Задача № 6.

(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
Задачи по теории вероятности.
СОДЕРЖАНИЕ
Задача № 6. ................................................................................................................?
Задача №?9. .............................................................................................................. 6
Задача № ?? .............................................................................................................. 7
Задание №? .............................................................................................................. ??
2
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
Задача № 6.
На сборку поступило десять деталей, среди которых четыре
бракованные. Сборщик наудачу берет три детали. Найти вероятность
событий:
1. Все взятые детали стандартные;
2. Только одна деталь среди взятых стандартная;
3. Хотя бы одна из взятых деталей стандартная.
Пункт ?. Все взятые детали стандартные:
Решение:
Обозначим события:
А – все взятые детали стандартные;
А? – только одна из взятых деталей стандартная;
А? - ? детали стандартные;
А? – все взятые детали нестандартные.
По определению суммы событий – искомое событие:
А = А? + А? +А?
События А?, А?, А? несовместимы, следовательно:
Р(А) = Р(А? + А? +А?) = Р(А?) + Р(А?) +Р(А?)
Пространство
элементарных
событий
будут
образовывать
неупорядоченные последовательности деталей, отличающиеся друг от друга
хотя бы одной деталей. Число таких последовательностей вычисляется по
формуле:
r
!
k
!*(
r
k
)!
k
C
r
В задаче ?? деталей. При вычислении общего числа элементов
пространства элементарных событий k=? (выбираются случайно ? детали),
т.е:
3
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
3
n  C10
Определим число элементов, благоприятствующих событию А? : одну
качественную деталь можно выбрать только из качественных деталей, т.е.
1 способами
C
6
Некачественные ? детали выбирается из 6 деталей, т.е
и поскольку к любой из
C2
4 способами;
C16 деталей может присоединиться любая из
деталей, общее число возможных последовательностей
1* 2
m
1C
6 C
4.
Таким образом:
6
! 4
!
720
24




 *
 *
1
2
*
C
C
6
*
6
*
3024
1
!*
5
!
2
!*
2
!
1
*
120
2
*
2




6
4


P





0
.
3
A
1 3
10
!
3628800
36288
C
10
3
!*
7
!
6
*
5040
Аналогичным образом получим Р(А?) и Р(А?):
6
! 4
!
720
24




 *
 *
2
1
*
C
C
15
*
4
*
3024
2
!*
4
!
1
!*
3
!
2
*
24
1
*
6




6
4
P





0
.
5
A
2
3
10
!
3628800
36288
C
10

3
!*
7
!
4
!
30240
24
3
C
4
3
!*
1
!
4


P


6 

0
.
033
A
3 3
10
!
3628800
3628800
C
10
3
!*
7
!6
*
5040
30240
Окончательный результат
Р(А) = Р(А?) + Р(А?) +Р(А?) = ?.? + ?.? + ?.??? = ?.8??
Пункт ?. Только одна деталь среди взятых стандартная
Решение:
Обозначим события:
А – только одна из взятых деталей стандартная;
А? – ? бракованная и две качественные;
А? – все бракованные ;
4
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
А? – все взятые детали стандартные.
4
! 6
!
24
720




 *
* 
1
2
*
C
C
4
*
15
*
3024
1
!*
3
!
2
!*
4
!
1
*
6
2
*
24




4
6
P





0
.
5
A
1
3
10
!
3628800
36288
C
10

3
!*
7
!
4
!
6
*
5040
24
3
C
4
3
!*
1
!
4
P


6 

0
.
033
A
2 3
10
!
3628800
3628800
C
10

3
!*
7
!6
*
5040
30240
6
!
720
3
C
6
!*
5
!
120
61


P





0
.
005
A
3 3
10
! 3628800
3628800
C
10
3
!*
7
!6
*
5040
30240
Окончательный результат
Р(А) = Р(А?) + Р(А?) +Р(А?) = ?.? + ?.??? + ?.?? = ?.?8?
Пункт ?. Хотя бы одна из взятых деталей стандартная
Решение:
Обозначим события:
А – хотя бы одна из взятых деталей стандартная;
А? – все бракованные;
А? - две из взятых деталей стандартная и одна бракованная;
А? – все взятые детали стандартные.
4
!
24
3
C
4
3
!*
1
!
4

P


6 

0
.
033
A
1
3 10
! 3628800
3628800
C
10
3
!*
7
!6
*
5040
30240
4
! 6
!
24
720




 *
* 
1
2
*
C
C
4
*
15
*
3024
1
!*
3
!
2
!*
4
!
1
*
6
2
*
24




4
6

P





0
.
5
A
2 3
10
!
3628800
36288
C
10
3
!*
7
!
6
!
6
*
5040
720
3
C
20
!*
3
!
63


P
3


36


0
.
166
3 10
! 3628800
3628800
C
10
3
!*
7
!6
*
5040
30240
5
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
Окончательный результат
Р(А) = Р(А?) + Р(А?) +Р(А?) = ?.??? + ?.? + ?.?66 = ?.699
Задача №?9.
Математическое ожидание случайной величины, распределенной по
нормальному закону, равно -?, а вероятность попасть в интервал |η+?| < ?
равна ?,?. Найти ее дисперсию; построить кривую вероятности; вычислить
вероятности событий:
1. случайная величина примет значение больше чем m+σ
2. случайная величина примет отрицательное значение.
Решение:
Формула для вычисления дисперсии:

2
2


D

M






M


D

4

2

2
Среднее квадратическое отклонение:

D
1
.4142


η принадлежит интервалу ]-6;?[ (из условия задачи |η+?| < ?).
Плотность вероятности случайной величины:
? при х > -6
f(x) =
?.? при -6 < х < -?
? при х > -?
Функция распределения:
F(x) =
? при х < ?
6
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
?.?х? при -6 < х < -?
?.9??? при х > -?
Плотность вероятности
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
-0,5
f(x)
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
Задача № ??
Прибор состоит из двух независимо работающих блоков А и В,
каждый из которых состоит из нескольких элементов. Вероятности
отказов каждого из элементов:
Р? = ?.?, Р? = ?.?, Р? = ?.?, Р? = ?.?, Р? =?.?, Р6 =?.?, Р7 =?.?.
При отказе блока он подлежит полной замене, причем стоимость
замены блока А составляет С? = ?, блока В – С? = 8 единиц стоимости.
Предполагается, что за период времени Т замененный блок не выйдет из
строя еще раз.
Найти:
?. Найти случайную величину η – стоимость восстановления прибора
за период времени Т.
?.?. построить ее ряд и функцию распределения.
?.?. вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение.
7
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
?. Построить модель найденной случайной величины для двадцати
приборов (методом жребия получить ее ?? значений).
?.?. Найти экспериментальный ряд и функцию распределения.
?.?. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего
квадратического отклонения.
?.?. Построить графики теоретических и экпериментальных ряда и
функции распределения.
?.
С
помощью
критерия
Пирсона
оценить
соответствие
экспериментального распределения теоретическому с уровнем значимости α
= ?.??.
А.
В.
4
1
2
5
6
7
3
Решение:
Случайная величина η - «стоимость ремонта» может принимать только
четыре значения.
1. х? = ? – ни один блок не потребует замены;
2. х? = С? = ? – только блок А потребует замену;
3. х? = С? = 8 – только блок В потребует замену;
4. х? = С? + С? = ?? – оба блока потребует замену.
Чтобы вычислить вероятность каждого из значений следует сначала
найти вероятность выхода из строя блоков А и В.
8
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
Обозначим А – выход из строя блока А, Аi – отказ i – элемента ( i =
?,?,6,7). Блок А откажет если откажет хотя бы одна из его частей или все его
части. По определению суммы событий:
А = А? + А? + А?
В силу теоремы сложения вероятностей совместных событий:
Р(А) = Р(А? + А? + А?) = Р(А?) + Р(А?) + Р(А?)
В силу независимости событий Аi получим:
Р(А) = Р(А?) * Р(А?) * Р(А?) + Р(А?) + Р(А?) + Р(А?) - Р(А?) * Р(А?) *
Р(А?) = ?.? * ?.? * ?.? + ?.? + ?.? + ?.? – ?.? * ?.? * ?.? = ?.6?6 – ?.??6 = ?.6
Определим вероятность того, что блок А не откажет за время Т
(событие

A)
Р(

A ) = ? – Р(А) = ? – ?.6 = ?.????
Обозначим В – выход из строя блока В, Вi – отказ i – элемента ( i =
?,?,?). Блок В откажет если откажет хотя бы одна частей ветви ?,6,7 или
элемент ?, или все его части. По определению суммы событий:
В = В?В6В7 + В?
В силу совместности и независимости событий вероятность события Ы
определяется формулой:
Р(В) = Р(В?)Р(В6)Р(В7) + Р(В?) - Р(В?)Р(В6)Р(В7)Р(В?)
Таким образом
Р(В) = ?.? * ?.? * ?.? + ?.? – ?.? * ?.? * ?.? * ?.? = ?.???? – ?.???? = ?.????
Найдем вероятность безотказной работы блока В:
Р(

B ) = ? – Р(В) = ? – ?.? = ?.9???
Найдем вероятности значений случайной величины η.
9
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
Случайная величина имеет значение х? = ?, если произойдет событие

*

A B
( оба блока исправны за время Т). Эти события независимы,
поэтому:
Р(η=?) = Р(

A
) * Р(

B ) = ?.???? * ?.9??? = ?.?6??
Значение х? = ? принимается, если отказывает блок А и не отказывает
блок В, т.е.:
Р(η=?) = Р(А) * Р(
Р(η=8) = Р(

B ) = ?.6??? * ?.9??? = ?.????

A В) = ?.???? * ?.???? = ?.????
Р(η=??) = Р(АВ) = ?.6??? * ?.???? = ?.?6??
Сведем полученные результаты в табл.?, которая будет являться рядом
распределения случайной величины η.
Таблица ?
xi
?
?
8
??
сумма
pi
?,?6
?,??
?,??
?,?6
?
Построим
многоугольник
распределения:
по
оси
абсцисс
откладываются значения случайной величины хi, по оси ординат значения их
вероятностей рi.
10
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
Многоугольник распределения
0,6
0,5
Рi
0,4
0,3
Значения Х
0,2
0,1
0
0
4
8
12
Хi
Найдем функцию распределения случайной величины, используя
соотношение:
F
(x) p
i
xi

x
При х < ?
F(x) = ?
При ? ≤ х < ?
F(x) = P(η=x?) = p?= ?.?6??
При ? ≤ х < 8
F(x) = P(η=x?)+ P(η=x?)= p? + p?= ?.9???
При 8 ≤ х < ??
F(x) = P(η=x?)+ P(η=x?)+ P(η=x?) = p? + p? + p? = ?.9???
При х ≥ ??
4
F
(
x
)

P
(


)

1
.
0000

x
i
i

1
Таким образом:
? при х < ?
?.?6?? при ? ≤ х < ?
F(x) =
?.9??? при ? ≤ х < 8
?.9??? при 8 ≤ х < ??
?.??? при х ≥ ??
11
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
Построим график функции распределения:
Функция распределения
1,2
1
F(x)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Xi
Найдем математическое ожидание M[η], дисперсию D[η] и среднее
квадратичное отклонение ση исследуемой случайной величины, используя
формулы:
n


M
x
ip
i
i
1

2
2


D

M






M

 D
Результаты вычислений сведем в таблицу:
xi
?
?
8
??
сумма
pi
?,?6
?,??
?,??
?,?6
?
xi*pi
?
?,?6
?,??
?,7?
M[η] = ?,????
xi?*pi
?
8,6?
?,?6
8,6?
M[η?] = ?9,8???
(M[η])? = ??,????
12
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
D[η] = 9,6???
ση = ?,?98?
Вывод: Случайная величина «стоимость ремонта» имеет среднее значение
?.? денежных единицы со среднеквадратическим отклонением ?.?98?.
Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
xi
?
?
8
??
сумма
pi
?,?6
?,??
?,??
?,?6
?
Для рассматриваемой случайной величины правило моделирования
примет вид:
Интервал
zi
?
?;?.?6?
?
?
?.?6?;?.9?
?
?
?.9?;?.9??
8
?
?.9??;?.???
??
Для моделирования возьмем число η из табл. №? (методические
указания). Начнем с ?? строки 8 столбца.
j
ri
интервал
zi
j
интервал
zi
?,? ?.?6?;?.9?
?,? ?.?6?;?.9?
?
ri
?
?,??
?;?.?6?
?
??
?
?,?
?;?.?6?
?
??
??
??
?,?7
?
?,9? ?.9??;?.???
?,?? ?.?6?;?.9?
?
??
?
?,?8
?.?6?;?.9?
?
??
?,?9 ?.?6?;?.9?
?,98 ?.?6?;?.9?
6
?,6
?.?6?;?.9?
?
?6
??
?7
8
?,97 ?.9??;?.???
?;?.?6?
?,?9
?,? ?.?6?;?.9?
?,7? ?.?6?;?.9?
?
?8
?,?6
9
?,??
?
?9
?,8? ?.?6?;?.9?
?
7
?;?.?6?
?;?.?6?
?;?.?6?
?
?
?
??
?
?
?
?
13
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
??
?;?.?6?
?
?;?.?6?
?
??
?,??
?,?8
Найдем экспериментальный ряд распределения. Для этого подсчитаем
частоты mi, равные числу приборов с данной стоимостью ремонта, т.е. числу
появлений xj, вычислим их относительные частоты.
xi
?
?
8
??
сумма
mi
7
??
?
?
??
?,?8
?,?
?,??
?,?8
pi
Найдем экспериментальную функцию распределения:
?,8
*
*
p
F
i
xxi
? при х < ?
?.?8?? при ? ≤ х < ?
?.68?? при ? ≤ х < 8
F*(x)
?.7??? при 8 ≤ х < ??
?.8?? при х ≥ ??
Прямоугольник распределения
0,5
0,4
pi
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
xi
Найдем оценки числовых характеристик:
Математическое ожидание:
14
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
k
*

m
x
ip
i
i
1
Дисперсия:
*
*
D






D
несм
смещ
n
n
1
Вычисления сведем в таблицу:
xi
p*
i
*
x i pi
*
x i2 pi
?
?.?8
?
?.?
8
?.??
??
?.?8
сумма
?.8
?
?,6
?,???6
?,???8
m*=?,6?6?
?
6,?
?,?6
??,??
M*[η?]=??,?8
(m*)? =
?,?8????
?7,899?8
D*[η]смещ =
*
*
17
.
899

18
.
841



D
несм
20
20
1
*


4
.
340




D

несм
Проверим соответствие закона распределения полученной случайной
величины F*(х) заданному закону распределения F(x) используя критерий
Пирсона. Для этого определяется случайная величина:


2
km

np
i
2


i
1
i
np
i
где
k – число значений случайной величины;
mi – число появлений значений случайной величины η;
pi – теоретическая вероятность значения;
15
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
n – объем моделируемой выборки.
Величина χ? называется «хи-квадрат», служит показателем того,
насколько хорошо согласуется моделируемое и ожидаемое распределения.
В рассматриваемой задаче число k=? , число l=?. По таблице ?
(методические указания) найдем критические числа С? (для α?=?.??) и С? (для
α?=?.??). Ими являются ??.? и 7.8.
Найдем значения χ?.
mnp2
i
i
xi
mi
npi
?
?
7
?,6
?
?
??
8
?
8
?
?
??
?
Σ
-
??
mi-npi
i
npi
?,?
?,??
?
?,?
?,8
?,?
?,??
?,6
?6
?,?
?,?
?
χ?=?
Вывод: При уровне значимости α?=?.?? событие χ? > C? (?<7.8) не
произошло – полученное распределение не противоречит предполагаемому.
При менее жестких условиях (α?=?.?? ) событие χ? > C? (?<??.?) тем более
не произошло, и в этом случае можно считать, что
гипотеза о
распределении случайной величины с заданным законом распределения не
противоречит смоделированным значениям случайной величины.
Задание №?
По выборке объемом n=?? вычислены оценки математического
ожидания m* = -? и дисперсия s? = ?.?. При заданной доверительной
вероятности β = ?.999 найти предельную ошибку оценки математического
16
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
ожидания и доверительный интервал. Определить какими будут эти
величины, если при выборке объемом n=?? получены такие же величины
оценок.
Решение:
Математическое ожидание m и дисперсия σ? не известны, поэтому
воспользуемся формулами:
t
s
n
s
s
n
n
*
*
*
*

(


;


)

(

;

)
t
t
l
m
m
m
m



где
ε – предельная ошибка;
lβ
–
доверительный
интервал,
соответствующий
доверительной
вероятности β;
tβ – значение квантиля распределения Стьюдента для числа степеней
свободы k = n – ?.
В данном случае k = ?9, а доверительная вероятность β = ?.999. По
таблице ?? (методические указания) находим tβ = ?.88???. Тогда предельная
ошибка:
s
0
.
4
0
.
6324



3
.
88332

3
.
88332

0
.
5634
t

4
.
3588
n
19
Найдем доверительный интервал:
s s
*
*

(

;

)

(

3

0
.
5634
;

3

0
.
563
)

(

3
.
56
;

2
.
43
)
t
t
l
m
m



n
n
Полученный результат позволяет утверждать, что с вероятностью
?.999 математическое ожидание рассматриваемой случайной величины
принадлежит интервалу (-?.?6??; -?.??6?).
17
(...В представленной на сайте версии работы изменены числовые данные. Для получения
работы с корректными величинами, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
При выборке ?? элементов воспользуемся формулами для вычисления
предельной ошибки оценки математического ожидания:
z

n
и формулой для вычисления доверительного интервала:


n
n
*
*
*
*

(


;


)

(

;

)
l
m
m
m
z
m
z



В этих формулах zβ находится как корень уравнения
1
Ф
(z
)

2
по таблицам значений нормированной функции нормального распределения.
Zβ = (?+?.999) / ? = ?.999?
Входим с этим значением в таблицу и находим ее аргумент, равный =
?.?7.
Таким образом:
 0
.
4 0
.
6324



3
.
27

3
.
27

0
.
327
z

6
.
3245
n
40
Доверительный интервал равен:


*
*

(

;

)

(

3

0
.
327
;

3

0
.
327
)

(

3
.
32
;

2
.
67
)
l
m
z
m
z
0
.
999


n
n
18