УДК 539.3 Вовк Л.П., Турчина Н.А. ДВУМЕРНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГИХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

1
УДК 539.3
Вовк Л.П., Турчина Н.А.
ДВУМЕРНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГИХ АНИЗОТРОПНЫХ
ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Работа посвящена обобщению метода И.Н. Векуа на упругие
оболочки переменной толщины и формулировке двумерной краевой
задачи, описывающей колебания
упругих оболочек и пластин
переменной толщины в общем случае механического нагружения.
Актуальность
предъявляемых
данной
к
проблематики
современным
связана
с
возрастанием
конструкциям
прочностных
требований и расширяющимся внедрением в различных областях
техники пластин и оболочек переменной толщины. Использование в
деталях машин и элементах сооружений новых композиционных
материалов приводит к необходимости построения уточненных
математических
моделей
анизотропных
оболочек
сложной
внутренней структуры. Проблемам сведения трехмерных краевых
задач теории оболочек к двумерным посвящено большое количество
научных публикаций. В этом направлении выделяются работы,
связанные с разложением искомых величин в ряды по ортогональным
системам функций, зависящих от толщинной координаты. Подробные
обзоры работ, связанных с этим способом приведения, представлены,
например, в [3]. Большое распространение в теории упругих оболочек
и пластин получил метод разложения неизвестных функций в ряды по
полиномам Лежандра [1,2], что позволяет отказаться от упрощающих
гипотез типа гипотезы прямой нормали и построить двумерные
теории упругих оболочек произвольного порядка. Анализ научных
публикаций, посвященных данной тематике, позволяет утверждать,
что недостаточно исследованы вопросы применения указанной
методики на оболочки переменной толщины. Открытыми остаются
2
вопросы учета анизотропии и неоднородности материала оболочек и
пластин. В данной работе методом И.Н. Векуа трехмерные уравнения
анизотропных оболочек переменной толщины сведены к двумерным.
Приведены уравнения различных приближений, характеризующиеся
различным числом удерживаемых членов разложений механических
характеристик в ряды по полиномам Лежандра. Как частные случаи
получены уравнения теории оболочек и пластин типа Тимошенко и
Кирхгофа-Лява.
1.
Формулировка
вариационного
принципа
и
построение
двумерного функционала для упругих оболочек.
Пусть в трехмерном пространстве R задана гладкая поверхность
, ограниченная контуром
Г. Обозначим через V трехмерную
область, заметаемую векторами hB n,  hH n, где n – вектор единичной
нормали к . Упругой оболочкой с толщиной 2h  hB  hH назовём
упругое тело, занимающее в недеформированном состоянии область
V.
Введём в области V криволинейную систему координат 1 , 2 , 3
по формулам [5]
xi  ri (  )   3 ni ,
где
xi 
декартовы координаты в R;
xi  ri (  ) 
уравнения
поверхности . Координаты   , 3 изменяются в цилиндре высоты
2h  hВ  hН ; hВ   3  hН ,    . Предполагается, что координатные
линии    const
представляют собой линии главных кривизн
поверхности . Везде в дальнейшем считаем, если это не оговорено
заранее, что малые латинские индексы пробегают значения 1,2,3, а
малые греческие индексы – значения 1,2. В общем случае считаем, что
hB  hB (1 , 2 ), hH  hH (1 , 2 ) – непрерывные функции двух аргументов,
3
имеющие
непрерывные
производные
до
второго
порядка
включительно.
Будем считать, что на цилиндрической поверхности F = Г 
[hH , hB ] , образующие которой перпендикулярны поверхности  и
проходят через контур Г, заданы вектор перемещений U на FU и
вектор напряжений  l на F (F  FU = F). На лицевых поверхностях
SB (  3  hB (1 , 2 ) ) и SH (  3  hH (1 , 2 ) ) заданы усилия  B и  H .
Вариационное
уравнение
теории
упругости
эквивалентно
условию экстремальности по перемещениям U i [7,8] следующего
функционала
I   [ H (U )    U ]dV    l  U dF 
V
F
Здесь
H (U ) –
 
B
 
 U B dS B ––
SB
H
 U H dS H
(1)
SH
внутренняя энергия, U B ,U H
– значения вектора
перемещений на поверхностях SB, SH;  – вектор объемных сил.
Функционал (1) в качестве функциональных аргументов
содержит:
компоненты
вектора
перемещений
Ui ,
тензора
механических напряжений  ij , тензора деформаций S ij . Как известно
[9], вариационное уравнение
I  0
(2)
содержит в качестве уравнений Эйлера уравнения теории упругости, а
в качестве естественных (эйлеровых) граничных условий – силовые
условия на границе тела. Действительно, используя соотношения
 ij 
1
H
, S ij  ( gradU  ( gradU ) T ) ,
2
S ij
приведем уравнение (2) к следующему виду
 
I    [( div   )   U ]dV   [( 1  nF   ) U ]dF 
F
V


  [( B  nB   ) U ]dS   [( H  nH   ) U ]dS  0
SB
Sн
(3)
(4)
4
Здесь

nF ,

nB ,

nН
– векторы единичных нормалей к
поверхностям F, SB и SH соответственно.
Так как вариации U i произвольны внутри объёма V, то из (4)
получим уравнения движения упругой среды

 1
( H 2 11 )   22
 13 H 2
H 2
H 1



( H 1 12 )   12

( H 1 H 2 13 ) 
 1  2
 2  3
H 1
 H 1 H 2 1  0;
 3
(12)

 3
( H 1 H 2 33 )   11 H 2
(5)
H 1
H 2


  22 H 1

( H 2 13 ) 
( H 1 13 )  H 1 H 2  3  0
 3
 3 1
 2
Здесь H   коэффициенты Ламе, а символ ( 1  2 ) означает,
что второе уравнение получается из первого циклической заменой
индексов 1 и 2.
На поверхности F вариация  U произвольна. На поверхностях
SB и SH:
а) либо  U произвольно, а
 B  nB    0,  H  nH    0,
(6)
б) либо вектор U заранее задан, тогда  U  0 .
Предполагая
процесс
деформирования
адиабатическим и, не учитывая
оболочки
незначительные в области
акустических колебаний магнитные эффекты, запишем уравнения
состояния для материала оболочки в виде [4]
E
 ij  Сijls
S ls ,
(7)
E
где Сijls
 упругие постоянные материала. Считаем также, что
выполняются
следующие
соотношения
симметрии
E
E
E
, а коэффициенты в уравнениях (7) могут зависеть
Сijls
 Сijsl
 С Ejils  Сlsij
от координат 1 , 2 .
Таким образом, полную систему уравнений
равновесия упругой среды можно представить равенствами (5), (3) и
(7). Краевую задачу, описывающую механические процессы в объёме
5
V, получим, если присоединим к этим равенствам граничные условия
(6).
Для построения двумерного функционала теории упругих
оболочек
применим
метод
1,2.
И.Н.Векуа
Предположив
равномерную сходимость рядов разложений перемещений U i и их
производных по полиномам Лежандра от нормальной к координатной
поверхности  оболочки координаты, трехмерный функционал (1)
можно свести к двумерному. При этом точность получаемых решений
будет зависеть от числа удерживаемых слагаемых в разложениях
искомых функций. Представим компоненты вектора перемещений
U j (  ,  3 ) в виде
N
U j (  ,  3 )   (k  1 2 )h k Pk ( )u (jk ) (  ) ,
(8)
k 0


где   ( 3  h) / h, Pk ( )  полиномы Лежандра, 2 h  hB  hH ,
u
(k )
j
h
 k 1
hB
U
j
(  , 3 ) Pk ( )d 3 ,
(9)
 hH
Оставаясь в рамках геометрически линейной теории, выпишем
зависимости компонентов тензора деформации S ij от компонентов
вектора перемещений [5]

  k1U 3 ,

 U 1 U 2 A2 
 U 2 U 1 A2 
1
1

 

,
S12 


A2 (1  k 2 3 )   2 A1  1  A1 (1  k1 3 )   1 A2  1 
 U 3
 U 1
U 3
1

S13 
 k1 A1U 1  
, S 33 
.
A1 (1  k1 3 )   1
 3
  3
S11 
 U 1
U2
A1
1


A1 (1  k 2 3 )   1 A2 (1  k 2 3 )  2
(10)
Здесь A , k  коэффициенты первой квадратичной формы и
главные кривизны поверхности , а выражения для S 22 , S 23 можно
6
получить заменой в выражениях S11 , S13 соответственно индекса 1 на 2
и наоборот.
Подставляя разложения (8) в выражения (10) и используя
основное предположение метода И.Н.Векуа [1,2]
1  k  3  1 ,
(11)
после интегрирования по  3 сводим функционал (1) к виду
(k )
u 2( k ) A1
1 N
( k ) 1 u1
"( k ) ( k ) h h
1
I   (k  2 )  { 11 (

 k1u 3( k ) )   11
u1
  11'( k ) u1( k ) 
2 k 0
A1 1
A1` A2  2
A1 1



(k )
(k )
u ( k ) A2
1 h
h
h
( k ) 1 u 2
"( k ) ( k ) h
'( k ) u 2
+

  22
(
 1
 k 2 u3( k ) ) -  22
u2
  22
A1 1
A2  2
A1 A2 1
A2  2
A2  2
A1  u1( k )
A  u 2( k )
h h
h h
"( k )
(
) 2
(
)]   12
(u1(`k )
 u 2( k )
)
A2  2 A1
A1  1 A2
A1  2
A2  1
+  33( k ) u 3( k )   12( k ) [

–
'( k )
12


2
u (k )  h
u ( k )  h u 2( k )  h
1 u 3( k )
( 1

)   [ ( k3) (
 k u( k ) )   '(3k ) (u( k )  3
)
A1  2
A2  1
A  
A1  
 1
–  "(3k ) u3( k )
h h
A  
N
3
  2 [ (mk ) u m( k )  h k (u m( k ) ( mB  (1) k  mH )]} A1 A2 d1d 2  (12)
m 1
3
-  (k  1 2)  [ u m( k ) ((lk,) ) ]dF
k 0
F
m 1
m
Здесь  mB ,  mH  составляющие векторов  B ,  H по осям  m ,
 ((lk,) )  заданные на F значения моментов компонент вектора  l ,
m
 ij'( k )  (2k  1) ij( k 1)  (2k  5)h 2 ij( k 3)  ...,  ij"( k )  (2k  3) ij( k 2)  (2k  7)h 2 ij( k 4)  ...
f
(k )

hB
 f (  ,
3
) Pk ( )d 3 .
(13)
 hH
Следует отметить, что предположение (11) сужает класс
рассматриваемых оболочек. Всё сказанное ниже будет относиться
либо к достаточно тонким, либо к пологим оболочкам. Приравнивая
нулю первую вариацию функционала (12), находим систему
уравнений, описывающих деформационные процессы в упругих
оболочках
7
A2 11( k ) A1 12( k ) A2 ( k ) A1 ( k )
h "( k )


 22 
 12  A1 A2 (k1 13( k )   13'( k ) )  A2 h(
 11 
1
 2
1
 2
1


h "( k )
 h '( k )  h '( k )

 12 )  A2 (
 11 
 12 )  A1 A2 X 1( k )  0;
 2
1
 2
(14)
(1  2);
(k )
A2 13( k ) A1 23
h "( k )
h "( k )
(k )
'( k )

 A1 A2 (k1 11( k )  k 2 22
  33
)  A2 h
 13  A1h
 23 
 1
 2
 1
 2


 h '( k )
 h '( k )
 A2
 13  A1
 23  A1 A2 X 3( k )  0
1
 2
и естественные граничные условия на боковой поверхности F
2



1
(k )
j
cos(l ,  )   ((lk,) j )
(15)
где X i( k )   i( k )  h k ( iB  (1) k  iH ), X 4( k )  qV( k )  h k (q B  (1) k q H ), l  внешняя
нормаль к контуру Г.
В случае, когда рассматриваются механические колебания
оболочки, объёмный интеграл в (1) надо изменить, включив в него
кинетическую
энергию
со
знаком
минус
2
2
2
1  U 1   U 2   U 3  
  
 . Здесь   массовая плотность, t  время.
 
 
2  t   t   t  
Тогда с помощью аналогичных преобразований приходим к системе
уравнений вида (14), причем в правых частях уравнений для каждого
k
вместо
A1 A2 h
2 k 1
нулей
 2 u1( k )
,
t 2
Далее
будут
A1 A2 h
будет
2 k 1
стоять
 2 u 2( k )
,
t 2
соответственно
A1 A2 h
2 k 1
рассматриваться
выражения
 2 u 3( k )
.
t 2
только
динамическое
деформирование оболочки. Переходя в формулах (7) к моментам
напряжений и перемещений, перепишем уравнения состояния в виде
E
 ij( k )  h 2k 1Сijls
S ls( k )
(16)

Здесь S
(k )
11
1 u1( k ) u 2( k ) A1
h h '( k ) 1  h "( k )


 k1u3( k ) 
u1 
u1 ,
A1  1
A1 A2  2
A1  1
A1 1
8

(k )
13
1 u3( k )
1
h '( k )  h "( k )
(k )
 u 3"( k ) ,

 k1u1( k )  u1"( k )  (h
u3 
u3 ), S 33
A1  1
A1  1
 1
(k )
12
A  u1( k )
A  u 2( k )
1
h '( k )  h "( k )
1
h
 h "( k )
 1
(
) 2
(
)
(h
u1 
u1 )  (h

u 2 ).
A2  2 A1
A1 1 A2
A2  2
 2
A1 1 1
S
(17)

S

Внося значения (16) и (17) в уравнения (14), получим для
каждого значения k систему трёх уравнений относительно моментов
компонент вектора перемещений u (kj )
3
L
m 1
(k )
sm m
u
где Lsm  С1Es1m
M s(k ) 
M
(k )
s
h
 2 k 1
X
 2 u s( k )

, k  0,1,2,...N ,
t 2
(k )
s
(18)
1 2
1
2
1 2
E
E
E

(
С

С
)

С
,
1s 2 m
2 s1m
2s 2m
A1 A2  1 2
A12  12
A22  22
(19)
линейные дифференциальные выражения, содержащие
искомые функции u (kj ) и их частные производные первого порядка по
 .
Явный
вид
этих
выражений
будет
выписан
ниже
при
рассмотрении конкретных физических моделей.
К системе уравнений (18) необходимо присоединить граничные
условия, заданные на боковой поверхности оболочки, которые
определяются равенствами (15), и начальные условия
u
(k )
j
 t 0   (  ),
(k )
j1
u (jk )
t
 t 0   (  ), 
(k )
j2
(k )
j
h
 k 1
hB
   (  ,
j
3
) Pk ( )d 3
(20)
 hH
Приведенные граничные и начальные условия совместно с
уравнениями
колебаний
определяют
начально-краевую
задачу,
описывающую упругие поля для общих случаев механического
нагружения упругих оболочек.
2. Уравнения движения трансверсально-изотропных оболочек и
пластин.
Уравнения
состояния
(7)
для
трансверсально-изотропного
материала оболочек имеют вид [4]
 11  С11E S11  С12E S 22  С13E S 33 ,  22  С11E S 22  С12E S11  С13E S 33 ,  12  С 66E S12 ,
9
  3  С 44E S 3 ,  33  С13E S11  S 22   С33E S 33
(21)
При построении различных прикладных теорий возникают два
вопроса.
Первое – какое количество членов следует удерживать в
разложениях (12), чтобы для данной толщины оболочки получить
решение с достоверной степенью точности. Естественно, точность
решения будет увеличиваться с ростом N, однако аналитический
анализ получаемых краевых значений даже в случае оболочек
постоянной толщины крайне затруднён ввиду их сложности. Поэтому
при больших N целесообразно применять численные методы. Здесь
ограничимся случаем N2, основываясь на том, что при решении
большинства задач теории упругих оболочек и пластин упрощённые
уравнения – уравнения теории оболочек типа Тимошенко [6], либо
классической теории [5] описывают напряжённое состояние с
большой степенью точности. Эта точность будет тем выше, чем
меньше
будут
возникающие
при
деформировании
оболочки
нормальные напряжения и деформации.
Второй вопрос – о том, сколько слагаемых учитывать в
разложении каждой компоненты вектора перемещения для того,
чтобы получить асимптотически непротиворечивые теории.
В теории упругих оболочек Тимошенко и в классической теории
учитываются только нулевой и первый моменты компонент U    , 3 
и нулевой момент компоненты U 3   , 3 . По аналогии с этим в работе
[7] строится приближение теории анизотропных оболочек порядка N.
Оно определятся следующим образом: в разложении нормальной
компоненты
перемещения
выделяется
n  N 1
членов,
а
в
разложениях тангенциальных компонент – n 1  N членов.
Учитывая вышесказанное, построим приближённую теорию
упругих оболочек, основываясь на следующих приближениях
10
U j   ,  з , t    k  1 2   h k u (jk )   , t   Pk ( ),
1
(22)
k 0
Учет функции u 3(1) позволяет исследовать влияние деформации
(0)
S33
 3u3(1) на напряженное состояние оболочки. Этим предлагаемая
теория отличается от теории оболочек типа Тимошенко, где
предполагается недеформируемость нормального к координатной
поверхности  оболочки элемента.
С учетом уравнений состояния (21) и гипотезы (22) приведем
уравнения колебаний (18) к системе шести дифференциальных
уравнений относительно функций u (j0) , u (j1) . Явный вид этой системы
выпишем для частного случая плиты, симметричной по отношению к
средней плоскости  , у которой толщина зависит только от одной

координаты h  h1  . В этом случае h  0 , A1  A2  1 , k 2  0 .
(0)
( 0)
 2 u1( 0)
 2 u1( 0)
 2 u 2( 0)
E
E
E
E h u1
E h u 2
C h
 C 66 h
 (C12  C 66 )h
 C11
 C12

1 2
1 1
 1  2
12
 22
E
11
u 3(1)
 2 u1( 0)
h (1)
(0)
 3C (h

u 3 )  X 1  h
;
 1  1
t 2
E
13
(23)
1
2
С h u
E
11
3
(1)
3
С h u
E
44
3
(0)
3
(1)
2 (1)
u1( 0) u 2( 0)
E 2 h u 3
E
(1)
(1)
3  u3
 С h(

)  3С 44 h
 3С33 hu 3  X 3  h
,
1
 2
1 1
t 2
E
13
 2 u 3( 0)
u1(1) u 2(1)
h u 3( 0)
( 0)
E
E h
(1)
,
С
 3С 44 h(

)  3С 44
u1  X 3  h
 1  1
1  2
 1
t 2
E
44
2 (1)
2 (1)
( 0)
( 0)
 2 u1(1)
E 3  u1
E
E
3  u2
2 h
E u1
E u2
C h
 C66h
 (C12  C66 )h
 3h
[C11
 C12
]
12
 22
1 2
1
1
 2
E 3
11
2 (1)
u3( 0)
E
(1)
(1)
3  u1
С h
 3С 44 hu1  X 1  h
;
1
t 2
E
44
(24)
1
 2;
В случае пластины задача разделяется на симметричную (23) и
антисимметричную (24) по  3 задачи. Первая определяет функции
u10  , u20  , u31 , вторая – функции u30  , u11 , u 21 . Аналогично разделяются
11
граничные и начальные условия. У симметричной задачи граничные
условия задаются тремя величинами, взятыми по одной из трех пар
(на контуре Г)  l0,  , u10  ;  l0,  , u20    l1,  , u31 . У кососимметричной
1
2
3
задачи требуется задание трех величин на контуре Г, взятых по одной
из трех пар  l0,  , u30  ;  l1,  , u11  ;  l1,  , u21  .
1
2
2
Выводы. Предлагаемая двумерная теория неоднородных упругих
оболочек и пластин переменной толщины носит обобщенный
характер и содержит в качестве частных случаев известные
приближенные теории. Например, если в формулах (22) положить
u31  0 , то получим уравнения первого приближения, как они названы
в [7], записанные для трансверсально-изотропных оболочек.
Из выведенных уравнений можно получить уравнения теории
оболочек и пластин постоянной толщины типа Тимошенко. Для этого
следует положить u31  0 , C44E   и, следовательно, на основании (21)
C13E  0 . После этого необходимо упростить формулы для  ij( k ) k  0,1 .
Уравнения классической теории оболочек, основанной на известных
гипотезах Кирхгофа-Лява, получаются, если, кроме этого, принять
равной бесконечности сдвиговую жесткость оболочки C44E  0 . С
учетом этой гипотезы и ввиду того, что перерезывающие усилия
принимают
u1  
1
3 A
конечные
значения,
определяем
углы
поворота
 u 30 


 A k  u0   и тем самым сводим число независимых
 




функций в функционале (12) к трем u0  , u30  .
В
качестве
перспектив
дальнейших
исследований
можно
предложить решение полученных краевых задач с целью учета
локальных
динамических
эффектов,
традиционных упрощающих гипотез.
связанных
с
отказом
от
12
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Векуа И.Н. Теория тонких пологих оболочек переменной
1.
толщины // Тр. Тбилисского мат. ин-та. – Т. 30 – 1965. – 103 с.
Векуа И.Н. Вариационные принципы построения теории
2.
оболочек. –Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1970. – 55 с.
Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Решение задач и анализ
3.
напряженно-деформированного
состояния
анизотропных
неоднородных оболочек (обзор) // Прикладная механика. – 1997. – Т.
33. – № 11. – С. 3-37.
Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при
4.
помощи тензоров и матриц. – М.: Мир, 1967. – 385 с.
Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судопромгиз,
5.
1951.– 431 с.
Пелех Б.Л. Обобщенная теория оболочек. – Львов: Вища школа,
6.
1978. – 159 с.
Пелех Б.Л., Сухорольский М.А. Контактные задачи теории
7.
упругих анизотропных оболочек. – Киев: Наукова думка, 1980. – 216
с.
8.
Семенюк Н.П. Об уравнениях геометрически нелинейной
теории оболочек типа Тимошенко // Прикладная механика. – 1978. –
Т. 14. – №2. – С. 128-132.
9.
Mildlin R.D. High frequency vibrations of piezoelectric crystal plate.
– Int. J. Solids and Struct., 1972, vol. 8, N 4, p. 895-906.