Научно-практическая конференция учащихся

«Очевидное и невероятное в геометрии»
(формула Герона)
Осипова Татьяна Борисовна, учитель математики высшей категории
МАОУ «СОШ №10» Миасского городского округа
Изучая школьный курс планиметрии в 7-9 классах, мы знакомим учащихся с
формулами для вычисления площади треугольника, одной из которых является
формула Герона, выражающая площадь треугольника через три его стороны a, b
и c: S  p( p  a)( p  b)( p  c) , где
abc
 p - полупериметр.
2
Этой формулой, на практике, стараются пользоваться только в крайних
случаях, когда нет возможности вычислить площадь более быстрым способом.
Она достаточно громоздка и её использование требует выполнения большого
количества арифметических действий, что может быть очень нелегко, особенно
есть числа a, b и с иррациональные, так как учащиеся не имеют большого навыка
в работе с иррациональными числами. Однако встречаются такие задачи, для
решения которых использование формулы Герона является самым рациональным
способом и приводит к экономии времени.
Поэтому в своей работе мы с учащимся 9-го класса преобразовали
известную формулу Герона, сделав ее более удобной для работы с
иррациональными числами.
Преобразование формулы Герона:
abc
p
2
abc abc
abc
abc
(
 a)  (
 b)  (
 c) 
2
2
2
2
S
S
p( p  a)( p  b)( p  c) , где
a bc bc a a c b a bc




2
2
2
2
1
1

(( a  b)  c)(( a  b)  c)(c  (a  b))( c  (a  b)) 
(( a  b) 2  c 2 )(c 2  (a  b) 2 ) 
4
4
1
1

(a 2  2ab  b 2  c 2 )(c 2  a 2  2ab  b 2 ) 
(2ab  (c 2  a 2  b 2 )( 2ab  (c 2  a 2  b 2 )) 
4
4
1

4 a 2 b 2  (c 2  a 2  b 2 ) 2 .
4

Аналогично можно вывести еще две симметричные формулы, полученные
путем перестановки чисел a, b, c.
Учащиеся установили связь формулы Герона с другими формулами для
вычисления площади треугольника. Для этого рассмотрели различные виды
треугольников и для исследования воспользовались полученной формулой.
1) прямоугольный треугольник
рассмотрим ∆АВС: угол С=90°, a и b – катеты,
с – гипотенуза.
По теореме Пифагора, с2=а2+b2, значит с2-а2b2=0,
-21
1
1
1
S
4 a 2 b 2  (c 2  a 2  b 2 ) 2 
4a 2 b 2  0   2ab  ab
4
4
4
2
1
S  ab - известная нам формула для вычисления площади прямоугольного
2
треугольника через длины его катетов.
2) равнобедренный треугольник
рассмотрим ∆АВС: АВ=АС=b, ВС – основание,
ВС=a, AD – высота.
Обычный способ вычисления площади S
1
BC  AD .
2
∆АВD: угол D=90°, по теореме Пифагора
1
2
АВ=b, BD= a ,
a
1
AD  AB 2  BD 2  b 2  ( ) 2 
4b 2  a 2 .
2
2
1
1
1
S  a
4b 2  a 2  a  4b 2  a 2 .
2
2
4
По Формуле Герона мы имеем тот же результат:
S
1
1
1
4a 2 b 2  (b 2  a  b 2 ) 2 
4a 2 b 2  a 4  a 4b 2  a 2
4
4
4
3) равносторонний треугольник
Рассмотрим ∆АВС: АВ=BC=AC=a
1
1
4 a 2 b 2  (c 2  a 2  b 2 ) 2 =
4a 2 a 2  ( a 2  a 2  a 2 ) 2 =
4
4
2
1
1
a 3
4a 4  a 4 
3a 4 
4
4
4
S
известная нам формула для вычисления площади
равностороннего треугольника.
4) произвольный треугольник
по теореме косинусов с2=а2+b2-2abcosγ,
значит с2-а2-b2=-2abcosγ.
-31
1
1
S
4 a 2 b 2  (c 2  a 2  b 2 ) 2 
4a 2 b 2  (2ab cos  ) 2 
4a 2 b 2  4a 2 b 2 cos 2  
4
4
4
1
1
1

4a 2 b 2 (1  cos 2  ) 
4a 2 b 2 sin 2   ab sin 
4
4
2
Углы треугольника могут лежать в пределах от 0 до π, функция sinx на
этой области определения – положительная, поэтому |sinγ|=sinγ, и мы
1
2
приходим к известной формуле S  ab sin  .
Так же мы рассматривали вопрос о распространении формулы Герона для
вычисления площади четырёхугольника.
И в заключение я хочу подвести итоги нашей совместной с
учеником работы:
1) выполнив преобразование формулы Герона для иррациональных чисел, мы
расширили круг её практического применения при решении задач.
2) проведя исследования формулы Герона, мы установили её тесную связь с
другими формулами для вычисления площади треугольника.
3) изыскивая формулу для вычисления площади четырехугольника,
аналогичной формуле Герона, мы выяснили, что существует связь между
треугольником (многоугольником, который всегда можно вписать в окружность)
и четырехугольником (не всяким, а только таким, который можно вписать в
окружность). Сравнение двух понятий (треугольник и четырехугольник)
завершилось в этом случае неполным обобщением – лишь для части объектов,
входящих во второе понятие, верна "обобщенная формула Герона".
В 2014 году работа моего ученика «Очевидное и невероятное в геометрии»
(формула Герона) с выше приведенными преобразованиями и исследованиями на
научно-практической конференции учащихся Миасского городского округа
получила высокую оценку и заняла второе место.
Литература:
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. Изучение геометрии в 7-9
классах: методические рекомендации к учебнику: Кн. Для учителя. М.:
Просвещение, 1997.
2. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. М.:
Просвещение, 2004.
3. Васильева В.А., Курдина Т.Д., Молодожникова Р.Н. Методическое пособие по
математике для поступающих в вузы. М.: Изд-во МАИ, 1991.
4. Пойда Д. Как решать задачу // «Квантор». Львов, 1991.
5. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: АО «Столетие», 1994.
6. Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике для учащихся VIII
класса. М.: Учпедгиз, 1958.
7. МШ 5/1991, с.70. В.В.Прасолов. «Формула Брахмагупты».
8. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П.Савин.- М.:
Педагогика, 1989.