МКОУ Ударниковская основная общеобразовательная школа Бутурлиновского муниципального района Воронежской области

МКОУ Ударниковская основная общеобразовательная школа
Бутурлиновского муниципального района
Воронежской области
Урок-лекция
Тема: Арифметическая прогрессия
(алгебра 9 класс)
Учитель математики:
Диденко В.Е.
2013г
Цель:
Сформировать у обучающихся понятие арифметической
прогрессии и научить применять формулы к решению практических задач.
Задачи: 1.Ввести понятие арифметической прогрессии
2.Вывести формулы n-го члена арифметической прогрессии, суммы n-первых
членов арифметической прогрессии (изложение всего теоретического материала).
3. Активизация познавательной деятельности учащихся;
4. Привитие навыков самостоятельности, ответственности, умения слушать и
обобщать, вести диалог.
Оборудование: 1.Экран, проектор, компьютер
2.Маркеры разного цвета для белой доски
3.Презентация « Арифметическая прогрессия»
4.Учебник «Алгебра 9 кл.»,
План лекции:
1.Определение арифметической прогрессии.
2.Формула n -го члена арифметической прогрессии.
3.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
4. Арифметическая прогрессия в древности.
1.Определение арифметической прогрессии.
Рассмотрим последовательности чисел:
4; 7; 10; 13; 16; . . .
8; 3; -2; -7; -12; . . .
Каков закон составления этих последовательностей?
Начиная со второго члена каждый последующий равен предыдущему,
сложенному с одним и тем же числом
ап+1= ап + d
Самостоятельно
Составь свою последовательность, используя тот же закон.
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый
член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с
одним и тем же числом.
Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что
означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI век).
Из определения арифметической прогрессии следует, что
ап+1 – an = d
Число d называется разностью арифметической прогрессии.
Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать ее первый член
и разность.
Пример 1. а1 =1, d =1;
(аn): 1; 2; 3; 4; . . .
Пример 2. а1 = -2, d = -2; (аn): -2; -4; -6; -8; . . .
Пример 3. а1 =1, d =2;
(аn): 1; 3; 5; 7; 9; . . .
Пример 4. а1 =7, d =0;
(аn): 7; 7; 7; 7; . . .
 Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то
прогрессия является возрастающей.
 Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то
прогрессия является убывающей.
 В случае, если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны
одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.
Самостоятельно
Укажите первый член, разность и задайте арифметическую прогрессию.
2.Формула n -го члена арифметической прогрессии.
Зная первый член и разность можно найти любой член арифметической
прогрессии, но способ неудобен.
а2 = а1 + d
а3 = а2 + d = (а1 + d) + d = а1 + 2d
а4 = а3 + d= (а1 + 2d) +d = а1 + 3d
а5 = а4 + d= (а1 + 3d)+ d = а1 + 4d и т.д.
аn = а1 + (n-1)d
формула n-го члена арифметической
прогрессии.
Применим выведенную формулу для членов прогрессии
а21, а27, а43, а34, а200
a21=a1+20d;
a27=a1+26d
a43=a1+42d;
a34=a1+33d
a200=a1+199d
Самостоятельно
Используя формулу, распишите следующие члены прогрессии:
а203, аm , а2m , аm+1 , а2m-1.
Решение задач.
Задача 1
Дано:
(с): - АП, с1 =0,62, d =0,24
Найти: с50
а29, а46, а96,
Решение:
с50 = с1 + 49d ,
с50 = 0,62 + 49 ∙ 0,24 = 12,38
Ответ: с50 = 12,38
Задача 2
Дано: (аn): 9; 11; 13; . . .
Найти: а36
Решение:
а36 = а1 + 35d,
а1 =9, d =a2 – a1 = 11- 9 = 2
а36 = 9 + 35 ∙ 2 = 79
Ответ: а36 = 79.
Дополнительные сведения о членах арифметической прогрессии: пусть
аn, аn+1, аn+2, аn+3 – члены АП, тогда
1)
аn + аn+3 = аn+1 + аn+2, (В четырех последовательных членах
арифметической прогрессии - сумма крайних членов равна сумме
средних членов.)
2)
аn+1 = (аn + аn+2)/2
(Каждый член арифметической прогрессии,
начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и
последующего члена)
Самостоятельно
Используя данные задачи 1 найдите с101 , сn , сn+1.
3.Формула суммы первых n членов арифметической
прогрессии.
Для нахождения формулы суммы решим следующую задачу:
найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого
математика Карла Гаусса (1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель
задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять
письменные работы учеников другого класса.
Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» – и сдал работу. К концу
урока сумму вычислили и остальные.
Найти сумму всех натуральных
чисел от 1 до 100.
Обозначим сумму этих чисел S.
Найдем сумму первых n членов
арифметической прогрессии.
Sn =a1+a2+a3+ . . .+ an-2+an-1+an
Sn =an+an-1+an-2+. . .+ a3+a2+a1
S = 1 + 2 + 3 + 4 + …+ 98 + 99+ 100
S = 100 +99 +98 + … + 4 + 3 + 2 + 1
101
101
. . .
101 101
a1+an a2+an-1
...
an-1+a2
Сложим левые и правые части
Сложим левые и правые части
Рассмотрим суммы
2S = 101 + 101 +101 + . . . + 101= 101∙100 =
a1+an
10100
a2+an-1 =(a1 +d) +(an – d) =a1 +an
a3+an-2 =(a2 +d) +(an-1 –d)=a2 +an-1= a1 +an
100 раз
2S = 10100
an+a1
S = 5050
Cумма всех натуральных чисел от 1 до
100 равна 5050.
...
an-1+a2= (an-2+d) +(a3 –d) = an-2+a3 = a1 +an
an+a1
Число пар по a1 + an равно n
(𝒂 + 𝒂 )∙𝒏
2Sn = (a1 + an)∙ n
Sn = 𝟏 𝒏
𝟐
(1)
первая сумма первых n членов арифметической
прогрессии.
Так как аn = а1 + (n-1)d получим вторую
формулу:
Sn = (a1 + an)∙ 𝒏 /2 = (а1 +а1 + (n-1)d)∙n/2 =
=
𝟐𝒂𝟏 +( 𝒏−𝟏)𝒅
∙n
𝟐
Sn =
𝟐𝒂𝟏 +( 𝒏−𝟏)𝒅
𝟐
∙n (2)
Решение задач
Задача 3
Дано: (аn): 4; 8; 12 . . . – АП
Найти: S30
Решение:
𝟐𝒂 +𝟐𝟗𝒅
S30 = 𝟏 𝟐
∙ 30
а1 = 4, d = a2 – a1 = 8 - 4 =4
S30 =
𝟐∙𝟒 +𝟐𝟗∙𝟒
𝟐
∙ 30 = 1860
Ответ: S30 = 1860
Задача 4
Штангист поднимает штангу весом 45кг. С каждым подходом вес штанги
увеличивается на 5 кг. Сколько кг поднимет штангист за 7 подходов?
Дано: арифметическая прогрессия,
а1=45,d=5 ,n=7
Найти: S7
Решение
2a1  d (n  1)
n
2
2  45  5  6
S7 
7
2
90  30
S7 
7
2
S 7  420
S
Ответ: за 7 подходов штангист поднимет 420кг
Самостоятельно:
1.Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить
ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей,
в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем
предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев?
2.Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии:
4; -1; -6;... Решите задачу несколькими способами.
4.Арифметическая прогрессия в древности.
Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних
народов.
Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами
хозяйственной жизни и общественной практики, например распределение
продуктов, деление наследства и т.д.
В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах (второй век до
н.в.) встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.
Вот вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия.
2
10 братьев делят 1 мины серебра. Доли братьев составляют арифметическую
3
прогрессию.
Задача из египетского папируса АХМЕСА: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер
ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его
соседом равна 1/8 меры».
Задача из папируса Ринда
Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько
же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый
больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили
в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?
Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и
индийским ученым. Ариабхатта (5 в.) применял формулы общего числа, суммы
арифметической прогрессии.
Формула вычисления суммы n-первых членов арифметической прогрессии.
Впервые, эта формула была доказана древнегреческим ученым Диофантом (III
в. н. э.). Правило отыскания суммы n-первых членов произвольной
арифметической прогрессии встречается в «книге Абаки» Л.Фибоначчи
(1202г.).
Домашнее задание: П.25(до пр.2), п.26(до пр.2),
работа с материалами лекции,
Задачи на формулы (смотри лекцию).
Используемая литература и интернет - ресурсы
1. Учебное пособие: Алгебра 9, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.Н.Нешков,
С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского, М. «Просвещение»", 2011
2. http://www.profistart.ru/ps/blog/18448.html
3. http://dep805.ru/education/ma/OldProblem/smallproblem.htm