Симедианы иx

Симедианы и .
и гармонические четырехугольники
1. Пусть прямые AA1, BB1 и CC1, проходящие через вершины треугольника ABC, пересекаются в точке P. Докажите, что если точки A2, B2, C2 симметричны точкам A1, B1, C1 относительно середин соответствующих сторон, то прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной
точке Q.
11. Четырехугольник ABCD вписан в окружность S c центром в точке O. Биссектриса угла
ABD пересекает сторону AD в точке K, a окружность S в точке M; биссектриса угла CBD
пересекает сторону CD в точке L, a окружность S в точке N. Известно, что KL параллельно
MN. Докажите, что описанная окружность ΔMON проходит через середину BD.
Точки P и Q называются изотомически сопряженными.
2. Пусть прямые AA1, BB1 и CC1, проходящие через вершины треугольника ABC, пересекаются в пересекаются в точке P. Докажите, что если прямые AA2, BB2 и CC2 симметричны
прямым AA1, BB1 и CC1 относительно биссектрис соответствующих углов, то они пересекаются в одной точке Q.
Точки P и Q называются изогонально сопряженными.
3. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания вневписанных окружностей со сторонами треугольника, пересекаются в одной точке.
4. (очень легкая, для сведения) Докажите, что ортоцентр треугольника и центр описанной
окружности находятся в изогональном сопряжении.
Прямая, симметричная медиане треугольника относительно биссектрисы этого же
угла, называется симедианой.
5. Докажите, что все три симедианы пересекаются в одной точке.
6. Докажите, что при инверсии с центром в вершине A треугольника ABC с радиусом
bc
симедиана переходит в медиану получившегося треугольника.
7. Докажите, что симедиана из угла A треугольника ABC, проходит через точку пересечения касательных к описанной окружности треугольника ABC, проведенных в точках B и C.
Попытайтесь доказать предыдущую задачу с помощью а) инверсии из предыдущей
задачи; б) подсчета в комплексных числах; в) угловой теоремы Чевы; г) окружности
Аполлония (или узнать, что это такое).
12. Дана точка A на диаметре BC полуокружности S. Точки X; Y на S таковы, что XAB =
YAC. Докажите, что прямые XY проходят через одну точку или параллельны.
13. Точки A и A0 инверсны относительно окружности S, причем A0 —внутри S. Через A0
проводятся хорды XY. Докажите, что центры вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника AXY фиксированы.
14. В окружности фиксирована хорда MN. Для каждого диаметра AB этой окружности рассмотрим точку, в которой пересекаются прямые AM и BN, и проведем через нее прямую
l, перпендикулярную AB. Докажите, что все прямые l проходят через одну точку.
15. (гармонический четырехугольник) Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность S. Известно, что касательные к S, проведенные в точках A и C, пересекаются на прямой BD или параллельны BD. Докажите, что касательные к S, проведенные в точках B и D,
пересекаются на прямой AC или параллельны AC.
16. (вписанный четырехугольник) Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром
O. Диагонали ABCD пересекаются в точке P, продолжения сторон AB и CD — в точке R,
продолжения сторон BC и DA — в точке Q. Докажите, четверка точек O; P; Q; R — ортоцентрическая (т. е. каждая точка — ортоцентр треугольника с вершинами в оставшихся трех).
17. (описанный четырехугольник) Четырехугольник ABCD описан около окружности; K,
L, M, N — точки касания с окружностью сторон AB, BC, CD, DA, соответственно. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке R, продолжения сторон BC и DA — в точке Q,
продолжения сторон KL и MN — в точке S, продолжения сторон LM и NK — в точке T.
а) Докажите, что Q, R, S, T лежат на одной прямой. б) Докажите, что AC, BD, KM, LN пересекаются в одной точке.
8. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. На окружности S1 выбрана точка Q.
Прямые QA и QB пересекают окружность S2 в точках C и D, касательные к S1 в точках A и B
пересекаются в точке P. Точка Q расположена вне S2, точки C и D − вне S1. Докажите, что
прямая QP проходит через середину отрезка CD.
18. (вписанно-описанный четырехугольник) Четырехугольник ABCD описан около
окружности S1 с центром I и вписан в окружность S2 с центром O. Диагонали ABCD пересекаются в точке P, продолжения сторон AB и CD — в точке R, продолжения сторон BC и DA
— в точке Q. а) Докажите, что O, I, P — на одной прямой.
9. Две окружности пересекаются в точках A и B, а хорды AM и AN касаются этих окружностей. Треугольник MAN достроен до параллелограмма MANC и отрезки BN и MC разделены точками P и Q в равных отношениях. Докажите, что APQ = ANC.
б) Фиксируем S1 и S2, рассмотрим всевозможные четырехугольники ABCD, описанные
около окружности S1 и вписанные в окружность S2. Докажите, что для всех таких четырехугольников точки P совпадают, а также прямые QR совпадают.
10. Окружность касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника ABC , а также его сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Докажите, что центр
вписанной в треугольник ABC окружности лежит на отрезке PQ.
19. Вписанная окружность треугольника ABC имеет центр I и касается сторон в точках A1,
B1, C1. Прямая B1C1 пересекает BC в точке A2. Докажите, что A2I перпендикулярна AA1.
20. Вписанная окружность треугольника ABC имеет центр I и касается сторон в точках A1,
B1, C1. Прямая B1C1 пересекает BC в точке A2. Докажите, что проекция C на биссектрису угла
ABC лежит на B1C1.