Команда____________________

Команда____________________
Первый тур (7 минут; каждая задача – 6 баллов)
1.1. Покажите, что если каждое из двух данных чисел является суммой двух
квадратов, то и произведение этих чисел может быть представлено в
виде суммы двух квадратов.
Команда____________________
Первый тур (7 минут; каждая задача – 6 баллов)
1.2. Имеются 13 равных квадратов. Как составить из них два квадрата?
Команда____________________
Первый тур (7 минут; каждая задача – 6 баллов)
1.3.
Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3
дороги, быть ровно 100 дорог?
Команда____________________
Второй тур (12 минут; каждая задача – 7 баллов)
2.1. По кругу написано 20 чисел, каждое из которых равно сумме двух своих
соседей. Докажите, что сумма всех чисел равна 0.
Команда____________________
Второй тур (12 минут; каждая задача – 7 баллов)
2.2. Две окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом.
Каждая из них касается внутренним образом окружности с центром O и
радиусом R . Найдите периметр треугольника OO1O2 .
Команда____________________
Второй тур (12 минут; каждая задача – 7 баллов)
2.3. В классе больше 30, но меньше 40 человек. Любой мальчик дружит с
тремя девочками, а любая девочка – с пятью мальчиками. Сколько в
классе девочек и сколько мальчиков.
Команда____________________
Третий тур (18 минут; каждая задача – 8 баллов)
3.1. Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности
между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в
обратном порядке.
Команда____________________
Третий тур (18 минут; каждая задача – 8 баллов)
3.2. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота CH . Найдите
длину AC , если MH  10 .
Команда____________________
Третий тур (18 минут; каждая задача – 8 баллов)
3.3. Докажите, что число людей, когда-либо живших на земле и сделавших
нечетное число рукопожатий, четно.