Урок-семинар по теме Теория вероятностейx

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Средняя школа №3
Обобщающий урок – семинар в 11 классе
по теме "Основы теории вероятностей,
комбинаторики и математической
статистики"
Учитель математики
Чернецова Светлана Александровна
1
Тема урока: Основы теории вероятностей, комбинаторики и математической
статистики.
Цель: Провести обобщение и углубления пройденного материала по основам теории
вероятностей, комбинаторики и математической статистики.
Обеспечить в ходе урока усвоение следующих основных понятий: события, их виды,
вероятность.
Создание условий для формирования основных мировоззренческих идей: причинноследственных связей, вероятностно-статистического мышления.
Развитие познавательного интереса, мотивации через применение занимательных задач и
примеров.
Тип урока: урок-семинар
Ход урока:
1. Оргмомент.
2. Вводная лекция (с элементами беседы).
В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые
полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов и даже в газете
читаем: вероятность долговременного прогноза погоды на неделю - 80%.
Каждый из нас не отделен от окружающего мира глухой стеной, да и в своей жизни мы
ежедневно сталкиваемся с вероятностными ситуациями. Проблема выбора наилучшего из
нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о
справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных ситуациях – все это,
несомненно, находится в сфере реальных интересов личности.
Подготовку человека к таким проблемам во всем мире осуществляет школьный курс
математики, и в частности ее раздел ''математическая статистика, комбинаторика, теория
вероятностей''. По данным темам прослушаем презентации учащихся: Дронова Виктория
по теме «Решения комбинаторных задач», Горячкина Ольга по теме «Случайные,
невозможные, достоверные события. Классическое определение вероятностей событий»,
Яковлев Антон по теме «Решение задач по теории вероятностей», Хомуткова Софья по
теме «Классификация событий», Яковлев Алексей по теме «Геометрические вероятностей
событий», Городкова Анна по теме «Математическая статистика, частота, кратность,
полигон кратности, гистограмма частоты».
1) Дронова Виктория по теме «Решения комбинаторных задач»
Немного истории.
В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода
множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами
каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным
свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее
выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической
телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных
2
молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе
управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со
всеми их многочисленными приложениями.
Поговорим об одном из разделов теории вероятности – комбинаторике.
Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки
предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных
вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне
основного русла развития математики.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать
их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие,
люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение
охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов - во время
работы.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно
сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились
игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и
опровергать планы противника.
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В
каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и
выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел
избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных
размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне
переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств
пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на
комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах
букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с
возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач
необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые
научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым
Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французс- ким
ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал
рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве
комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин
“комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В
современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика
“добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по
математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач
методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют “дерево
возможностей”) с применением правила умножения. Так, например, “дерево
возможностей” помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора
вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует
одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем
ряду “дерева”. Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти
число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В,
следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов
испытания В. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как
факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”).
Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют nфакториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n
В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и
3
составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости
от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки,
размещения, сочетания.
ЗАДАЧИ
1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на
второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и
компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?
1 способ. Перечислим возможные варианты
Чай(Ч)
Компот (К)
Мясо с макаронами(М)
Рыба с картошкой(Р)
Курица с рисом(Кр)
Борщ (Б)
БМЧ/ БМК
БРЧ/БРК
БКрЧ/БКрК
Солянка(С)
СМЧ/ СМК
СРЧ/СРК
СКрЧ/СКрК
Грибной суп(Г)
ГМЧ/ГМК
ГРЧ/ГРК
ГКрЧ/ГКрК
18 вариантов.
2 способ. Дерево возможностей.
3 способ. Используя правило умножения, получаем: 3х3х2=1
2. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама
положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет
достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?
1 способ. Обозначим мячи - М1, М2, игрушки- И1,И2,И3, И4, куклы- К1,К2, К3,
К4, К5.
Перечислим возможные варианты:
М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5,
М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5,
М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5,
М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5
М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5,
М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5,
М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5,
М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5
Ответ: 40 вариантов.
2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 40
3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?
1 способ.
Перечислим возможные варианты.
4
0
2
6
2
20
22
26
3
30
32
36
6
60
62
66
7
70
72
76
9
90
92
96
2 способ. Дерево возможностей.
3 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х3=15 .
4. Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера
Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру “2”. В городке номера машин были
трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае,
ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?
1 способ. Перечислим возможные варианты номеров такси:
1
2
3
4
5
1
211
212
213
214
215
2
221
222
223
224
225
3
231
232
233
234
235
4
241
242
243
244
245
5
251
252
253
254
255
Ответ: 25 человек.
2 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х5=25
5. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они
рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без
повторения?
1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать,
что они рассаживаются поочередно:
№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)
№2 - Петя - 4 варианта
№3- Денис - 3 варианта
5
№4- Оля - 2 варианта
№5 - Настя- 1 вариант
Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120
2 способ. Решаем, используя понятие факториала: 5!=120
6. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар
дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?
1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары:
11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,
11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11Д
Ответ: 10 пар.
2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.
Число элементарных событий =
= 10
7. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя
и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1
мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару
выбрать?
1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.
Получаем следующие пары:
В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.
Ответ: 6 пар.
2) Горячкина Ольга по теме «Случайные, невозможные, достоверные события.
Классическое определение вероятностей событий»:
Основные определения ~ Действия со случайными событиями ~ Вероятность события.
Аксиоматическое определение вероятности ~ Вероятность события. Классическое
определение вероятности ~ Вероятность суммы событий ~ Вероятность произведения
событий. Условная вероятность. Независимые события ~ Формула полной вероятности.
Формулы Байеса
Основные определения. Будем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента)
может быть один или несколько взаимоисключающих исходов; эти исходы неразложимы
и взаимно исключают друг друга. В этом случае говорят, что эксперимент заканчивается
одним и только одним элементарным исходом.
Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного
эксперимента, будем называть пространством элементарных событий  (элементарное
событие соответствует элементарному исходу).
Случайными событиями (событиями), будем называть подмножества пространства
элементарных событий  .
Пример 1. Подбросим монету один раз. Монета может упасть цифрой вверх элементарное событие  ц (или  1), или гербом - элементарное событие  Г (или  2).
Соответствующее пространство элементарных событий  состоит из двух элементарных
событий:
 = { ц, Г } или  = { 1, 2}.
6
Пример 2. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных
событий  = { 1,  2,  3,  4,  5,  6}, где  i- выпадение i очков. Событие A выпадение четного числа очков, A = { 2, 4, 6}, A  .
Пример 3. На отрезке [0, 1] наугад (случайно) поставлена точка. Измеряется расстояние
точки от левого конца отрезка. В этом опыте пространство элементарных событий  = [0,
1] - множество действительных чисел на единичном отрезке.
В более точных, формальных терминах элементарные события и пространство
элементарных событий описывают следующим образом.
Пространством элементарных событий называют произвольное множество ,  ={}.
Элементы  этого множества  называют элементарными событиями.
Понятия элементарное событие, событие, пространство элементарных событий,
являются первоначальными понятиями теории вероятностей. Невозможно привести более
конкретное описание пространства элементарных событий. Для описания каждой
реальной модели выбирается соответствующее пространство .
Событие  называется достоверным событием.
Достоверное событие не может не произойти в результате эксперимента, оно происходит
всегда.
Пример 4. Бросаем один раз игральную кость. Достоверное событие состоит в том, что
выпало число очков, не меньше единицы и не больше шести, т.е.  = { 1,  2,  3,  4,
 5,  6}, где  i- выпадение i очков, - достоверное событие.
Невозможным событием называется пустое множество
.
Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит
никогда.
Случайное событие может произойти или не произойти в результате эксперимента, оно
происходит иногда.
Пример 5. Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков невозможное событие .
Противоположным событию A называется событие, состоящее в том, что событие A не
произошло. Обозначается ,
.
Пример 6. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа
очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков. Здесь  = { 1,  2,  3, 4, 
5, 6},
где  i- выпадение i очков, A = { 2, 4, 6},
=
.
Несовместными событиями называются события A и B, для которых A B =
.
Пример 7. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа
очков, событие B - выпадение числа очков, меньшего двух. Событие AB состоит в
7
выпадении четного числа очков, меньшего двух. Это невозможно, A = { 2, 4, 6}, B =
{ 1}, AB = , т.е. события A и B - несовместны.
3) Яковлев Антон по теме «Решение задач по теории вероятностей»:
Основные понятия.
Равновероятные возможности- возможности, исполнение которых одинаковы. Например,
возможность выпадения «орла» или «решки» при подбрасывании одной монеты.
Вероятность события Р равна дроби, знаменатель которой – число всех равновероятных
исходов, а числитель – число тех из них, при которых это событие происходит.
Пример 1. В коробке 3 черных и 4 белых шара. Из неё наугад вынимают один шар.
Какова вероятность того, что вынутый шар будет: 1) черным; 2) белым?
Решение. Так как в коробке всего 3+4=7 шаров, то есть всего 7 равновероятных
возможностей вынуть шар из коробки. В трех из них вынутый шар окажется черным,
поскольку в коробке 3 черных шара. Значит, вероятность того, что вынутый шар черный
3/7, а что белый 4/7.
Ответ: а)Рч= 3/7 ; б) Рб= 4/7.
Пример 2. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадает
число очков , больше 4?
Решение. Число очков, больше 4, это – 5 и 6. Значит, интересующее нас событие
происходит в двух из шести равновероятных исходов бросания игральной кости.
Р= 2/6 =1/3
Ответ: 1/3.
Пример 3 Телевизор у Марины сломался и показывает только один случайный
канал. Марина включает телевизор. В это время по шести каналам из тридцати
девяти показывают новости. Найдите вероятность того, что Марина попадет на
канал, где новости не идут.
Решение. Найдем количество каналов. по которым в это время новости не идут
39 – 6 = 33.
Значит, вероятность того, что Марина попадет на канал, где новости не идут равна
Р= 33/39 =11/13
Ответ: 11/13
Пример 4. Женя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно
делится на 52.
8
Решение. Для решения задачи необходимо знать количество трехзначных чисел и
количество трехзначных чисел, делящихся на 52. Самое большое трехзначное число 999,
самое маленькое – 100. Следовательно, всего трехзначных чисел 999 – 99 =900.
Если число делится на 52, то оно может быть представлено как 52n, где n – натуральное
число. Определим количество всех чисел до 1000, которые делятся на 52. Для этого
разделим 999 на 52. Получим
999/52=19*(11/52).
Следовательно, таких чисел – 19. Определим количество не трехзначных чисел, которые
делятся на 52. Для этого разделим 99 на 52. Получим
99/52=47/52.
Следовательно, таких чисел – 1. Значит, количество трехзначных чисел, которые делятся
на 52 равно 19 – 1 =18. Вероятность того, что выбранное трехзначное число делятся на 52
Р= 18/900= 1/50.
Ответ: 1/50.
4) Хомуткова Софья по теме «Классификация событий»:
Основные понятия и теоремы теории вероятностей
В главе рассматриваются:
- классификация событий;
- классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности;
- непосредственное вычисление вероятностей;
- действия над событиями;
- теоремы сложения и умножения вероятностей;
- формула Байеса.
Типовые задачи
Пример 1.1
Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9;
третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы:
а) только 2-й экзамен;
б) только один экзамен;
в) три экзамена;
9
г) по крайней мере два экзамена;
д) хотя бы один экзамен.
Решение
а) Обозначим события: Ai – студент сдаст i-й экзамен (i = 1, 2, 3);
В – студент сдаст только 2-й экзамен из трех.
Очевидно, что В =
, т.е. совместное осуществление трех событий,
состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены.
Учитывая, что события A1, А2, А3 независимы, получим
б) Пусть событие С – студент сдаст один экзамен из трех. Очевидно, событие С
произойдет, если студент сдаст только 1-й экзамен из трех, или только 2-й, или
только 3-й, т.е.
в) Пусть событие D – студент сдаст все три экзамена, т.е. D =
A1
A2
A3. Тогда
г) Пусть событие Е – студент сдаст по крайней мере два экзамена (иначе:
«хотя бы два» экзамена или «не менее двух» экзаменов). Очевидно, что
событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех либо всех трех
экзаменов, т.е.
и
д) Пусть событие F – студент сдал хотя бы один экзамен (иначе: «не менее
одного» экзамена). Очевидно, событие F представляет сумму событий С
(включающего три варианта) и Е (четыре варианта), т.е. F = А1 + А2 + А3 = С +
Е (семь вариантов). Однако проще найти вероятность события F, если
перейти к противоположному событию, включающему всего один вариант – F
=
, т.е. применить формулу (1.27).
Итак,
10
т.е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически
достоверным.
Пример 1.2
Причиной разрыва электрической цепи служит выход из строя элемента К1
или одновременный выход из строя двух элементов – К2 и К3. Элементы могут
выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными
соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Какова вероятность разрыва электрической цепи?
Решение
Обозначим события: Ai - выход из строя элемента Ki (
i - 1, 2, 3…);
B – разрыв электрической цепи.
Очевидно, по условию событие B произойдет, если произойдет либо событие
А1, либо A2A3, т.е. B = А1 + А2А3. Теперь, по формуле (1.25)
(при использовании теоремы умножения учли независимость событий A1,
A2 и А3).
Пример 1.3
Производительности трех станков, обрабатывающих одинаковые детали,
относятся как 1:3:6. Из нерассортированной партии обработанных деталей
взяты наудачу две. Какова вероятность того, что: а) одна из них обработана на
3-м станке;
б) обе обработаны на одном станке?
Решение
а) Обозначим события: Ai – деталь обработана на i-м станке (i = 1, 2, 3);
В – одна из двух взятых деталей обработана на 3-м станке.
По условию
,
,
.
11
Очевидно, что B=
A1
A3 +
A2
A3 +
A3
A1 +
A3
A2 (при этом надо учесть, что либо первая деталь обработана на 3-м станке,
либо вторая). По теоремам сложения и умножения (для независимых событий)
б) Пусть событие С – обе отобранные детали обработаны на одном станке.
Тогда
C=
A1
A1 +
A2
A2 +
A3
A3 и P(C) = 0,1*0,1 + 0,3*0,3 + 0,6*0,6 = 0,46.
Пример 1.4
Экзаменационный билет для письменного экзамена состоит из 10 вопросов –
по 2 вопроса из 20 по каждой из пяти тем, представленных в билете. По
каждой теме студент подготовил лишь половину всех вопросов. Какова
вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо
ответить хотя бы на один вопрос по каждой из пяти тем в билете?
Решение
Обозначим события: А1, А2 – студент подготовил 1-й, 2-й вопросы билета по
каждой теме;
Bi – студент подготовил хотя бы один вопрос билета из двух по i-й теме (i = 1,
2, ..., 5);
С – студент сдал экзамен.
В силу условия С = В1В2В3В4
B5. Полагая ответы студента по разным темам независимыми, по теореме
умножения вероятностей (1.24)
Так как вероятности Р(В
i) (i=1,2,..., 5) равны, то P(C) = (Р(В
i))5. Вероятность Р(В
12
i) можно найти по формуле (1.27) (или (1.25)):
Теперь P(C) = 0,7635 = 0,259
Пример 1.5
При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,6.
Найти вероятность того, что:
а) двигатель начнет работать при третьем включении зажигания;
б) для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз.
Решение
а) Обозначим события: А – двигатель начнет работать при каждом включении
зажигания;
В – то же при третьем включении зажигания.
Очевидно, что В=
и Р(В) =
= 0,4*0,4*0,6 = 0,096.
б) Пусть событие С – для запуска двигателя придется включать зажигание не
более трех раз. Очевидно, событие С наступит, если двигатель начнет
работать при 1-м включении, или при 2-м, или при 3-м включении, т.е. С = А +
АА + А АА. Следовательно,
5) Яковлев Алексей по теме «Геометрические вероятностей событий»:
1. Понятие геометрической вероятности
Приписывание событию некоторого числа (его вероятности) является аналогом
измерения. В тех случаях, когда поле исходов события бесконечно, естественно связать
определение вероятности с геометрией. Например, при случайном выборе точки в круге,
разделенном на несколько колец, вероятностью попадания в заданное кольцо естественно
считать долю, которую занимает площадь выбранного кольца по отношению к площади
всего круга. В примере о том, дождется ли пассажир автобуса, если у него ограничено
время ожидания, на первый взгляд, неясно, как определить вероятность этого события.
Один из возможных путей состоит в том, чтобы построить некоторую геометрическую
модель и связать вероятность с геометрическими измерениями.
13
Например, если по оси
отложить
интервал времени
между двумя
приходами автобуса на остановку, а по оси
интервал времени, в течение которого
может появиться на остановке пассажир,
например,
то точки с
координатами
где x – момент
появления автобуса на остановке, y – момент
появления пассажира, заполнят
прямоугольник со сторонами
и
и
площадью
Очевидно, что пассажир
дождется автобуса, если автобус появится на
остановке после появления там пассажира и
не более чем через 5 минут после его
прихода (время ожидания пассажиром
автобуса), следовательно, должно выполняться неравенство:
Теперь
осталось выяснить, какую часть прямоугольника заполнят точки, координаты которых
удовлетворяют этому неравенству.
Пусть некоторая плоская фигура разбита на несколько непересекающихся частей.
Рассмотрим испытание – выбор точки в этой фигуре. Возможными исходами будем
считать попадание точки в одну из этих частей. Каждому такому исходу можно приписать
вероятность, равную отношению площади части, в которой находится точка, к площади
всей фигуры.
Аналогичные определения можно дать для вероятностей попадания точки в заданную
часть данного отрезка прямой (или кривой линии), определенную с помощью измерения
длины или – для случая пространственной фигуры – с помощью измерения объема.
2. Примеры вычисления геометрической вероятности
1. В квадратном трехчлене x2 + 6x + a коэффициент а по модулю не больше 10. Он
выбирается наудачу. Какова вероятность того, что трехчлен будет иметь вещественные
корни?
Дискриминант d этого трехчлена равен 32 – a = 9 – a. Условие вещественности корней:
d 0
a 9. На отрезке [–10; 10], длина которого равна 2 0, «благоприятные»
значения а занимают отрезок [–10; 9], длина которого 19. Интересующему нас событию
следует приписать вероятность
2. В круге произвольно выбирается точка. Какова вероятность того, что ее расстояние до
центра круга больше половины?
Построим две концентрические окружности радиуса R и
равна
площади большого, а площадь кольца между ними –
Площадь маленького круга
площади большого.
14
Вероятность попадания точки в кольцо следует принять равной
Заметим, что мы игнорируем границы наших областей. Если вероятность мы измеряем
площадью, то вероятность попадания точки на границу области равна нулю, так как
площадь границы должна быть нулевой.
3. Построение вероятностной модели.
Часто в приложениях для определения вероятности события приходится строить
геометрическую модель и изображать событие точками геометрической фигуры.
Палку ломают случайным образом в двух точках. Какова
вероятность того, что из трех получившихся кусков можно
составить треугольник?
Построение модели. Пусть длина палки равна 1. Можно сказать, что на единичном
отрезке выбирают две точки x и y. Случайное событие выбора пары точек можно
изобразить точкой в единичном квадрате на плоскости xOy. Условие того, что из
получившихся отрезков можно сложить треугольник, можно записать в виде серии
неравенств (будем сразу считать, что x и y обозначены так, что x < y).
Эти условия таковы:
1) x + y – x > 1 – y
2) x + 1 – y > y – x
3) y – x + 1 – y > x
Построим область в единичном квадрате, для точек которой выполняются все написанные
условия. Мы получим треугольник, площадь которого, как нетрудно проверить, равна
Искомая вероятность равна отношению
6) Городкова Анна по теме «Математическая статистика, частота, кратность, полигон
кратности, гистограмма частоты»:
Задачи математической статистики
“Статистика знает все” – такими словами начинается вторая часть романа И.Ильфа и
Е.Петрова “Двенадцать стульев”. “Известно, сколько какой пищи съедает в год средний
гражданин республики… Известно, сколько в стране охотников, балерин… станков, собак
всех пород, велосипедов, памятников, девушек, маяков и швейных машинок.
Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических
таблиц!” Зачем нужны эти таблицы, как их составлять и обрабатывать, какие выводы на
их основании можно делать – на эти вопросы отвечает статистика (от итальянского stato –
государство, латинского status – состояние).
Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в
условиях неопределенности. Можно выделить две основные задачи математической
статистики:
15
I.
II.
Указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в
результате наблюдений или в результате поставленных экспериментов.
Разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей
исследования. В связи с этим проводится:
a. оценка: неизвестной вероятности события, неизвестной функции
распределения, параметров распределения, зависимости случайной
величины от одной или нескольких случайных величин.
b. проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о
величине параметров распределения.
Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки
статистических данных для получения научных и практических выводов.
2. Генеральная и выборочная совокупности
Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность случайно отобранных
объектов.
Генеральной совокупностью (ГС) называют совокупность объектов, из которых
произведена выборка.
Объем совокупности – число объектов этой совокупности.
Например: из 1000 деталей отбирается 100, тогда Vг.с. = 1000, Vв.с. = 100.
3. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка
При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того, как объект
отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен
в генеральную совокупность. В первом случае выборку называют повторной, во втором –
бесповторной. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной
совокупности – быть репрезентативной (представительной).
4. Способы отбора
Отбор, не требующий расчленения ГС на
части:
простой случайный бесповторный отбор;
простой случайный повторный отбор.
Отбор, при котором ГС расчленяется на
части:
типический отбор;
механический отбор;
серийный отбор.
5. Статистическое распределение выборки
1. Пусть в результате проведения некоторого эксперимента была получена выборка х1, х2,
х3... хn.
Если все xi различны, то, расположив их в порядке возрастания, получим вариационный
ряд.
16
 Создание диаграмм с помощью Мастера диаграмм. Для создания диаграмм в
программе Excel существует Мастер диаграмм. Это средство состоит из набора
интерактивных диалоговых окон, которые проведут через весь процесс построения
необходимой диаграммы. Технологию построения диаграммы проследим на примере
следующей задачи:
Давайте представим себя менеджерами фирмы по продаже фотопленки. Ежедневно вы
подводите итоги продаж и планируете объем заказа на складе.
Подготовим таблицу по приведенному ниже образцу и заполним её по своему
усмотрению (внесите количество проданных пленок каждого вида)
Для лучшей наглядности данные в таблице лучше всего изобразить в виде диаграммы.
 Для создания диаграммы выполняют следующие действия:
 Выделите область данных для построения диаграммы и нажмите кнопку Мастера
диаграмм
 Выберите нужный вам тип диаграммы и нажмите кнопку Далее
17
 Перейдите на вкладку Ряд и в поле Подписи категорий укажите столбец, содержащий
категории оценок. Нажмите кнопку Далее.
 На вкладке Заголовки укажите название диаграммы, на вкладке Подписи данных
выберите пункт Категория и доля и нажмите кнопку Далее.
 Укажите лист на котором вы размещаете диаграмму и нажмите кнопку Готово.
Редактирование диаграммы. Если построенная Мастером диаграмма нуждается в
доработке или исправлениях, их можно внести, вызвав Контекстное меню для
форматируемого элемента и выбрав соответствующую команду.

Подведение итогов.
Что узнали?







Что такое математическая статистика.
Что изучает теория вероятностей.
Виды событий.
Историческую справку.
Перестановки.
Вероятность.
Равновозможные события.
Предлагаю вам написать синквейн.
1 стр. - название темы (новый предмет).
2 стр. - 2 прилагательных, отражающих свойство предмета.
3 стр. - 3 глагола, описывающие действия объекта.
4 стр. - предложение из 4 слов, выражающих отношение автора к теме.
5 стр. - синоним к первой.
Самоанализ урока
Курс: основы теории вероятностей и математической статистики.
Класс: 11-й, естественно-научное направление.
Тема урока: Введение в теорию вероятностей и комбинаторику.
Данный урок является вводным в изучаемый курс, не требует специальных знаний.
Цели урока:
Получение представлений об изучаемом предмете, его основных понятиях.
18
1. Обеспечение в ходе урока усвоение следующих основных понятий: события, их виды,
вероятность.
2. Создание условий для формирования основных мировоззренческих идей: причинноследственных связей, вероятностно- статистического мышления.
3. Развитие познавательного интереса, мотивации через применение занимательных задач
и примеров.
Тип урока: лекция-беседа.
Эта форма проведения урока целесообразна при:
- изучении нового материала, мало связанного с ранее изученным, вводных уроках.
Лекция строится на сочетании этапов урока:




организации;
постановки цели;
сообщении знаний учителем и усвоении их учащимися;
определении домашнего задания.
Методы, используемые на уроке: словесный, индуктивный.
Так как урок вводный в данный курс, то мною предусматривалась подача материала с
элементами занимательности, историческими справками. Рационально распределено
время на всех этапах урока. Темп урока соответствовал уровню развития и
подготовленности учащихся.
Мною задумывался диалог между учителем и учащимися, так как класс достаточно
сильный и знаком мне по посещенным зачетам, замещению уроков.
Урок способствовал формированию основных мировоззренческих идей, вероятностностатистического мышления, умения выделять межпредметные связи.
Содержание урока способствовало развитию интереса к учению, о чем свидетельствует
рефлексивный этап урока.
Учащиеся на уроке проявляли активность, самостоятельно приходили к выводу.
Цели, поставленные на уроке, достигнуты.
19