Формула полной вероятности

1. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция I завода содержит
20% телевизоров со скрытым дефектом, II – 10%, III – 5%. В магазин поступило 30%
телевизоров с I завода, 20% со II завода, 50% с III завода.
Какова вероятность приобретения исправного телевизора?
Решение
Обозначим через В событие, заключающееся в том, случайно выбранный
телевизор - исправен.
Через А1– обозначим событие – телевизор изготовлен на первом заводе, А2 - на
втором, А3 - на третьем. По условию задачи
Р(А1)= 0,3; Р(А2)= 0,2; Р(А1)= 0,5.
Р(В/ А1) - вероятность того, что телевизор cделанный на первом заводе не имеет
скрытых дефектов.
Р(В/ А1) = 1 – 0,2 = 0,8
Р(В/ А2) - вероятность того, что телевизор cделанный на втором заводе не имеет
скрытых дефектов.
Р(В/ А2) = 1 – 0,1 = 0,9
Р(В/ А3) - вероятность того, что телевизор cделанный на третьем заводе не имеет
скрытых дефектов.
Р(В/ А3) = 1 – 0,05 = 0,95
Вероятность приобретения исправного телевизора. Применим формулу полной
вероятности:
Р(В) = Р(А1)*Р(В/ А1) + Р(А2)*Р(В/ А2) + Р(А3)*Р(В/ А3)=
= 0,3*0,8 + 0,2*0,9 + 0,5*0,95 =0,895
2. Имеются четыре урны. В первой урне 1 белый и 1 черный шар, во второй 2
белых и 3 черных шара, в третьей 3 белых и 5 черных шаров и в четвертой – 4 белых и 7
черных шаров. Вероятность выбора i – ой урны – i/10. Наудачу выбирают один шар.
Найти вероятность того, что этот шар – белый.
Решение.
Обозначим через В событие, заключающееся в том, что извлеченный шар - белый. Через
А1, А2, А3, А4 – обозначим события – была выбрана соответствующая урна. Очевидно,
В = А1В + А2В + А3В+ А4В
И можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:
Р(А1) = 1/10 = 0,5 Р(В/ А1) = 1/(1+1)=1/2
Р(А2) = 2/10 = 0,3 Р(В/ А2) = 2/(2+3)=2/5
Р(А3) = 3/10 = 0,2 Р(В/ А3) = 3/(3+5)=3/8
Р(А3) = 4/10 = 0,2 Р(В/ А3) = 4/(4+7)=4/11
Подставляя эти значения в формулу полной вероятности получим искомую вероятность
Р(В) = Р(А1)* Р(В/ А1) + Р(А2)* Р(В/ А2) + Р(А3)* Р(В/ А3)
Р(В) = 1/10*1/2+2/10*2/5+3/10*3/8+4/10*4/11  0,315
3. Первый заготовительный цех изготовил 1000 деталей, второй в 2 раза больше,
а третий столько, сколько первые два вместе взятые. При этом продукция первого цеха
содержит 0,3% брака, второго – 0,2% и третьего – 0,4% брака. Все детали общей партии
поступают на сборку. Наудачу берут одну деталь. Найти вероятность того, что она годная.
Решение.
Обозначим через В событие, заключающееся в том, что взятая наудачу деталь - годная.
Через А1, А2, А3 обозначим события – деталь изготовлена соответствующим цехом. По
условию задачи, первый заготовительный цех изготовил 1000 деталей, второй 2000,
третий 3000, всего – 6000. Следовательно
Р(А1) = 1/6; Р(А2) = 2,6; Р(А3) = 3,6.
Вероятность того, что деталь изготовленная первым цехом – годная, равна
Р(В/ А1)= 100% - 0,3% = 99,7% = 0,997
Аналогично
Р(В/ А2)= 100% - 0,2% = 99,8% = 0,998
Р(В/ А3)= 100% - 0,4% = 99,6% = 0,996
И можно применить формулу полной вероятности:
Р(В) = Р(А1)*Р(В/ А1) + Р(А2)*Р(В/ А2) + Р(А3)*Р(В/ А3)
1
2
3
P B   * 0,997  * 0,998  * 0,996  0,99683
6
6
6
Или 99,683%.