На правах рукописи ЮРЬЕВ РОМАН ВАСИЛЬЕВИЧ ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ПЛАСТИН ПРИ ДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНЫХ

На правах рукописи
ЮРЬЕВ РОМАН ВАСИЛЬЕВИЧ
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ПЛАСТИН ПРИ ДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНЫХ
СЕЙСМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
05.23.17 – Строительная механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Москва 2010
2
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении
профессионального образования Московском государственном строительном
университете.
Научный руководитель:
- доктор технических наук, профессор
Мкртычев Олег Вартанович
Официальные оппоненты:
- доктор технических наук, профессор
Саргсян Акоп Егишович
- кандидат технических наук,
старший научный сотрудник
Бедняков Виктор Георгиевич
Ведущая организация:
ГУП Московский научно-исследовательский и
проектный институт типологии,
экспериментального проектирования
(МНИИТЭП)
Защита состоится «19» октября 2010 года в 14 час. 00 мин. на заседании
диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском
государственном строительном университете по адресу: 129337 Москва,
Ярославское шоссе, д.26, ауд. № 420 УЛК.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО
Московского государственного строительного университета.
Автореферат разослан «
Ученый секретарь
диссертационного совета
» сентября 2010 г.
Анохин Н.Н.
3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. При проектировании и строительстве зданий и
сооружений в сейсмических районах одной из важных задач является оценка
надежности их элементов. Анализ последствий сильных и средних
землетрясений показывает, что консольные и опертые по контуру пластины
больших пролетов (в частности, козырьки с большим вылетом консоли,
навесы, карнизы, балконные плиты, плиты перекрытий больших пролетов) в
первую очередь подвержены разрушению. Эти локальные разрушения во
многих случаях приводят к значительному материальному ущербу, угрожают
жизни и здоровью людей. Наиболее существенной для данных элементов
является вертикальная составляющая сейсмической нагрузки.
Сейсмическое воздействие представляет собой ярко выраженный
случайный процесс. Задача моделирования случайного сейсмического
воздействия с заданными расчетными параметрами является актуальной и на
сегодняшний день не имеет удовлетворительного решения в практике
проектирования сейсмостойких конструкций.
Основной целью расчета строительных конструкций является решение
вопроса
о
достаточно
установленного
срока.
надежной
Под
работе
надежностью
конструкции
понимают
в
течение
способность
конструкции сохранять заданные функции в течение периода эксплуатации.
Поскольку поведение реальных конструкций обусловлено взаимодействием
ряда факторов случайной природы, то оценку надежности конструкции
следует
выполнять
с
позиций
вероятностных
методов.
Основным
показателем надежности является вероятность отказа конструкции.
Наиболее универсальным методом оценки надежности является метод
статистических
испытаний.
Однако
возможность
его
практического
применения ограничена временем детерминированного расчета и величиной
возможной вероятности отказа. При действии сейсмических нагрузок
высокой интенсивности, работу конструкции следует рассматривать за
4
пределом упругости, что значительно усложняет решение и увеличивает
время
расчета.
Поэтому
актуальной
является
задача
выбора
детерминированного метода решения, позволяющего оценить надежность
конструкции с учетом нелинейных свойств материалов за приемлемое время.
Из всех возможных видов отказа конструкций, проектируемых в
сейсмических
районах,
особый
интерес
представляет
отказ,
соответствующий разрушению конструкции.
Таким образом, оценка надежности консольных и опертых по контуру
плит больших пролетов при действии случайных сейсмических нагрузок
представляет собой практически важную и актуальную задачу.
Целью работы является совершенствование существующих методов и
разработка новых методик оценки надежности консольных и опертых по
контуру плит больших пролетов различных форм в плане при случайных
интенсивных сейсмических воздействиях с учетом физической нелинейности
материала. В рамках настоящей диссертационной работы потребовалось
решение следующих задач:
- на основе современных статистических методов разработать методику
моделирования акселерограмм случайных сейсмических воздействий с
заданными расчетными характеристиками;
- на основе инструментальных акселерограмм получить численные
характеристики случайных параметров моделирования для горизонтальных и
вертикальных компонент сейсмического воздействия;
- разработать методику, реализующую численно-аналитический метод
расчета задач динамики пластин с учетом физической нелинейности;
-
провести
сравнительный
анализ численных
методов решения
динамических задач для плит с учетом физической нелинейности и выбрать
метод, обладающий наибольшей вычислительной эффективностью;
- рассмотреть различные виды отказа и соответствующие им критерии, в
том числе критерий разрушения элементов конструкций;
5
- методом статистических испытаний выполнить оценку надежности
консольных и опертых по контуру плит больших пролетов.
Методы исследования. В процессе исследования использовались
методы: вероятностные (метод статистических испытаний, статистической
линеаризации,
канонического
разложения
случайных
функций),
статистической обработки данных, численно-аналитические, численные
(метод конечных разностей, конечных элементов, Ньюмарка, НьютонаРафсона), а также линейного и нелинейного программирования.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1)
разработана
методика
выделения
стационарной
части
инструментальных акселерограмм, позволяющая корректно
выполнять их спектральный анализ. Получены характеристики
необходимые для моделирования акселерограмм методом
канонического разложения;
2)
выполнен
фрактальный
анализ
инструментальных
акселерограмм и предложен способ моделирования случайных
акселерограмм
с заданной
фрактальной
размерностью
и
доминирующей частотой;
3)
исследована возможность применения явной схемы прямого
интегрирования уравнений движения для решения нелинейных
задач динамики пластин;
4)
проведен вероятностный анализ работы конструкции для
различных видов отказа при действии импульсной нагрузки;
5)
выполнена оценка надежности консольных и опертых по
контуру плит больших пролетов различной формы в плане при
действии
случайной
сейсмической
физической нелинейности материала.
нагрузки
с
учетом
6
Достоверность работы определяется использованием при постановке
задач принятых в механике деформируемого твердого тела и теории
надежности строительных конструкций гипотез, современных аналитических
и численных методов расчета строительных конструкций, а также
сравнением полученных результатов с результатами других исследователей.
Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе
оценки надежности могут быть использованы в инженерной практике при
проектировании
конструкций
в сейсмических
районах. С помощью
разработанных методик могут быть выполнены оценки надежности
строительных конструкций различных классов.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы
были изложены в докладах на:
-
юбилейной
десятой
международной
межвузовской
научно-
практической конференции молодых ученых, докторантов и аспирантов
«Строительство – формирование среды жизнедеятельности», Москва 2007;
- двенадцатой международной межвузовской научно-практической
конференции молодых ученых, докторантов и аспирантов «Строительство –
формирование среды жизнедеятельности», Москва 2009;
- второй международной научно-практической конференции «Теория и
практика
расчета
зданий,
сооружений
и
элементов
конструкций.
Аналитические и численные методы», Москва 2009;
- седьмой всероссийской научно-практической и учебно-методической
конференции,
посвященной
5-летию
образования
Института
Фундаментального Образования МГСУ «ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ В
СОВРЕМЕННОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ», Москва 2010.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 статей, в том числе
2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК для публикации
результатов по кандидатским диссертациям.
7
На защиту выносятся:
- методика моделирования акселерограмм случайного сейсмического
воздействия с заданными расчетными характеристиками;
- методика определения параметров моделирования на основе анализа
инструментальных акселерограмм;
- методика моделирования акселерограмм на основе теории фракталов;
- результаты вероятностного анализа шарнирно опертой пластины на основе
численно-аналитического
решения
динамической
задачи
с
учетом
физической нелинейности;
- численное решение задачи динамики пластин с учетом физической
нелинейности с использованием явных методов прямого интегрирования
уравнений движения;
- сравнительный анализ надежности пластин при различных видах отказа;
- оценка надежности консольных и опертых по контуру плит больших
пролетов различной формы в плане методом статистических испытаний.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех
глав, заключения, списка литературы из 146 наименований. Общий объем
диссертации составляет 130 страниц, в текст включены 54 рисунка и 4
таблицы.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во
введении
обосновывается
актуальность
темы
диссертации,
формулируются основные цели и задачи исследования.
Впервые статистическая природа коэффициентов запаса была показана в
1926г. М. Майером и в 1929г. Н.Ф. Хоциаловым. Основоположниками
современной теории надежности строительных конструкций являются
В.В. Болотин и А.Р. Ржаницын. Наибольший вклад в развитие теории
надежности строительных конструкций внесли российские и зарубежные
ученые: М.П. Барштейн, И.И. Гольденблат, А.Д. Дривинг, Ю.П. Дронов,
8
А.П. Кудзис, О.В. Лужин, А.С. Лычев, Н.А. Николаенко, В.Д. Райзер, Н.Н.
Складнев, Д.Н. Соболев, Н.С. Стрелецкий, В.П. Чирков, Г. Аугусти, А.
Баррата, Ф. Кашиати. В настоящее время развитием, совершенствованием и
внедрением методов теории надежности активно занимаются: И.Д. Груднев,
М.Б. Краковский, О.В. Мкртычев, В.Л. Мондрус, В.П. Радин, А.Е. Саргсян,
А.Г. Тамразян, О.В. Трифонов и др.
Большой
вклад
в
развитие
теории
сейсмостойкости
внесли:
Я.М. Айзенберг, А.М. Белостоцкий, К.С. Завриев, Г.Н. Карцивадзе,
И.Л.
Корчинский,
В.Л.
Мондрус,
А.Г.
Назаров,
Н.А.
Николаенко,
А.Е. Саргсян, Э.И. Хачиян, Г.Э. Шаблинский и др.
В первой главе приведен краткий исторический обзор развития теории
надежности, дано понятие надежности, подробно изложены основные
положения современной теории надежности строительных конструкций.
Отмечено, что основным показателем надежности является вероятность
отказа конструкции Pf , которая в общем случае при исходных параметрах,
представленных случайными величинами, равна многомерному интегралу:
Prob g x1 , x2 ,..., xn   0   ... f ( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn ,
(1)
n
где  n – область отказовых состояний в n –мерном пространстве всех
случайных
величин
( x1 , x2 ,..., xn ) ,
g  x1 , x2 ,..., xn 
–
функция
работоспособности; f ( x1 , x2 ,..., xn ) – совместная плотность вероятности всех
случайных величин.
Если все расчетные величины можно разделить на две группы, где
первая
включает
характеристики,
относящиеся
к
свойствам
самой
конструкции, а вторая характеризует внешние воздействия, то в приложении
к задачам расчета на прочность вероятность отказа будет равна интегралу:
Pf 

f

Q
(Q) FR (Q)dQ , или Pf  1 

f

R
( R ) FQ ( R)dR ,
(2)
9
где
fR ,
FR
и
f Q , FQ – плотность и функция распределения
соответственно несущей способности R и нагрузочного эффекта Q .
Рассмотрены наиболее распространенные методы оценки надежности
конструкции, указаны их достоинства и недостатки. Наиболее простым и
универсальным
является
метод
статистических
испытаний,
который
позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют
случайные факторы. Идея метода заключается в следующем: проводится
достаточно большое число испытаний по схеме Бернулли и проверяется
условие отказа. Если условие выполняется, то исходом испытания считается
отказ. При этом частота появления отказа  рассматривается как оценка
вероятности отказа конструкции:

k
 Pf ,
m
(3)
где k – число отказов; m – общее число испытаний.
Приведена постановка задачи динамики жесткопластического тела,
описанная в работах М.И. Ерхова. Задача сводится к минимизации
функционала:
tk
tk
0S
0S
    DdVdt    pi0* u i* dSdt ,
(4)
где D  *ij   *ij , при этом должны выполняться следующие условия:
а) значения ui* ,  ij0 , pi0* в каждый момент удовлетворяют уравнениям
движения и граничным условиям времени:  ij0 , j    ui*  0 ,  ij0  n j  pi на S p ;
б) поле  ij0
в каждый момент времени удовлетворяет условию
пластичности: f  ij0    S ;
в) скорости ui* удовлетворяют условию несжимаемости, краевым и
начальным условиям:  *ij  0,5  ui*, j  u *j ,i  , ui  uiS на S u , ui  uiS на S u ;
10
dui*
г) компоненты ускорения u соответствуют скоростям u : u 
;
dt
*
i
д)
 *ij
компоненты
*
i
соответствуют
ассоциированному закону течения   
*
ij
Здесь
индексом
0
f  *ij 
обозначены
 *ij
скоростям
*
i
 *ij
согласно
.
допустимые
значения
величин,
удовлетворяющие статическим условиям а) и б), индексом * обозначены
допустимые значения величин, удовлетворяющие кинематическим условиям
в) – д).
Приведены основные подходы к заданию исходных воздействий при
расчете на сейсмические нагрузки.
Во второй главе рассмотрены современные методы расчета зданий и
сооружений на сейсмические воздействия.
Выполнена статистическая обработка инструментальных акселерограмм
100 случайно выбранных землетрясений, произошедших на территории США
с 2005 по 2009 год. Землетрясения имели магнитуду от 3,4 до 8,4 и
интенсивность до 9 баллов. Расстояние от эпицентра землетрясения до
станций, на которых производилась запись акселерограмм, изменялось от 2
до 611 км.
Инструментальные акселерограммы рассматриваются как реализации
случайного процесса вида:
a~t   At   ~
y t  ,
(5)
t
t 
где At   A0   e t , A0 – параметр, характеризующий максимальные
t0
0
ускорения; t 0 – параметр, характеризующий продолжительность интенсивной
фазы; ~y t  – стационарный случайный процесс.
Разработана методика выделения стационарной части инструментальных
акселерограмм и выполнен их спектральный анализ. На основе анализа
11
функции
A(t)
выделяется
участок
активной
фазы
акселерограммы.
Неизвестные параметры A0 и t 0 определяются из условия минимума суммы
квадратов разностей значений ускорений акселерограммы и значений
функции
A(t),
полученных
для
соответствующих
отсчетов
времени
выделенного участка. Задача определения минимума решается методом
квадратичного программирования. Стационарная часть выделяется путем
деления значений ускорений участка активной фазы инструментальной
акселерограммы
на
значения
At  ,
функции
вычисленные
для
соответствующих отсчетов времени. Спектральная плотность полученной
стационарной части строится методом усреднения модифицированных
периодограмм.
Построены
статистические
плотности
и
функции
распределения
полученных рядов значений доминирующих частот, параметров A0 и t 0 ,
определены их первый начальный и второй центральный моменты,
выполнена
проверка
гипотезы
о
нормальном
законе
распределения
доминирующей частоты согласно критерию  2 Пирсона. При этом отдельно
рассматривались
горизонтальные
и
вертикальные
компоненты
акселерограмм сейсмических воздействий.
Приведена
сейсмического
методика
моделирования
воздействия
методом
акселерограмм
канонического
случайного
разложения.
Моделирование осуществляется согласно выражению (5). Для стационарного
процесса ~y t  каноническое разложение является разложением в ряд Фурье
со случайными некоррелированными коэффициентами v~k и u~k :

~
y (t )   (v~k cos kt  u~k sin kt ) , 0 < t < Tm ,
(6)
k 0
где Тm – интервал моделирования,  
2
, TП ≥ Tm , M (u~k )  M (v~k )  0 ,
ТП
M (u~k  u~l )  0 , M (u~k  v~k )  0 , M (v~k  v~l )  0 при k ≠ l.
12
Показано, что при ТП >> τk (τk – интервал корреляции случайного
процесса)
с
небольшой
погрешностью
можно
записать
выражения для определения дисперсий коэффициентов v~ и u~ :
k
следующие
k
1 
S (0)
,
R()d 

TП 0
2TП
2 
S (k)
,
 2k 
R() cos kd 

TП 0
2TП
где S(ω) – спектральная плотность мощности моделируемого процесса.
 02 
(7)
(8)
Моделирование согласно выражению (6) при усечении членов ряда
происходит по формуле:
М
~
y (t )   (v~k cos kt  u~k sin kt ) .
(9)
k 0
Число членов ряда (9) определяется по формуле:
B
 TП ,
2
где В – значение характерной верхней частоты.
M
Процесс
~
y t  – предполагается нормальным, поэтому
(10)
v~k
и u~k
генерируются по нормальному закону распределения с нулевым средним и
дисперсией  2k .
Функция спектральной плотности мощности принимается с одной
доминирующей частотой вида:
f1 f 02
2
S( f ) 
,
 ( f 2  f 02 ) 2  4 f12 f 2
(11)
где f, f0, f1 – частоты, измеряемые в Гц; f0 – доминирующая частота
процесса; f1 – параметр, характеризующий ширину спектра.
На рис.1 приведен график реализации моделируемого нестационарного
случайного процесса a~t  .
Выполнено моделирование акселерограмм случайного сейсмического
воздействия с помощью фрактальных кривых. Приведены основные понятия
теории фракталов, а также методы оценки фрактальной размерности.
13
Выполнен
фрактальный
анализ
инструментальных
акселерограмм,
в
результате которого получено среднее значение фрактальной размерности.
Моделирование стационарного случайного процесса ~y t  выполняется с
v
помощью модифицированной функции Вейерштрасса:
~ ,
~
yv t   C  a n sin Kbn t  
n
N 1
(12)
n 0
где С – коэффициент контроля амплитуды, N – число гармоник,
0  a  1 ,
a – коэффициент масштаба неровностей
K – основное
пространственное волновое число, b – параметр пространственно-частотного
~ – произвольная фаза.
масштабирования, 
n
Фрактальная размерность функции Вейерштрасса D  2  log a / log b .
Коэффициент
контроля
амплитуды
принимается

так,

1/2
что
21a2 
~
C

среднеквадратичное отклонение y v t  равно единице:
.

2N
1a 
На рис.2 приведен график акселерограммы, заданной в виде
произведения функции (12) на функцию A(t) .
80
Ускорение a, см/с2
60
40
20
0
-20
-40
-60
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Время t, с
Рис.1 Реализация нестационарного случайного процесса a~t  ,
полученная с помощью метода канонического разложения
14
80
60
Ускорение a, см/с2
40
20
0
-20
-40
-60
-80
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Время t, с
Рис.2 Реализация нестационарного случайного процесса a~v t  ,
полученная с помощью функции Вейерштрасса
В
третьей
главе
жесткопластических
рассмотрено
пластин
решение
методом
линейного
задачи
динамики
программирования.
Дискретизация задачи по координатам пространства и времени выполняется
методом конечных разностей. При этом интегрирование по объему
функционала (4) заменяется суммированием по площади, а напряжения ij и
скорости деформаций  ij заменяются изгибающими моментами M ij и
скоростями изменения кривизн срединной поверхности пластин
 ij
(i, j = 1, 2). Задача сводится к определению минимума функционала:
    D S  t     p 0* w *  S  t ,
n
k
 01
n
k

 01
(13)
при ограничениях а) – д) (см. стр.9-10). Суммирование производится по
верхним и нижним индексам α и β, обозначающим номера интервалов по
времени и номера точек разностной сетки на поверхности пластины. Для
расчетов принимается, что материал пластины подчиняется условию
пластичности
Треска-Сен-Венана,
для
которого
записывается
15
линеаризованное выражение поверхности текучести. Диссипативная функция
выражается с помощью значений обобщенных напряжений на ребрах
поверхности текучести.
В качестве примера решена вероятностная задача оценки надежности
шарнирно опертой железобетонной плиты при действии предельного
прямоугольного импульса нагрузки. В качестве случайных параметров
рассматривались величины прочности бетона и арматуры плиты. На рис.3
приведен график зависимости максимального прогиба от величины
прямоугольного импульса, интенсивность которого менялась в интервале
p = 50200 кПа. Время действия импульса принято t1  0,01 с. Величина
времени t  t k , при которой скорости точек тела будут равны 0, назначалась
из условия:
t k  t1
p
,
ps
(14)
где p s – значение предельной статической нагрузки, заданной в форме
p . Как видно из графика, если в качестве критерия отказа принять
превышение прогибом плиты предельного значения fult = 4 / 200 = 0,02 м, то
предельный импульс будет равен Iimp = 1,8 кПа·с. Если же сравнивать
максимальные значения пластических деформаций с предельным значением
деформации бетона при сжатии εb2 = 0,0035, то предельный импульс также
будет равен Iimp = 1,8 кПа·с.
Для
рассмотренной
прямоугольного
плиты
импульса
вероятность
равномерно
отказа
при
распределенной
действии
нагрузки
Iimp = 1,8 кПа·с с обеспеченностью 0,95 для критерия отказа по предельным
прогибам равна Pf = 0,047, а для критерия отказа по предельным
пластическим деформациям Pf = 0,338.
16
0.03
0.025
Прогиб w , м
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Импульс I imp , кПа с
.
Рис.3 График зависимости максимального прогиба от величины
прямоугольного импульса
Рассмотрено решение линейных и нелинейных задач динамики пластин
с использованием неявных схем прямого интегрирования уравнений
движения. Система дифференциальных уравнений движения системы с
конечным числом степеней свободы в матричной форме имеет известный
вид:
a
Mu
  C  u  K  u  F ,
(15)
При использовании неявной схемы, дискретизация пространственных
производных осуществляется на новом n+1 временном слое, для которого
решение запишется в виде:
1
u n 1  K 1  Fna1 .
(16)
Для решения системы (15), применяется неявная схема прямого
интегрирования уравнений движения, основанная на методе Ньюмарка, в
17
котором используются следующие выражения для скоростей и перемещений
узлов на новом n+1 временном слое:
u n1  u n  1     u
 n    u
 n 1   t ,
(17)
 1


2
u n1  u n  u n  t       u
n    u
n1   t ,

 2

(18)
где ,  – параметры интегрирования Ньюмарка. Тогда уравнение
движения (13) сводится к виду:
a
0
 M  a1  C  K   un1  Fna1  M  a0  u n  a2  u n  a3  u
 n  
 C  a1  u n  a4  u n  a5  u
 n  ,
где a0 
(19)
t  

1
1
1


a



2
,
,
,
,
,
a

a

a


1
a


1

,
5
1
2
3
4
2 
t 2
t
t
2


a6  t  1    , a7    t .
Расчет производится в следующем порядке: сначала из выражения (19)
вычисляются
перемещения
u n1 ,
затем
из
выражений
(17)
и
(18)
определяются ускорения и скорости. Метод Ньюмарка безусловно устойчив
2
1 1
1 1

при условиях:        ,   ,      0 .
4 2
2 2

В задачах с физической нелинейностью уравнение (19) решается
итерационно с помощью метода Ньютона–Рафсона:
a
0
 M  a1  C  K in 1   uin11  Fna1  Fnnr1,i 
 M  a0  un  uin1   a2  u n  a3  u
n  
 C  a1  un  uin1   a4  u n  a5  u
n ,
(20)
где K in – матрица Якоби для момента времени n, итерации i,
Fna – вектор приложенных сил к моменту времени n,
Fnnr ,i – вектор восстановленных сил для момента времени n, итерации i.
Рассмотрено решение динамических задач пластин с использованием
явных схем прямого интегрирования уравнений движения. В явной схеме
18
решение на n+1 временном слое находится через решение, полученное на
n-ом и более ранних временных слоях. Ускорения, вычисленные в момент
времени n, определяются выражением:

an  M 1 Fn  Fn
где Fn
exr
ext
int
,
(21)
– вектор приложенных внешних и объемных сил; Fn
int
– вектор
внутренних сил. Перемещения на новом n+1 слое вычисляются по формуле:
u n 1  u n  v n 1/ 2  tn 1/ 2 ,
где
вектор
скоростей
v n1/ 2  v n1/ 2  a n  tn
(22)
вычисляется
на
.
t
0
,
5


t


t
промежуточном временном слое n+1/2: 
n

1
/2
n
n

1
Выполнен сравнительный анализ явных и неявных схем, которые имеют
свои преимущества и недостатки. Основным достоинством применения
явных схем является простота и большая скорость получения решения.
Однако явные схемы требуют некоторых ограничений на шаг по времени,
накладываемых условием устойчивости. Неявные схемы иногда позволяют
добиться безусловной устойчивости при довольно большом шаге по времени.
Но, как показано выше, на каждом шаге требуется решение системы
алгебраических уравнений, которые для нелинейных задач решаются
итерационно, что приводит к значительному увеличению времени расчета в
сравнении с явными схемами.
В диссертационной работе проведено сравнение неявных и явных схем
на примере расчета опертой по контуру пластины размером 8×8 м, толщиной
20 см при действии вертикальной составляющей сейсмической нагрузки.
Поскольку получить теоретическое подтверждение сходимости решения
указанными методами затруднительно, то сходимость исследовалась на
последовательно сгущаемых сетках конечных элементов с характерными
размерами 0,8 м, 0,4 м, 0,2 м и 0,1 м в линейной и нелинейной постановках.
19
На рис.4 приведены графики перемещений центра плиты для сетки КЭ с
характерным размером 0,4 м, полученные явным (1) и неявным (2) методами
в физически нелинейной постановке.
Из рис.4 видно, что результаты расчетов явным и неявным методами
практически совпадают. При этом время расчета явным методом на два
порядка меньше, чем неявным. Таким образом, можно сделать вывод о
высокой численной эффективности явных методов при решении задач во
временной области с учетом физической нелинейности.
0.06
0.05
Премещение w , м
0.04
2
0.03
0.02
1
0.01
0.00
-0.01
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
Время t , с
Рис.4 Графики перемещений центра плиты для сетки КЭ с шагом 0,4м,
полученные явным (1) и неявным (2) методами в физически нелинейной
постановке
В четвертой главе рассмотрены особенности метода статистических
испытаний и описана процедура построения доверительного интервала для
вероятности отказа, разработанная в ЦНИИСК им. В.А.Кучеренко.
20
Приведены вероятностные параметры прочности бетона и арматурной
стали, статической нагрузки и случайной сейсмической нагрузки.
Описана методика оценки надежности железобетонных консольных и
опертых по контуру плит больших пролетов. Детерминированное решение
нелинейной динамической задачи о поведении пластин при действии
сейсмической нагрузки высокой интенсивности ищется методом конечных
элементов с использованием явных схем прямого интегрирования уравнений
движения.
Поскольку существующие теории, описывающие поведение бетона и
железобетона при действии интенсивных статических и динамических
нагрузок, предполагают связь критерия разрушения с функциями главных
напряжений, то их численная реализация требует значительного машинного
времени. В связи с этим для оценки надежности железобетонных плит
разработан
деформационный
критерий,
основанный
на
следующих
предположениях:
- армирование плит предполагается оптимальным, что позволяет
рассматривать
однородного
растяжению
железобетонные
изотропного
и
плиты
как
материала,
сжатию,
плиты,
одинаково
который
выполненные
из
сопротивляющегося
подчиняется
билинейной
упругопластической диаграмме сжатия бетона.
- потере несущей способности плит соответствует момент достижения
максимальным прогибом предельного значения, то есть такого, после
которого он начинает резко нарастать.
Выполнена оценка надежности консольных и опертых по контуру плит
больших пролетов приведенных на рис.5.
В качестве примера на рис.6 приведены графики зависимости
максимального прогиба консольных плит прямоугольной формы шириной
3 м длинной 4…9 м, защемленных по двум смежным сторонам, от
интенсивности
нагрузки,
полученные
в
результате
квазистатических
21
расчетов. На рис.7 и 8 приведены результаты вероятностных расчетов для
прямоугольной консоли размером 8×3 м, защемленной по двум смежным
сторонам: плотность распределения максимального прогиба и графики
зависимости
вероятности
отказа
от
математического
ожидания
доминирующей частоты случайного сейсмического воздействия.
Выражение для определения вероятности возникновения n землетрясений
интенсивностью I на площадки строительства за период эксплуатации Тэкспл
можно принять в виде:
2
  6 I Т
 
экспл
  .
F (nI )  1  exp  10 
(23)
n
 
I
 
Тогда, например, вероятность возникновения одного землетрясения
интенсивностью 9 баллов за период эксплуатации 50 лет равна:

F1  1  exp  10 3  50 
2
  2,5 10
3
.
Согласно рис.8 вероятность отказа рассматриваемой консольной плиты
при
действии
одного
землетрясения
с
математическим
ожиданием
доминирующей частоты 4,13 Гц с обеспеченностью 0,95 равна Pf  4,1  10 2 .
Тогда вероятность отказа конструкции за период эксплуатации будет
равна: Prob  Pf  F1  4,1  10 2  2,5  10 3  10,25  10 5  1  10 4 .
Для рассматриваемой консольной плиты выполнена оценка надежности с
учетом накопления пластических деформаций при воздействии нескольких
землетрясений различной интенсивности. В качестве критерия отказа
принималось превышение пластической деформацией значения b2.
Вероятность отказа плиты при возникновении первого землетрясения с
обеспеченностью 0,95 равна: Pf 1  0 , 95    4,7439  1  10 3  4,7  10 3 .
При возникновении второго землетрясения вероятность отказа плиты с
обеспеченностью 0,95 равна: Pf 2  0 , 95    1,3313  34  10 3  4,5  10 2 .
22
Рис.5 Консольные и опертые по контуру плиты больших пролетов
0.4
0.38
0.36
6
0.34
5
0.32
0.3
4
0.28
Прогиб w , м
0.26
0.24
0.22
1 - 4х3
2 - 5х3
3 - 6х3
4 - 7х3
5 - 8х3
6 - 9х3
3
0.2
0.18
2
0.16
1
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Интенсивность нагрузки p , т/м
11
12
13
14
15
2
Рис.6 Графики зависимости максимального прогиба консольных плит
прямоугольной формы шириной 3 м длиной 4…9 м,
защемленных по двум смежным сторонам
23
0.45
1
4
0.4
0.35
2
3
fw (w )
0.3
1 - 1Гц
2 - 3Гц
3 - 5Гц
4 - 7Гц
5 - 10Гц
0.25
5
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Прогиб w , м
Рис.7 Плотность распределения максимального прогиба прямоугольной
консоли размером 8×3 м, защемленной по двум смежным сторонам
0.06
3
0.05
Вероятность отказа Pf
2
0.04
1
1 - частота отказов
2 - обеспеченность 0,95
3 - обеспеченность 0,99
0.03
0.02
0.01
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Математическое ожидание доминирующей частоты f 0 , Гц
Рис.8 Графики зависимости вероятности отказа от математического
ожидания доминирующей частоты случайного сейсмического воздействия
24
Основные выводы
Обобщая результаты проведенных исследований, можно сделать вывод о
том, что методы оценки надежности элементов строительных конструкций
получили развитие. В рамках настоящей диссертационной работы были
решены следующие задачи:
- на основе инструментальных акселерограмм получены численные
характеристики случайных параметров для моделирования горизонтальных и
вертикальных компонент сейсмического воздействия;
- на основе современных статистических методов и теории фракталов
произведено моделирование акселерограмм случайного сейсмического
воздействия с заданными расчетными характеристиками;
- выполнен вероятностный расчет на основе численно-аналитического
решения задачи динамики пластин при действии импульсной нагрузки с
учетом физической нелинейности;
-
проведен
сравнительный
анализ
численных
методов
прямого
интегрирования уравнений движения и выбран метод, обладающий
наибольшей вычислительной эффективностью для решения задач динамики
пластин с учетом физической нелинейности;
- исследована надежность пластин при различных видах отказа;
- выполнена оценка надежности железобетонных консольных и опертых
по контуру плит больших пролетов методом статистических испытаний.
Исследована зависимость вероятности отказа от значения доминирующей
частоты случайного сейсмического воздействия.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих
научных работах:
1. Мкртычев О.В., Юрьев Р.В. «Оценка надежности железобетонных плит
перекрытия», Строительная механика и расчет сооружений, 2008. №5. - с. 64-65.
25
2. Юрьев Р.В. «Поведение пластин под интенсивной динамической
нагрузкой»,
научные
труды
двенадцатой
международной
межвузовской научно-практической конференции молодых ученых,
докторантов и аспирантов «Строительство – формирование среды
жизнедеятельности», Москва 2009, с. 489-492.
3. Мкртычев О.В., Юрьев Р.В. «Сравнительный анализ явной и неявной
схем прямого интегрирования уравнений движения на примере
прямоугольной плиты», сборник трудов второй международной
научно-практической конференции «Теория и практика расчета
зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и
численные методы», Москва 2009, с. 238-240.
4. Мкртычев О.В., Юрьев Р.В. «Оценка надежности консольной
железобетонной плиты на основе деформационного критерия»,
сборник всероссийской научно-практической и учебно-методической
конференции,
посвященной
5-летию
образования
Института
Фундаментального Образования МГСУ «ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ
НАУКИ В СОВРЕМЕННОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ», Москва 2010,
с.142-146.
Публикации
в
изданиях,
рекомендуемых
ВАК
России
для
кандидатских диссертаций:
1.
Мкртычев О.В., Юрьев Р.В. «Расчет конструкций на сейсмические
воздействия с использованием синтезированных акселерограмм»,
ПГС, 2010 - №6. - с.52-54.
2.
Мкртычев О.В., Юрьев Р.В. «Оценка надежности консольной плиты
при действии повторяющихся землетрясений», Вестник МГСУ, 2010 №3. - с.147 -151.