Контрольно-измерительные материалы по дисциплине «Линейная

Контрольно-измерительные материалы по дисциплине «Линейная
алгебра» для входящего, рубежного и остаточного контроля знаний
студентов
1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки А и B;
определить

направляющий вектор а этой прямой А (2, 8); В (-2,4).
2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки А и B в

пространстве; определить направляющий вектор а данной прямой
А (-3, 0, 4); В (-1,2, 3).
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки А, В, С в

пространстве; определить нормальный вектор n этой плоскости
А (3, 2, 5); В (-1,-3, 2); С (3, 0, 4).
4. Определить расстояние d от точки М до прямой l . М (3, 8);
l : 2х  5 y  2  0 .
5. Определить расстояние d от точки М до плоскости L. М (1,-3, 2);
L : х  2 y  3z  5  0
6. Определить координаты центра М и радиус R данной окружности К
К : х 2  4х  y 2  2 y  8
7. Определить координаты центра М и радиус R данной сферы K в
пространстве
К : х 2  х  y 2  2 y  z 2  3z  2 .
 3 8
 , вычислить ее определитель
8. Дана матрица 2-го порядка А  
 4 5
А
3 8
4 5
9. Дано выражение А, пользуясь свойством линейности определителя по
строкам
представить А в виде одного определителя А  2
3 2 4 1

2 3 2 3
10. Дана матрица А 3-го порядка, вычислить ее определитель А методом
2 3 4
непосредственного развертывания А   1 3 4
3 2 3
11.Дана матрица 3-го порядка А, методом разложения по 1-й строке
вычислить ее
определитель А
2 3 4
А2 3 0
3 2
4
12.Дано выражение А , пользуясь линейностью определителя по 1-й
строке представить А в виде одного определителя 3-го порядка
3 2 0
3 1 4
А  2 4 3 2 2
1 3 4
1
4 3
3 4
13.Дана матрица 3-го порядка А, привести ее определитель А методом
элементарных преобразований к треугольному виду и вычислить его.
2 4 3
А3 1 4
4 5 2
14.Дана система линейных уравнений; решить ее по правилу Крамера
 x  2 y  4 z  13

4 x  y  z  10
 x  4 y  z  11

15.Методом Гаусса привести систему уравнений к треугольному виду и
найти ее неизвестные
8 x  y  z  2

x  2 y  z  4
3x  5 y  2 z  1

16.Даны две матрицы 2-го порядка А, В; найти их произведение С=А∙В
3 8
 3  1
 ; В  

А  
 2 4
2 3 
17.Даны две матрицы 3-го порядка А, В; найти их произведение С=А∙В
 3  2 4
 4 1  3




А   2 5 2 ; В   8 1 0 
 3 4 8
3 4 2 




18.Дана матрица 2-го порядка А , найти ее обратную матрицу А 1
 2  4

А  
3 2 
19.Дана матрица 3-го порядка А , найти ее обратную матрицу А 1
 1  2  2


А  4 3
5 
8 3
8 

20.Решить систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными методом
обратной матрицы
x  4 y  z  9

 y  z  4
2 x  3 y  z  2


21. a  3,5


22. Дан вектор а в пространстве. Найти длину этого вектора а ,
а также сos , cos  , cos 

 - угол между а и ОХ

 - угол между а и ОY

 - угол между а и ОZ

а  1, 3,  2

23. Даны два вектора а и
векторами


а  3, 8 ; в  1, 2

24. Даны два вектора а и
векторами


а  2 , 5, 4 ; в  3,  3, 4

в на плоскости. Найти
соs , 

в в пространстве. Найти
- угол между
соs , 
- угол между



а1
в1
с1
25. На плоскости даны три системы векторов А    ; В    ; С    .
а2
в2
с2
Определить какая из них образует правый базис, какая – левый базис,
какая не
образует базис



а1  3,  4
в1  1, 4
с1   3, 2
А  
В  
С  
а2  1, 3
в2  3, 2
с2  3,  2



а1
в1
с1



26. В пространстве даны три системы векторов А  а2 ; В  в2 ; С  с2 .
а
в
с
 3
 3
 3
Определить какая из них образует правый базис, какая – левый базис,
какая не
образует базиса



а1   3, 2 ,  5
в1  2 ,  1, 4
с1  3,  4 , 3



А  а2  2 , 4 , 1
В  в2  3, 3, 2 С  с2  2 , 2 , 1
а  3, 0 , 4
в  4 , 2 , 3
с  5 ,  2 , 4
 3
 3
 3

27.Найти площадь параллелограмма S, построенного на двух векторах а и

в в плоскости

а  2, 3

в  1, 3

28.Найти площадь параллелограмма S, построенного на двух векторах а и

в в
пространстве

а   3, 4, 2

в  1, 1, 4
  
29. Найти объем параллелепипеда V, построенного на 3-х векторах а, в , с

а   3, 4 , 2

в  5 ,3, 4

с   1, 2 , 2