 А.
3. Определим падение напряжения на сопротивлениях R1 и R3
115
U 1  I1, 2  R 1  16 B ,
U 3  I1, 2  R 3  64 B .
4. Искомая разность потенциалов Ux
U x  U 3  U1  48 B .
(3)
(4)
2.2.7. Какой шунт нужно присоединить к
гальванометру, имеющему шкалу на N = 100 делений с ценой деления i = 1 мкА и внутренним
сопротивлением r = 180 Ом, чтобы им можно
было измерить ток I0 = 1 мА?
Решение
1. Определим предельную силу тока, на которую рассчитана измерительная головка прибора
I G  iN  1 10 6 100  1 10 4 A .
(1)
2. Поскольку шунт и гальванометр включены параллельно, то на них
будет одинаковое падение напряжения, а для токов можно записать следующие соотношения
I 0  I G  I Ш ,  I Ш  I 0  I G  10 3  10 4  9 10 4 А .
(2)
3. Определим далее падение напряжения на гальванометре и шунте
U G  I G r  10 4 180  0,018 B .
(3)
4. Сопротивление шунта
U
0,018
RШ  G 
 20 Ом .
(4)
I Ш 9 10 4
2.2.8. Амперметр с внутренним сопротивлением r = 0,1 Ом предназначен для измерения силы тока до IA = 1 А. Каким образом этим прибором можно измерить силу тока I0 = 100 А?
Решение
1. Расширение пределов измерения
амперметров достигается включением параллельно измерительной головки прибора сопротивления  шунта Rш, так чтобы
измеряемый ток разветвлялся
(1)
I0  IA  Iш .
2. Представим измеряемый ток в следующем виде
(2)
I  nIA ,
где n = I0/IA = 100, в этом случае
116
(3)
I ш  I 0  I A  I A n  1 .
3. Поскольку шунт с амперметром включаются параллельно, то падение напряжения на шунте и амперметре одинаковы I A R A  I ш R ш ,
поэтому
r
0,1
Rш 

 0.001 Ом .
(4)
n - 1 99
2.2.9.Три одинаковых графитовых кольца радиусом r = 1 м и диаметром d = 1 см
имеют электрический контакт в точках
A,B,C,D,F,E. Определить сопротивление
фигуры при включении её в точках А и В.
Решение
1. В силу одинаковости геометрических
размеров и симметричности включения точки C,D,E,F при подключении к источнику
напряжения будут иметь одинаковые потенциалы, т.е. С = D = E = F. Это значит, что
через элементы кольца C,D,E,F ток течь не
будет. Схему можно преобразовать к системе, состоящей из параллельно включенных
полуколец: A,D,B; A,F,B; A,C,B; A,FB и
A,E,B.
2. Определим сопротивление одного полукольца с учётом того что удельное электрическое сопротивление графита   110  5
Омм.
4r
4 1
R 1   2  10 5 4  0,4 Ом .
(1)
d
10
3. Определим далее сопротивление четырёх параллельно включенных одинаковых колец
R
R 0  1  0,1Ом .
(2)
4
2.2.10. Имеется воздушный конденсатор с плоскими пластинами
площадью s =100 см2 и зазором между ними d = 2,5 см. Пространство
между пластинами ионизируется рентгеновскими лучами, так что в
секунду образуется N = 1010 пар ионов. На пластины конденсатора подаётся постоянное напряжение U0 = 2 кВ. В измерительную схему
117
включены сопротивления R1 = R2 = 1010 Ом. Ток,
какой силы потечёт через измерительный прибор, включенный в цепь источника питания?
Решение
1. Возникновение носителей заряда вследствие ионизации электрически нейтральных молекул воздуха вызовет электрический ток, сила
которого будет пропорциональна величине заряда, их количеству и объёму конденсат
(1)
i C  NeVC ,
где е  1,610  19 Кл  заряд одного иона, N 
число пар ионов образующихся в одну секунду в единице объёма конденсатора.
2. Выразим напряжение источника U0 в виде суммы падений напряжений на сопротивлениях
U 0  U R1  U R 2  I R1 R 1  I R 2 R 2 .
(2)
3. Сила тока через сопротивление R1 должна быть равна сумме сил
токов через сопротивление R2 и конденсатор, т.е.
I R1  I R 2  i C .
(3)
4. Образуем систему уравнений
U 0  I R 1 R 1  I R 2 R 2 ,
.
I R1  I R 2  i C

(4)
Сила тока через микроамперметр будет равна силе тока через сопротивление R1, поэтому выразим из первого уравнения системы (4) силу тока
IR2 и подставим во второе уравнение
U 0  I R1 R 1
U 0  I R1 R 1
IR2 
,  I R1 
 iC ,
(5)
R2
R2
I R1 R 2  U 0  I R1 R 1  i C R 2 ,
(6)
I R1 R 2  R 1   U 0  NeVC ,
U 0  NeVC 2 10  10 1,6 10

10
R1  R 2
2 10
3
I R1  I A 
10
118
19
(7)
 2,5 10
4
7
 110 A . (8)