Тема «Сложная функция».

Сложная функция
1. Если задана некоторая функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), например, 𝑦 = 2𝑥 + 1 , то
это значит, что задано правило соответствия 𝑓. Это правило предписывает
произвести над значением аргумента 𝑥 определенные действия, а именно, в
нашем случае, умножить его на 2 и затем к произведению прибавить 1. В
итоге получаем определенное число - соответствующее значение функции
𝑓(𝑥). Так, если 𝑥 = 0, то 𝑓(0) = 2 ∙ 0 + 1 = 1, а если 𝑥 = 1 + √2, то 𝑓(1 +
√2) = 2 ∙ (1 + √2) + 1 = 2√2 + 3. При 𝑥 = 𝑎
получаем 𝑓(𝑎) = 2𝑎 + 1.
Областью определения функции является числовое множество, в нашем
примере – это 𝑅.
Рассмотрим следующее выражение 𝑓(t 2 + 1), в котором вместо
аргумента данной функции подставляется некоторая функция от другого
аргумента, а именно 𝜑(𝑡) = t 2 + 1. Можно записать это выражение в виде
𝑓(𝜑(𝑡)). Таким образом, мы имеем «функцию от функции». Аргументом
этой новой функции является переменная t. Значения функции 𝑓(t 2 + 1), то
есть
𝑓(𝜑(𝑡)),
вычисляются
следующим
образом.
Берется
значение
аргумента t, например, равное 2, и находится значение функции 𝜑(𝑡) = t 2 +
1 при t = 2. Имеем 𝜑(2) = 22 + 1 = 5. Далее вычисляем значение функции
𝑓 при 𝑥 = 5. Получаем 𝑓(5) = 2 ∙ 5 + 1 = 11. Таким образом, 𝑓(𝜑(2)) = 11.
Для произвольного значения t имеем 𝜑(𝑡) = t 2 + 1 , то есть 𝑥 = t 2 + 1,
значит f(t 2 + 1) = 2(t 2 + 1) + 1 = 2t 2 + 3 (1). Поэтому формула функции
𝑓(𝜑(𝑡)) имеет вид 𝑦 = 2t 2 + 3.
Отметим, что фактически в(1) были
проделаны те действия, которые предусматриваются правилом f, однако эти
действия были проделаны не над аргументом х, а над выражением t 2 + 1.
Функция 𝑓(𝜑(𝑡)) получена в результате описанной операции называется
сложной. Термин «сложная» используется здесь в смысле «составная», то
есть сложная функция составлена из других функций. Дадим точное
определение сложной функции.
Определение. Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) определена на множестве 𝑋, а
функция 𝑥 = 𝜑(𝑡) – на множестве 𝑈, причем множество значений функции 𝜑
содержится в области определения функции 𝑓.Поставим в соответствие
каждому числу 𝑡 из 𝑈 число 𝑓(𝜑(𝑡) ). Тем самым на множестве 𝑈 будет
задана функция 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑡)). Эту функцию называют сложной функцией или
композицией функций 𝑓 и 𝜑.
При этом f называют внешней, a g — внутренней функцией
композиции.
Пример 1. Пусть y = f(x), где f(x) = 2x + 1. Составьте сложную
функцию y = f(𝜑(𝑡)), если
a) 𝜑(𝑡) = t + √t; b)𝜑(𝑡) = t 2 + t − 1 .
Решение. Подставим вместо x в формулу функции y = f(x),
соответственно, t + √t и t 2 − 1):
Получаем
a) f(t + √t) = 2(t + √t) + 1 = 2t + √t +1.
f(𝜑(𝑡)) =
+√t +1
b) f(t 2 + t − 1) = 2(t 2 + t − 1) + 1 = 2t 2 + 2t − 1.
В
итоге
f(𝜑(𝑡)) = 2t 2 + 2t − 1.
Пример 2. Даны две функции f и g, соответственно, y =
5x+1
x2 +1
, x=t+
1. Найдите сложную функцию y = f(g(t)).
Решение. y =
5x+1
5(t+1)+1
5t+6
x2 +1
(t+1)2 +1
t2 +2t+2
Рассмотрим
следующую
,y =
,y =
задачу,
в
.
которой
требуется
найти
композицию функций 𝑦 = √𝑥 + 1 и 𝑦 = 𝑥 2 + 2, причем первая функция –
внешняя, а вторая - внутренняя. Для удобства имеет смысл ввести новые
обозначения для переменных второй функции, обозначив ее аргумент
буквой 𝑡, а зависимую переменную – буквой 𝑥. Имеем 𝑥 = 𝑡 2 + 2. Важно
понимать, что введение других обозначений переменных никак не повлияло
на функцию. Записи 𝑥 = 𝑡 2 + 2 и 𝑦 = 𝑥 2 + 2 представляют одну и ту же
функцию, с областью определения 𝑅, действие которой состоит в
возведении аргумента в квадрат и прибавлении числа 2.
Композицией функций 𝑦 = √𝑥 + 1 и 𝑥 = 𝑡 2 + 2 является функция 𝑦 =
√𝑡 2 + 3. В этом случае также ничего не мешает обозначить другой буквой
аргумент сложной функции, а именно - буквой 𝑥, то есть так,
как
обозначены аргументы обеих функций в условии задачи. Таким образом,
получаем ответ: 𝑦 = √х2 + 3. Заметим, что тот же результат можно
получить, если
формально подставить в формулу первой функции 𝑦 =
√𝑥 + 1 вместо 𝑥 выражение 𝑥 2 + 2. На практике, конечно, можно
пользоваться этим приемом, при этом понимая математический смысл
произведенной операции.
Пример 3. Найдите сложную функцию, составленную из функций 𝑦 =
𝑥 3 и 𝑦 = 𝑥 2 + 2, где первая функция будет внешней, а вторая - внутренней.
Решение. В первую функцию вместо 𝑥 подставим выражение 𝑥 2 + 2 .
В итоге получаем 𝑦 = (𝑥 2 + 2)3 .
2. Пусть даны две функции 𝑓(𝑥) = √𝑥 и 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1
 сложная функцию, в которой 𝑓 - внешняя функция, а 𝑔 – внутренняя,
то есть функция 𝑓(𝑔(𝑥)), имеет вид 𝑦 = √2𝑥 + 1 (2)
 Если, наоборот, в качестве внешней функции взять 𝑔, а в качестве
внутренней - 𝑓, то есть составить сложную функцию 𝑔(𝑓(𝑥)),то
получим функцию 𝑦 = 2√𝑥 + 1 (3).
В итоге получены две разные функции: 𝑦 = √2𝑥 + 1 и 𝑦 = 2√𝑥 + 1.
1
Они имеют разные области определения, у первой 𝑥 ≥ − , а у второй 𝑥 ≥ 0.
2
Кроме того, функции принимают разные значения, например, при 𝑥 = 1:
значение первой равно √3, а второй равно 3. Таким образом, для заданных
функций 𝑓 и 𝑔 оказалось, что 𝑓(𝑔(𝑥)) ≠ 𝑔(𝑓(𝑥)). На основании этого
можно сделать вывод о том, что если в сложной функции внутреннюю и
внешнюю функции поменять местами, то может получиться другая функция.
На самом деле, практически всегда так и происходит, поэтому нужно
внимательно следить в каком порядке берутся функции при составлении из
них сложной функции.
3. Рассмотрим вопрос об области определения и множестве значений
сложной функции. Возьмем функции 𝑓 и 𝑔, графики которых изображены
на рисунках 1 и 2 , и составим сложную функцию 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) С помощью
графиков проследим, каким образом находятся значения сложной функции.
Рисунок 1
Рисунок 2
Рассмотрим число 𝑎, принадлежащее области определения внутренней
функции 𝑔. В нашем примере 𝐷(𝑔) = 𝑅. Находим значение 𝑔(𝑎) (рис.2).
Далее нужно вычислить значение функции 𝑓 от числа 𝑔(𝑎), то есть 𝑓(𝑔(𝑎))
(рис.1). Для этого необходимо, чтобы число 𝑔(𝑎) принадлежало области
определения функции 𝑓, то есть 𝑔(𝑎) ∈ 𝐷(𝑓) (рис.1). Если это условие не
выполняется, то число 𝑎 не входит в область определения сложной функции.
Таким образом, число 𝑎 должно быть таким, что 𝑔(𝑎) ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐸(𝑔). Для
нашего примера множество 𝐷(𝑓) ∩ 𝐸(𝑔) является отрезком [0,3](рис.1). Это
значит, что 𝑔(𝑎) ∈ [0,3]. По графику функции 𝑔 определяем, что тогда 𝑎 ∈
[−2,5; 2,5](рис.2). Поэтому областью определения сложной функции
𝑦=
𝑓(𝑔(𝑥)) является отрезок [−2,5; 2,5], в то время как 𝐷(𝑔) = 𝑅.
Итак,
область
определения
сложной
функции,
как
видно
из
приведенного примера, содержится в области определения внутренней
функции, но может быть меньше ее. Точно также как и множество значений
сложной функции в сравнении с множеством значений внешней функции.
Отметим, что не всякие функции могут составить сложную функцию.
Так будет в случае, если множества 𝐷(𝑓) и 𝐸(𝑔) не содержат общих точек,
то есть их пересечение 𝐷(𝑓) ∩ 𝐸(𝑔) пусто (рис. 5)
Рисунок 3
Рисунок 4
Пример 4. Найти множество значений сложной функции 𝑦 = 𝑔(𝑓(𝑥)),
если 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
и 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1
Решение. Формула сложной функции имеет следующий вид: y =
1
.
x2 +1
Решим эту задачу с привлечением графиков заданных функций. Напомним,
что множество значений функции представляется проекцией графика на ось
ординат.
Множество
значений
внутренней
функции 𝑓
составляет
промежуток [1; +∞),то есть E(f) = [1; +∞) (рис. 6). Внешняя функция g
определена на всем промежутке [1; +∞) (рис. 5). Исходя из ее свойств,
заключаем, что функция g принимает на этом промежутке все значения от
нуля, не включая его, до единицы. Таким образом, множество значений
сложной функции составляет промежуток (0; 1]. Ответ. (0; 1].
Рисунок 6
Рисунок 5
Упражнения
1. – Заданы функции 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1. Найдите
𝑓(𝑔(1)
𝑓(𝑔(−1)
𝑔(𝑓(0)
2. Заданы функции 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1
Найдите
𝑓(𝑔(2)
𝑓(𝑔(0,5)
𝑔(𝑓(3)
𝑔(𝑓(√5)
𝑔(𝑓(2)
3. Составьте сложные функции 𝑦 = 𝑔(𝑓(𝑥)) и 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)), если
𝒇(𝒙)
𝑔(𝑥)
1.
√𝑥
𝑥2
2.
3𝑥
1
𝑥
3
3.
𝑥+2
𝑥−2
4.
5
𝑥
5
𝑥
4. Заполните таблицу
1.
𝒇(𝒙)
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑔(𝑥))
√𝑥
𝑥−7
?
2.
3𝑥
𝑥+2
?
3.
√𝑥 − 5
?
√𝑥 2 − 5
𝑥
𝑥−1
1
1+
𝑥
𝑥
𝑥−1
?
?
𝑥
1
𝑥
𝑥
4.
5.
6.
?
Ответ:
1) √𝑥 − 7 ; 2)3𝑥 + 6; 3) 𝑥 2 ; 4) 𝑥 , 𝑥 ∈ (−∞; 1) ∪ (1; ∞); 5)
1
𝑥−1
1
; 6) .
𝑥
5. Найдите множество значений сложной функции 𝑦 = 𝑔(𝑓(𝑥)), если
𝑔(𝑥) =
1
𝑥
и 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1
6. Найдите множество значений функции 𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝒚 = 𝒇(𝒙)
1.
𝑦 = √9 − 𝑥 2
2.
𝑦 = √𝑥 2 − 4𝑥 + 5
3.
𝑦 = −𝑥 4 + 2𝑥 2 + 5
4.
𝑦 = √𝑥 2 − 6𝑥 + 11
Ответ:
1) [0; 3]; 2)[1; +∞); 3) (−∞ ; 6] ; 4) [√2; +∞);.
7. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 =
8.
Найдите наибольшее значение выражения
1.
2.
Ответ: 1)
1
11
2)3,5;
1
𝑥 2 + 11
𝑥 2 + 2𝑥 + 8
𝑥 2 + 2𝑥 + 3
3
𝑥 2 −2𝑥+3
Ответ: 1,5
Дополнительные задания
1. Функции 𝑓 и 𝑔 заданы таблицами. Найти сложную функцию, в
которой 𝑔 - внешняя функция, а 𝑓 – внутренняя
Функция аргумент -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)
значение 2 0 -1 -4 -2 3 -4 -4 -3
Функция аргумент -4 -3 -2 -1 0
g(x)
значение -2 4 1 0 2
Ответ.
1
2
Функция аргумент -4 -3 -2 -1 0
g(f(x))
значение 1 2 0 -2 1
1 2 3 4
3 -2 -2 4
2
1
3
3
4
2
2. Доказать, что композиция
 двух возрастающих функций – функция возрастающая
 двух убывающих функций – функция возрастающая
 убывающей и возрастающей – функция убывающая
 возрастающей и убывающей - функция убывающая
3. Заполните таблицу
𝒇(𝒙)
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑔(𝑥))
4.
√𝑥
?
|𝑥|
5.
𝑥2
√𝑥 − 3
?
6.
|𝑥|
1
𝑥−1
?
7.
8.
𝑥−1
𝑥
1
𝑥
Ответ: 1)𝑥 2 ; 2) 𝑥 − 3, 𝑥 ∈ [3; ∞); 3)
1
?
𝑥
𝑥+1
?
𝑥2
; 4)𝑥 + 1; 5)
|𝑥−1|
1
𝑥2
.
4. Функция 𝑓(𝑥) возрастает на промежутке (−∞; 0]и убывает на промежутке
[0; ∞). Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции
𝑓(2𝑥 + 1).
Ответ. промежуток возрастания: (−∞; 0], промежуток убывания: [0; +∞].
5. Функция 𝑓(𝑥) возрастает на промежутке (−∞; 1]и убывает на промежутке
[1; ∞). Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции
𝑓(𝑥 2 − 1).
Ответ. промежутки возрастания: (−∞; −√2] ; [0; √2].
промежутки убывания: [−√2; 0]; [√2; +∞].
6. Нарисуйте графики функций 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑓(𝑓(𝑥)), если
𝑓(𝑥) = {
Ответ.
𝑥 + 2, −2 ≤ 𝑥 < 0
𝑥 − 1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2