МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ШАКАРИМА города СЕМЕЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени ШАКАРИМА города СЕМЕЙ
Документ СМК 3 уровня
УМКД
УМКД
Учебно-методические материалы
дисциплины “Математический
Редакция №1 от
29.08.2013 г.
анализ.”
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
“Математический анализ.”
для специальности 5В070300 – “Информационные системы”
Учебно-методические материалы
Семей
2013
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 2 из 228
Содержание
1
2
3
4
8
Глоссарий
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа студентов
Литература
3
23
151
226
228
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
1. ГЛОССАРИЙ
№
Новые понятия
1.
Переменная величина
2.
Область значений
переменной величины
3.
Последовательность
4.
Функция
5.
Независимая
переменная, аргумент
6.
Область определения
функции
Область значений
функции
7.
8.
График функции
y  f x 
9.
Предел переменной
величины
10.
Предел
последовательности
11.
12.
Предел функции на
бесконечности
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 3 из 228
Содержание
принимающая
величина,
различные
значения
множество всех значений, которые
принимает (пробегает) данная переменная
величина
переменная
величина,
значения
которой можно перенумеровать: x1 ,...,xn ,...
Переменная величина у есть функция
x , если каждому
переменной величины
значению x по некоторому правилу
поставлено в соответствие определенное
значение у; запись y  f  x 
если задана функция y  f  x  , то x
называется независимой переменной или
аргументом
множество
(область)
значений
аргумента
Множество
значений,
принимаемых
функцией
Множества точек на плоскости, абсциссами
которых являются значения аргумента, а
ординатами
значения
функции,
соответствующие этим значениям аргумента;
множество точек  x , f  x 
Число  есть предел переменной величины
x ,если для любого   0 , начиная с
x,
некоторого момента в изменении
выполняется неравенство x  a   ; запись
lim x  a
lim x  a если для   0 найдется такой
n
n
номер  , что при n   будет x n  a  
lim f x  a , если для   0 найдется
x
такое  ,что f x   a   при x  
Предел функции в точке lim f x   a , если для
  0 найдется
x


x0
такое   0 , что для x , лежащего
в
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
13.
14.
15.
16.
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 4 из 228
  окрестности x 0 и x  x 0 , выполняется
неравенство f x   a  
Бесконечно малая (б.м.) Переменная
величина  называется
бесконечно малой, если lim   0
Связь предела и
lim x  a  x  a   ,   б.м.
бесконечно малой
Бесконечно большая
Переменная
величина
называется
x
(б.б.)
бесконечно большой, если обратная величина
1
   б.м
x
Два замечательных
sin x
 1 (первый замечательный предел)
lim
предела
x
x 0
x
1
 1


1


e

1





lim
lim
x
x  
 0
(второй
замечательный предел)
17.
Сравнение б.м.
Сравнить две бесконечно малые  и  ,
значит найти предел их отношения:


lim ; если lim  C  0,  , то  и  


одного порядка; в частности, если lim  1 ,

то  и  -эквивалентные б.м.;

если lim  0,  -высшего порядка малости

по сравнению с  ; запись:   0
18. Непрерывность функции Функция y  f  x  непрерывна в точке x 0 ,
в точке x 0
если lim f x   f x 0 ;
x  x0
Другое
определение: пусть x  x  x 0
(приращение
аргумента)
и
y  f  x 0  x   f  x 0 
(приращение
функции). Функция непрерывна в точке x 0 ,
если б.м. приращению
аргумента x
соответствует
б.м.
приращение
функции y : lim y  0
x 0
19.
Касательная прямая
Предельное положение секущей, когда две
точки ее пересечения с линей стремятся
слиться в одну
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 5 из 228
y
отношения
lim  предел
x 0 x
приращения
функции
к
приращению
аргумента, когда приращения аргумента
стремится к нулю
f '  x 0  -тангенс угла наклона касательной к
графику функции y  f  x  , проведенной в
точке M 0  X 0 , f  x 0 
20.
Производная функции
y  f  x  в точке x 0
21.
Геометрический смысл
производной
22.
f '  x 0   скорость
изменение
функции
y  f  x  в точке x 0 (относительно изменения
аргумента x ); если S  f t   зависимость
пути
от
времени,
то
S '  f ' t  (производная пути по времени)скорость движения в момент t
Дифференциал функции Дифференциал dy есть главная часть
y  f x 
приращения функции, пропорциональная
dy  y ' x ;
приращению
аргумента
y  dy  б.м. высшего порядка относительно
x
Дифференциал
То же, что произвольное приращение
независимой переменной независимой переменной dx  x
Геометрический смысл Дифференциал
dy  f '  x 0 x -приращение
дифференциала функции ординаты касательной прямой, проведенной
y  f x 
y  f x  в
к графику функции
точке
 x 0 , f  x 0 
Дифференцируемая
Функция y  f  x  дифференцируема в точке
функция
x 0 , если существует конечная производная
23.
24.
25.
26.
f ' x0  
Механическая
интерпретация
производной
f ' x 0   существует дифференциал f
'
x 0 x ;
x 0 функция
Дифференцируемая
в
непрерывна в x 0 , обратное неверно
y  f u  ,
u  x  ,т.е.
где
y  f  x   сложная функция, y x '  y u '  u x '
Сложная функция
(функция от функции) и
ее производная
28. Инвариантность формы Для
дифференциала
форма
записи
дифференциала
дифференциала
функции
y  f u  : dy  f ' u du не зависит от того,
будет ли u независимым переменным или
промежуточным аргументом
27.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 6 из 228
29.
Обратная функция и ее
дифференцирование
y  f  x  разрешить относительно
если
x : x   y  , то  y   обратная функция к
f  x  . Производные
обратных функций
являются взаимно обратными величинами:
1
y 'x  '
xy
30.
Параметрическое
задание функции.
Дифференцирование
параметрически
заданных уравнений
Связь между аргументом x и функцией y
выражена
через
посредство
третьей
переменной t -параметра: x и y заданы как
функции
параметра: x  t , y   t  ;
31.
Монотонные функции
32.
Признак возрастание
или убывания
Точки максимума,
минимума, экстремума
33.
34.
35.
36.
Необходимо признак
экстремума (признак
Ферма)
Достаточный признак
экстремума
Асимптоты и их
отыскание
 ' t 
, если t   0
' t 
Функции возрастающие или убывающие.
Функция
возрастает (убывает),
если
большему
значению
аргумента
соответствует большее (меньшее) значение
функции
производная:
y 'x

y '  0 -функция возрастает, y '  0  убывает
x 0 - точка максимума (минимума)
Точка
f  x  , если значение
f x0 
функции
больше (меньше) всех значений f  x  ,
принимаемых в некоторой окрестности x 0 ;
определение подчеркивает
локальный
характер понятие; точка экстремума - общее
название точек максимума и минимума
Если в точке экстремума производная
существует, то она равна нулю
Если производная при переходе через x 0
меняет знак c  на , то x 0 - точка
максимума, если с - на  , то x 0 - точка
минимума
прямая L называется асимптотой кривой,
если расстояние от точки на кривой до L
стремится к нулю, когда точка неограниченно
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 7 из 228
удаляется от начала координат;
lim f x    ,
если
то прямая
xx 0
x  x0 -
вертикальная асимптота графика y  f ( x ) ;
прямая y  kx  b - наклонная асимптота (в
частности, при k  0 - горизонтальная) ,
f x 
, b  lim f x   x 
x  x
x 
k  lim
37.
Выпуклость
(вогнутость) кривой
Кривая выпукла (вогнута), если лежит над
(под) любой своей касательной
38.
Признак выпуклости
(вогнутости)
Точка перегиба
y ''  0  выпукла, y ''  0 -вогнута
39.
40.
Признаки точки
перегиба
41.
Правило Лопиталя
Точка на кривой, которая отделяет участок
выпуклости от участка вогнутости
y "  0 или «не существует» - необходимый
признак, y" меняет знак при переходе через
точку x 0 , тогда в т.  x 0 , f  x 0  перегиб достаточный признак
f x 
Служит для нахождения lim
, когда
x 
 f x   0
0
(неопределенность ), или

0
x   0
 f x   

(неопределенность );


x   
правило утверждает: если
существует
конечный или бесконечный
предел
'
f x 
lim '
отношения производных
, то
 x 
f x 
существует и lim
и эти пределы равны
x 
42.
Теорема о хорде и
касательной
Если у кривой линии в каждой ее точке
существует касательная, то найдется точка, в
которой касательная параллельна хорде
43.
Теорема (формула)
Лагранжа
Специальный случай теоремы о хорде и
касательной для графика функции y  f  x 
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 8 из 228
на a , b и
существует f x , x  a, b то
найдется точка
c , a  c  b такая, что
'
f b   f a   f c b  a 
44.
45.
Теорема Ролля
Теорема Коши
Специальный случай теоремы Лагранжа: если
f a   f b  и
существует f x , x  a, b то
c , a  c  b , f ' c   0; Теоремы Лагранжа и
f x ,
Ролля
верны для функции
непрерывной на a , b и дифференцируемой
по крайней мере на a , b 
Если  x  и x  непрерывны на a , b и
дифференцируемы
на
a ,b , причем
b   a   ' c 

 x   0 , то c , a  c  b;
b   a  ' c 
Представление
функции,
имеющей
в
окрестности x 0 производные до n  1
порядка в виде суммы многочлена степени
n , расположенного по степеням x  x 0 и
некоторого остаточного члена, содержащего
x  x 0 в n  1 степени
P  внутренняя точка множества D в
R n ,если существует   окрестность точки
P , целиком содержащаяся в D
Точка P  граничная точка множества D в
  окрестности
R n , если в любой ее
найдутся как точки из D, так и точки, не
принадлежащие D
D  открытая область в R n ,если: все ее
точки внутренние;
Замкнутая область получается, если к
открытой области присоединить все ее
граничные точки
u
Переменная
величина
называется
функцией точки P , заданной на некотором
множестве точек, D , если каждой точке
P D соответствует по некоторому правилу
определенное значение u  f P 
Если D  множество точек x , числовой оси
u  f P   f  x - функция одной
R 1 , то
'
46.
Формула Тейлора
47.
Внутренняя точка
48.
Граничная точка
49.
Открытая область
50.
Замкнутая область
51.
Функция точки
52.
Функция одной
переменной
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 9 из 228
x ; боле
переменной
привычное
обозначение y  f  x 
53. Первообразная функции Функция F  x  называется первообразной
для функции f  x 
на
некотором
промежутке, если для всех значений x из
этого промежутка выполняется равенство
F  x   f  x 
54.
Неопределенный
Если F  x  -первообразная функции для f  x  ,
интеграл
то выражение F x   C , где C -произвольная
постоянная, называется
неопределенным
интегралом от функции f  x  и обозначается
 f x dx , т.е  f xdx  F x  C
55.
56.
57.
Формула замены
переменной в
неопределенном
интеграле.
Формула
интегрирования по
частям
Рекуррентная формула
для интеграла
dx
In 
n
x2  a2
n  1,2,3,
Вычисление интегралов
вида
dx
;
2
x  px  q
dx
;
2
x  px  q
Ax  B
;
2
x  px  q
Ax  B
;
x 2  px  q

58.
Пусть
x  t , где t 
дифференцируема
.
 f xdx   f t t dt
монотонна и
Тогда
 udv  uv   vdu
I n 1 

x
2na x  a
2
2

2 n

2n  1
2na 2
In



Выделить полный
квадрат из трехчлена
p  
p 2 

2
x  px  q   x     q 
.
2 
4 

p
Применить подстановку x   t
2
2


59.
Интегрирование
рациональных функции
P x 
Q x 
выделить целую часть;
1) если дробь
неправильная, то
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
P x 
 Qx  dx, где
P x ,Q x   многочлены
60.
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 10 из 228
2) разложить многочлен Q  x  на множители;
3) правильную дробь представить в виде
суммы простых дробей;
4)
найти неизвестные коэффициенты
методом частных значений и методом
неопределенных коэффициентов;
5) вычислить интегралы от простых дробей.
Интегралы вида
ax  b m
Замена
где
t ,
k


cx  d
  ax  b  n 
R  x, 
 ,dx, гд знаменатель дробей k ,
  cx  d 

n


е R -рациональная
функция;
k ,n,  целые
положительные числа.
Интегралы вида
Осуществляется замена:
1) x  asint;
1) R( x , a 2  x 2 )dx;
2) x  atgt ;
2) R( x , a 2  x 2 )dx;
a
2
2
3)
x

3) R( x , x  a )dx
cos t .
m -общий

61.
62.
Интегралы типа
 sin(mx)cos(nx)dx;
 cos( mx )cos( nx )dx;
 sin( mx ) sin( nx )dx
63.
Интегралы вида
m
n
где
 sin x cos xdx,
m,n-целые числа.
Использовать формулы
1
sin   cos  (sin(   )  sin(   ));
2
1
cos  cos  (cos(  )  cos(  ));
2
1
sin   sin   (cos(  )  cos(  )).
2
1)Пусть хотя бы один из показателей m или
nбудут нечетным, целым, положительным.
Тогда полагаем cosx  t если m-нечетное
число; sin x  t , если n-нечетное число.
2) Пусть оба показателя m, n - четные,
положительные числа. Тогда применяются
формулы
1  cos 2 x
1  cos 2 x
sin 2 x 
, cos 2 x 
.
2
2
3) Пусть m  n   четное отрицательное
целое число. Тогда полагаем tgx  t
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
64.
Ред. № 1 от 29.08.2013
Полагаем
Интегралы вида
 R(sinx,cosx)dx, где R рациональная функция
относительно
sin x , cos x .
x
t
2
(универсальная
подстановка).
2t
t2 1
2dt
sin x  2
,cos x  2
,dx  2
.
t 1
t 1
t 1
Частные подстановки:
1) пусть R(-sinx, cosx)  -R(sinx, cosx),
полагаем cos x  t ;
2) пусть R(sin x , cos x )   R(sin x ,cos x )
полагаем sin x  t ;
3) пусть R(-sinx,-cosx)  R(sinx,cosx),
полагаем tgx  t
Если
65.
tg
стр. 11 из 228
существует
конечный
Тогда
тогда
тогда
тогда
предел
n
интегральной
суммы
 f i xi
при
i 1
Определение
определенного
b
интеграла

f  x dx
a
66.
Формула НьютонаЛейбница
  max xi  0, не зависящий ни от способа
дробления промежутка a ,в на части, ни от
выбора точек i , то тот предел называют
определенным интегралом функций f  x  по
в
n
промежутку а ,в  ,  f x dx  lim  f  i x i
а
в
  0 i 1
 f x dx  F x  а  F в   F а 
в
где
F x  -
а
67.
68.
Формула
интегрирования по
частям для
определенного
интеграла
первообразная функций f  x 
U  U x ,V  V x 
Пусть
производные
U x ,V x  непрерывна на отрезке а ,в , тогда
в
в
UdV  UV - VdU
в
а
а
а
Замена переменной в
Если функция f  x  непрерывна на отрезке
определенном интеграле а ,в и функция x   t  непрерывна
дифференцируема на отрезке
t1,t2  причем a   t1 ,в   t2  то
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
в
t2
а
t1
стр. 12 из 228
 f xdx   f  t  t dt
69.
Несобственные
интегралы с
бесконечными
пределами

1  f x  
a
в
в
lim  f x dx;
в   а
2  а x dx 


3  f  x dx 


70.
72.
73.
74.
lim  f x dx
а   а
c


c
 f x dx   f x dx
Несобственные
Если f  x  непрерывна при а  х  в и
интегралы от
то
по
определению
lim f x   ,
неограниченных функции x в - 0
в
в
(второго рода)
 f x dx  lim  f x dx
0 a
а
71.
в
Площадь криволинейной
трапеции, ограниченной
кривой y  f  x  ,
прямыми
x  а,х  в, y  0
Площадь фигуры,
ограниченной кривыми
y  f 1 x , y  f 2 x ,
f1 x   f 2 x 
x  a,x  в
Площадь фигуры,
ограниченной кривой,
имеющей
параметрическое
уравнение
x  xt , y  y t ,t  t1 ,t 2 
Площадь фигуры,
ограниченной графиком
функции      и
двумя лучами
   ,  
в
S
 f x dx
а
в
S
  f 2 x   f1 x dx
а
t2
S  y t xt dt

t1

1
S
 2  d
2


УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
Длина дуги кривой,
заданной
уравнением
y  f  x , x  а ,в 
Длина дуги кривой,
заданной
параметрическими
уравнениями
x  xt , y  yt ,
t1  t  t 2
Длина дуги
пространственной
кривой, заданной
параметрическими
уравнениями
x  xt , y  yt ,
Ред. № 1 от 29.08.2013
в
l

1  y2 dx
t2
   
стр. 13 из 228
а
l

x
2
t
2
 yt  dt
t1
t2
l

x    y    z   dt
2
2
t
t
2
t
t1
z  z t , t1  t  t 2

Длина дуги кривой,
l
заданной полярными

уравнением
  (  ),     .
Площадь поверхности,
образованной вращением
вокруг оси Ox , дуги
кривой, заданной
функцией
y  f  x , a  x  b
Площадь поверхности,
образованной вращением
вокруг оси Ox дуги,
заданной параметрами
уравнениями
x  x(t ), y  y (t ),
t1  t  t 2
Площадь поверхности,
образованной
вращением вокруг оси
Ox дуги, заданной в
полярных координатах
  (  ),     
p 2  p2 d
b
Q X  2 f ( x ) 1  f x 2 dx
a
t2
Q x  2  yt  x t 2  yt 2 dt
t1

Qx  2   sin   2  (  / )2 d

УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
82.
Объем тела
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 14 из 228
b
V   S ( x )dx,
где
S(x) -
площадь
a
сечения тела плоскостью, перпендикулярной
оси Ox, a  x  b
Объем тела,
полученного вращением
b
криволинейной
Vx   f 2 ( x )dx
трапеции ограниченной
a
кривой y  f(x), a  x  b,
вокруг оси Ox .
84.
Объем тела,
полученного вращением
b
криволинейной
V

2

y
a xf ( x )dx
трапеции, ограниченной
кривой y  f(x), a  x  b ,
вокруг оси Oy .
85.
Функция двух
переменная z, если каждой упорядоченной
переменных х и у,
паре  х, у  значений двух независимых друг
от друга переменных величин х и у из
некоторой
области
соответствует
_
единственное число z
86.
Функция от п
переменная величина и, если каждому
переменных x, y, z, …, t набору этих переменных соответствует
единственное значение переменной и:
u  f  x, y , z ,  , t 
87.
Область определения
множество D всех точек  х, у  , при которых
z  f  x, y  имеет смысл
88. Область изменения или множество
значений
z,
принимаемых
множество значений
функцией z  f  x, y  при  x, y   D (области
функции
определения)
89.
График функции
множество точек пространства R 3 с
z  f  x, y 
координатами  x, y, z    x, y, f  x, y  при
всех  x, y   D
90. Линия уровня функции множество всех точек плоскости Оху, в
z  f  x, y 
которых функция z принимает постоянное
значение, т.е. f  x, y   с , где с — постоянная
91.
Поверхность уровня
множество всех точек пространства Oxyz, в
функции трех
которых функция и принимает постоянное
переменных
значение, т. е. f  x, y, z   с , где с  const .
u  f  x, y , z 
83.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
92.
d-окрестность точки
М 0 х0 , у 0 
93.
Проколотая dокрестность точки
М 0 х0 , у 0 
Число А называется
пределом функции
z  f  x, y  в точке
М 0 х0 , у 0  ,
94.
95.
96.
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 15 из 228
круг (открытый) радиуса d с центром в точке
2
2
М 0  х 0 , у 0  , т. е.  x  x 0    y  y 0   d 2 .
0  x  x0    y  y 0   d 2
2
2
если для любого   0 (сколь угодно малого)
найдется число       0 такое, что для
всех M  x, y  , отличных от М 0  х 0 , у 0  и
отстоящих от М 0 меньше, чем на  ,
выполняется неравенство f x, y   A   .
точка М 0 , если каждая окрестность М 0
содержит хотя бы одну точку множества Е
Предельная точка (или
точка сгущения)
множества Е
если она удовлетворяет следующим трем
Функция z  f M 
непрерывна в точке M 0 , условиям:
1) f M  определена в некоторой
окрестности точки M 0 ,
2) имеет предел в этой точке:
lim f M   A ,
M M 0
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
3) этот предел равен значению функции в
этой точке: A  f M 0  .
непрерывная на
функция, непрерывная в каждой точке
множестве Е функция некоторого множества точек Е
Связное множество
множество, любые две точки которого можно
соединить некоторой непрерывной кривой,
полностью принадлежащей этому множеству.
Ограниченное
множество,
целиком
принадлежащее
множество
некоторому кругу x 2  y 2  R 2 .
Область
открытое связное множество
область D вместе с точками ее границы
Замкнутая область D
Граничная точка области такая точка Р, в каждой окрестности которой
D
имеются как точки области D, так и точки не
принадлежащие D.
Граница области D
множество D всех ее граничных точек
Частные приращения
 х z  f  x  x, y   f  x, y  ,
функции z  f  x, y  по
 y z  f x, y  y   f x, y  .
независимым
переменным х и у
z  f  х  х, у  у   f  x, y 
Полное приращение
функции z  f  x, y  ,
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
106.
соответствующее
приращениям
аргументов х и у ,
Частная производная
функции z  f  x, y  по
переменным х и у
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 16 из 228
предел
отношения
соответствующего
частного приращения  x z или  y z к
приращению данной переменной, при
условии, что приращение переменной
стремится к нулю:
 z
z |x  lim x ,
x 0 x
yz
.
z |y  lim

y
y  0
Дифференциал этой
f x| x 0 , y 0 x  f y| x 0 , y 0 y
функции в данной точке
108. Неявная функция одного функция у  у  х  , которая определяется
аргумента
уравнением
неразрешенным
F  x, y   0 ,
относительно у.
109.
Неявная функция
функция z  z  x, y  если она определяется
переменных х и у,
уравнением F  x, y, z   0 , неразрешенным
относительно z.
110. Касательная плоскость к
плоскость t, проходящая через точку
Г в точке Р0
Р0 и такая, что угол между этой плоскостью
и секущей, проходящей через Р0 и любую
точку Р поверхности Г, стремится к нулю,
когда Р стремится к Р0 вдоль Г.
111.
Нормаль
прямая
п,
проходящая
через
Р0
перпендикулярно t.
112. Второй дифференциал
2z 2
2z
2z 2
2
d z  d dz   2 dx  2
dxdy  2 dy
или дифференциал
xy
x
y
второго порядка для
функции z.
l f
f x 0  x, y 0  y   f x 0 , y 0  f
113. Производная функции f

 x0 , y 0 
lim
lim

l
по направлению l в  0   0
l f
f x 0точке
 x, yх0 ,у0 y   f x 0 , y 0  f
 lim
 x0 , y 0 
  0

l
114.
Градиент функции
f f
вектор с координатами
,
. Обозначение
z  f  x, y  (скалярного
x y
поля)
 f f 

grad z   ,
 x y 
107.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 17 из 228
если
неравенство
f  x 0 , y 0   f  x, y 
( f  x 0 , y 0   f  x, y  ) имеет место во всех
точках
из
некоторой
M  x, y   M 0
достаточно малой окрестности точки М 0 .
точка  x 0 , y 0  , в которой df  x 0 , y 0   0 .
115.
Функция f  x, y  имеет
строгий локальный
максимум (минимум) в
точке M 0  x 0 , y 0  ,
116.
Стационарная
точка функции f  x, y 
117.
x x
Якобиан преобразования
J  J u, v   u v
y y
u v
Формула замены
 f x, y dxdy   f r cos , r sin  rdrd
переменных в двойном
D
G
интеграле при переходе
к полярным
координатам
Вычислени площади S S  S D   dxdy

ограниченной в Оху
D
области D
Масса m  mD  плоской m    x, y dxdy

пластины D, имеющей
D
поверхностную
плотность
распределения масс
  x, y  (физический
смысл двойного
интеграла).
Моменты инерции
J х   y 2   x, y dxdy ,
плоской материальной
D
пластины D с
J y   x 2   x, y dxdy ,
поверхностной
D
плотностью   x, y 
J 0  J х  J y   x 2  y 2   x, y dxdy
относительно
D
координатных осей Ох,
Оу и начала координат
О(0,0)
Координаты центра
My
M
yc  x ,
,
x

c
тяжести материальной
m
m
пластины D с
M y   x  x, y dxdy ,
где
плотностью   x, y 
118.
119.
120.
121.

122.

D
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 18 из 228
M х   y  x, y dxdy
D
123.
124.
Формула перехода к
тройному интегралу в
цилиндрических
координатах
Формула перехода к
сферическим
координатам
 f x,
y, z dxdydz   f r cos , r sin  , z rdrddz
V
 f x, y, z dxdydz 
V
  f r sin  cos , r sin  sin  , r cos  r 2 sin drdd
V
125.
Объем v тела V
v  dxdydz
V
126. Масса т тела V с данной v 
  x, y, z dxdydz
плотностью   x, y, z 
V
127.
Статические
M xy   z  x, y, z dxdydz ,
моменты M xy , M xz ,
V
M xz   y  x, y, z dxdydz ,
тела
V
M yz
относительно
координатных
плоскостей Оху, Oxz, Oyz
128.
Координаты центра
тяжести тела V с массой
т
129.
Моменты инерции
тела V с плотностью
  x, y, z  относительно
координатных
плоскостей
130.
Моменты инерции J x ,
J y и J z тела V
относительно
координатных осей
V
M yz   x  x, y, z dxdydz ,
V
где   x, y, z  — плотность тела V.
1
x  x, y, z dxdydz ,
m 
V
1
y c   y  x, y, z dxdydz ,
m V
1
z c   z  x, y, z dxdydz .
m V
xc 
J xy   z 2   x, y, z dv ,
V
J xz   y 2   x, y, z dv ,
V
M yz   x 2   x, y, z dv .

  x
  x
V

 z   x, y, z dv ,
 y   x, y, z dv .
J x   y  z 2   x, y, z dv ,
2
V
My
2
V
Jz
2
V
2
2
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
131.
132.
Интегральная сумма
первого рода для
функции f  x, y  ,
заданной на кривой L
Криволинейный
интеграл первого рода
от функции f  x, y  по
кривой L
Ред. № 1 от 29.08.2013

n
стр. 19 из 228

S n   f x i , y i l i , где
i 1
l i  M i 1 M i
—

длина дуги M i 1 M i .
предел интегральных сумм Sn при d  0 ,
d  max l i (не зависящий от способа
i
разбиения кривой L на части и выбора точек
M i ), обозначается  f  x, y dl
L
133. Физический
смысл m    x, y dl – масса материальной кривой

криволинейного
AB
интеграла первого рода. L  AB с плотностью, равной     x, y  .
135.
Криволинейный
интеграл второго рода
Условие Грина.
136.
Формула Грина
134.
 Рx, y dx  Qх, у dy
L
Q P

x y
 Q
 Pdx  Qdy    x
D
137.
Поверхностный
интеграл первого рода
D
предел
n
 f xi ,
i 1
y i , z i    i
P 
dxdy
y 
интегральных

при
сумм
d 0
(где
d  max di ), который не зависит от способа
i
разбиения поверхности S на части и выбора
точек M i , обозначается
 f x,
y, z d .
S
138.
139.
140.
Поверхностный
интеграл второго рода
Числовой ряд
Ряд называется
сходящимся
 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy
S
u1  u 2 ...  u n  ... ,
где числа u1 , u 2 ,..., u n ,... члены числового ряда
если при n   существует конечный предел:
S  lim Sn , число S называется суммой ряда, и
n 

записывают тогда: S  u1  u 2  ...  u n  ...   u n .
n 1
141.
142.
Ряд называется
расходящимся
Необходимый
признак сходимости
если lim S n не существует
n 
(в частности,
бесконечен)
Если ряд

u
n 1
n
 u1  u 2 ...  un  ...
сходится, то
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 20 из 228
предел его общего члена равен 0:
Числовой ряд
143.

 u n называется рядом
lim un  0 .
n 
если все его члены неотрицательны, т.е.
un  0 , n  1, 2 , ... .
n 1
144.
145.
с положительными
членами,
Признак сравнения
Пусть даны два ряда с положительными
членами:
(1) u1  u 2 ...  u n  ... и (2)
v1  v 2 ...  vn  ... ,
причём члены первого ряда не больше
соответствующих членов второго: 0  un  vn ,
n  1, 2 , ... . Тогда
а) если ряд (2) сходится и имеет сумму S ( 2) ,
то ряд (1) также сходится, и его сумма
S (1)  S ( 2) ;
б) если ряд (1) расходится, то ряд (2) также
расходится.
Признак сравнения Пусть ряды
и
u1  u 2 ...  u n  ...
в предельной форме
v1  v 2 ...  vn  ... с положительными членами
таковы, что существует конечный ненулевой
предел lim un  K ( K  0) . Тогда данные ряды
n 
146. Признак Даламбера
vn
сходятся или расходятся одновременно.
Если для ряда u1  u 2 ...  u n  ... со строго
положительными
членами
( un > 0 )
существует конечный предел lim un 1  p , то
n 
un
147.
148.
Радикальный
признак Коши
при p < 1 данный ряд сходится, при p > 1 расходится.
u1  u 2 ...  u n  ...
Если для ряда
с
положительными членами
существует
n
конечный предел nlim
un  p , то при p < 1

Интегральный
признак Коши
данный ряд сходится, при p > 1 - расходится.
Пусть
функция
непрерывна,
f (x)
положительна и не возрастает на промежутке
1, .
Тогда
числовой
ряд

f (1)  f (2)  ...  f (n)  ...   f (n)
(*)
сходится
n 1
или
расходится
одновременно
с
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 21 из 228

 f ( x) dx .
несобственным интегралом
1
149. Знакочередующийся ряд числовой ряд, у которого соседние члены
имеют разные знаки.
150.
Признак Лейбница
Если члены знакочередующегося ряда

u1  u 2  u 3  u 4  ...   (1) n 1 u n
монотонно
n 1
убывают по абсолютной величине: un 1  un , и
общий член ряда стремится к нулю при
n   : lim un  0 , то ряд сходится, и его сумма
n
удовлетворяет неравенству 0  S  u1 .
151. Абсолютно сходящийся числовой
ряд,
если
сходится
ряд,
ряд
составленный из модулей его членов.
S
152. Условно сходящийся ряд числовой ряд, который сам сходится, а ряд,
составленный из модулей его членов,
расходится.
153. Функциональный
ряд выражение
вида

называется
a 0 ( x)  a1 ( x)     a k ( x) ,
k 0
154. Область сходимости
где
есть некоторые функции
a k (x)
действительного переменного, имеющие
общую область определения.
множество всех значений x , при которых ряд

a 0 ( x)  a1 ( x)     a k ( x)
сходится.
Эту
k 0
область будем обозначать через D .
155. Равномерно сходящийся функциональный ряд, если наибольшее
в
значение модуля его остатка в  стремится к
нулю при n   , т.е. lim max Rn ( x)  0 .
n  x
156.
Степенной ряд.
Функциональный

 Ck x k 
k 0
157.
Радиус
сходимости
степенного ряда
числа
ряд
Ck
коэффициентами
наибольшее значение
вида
называются
x0
такое,
интервале ( x 0 , x 0 ) степенной ряд
что
его
в

 Ck x k
k 0
сходится (обозначается через R ) а интервал
 R , R  называется его интервалом
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 22 из 228
сходимости.
158. Смещенный степенной
функциональный ряд
ряд с центром в x 0

C
k
(x  x 0 ) k
k 0
159. Многочлен
Тейлора
f ( x0 )( x  x0 ) f ( x0 )( x  x0 )2
T ( x)  f ( x0 ) 


n го порядка функции n
1!
2!
y  f (x) в точке x 0
n
f ( n) ( x 0 )( x  x 0 ) n
( x  x0 ) k
(k )

  f ( x0 )
n!
k!
k 0
160. Ряд
Тейлора
для
смещенный степенной ряд

функции
с
y  f (x)
 x  x 0 k
f | x0 
k 
 f x0  k!  f x0   1! x  x0  
центром в точке x 0
k 0
f | | x0 
f n   x 0 
2
x  x0    
 x  x 0 n  

2!
n!
161. Ряд
Маклорена
функции y  f (x)
для ряд Тейлора этой функции с центром в точке
Ряд
Маклорена
имеет
вид
x0  0 .

f
k 0
(k )
f (0) 2
xk
(0)
 f (0)  f (0) x 
x 
k!
2!
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 23 из 228
2. ЛЕКЦИИ
Лекция 1. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно
малые и бесконечно большие функции. Нахождение
пределов функций. Особые случаи вычисления пределов
(неопределенности).
Предел функции в точке и на бесконечности
Дадим определение предела функции в точке, которое называют
определением «на языке    » или определением «на языке неравенств». Оно
принадлежит Коши.
Пусть функция y  f (x) определена на некотором промежутке X и x 0 –
предельная точка для множества X .
Определение.
Число A называется пределом f (x) при x  x0 , если
для любого   0 найдется такое число   0 , что для всех x  x0 , x  X ,
удовлетворяющих
неравенству
выполняется
неравенство
| x  x0 |  ,
| f ( x)  A |  . Записывается этот факт так: lim f ( x)  A , или так: f ( x)  A при
x  x0
x  x0 . Говорят также, что предел f (x) в точке x0 равен А.
f ( x)  4 (или f ( x)  4 при x  2 ).
Пример. f ( x)  x 2 . lim
x2
Обратим внимание на то, что x  x0 , т.е. функция может не быть определена в
самой точке x0 .
Определение.
Говорят, что функция f (x) стремится к бесконечности
при x  x0 (имеет в точке x 0 «бесконечный предел»), если для любого сколь
угодно большого числа M  0 найдется такое число   0 , что для всех
x  X ( x  x0 ) , удовлетворяющих неравенству | x  x0 |  , выполняется неравенство
| f ( x) | M . Обозначается lim f ( x)   , или f (x)   при x  x0 .
x  x0
Здесь надо правильно понимать, что предела в точке x 0 в смысле
предыдущего определения функция не имеет, т.к. не существует числа, к
которому приближались бы значения функции при x  x0 ; при приближении х к
x 0 значения функции становятся по модулю всё больше и больше – сколь угодно
большими! Просто оказывается удобным говорить в этом случае: «бесконечный
предел» или «предел равен бесконечности».
| f ( x) | M записать в определении
Если вместо неравенства
неравенство f ( x)  M ( f ( x) <  M ), то получим определения бесконечных
пределов со знаком: lim f ( x)   и lim f ( x)   соответственно.
x  x0
x  x0
1
x
f ( x)   . 2) f ( x ) 
Примеры. 1) f ( x)  . lim
x 0
3) f ( x)  
1
. lim f ( x)   .
x 2 x 0
1
. lim f ( x)   .
x 2 x 0
Определение (предел функции на бесконечности).
Число A называется
пределом функции f (x) при x   (при x   ; при x   ), если для любого
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
  0 найдется такое вещественное число
K , что
стр. 24 из 228
| f ( x)  A |  для всех | x | K
f ( x)  A ( lim f ( x)  A ; lim f ( x)  A ).
( x < K ; x  K ). Записывается это так: lim
x 
x  
x  
1
x
f ( x)  0 . 2) f ( x)  e x : lim f ( x)   , lim f ( x)  0 .
Примеры. 1) f ( x)  : lim
x 
x  
x  
Односторонние пределы и их связь с пределом
Когда мы формулировали определение предела функции в точке x0 , то не
делали никакого ограничения на способ стремления значений x к x0 , т.е. точка
x могла стремиться к точке x0 и справа, и слева. Если в определении предела
функции потребовать, чтобы x стремилось к x0 не любым способом, а только
слева (оставаясь все время меньше x0 : x  x0 ) или только справа (оставаясь
больше x0 : x > x0 ), то получим
Определение.
Число A называется пределом функции f (x) при x ,
стремящемся к x0 слева (справа), если для любого   0 найдется такое   0 ,
что для всех x , удовлетворяющих неравенству x0    x  x0 ( x0  x  x0   ) ,
выполняется неравенство | f ( x)  A |  .
Пределы слева и справа иначе называются односторонними пределами и
соответственно обозначаются так:
lim f ( x)  f ( x0  0) , lim f ( x)  f ( x0  0) .
x  x0  0
x  x0  0
Из определения предела следует, что если функция имеет в какой–либо
внутренней точке промежутка предел, то она имеет в этой точке и
односторонние пределы, причем lim f ( x)  f ( x0  0)  f ( x0  0) .
x  x0
Обратное верно не всегда. Если функция имеет в некоторой точке равные
односторонние пределы: f ( x0  0)  f ( x0  0) , то их общее
y
значение будет пределом функции в этой точке. Если же
односторонние пределы функции в точке существуют, но не
2
1
x равны, то предела в этой точке функция не имеет.
1
Например,
Рис. 1
f (1  0)  1 ,
 x 2 при x  1,
f ( x)  
.
 x  1 при x  1.
пусть
Тогда
lim f ( x)  lim x2  1; lim f ( x)  lim ( x  1)  2 . Таким образом,
x 1 0
x 1 0
f (1  0)  2 , следовательно,
x 1 0
x 1 0
в точке x  1 эта функция не имеет
предела.
И конечно, отсутствие хотя бы одного из односторонних пределов
функции в точке означает отсутствие её предела в этой точке.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение. Функция f (x) называется бесконечно малой при x  x0 (в
точке x0 ), если lim f ( x)  0 . Например, функция f ( x) 
x  x0
x2  4
малой при x  2 , так как lim
 0.
x2 x  3
x2  4
является бесконечно
x 3
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 25 из 228
Было бы ошибочно думать, что бесконечно малая при x  x0 функция
может принимать только малые значения. Для нее характерным является не то,
какие значения она принимает, а то, что ее пределом при x  x0 является число
0.
Свойства бесконечно малых функций.
1) Сумма, разность и произведение конечного числа функций,
бесконечно малых при x  x0 , есть функция, бесконечно малая при x  x0 .
2) Произведение ограниченной функции на бесконечно малую при x  x0
есть функция, бесконечно малая при x  x0 .
3) Произведение постоянной величины на функцию, бесконечно малую
при x  x0 , есть величина бесконечно малая при x  x0 .
Определение. Функция f (x) называется бесконечно большой при x  x0 (
в точке x0 ), если lim f ( x)   (или   ; или   ). Например, функция
x  x0
f ( x) 
x 4
x2  4
является бесконечно большой при x  3 , так как lim
 .
x 3 x  3
x 3
2
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями
устанавливается следующей теоремой.
Теорема. Пусть f ( x)  0 в некоторой окрестности точки x0 . Тогда если
f (x) – бесконечно малая при x  x0 , то обратная ей функция g ( x) 
1
–
f ( x)
бесконечно большая при x  x0 ; если f (x) – бесконечно большая при x  x0 , то
g ( x) 
1
– бесконечно малая при x  x0 .
f ( x)
Иногда бесконечно малую в точке функцию будем условно обозначать
символом 0, а бесконечно большую – символом  , тогда содержание теоремы
символически коротко записывается в виде:
1
 ,
0
1
 0

Нахождение пределов функций
При практическом нахождении пределов применяются следующие
теоремы о пределах.
Теорема 1. Если функция f (x) имеет предел при x  x0 , то он единственный.
Теорема 2. Если функция f (x) имеет предел при x  x0 , то она ограничена в
некоторой окрестности точки x0 .
Теорема 3. Предел постоянной равен самой этой постоянной: lim c  c .
x  x0
Теорема 4 (арифметические действия над пределами функций). Если функции
f (x) и g (x) имеют при x  x0 конечные пределы: lim f ( x)  A , lim g ( x)  B , то:
x  x0
1) lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)  A  B ;
x  x0
x  x0
x  x0
2) lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)  A  B ;
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 26 из 228
Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim (c  f ( x))  c  lim f ( x) .
x  x0
x  x0
f ( x) A
f ( x) xlim
 x0

 , при условии, что lim g ( x)  B  0 .
x  x0
g ( x) lim g ( x) B
3) xlim
x
0
x  x0
Особые случаи вычисления пределов. Неопределённости
В теоремах 3 и 4 указаны способы нахождения пределов суммы,
разности, произведения и частного функций, имеющих конечные пределы.
Рассмотрим теперь случаи, которые не охватываются указанными способами.
Начнем с частного
1) Пусть
lim
x  x0
f ( x)
( g ( x)  0) .
g ( x)
lim f ( x)  A ,
x  x0
lim g ( x)   ,
x  x0
тогда
lim
x  x0
f ( x)
 0,
g ( x)
так
как
f ( x)
1
1
 lim f ( x)  lim
 A   A 0  0.
x

x
x

x
0
0 g ( x)
g ( x)

Здесь и в дальнейшем символом 0 обозначена бесконечно малая функция,
символом  – бесконечно большая функция, 1  – функция, обратная
бесконечно большой (см. теорему о связи между бесконечно малыми и
бесконечно большими функциями).
2) Если
lim
x  x0
lim g ( x)  0 ,
lim f ( x)   ,
x  x0
x  x0
то
lim
x  x0
f ( x)
,
g ( x)
так
как
f ( x)
1
1
 lim f ( x)  lim
      (  )   .
x  x0 g ( x)
g ( x) x  x0
0
3) Пусть lim f ( x)  0 и lim g ( x)  0 , то есть f (x) и g (x) – функции, бесконечно
x  x0
x  x0
малые при x  x0 . В этом случае о пределе их отношения никакого
определенного заключения сразу сделать нельзя, так как в зависимости от
характера изменения f (x) и g (x) при приближении x к x0 возможны
различные ответы. Так, например,
f ( x)
 1  1 при x  0 ;
g ( x)
f ( x) 1
   при x  0 ;
б) если f ( x)  x  0 , g ( x)  x 2  0 при x  0 , то
g ( x) x
f ( x)
 x  0 при x  0 .
в) если f ( x)  x 2  0 , g ( x)  x  0 при x  0 , то
g ( x)
а) если f ( x)  x  0 , g ( x)  x  0 при x  0 , то
Таким образом, отношение бесконечно малых функций в точке может
быть бесконечно малой функцией в этой точке, бесконечно большой функцией
в этой точке, может иметь пределом число, отличное от нуля, а может и вовсе
не иметь предела. В связи с этим говорят, что отношение бесконечно малых в
точке функций представляет собой неопределенность, и обозначают этот вид
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 27 из 228
0
неопределенности символом   . Когда предел отношения бесконечно малых
0
найден или установлено, что его нет, то говорят, что неопределенность
раскрыта.
4) Аналогичен случай, когда lim f ( x)   и lim g ( x)   , то есть когда f (x) и
x  x0
g (x)
x  x0
– функции, бесконечно большие при
x  x0 .
Говорят тогда о

неопределенности вида   - отношении бесконечно больших функций.

5) В случае предела произведения lim ( f ( x)  g ( x)) могут встретиться следующие
x  x0
случаи:
а) если lim f ( x)  A , lim g ( x)   , то lim ( f ( x)  g ( x))  ( A  )   ;
x  x0
x  x0
x  x0
б) если lim f ( x)    , lim g ( x)    , то lim ( f ( x)  g ( x))    , причём знак
x  x0
x  x0
x  x0
в ответе определяется по обычному правилу знака произведения;
в) интерес представляет случай, когда один из сомножителей является
бесконечно малой функцией, а другой – бесконечно большой, т.е.
lim ( f ( x)  g ( x))  (0  ) - ещё один тип неопределённости – произведение
x  x0
бесконечно малой на бесконечно большую. Неопределённость (0  ) сводится
0
либо к неопределённости вида   (пункт 3)): , либо к неопределённости вида
0
1

,
  (пункт 4)). Пусть, например, lim f ( x)  0 и lim g ( x)   , тогда lim
x  x0 f ( x)
x  x0
x  x0

1
f ( x)  0 
lim
0
и
либо
либо
lim ( f ( x)  g ( x))  (0  )  lim
  ,
x  x0 g ( x)
x  x0
x  x0
1
0
g ( x)
g ( x)   
lim ( f ( x)  g ( x))  (0  )  lim
  .
x  x0
x  x0
1

f ( x)
6) При
нахождении предела суммы
lim ( f ( x)  g ( x)) могут встретиться
x  x0
следующие случаи:
а) если lim f ( x)  A , lim g ( x)   , то lim ( f ( x)  g ( x))   ;
x  x0
б) если
x  x0
x  x0
lim f ( x)    , lim g ( x)    , то lim ( f ( x)  g ( x))    ; то есть
x  x0
x  x0
x  x0
сумма бесконечно больших функций одного знака есть бесконечно большая
функция того же знака;
в) если f (x) и g (x) – бесконечно большие функции разных знаков,
т.е. lim f ( x)    , lim g ( x)   ,, то предел их суммы представляет собой
x  x0
x  x0
неопределенность, которая обозначается символом (  ) - разность
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 28 из 228
бесконечно больших. Обычно она сводится к неопределённостям вида
0
 ,
0

  , (0  ) преобразованиями, например:

1
1
1 1

  
1
1
g ( x) f ( x)
00 0
f ( x)  g ( x) 


 
 
1
1
1
1
1 1   00   0


  
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
   
Литература. [1]: ч.1, стр.98-104; [2]: ч.1, стр.31-47
Лекция 2. Числовая последовательность и ее предел. Первый и второй
замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых
величин. Непрерывность функции. Точки разрыва функции,
их классификация. Основные теоремы о непрерывных
функциях.
Числовая последовательность и ее предел
Если каждому натуральному числу n сопоставить действительное число
x n , тем самым зададим некоторые действительные числа, определенным
образом перенумерованные: x1 имеет номер 1, x2 – номер 2 и т.д. Тогда
говорят,
что
задана
последовательность
чисел,
или
числовая
последовательность:
x1 , x2 , ... , xn , ... ,
которая кратко обозначается {xn } .
Числа, составляющие последовательность, называются членами
последовательности, а x n – общим или n -ым членом последовательности. В
отличие от числового множества, у которого все элементы различны,
последовательность может иметь среди своих членов одинаковые, например:
0, 1, 0, 1, 0, 1, ... или 2, 2, 2, ... Числовое значение x n зависит от номера n , то есть
является функцией от n , поэтому числовая последовательность может
рассматриваться как частный случай функции - функция натурального
аргумента.
Определение. Последовательность {xn } называется ограниченной, если
 M  0 , такое, что n выполняется неравенство | xn | M .
 3n 
– ограниченная, т.к. для

n  2
n
0
 1 , а, умножая на 3, получим
n2
Пример. Последовательность {xn }  
любого n справедливо неравенство
0
3n
 3.
n2
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 29 из 228
 n  1
 не ограничена.
 3 
Последовательность {zn}  
Определение.
Число
называется
пределом
числовой
a
последовательности {xn } при n   , если для всякого   0 можно указать
номер N , такой, что для всех членов последовательности с номерами n  N
выполняется неравенство | xn  a |  .
xn  a
Обозначают nlim
(или
при n   ) и говорят, что
xn  a

последовательность сходится к a . Если последовательность не имеет
конечного предела, то ее называют расходящейся. Заметим, что величина N
зависит от  , которое выбирается произвольно. Чем меньше  , тем N , вообще
говоря, будет больше (за исключением случая, когда последовательность
состоит из одинаковых членов).
Для доказательства того, что некоторое число a не является пределом
последовательности, достаточно убедиться, что не все требования в
определении предела выполнены. Допустим, что a не является пределом
данной последовательности. Это значит, что нельзя для любого   0 найти
соответствующий N , о котором говорится в определении, то есть существует
хотя бы одно    0  0 , для которого невозможно найти такого N , чтобы
неравенство | xn  a |  0 выполнялось бы для всех n  N . Иначе говоря, найдется
хотя бы одно значение n  n0  N , для которого | xn  a |  0 .
Дадим
геометрическое
истолкование
предела
числовой
последовательности.
Числовую
последовательность
можно
рассматривать
как
последовательность точек прямой и о пределе можно говорить как о точке на
прямой. Так как неравенство | xn  a | 
равносильно неравенству
a    xn  a   , то определение предела можно сформулировать так: точка a
будет пределом последовательности точек x1 , x2 , ... , xn , ... если, какую бы
окрестность (a   , a   ) точки a мы ни задали, найдется N такое, что все точки
последовательности с номерами n  N попадут в заданную окрестность. Вне
этой окрестности может оказаться лишь конечное число точек x1 , x2 , ... , x N .
0
x1 x2 x6
x7 x8 xn
a–е
x9 x10
a
Рис. 1
x5
x3 x4
x
a+е
Общий член x n последовательности можно рассматривать как
переменную, принимающую эту последовательность значений, поэтому предел
последовательности {xn } называют также и пределом переменной x n .
Так как последовательность может рассматриваться как частный случай
функции, все сформулированные выше теоремы о пределах функций. понятия
бесконечно малой и бесконечно большой и все изложенное относительно
неопределенностей переносится на случай последовательностей.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 30 из 228
Первый замечательный предел
sin x
1
x 0
x
Соотношение вида
lim
(или lim
x 0
x
 1)
sin x
называют первым
замечательным пределом. Дадим критерий для его распознавания:
0
1) предел представляет собой неопределенность вида   ,
2) выражение под знаком предела имеет вид
0
sin u
, где u
u
- некоторое
выражение,
3) u  0 .
Найдем первый замечательный предел среди следующих:
1) lim
x 1
sin( x  1)
sin( x  1)
sin( 1 / x)
sin( x   / 2)
sin 3 x
; 2) lim
; 3) lim
; 4) xlim
; 5) lim
.
x

0
x




2
x

0
x 1
x 1
1/ x
x  / 2
x
Пределы 1, 3 и 4 являются первыми замечательными, так как все три
условия, перечисленные в критерии, выполнены. Во втором примере не
выполнены первое и третье условия, поэтому это не есть первый
замечательный предел (предел 2 находится cразу непосредственным переходом
к пределу). Пятый предел можно свести к первому замечательному, умножив
числитель и знаменатель на 3.
При решении задач следует иметь в виду, что предел выражения,
содержащего любую тригонометрическую функцию, и представляющий собой
0
неопределенность вида   , всегда можно свести к первому замечательному
0
пределу, хотя в этом не всегда есть необходимость.
Второй замечательный предел и его следствия
Предел последовательности
 1
x n  1  
 n
n
существует и обозначается
n
буквой e :
 1
lim 1    e .
n 
 n
Число e является иррациональным и приблизительно равно 2,718 .
Аналогичная формула имеет место и для функций:
x
 1
lim 1    e .
x 
 x
Этот предел называется вторым замечательным пределом. Критерий для
распознавания второго замечательного предела включает в себя три
требования:
1) должна быть неопределенность вида 1  ,


2) основание степени должно иметь вид
большая при x   ,


1
1
, где u - бесконечно
u
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 31 из 228
3) в показателе степени стоит величина u .
Если в записи второго замечательного предела обозначить
1
 y , то y  0 , и
x
приходим к другой форме его записи:
1
y
lim (1  y )  e .
y 0
Критерий для распознавания этой формы предела включает в себя тоже три
требования:
1) должна быть неопределенность вида 1  ,




2) основание степени должно иметь вид 1  u , где u - бесконечно малая
при x  0 ,
1
3) в показателе степени стоит величина , обратная той бесконечно
u
малой u , которая прибавляется к числу 1 в пункте 2).
Так,
lim [1  ( x  2)]
x 2
среди
2
sin( x  2 )
пределов
1
lim [1  ( x  1)] x1 ,
x0
1
1
lim [1  ( x  1)] x1 ,
x1
lim (1  sin x) sin x ,
x0
только второй и третий равны e .
Число е принято за основание логарифмов, которые называют
натуральными логарифмами и обозначают ln x . Таким образом, ln x  log e x .
Следствиями второго замечательного предела являются следующие
пределы:
log a (1  x)
ln( 1  x)
 log a e , в частности, lim
 1.
x

0
x
x
a x 1
e x 1
1.
lim
 ln a ; если a  e , то lim
x0
x 0
x
x
(1  x)   1
lim
.
x 0
x
lim
x 0
С их помощью легко решаются многие задачи на раскрытие
неопределенностей.
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших
В процессе своего изменения одни бесконечно малые стремятся к нулю
«быстрее», другие «медленнее». Например,  ( x) 
1
стремится к нулю при
x3
x   «быстрее», чем  ( x)  1 . Чтобы убедиться в этом, достаточно выписать
x
их значения при x  1, 2, 3, ... . Действительно,  (x ) пробегает значения
1 1 1
1 1 1
1, ,
,
, ... , а  ( x)  1, , , , ... .
8 27 64
2 3 4
Следовательно, надо как-то различать бесконечно малые по характеру
их изменения.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Определение.
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 32 из 228
Пусть  (x ) и  (x) – бесконечно малые при x  x0 и
 ( x)
 A . Если:
 ( x)
1) A  const  0 , то  (x ) и  (x) называются бесконечно малыми одного
порядка малости, и пишут  ( x)  O(  ( x)) (читается «  есть «о» большое от  »)
lim
x  x0
при x  x0 .
2) A  1 , то  (x ) и  (x) называются эквивалентными бесконечно малыми,
и пишут  ( x) ~  ( x) при x  x0 .
3) A  0 , то  (x ) называется бесконечно малой более высокого порядка
малости, чем  (x) , и пишут  ( x)  o(  ( x)) (читается «  есть «о» малое от  »)
при x  x0 .
4) A   , то  (x) имеет более высокий порядок малости, чем  (x ) , т.е.
 ( x)  o( ( x)) .
Если lim  ( x) не существует, то  (x ) и  (x) называются несравнимыми.
x  x0
 ( x)
Величины  ( x) 
и lim
x 
sin x
1
sin x
1
и  ( x)  являются бесконечно малыми при x  
x
x
x  lim sin x не существует, следовательно, эти величины несравнимые.
x 
x
Сравнение бесконечно малых в некоторых случаях позволяет облегчить
вычисление пределов. Так, с неопределенностью вида
0
 
0
помогает
разобраться следующая
Теорема. Если существует предел отношения двух бесконечно малых
при x  x0 , то он равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно
малых.
arcsin x
 li m x  1 , т.к. при x  0 arcsin x ~ x .
x 0
x 0 x
x
lim
Непрерывные функции
Смысл понятия непрерывной функции хорошо прослеживается
графически: график непрерывной функции чертится, не отрывая карандаша от
бумаги.
Определение. Пусть на некотором промежутке определена функция f (x)
и x 0 – точка этого промежутка. Если lim f ( x)  f ( x0 ) , то f (x) называется
xx0
непрерывной в точке x 0 .
Из определения следует, что о непрерывности можно говорить лишь по
отношению к тем точкам, в которых f (x) определена (при определении
предела функции такого условия не ставилось). Для непрерывных функций
lim f ( x)  f ( lim x) , то есть операции f и lim перестановочны.
x x0
x x0
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 33 из 228
Для практического использования иногда более удобно определение
непрерывности на языке приращений. Величина x  x  x0 называется
приращением аргумента, а y  f ( x)  f ( x0 ) – приращением функции при переходе
из точки x 0 в точку x .
Определение. Пусть f (x) определена в точке x 0 . Функция f (x) называется
непрерывной в точке x 0 , если бесконечно малому приращению аргумента в
этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть
y  0 при x  0 .
Определение.
Функция y  f (x) называется непрерывной в точке x 0
справа (слева), если
lim f ( x)  f ( x0 ) ( lim f ( x)  f ( x0 )) .
xx0 0
xx0 0
Функция, непрерывная во внутренней точке промежутка, будет
одновременно непрерывной в ней справа и слева. Справедливо и обратное
утверждение: если функция непрерывна в точке слева и справа, то она будет
непрерывной в этой точке. Однако функция может быть непрерывной только с
 x 2 , при x  1
lim f ( x)  1 , lim f ( x)  2 ,
одной стороны. Например, для f ( x)  
x 1 0
x 1 0
 x  1, при x  1
f (1)  1 , следовательно, эта функция непрерывна только слева (график этой
функции см. выше в теме «Односторонние пределы»).
Определение. Функция называется непрерывной на некотором
промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
В частности, если промежутком является отрезок [a, b] , то на его концах
подразумевается односторонняя непрерывность.
Физическими примерами непрерывных функций могут служить
различные законы движения тел. Время и пространство непрерывны, и закон
s  s (t ) устанавливает между ними определенную непрерывную связь.
Свойства непрерывных функций.
1. Все основные элементарные функции непрерывны на своей области
определения.
2. (Арифметические операции над непрерывными функциями). Если
функции f (x) и  (x ) , заданные на некотором промежутке, непрерывны в точке
x 0 этого промежутка, то в этой точке будут также непрерывны функции
f ( x)   ( x), f ( x)   ( x),
f ( x)
 ( x)
(если  ( x0 )  0 ). Это правило распространяется на
любое конечное число функций.
3. (Непрерывность сложной функции). Если u   (x) непрерывна в точке
x 0 из X , а y  f (u ) непрерывна в соответствующей точке u0   ( x0 ) , то сложная
функция y  f ( ( x)) будет непрерывной в точке x 0 .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 34 из 228
Разрывы функции и их классификация
Признаком непрерывности функции f (x) в точке x 0 служит равенство
lim f ( x)  f ( x0 ) , которое подразумевает наличие трех условий:
x x0
1) f (x) определена в точке x 0 ;
2)  lim f ( x) ;
x x0
3) lim f ( x)  f ( x0 ) .
xx0
Если хотя бы одно из этих требований нарушено, то функция называется
разрывной в точке x 0 , а саму точку x 0 называют точкой разрыва функции.
Другими словами, точкой разрыва называется точка, в которой эта функция не
является непрерывной. Из определения точек разрыва следует, что точками
разрыва функции являются:
а) точки, принадлежащие области определения функции, в которых f (x)
теряет свойство непрерывности,
б) точки, не принадлежащие области определения f (x) , которые являются
смежными точками двух промежутков области определения функции.
Например, для функции y  1 точка x  0 есть точка разрыва, так как
x
 x 2 , при x  1
функция в этой точке не определена, а функция f ( x)  
 x  1, при x  1
имеет
разрыв в точке x  1, являющейся смежной для двух промежутков (, 1) и (1, )
f ( x ) не существует (см пример в теме
области определения f (x) , т.к. lim
x1
«Односторонние пределы»).
Для точек разрыва принята следующая классификация.
1) Если
в
точке
имеются
конечные
x0
пределы lim f ( x)  f ( x0  0) и lim f ( x)  f ( x0  0) , то:
x x0 0
односторонние
x x0 0
а) если f ( x0  0)  f ( x0  0) , то x 0 называется точкой разрыва первого рода, при
этом | f ( x0  0)  f ( x0  0) | называют скачком функции.
Пример. Рассмотрим
функцию
y
2
 x , при x  2,
4
f ( x)  
скачок
 x  1, при x  2.
3
Разрыв функции возможен только в точке x  2 (в
остальных точках она непрерывна как всякий многочлен).
f ( x)  lim ( x  1)  3 . Так
Найдем lim f ( x)  lim x 2  4 , xlim
2 0
x2 0
x20
2
x20
как односторонние пределы конечны, но не равны друг
другу, то в точке x  2 функция имеет разрыв первого
рода. Величина скачка равна 3  4  1 . Заметим, что
x
Рис. 2
f (2)  lim f ( x)  3 ,
следовательно, функция в этой точке непрерывна справа (рис. 2).
x 2 0
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 35 из 228
б) если f ( x0  0)  f ( x0  0)  f ( x0 ) , то точка x  x0 называется точкой
устранимого разрыва,
Разрыв «устраним» в том смысле, что достаточно изменить
(доопределить или переопределить) значение функции в точке x 0 , положив
f ( x0 )  lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x) , и функция станет непрерывной в x 0 .
x x0
xx0 0
Пример.
x x0 0
Известно,
что
lim
x 0
sin x
 1,
x
причем этот предел не зависит от способа
стремления x к нулю (рис.3). Но функция
sin x в точке x  0 не определена. Если
y
x
x
Рис. 3
доопределим функцию, положив f (0)  1 , то
она окажется непрерывной в этой точке (в
остальных точках она непрерывна как частное непрерывных функций sin x и x ).
2) Точками разрыва второго рода называются
точки, в которых хотя бы один из односторонних
пределов бесконечен или вовсе не существует.
Пример. Функция y  21 x непрерывна для
всех значений x , кроме x  0 . Найдем односторонние
пределы: lim 21 x   , lim 21 x  0 , следовательно,
x00
x00
y
x
Рис. 4
x  0 – точка разрыва второго рода (рис. 4).
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема 1 (первая теорема Коши). Если функция f (x) непрерывна на
отрезке [a, b] и на его концах принимает значения разных знаков, то найдётся
точка с, такая что a < c < b и f (c)  0 .
Теорема 2 (вторая теорема Коши; теорема Коши о промежуточных
значениях). Пусть функция f (x) непрерывна на некотором промежутке Х. Если
в двух точках a и b промежутка Х , таких что a < b , функция принимает
неравные значения: f (a)  A  f (b)  B , то для любого числа С между А и В
найдётся точка с между a и b , такая что f (c)  C .
Теорема 3 (первая теорема Вейерштрасса). Если
функция f (x)
непрерывна на отрезке [a, b] , то она ограничена на нём, т.е. существует такое
число M > 0 , что f ( x)  M для всех х из [a, b] .
Теорема 4 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f (x)
непрерывна на отрезке [a, b] , то она достигает на нём своих наибольшего и
наименьшего значений, т.е. существуют две точки x1 и x2 из [a, b] , такие что
f ( x1 )  f ( x)  f ( x2 ) для всех х из [a, b] .
Литература. [1]: ч.1, стр.58-76,104-106; [2]: ч.1, стр.47-63
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 36 из 228
Лекция 3. Понятие производной, ее геометрический смысл. Основные
правила
дифференцирования.
Таблица
производных.
Производная сложной функции. Дифференцирование
функций, заданных неявно и параметрически.
Понятие производной, ее геометрический смысл
Пусть функция y  f (x) определена на некотором интервале ( a , b) .
Возьмём некоторую точку x 0 из этого интервала и придадим ей приращение
f (x)
Тогда функция
получит в точке
приращение
x0
x  0 .
 y   f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 ) . Составим отношение
y f ( x0  x)  f ( x)

.
x
x
Оно
зависит только от x .
Определение. Производной функции y  f (x) в точке x 0 называется
конечный предел отношения приращения функции в этой точке к приращению
аргумента при стремлении последнего к нулю, то есть
lim
x 0
f ( x0  x)  f ( x)
f ( x )  f ( x0 )
y
 lim
 lim
 f ( x0 ) .

x

0

x

0
x
x
x
Если такого предела не существует, то говорят, что функция в точке x 0
производной не имеет. В частном случае бесконечного предела иногда говорят,
что функция имеет в точке бесконечную производную.
Определение. Функция, имеющая конечную производную в точке,
называется дифференцируемой в этой точке.
Определение. Функция f (x) , имеющая производную в каждой точке
некоторого множества Х, называется дифференцируемой на множестве Х.
Таким образом, имеем заданную на множестве Х функцию, ставящую в
соответствие каждой точке x0  X число, равное производной f  ( x0 ) . Эта
функция называется функцией, производной от данной функции, или, коротко,
производной функции f (x) и обозначается f  (x) . Действие нахождения
производной функции называется дифференцированием. Другое обозначение
производной - символ
df
(читается «дэ эф по дэ икс»).
dx
Геометрический смысл производной функции f (x) в точке x 0
заключается в том, что число f ( x0 ) равно тангенсу угла наклона к оси OX
касательной к графику функции f (x) в точке x0 .
Используя формулу y  y0  k ( x  x0 ) уравнения прямой, проходящей через
данную точку и имеющей заданный угловой коэффициент, можно записать
уравнение касательной к графику функции f (x) в точке x 0 :
y  y0  f ( x0 )( x  x0 ) .
Уравнение нормали к графику функции f (x) в точке x 0 , т.е. прямой,
проходящей через точку ( x0 , f ( x0 )) перпендикулярно касательной, имеет вид:
y  y0  
1
( x  x0 ) .
f ( x0 )
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 37 из 228
Если производная f  (x) - бесконечно большая определённого знака
( f  ( x0 )   или   ), то касательная к графику функции f (x) в точке x0
проходит параллельно оси Оу, т.е. вертикальна.
Правила дифференцирования и таблица основных производных
Пусть u (x) и v(x) - дифференцируемые функции. Тогда из определения
производной выводятся следующие правила дифференцирования функций:
(C )  0 (C  const ) ;
1)
(Cu )   Cu  ;
2)
(u   )  u     ;
3)
(u  v)  u v  uv  ;
4)
5)

 u  u v  u v
.
  
v2
v
Производная сложной функции.
Пусть функция u  u (x) имеет производную в точке x 0 , а
y  f (u ) имеет производную в точке u0  u ( x0 ) . Тогда сложная
y  f (u ( x)) имеет производную в точке x 0 , находимую по
y( x0 )  f  (u0 )  u ( x0 ) . В общем виде формула производной сложной
записывается так:
dy df du
,


dx du dx
или
функция
функция
формуле
функции
yx  fu  ux , где индекс означает
дифференцирование по соответствующей переменной.
Производная обратной функции.
Пусть функция y  f (x) имеет в точке x 0 производную f  ( x0 )  0 , и пусть
существует функция x  g ( y ) , обратная к f (x) и непрерывная в точке y0  f ( x0 ) .
Тогда обратная функция x  g ( y ) имеет в точке y0 производную, причём
g  ( y0 ) 
1
.
f  ( x0 )
На основе вышеизложенного составляется
Таблица основных производных
(здесь u  u (x) - дифференцируемая функция).

 1
1) (u )  u u ;
5) (cos u )   sin u  u ;
частные случаи:
( u ) 
2 u

1
1
    2  u ;
u
u
2) (au )  au ln a  u ;
частный случай: (e u )  e u u  ;
3) (log a u ) 
1
1
 u ;
u  ln a
 u ;
1
 u ;
cos 2 u
1
7) (ctg u )   2  u ;
sin u
6) (tg u ) 
8) (arcsin u ) 
9) (arccos u )  
1
u
частный случай: (ln u )   u ;
10) (arctg u ) 
1
1  u2
1
 u ;
1  u2
1
 u ;
1  u2
 u ;
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
4) (sin u )  cos u  u ;
11) (arcctg u )  
стр. 38 из 228
1
 u .
1  u2
Если u ( x)  x (т.е. u   1), то получаем упрощённый вариант таблицы:
1) ( x )  x 1 ;
5) (cos x)   sin x ;

частные случаи:
( x ) 
1
2 x

1
1
   2 ;
x
 x
;
2) (a x )  a x ln a  ;
частный случай: (e x )  e x ;
3) (log a x) 
1
;
cos 2 x
1
7) (ctg x)   2 ;
sin x
6) (tg x) 
8) (arcsin x) 
1
;
x  ln a
9) (arccos x)  
1
x
1
1  x2
1
;
1  x2
;
1
;
1  x2
1
11) (arcctg x)  
.
1  x2
10) (arctg x) 
частный случай: (ln x)  ;
4) (sin x)  cos x ;
Правило нахождения производной сложной функции распространяется на
любое число промежуточных аргументов. Его применение можно уподобить
разбору русской матрёшки, т.к. в выражении для любой сложной функции
промежуточные аргументы (функции) как бы «вставлены» одна в другую
подобно матрёшкам. Дифференцирование очередной промежуточной функции
соответствует снятию очередной матрёшки. x - это последняя, самая маленькая
матрёшка, на которой игра (дифференцирование) заканчивается.
На
практике
бывает
удобным
при
каждом
очередном
дифференцировании выписывать не всю производную целиком, а лишь
промежуточные производные. Полученные функции затем просто
перемножаются в соответствии с общей формулой.
Логарифмическое дифференцирование.
Для
дифференцирования
показательно–степенной
функции
v( x)
ln u v
и
y  [u ( x)] , (u ( x)  0) , ее можно представить в виде
ye
 e v ln u
дифференцировать как сложную функцию от x . В результате получим:
(u v )  u v ln u  v  vuv1u  .
Таким образом, можно сформулировать следующее правило: чтобы найти
производную
показательно-степенной
функции,
достаточно
продифференцировать ее как показательную (то есть предполагая основание
постоянным), затем как степенную (предполагая показатель постоянным), и
полученные результаты сложить.
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Зависимость функции y от аргумента x может осуществляться через
посредство третьей переменной t , называемой параметром:
 x   (t )
, ( a  t  b) .

 y   (t )
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 39 из 228
В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически.
Предположим, что на некотором промежутке функции x   (t ) и y   (t ) имеют
производные, причем  (t )  0 . Тогда для x   (t ) существует обратная функция
t  t (x) , и y  y ( x)   [t ( x)] – сложная функция от х. Ее производная равна
y x   t  t x 
yt
,
xt
где индексы показывают, по какой переменной берётся
производная. Найденная производная тоже задаётся параметрически:
 x   (t ),

  yt
 y x  x .
t

Дифференцирование функций, заданных неявно
Пусть дано уравнение F ( x, y )  0 , не разрешённое относительно y . Если
существует функция y  f (x) такая, что F [ x, f ( x)]  0 , то говорят, что уравнение
F ( x, y )  0 определяет y как неявно заданную функцию переменной x . Обычное
задание функции в виде y  f (x) называют явным.
При неявном способе задания функции её производную находим,
дифференцируя уравнение F ( x, y )  0 по правилу дифференцирования сложной
функции, считая при этом y функцией от x .
Литература. [1]: ч.1, стр.149-172; [2]: ч.1, стр.66-106
Лекция 4. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы
высших порядков. Правило Лопиталя. Основные теоремы о
дифференцируемых функциях (Роля, Лагранжа, Коши).
Формула Тейлора.
Дифференциал функции
Если функция y  f (x) дифференцируема в точке x 0 , то из определения
производной и свойства предела получаем:
 f ( x0 )
 f  ( x0 )   (x) , где  (x) –
x
бесконечно малая при x  0 . Приходим к следующему.
Определение. Функция y  f (x) называется дифференцируемой в точке x0 ,
если ее приращение в этой точке можно представить в виде
 f ( x0 )  Ax   (x)x , где A – константа, а  (x) – бесконечно малая при
x  0 .
Требование дифференцируемости функции в точке эквивалентно
существованию производной в этой точке, причем A  f ( x0 ) .
Величина  f ( x0 ) и оба слагаемых в правой части являются бесконечно
малыми величинами при x  0 . Сравним их.
lim
x 0
 (x)x
f ( x0 )x
 lim
x 0
 (x)
f ( x0 )
 0 , т.е.
 (x)x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f ( x0 )x при x  0 , и
основной вклад в величину  f ( x0 ) вносит слагаемое f ( x0 )x . Следовательно,
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 40 из 228
оно представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно x часть
приращения  f ( x0 ) (линейная – содержащая x в первой степени).
Определение. Главная, линейная относительно x часть приращения
функции y  f (x) в точке x0 называется дифференциалом функции в точке x 0 и
обозначается d f ( x0 ) или dy ( x0 ) .
Для произвольных значений x формула дифференциала имеет вид
dy  d f ( x)  f ( x)x .
y  x:
Найдём
дифференциал
функции
dy  xx  1  x  x , или dx  x . Это даёт основание переписать формулу
дифференциала d f (x) в виде, каком она обычно и записывается:
d f ( x)  f ( x)dx ,
Имеем тогда
f  ( x) 
d f ( x)
, т.е. производную функции можно
dx
рассматривать как дробь: отношение дифференциала функции к
дифференциалу независимой переменной.
Формула дифференциала d f ( x)  f ( x)dx позволяет из правил и
таблицы формул для производных сразу записать соответствующие правила и
таблицу для дифференциалов, умножив производную на
dx . Например,
умножив обе части формулы (u  v)  u  v на dx , получим (u  v)dx  udx  vdx ,
или d (u  v)  du  dv .
Дифференциал функции dy линейно выражается через x , в то время как
её приращение y находится в более сложной зависимости от x .
Пример. Для функции y  x 3 найти y и dy .
Решение.
y  ( x  x)3  x3  x3  3x 2x  3xx 2  x3  x3  3x 2x  3xx 2  x3 ;
тогда dy  3x 2 x (взяли главную линейную относительно x часть y ; в данном
случае  (x)x  3xx 2  x 3 ).
Основное свойство дифференциала, следующее из его определения,
состоит в том, что при малых x приращение функции приближенно равно её
дифференциалу: dy  y , и допускаемая при этом погрешность может быть
сделана сколь угодно малой за счет уменьшения x . Как видно из примера,
вычисление дифференциала значительно проще, чем вычисление приращения.
Это обстоятельство позволяет во многих случаях заменять приращение y
дифференциалом dy . Учитывая, что x  x  x0 , y  f ( x)  f ( x0 ) , а dy  f ( x0 )x ,
получаем формулу приближённых вычислений значений функции:
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) .
Отметим еще одно важное свойство дифференциала, которое называется
свойством инвариантности формы, и заключается в том, что формула для
нахождения дифференциала dy  f ( x)dx верна как в случае, когда x –
независимая переменная, так и в случае, когда x – зависимая переменная, т.е.
функция. Например, для функции y  tg x дифференциал запишется в виде
dy 
1
dx независимо от того, является ли x независимой переменной или
cos 2 x
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 41 из 228
функцией. Если x – функция и конкретно задана, например x  t 2 , то
вычисление dy можно продолжить, для чего найти dx  2tdt и подставить в
выражение для dy :
dy 
1
1
2tdt  2t
dt .
2
cos x
cos 2 t 2
Производные и дифференциалы высших порядков
Производная f (x) дифференцируемой функции y  f (x) , называемая
производной первого порядка, представляет собой тоже функцию от x .
Определение. Производная от производной первого порядка называется
производной второго порядка или второй производной: y  ( y) . Производная
от второй производной называется производной третьего порядка или третьей
производной: y  ( y) и т.д.
Производные, начиная со второй, называются производными высших
порядков и обозначаются: y, y, y ( 4) , y (5) , ... или
d2y d3y d4y
,
,
, ...
dx 2 dx 3 dx 4
По определению производная
n -го порядка есть производная от
dny
d  d n 1 y 
(n)
( n 1) 

.
производной (n  1) -го порядка, то есть

y

(
y
)

dx n
dx  dx n 1 
В некоторых случаях можно получить общий вид n -ой производной, по
которому сразу записывается производная любого порядка (при этом
предшествующие производные не вычисляются). Например, для функции y  e x
имеем y  e x , y  e x , ... , следовательно, (e x ) ( n )  e x . Для функций y  sin x
n 

(n)
, (cos x)  cos x   .
2 
2 


 x   (t ),
В случае параметрического задания функции 
первую
 y   (t )
y
производную вычисляли по формуле: y x/  t , причём записывали y x/ тоже в
xt
и y  cos x можно показать, что (sin x)( n )  sin  x 
n 
 x   (t ),
параметрической форме:  / yt
 y x  x .
t

К ней снова применим формулу (при условии, что производные второго
порядка существуют):
'
 yt/ 
 / 
/ //
// /
 xt t xt ytt  xtt yt
y xx//  ( y x/ ) 

.
xt/
( xt/ )3
Результат тоже записываем в параметрической форме и берем третью
производную и т.д. Так можно получить производную от y по x любого
порядка.
Для функций, заданных неявно, производные высших порядков можно
находить тем же способом, что и первую производную, так как производная
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 42 из 228
любого порядка сама является функцией, заданной неявно, если её не
разрешать относительно производной предыдущего порядка.
Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом
второго порядка этой функции и обозначается через d 2 y (читается «дэ два
игрек»). Т.к. х – независимая переменная , то dx  x не зависит от х, и (dx)  0 .
Тогда по определению имеем: d 2 y  d (dy)  d ( f ( x)dx) 
(отсюда, кстати, следует возможность
 ( f ( x)dx)dx  f ( x)( dx)2  f ( x)dx 2
d2y
).
dx 2
Аналогично d 3 y  d (d 2 y)  ( f ( x)dx 2 )  f ( x)dx 3 . Вообще дифференциалом
n -го порядка называется дифференциал от дифференциала (n  1) -го порядка,
записывать производную в виде дроби: f ( x) 
т.е. d n y  d (d n 1 y)  f ( n) ( x)dxn .
Дифференциалы высших порядков, начиная со второго, свойством
инвариантности формы не обладают, то есть формула d n y  y ( n) dx n верна, когда
x – независимая переменная, и перестает быть верной, когда x – функция.
Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя
Дифференциальное исчисление значительно облегчает задачу раскрытия
неопределенностей при вычислении пределов. Простой приём раскрытия
0

неопределённостей вида   и   даёт правило Лопиталя, сущность которого
0

заключается в следующей теореме.
Теорема.Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно
больших функций при x  x 0 равен пределу отношения их производных, если
последний существует:
lim
x  x0
f ( x)
f  ( x)
 lim
K
g ( x) x  x0 g ( x)
( K может быть конечным или бесконечным).
Правило Лопиталя можно применять неоднократно, если отношение
0

производных снова дает неопределённость   или   .
0

Замечание 1. Применяя неоднократно правило Лопиталя, нужно
каждый раз проверять, не раскрылась ли уже неопределенность, иначе можно
получить неверный результат.
f ( x)
является
x x 0 g ( x)
f ( x)
существенным, так как если он не существует, то это не означает, что lim
x x 0 g ( x)
x  sin x   
1  cos x
    lim
тоже не существует. Например, lim
– не существует,
x  x  cos x
   x 1  sin x
1  sin x
x  sin x   
x  1.
    lim
однако lim
x  x  cos x
x 
cos
x

 
1
x
Замечание 2. В теореме требование существования lim
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 43 из 228
Неопределённости вида (0  ) и (  ) с помощью тождественных
0

преобразований сводятся к неопределённостям   или   (см.
0

соответствующий материал в лекциях 1-2).
Неопределённости вида (00 ) , (1 ) , ( 0 ) путем логарифмирования
выражения [ f ( x)]g ( x ) сводятся к неопределённости (0  ) , рассмотренной
выше.
Теоремы о среднем
Теорема Ролля. Пусть функция f  x  непрерывна на отрезке a, b ,
дифференцируема на интервале a, b  и принимает на концах отрезка равные
значения (т.е. f a   f b  ). Тогда существует по крайней мере одна точка с на
интервале a, b  , для которой f | c   0 .
Теорема Лагранжа. Пусть функция f  x  непрерывна на отрезке a, b и
дифференцируема на интервале a, b  . Тогда на интервале a, b  найдется
такая точка с, что f b   f a   f | c b  a  .
Теорема Коши. Пусть функции f  x  и g  x  непрерывны на отрезке a, b
и дифференцируемы на интервале a, b  , причем g |  x   0 для всех x  a, b  .
f b   f a  f | c 

Тогда найдется такая точка с на этом интервале, что
.
g b   g a  g | c 
Формула Тейлора
Определение. Пусть функция f  x  имеет в некоторой окрестности точки
х 0 производные f | , f | | , …, f n  . Тогда для любой точки х из этой окрестности
имеет место равенство
f | x0 
f | | x0 
x  x0  
 x  x 0 2  
f x   f x0  
1!
2!
n 
f x0 
x  x0 n  o x  x0 n при x  x 0 .

n!
Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано.
Последнее слагаемое (т. е. остаточный член) в формуле Тейлора иногда
f n 1 с 
x  x0 п1 (в этом случае надо дополнительно
записывают в виде
п  1!
предполагать существование f n 1  x  в данной окрестности точки х 0 .
Соответствующая формула тогда называется формулой Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа.
В случае х 0  0 формула Тейлора принимает вид


УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 44 из 228
f | 0
f | | 0 2
f n  0 n
x
x 
x  o xn , x  0
1!
2!
n!
и называется формулой Маклорена.
Литература. [1]: ч.1, стр. 172-182; [2]: ч.1, стр.106-115
f x   f 0 
 
Лекция 5. Исследование функции с помощью производной. Условия
постоянства и монотонности функции. Экстремум
функции, наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке. Выпуклость графика функции, точки перегиба.
Исследование функций с помощью производной
Условия постоянства, возрастания и убывания функции
Определение.
Функция f (x) называется возрастающей (убывающей)
на промежутке X , если для любых x1 и x 2 из X из неравенства x1  x2
вытекает неравенство f ( x1)  f ( x2 ) ( f ( x1 )  f ( x2 )) . Если же из неравенства
x1  x2 следует неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) ( f ( x1 )  f ( x2 )) ., то f (x) называется
строго возрастающей (строго убывающей) на Х.
Строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго
монотонными, а убывающие и возрастающие – монотонными.
Теорема (условие постоянства функции).
Пусть функция f (x)
определена и непрерывна на отрезке [a, b] и имеет на интервале (a, b)
конечную производную. Тогда для того чтобы f (x) была постоянной на [a, b] ,
необходимо и достаточно, чтобы f ( x)  0 для всех x из (a, b) .
Теорема (необходимое условие монотонности функции).
Пусть
функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет на интервале (a, b)
конечную производную. Если f (x) возрастает (убывает) на (a, b) , то
f ( x)  0 ( f ( x)  0) для всех x из (a, b) .
Теорема (достаточное условие монотонности функции).
Пусть
функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет на интервале (a, b)
конечную производную. Тогда если f ( x)  0 ( f ( x)  0) на (a, b) , то f (x)
строго возрастает (строго убывает) на интервале (a, b) .
Заметим, что условие f ( x)  0 ( f ( x)  0) не является необходимым для
строго возрастающей (строго убывающей) функции. Строго монотонная
дифференцируемая функция в отдельных точках может иметь производную,
равную нулю. Например, функция y  x 3 строго возрастает на (,  ) ,
однако её производная y  3x 2 равна нулю при x  0 .
Сформулированные теоремы позволяют находить промежутки
монотонности функции.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 45 из 228
Определение. Говорят, что функция f (x) , заданная на некотором
промежутке, имеет максимум (минимум) в точке x 0 из этого промежутка, если
существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x  x0 из этой
окрестности f ( x)  f ( x0 ) ( f ( x)  f ( x0 )) .
Максимумы (max) и минимумы (min) называют экстремумами функции.
По определению экстремумы функции могут иметь место только во
внутренней точке области определения функции, так как требуется, чтобы
функция была определена в некоторой окрестности точки экстремума.
Понятие экстремума нельзя смешивать с понятием наибольшего и
наименьшего значений функции на некотором множестве (например, какомнибудь промежутке или всей области определения). Экстремальные значения
функции являются наибольшими или наименьшими только по отношению к
близлежащим точкам, а по отношению к другим точкам множества
экстремальное значение
совсем не обязано быть наибольшим или
наименьшим. Как говорят, экстремум функции носит локальный характер.
Практические способы нахождения точек, в которых функция имеет
экстремум, базируются на следующих теоремах.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума).
Если f (x) имеет экстремум в точке x 0 , и существует производная f ( x0 ) ,
то f ( x0 )  0 .
Геометрически это означает, что касательная к графику f (x) в точке x 0
параллельна оси Ох.
Условие f ( x)  0 не является достаточным для существования
экстремума, то есть производная может обращаться в нуль и в точках, где нет
экстремума. Например, для f ( x)  x 3 производная f ( x)  3x 2  0 , если x  0 ,
однако, экстремума в этой точке нет, поскольку в любой окрестности нуля есть
точки, значения функции в которых будут и больше, и меньше, чем f (0)  0 .
Определение. Точки, в которых производная обращается в нуль, называют
стационарными. Функция может иметь экстремум также в точках, где f (x)
обращается в бесконечность или не существует. Например, функция y  1  3 x 2
имеет очевидный максимум в точке x  0 , однако y в этой точке не существует
(бесконечна). Все
такие точки вместе со стационарными называют
подозрительными на экстремум или критическими.
Не во всякой критической точке функция имеет экстремум. Для того
чтобы решить вопрос о наличии экстремума, надо каждую критическую точку
подвергнуть дополнительному исследованию.
Теорема 2 (достаточный признак экстремума).
Пусть x 0 - критическая точка функции f (x) , и f (x) имеет производную в
некоторой окрестности точки x 0 , исключая, быть может, саму точку. Если при
переходе через x 0 в направлении возрастания x производная f (x) меняет знак,
то в точке x 0 функция имеет экстремум: максимум, если знак производной
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 46 из 228
меняется с "" на "" , минимум, если с "" на "" . Если производная f (x) при
переходе через точку x0 не меняет знака, то в этой точке нет экстремума.
Теорема даёт правило исследования функции на экстремум с помощью
производной:
Находим производную функции.
Находим критические точки функции:
а) стационарные точки;
б) точки, в которых производная не существует,
но сама функция непрерывна.
Исследуем знак производной слева и справа от критических точек. Т.к. знак
производной остаётся неизменным в интервалах между критическими точками
(иначе в силу непрерывности производной внутри интервала нашлась бы точка,
в которой производная равна нулю, что невозможно, так как все такие точки
уже перечислены в 2а), то для определения знака достаточно брать по одной
пробной точке из каждого интервала.
На основании теоремы делаем заключение об экстремумах.
Вычисляем значение функции в найденных точках экстремума.
Решение удобно наглядно представлять в виде таблицы.
10 x
.
4  x2
Пример.
Исследовать на экстремум функцию f ( x) 
Решение.
Функция определена на всей числовой оси. Ее производная
f ( x) 
10(4  x )  20 x 2 10(4  x 2 )
всюду конечна, следовательно, критическими

(4  x 2 ) 2
(4  x 2 )2
2
будут только стационарные точки. Для их нахождения решаем уравнение
f ( x) 
10(4  x 2 )
 0 , получаем
(4  x 2 ) 2
x1  2, x2  2 . Область определения
критическими точками разбивается на интервалы
Составим таблицу:
x
f  (x)
f (x)
(,  2 )
2
–
↓
0
 5/ 2
 2 , 2 
+
↑
2
0
(,  )
(,  2 ),  2 , 2 , (2, ) .
( 2,  )
–
↓
5/ 2
5
Имеем в точке x1  2 – минимум, f min (2)   , в точке x2  2 - максимум,
2
5
f max ( 2)  .
2
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] , тогда по 2-ой теореме
Вейерштрасса она достигает на [a, b] наибольшего и наименьшего значений.
Под ними понимают такие её значения, больше (или меньше) которых нет ни в
одной точке этого отрезка, включая и концы. Следовательно, наибольшим (или
наименьшим) значением функции на отрезке может быть либо её значение в
точке экстремума, лежащей внутри отрезка, либо значение на конце отрезка.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 47 из 228
Таким образом, при решении задач на нахождение наибольшего
(наименьшего) значения функции на отрезке достаточно найти все критические
точки функции, попавшие внутрь отрезка, затем, не проводя исследования на
экстремум, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка и
выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Выпуклость графика функции. Точки перегиба
Пусть кривая является графиком дифференцируемой функции y  f (x) . Тогда в
каждой её точке можно провести касательную.
Определение. Если в некоторой окрестности точки x0 кривая y  f (x)
располагается выше (ниже) касательной к ней в точке M 0 ( x0 , f ( x0 )) , то говорят,
что кривая (или график) выпукла вниз (выпукла вверх) в точке x0 .
Определение. Если кривая выпукла вниз (выпукла вверх) в каждой точке
некоторого промежутка, то она называется выпуклой вниз (выпуклой вверх) на
этом промежутке.
Определение. Точку M 0 ( x0 , f ( x0 )) называют точкой перегиба кривой
(графика функции) y  f (x) , если при переходе через M 0 кривая меняет
направление выпуклости (переходит в точке M 0 с одной стороны касательной
на другую).
y
y
y
M
x
x
Выпукла
вверх
M
x
Выпукла
вниз
Перегиб (в начале координат)
Одна и та же кривая может состоять из частей, выпуклых вверх, и
частей, выпуклых вниз.
y
Если будем, двигаясь
б
по
кривой
в
сторону
б возрастания x , следить за
,
изменением
угла
б
б
образованного касательной с
положительным направлением
x оси Ox , то увидим, что на
участках выпуклости вверх
этот угол уменьшается, а на участках выпуклости вниз – увеличивается. Так как
с уменьшением угла  tg  уменьшается, а с увеличением  – увеличивается,
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 48 из 228
то на участках выпуклости вверх f ( x)  tg убывает, следовательно, f ( x)  0 , а
на участках выпуклости вниз f (x) возрастает, следовательно, f ( x)  0 .
Теорема. Если во всех точках интервала ( a , b ) f ( x)  0 ( f ( x)  0 ), то
график функции y  f (x) является выпуклым вверх (вниз) на интервале ( a , b ) .
Теорема. Если вторая производная f (x) функции y  f (x) в точке x0
равна нулю или не существует и при переходе через x0 меняет знак, то x0 есть
точка перегиба графика функции f (x) .
Отсюда получаем правило нахождения интервалов выпуклости и точек
перегиба:
Находим вторую производную f (x) ;
Находим точки из области определения, в которых f (x) равна нулю или не
существует, в частности, бесконечна. Такие точки называют обычно
«подозрительными на перегиб»;
Определяем знак f (x) слева и справа от точек, «подозрительных на перегиб»;
На основании теорем делаем заключение о направлениях выпуклости и
перегибах.
Обратим внимание на то, что равенство f ( x0 )  0 (необходимое
условие перегиба) еще не обеспечивает наличие перегиба в точке x0 . Например,
для f ( x)  x 4 имеем f ( x)  12 x 2 и f (0)  0 , однако график в точке x  0 перегиба
не имеет, т.к. f ( x) > 0 слева и справа от точки x  0 .
Литература. [1]: ч.1, стр.291-306; [2]: ч.1, стр.152-178
Лекция 6. Асимптоты кривой. Общая схема исследования функции и
построение ее графика.
Асимптоты кривой
Понятие асимптот вводится для кривых, график которых (или отдельные
ветви графика) уходит на бесконечность. Это может быть, когда функция
неограничена или когда она задана на неограниченном промежутке.
Определение.
Прямая линия называется асимптотой кривой y  f (x) ,
если расстояние от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при
стремлении точки М на бесконечность от начала координат.
Различают три вида асимптот: вертикальные (параллельные оси ординат),
горизонтальные (параллельные оси абсцисс) и наклонные.
Вертикальные асимптоты.
Уравнение любой прямой, параллельной оси ординат, имеет вид x  a .
Если хотя бы один из односторонних
y
lim f ( x)
lim f ( x)
пределов
или
равен
xa 0
x  a 0
бесконечности (   или   ), то прямая x  a
является вертикальной асимптотой графика
x
a
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 49 из 228
функции y  f (x) . Очевидно, все функции с бесконечными разрывами
(разрывами второго рода) имеют вертикальные асимптоты.
y
b
Горизонтальные асимптоты.
Всякая
горизонтальная
прямая
(параллельная оси абсцисс) имеет уравнение
y  b.
Пусть функция y  f (x) определена в
бесконечном или полубесконечном интервале,
x тогда если lim f ( x)  b или lim f ( x)  b , то
x  
x  
прямая y  b является горизонтальной асимптотой кривой y  f (x) .
Наклонные асимптоты.
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y  kx  b . Пусть
функция y  f (x) определена в бесконечном или полубесконечном интервале,
( yкрив  yасим п)  0 , т.е. lim ( f ( x)  (kx  b))  0 , но
тогда по определению асимптот lim
x 
x  

тогда и xlim

 
f ( x)
b
 k    0 , откуда
x
 x
k  lim
x 
f ( x)
.
x
Теперь, если k существует, то можем найти b:
b  lim [ f ( x)  kx] .
x  
(1)
(2)
Для существования наклонных асимптот необходимо существование
пределов (1) и (2). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных
асимптот нет. Пределы (1) и (2) нужно находить отдельно при x   и при
x   , т.к. они могут быть разными, и тогда функция имеет две разные
асимптоты.
Заметим, что если k  0 и существует b, то имеем не наклонную, а
горизонтальную асимптоту. Поэтому нахождение горизонтальных и наклонных
асимптот можно объединить.
Кривая может вообще не иметь асимптот.
Общая схема исследования функции и построение графика
Существует способ построения графика функции, основанный на
аналитическом исследовании функции. Исследование проводится по
следующей примерной схеме:
1) найти область определения функции;
2) выяснить, является ли она чётной, нечётной или периодической;
3) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и
определить их характер;
4) найти асимптоты графика функции;
5) найти точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции;
6) найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз;
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 50 из 228
7) при необходимости найти дополнительные точки, например, точки
пересечения с осями
координат;
8) нанести полученные результаты на чертёж и построить график
исследуемой функции.
Литература. [1]: ч.1, стр.306-311; [2]: ч.1, стр.178-187
Лекция 7. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица
неопределенных интегралов. Метод непосредственного
интегрирования. Интегрирование заменой переменной и по
частям.
Первообразная и неопределённый интеграл
Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x)
на некотором промежутке, если F (x) дифференцируема на этом промежутке и
F ( x)  f ( x) для всех х из этого промежутка.
Отметим, что тогда d F ( x)  f ( x)dx .
Например, функция sin 2 x является первообразной для функции 2 cos 2 x ,
т.к. (sin 2 x)  2 cos 2 x . Функция sin 2x  4 также является первообразной для
функции 2 cos 2 x , т.к. (sin 2 x  4)  2 cos 2 x .
Докажем несколько свойств первообразных.
Свойство 1. Если F (x) – первообразная для функции f (x) , то F ( x)  C , где C некоторая постоянная, также является первообразной для f (x) .
Доказательство. Действительно, ( F ( x)  C )  F ( x)  C  f ( x)  0  f ( x) .
Свойство 2. Если F (x) и Ф(x) - две первообразные одной и той же функции
f (x) , то они отличаются между собой на постоянную величину.
Доказательство. Имеем: ( F ( x)  Ф( x))  F ( x)  Ф ( x)  f ( x)  f ( x)  0
для
x [a, b] , откуда по условию постоянства дифференцируемой функции
получаем, что F ( x)  Ф( x) - постоянная.
Из свойств 1 и 2 следует, что если известна какая-либо первообразная
F (x) данной функции f (x) , то любую другую первообразную Ф(x) той же
функции можно представить в виде Ф( x)  F ( x)  C , где С – постоянная.
Определение. Множество всех первообразных функции f (x) называется
неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом
 f ( x)dx . Функция f (x) называется подынтегральной функцией, f ( x)dx подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования.
Таким образом, имеем:  f ( x)dx  F ( x)  C .
Разыскание всех первообразных данной функции
интегрированием.
Укажем несколько свойств неопределённого интеграла:
называется
её
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Свойство 1. d
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 51 из 228
 f ( x)dx   f ( x)dx .
Действительно, если F (x) - какая-либо первообразная функции f (x) , то
d  f ( x)dx  d ( F ( x)  C )  F ( x)dx  f ( x)dx .


Свойство 2.
 dF ( x)  F ( x)  C .
Доказывается аналогично.
Свойство 3.  k  f ( x)dx  k  f ( x)dx .
Вычисляя дифференциал правой части, получаем:
d k  f ( x)dx  kd  f ( x)dx  k f ( x)dx  d  k f ( x)dx по свойству 1.


Свойство 4.




 ( f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx ;
Аналогично предыдущему, вычисляя дифференциал правой части,
получаем d  f ( x)dx   g ( x)dx  d  f ( x)dx  d  g ( x)dx  f ( x)dx  g ( x)dx 

 
 ( f ( x)  g ( x)) dx  d  ( f ( x)  g ( x)) dx 
 

Используя свойства 1 – 4 и свойства дифференциалов, сводят вычисление
интегралов к так называемым табличным интегралам, получаемых из
табличных производных на основании того, что каждая формула
дифференциального исчисления, устанавливающая, что F ( x)  f ( x) , приводит к
соответствующей формуле интегрального исчисления. В целях общности
переменная интегрирования в табличных интегралах обозначается буквой u.
1.  0 du  C
Таблица основных неопределённых интегралов
2. 1  du   du  u  C
u  1
3.  u du 
 C ,   1
 1

au
C
ln a
7.  sin u du   cos u  C
5.  a u du 
9.
du
 cos
11. 
2
u
du
 tg u  C
~
 arcsin u  C   arccos u  C
1  u2
du
~
 arctg u  C  arcctg u  C
12. 
2
1 u
du
u a
C
13.  2 2  1 ln
2a u  a
u a
4.

du
1
  du  ln u  C
u
u
6.  eu du  eu  C
8.  cos u du  sin u  C
10.
du
 sin
2
u
du
 ctg u  C
~
 arcsin u  C   arccos u  C
a
a
a2  u 2
du
~
12/.  2 2  1 arctg u  C   1 arcctg u  C
a
a
a
a
a u
du
 ln u  u 2  a  C
14.  2
u a
11/.
Формулы 11/, 12/, 13, 14 выводятся
приёмов и методов.

на основании излагаемых ниже
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 52 из 228
Метод непосредственного интегрирования ( подведение под знак
дифференциала)
Вычисление неопределённых интегралов этим методом связано с
приведением подынтегрального выражения к табличной форме с помощью
преобразований и перечисленных выше свойств.
В некоторых случаях удается представить подынтегральное выражение
f ( x)dx в виде  (u)du , где u - некоторая функция от x , то есть записать его в
форме f ( x)dx   (u( x))du( x) , и при этом интеграл   (u)du является табличным.
Тогда, если
  (u )du  F (u )  C , то
 f ( x)dx    (u( x))u( x)dx    (u( x))du ( x)  F (u( x))  C .
Этот приём называется подведением функции под знак дифференциала. Для
овладения этим приёмом необходимо устойчивое (доведённое до автоматизма)
знание таблиц производных и дифференциалов и умение ими пользоваться в
обе стороны, то есть не только уметь вычислять по исходной функции
производную и дифференциал, но и по дифференциалу увидеть исходную
функцию.
Пример.  sin 2 xdx  1  sin 2 x  2dx  1  sin 2 xd (2 x)   1 cos 2 x  C.
2
2
2
Можно по-другому:  sin 2 xdx   2 sin xcos xdx   2 sin x d (sin x)  sin 2 x  C;
 sin 2 xdx   2sin x cos xdx   2 cos x d (cos x)   cos
2
x  C.
Этот пример показывает, что у одной и той же функции может быть
несколько разных первообразных, связанных между собой соотношением
Ф( x)  F ( x)  C .
Займёмся более подробно указанным приёмом. Вначале приведём таблицу
дифференциалов в необходимой нам форме.
Таблица основных дифференциалов
adx  d (ax  b) , где a и b - некоторые числа.
(  1) x dx  d ( x  1  b),   1 .
В частности, 2 xdx  d ( x 2 )  d ( x 2  b) , 3x 2dx  d ( x3 )  d ( x3  b) ,
1
1

 d    d   b  ,
x
 x
x

dx
 d ( x )  d ( x  b) .
2 x
dx
2
dx
 d (ln x)  d (ln x  b)
x
4.
e x dx  d (e x )  d (e x  b)
cos xdx  d sin x  d (sin x  b)
6.
sin xdx  d cos x  d (cos x  b)
dx
 d ( tg x)  d ( tg x  b)
cos 2 x
dx
 d (ctgx)  d (ctgx  b)
sin 2 x
dx
 d (arcsin x)  d (arccos x) .
10.
1  x2
dx
1 x2
 d (arctg x)   d (arcctg x)
8.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 53 из 228
Рассмотрим теперь преобразования подынтегрального выражения,
применение которых вкупе с подведением под знак дифференциала позволяет
достаточно легко найти некоторые неопределённые интегралы.
1. Выделение целой части.
Суть приёма видна из примеров.
Примеры
x22
dx
dx  dx  2
 x  2 ln x  2  C.
x2
x2
x
x 33
dx
 x  3 dx   x  3 dx   dx  3 x  3  x  3 ln x  3  C.
x2
x2  4  4
dx
dx

dx  dx  4 2
 x  2arctg x  C.
2
2
2
x 4
x 4
x 4
1.
x
 x  2 dx  



x2
 x 2  16 dx  


x 2  16  16
x  16
2

dx   dx  16 
dx
 x  4arctg x  C.
4
x  16
2
d ( x 2  4)
dx  
dx   dx   2
  dx  2
5.  2
 x  2 ln( x 2  4)  C.
2
2
x 4
x 4
x 4
x 4
2. Выделение полного квадрата.
Иногда удаётся получить табличный интеграл вида 11 – 14 , выделив в
подынтегральной функции выражение вида (ax  b) 2 , т.е. полный квадрат
двучлена ax  b . Покажем на примерах, как это делается.
Примеры:
( x  2)
2
x2  4  4 x
4 xdx
dx
1. Вычислить интеграл  2
.
x  4 x  20
Имеем:
получаем:
2.
x
x 2  4 x  20  ( x 2  4 x  4)  16 
2
( x  2) 2  4 2 .
dx
d ( x  2)

 1 arctg x  2  C .
2
2
4
4
 4 x  20
( x  2)  4
Вычислить
интеграл

18x  9 x 2  5   9 ( x 2  2 x  1)  9  5  4  9 ( x  1)2 .

dx
2
18 x  9 x  5

dx
4  9( x  1)
 13 arcsin
2
3. Вычислить интеграл 
Поэтому 
Поскольку d ( x  2)  dx ,
dx
 x 2  2x

3( x 1)
2
dx
 x 2  2x
dx
1  ( x  1) 2
.
dx
18 x  9 x 2  5
.
Имеем:
Поэтому
C .
Имеем
 x 2  2 x  ( x 2  2 x  1)  1  1  ( x  1) 2 .
 arcsin( x  1)  C .
Фактически подведение функции под знак дифференциала является частью
общего метода интегрирования, называемого
Замена переменной в неопределённом интеграле
Пусть требуется вычислить интеграл  f ( x)dx . Сделаем замену переменной
интегрирования x   (t ) , где  (t ) - функция, имеющая непрерывную
производную. Тогда f ( x)  f ( (t )) , dx  d (t )   (t )dt и
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
 f ( x)dx   f ( (t ))(t )dt
стр. 54 из 228
-
формула замены переменной в неопределённом интеграле.
Функцию  (t ) следует выбирать так, чтобы можно было вычислить
интеграл в правой части формулы (т.е. полученный в результате замены). После
его вычисления следует перейти обратно к переменной х.
Иногда целесообразно применять замену переменной в виде u   (x) .
Пусть требуется вычислить интеграл
 f ( x)dx . Если удаётся подобрать
функцию u   (x) , такую что подынтегральное выражение f ( x)dx можно
представить в виде f ( x)dx  g ( ( x)) ( x) dx , и функцию g (u ) более удобно
интегрировать, то достаточно найти интеграл  g (u ) du  G (u )  C , а затем
обратной подстановкой u   (x) получить из него ответ. Фактически этот
способ решения лежит в основе рассмотренного выше подведения функции под
знак дифференциала.
Пример.
1
dx
dx
1
1
1
x
 x ln x   ln x   ln x (ln x)dx   ln x d (ln x)  u  ln x   u du  ln u  C  ln ln x  C
Интегрирование по частям в неопределённом интеграле
Пусть
дифференцируемые
функции.
Тогда
U (x) и
V (x)
d (U ( x)  V ( x))  U ( x)  dV ( x)  V ( x)  dU ( x) ,
откуда
U ( x)dV ( x))  d (U ( x)  V ( x))  V ( x)  dU ( x) . Вычисляя интеграл от обеих частей
последнего равенства, с учетом того, что  d (U ( x)V ( x))   U ( x)V ( x)  C , получаем
соотношение  U ( x)dV ( x)  UV   V ( x)dU ( x) . Формула
U  dV  UV  V  dU
называется формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле.
Понимают его в том смысле, что множество первообразных, стоящее в левой
части, совпадает со множеством первообразных, получаемых по правой части.
При использовании формулы интегрирования по частям нужно правильно
разбить подынтегральное выражение на части U и dV так, чтобы интеграл
 V  dU в правой части формулы находился легче, чем исходный.
Основные рекомендации по выбору U и dV в формуле интегрирования по
частям таковы:
1. Если подынтегральная функция есть произведение многочлена на
показательную функцию (например, экспоненту e x ) или тригонометрическую
функцию, то в качестве U (x) выбирают многочлен, а всё остальное относят к
dV (x) .
Заметим, что иногда требуется применить формулу интегрирования по
частям несколько раз, например, при вычислении интеграла  x 2 e 3 x dx . Полагаем
U  x 2 , dV  e 3 x dx.
Тогда
dU  2 xdx ,
V  13 e 3 x
и  x 2 e 3 x dx  13 x 2 e 3 x  13  2 xe3 x dx . Для
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 55 из 228
вычисления второго слагаемого снова применяем формулу интегрирования по
частям, полагая U  x, dV  e 3 x dx. Тогда dU  dx , V  13 e 3x , и поэтому
3x
3x
3x
3x
3x
Таким
образом,
 xe dx  13 xe  13  e dx  13 xe  19 e  C .
x e
2 3x
dx  13 x 2e3 x  92 xe3 x  272 e3 x  C .
2. Если подынтегральная функция есть произведение многочлена на
логарифмическую функцию или обратную тригонометрическую функцию, то в
качестве U (x) выбирают эту функцию, а всё остальное (в том числе
многочлен) относят к dV (x) .
Литература. [1]: ч.1, стр.182-190; [2]: ч.1, стр.335-350
Лекция 8. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование
некоторых иррациональных функций. Интегрирование
тригонометрических
функций,
тригонометрические
подстановки.
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью (рациональной функцией, дробно-рациональной
функцией) называется отношение двух многочленов, т.е. выражение вида
где
P( x) 
k
 bl x l  bk x k  bk 1 x k 1  ...  b1 x  b0
l 0
и
Q( x) 
n
a x
l
l
P( x)
,
Q( x)
 an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0
-
l 0
многочлены степеней k и n соответственно.
Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в
знаменателе, т.е. k  n , то такую рациональную дробь называют правильной.
Если дробь неправильная ( k  n ), то можно выделить в ней целую часть, т.е.
представить в виде
P( x)
S ( x)
S ( x)
 R( x) 
, где дробь
- уже правильная, степень
Q( x)
Q( x)
Q ( x)
многочлена S (x) меньше n.
Покажем на примере, как можно произвести выделение целой части.
Пусть P( x)  x7  3x6  3x5  3x3  4 x 2  x  2, Q( x)  x3  3x 2  x  2. Разделим многочлен
P(x) на многочлен Q(x) так же, как мы делим вещественные числа: «уголком».
Имеем:
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
_ x 7  3x 6  3x 5
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 56 из 228
x 3  3x 2  x  2
x 4  2x 2  4x  7
 3x 3  4 x 2  x  2
x 7  3x 6  x 5  2 x 4
_ 2 x 5  2 x 4  3x 3  4 x 2  x  2
2x5  6x 4  2x3  4x 2
_  4 x 4  5x 3  8x 2  x  2
 4 x 4  12 x 3  4 x 2  8 x
_ 7 x 3  12 x 2  7 x  2
7 x 3  21x 2  7 x  14
 9 x 2  14 x  12
Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления
R( x)  x 4  2 x 2  4 x  7
многочлена
на многочлен
и остаток
P
Q)
2
от этого деления. Поэтому можем записать
S ( x)  9 x  14 x  12
x 7  3x 6  3x 5  3x 3  4 x 2  x  2
x 3  3x 2  x  2
  x 4  2x 2  4x  7 
 9 x 2  14 x  12
x 3  3x 2  x  2
.
Интегрирование выделенной целой части неправильной рациональной
дроби (многочлена R (x ) ) всегда легко выполняется. Обратим поэтому наше
внимание на
Интегрирование правильных рациональных дробей
Назовём простейшими рациональными дробями дроби:
1
,
xa
I.
II.
1
( x  a)
n
, III.
Mx  N
x  px  q
2
, IV.
Mx  N
( x  px  q) n
2
.
Здесь считается, что дискриминант D  p 2  4q  0 , т.е. квадратный
трёхчлен x 2  px  q неразложим на действительные множители.
Рассмотрим интегрирование этих дробей.
Интегралы I и II сводятся к табличным интегралам простым подведением
под знак дифференциала:  dx  ln x  a  C ,
xa
dx
 ( x  a) n
1
 C, n  1 .
(n  1)( x  a) n1
Интеграл III  2Mx  N dx
x  px  q
знаменателя

x 2  px  q
выделением в числителе производной
сводится вначале к
интегралу
x
2
dx
, который
 px  q
затем вычисляется выделением полного квадрата.
Наиболее сложным и трудоёмким является интегрирование дроби IV
типа:
Mx  N
 ( x 2  px  q) n dx . Аналогично интегралу III типа такой интеграл
выделением в числителе дифференциала знаменателя сводится к интегралу
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
 (x
2
dx
 px  q) n
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 57 из 228
, который после выделения полного квадрата и замены
приобретает вид 
dt
2
(t  a 2 ) n
x
p
t
2
. Последний интеграл вычисляется рекуррентно.
Как интегрировать произвольную правильную рациональную дробь
P( x)
?
Q( x)
Для этого её представляют в виде суммы простейших дробей.
По основной теореме алгебры любой многочлен Q (x) с действительными
коэффициентами может быть единственным образом представлен в виде
Q( x)  an ( x  x1 ) ...( x  xn )  ( x 2  p1 x  q1 ) ...( x 2  pk x  qk ) , т.е. разложен на простейшие
множители вида x  a и x 2  px  q различной кратности  ,  ,  ,  , ... , причём
множители x 2  px  q неразложимы в действительных числах, т.е.
дискриминант D  p 2  4q  0 .
Тогда правильная рациональная дробь
P( x)
Q( x)
может быть представлена в
виде суммы уже знакомых нам простейших дробей I – IV типов. А именно:
- множителю x  a в разложении на простейшие дроби соответствует одно
A
;
xa
- если множитель x  a имеет кратность б, т.е. встречается в знаменателе  раз,
слагаемое I типа:
то ему в разложении на простейшие дроби соответствует ровно б слагаемых I
и II типов:
A1
A2
A

 ... 
;
2
x  a ( x  a)
( x  a)
- множителю
x 2  px  q
в разложении на простейшие дроби соответствует одно
Mx  N
слагаемое III типа:
- наконец, множителю
дроби
соответствует
x 2  px  q
x 2  px  q

;
кратности  в разложении на простейшие
слагаемых
III
и
IV
типов:
M 1 x  N1
M x  N2
M x  N
 2 2
 ...  2 
2
2
x  px  q ( x  px  q)
( x  px  q)
Коэффициенты A j , M j , N j в разложении правильной рациональной дроби
находятся обычно методом неопределённых коэффициентов. Для этого правую
часть полученного разложения с неизвестными пока коэффициентами A j , M j , N j
приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей
равны, то должны быть равны и числители, которые являются многочленами.
Многочлены равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем систему
линейных уравнений для определения коэффициентов A j , M j , N j .
Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей
сводится к интегрированию простейших дробей I – IV типов.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 58 из 228
Интегрирование некоторых иррациональностей
Выше уже было рассмотрено вычисление некоторых интегралов от
простейших иррациональностей. Добавим к ним ещё несколько.
вида 
1. Интеграл
( Mx  N )dx
x 2  px  q
вычисляется аналогично интегралу от
простейшей рациональной дроби III типа  2Mx  N dx : сначала выделением в
x  px  q
числителе дифференциала подкоренного выражения он сводится к интегралу

dx
x  px  q
2
, который затем выделением полного квадрата приводится к
dx
табличному виду 
Пример.
2
a  ( x  b)
2
. Проиллюстрируем сказанное на примере.
Вычислить интеграл

(4 x  2)dx
 x2  2x
.
Производная подкоренного выражения равна  2x  2 ; выделим её в
числителе: 4 x  2  2(2 x  2)  2 . Тогда

(4 x  2)dx
 x  2x
2
 2
(2 x  2)dx
 2
dx
  x 2  2 x  1  ( x  1) 2 
 x  2x
 x  2x
d ( x  2 x)
dx
 2
 2
 4  x 2  2 x  2 arcsin( x  1)  C .
2
 x  2x
1  ( x  1) 2
2
2
2
Назовём рациональной функцией R( x1, x2 ,..., xn ) переменных x1 , x 2 ,..., x n
отношение двух многочленов от этих переменных, или, что то же самое,
отношение двух линейных комбинаций целых степеней этих переменных.
Таким образом, в рациональной функции переменные x1 , x 2 ,..., x n могут
складываться, вычитаться, перемножаться, делиться, но из них не извлекаются
корни.
ms
m1
m2

n1
n2

2. Интегралы вида  R x , x , x ,..., x ns



 dx . Иначе говоря, под знаком


интеграла складываются, вычитаются, умножаются и делятся корни из х с
разными показателями и степенями. Интеграл рационализируется (избавляемся
от корней) подстановкой x  t k , где k – наименьшее общее кратное чисел
n1 , n2 , ..., ns , т.е. общий знаменатель дробей
m
m1 m2
,
,..., s .
n1 n2
ns
3. Аналогично поступают в более общем случае, когда подынтегральное


ax  b n ax  b
ax  b
 есть рациональная функция от x и
,
,..., n
выражение R x, n

cx

d
cx

d
cx

d


1
s
2
различных корней из дроби
ax  b
. Интеграл
cx  d
рационализируется подстановкой
 n ax  b n ax  b
ax  b 
ns
1
2

dx
R
x
,
,
,...,
  cx  d cx  d

cx

d


ax  b
 t k , где k – наименьшее общее кратное
cx  d
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 59 из 228
dt k  b
. Подставляя в исходное выражение, получаем
 ct k  a
чисел n1, n2 , ..., ns . Тогда x 
рациональную функцию от t.
Интегрирование некоторых выражений, содержащих тригонометрические
функции
1. Преобразование тригонометрического выражения.
Наиболее часто применяются: понижение степени с использованием
формул
sin 2 x 
сумму
1  cos 2 x
2
,
cos 2 x 
1  cos 2 x
;
2
преобразование произведения в
по
sin  sin   12 (cos(   )  cos(   )) ,
формулам
cos  cos   12 (cos(   )  cos(   )) , sin  cos   12 (sin(   )  sin(   )) и некоторые
другие.
2. Интегралы вида  R(sin x, cos x)dx вычисляются с помощью нескольких
видов подстановок.
1) Для интегрирования любых рациональных функций вида R(sin x, cos x)
применима подстановка
тригонометрической
x  2arctg t , dx 
t  tg
x
,
2
которая называется поэтому универсальной
подстановкой.
В
самом
деле,
тогда
2dt
2t
1 t
, sin x 
, cos x 
, и интеграл рационализируется.
2
2
1 t
1 t
1 t2
2
К сожалению, универсальная тригонометрическая подстановка часто
приводит к громоздким вычислениям. Поэтому пользуются по возможности
следующими более удобными подстановками.
2) Если R( sin x, cos x)   R(sin x, cos x) , т.е. если подынтегральная функция
при замене sin x на  sin x меняет знак, то делают замену по формуле cos x  t , и
тогда sin xdx  dt .
3) Если R(sin x, cos x)  R(sin x, cos x) , то полагают sin x  t , при этом
cos xdx  dt .
4) Если R( sin x, cos x)  R(sin x, cos x) , то делают замену tg x  t , при
которой
x  arctgt , dx 
подстановка
dt
1 t2
, sin x 
t
1 t2
, cos x 
1
1 t2
. Может также быть сделана
ctg x  t .
Тригонометрические подстановки
Их применяют для интегрирования рациональных выражений, содержащих
радикалы a 2  x 2 , x 2  a 2 , a 2  x 2 .
Для интегрирования рациональных выражений вида R( x, a 2  x 2 ) применяют
замену x  a sin t , т.к. тогда a 2  x 2  a 2  a 2 sin 2 t  a 2 (1  sin 2 t )  a 2 cos2 t , и корень
извлекается. Можно положить также x  a cos t ;
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 60 из 228
Для интегрирования рациональных выражений вида R( x, x 2  a 2 ) применяют
подстановку
x
a
cos t
или x 
a
;
sin t
Для интегрирования выражений вида R( x, a 2  x 2 ) применяют замену x  a tg t
или x  a ctg t . В этом случае возможно пользоваться также заменами с
гиперболическими функциями.
Задача интегрирования в конечном виде
Мы научились находить первообразные, а, следовательно, и
неопределённые интегралы, для рациональных и некоторых других типов
функций. В связи с этим совершенно естественным являет-ся вопрос о классе
функций, для которого существует первообразная. Ответ на него даёт
следующая
Теорема. Для любой непрерывной функции существует первообразная.
Обобщение понятия первообразной на функции с конечным числом
точек разрыва даётся следующим образом.
Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на
отрезке [a, b] , если F (x) дифференцируема на [a, b] , за исключением конечного
числа точек, и F ( x)  f ( x) во всех точках существования производной функции
F (x) .
Справедлива следующая теорема:
Теорема. Для любой функции, имеющей конечное число точек разрыва 1-го
рода, существует первообразная, дифференцируемая во всех точках
непрерывности подынтегральной функции.
Доказательства теорем, а также решение задачи восстановления
первообразной будут приведены в разделе «Определённый интеграл».
Ответив на вопрос о существовании первообразной, поставим другой:
если первообразная существует, то всегда ли она является элементарной
функцией? В разделе «Пределы» было сформулировано определение:
элементарными функциями называются функции, получаемые из основных
элементарных
(степенных,
показательных,
логарифмических,
тригонометрических и обратных тригонометрических функций) с помощью
четырёх арифметических действий и суперпозиций, последовательно
применённых конечное число раз. При изучении производных мы видели, что
производная элементарной функции есть снова элементарная функция. Для
первообразной это не так. Не для каждой элементарной функции первообразная
есть элементарная функция. Интегралы от функций, для которых
первообразная не является элементарной функцией, принято называть
«неберущимися». Каждый из них определяет с помощью операции
интегрирования новую, так называемую неэлементарную функцию. Некоторые
из них оказались настолько употребительными, что для них были введены
специальные названия.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 61 из 228
Наиболее известными «неберущимися» интегралами являются
 cos x dx,  sin x
2
2
dx,

sin x
dx  six  C
x
интегральный косинус,
li x  C 

- интегральный синус,
dx
ey

dy
ln x
y


e
 x2
dx ,
cos x
dx  cix  C
x
-
- интегральный логарифм.
Литература. [1]: ч.1, стр.216-236; [2]: ч.1, стр.350-370
Лекция
9. Определенный интеграл: определение, свойства,
существование. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл с
переменным верхним пределом. Интегрирование по частям
и замена переменной в определенном интеграле.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Определённый интеграл. Определение, свойства, существование
Определение. Пусть функция f (x) определена и ограничена на отрезке
[a, b] (    a  b   ). Разобьём отрезок [a, b] на части точками a  x0  x1  ...  xn  b и
выберем внутри каждого частичного отрезка [ xi , xi 1 ] по точке  i  [ xi , xi 1 ] .
n 1
Обозначим xi  xi 1  xi и составим сумму  n   f (i )xi , которую будем
i 0
называть интегральной суммой. Её значение зависит от способа разбиения
отрезка [a, b] на части [ xi , xi 1 ] и выбора точек  i на каждой из частей. Обозначим
максимальную длину отрезков данного разбиения   max xi . Будем теперь
0  i  n 1
уменьшать  , устремляя её к нулю.
Определение. Если для функции f (x) на отрезке [a, b] существует при
  0 предел I интегральных сумм  n , не зависящий ни от способа разбиения
отрезка [a, b] , ни от выбора точек  i на каждом из частичных отрезков [ xi , xi 1 ] , то
функция f (x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [a, b] , а сам
предел I называется определённым интегралом (интегралом Римана) от
функции
f (x)
на отрезке
b
[a, b]
и обозначается  f ( x)dx .
a
Таким образом, по определению
b

n 1
f ( x)dx  lim  f (i )xi . Числа a, b
 0
a
i 0
называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Строго говоря, функция f (x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b] и
b
I   f ( x)dx ,
если для всякого
0
найдётся
0
такое, что для любого разбиения
a
отрезка
n ,
[a, b] ,
удовлетворяющего условию max xi   , и интегральных сумм
01 i  n 1
построенных с помощью этого разбиения, выполняется неравенство
n  I   .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 62 из 228
Отметим некоторые свойства опредёленного интеграла при условии
существования всех используемых ниже интегралов.
b
a
1.  f ( x)dx    f ( x)dx. Следует из определения, так как все
a
xi
меняют знак.
b
b
c
b
a
a
c
2.  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx. Действительно, если
c  [ a, b] ,
то, включив
c
в число
точек разбиения, получаем требуемое. Если c  [a, b] , то при b  c применяем
только что доказанное к отрезку [a, c] и пользуемся свойством 1. При c  a
аналогично.
b
b
b
a
a
3.  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx.
a
b
4.  k
b
f ( x)dx  k  f ( x)dx.
a
a
5. Если
f ( x)  0 на [a, b]
и
ab,
то
b
 f ( x)dx  0 .
a
6. Если
f ( x)  g ( x)
b
b
7.
 f ( x)dx  
на
[ a, b]
и
ab,
b
b
a
a
то  f ( x)dx   g ( x)dx .
f ( x) dx (при a  b).
a
a
8. Если
m  f ( x)  M
и
ab,
то
b
m(b  a) 
 f ( x)dx  M (b  a).
a
b
9.
 f ( x)dx   (b  a), где
-
некоторое число,
m M
.
a
Свойства 3 - 9 следуют из определения, так как все записанные в них
соотношения справедливы для любых интегральных сумм и сохраняются при
переходе к пределу.
10. (Теорема о среднем значении). Если f (x) непрерывна на [a, b] , то существует
точка
c
из
[a, b]
такая, что
b
 f ( x)dx  f (c)(b  a).
a
Действительно, так как f (x) непрерывна на [a, b] , то по теореме о
промежуточных значениях существует точка c из [a, b] такая, что f (c)   , а это в
силу свойства 9 влечёт требуемое.
Выясним теперь условия интегрируемости функции f (x) .
Пусть a  x0 , x1 , ..., xn  b - какое-нибудь разбиение отрезка [a, b] . Положим
mi  inf
f ( x) , M i  sup f ( x) , где inf X - точная нижняя грань, а sup X - точная
x[ xi , xi 1]
x[ xi , xi 1]
верхняя грань множества X . Заметим, что если функция f (x) непрерывна, то по
второй теореме Вейерштрасса она достигает на [ xi , xi 1 ] своих наименьшего и
наибольшего значений, поэтому вместо inf и sup можно написать min и max ;
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
mi
Ред. № 1 от 29.08.2013
является наименьшим, а
отрезке
[ x i , x i 1 ] .
Суммы
sn 
Mi
стр. 63 из 228
- наибольшим значением функции
n 1
 mi xi и
i 0
Sn 
f (x)
на
n 1
 M i xi называются соответственно
i 0
нижней и верхней суммами Дарбу. Заметим, что для любого разбиения отрезка
[a, b] и любой интегральной суммы  n , построенной с использованием этого
разбиения, имеет место неравенство sn   n  S n .
Отметим некоторые свойства сумм Дарбу.
Свойство 1. При добавлении числа точек разбиения нижняя сумма Дарбу
не уменьшается, а верхняя не увеличивается.
Самым простым разбиением отрезка [a, b] является разбиение, состоящее
из точек a и b . Этому разбиению соответствуют суммы Дарбу s1  m(b  a) и
S1  M (b  a) , где m  inf f ( x) , M  sup f ( x) . Из свойства 1 следует справедливость
x[ a,b]
x[ a,b]
неравенств s1  ...  sn1  sn  S n  S n1  ...  S1 для любых разбиений отрезка [a, b] и
поэтому множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху и, как
ограниченное сверху множество, имеет точную верхнюю грань I *  sup sn .
nN
Аналогично доказывается, что множество верхних сумм
Дарбу, как
*
ограниченное снизу множество, имеет точную нижнюю грань I  inf S n . I * и I *
nN
называются, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу. Нетрудно
показать, что I *  lim sn , I *  lim S n . Действительно, по определению точной
n
n
I * найдётся
верхней грани, для произвольной окрестности U ( I * ) числа
разбиение отрезка [a, b] такое, что нижняя сумма Дарбу sn , соответствующая
U ( I* )
этому разбиению, принадлежит
( sn U ( I* ) ). Рассматривая
последовательность разбиений, вложенных в найденное, получаем наше
утверждение. Аналогично для верхнего интеграла Дарбу. Из свойств пределов в
неравенствах следует, что I *  I * .
Свойство 2. Функция f (x) интегрируема по Риману тогда и только тогда,
когда I *  I * .
С помощью только что доказанной теоремы можно заняться выделением
множества функций интегрируемых по Риману.
Теорема. Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция f (x) интегрируема
по Риману на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и  i , i точки наименьшего и наибольшего значений этой функции на каждом из
отрезков [ xi , xi 1 ] , которые достигаются согласно второй теореме Вейерштрасса.
Так как f (x) непрерывна на отрезке [a, b] , то, согласно теореме Римана [3, 4, 5] ,
она равномерно непрерывна, то есть для любого   0 существует   0 такое,
что для всех x, y , удовлетворяющих условию x  y   , выполнено неравенство
f ( x)  f ( y)   . Пусть, теперь, разбиение отрезка [a, b] таково, что max xi 1  xi   .
1 i  n
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 64 из 228
Тогда, по только что сказанному, f (i )  f (i )   для любого i  1, 2,...,n (знак
модуля опущен, так как разность f (i )  f (i ) неотрицательна). Поэтому
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
S n  sn   ( M i  mi )xi   ( f (i )  f (i ))xi   xi     xi (b  a) .
lim (S n  sn )  0
n 
и по свойству 2 функция
f (x)
Следовательно,
интегрируема по Риману на
отрезке [a, b] .
Следствие. Функция f (x) , имеющая на отрезке [a, b] конечное число точек
разрыва первого рода, интегрируема по Риману.
Теорема. Всякая монотонная на отрезке [a, b] функция f (x) интегрируема по
Риману на этом отрезке.
Примем эту теорему без доказательства.
Доказательство существования интеграла Римана для других классов
функций требует введения новых понятий и дополнительных рассмотрений.
Желающие могут ознакомиться с этим в [4,5] .
Примером функции, для которой не существует интеграл Римана, служит
функция Дирихле
1, если x  рациональное число,
D( x )  
0, если x иррациональное число.
Действительно, если при любом разбиении отрезка [a, b] точки  i выберем
рациональными, то интегральная сумма будет равна длине отрезка
интегрирования, а если точки  i выберем иррациональными, то интегральная
сумма будет равна нулю. Отсюда следует, что предел интегральных сумм
зависит от выбора точек  i и поэтому интеграл Римана от функции D(x) не
существует.
Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница
Определённый интеграл
b
 f ( x)dx ,
будучи пределом интегральных сумм,
a
является числом, не зависящим от переменной интегрирования, что позволяет
делать её переобозначение:
b

a
интеграле
b
 f (t )dt
b
f ( x)dx   f (t )dt . Пусть теперь верхний предел в
a
изменяется, тогда будет меняться и значение интеграла, и он
a
будет функцией (x) своего переменного верхнего предела х:
x
 ( x) 
 f (t )dt .
a
Отметим несколько свойств этой функции.
Теорема. Если f (x) - интегрируемая на [a, b] функция, то (x)
непрерывна на [a, b] .
Доказательство. По свойствам 2 и 9 определённого интеграла имеем:
xh
 ( x  h)   ( x ) 
 f (t )dt    h , откуда при h  0
x
получаем требуемое.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 65 из 228
Теорема. Если f (x) - непрерывная на [a, b] функция, то функция (x)
дифференцируема на [a, b] и ( x)  f ( x) .
Доказательство. По свойству 10 определённого интеграла (теорема о
среднем), имеем:
( x  h)  ( x)
 f (c),
h
силу непрерывности функции
f
где с – некоторая точка отрезка
получаем:
[ x, x  h ] .
В
 ( x  h)   ( x )
 lim f (c)  f ( x) .
h
h 0
h 0
( x)  lim
Таким образом, (x) является одной из первообразных функции f (x) .
Доказанная теорема решает задачу восстановления первообразной для
непрерывной функции с помощью интеграла с переменным верхним пределом
и даёт конструктивное доказательство (то есть доказательство с построением
объекта, существование которого утверждается) теоремы о существовании
первообразной для непрерывной функции, сформулированной в разделе
«Неопределённый интеграл». Более того, если функция f (x) имеет на отрезке
[a, b] конечное число точек разрыва первого рода, то, разбивая отрезок [a, b] на
участки непрерывности функции f (x) , получаем, что с помощью интеграла как
функции верхнего предела можно и в этом случае восстановить обобщённую
первообразную, а заодно и установить справедливость теоремы о
существовании первообразной для функции с конечным числом точек разрыва.
Поскольку (x) - одна из первообразных функции f (x), то ( x)  F ( x)  C,
где F (x) - некоторая другая первообразная
функции f (x). Так как
a
(a)   f ( x)dx  0,
то
следовательно,
0  F (a)  C ,
C   F (a)
и
( x)  F ( x)  F (a).
a
Полагая
здесь
xb,
получаем
(b)  F (b)  F (a) .
b
Последняя формула
 f ( x)dx  F (b)  F (a)  F ( x)
записывается обычно в виде
a
b
a
и называется
формулой Ньютона - Лейбница. Её часто называют основной формулой
интегрального исчисления. Символ
b
пишется из соображений удобства и
a
читается как «подстановка от a до b».
Из формулы Ньютона - Лейбница следует, что для вычисления
определённых интегралов мы можем применять весь набор приёмов и методов
нахождения неопределённых интегралов.
Интегрирование по частям в определённом интеграле
В определённом интеграле сохраняется формула интегрирования по частям в
неопределённом интеграле; в этом случае она приобретает вид
b
b
b
UdV  UV a  VdU .
a
a
Замена переменных в определённом интеграле
Иногда возникает необходимость перейти в интеграле к новой
переменной. Имеет место следующий результат.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 66 из 228
Теорема. Пусть f (x) интегрируема на отрезке [a, b] и  : [ ,  ]  [a, b] дифференцируемое биективное (взаимно однозначное) отображение, такое, что
 ( )  a;  (  )  b . Тогда
b

 f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt
a
Доказательство.
Докажем теорему в предположении, что функция
f ((t ))(t ) интегрируема на отрезке [ ,  ] . Это выполнено, например, когда
функции f (x) и (t ) имеют конечное число точек разрыва первого рода
f ((t ))(t ) также
(кусочно-непрерывны), так как в этом случае функция
кусочно-непрерывна и по следствию из теоремы об интегрируемости
интегрируема. Разобьём отрезок [ ,  ] на части точками t0 , t1 , ... , t n . Этому
разбиению отрезка [ ,  ] соответствуют разбиение отрезка [a, b] точками
xi   (ti ) . Так как (t ) дифференцируема, то по теореме Лагранжа о конечных
приращениях  xi  xi 1  xi  (i )ti , где  i  [ti , ti1 ] - некоторая точка. Положим
 i   ( i )  [ xi , xi1 ] .
Составим интегральную сумму
n 1
 f ( i )xi
i 0

n 1
 f (( i )) ( i )t i .
i 0
b
В левой части этого равенства стоит интегральная сумма для интеграла  f ( x)dx ,
a

а справа - для интеграла  f ((t ))(t )dt . Так как оба интеграла существуют, то,

переходя в этом равенстве к пределу по всевозможным разбиениям, получаем
справедливость утверждения теоремы.
Приложения определённого интеграла
1. Вычисление площадей плоских фигур
Пусть f ( x)  0 для x  [a, b] . Рассмотрим криволинейную трапецию,
y  0 , x  a , x  b , y  f ( x) .
ограниченную
кривыми
Разобьём
отрезок
на
части
точками
[a, b]
a  x0  x1  ...  xn  b
и
выберем
внутри
каждого
элементарного отрезка [ xi , xi 1 ] по точке i  [ xi , xi 1 ] .
Заменим i-ую криволинейную полоску, ограниченную
линиями y  0, x  xi , x  xi 1 , y  f ( x) , на прямоугольник
y  0, x  xi , x  xi 1, y  f (i ).
Площадь
этого
прямоугольника равна f (i )  ( xi 1  xi )  f (i )xi , и если f
- непрерывная функция, то при достаточно малом xi
эта площадь близка площади заменяемой полоски.
Просуммировав по всем i, получим, с одной стороны,
приближённое значение площади криволинейной
трапеции, с другой стороны, интегральную сумму
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
n 1

f ( i )xi
для интеграла
i 0
Ред. № 1 от 29.08.2013
b
 f ( x)dx .
стр. 67 из 228
Переходя к пределу при увеличении числа
a
точек разбиения, получаем площадь
S
исходной криволинейной трапеции:
b
S
 f ( x)dx.
a
Назовём простейшей областью первого типа область, ограниченную
кривыми x  a, x  b, y  f1 ( x), y  f 2 ( x) , где для всех x [a, b] выполнено неравенство
f1 ( x)  f 2 ( x) . Нетрудно видеть, что для простейшей области первого типа
b

S  ( f 2 ( x)  f1 ( x))dx.
a
Аналогично, если 1 ( y)   2 ( y) для всех y [c, d ] , то для простейшей области
второго типа, ограниченной кривыми y  c, y  d , x  1 ( y), x   2 ( y ) , имеем:
d
S   ( 2 ( y)  1 ( y)) dy.
c
В общем случае при вычислении площади плоскую область разбивают на
простейшие области рассмотренных выше типов.
2. Вычисление объёмов: общая формула
Пусть пространственная область  такова, что для x [a, b] известна
площадь S (x) сечения её плоскостью x  const .
Предположим, что функция S (x) непрерывна. Разобьём отрезок [a, b] на
части точками a  x0  x1  ...  xn  b . Заменяя объём частичной области i ,
заключённой между плоскостями x  xi  и x  xi 1, на объём цилиндра S ( i )xi ,
где  i - некоторая точка отрезка [ xi , xi 1 ] , и суммируя по всем i, получаем, с
одной стороны, приближённое значение объёма области  , с другой стороны,
интегральную сумму
n 1
 S ( )x
i 0
i
i
b
для интеграла  S ( x)dx . Переходя к пределу при
a
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 68 из 228
увеличении числа точек разбиения xi , получаем объём исходной области  :
b
V   S ( x)dx.
a
3. Вычисление объёмов тел вращения
Если вращать вокруг оси Ох криволинейную
трапецию a  x  b, 0  y  f ( x) , получим тело,
называемое телом вращения. Сечение такого тела
плоскостью x  const  представляет собой круг с
площадью S ( x)  y 2    f 2 ( x) . Таким образом, для
тел, полученных вращением криволинейной
трапеции a  x  b, 0  y  f ( x)  вокруг оси Ох,
имеем
формулу
объёма:
b
b
a
a
V    y 2 dx    f 2 ( x)dx .
криволинейной
трапеции
d
d
c
c
Аналогично, для тел, полученных вращением
c  y  d , 0  x   ( y) вокруг оси Оу, имеем:
V    x 2 dy     2 ( y)dy .
4. Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть в прямоугольной системе координат Оху на плоскости задана кривая
 x  x(t )
, t  [ ,  ] . Разобьём
 y  y (t )
L уравнениями 
отрезок
[ ,  ]
на
частей точками
  t0 < t1 < ... < tn 1 < tn   . Обозначим M i ту
точку кривой L, в которой t  ti . Образуем
вписанную в кривую L ломаную, вершинами
которой будут точки M 0 , M1 , ..., M n . Обозначим
через ci длину i-го звена ломаной между
n
n 1
точками M i и M i 1 . Тогда p   ci - периметр
i 0
ломаной.
Обозначим
как
обычно ti  ti 1  ti ,
  max ti .
i
Будем
теперь
неограниченно увеличивать число разбиений n так, чтобы   0 , т.е. чтобы
длины ci всех звеньев ломаной стремились к нулю.
Определение. Если при   0 периметр p вписанной в кривую L ломаной
стремится к определённому пределу l, то кривая L называется спрямляемой, а
p называется длиной кривой L .
величина l  lim
 0
Для вывода формулы длины кривой рассмотрим вначале случай явного
задания кривой уравнением y  f (x) , x  [a, b] . В этом случае переменная х
играет роль параметра. Пусть функция f (x) имеет на [a, b] непрерывную
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 69 из 228
производную. Разобьём отрезок [a, b] на части точками a  x0  x1  ...  xn  b и
впишем в кривую L ломаную с вершинами в точках M i ( xi , f ( xi )) , i  0 , ... , n .
n 1
n 1
n 1
i 0
i 0
i 0
Периметр этой ломаной равен p   ci   M i M i 1   ( xi 1  xi ) 2  ( f ( xi 1 )  f ( xi )) 2 .
По
теореме
Лагранжа
f ( xi 1 )  f ( xi )  f (i )  ( xi 1  xi ) , где
(дифференциальное
i  [ xi , xi 1 ] , поэтому
исчисление)
получаем, что
n 1
p   1  ( f ( i )) 2 xi - интегральная сумма для непрерывной на [a, b] функции
i 0
1  ( f ( x)) 2 .
  max xi ,
Обозначая
n 1
имеем:
i
b
lim p  lim  1  ( f (i )) 2 xi   1  ( f ( x)) 2 dx . Таким образом, кривая
 0
 0
i 0
L
является
a
b
спрямляемой , и её длина равна l   1  ( f ( x)) 2 dx или
a
b
l   1  ( y)2 dx .
a
Пусть кривая
x(t ) , y (t )
имеют
задана параметрически:
L
на
отрезке
[, ]
 x  x(t ),

 y  y (t ), t  [, ]
непрерывные
, где функции
производные.
Тогда
2
1  ( y) dx 
2
 dy 
1    dx  ( x(t )) 2  ( y(t )) 2 dt , и поэтому
 dx 

l   ( x(t )) 2  ( y(t )) 2 dt 
формула длины кривой, заданной параметрически.
Если кривая задана в полярной системе координат (  , ) , то
x   ( ) cos  , y   ( ) sin  ,
поэтому
x( )   ( ) cos    sin  , y( )   ( ) sin    cos  , и, подставляя в формулу
вычисления длины кривой, получаем

l   (  ( )) 2  (  ( )) 2 d .

Литература. [1]: ч.1, стр.315-387; [2]: ч.1, стр.380-448
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Лекция
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 70 из 228
10. Дифференциальное исчисление функции многих
переменных.
Предел
и
непрерывность.
Частные
производные. Полное приращение и полный дифференциал.
Производная сложной функции. Производная функции,
заданной неявно. Частные производные высших порядков.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Перенесём основные идеи и методы дифференциального исчисления на
более общий случай – функции нескольких переменных. Читателю
настоятельно рекомендуется сравнивать каждое новое вводимое понятие с уже
известными аналогичными понятиями для функций одной переменной и
отмечать, какие изменения в этих основных понятиях вызываются увеличением
числа переменных.
В этом разделе, как правило, рассматриваются функции двух
переменных. Распространение определений и теорем на функции трёх и более
переменных представляет собой лишь технические трудности.
Основные понятия
Определение. Если каждой паре значений независимых переменных x
и y из некоторой области их изменения D по некоторому закону или правилу
ставится в соответствие одно определённое значение переменной z , то
переменную z называют функцией двух переменных x , y и записывают этот
факт так: z  f ( x, y ) . Множество D называется тогда областью определения, а
переменные x и y - аргументами функции z  f ( x, y ) .
Примеры..
Областью определения функции z  1  x  y является вся
плоскостьOxy. Область определения функции z  1  x 2  y 2 – множество точек
плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют неравенству 1  x 2  y 2  0 ,
или неравенству x 2  y 2  1 , т. е. представляет собой круг с центром в точке O
радиуса 1.
Из рассмотренных примеров видно, что областью определения функции
двух переменных может быть как вся плоскость Oxy, так и любая её часть.
Пара чисел x и y определяет положение точки M ( x , y) на плоскости Oxy,
а также её радиус-вектор r  OM  { x , y} . Поэтому функцию z  f ( x, y ) можно
рассматривать либо как функцию точки z  f (M ) , либо как скалярную функцию
векторного аргумента r и писать z  f (r ) .
Аналогично определяются функции трёх, четырёх и более аргументов.
Геометрическая интерпретация. Линии уровня
Если задана декартова прямоугольная система координат Oxyz в
пространстве, то можно для каждой точки ( x0 , y0 ) из области определения D
отложить соответствующую аппликату z 0  f ( x0 , y0 ) и получить точку
M ( x0 , y 0 , z 0 ) в пространстве. Множество всех таких точек в пространстве
называется графиком функции двух переменных. В общем случае графиком
является поверхность. Сама формула, задающая функцию z  f ( x, y ) , и есть
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 71 из 228
уравнение этой поверхности. Например, графиком функции z  3 y  2 x  8
является плоскость, а графиком функции x 2  y 2  z 2  R 2 – сфера. Однако
построение графиков функции двух переменных в большинстве случаев
представляет значительные трудности. В связи с этим оказывается удобным
геометрически описывать функции двух переменных, не выходя в трёхмерное
пространство. Средством такого описания являются линии уровня функции
z  f ( x, y ) , которые представляют собой множество точек ( x, y ) , для которых
f ( x, y )  C , где C – константа. Придавая C различные значения и строя линию
уровня, получим семейство линий уровня, которые наглядно описывают
функцию f ( x, y ) .
Пример. Построить линии уровня функции z  x 2  y 2 .
Решение.
Пересечём поверхность z  x 2  y 2 плоскостью z  C .
Получим линии уровня x 2  y 2  C , представляющие собой окружности с
центром в начале координат. Отсюда следует, что графиком данной функции
должна быть поверхность вращения вокруг оси Oz . Действительно, из
аналитической геометрии известно, что уравнение z  x 2  y 2 определяет
параболоид вращения с осью Oz .
Предел и непрерывность функции двух переменных
Определение. Окрестностью точки M 0 на плоскости называется
квадрат (круг) с центром в точке M 0 .
Определение. Областью называется множество G точек плоскости,
обладающее следующими двумя свойствами:
1) каждая точка G принадлежит G вместе с некоторой своей окрестностью
(свойство открытости);
2) всякие две точки из G можно соединить ломаной линией, все точки которой
принадлежат G (свойство связности).
Определение. Число A называется пределом функции f ( x, y ) в точке
M 0 ( x0 , y 0 ) , если   0    0 такое, что для тех пар чисел ( x, y ) из области
определения, отличных от ( x0 , y0 ) , которые удовлетворяют неравенствам
x  x0   , y  y0   (т.е. принадлежат квадратной окрестности точки M 0 ),
f ( x, y )  A .
выполняется неравенство f ( x, y)  A   . Обозначают это так: xlim
x
0
y  y0
Замечание.
Квадратная окрестность точки M 0 в определении легко
может быть заменена на круглую: ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2 <  2 .
Все положения теории пределов функции одной переменной легко переносятся
без существенных изменений на функции нескольких переменных.
Определение. Пусть z  f ( x, y ) определена в точке M 0 ( x0 , y0 ) и в
f ( x, y )  f ( x0 , y 0 ) , то функция f ( x, y )
некоторой её окрестности. Если xlim
x
0
y  y0
называется
непрерывной
в
точке
M0
(по
совокупности
аргументов).
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 72 из 228
Подчеркнём, что предел не зависит от того, каким образом точка M ( x, y )
стремится к точке M 0 .
Обозначим x  x0  x, y  y 0  y - приращения аргументов при переходе от
точки M 0 к точке M . Полным приращением функции z  f ( x, y)  f ( M ) в точке
M 0 ( x0 , y 0 ) , соответствующим приращениям аргументов x и  y , называется
разность
т.
е.
z ( M )  f (M )  f (M 0 ) ,
z ( x0 , y0 )  f ( x, y)  f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 ) .
Для непрерывной функции z  0 при x  0, y  0 .
Очевидно, что из непрерывности функции z  f ( x, y ) в точке M 0 по
совокупности аргументов следует непрерывность функции z  f ( x, y ) по
каждому аргументу в отдельности, т.е. непрерывность функций одной
переменной z  f ( x, y0 ) при x  x 0 и z  f ( x0 , y) при y  y 0 . Обратное
утверждение, вообще говоря, неверно.
Функция называется непрерывной в области G, если она непрерывна в
каждой точке области.
Если в какой-либо точке плоскости для z  f ( x, y ) нарушается условие
lim f ( x, y )  f ( x0 , y 0 ) , то функция имеет разрыв в этой точке.
x x
0
y  y0
Частные производные
Пусть функция z  f ( x, y ) определена в некоторой области G. Возьмём
точку M 0 ( x0 , y0 ) из области G и придадим x0 приращение x так, чтобы точка
( x0  x, y0 ) оставалась бы в области G. Величина  x z  f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )
называется частным приращением функции z в точке M 0 по аргументу x ; она
является функцией одного аргумента x . Аналогично определяется частное
z
y:
M0
приращение
функции
в
точке
по
аргументу
 y z  f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 ) , являющееся функцией одного аргумента  y .
Определение. Если при x  0 существует конечный предел
xz
, то он называется частной производной функции z  f ( x, y ) по
x
M 0 ( x0 , y 0 )
переменной
x
в
точке
и
обозначается
отношения
 z
f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )
z
.
 lim x  lim
x x0 x x0
x
производная функции z  f ( x, y ) по
yz
f ( x0 , y0  y)  f ( x0 , y0 )
z
.
 lim
 lim
y y 0 y y0
y
Используются
zx ,
f ( x0 , y0 )
,
x
и
f x( x0 , y0 ) .
другие
Аналогично
определяется
переменной y в точке
обозначения
частных
частная
M 0 ( x0 , y 0 ) :
производных:
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
Символы с «круглым  »
стр. 73 из 228
z z
,
были введены немецким математиком
x y
К.Якоби. Как дроби их трактовать нельзя, в отличие от случая одной
переменной.
Из определения следует, что частная производная функции нескольких
переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке может быть
найдена как обычная производная по этой переменной, при условии, что другие
переменные считаются фиксированными (постоянными). Следовательно,
правила вычисления частных производных остаются теми же, что и для
функций одной переменной.
Дифференцируемость функции. Полный дифференциал
Ранее полным приращением функции z  f ( x, y ) в точке ( x0 , y 0 ) мы
назвали разность z  f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 ) .
Определение. Если полное приращение z функции z  f ( x, y ) в точке
( x 0 , y 0 ) можно представить в виде
z  A  x  B  y   (x, y )  x   (x, y )  y ,
(1)
где A и B не зависят от x и y , а  (x, y ) и  (x, y ) стремятся к нулю при
x  0 и y  0 , то функция z  f ( x, y ) называется дифференцируемой в точке
x0 , y 0  , а линейная часть Ax  By полного приращения функции (т.е. та часть
z , которая зависит от x и  y линейно) называется полным дифференциалом
(или просто дифференциалом) этой функции в точке ( x0 , y 0 ) и обозначается
символом dz :
dz  Ax  By .
(2)
Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в ней, так
как z  0 при x  0 и y  0 .
Из дифференцируемости функции в точке также следует существование
её частных производных в этой точке. Действительно, полагая в (1) y  0 ,
имеем:  x z  Ax   (x,0)x - частное приращение по x . Деля на x  0 и
переходя к пределу при x  0 , получаем lim
x 0
x z
 lim ( A   (x, 0))  A , то есть
x x0
z
 A . Аналогично, z  B . Тогда выражение (2) можно переписать в виде
y
x
z
z
dz 
x 
y .
x
y
Полагают обычно
записывается так:
x  dx, y  dy,
dz 
и
z
z
dx  dy .
x
y
тогда
полный
дифференциал
(3)
Обращаем внимание на то, что одного только существования частных
производных в точке недостаточно для дифференцируемости функции в этой
точке. Надо еще потребовать выполнения дополнительного условия – эти
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 74 из 228
производные должны быть непрерывны в этой точке (сравните с функцией
одного переменного).
Дифференциал функции двух переменных обладает свойством
инвариантности формы, как и дифференциал функции одной переменной.
Производные сложной функции
При построении сложных функций нескольких переменных в качестве
составляющих функций можно брать функции с различным числом
независимых переменных. Запись в одной формуле всех возможных случаев
громоздка. Поэтому ограничимся рассмотрением нескольких основных
случаев.
I. Пусть z  f ( x, y ) , где x  x(t ) , y  y (t ) . Тогда в конечном итоге z будет
функцией одной переменной t : z  f [ x(t ), y(t )]  F (t ) . Если существуют
непрерывные частные производные
существует
z
x
и
dy
dx
z
и существуют
и
, то
dt
y
dt
dz
, которая вычисляется по формуле:
dt
dz z dx z dy



 .
dt x dt y dt
(1)
Обращайте внимание на то, когда пишется «круглое  » и когда «прямое
d » в обозначениях производных!
В частности, если роль независимой переменной играет x , т.е. y  y (x) , то
z  f ( x, y )  f ( x, y ( x))  F ( x) , и по формуле (1) получим:
dz z z dy


 .
(2)
dx x y dx
z
Здесь соседствуют рядом
– частная производная по x функции двух
x
dz
аргументов z  f ( x, y ) , и
– обычная производная функции z  f [ x, y ( x)]  F ( x)
dx
dz
одной переменной. Производную
в формуле (2) называют полной
dx
производной или материальной производной (в физике).
II. Пусть теперь z  f (t ) , где t  t ( x, y ) и существуют
dz t t
, , , тогда z
dt x y
через посредство t зависит от двух переменных x и y , т.е. z  f [t ( x, y)] и можно
говорить о частных производных
находятся по формулам:
z
x
и
z
y
сложной функции, которые
z dz t z dz t

 ,


x dt x y dt y
(обратите внимание на обозначения производных).
III. Пусть z  f x, y  и x  x( s, t ) , y  y ( s, t ) , тогда z является сложной
функцией от s и t : z  f [ x( s, t ), y ( s, t )] . Если существуют непрерывные частные
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 75 из 228
x y x y
z
z
,
,
,
и
и существуют
, то существуют частные
y
x
s s t t
z
z
производные
и
сложной функции, которые вычисляются по формулам:
s
t
z z x z y
z z x z y



 ;




.
(3)
s x s y s
t x t y t
производные
Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные функции нескольких переменных сами являются
функциями этих переменных и могут иметь частные производные, которые для
исходной функции будут частными производными второго порядка. Так, для
функции z  f ( x, y ) можно определить четыре частные производные второго
порядка, которые обозначаются символами
 2 z   z 
2z
  z 


,
z

  ,



xy
2
xy y  x 
x
x  x 
 2 z   z 
2z
  z 
z yx 
   , zyy  zy2  2    .
yx x  y 
y
y  y 
zxx  zx2 
z xy
z yx ,
Частные производные
и
отличающиеся порядком
дифференцирования, называются смешанными частными производными
второго порядка.
Пример 1.
Найти частные производные второго порядка
x2 y
функции z  e .
z x  e x  2 y , z y  2e x2 y . Тогда zxx  e x  2 y , z xy  2e x2 y ,
Решение.
z yx  2e x2 y , zyy  4e x  2 y .
Пример 2.
Найти частные производные второго порядка
3 2
y
функции z  x y  2 x  ln y  x .
Решение. z x  3x 2 y 2  2 ln y  y  x y 1 ; z y  2 x 3 y 
z x2  z xx  6 xy2  y( y  1) x y 2 ;
z xy  6 x 2 y 
2
 x y 1  y  x y 1  ln x ;
y
z yy  2 x 3 
2x
 x y ln x . Тогда
y
2x
 x y ln 2 x ;
y2
z yx  6 x 2 y 
2
xy
 yx y 1  ln x 
.
y
x
Можно определить производные ещё более высоких порядков. Так, для
функции z  f ( x, y ) можно написать восемь частных производных третьего
 , z xxy
 , z xyx
 , z xyy
 , z yxx
 , z yxy
 , z yyx
 , z yyy
 .
порядка: z xxx
Аналогично определяются частные производные высших порядков для
функции с любым числом независимых переменных.
В примерах 1 и 2 смешанные частные производные совпали, то есть



z xy  z yx , однако это не всегда так. Существуют различные условия, достаточные
для того, чтобы величина смешанных частных производных не зависела от
порядка дифференцирования. Приведем наиболее простое и часто
употребляемое условие.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 76 из 228
Теорема (о равенстве смешанных производных). Если частные
производные функции f (M ) до k -го порядка включительно непрерывны, то её
смешанные производные до k -го порядка не зависят от порядка
дифференцирования.
В рассмотренных выше примерах условия теоремы были выполнены, поэтому
смешанные частные производные совпали.
Пусть x и y – независимые переменные. Дифференциалом второго
порядка от функции z  f ( x, y ) называется дифференциал от её полного
d 3 z  d (d 2 z ), ... , d n z  d (d n 1 z ) .
дифференциала:
Аналогично
d 2 z  d (dz ) .
Дифференциалы высших порядков вычисляются в предположении, что dx и dy
остаются постоянными. Если z  f ( x, y ) удовлетворяет условиям теоремы, т.е.
z xy  z yx , то формулу для вычисления d 2 z можно записать в виде:
2z 2
2z
2z 2
d z  2 dx  2
dxdy  2 dy .
xy
x
y
2
(1)
Это выражение напоминает формулу для квадрата суммы двух
слагаемых. Выражение для d 3 z напоминает формулу куба суммы двух
слагаемых и имеет вид:
d 3z 
3z 3
3z
3z
3z 3
2
2
dx

3
dx
dy

3
dxdy

dy .
x 3
x 2 y
xy 2
y 3
(2)
Эта аналогия в формулах может быть продолжена и дальше:
n



d z   dx 
dy   z .
y 
 x
n
Нужно знать, что для сложных функций дифференциалы высших
порядков, начиная со второго, свойством инвариантности формы не обладают и
выражения для них более громоздкие, чем формулы (1) и (2). Например, для
функции z  f ( x, y ) , где x  x( s, t ) , y  y ( s, t ) , второй дифференциал находится по
формуле:
d 2z 
2z 2
2z
 2 z 2 z 2
z
dx

2
dxdy

dy  d x  dy 2 .
2
2
xy
x
y
x
y
Литература. [1]: ч.1, стр.457-484,492-500; [2]: ч.1, стр.243-257, 268-272
Лекция 11. Производная по направлению. Градиент. Уравнения
касательной плоскости и нормали к поверхности.
Экстремум функции двух переменных.
Определение производной по направлению
f
f
Частные производные
и
представляют собой производные от
x
y
функции z  f  x, y  по двум частным направлениям осей Ох и Оу.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 77 из 228
Пусть z  f  x, y  — дифференцируемая функция в некоторой области
D , M 0  x 0 , y 0   D . Пусть l — некоторое направление (вектор с началом в
точке Мо), а e  cos  , sin  
— орт этого направления. Пусть
M  x 0  x, y 0  y 
—
точка в направлении l от Мо. Обозначим
y
x
  x 2  y 2 . Тогда
 cos ,
 sin  .


Определение. Предел отношения
l f
f  x 0  x, y 0  y   f  x 0 , y 0  f
x0 , y 0 
 lim

lim

l
 0 
 0
называется производной функции f по направлению l .
Существование этого предела и выражение его через
f f
,
, cos ,
x y
sin  вытекает из следующего соотношения:
l f
f x 0   cos , y 0   sin    f x 0 , y 0   sin  

cos 

 cos
f  x 0 , y 0   sin    f  x 0 , y 0 
f
f

sin   cos 
sin  ,   0
 sin 
x
y
Таким образом,
f f
f
 cos  sin  .
y
 l x
Теорема. Производная по направлению, касательному к линии уровня
поверхности z  f  x, y  , равна нулю.
Случай нескольких переменных
По аналогии со случаем функции двух переменных можно определить
производную по направлению для функции трех переменных и  f  x, y, z  .
Окончательная формула такова:
f
f
u f
 cos 
cos  
cos  ,
y
z
 l x
где e  cos  , cos  , cos   — орт направления l или cos , cos  , cos  —
направляющие косинусы направления l .
Теорема. Производная по направлению, касательному к поверхности
уровня функции и  f  x, y, z  , равна нулю.
Градиент
Градиентом функции z  f  x, y  (скалярного поля) называется вектор с
координатами
 f f 
f f
 .
,
. Обозначение grad z   ,

x

y
x y


УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
Теорема. Имеет место равенство
стр. 78 из 228
f
 gradz  e , т.е. производная по
l
направлению l равна скалярному произведению векторов градиента и орта
направления l .
Следствие. Вектор grad z в каждой точке направлен по нормали к линии
уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции. При
этом
2
 f 
f
 f 
max
 gradz      
l   l
 x 
 y 
2
Теорема. Скорость изменения функции f по некоторому направлению l
равна проекции вектора градиента на это направление, т.е.
f
 пр l grad f .
l
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Формула Тейлора для функций двух переменных
Пусть z  f  x, y  — функция, непрерывная вместе со всеми частными
производными до (п + 1)-го порядка включительно в некоторой окрестности
точки M 0  x 0 , y 0  Тогда для любой
точки M  x 0  x, y 0  y  этой
окрестности имеет место равенство
1
f  x 0  x, y 0  y   f x 0 , y 0   df x 0 , y 0   d 2 f  x 0 , y 0   
2!
1
1
  d n f x0 , y 0  
d n 1 f x 0  x, y 0  y  , 0    1,
n  1!
n!
которая называется формулой Тейлора, а первые (п +1) слагаемых в правой
части — многочленом Тейлора степени п. При  x 0 , y 0   0, 0 имеем формулу
и многочлен Маклорена.
Определение экстремума функции двух переменных в точке
Рассмотрим функцию z  f  x, y  двух переменных, определенную в
некоторой области D.
Определение. Функция f  x, y  имеет строгий локальный максимум
(минимум) в точке M 0  x 0 , y 0  , если неравенство f  x 0 , y 0   f  x, y 
( f  x 0 , y 0   f  x, y  ) имеет место во всех точках M  x, y   M 0 из некоторой
достаточно малой окрестности точки Мо.
Вопрос определения экстремумов (максимумов или минимумов) в
некоторых случаях решается просто, если f  x, y  дифференцируемая функция
в окрестности точек экстремума.
f  x, y 
Теорема (необходимые условия экстремума). Если
дифференцируема в точке  x 0 , y 0  и имеет экстремум в этой точке, то ее
дифференциал равен нулю:
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 79 из 228
 f x|  x 0 , y 0   0,
df  x 0 , y 0   0   |
 f y  x 0 , y 0   0.
Определение. Точка  x 0 , y 0  называется стационарной точкой функции
f  x, y  , если df  x 0 , y 0   0 .
Пусть  x 0 , y 0  — стационарная точка функции f  x, y  . Обозначим
 2 f x0 , y 0 
 2 f x0 , y 0 
A
, B
,C
.
xy
x 2
y 2
Теорема (достаточные условия экстремума).
1. Если АС  В 2  0 и A  0 , то  x 0 , y 0  — точка максимума.
 2 f x0 , y 0 
2. Если АС  В 2  0 и A  0 , то  x 0 , y 0  — точка минимума.
3. Если АС  В 2  0 , то  x 0 , y 0  не является точкой экстремума.
4. Если АС  В 2  0 , то точка M 0  x 0 , y 0  может как быть, так и не быть
точкой экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование.
Экстремум функции в области
Речь идет о нахождении наибольшего и (или) наименьшего значения
данной функции z  f  x, y  в замкнутой области D. Для этого следует найти
сначала все локальные экстремумы внутри области D, а затем также
наибольшее и наименьшее значения на ее границе D . В результате
сравниваем полученные величины, и задача завершена.
Добавим, что как правило, граница D состоит из совокупности
отдельных участков, на каждом из которых задача сводится к исследованию на
экстремум функции одной переменной z   i t  , где i — номер участка, a t —
независимая переменная на этом участке, которая может совпасть с х или у или
быть отдельным параметром.
Условный экстремум
Под условным экстремумом имеется в виду поиск экстремума некоторой
функции z  f  x, y  при условии, что  x, y  удовлетворяют еще некоторым
условиям, например, уравнению   x, y   0 .
Такая задача сводится к задаче на обычный экстремум для новой
функции
F  x, y,    f  x, y     x, y  ,
которая называется функцией Лагранжа, а  — множитель Лагранжа. Заметим,
что F  x, y,   — функция трех переменных, а для таких функций или функций
большего числа переменных достаточные условия формулируются в терминах
знакоопределенности квадратичной формы, совпадающей со вторым
дифференциалом рассматриваемой функции в испытуемой точке.
Теорема о достаточных условиях экстремума является частным случаем,
выражающем знакоопределенность квадратичной формы с двумя переменными
dx и dy.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 80 из 228
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов является непосредственным результатом
применения исследования на экстремум функции нескольких переменных и
заключается в следующем. На плоскости Оху имеется система из п точек
 х1 , у1  , х 2 , у 2  , …, х п , у п . Требуется подобрать некоторую функцию
у  f  x  , которая «сглаживала» бы все точки этой системы, т.е. величина

2
n
 f     f  x i   y i 2
i 1
была бы минимальной;  f  xi   yi  — квадрат отклонения ординаты функции
f в точке x i от ординаты данной точки.
В случае, если f  x   ax  b , речь идет о поиске прямой, квадратическое
отклонение которой (рис. 1)
2
n
 2 a, b    axi  b  y i 2
i 1
от данной системы точек было бы минимальным.
Рис. 1
Существование минимума такой функции очевидно, поэтому
соответствующие коэффициенты а и b прямой можно найти, используя только
необходимые условия экстремума для функции двух переменных а и b:
n
 2
 а  а, b   2 axi  b  y i x i  0,

i 1

n
   2 а, b   2 ax  b  y   0,
 i
i
 b
i 1
которые сводятся к линейной системе
 A1 a  B1b  C1 ,

 A2 a  B 2 b  C 2 ,
n
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
где A1   xi2 , B1   xi , C1   x i y i , A2  B1   xi , B 2  n , C 2   y i .
Литература. [1]: ч.1, стр.500-523; [2]: ч.1, стр.247-293
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 81 из 228
Лекция 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы..
Определение и геометрический смысл двойного интеграла
Пусть D – некоторая замкнутая область в плоскости Оху, на которой
определена непрерывная функция двух переменных z  f  x, y  .
Разобьем
область D на п «элементарных областей» D i ( i  1, n ), площади которых
обозначим соответственно через S i . Теперь в каждой области D i выберем
произвольную точку M i  x i , y i  рис. 1), после чего составим сумму
n
 п   f x i , y i S i ,
i 1
которая называется интегральной суммой для функции f  x, y  в области D.
Рис. 1
Обозначим через d наибольший из диаметров областей D i . Тогда
стремление d к нулю будет означать измельчение разбиения области D на
«элементарные области» D i (и, как следствие, стремление п к  ).
Если существует конечный предел интегральных сумм  п при d  0 не
зависящий от разбиения на области D i и выбора точек M i , то этот предел
называется двойным интегралом функции f  x, y  по области D и обозначается
 f x, y dS
D
или
 f x, y dxdy .
D
В этом случае говорят, что функция f  x, y  интегрируема на области D.
При этом функция f  x, y  называется подынтегральной функцией, а область D
называют областью интегрирования.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 82 из 228
Если функция f  x, y  непрерывна в области D, то она интегрируема.
f  x, y   0 и
Теорема.
Если
непрерывна в области D, то интеграл
 f x, y dS
D
выражает объем тела, ограниченного
снизу
областью
D,
сверху
—
поверхностью z  f  x, y  , а с боков —
цилиндрической
поверхностью,
образующие которой параллельны оси
Oz, а направляющей служит граница
области D (рис. 2).
В
этом
заключается
геометрический
смысл
двойного
интеграла.
В частности, если f  x, y   1 , то
 f x, y dS равен площади области D:
Рис. 2
D
S D    dS   dxdy .
D
D
Свойства двойного интеграла.
Свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам
определенного интеграла.
1. Линейность. Если функции f  x, y  и g  x, y  непрерывны в области
D, то
   f x, y     g x, y dxdy    f x, y dxdy    g x, y dxdy
D
D
(  и  — постоянные числа).
В частности,
   f x, y dxdy    f x, y dxdy ,
D
D
D
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла.
2. Монотонность. Если функции f  x, y  и g  x, y  непрерывны в
области D и всюду в этой области f  x, y   g  x, y  , то
 f x, y dxdy   g x, y dxdy .
D
D
Таким образом, неравенства можно почленно интегрировать.
В частности, если m  f  x, y   M , то
m  S   f  x, y dxdy  M  S ,
D
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 83 из 228
где S  S D  — площадь области D. Данные неравенства называются оценкой
интеграла.
Еще одно следствие: если f  x, y   0 в области D, то
 f x, y dxdy  0
D
3. Теорема о среднем значении.
Теорема. Если функция f  x, y  непрерывна на области D, то существует
точка M 0  x 0 , y 0   D такая, что
 f x, y dxdy  f x0 ,
y0   S ,
D
или
1
f  x, y dxdy  f  x 0 , y 0  .
S 
D
При этом значение f  x0 , y0  , т.е. число
1
f  x, y dxdy ,
S 
D
называется интегральным средним значением функции f  x, y  в области D.
4. Аддитивность. Если область D представляется в виде объединения
двух областей D1 и D 2 без общих внутренних точек, то
 f x, y dxdy   f x, y dxdy   f x, y dxdy
D
D1
D2
5. Для любой функции f  x, y  , непрерывной в области, D имеет место
неравенство
 f x, y dxdy   f x, y dxdy .
D
D
Вычисление двойного интеграла
Предположим, что область D
можно задать в виде системы
неравенств:
 a  x  b,

 y1  x   y  x   y 2  x .
Геометрически это означает, что
каждая вертикальная прямая x  x 0
( a  x0  b )
пересекает
границу
области D только в двух точках M 1 и
M 2 (см. рис. 3), которые называются
Рис. 3
соответственно точкой входа и точкой
выхода.
Тогда
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
b
y2  x 
a
y1  x 
стр. 84 из 228
 f x, y dxdy   dx  f x, y dy .
D
Если же область D (рис. 4) можно задать в виде системы неравенств:
с  у  d ,

 x1  y   x  x 2  y ,
x2  y 
c
x1  y 
 f x, y dxdy   dy  f x, y dx .
то
D
Рис. 4
d
Интегралы, стоящие в правых частях
приведенных
равенств,
называются
повторными (или двукратными). Они
отличаются друг от друга порядком
интегрирования. Интеграл, содержащий
функцию f  x, y  , называется внутренним,
другой — внешним. При вычислении
повторных интегралов следует брать
сначала внутренний интеграл, при этом
переменная, не стоящая под знаком
дифференциала,
принимается
постоянной.
Затем вычисляется внешний интеграл (таким
образом,
интегрирование
в
повторном
интеграле идет справа налево). Каждый из них
вычисляется при помощи формулы НьютонаЛейбница, как определенный интеграл.
Области, не представимые в описанном
выше виде, следует разбить на конечное число
таких областей при помощи прямых,
параллельных координатным осям (см. рис. 5).
При вычислении двойных интегралов по таким
областям
следует
применить
свойство
аддитивности (свойство 4).
Рис. 5
Рассмотрим
Замена переменных в двойном интеграле.
двойной интеграл  f  x, y dxdy в
D
прямоугольных
координатах  х, у  . Предположим, что переменные х и у являются функциями
двух переменных и и v, т. е. х  хu , v  , y  y u, v  , и эти функции непрерывны
вместе со своими частными производными первого порядка по и и v в
некоторой замкнутой области G плоскости Ouv. Предположим также, что эти
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 85 из 228
функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область G на область
D. Тогда имеет место равенство
 f x, y dxdy   f xu, v , yu, v   J u, v dudv ,
D
G
где
x x
J  J u, v   u v
y y
u v
называется якобианом преобразования G в D (предполагается, что определитель
J, названный в честь немецкого математика Якоби, всюду в G отличен от нуля).
Геометрически J u, v  dudv | выражает элемент площади в области G, а
J u, v  — коэффициент изменения элемента площади G при преобразовании в
элемент площади D.
Координаты u, v  называются криволинейными координатами точки
x, y  , поскольку уравнения хu, v   const и yu, v   const представляют
некоторые линии, вообще говоря, кривые, в области G.
Интеграл
 f xu, v , yu, v   J u, v dudv
G
называется двойным интегралом в криволинейных координатах.
Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат
являются полярные координаты r ,   . Они связаны с прямоугольными
координатами формулами:
x  r cos , y  r sin  ( r  0 , 0    2 ).
Якобиан преобразования в этом случае равен
x x
cos  r sin 
r 
J r ,   

 r cos2   r sin 2   r ,
y y
sin  r cos
r 
a dxdy  rdrd — элемент площади в полярных координатах.
При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле
при переходе к полярным координатам
 f x, y dxdy   f r cos , r sin  rdrd .
D
G
К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях,
когда область интегрирования круг или часть круга. Расстановка пределов и
вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах выполняется
аналогично случаю прямоугольных координат.
Применения двойных интегралов.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 86 из 228
Двойные интегралы используются при решении многих геометрических и
физических задач: вычислении площадей плоских фигур и поверхностей,
объемов тел, координат центра тяжести, момента инерции и т.д.
Вычисление геометрических величин
1. Если D — ограниченная область плоскости Оху, то ее площадь S
вычисляется по формуле:
S  S D    dxdy .
D
2. Пусть z  f  x, y  — неотрицательная, непрерывная функция в
замкнутой области D. Если V — тело, ограниченное сверху поверхностью
z  f  x, y  , снизу — областью D, а сбоку — соответствующей цилиндрической
поверхностью с образующей параллельной оси Oz и направляющей,
совпадающей с границей области D, то объем этого тела равен:
V   f  x, y dxdy .
D
3. Пусть V — тело, ограниченное сверху поверхностью z  f  x, y  , снизу
— поверхностью z  g  x, y  , причем проекцией обеих поверхностей на
плоскость Оху служит область D, в которой функции f  x, y  и g  x, y 
непрерывны (и f  x, y   g  x, y  ), то объем этого тела равен
V    f  x, y   g  x, y dxdy .
D
4. Пусть поверхность задана уравнением z  f  x, y  ,  x, y   D , где
функция f  x, y  , а также ее частные производные первого порядка,
непрерывны в области D. Тогда ее площадь S вычисляется по формуле:
S   1  f x| x, y   f y|  x, y dxdy .
2
2
D
Приняты также обозначения: f x|  x, y   p , f y| x, y   q . В таком случае,
S   1  p 2  q 2 dxdy .
D
Вычисление физических и механических величин
Предположим, что плоская пластина D имеет поверхностную плотность
распределения масс   x, y  непрерывную в D. Тогда масса m  mD  этой
пластины вычисляется по формуле
m     x, y dxdy
D
(физический смысл двойного интеграла).
Моменты инерции J x , J y и J 0 плоской материальной пластины D с
поверхностной плотностью   x, y  относительно координатных осей Ох, Оу и
начали координат О(0,0) соответственно вычисляются по формулам:
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 87 из 228
J х   y 2   x, y dxdy ,
D
J y   x 2   x, y dxdy ,
D


J 0  J х  J y   x 2  y 2   x, y dxdy .
D
В случае однородной пластины (   1 ) эти формулы принимают боле
простой вид:
J х   y 2 dxdy ,
D
J y   x 2 dxdy ,
D


J 0  J х  J y   x 2  y 2 d xdy .
D
Координаты центра тяжести материальной пластины D с плотностью
  x, y  вычисляются по формулам:
My
,
xc 
m
M
yc  x ,
m
где
M y   x  x, y dxdy ,
D
M х   y  x, y dxdy
D
статические моменты пластины D относительно осей Ох и Оу соответственно, а
т – ее масса. В случае однородной пластины соответственно имеем:
 xdxdy
xc 
D
 d xdy
,
D
yc 
 ydxdy
D
 d xdy
.
D
Определение тройного интеграла
Определение тройного интеграла аналогично определению двойного
интеграла. Пусть в пространственной области V  R 3 определена и непрерывна
функция трех переменных u  f  x, y, z  . Разбиение области V на п произвольных областей V1 , V 2 , ..., V n с объемами v1 , v 2 , …, v n и выбор в
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 88 из 228
каждой области Vi произвольной точки M i позволяют строить интегральную
сумму вида
n
m n   f M i v i .
i 1
Тогда существует предел интегральных сумм m n при условии стремления к
нулю наибольшего из диаметров областей Vi . Этот предел, не зависящий от
способа разбиения области V на области Vi и выбора точек M i , называется
тройным интегралом и обозначается символом
 f M dv
V
и
 f x,
y, z dxdydz .
V
Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам
двойного интеграла (линейность, аддитивность, оценка интеграла, свойство
среднего).
Вычисление тройного интеграла
Предположим, что функция трех
переменных f  x, y, z  определена и
непрерывна
в
пространственной
области V, которая ограничена сверху
поверхностью z  z 2  x, y  , а снизу —
поверхностью z  z1  x, y  , где функции
z1  x, y  и z 2  x, y  определены и
непрерывны в области D  Oxy (рис. 1).
Тогда вычисление тройного интеграла
сводится к последовательному (справа
налево)
вычислению определенного
интеграла по переменной z (переменные
х и у считаются при этом константами)
и двойного интеграла от того, что
Рис. 1
получится, по области D.
 z2  x, y 


.




f
x
,
y
,
z
dxdydz

dxdy
f
x
,
y
,
z
dz

  

V
D
 z1  x , y 

В частности, если область V представляет собой прямоугольный
параллелепипед, определяемый неравенствами a  x  b , c  y  d , m  z  n ,
то тройной интеграл сводится к трем определенным интегралам:

V
b
d
n
a
c
m
f  x, y, z dxdydz   dx dy  f  x, y, z dz .
Естественно, можно выбирать другой порядок интегрирования.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 89 из 228
Замена переменных в тройном интеграле
1. Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты r ,  , z (рис. 2)
представляют собой обобщение полярных координат
на плоскости и связаны с прямоугольными
координатами х, у, z формулами
x  r cos , y  r sin  , z  z .
Переход
к
тройному
интегралу
в
цилиндрических координатах осуществляется по
формуле:
 f x, y, z dxdydz   f r cos , r sin  , z rdrddz .
V
Рис. 2
В частности, если положить в этом равенстве
f  x, y, z   1 , то получим формулу для объема тела в
цилиндрических координатах
V   rdrd dz .

V
2. Сферические координаты
Сферические координаты r ,  ,  связаны
с прямоугольными координатами х, у, z при
помощи формул (рис. 3)
 x  r sin  cos ,

 y  r sin  sin  ,
 x  r cos .

В общем случае переменные r ,  , 
изменяются в пределах r  0,   ,   0,   ,
  0, 2  . Формула перехода к сферическим
координатам имеет вид
f  x, y, z dxdydz   f r sin  cos , r sin  sin  , r cos  r 2 sin drdd .
V
Положив f  x, y, z   1 , получим формулу для объема тела в сферических
координатах:
2
dxdydz  r sin drdd .
V
V
Приложения тройного интеграла
1. Объем v тела V находится по формуле:
v  dxdydz .
V
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 90 из 228
2. Масса т тела V с данной плотностью   x, y, z  ,, где функция
  x, y, z  непрерывна, вычисляется по формуле
v     x, y, z dxdydz .
V
3. Статические моменты M xy , M xz , M yz тела V относительно
координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz соответственно равны
M xy   z  x, y, z dxdydz ,
V
M xz   y  x, y, z dxdydz ,
V
M yz   x  x, y, z dxdydz ,
V
где   x, y, z  — плотность тела V.
4. Координаты центра тяжести тела V с массой т определяются по
формулам
M yz
,
xc 
m
M
y c  xz ,
m
M xy
,
zc 
m
или, более подробно:
1
x c   x  x, y, z dxdydz ,
m V
1
y c   y  x, y, z dxdydz ,
m V
1
z c   z  x, y, z dxdydz .
m V
В частности, если    0 (тело однородно), эти формулы упрощаются:
1
x c   xdxdydz ,
v V
1
y c   ydxdydz ,
v V
1
z c   dxdydz ,
v V
где v – объем тела V.
5. Моменты инерции тела V с плотностью   x, y, z  относительно
координатных плоскостей вычисляются по формулам
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 91 из 228
J xy   z 2   x, y, z dv ,
V
J xz   y 2   x, y, z dv ,
V
M yz   x 2   x, y, z dv .
V
Моменты инерции J x , J y и J z тела V относительно координатных осей

  x
  x

 z   x, y, z dv ,
 y   x, y, z dv .
J x   y 2  z 2   x, y, z dv ,
V
My
2
V
2
Jz
2
2
V
Определение криволинейного интеграла первого рода
Пусть в каждой точке гладкой кривой L  AB в плоскости Оху задана
непрерывная функция двух переменных f  x, y  . Произвольно разобьем
кривую L на п частей точками A  M 0 , M 1 , M 2 , …, M n  B . Затем на каждой


из полученных частей M i 1 M i выберем любую точку M i x i , y i
сумму
n

 и составим

S n   f x i , y i l i ,
i 1

где l i  M i 1 M i — длина дуги M i 1 M i . Полученная сумма называется
интегральной суммой первого рода для функции f  x, y  , заданной на кривой L.

Обозначим через d наибольшую из длин дуг M i 1 M i (таким образом,
d  max l i )- Если при d  0 существует предел интегральных сумм Sn (не
i
зависящий от способа разбиения кривой L на части и выбора точек M i ), то
предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции
f  x, y  по кривой L и обозначается
 f x, y dl
L
или
 f x, y dl .
AB
Можно доказать,
криволинейный интеграл
что
если
 f x, y dl
L
существует.
функция
f  x, y 
непрерывна,
то
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 92 из 228
Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами,
аналогичными соответствующим свойствам определенного интеграла
(аддитивность, линейность, оценка модуля, теорема о среднем). Однако есть
отличие:
 f x, y dl   f x, y dl ,
AB
BА
то есть криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления
интегрирования.
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:
1. Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией
у  у  х  , х  а, b , то


b

f  x, y dl   f  x, y  x  1  y |  x  dx ,
L

a
2

при этом выражение dl  1  y |  x  dx называется дифференциалом длины
дуги.
2. Если кривая L задана параметрически, т. е. в виде x  xt  , y  y t  , где
xt  , y t  — непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке
 ,  , то
2

2
2
|
|
 f x, y dl   f xt , yt  x t   y t  dt .

L
Это равенство распространяется на случай пространственной кривой
заданной параметрически: x  xt  , y  y t  , z  z t , t   ,  . В этом случае,
если f  x, y, z  — непрерывная функция вдоль кривой L, то



 
  
f x, y, z dl   f xt , yt , z t  x | t   y | t   z | t  dt .
2
2
2

L
3. Если плоская кривая L задана полярным уравнением r  r  ,
   ,  , то

 f x, y dl   f r cos , r sin  
L
2
r 2  r | d .

Приложения криволинейного интеграла первого рода
1. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный
интеграл dl равен длине S кривой L, т.е.
L
dl  S .
L
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 93 из 228
2. Пусть в плоскости Оху задана гладкая кривая L, на которой определена
и непрерывна функция двух переменных z  f  x, y   0 . Тогда можно
построить цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующей,
параллельной оси Oz и заключенной между L и поверхностью z  f  x, y  .
Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле:
S   f  x, y dl .
L
3. Если L  AB – материальная кривая с плотностью, равной     x, y  ,
то масса этой кривой вычисляется по формуле:
m     x, y dl .
AB
(физический смысл криволинейного интеграла первого рода).
4. Статические моменты материальной кривой L
координатных осей Ох и Оу соответственно равны
M x   y  x, y dl ,
относительно
L
M y   x  x, y dl ,
L
где   x, y  – плотность распределения кривой L, a x c 
My
m
, yc 
Mx
–
m
координаты центра тяжести (центра масс) кривой L.
5. Интегралы
J x   y 2   x, y dl ,
L
J y   x 2   x, y dl ,

L
2

J 0   x  y 2   x, y dl
L
выражают моменты инерции кривой L с линейной плотностью   x, y 
относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно.
Определение криволинейного интеграла второго рода
Пусть L  AB — гладкая кривая, а Р х, у  — некоторая функция,
определенная в точках кривой L. Разобьем кривую L на п произвольных частей
точками A  M 0 , M 1 , M 2 , …, M n  B . Далее на каждой из полученных дуг

M i 1 M i


выберем произвольную точку M i x i , y i , после чего составим


произведение Р x i , y i x i значения функции Р х, у  в точке M i на проекцию
х i  x i 1  x i этой дуги на ось Ох. Складывая все такие произведения, получим
сумму
n


S n, x   P xi , y i xi ,
i 0
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 94 из 228
которая называется интегральной суммой второго рода для функции Р х, у 
по координате х.

Пусть теперь d — наибольшая из длин дуг M i 1 M i . Если функция
Р х, у  непрерывна в точках кривой L, то при d  0 существует предел
интегральных сумм S n , x , не зависящий от способа разбиения кривой L на части
и выбора точек M i . Этот предел называется криволинейным интегралом
второго рода по координате х и обозначается
 Рx, y dх .
L
Аналогично определяется криволинейный интеграл второго рода по
координате у, который обозначается
 Qx, y dу ,
L
где Q  x, y  — непрерывная функция.
Сумма криволинейных интегралов
 Рx, y dх
L
и
 Qx, y dу
называется
L
полным криволинейным интегралом второго рода и обозначается
 Рx, y dx  Qх, у dy .
L
Криволинейные
интегралы
второго
рода
называются
также
криволинейными интегралами по координатам.
Криволинейный интеграл второго рода обладает теми же свойствами, что
и определенный интеграл. В частности,
 Рx, y dx  Qх, у dy    Рx, y dx  Qх, у dy ,
BA
AB
т. е. криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении
направления интегрирования.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Предположим, что кривая L задана в явном виде непрерывно
дифференцируемой функцией y  y  x  , у = у(х), х  а, b . Тогда
|
 Рx, y dx  Qх, у dy   Рx, yx   Qx, yx  y x dx .
b
L
a
Если L задается параметрическими функциями
t   ,  , то
x  xt  ,
y  y t  ,

|
|
 Рx, y dx  Qх, у dy   Рxt , yt x t   Qxt , yt y t dt
L

Это равенство можно распространить и на пространственный случай
(аргументы  x, y, z  функций Р, Q, R для краткости опускаем):
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 95 из 228

 Рdx  Qdy  Rdz   Р  x t   Q  y t   R  z t dt ,
|
|
|

L
где  x, y, z  , x  xt  , y  y t  , z  z t  — параметрические уравнения кривой L.
Приложения криволинейного интеграла второго рода
Интеграл  Рdx  Qdy можно представить в виде скалярного
L
произведения векторов F  Pi  Q j и d s  idx  jdy :
 Рdx  Qdy   F x, y   d s .
L
L
В таком случае
 F  ds
L
выражает работу переменной силы F  Pi  Q j при перемещении
материальной точки M  M  x, y  вдоль кривой L  AB от точки А до точки В.
При A  B кривая L замкнута, а соответствующий криволинейный
интеграл по замкнутой кривой обозначается так:
 Pdx  Qdy .
В этом случае направление обхода контура иногда поясняется стрелкой на
кружке, расположенном на знаке интеграла.
Предположим, что в плоскости Оху имеется односвязная область D (это
значит, что в ней нет «дыр»), ограниченная кривой L  D ( D — обозначение
границы области D), а в области D и на ее границе D функции P x, y  и
Q x, y  непрерывны вместе со своими частными производными.
Теорема. Пусть А и В — произвольные точки области D, АтВ и АпВ —
два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (см. рис.).
Тогда
следующие
условия
равносильны:
Q P
1.
(условие Грина).

x y
2.
 Pdx  Qdy   Pdx  Qdy
АтВ
АnВ
(криволинейный интеграл не зависит
от пути интегрирования).
3.  Pdx  Qdy  0 (интеграл по
АnВmA
любому замкнутому пути равен нулю).
4. Pdx  Qdy  dU (выражение Pdx  Qdy представляет собой полный
дифференциал некоторой функции U  U  x, y ).
В случае выполнения любого из равносильных условий предыдущей
теоремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 96 из 228
х0 ,
у 0  и  х1 , у1  из области D, можно вычислить при помощи формулы
Ньютона-Лейбница
 х1 ,
у1 
 х0 ,
у0 
х

1
1
 Pdx  Qdy  U x, y   х0 , у0   U х1 , у1   U х 0 , у 0  ,
, у
где U  х, у  — некоторая первообразная для Pdx  Qdy .
С другой стороны, первообразная U  х, у  выражения Pdx  Qdy может
быть найдена при помощи криволинейного интеграла
U  x, y  
 х1 ,
у1 
 х0 ,
у0 
 Pdx  Qdy .
В этих же условиях на функции P х, у  и Q х, у  , а также на область D,
имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по
замкнутому контуру к двойному интегралу
 Q P 
Pdx

Qdy


  x  y dxdy .
D
D
Здесь предполагается, что обход границы D области D в криволинейном
интеграле
 Pdx  Qdy
D
совершается в положительном направлении, т. е. при таком обходе границы
область D остается слева; для односвязной области это направление совпадает с
направлением против часовой стрелки.
Заметим, что площадь S  S D  области D может быть вычислена при
помощи криволинейного интеграла второго рода:
1
S   xdy  ydx
2 D
1
1
(эта формула получается из формулы Грина с P   y , Q  x ).
2
2
Определение и вычисление поверхностного интеграла первого рода
Пусть f  x, y, z  — функция, заданная в точках некоторой гладкой
поверхности S. Рассмотрим разбиение поверхности S на части S 1 ,..., S n с
площадями  1 ,...,  n и диаметрами d 1 ,.. ., d n соответственно. Произвольно
выбрав на каждой из частей S i точку M i  xi , yi , zi  , составим сумму
n
 f xi ,
i 1
y i , z i    i ,
которая называется интегральной суммой первого рода для функции f  x, y, z  .
Если при d  0 (где d  max di ) существует предел интегральных СУММ,
i
который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 97 из 228
точек M i , то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода
и обозначается
 f x, y, z d .
S
Если функция f  x, y, z  непрерывна, то интеграл
 f x,
y, z d
S
существует.
Определение поверхностного интеграла первого рода аналогично
определению
криволинейного
интеграла
первого
рода.
Свойства
поверхностного интеграла первого рода (линейность, аддитивность и т.д.)
также аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла
первого рода. Если поверхность S задана на области D плоскости Оху функцией
z  z  x, y  причем z  x, y  непрерывна вместе со своими частными
производными z|x  z|x  x, y  и z|y  z|y x, y  , то поверхностный интеграл
сводится к двойному с помощью формулы:
 f x,
   
y, z d   f x, y, z x, y  1  z|x  z|y dxdy .
2
S
2
D
Если поверхность S задана параметрически в виде x  xu , v  , y  y u, v  ,
z  z u, v  , где х, у, z — непрерывно дифференцируемые функции в некоторой
G плоскости Ouv , то
 f x, y, z d   f xu, v , yu, v , zu, v 
S
EH  F 2 dudv,
D
где
2
2
2
 x   y   z 
E        ,
 u   u   u 
2
2
2
 x   y   z 
H        ,
 v   v   v 
x x y y z z
.
F


u v u v u v
Приложения поверхностного интеграла первого рода
Пусть S – гладкая материальная поверхность с плотностью     x, y, z  .
Тогда с помощью поверхностных интегралов первого рода можно вычислить:
1) статические моменты этой поверхности относительно координатных
плоскостей
M xy   z d ,
S
M yz   x d ,
S
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 98 из 228
M xz   y d ,
S
2) координаты центра тяжести поверхности
M yz
M xy
M
, y c  xz , z c 
,
xc 
m
m
m
где m   d ;
S
3) моменты инерции относительно координатных осей и начала
координат
J x   y 2  z 2 d ,


J   x  z d ,
J   x  y  d ,
  x  y  z d .
S
2
2
2
2
y
S
z
S
J0
2
2
2
S
Определение и вычисление поверхностного интеграла второго рода
Площадь поверхности S можно найти по формуле
пл.S  d .
S
Если   x, y, z  — поверхностная плотность материальной поверхности S,
то ее масса т находится так:
m     x, y, z d .
S
Пусть S — гладкая ориентированная поверхность, на которой задана
непрерывная функция R x, y, z  , и пусть в каждой точке М поверхности
определено положительное направление нормали n M  ( n M  — непрерывная
вектор-функция).
Выберем ту сторону S  поверхности S, для которой угол между
единичной нормалью n и осью Oz острый. Теперь разобьем поверхность S на
части S 1 ,..., S n с диаметрами d 1 ,.. ., d n . Обозначим через P1 ,..., Pn площади
соответствующих проекций частей S 1 ,..., S n на плоскость Оху, а через d –
максимум из чисел d 1 ,.. ., d n . Выбрав в каждой части S i произвольную точку
M i  xi , yi , zi  , составим сумму
n
 R x i ,
i 1
y i , z i   Pi ,
которая называется интегральной суммой второго рода для функции
R x, y, z  . Предел интегральных сумм (он существует в силу непрерывности
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 99 из 228
R x, y, z  ) при d  0 , который не зависит от способа разбиения поверхности
на части и выбора точек M i , называется поверхностным интегралом второго
рода от функции R x, y, z  по поверхности S и обозначается
 Rx,
y, z dxdy .
S
Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода
 Px, y, z dydz и
 Qx, y, z dxdz
S
S
от непрерывных функций P x, y, z  и Q x, y, z  . Сумма трех указанных
поверхностных интегралов второго рода называется общим поверхностным
интегралом второго рода и обозначается
 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy.
S
Пусть теперь поверхность S имеет явное представление z  z  x, y  ,
x, y   D  Oxy . Тогда поверхностный интеграл второго рода сводится к
двойному интегралу по области D
 Rx, y, z dxdy   Rx, y, zx, y dxdy .
S
D
Если выбрана противоположная сторона S  поверхности S, то
 Rx, y, z dxdy   Rx, y, zx, y dxdy .
S
D
Аналогично вычисляются и поверхностные интегралы
 Px, y, z dydz и
 Qx, y, z dxdz .
S
S
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода
Если  ,  ,  — углы, образованные соответственно с положительными
направлениями осей Ох, Оу и Oz, единичной нормалью n к выбранной стороне
S  поверхности S, то связь поверхностных интегралов первого и второго рода
выражается следующим равенством
 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy P cos  Q cos   R cos d .
S
S
Поскольку n  cos  , cos  , cos  , то поверхностный интеграл первого
рода в части этого равенства можно записать компактно в векторной форме
 F  nd ,
S
где F  P, Q, R — векторное поле, определенное на S.
Векторное поле F можно ассоциировать с полем скоростей жидкости,
протекающей через поверхность S. Тогда интеграл
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 100 из 228
 F  nd
S
можно истолковывать механически как общее количество жидкости,
протекавшее в единицу времени через поверхность S в положительном
направлении, то есть вдоль n . Поэтому интеграл называется потоком
векторного поля F через поверхность S.
Литература.
[1]: ч.2, стр.55-89, 114-144; [2]: ч.2, стр.160-210, 217-248
Лекция 13. Числовые и функциональные ряды.
Числовые ряды
Определение числового ряда и его суммы
Образуем
из
элементов
числовой
последовательности
u n   u1 , u 2 ,..., u n ,... символ суммы
(1)
u1  u 2 ...  u n  ... .
Определение. Выражение (1) называется числовым рядом, а числа
u1 , u 2 ,..., u n ,... - членами числового ряда (1).
Таким образом, u 1 - первый член ряда, u 5 - пятый член ряда, u n - n-ый
член ряда, u 2 k 1 - (2k  1) -ый член ряда. В записи (1) u n называется также
общим членом ряда. Зависимость u n от номера n является законом
образования членов ряда. Ряд считается заданным, если задана формула его
общего члена. Чтобы определить, скажем, пятый член ряда, требуется
подставить n  5 в формулу общего члена. Это позволяет кратко записывать ряд

(1) с помощью знака суммирования в виде  u n .
n 1
Если не оговаривается иное, для определённости будем считать, что
первый член ряда имеет номер n  1 , хотя ряд может начинаться с любого
другого члена последовательности u n .
Сумма первых n членов ряда (1) называется его n -ой частичной суммой,
она обозначается через S n . Тогда: S1  u1 ; S 2  u1  u2 ; S3  u1  u2  u3 ; …;
n
S n  u1  u 2  ...  u n   u k
; …. Имеем тем самым
последовательность
k 1
S n 
частичных сумм ряда (1).
Определение. Если при n   существует конечный предел S
последовательности частичных сумм ряда (1): S  lim Sn , то ряд (1) называется
n 
сходящимся, число S называется суммой ряда (1), и записывают тогда:

S  u1  u 2  ...  u n  ...   u n
n 1
.
Если
lim S n
n 
не
существует
(в
частности,
бесконечен), то ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда сумма не
определена.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
Пример 1. Ряд
1  2  ...  n  ... .
стр. 101 из 228
Частичная
n (n  1)
  при n   . Ряд расходится.
2
Пример 2. Ряд
Частичная
(1)  1  (1)  1  ...  (1) n  ... .
 0 , если n чётно
, lim S n не существует. Ряд расходится.
Sn  
 1 , если n нечётно n
сумма
S n  1  2  ...  n 
сумма
Пример 3. Числовой ряд, составленный из членов геометрической
прогрессии, называется геометрическим:

a  aq  aq 2  ...  aq n 1  ...   aq n 1 (a  0) .
(*)
n 1
Здесь a - первый член геометрической прогрессии, q - её знаменатель.
Выясним, при каких значениях знаменателя q ряд (*) сходится.
Частичная сумма геометрической прогрессии, как известно, определяется
n
формулой S n  a (1  q ) (q  1) .
1 q
a (1  q n )
  и ряд (*) расходится.
n 
1 q
Если q  1, то
lim q n   , lim S n  lim
Если
S n   a  na  
q  1,
то
n 
n
n
n 1

при n   , и ряд (*) расходится.
a 1   1
Sn 
2
Если q  1 , то
n
   0 , если
n чётно
.
 a  0 , если n нечётно
S n не
Следовательно, lim
n
существует, и ряд (*) расходится.
Если
q < 1,
то
lim q n  0 , lim S n 
n
n
a
.
1 q
только при q  1 .
сумма равна
a
. Следовательно, ряд (*) сходится, и его
1 q
Таким образом, геометрический ряд (*) сходится
Простейшие свойства сходящихся рядов
Теорема 1 (о почленном умножении ряда на число).

u
n 1

 cu
n 1
n
n
 u1  u 2 ...  un  ...
сходится и имеет сумму
S,
Если ряд
(1)
то ряд
(2)
 cu1  cu 2  ...  cu n  ... , где с – постоянная, также сходится и имеет
сумму cS .
Следствие. Если ряд (1) расходится и c  0 , то ряд (2) также расходится.
Теорема 2 (о почленном сложении сходящихся рядов). Пусть числовые

 un и
ряды
n 1
ряд

 u
n 1
n

v
n 1
n
сходятся и имеют суммы соответственно S (1) и S ( 2 ) , тогда
 vn  также сходится, и его сумма равна S (1)  S ( 2 ) . Аналогичное
утверждение справедливо и для почленного вычитания.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 102 из 228
Понятие остатка ряда.

u
Определение. Если у ряда (1)
n 1
n
 u1  u 2 ...  un  ... отбросить k первых

u
членов, то получится новый ряд (2)
n  k 1
n
 uk 1  u k  2 ...  un  ... , называемый k-
ым остатком ряда (1).
Теорема. Ряд (1) и любой из его остатков (2) либо одновременно
сходятся, либо одновременно расходятся.
Следствие. Ряды, отличающиеся друг от друга конечным числом членов,
либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.
Таким образом, если в ряде изменить, добавить или отбросить конечное
число членов, то сходимость (или расходимость) этого ряда не изменится. При
этом, если ряд сходился, то его сумма, вообще говоря, изменится.
Сумму k-го остатка ряда в случае его сходимости обозначают обычно rk .
Имеем, таким образом, для суммы сходящегося ряда равенство S  Sk  rk .
Отсюда следует, что если в качестве приближённого значения суммы ряда S
взять его k-ую частичную сумму S k , то ошибка составит величину k-го остатка
rk . При этом в силу равенства rk  S  Sk имеем: lim rk  lim S  S k   0 .
k 
k 
Теорема

u
n 1
n
Необходимый признак сходимости ряда
1 (необходимый признак сходимости).
Если
 u1  u 2 ...  un  ... сходится, то предел его общего члена равен 0:
ряд
lim un  0 .
n 
Доказательство.
В самом деле, поскольку ряд сходится, то
последовательность S n  его частичных сумм сходится к его сумме S, причём
lim S n  S и lim Sn 1  S . Вычитая из первого соотношения второе, получим, что
n 
n
lim u n
n
существует и равен 0: nlim
un  lim ( S n  S n 1 )  S  S  0 .

k 
Обратное к теореме утверждение неверно, об этом свидетельствует
следующий

1 1 1
1
1
Пример. Ряд
называется гармоническим
1     ...   ...  
2
3
4
n
n 1
n
(каждый его член, начиная со второго, есть среднее гармоническое двух
1
соседних). Очевидно, его общий член стремится к нулю: nlim
un  lim  0 , однако

n
n
гармонический ряд расходится.
Для доказательства этого рассмотрим частичные суммы с номерами n и
1
2
2n: Sn  1   ... 
сходится, тогда
1
n
1
2
и S 2 n  1   ... 
lim S n  S
n
lim ( S 2 n  S n )  S  S  0 .
n
S2n  Sn 
С
и
1
.
2n
Предположим, что гармонический ряд
lim S 2 n  S ,
n
другой
где
стороны,
S – сумма ряда. Тогда
для
любого
n 1
1
1
1
1
1
1
1
1

 ... 


 ... 
 n
 , т.е. разность S 2 n  S n не
n 1 n  2
2n 2n 2n
2n
2n 2
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 103 из 228
может стремиться к нулю. Пришли к противоречию. Гармонический ряд
расходится.
Таким образом, условие lim un  0 является только необходимым и не
n
является достаточным для сходимости ряда. Поэтому с помощью необходимого
признака невозможно установить сходимость ряда. Однако на практике
необходимый признак сходимости используется для установления
расходимости ряда, в основе чего лежит следующее
Следствие (необходимого признака сходимости). Если предел общего
члена ряда не равен нулю
lim un  0 , или вообще не существует, то ряд
n


расходится.
В самом деле, если бы ряд сходился, то по теореме было бы nlim
un  0 , что

противоречит условию.
Ряды с положительными членами

Определение. Числовой ряд  u n называется рядом с положительными
n 1
членами, если все его члены неотрицательны, т.е. un  0 , n  1, 2 , ... .
Рассмотрим некоторые признаки сходимости рядов с положительными
членами, наиболее часто употребляемые на практике.
Теорема ( признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными
членами:
(1) u1  u 2 ...  u n  ... и (2) v1  v 2 ...  vn  ... ,
причём члены первого ряда не больше соответствующих членов второго:
0  un  vn , n  1, 2 , ... . Тогда
а) если ряд (2) сходится и имеет сумму S ( 2 ) , то ряд (1) также сходится, и его
сумма S (1)  S ( 2) ;
б) если ряд (1) расходится, то ряд (2) также расходится.
Доказательство. а) Пусть ряд (2) сходится, тогда последовательность
его частичных сумм Sn( 2)  имеет своим пределом сумму этого ряда S ( 2 ) . В силу
неотрицательности членов ряда
последовательность Sn( 2)  неубывает:
S n( 2 )  S n( 2 )  un 1  S n21 , поэтому S n( 2)  S ( 2) , n  1, 2 , ... . Рассмотрим теперь S n(1)  последовательность частичных сумм ряда (1). Из неравенства 0  un  vn следует,
что S n(1)  Sn( 2)  S ( 2) , n  1, 2 , ... , то есть последовательность S n(1)  ограничена
сверху числом S ( 2 ) . В силу неотрицательности членов ряда
(1)
(1)
последовательность S n  неубывает, следовательно, согласно теореме о
пределе монотонной последовательности она имеет конечный предел S (1) , т.е.
ряд (1) сходится, и его сумма равна S (1) . Переходя в неравенстве S n(1)  Sn( 2)  S ( 2) к
пределу при n   , получаем, что S (1)  S ( 2) .
б) Пусть теперь ряд (1) расходится, тогда последовательность S n(1)  возрастает и
неограничена сверху, т.е.
lim S n(1)   . Поскольку S n(1)  S n( 2 ) , то lim S n( 2)   и
n 
ряд (2) расходится.
n 
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 104 из 228
Замечание.
В силу следствия теоремы об остатке ряда признак
сравнения остаётся справедливым, если неравенство 0  un  vn выполняется,
начиная с некоторого номера n  N .
Для сравнения обычно используют геометрический, гармонический и
обобщённый гармонический ряды. Обобщённым гармоническим называется
числовой ряд вида
1

1
1
1


...


p
p
p . Позже (см. «интегральный признак») мы докажем,
2
3
n 1 n
что обобщённый гармонический ряд сходится при значениях параметра p  1 и
расходится при p  1 (при p  1 он превращается в гармонический ряд).
Замечание. Применение признака сравнения связано с определёнными
сложностями, так как для доказательства сходимости нужно подобрать
сходящийся ряд с бульшими членами, а для доказательства расходимости –
расходящийся ряд с мйньшими членами. Часто на помощь при этом приходит
теорема о почленном умножении ряда на число.
Описанные сложности помогает преодолеть предельная формулировка
признака сравнения.
Теорема (признак сравнения в предельной форме).
Пусть ряды
и v1  v 2 ...  vn  ... с положительными
u1  u 2 ...  u n  ...
членами таковы, что существует конечный ненулевой предел nlim

un
 K ( K  0) .
vn
Тогда данные ряды сходятся или расходятся одновременно.
Теорема (признак Даламбера). Если для ряда u1  u 2 ...  u n  ... со строго
положительными членами ( un > 0 ) существует конечный предел nlim

un 1
 p , то
un
при p < 1 данный ряд сходится, при p > 1 - расходится.
Доказательство. Пусть p  1 . Возьмём любое число
такое, что
q
un 1
 p следует, что найдётся такой
un
u
номер N , что при всех n  N выполняется неравенство n 1  q или un 1 < un  q .
un
p < q < 1 . Из существования предела
Имеем
lim
n
u N 1 < u N  q ,
последовательно:
при
при
nN
n  N 1
2
3
u N  2 < u N 1  q < u N  q , при n  N  2 u N  3 < u N  2  q < u N  q и так далее. Рассмотрим
u N q  u N  q 2  u N  q 3  ... . Второй ряд является
два ряда: uN 1  u N  2  uN 3  ... и
геометрическим рядом со знаменателем q < 1 и, следовательно, сходится.
Члены первого ряда меньше соответствующих членов второго, поэтому
первый ряд также сходится, а так как он является N-ым остатком исходного
ряда u1  u 2 ...  u n  ... , то получаем, что ряд u1  u 2 ...  u n  ... сходится.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 105 из 228
un 1
 p > 1 , то найдётся такой номер K ,
un
un 1
> 1 , или un 1 > un , то есть
что при всех n  K выполняется неравенство
un
Пусть теперь p > 1 . Тогда, т.к. nlim

члены ряда, начиная с K-ого, образуют возрастающую последовательность
положительных чисел. Но тогда nlim
un  0 , и ряд расходится по необходимому

признаку сходимости.
Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда общий член
ряда содержит факториалы и показательные относительно номера n функции.
un 1
  , то ряд расходится, т.к. найдётся такой
un
u
номер K , что при всех n  K выполняется неравенство n 1 > 1 , и nlim
un  0 .

un
un 1
Замечание 2. Если предел nlim
равен 1 или вообще не существует, то
 u
n
Замечание 1.
ряд
может
Если nlim

быть
как сходящимся, так и расходящимся. Например,

1
1
гармонический ряд  расходится, а обобщённый гармонический ряд  2
n 1 n
n 1 n

сходится. И в том, и в другом случае nlim

un 1
 1 . Признак Даламбера в таких
un
случаях не даёт ответа на вопрос о сходимости, и проверять её следует по
другим признакам.
Следующий признак аналогичен признаку Даламбера.
Теорема (радикальный признак Коши). Если для ряда u1  u 2 ...  u n  ... с
n u  p , то при
положительными членами существует конечный предел nlim
n

p < 1 данный ряд сходится, при p > 1 - расходится.
Доказательство. Пусть p  1 . Возьмём любое число q такое, что
p < q < 1 . Из существования предела lim n un  p следует, что найдётся такой
n 
номер N , что при всех n  N выполняется неравенство n un  q или un < q n .
Имеем последовательно: при n  N u N < q N , при n  N  1 u N 1 < q N 1 , при
n  N  2 u N  2 < q N  2 и так далее. Рассмотрим два ряда: uN 1  u N  2  uN  3  ... и
q N  q N 1  q N  2  ... . Второй ряд является геометрическим рядом со знаменателем
q < 1 и, следовательно, сходится. Члены первого ряда меньше соответствующих
членов второго, поэтому первый ряд также сходится, а так как он является Nu1  u 2 ...  u n  ... , то получаем, что ряд
ым остатком исходного ряда
u1  u 2 ...  u n  ... сходится.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 106 из 228
Пусть теперь p > 1 . Тогда, т.к. lim n un  p > 1 , то найдётся такой номер K ,
n 
что при всех n  K выполняется неравенство n un > 1 , или un > 1 . Но тогда
lim un  0 , и ряд расходится по необходимому признаку сходимости.
n 
Радикальный признак Коши удобно применять в тех случаях, когда n un
извлекается.
К радикальному признаку Коши можно сделать такие же Замечания 1, 2,
что и к признаку Даламбера.
Теорема (интегральный признак Коши).
Пусть функция f (x) непрерывна, положительна и не возрастает на

промежутке 1, . Тогда числовой ряд
f (1)  f (2)  ...  f (n)  ...   f (n)
(*)
n 1
сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

 f ( x) dx .
1
Доказательство.
x
Рассмотрим функцию F ( x)   f (t ) dt - интеграл с
1
переменным верхним пределом. Как известно, её производная F ( x)  f ( x) и т.к.
f ( x) > 0 , то F (x ) строго возрастает на промежутке 1, . Кроме того, она
непрерывна на этом промежутке (как интеграл с переменным верхним
пределом), следовательно, имеет при x   предел, конечный или
бесконечный.
Составим вспомогательный ряд

 F (n  1)  F (n)
(**). Его частичные
n 1
суммы S1  F (2)  F (1) ,
S  S  F (3)  F (2)   F (3)  F (1) , ..., S  F (n  1)  F (1) , ... .
2
1
n
По формуле конечных приращений (из дифференциального исчисления)
F (n  1)  F (n)  F / (n   )  f (n   ) , где 0 <  < 1 , откуда вследствие монотонного
убывания функции f x  получаем, что
f (n  1) < F (n  1)  F (n) < f (n) . (***)
Рассмотрим по очереди две имеющиеся возможности:
а)
несобственный
интеграл

 f ( x) dx
расходится; это означает, что
1
lim F ( x)   , Sn   при n   и ряд (**) расходится. Но тогда по признаку
x  
сравнения в силу правой части неравенства (***) расходится и ряд (*).
б)
несобственный интеграл

 f ( x) dx
сходится, тогда существует конечный
1
lim F ( x) ,а, значит, и конечный предел частичных сумм
x  
Sn
ряда (**),
следовательно, ряд (**) сходится. Тогда по признаку сравнения в силу левой
части неравенства (***) сходится ряд

 f (n  1) , являющийся 1-ым остатком
n 1
ряда (*). Получаем, что ряд (*) сходится. Теорема доказана.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 107 из 228

Пример. Исследуем сходимость обобщённого гармонического ряда
1
n
n 1
p
для различных p .
1
l i m p  0 , следовательно, по необходимому признаку ряд
n  n
При p  0
расходится.
Пусть теперь p > 0 . Нетрудно заметить, что члены ряда суть значения
функции f ( x) 
1
xp
при x  1, 2 , 3 , ... . При x  1 функция f (x) непрерывна,

положительна и убывает, следовательно, по интегральному признаку ряд
1
n
n 1
сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

1
x
p
p
dx ,
1
который (см. «Несобственные интегралы») сходится, если p > 1 .

Окончательно получаем, что обобщённый гармонический ряд
1
n
n 1
p
сходится при p > 1 .
Интегральный признак удобно применять в тех случаях, когда возможно
интегрирование функции f (x) .
Замечание. Интегральный признак можно применять и к рядам вида

u
nk
n
, у которых начальным значением номера n является не 1, а какое-либо
натуральное число k. В этом случае условия, накладываемые на функцию f (x) ,
должны выполняться на промежутке  k , .
Знакопеременные ряды.
Такое название носят числовые ряды, содержащие бесконечное
множество как положительных, так и отрицательных членов. Важным частным
случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды.
Определение. Знакочередующимся называется числовой ряд, у которого
соседние члены имеют разные знаки.
Знакочередующийся ряд, у которого первый член положителен, обычно
записывается в виде

u1  u 2  u 3  u 4  ...   (1) n 1 u n ,
(*)
n 1
где u1 , u2 ,..., un ,... - абсолютные величины членов ряда, un  0 .
Для исследования сходимости таких рядов используется следующий
достаточный признак.
Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда (*)
монотонно убывают по абсолютной величине: un 1  un , и общий член ряда
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
стремится к нулю при n   :
Ред. № 1 от 29.08.2013
lim u n  0 ,
n
стр. 108 из 228
то ряд сходится, и его сумма S
удовлетворяет неравенству 0  S  u1 .
Доказательство. Обозначим через S n n-ую частичную сумму ряда (*).
Рассмотрим
соседние
частичные
суммы
с
чётными
номерами:
S 2k  u1  u 2  u3  u 4  ...  u 2k 1  u 2k  (u1  u 2 ) 
 (u3  u 4 )  ...  (u 2k 1  u 2k ) ,
S 2( k 1)  S 2 k  2  S 2 k  (u 2 k 1  u 2 k  2 ) . Из условия un 1  un следует, что 0  S 2k  S 2k 2 ,
т.е. последовательность S 2 k  возрастает с ростом k . Теперь запишем S 2 k
другим способом: S 2k  u1  (u 2  u3 )  ...(u 2k 2  u 2k 1 )  u 2k . Поскольку вычитаются
положительные величины, то S 2k  u1 и возрастающая последовательность S 2 k 
ограничена сверху числом u1 . По теореме о пределе монотонной
последовательности существует предел lim S 2k  S , причём 0  S 2k  S .
k 
Рассмотрим теперь частичные суммы S 2k 1 с нечётными номерами. Т.к. по
условию lim un  0 , то и lim u 2k 1  0 . Имеем тогда: lim S 2k 1  lim S 2k  u 2k   S  0  S ,
n
k 
k 
k 
т.е. последовательность S 2k 1  сходится к пределу S. Итак, все частичные
суммы ряда сходятся к одному и тому же пределу S, следовательно, ряд (*)
сходится.
Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы, часто называют рядом
Лейбница.
Следствие 1. Сумма S ряда Лейбница с положительным первым членом
u1  0 всегда положительна и 0  S  u1 .
В самом деле, можно убедиться, что последовательность S 2k 1  нечётных
частичных сумм ряда (*) монотонно убывает: S 2k 1  S 2k 1  u 2k 1  u 2k  0 и,
следовательно, S  S 2k 1 . Таким образом, 0  S 2k  S  S 2k 1 для любого k, в
частности, при k  1 0  S 2  S  S1  u1 .
Следствие 2. k-ый остаток rk ряда Лейбница имеет знак своего первого
члена u k 1 и меньше его по абсолютной величине: rk  uk 1 .
В самом деле, остаток ряда Лейбница в свою очередь является рядом
Лейбница. Т.к. u 2k 1  0 , то по следствию 1 для остатков с чётными номерами
0  r2 k  u 2 k 1 .
Рассмотрим теперь остатки с нечётными номерами:
r2 k 1  u 2 k  u 2k 1  ...  (u 2 k  u 2k 1 )  ...  0 , откуда, поменяв знак, получаем:
r2k 1  r2k 1   u 2 k  u 2 k 1  ...  u 2 k . Таким образом, и для чётных, и для нечётных
номеров rk  uk 1 .
Следствием 2 широко пользуются при приближённых вычислениях с
помощью рядов, оно позволяет наиболее просто определять количество
слагаемых ряда для приближённого вычисления его суммы. В случае, если ряд
не удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, эта оценка обычно более
трудоемка.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 109 из 228
Рассмотрим теперь произвольный знакопеременный числовой ряд

u
n 1
n
. Составим из абсолютных величин его членов ряд (2)
(1)

u
n 1
n
.
Теорема. Если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится.
Доказательство. Пусть S n и  n  частичные суммы рядов (1) и (2)
соответственно. Обозначим через S n сумму всех положительных слагаемых из
S n  а через S n сумму модулей всех отрицательных слагаемых из S n , тогда
S n  S n  S n ,  n  S n  S n . По условию, существует lim  n   , причём  n   ,
n
т.к. члены ряда (2) неотрицательны. Но тогда Sn   n   , Sn   n   , т.е.
последовательности Sn  и Sn  ограничены. Кроме того, они обе возрастают
с ростом номера n. Поэтому по теореме о пределе монотонной
последовательности существуют пределы lim Sn  S  , lim Sn  S  , а тогда
n 

n 
существует и предел lim Sn  lim S  S   S  S , т.е. ряд (1) сходится.
n 
n 

n

n

Определение. Числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд, составленный из модулей его членов.
Определение. Числовой ряд называется условно сходящимся, если сам он
сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Если все члены ряда положительны, или ряд имеет только конечное
число отрицательных членов, то сходимость такого ряда может быть только
абсолютной. Для произвольного ряда задача «исследовать сходимость»
означает установление факта сходимости или расходимости этого ряда и в
случае сходимости проверку того, как сходится этот ряд  абсолютно или
условно.
В ряде случаев об абсолютной сходимости того или иного ряда можно
судить на основании уже известных нам признаков, соответствующим образом
переформулированных.
Теорема (признак сравнения). Если члены ряда (1) u1  u 2 ...  u n  ... ,
взятые по модулю, не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда
(2) v1  v 2 ...  vn  ... с положительными членами: un  vn , n  1, 2 , ... , то ряд (1)
сходится, притом абсолютно.
Замечание. Если un > vn и ряд (2) расходится, то ряд (1) не обязательно
расходится! Он может и сходиться условно! Таким образом, вторая половина
признака сравнения положительных рядов, касающаяся расходимости ряда с
бульшими членами, здесь не работает.
u1  u 2 ...  u n  ...
Теорема
(признак Даламбера).
Если для ряда
существует конечный предел nlim

u n 1
un
 p , то при p < 1 данный ряд сходится,
притом абсолютно, при p > 1 - расходится.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 110 из 228
Теорема (радикальный признак Коши). Если для ряда u1  u 2 ...  u n  ...
n u
существует конечный предел nlim
данный ряд сходится,
n  p , то при p < 1

притом абсолютно, при p > 1 - расходится.
Замечание. Расходимость при p > 1 следует из того, что тогда nlim
un  0 .

Необходимость различать абсолютно и условно сходящиеся ряды
объясняется их существенно различными свойствами и, прежде всего, вот этим:
Теорема (переместительное свойство абсолютно сходящегося ряда).
Если в абсолютно сходящемся ряде переставить как угодно члены, то
получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного.
Условно сходящиеся ряды переместительным свойством «от перемены
мест слагаемых сумма не меняется» не обладают.
Оказывается, справедлива теорема Римана. В любом условно
сходящемся ряде можно так переставить члены чтобы вновь полученный ряд
имел наперёд заданную сумму. Более того, можно так переставить члены
условно сходящегося ряда что он станет расходиться.
Функциональные ряды
Рассмотрим теперь ряды, членами которого являются не числа, а
функции.
Определение. Функциональным рядом называется выражение вида

a 0 ( x)  a1 ( x)     a k ( x) ,
(1)
k 0
где a k (x ) есть некоторые функции действительного переменного, имеющие
общую область определения.
При подстановке вместо x конкретных значений функциональный ряд
(14) превращается в числовой ряд.
Определение. Областью сходимости функционального ряда (1)
называется множество всех значений x , при которых ряд (1) сходится.
Эту область будем обозначать через D .
Для функционального ряда (1) его частичная сумма S n (x)  сумма S (x) и
остаток Rn (x) есть функции, определенные в области D .
Пусть   D некоторый промежуток, принадлежащий D .
Определение. Функциональный ряд (1) называется равномерно
сходящимся в  , если наибольшее значение модуля его остатка в  стремится
к нулю при n   , т.е. lim max Rn ( x)  0 .
n  x
Заметим что хотя остаток Rn (x) в  всегда стремится к нулю, но
равномерно в  он может к нулю не стремится.
Проверка равномерной сходимости ряда исходя из определения часто
есть трудоемкая работа поэтому практически используют признаки
равномерной сходимости функциональных рядов.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 111 из 228
Определение. Числовой ряд

 bk
(2)
k 0
называется мажорирующим для функционального ряда

 a k ( x)
(1)
k 0
на промежутке  , если для всех x   и любого k верно неравенство
(3)
a k ( x)  в k .
Если промежуток  не указывается то это неравенство должно
выполнятся для всех действительных x .
Теорема 1. ( Признак равномерной сходимости Вейерштрасса).
Пусть для ряда (1) в промежутке  имеется сходящийся мажорирующий
ряд (2). Тогда (1) равномерно сходится в  .
Из неравенства (3) и первого признака сравнения следует что (1)
сходится в  .
Пусть Rn (x) остаток ряда (1) а Rn остаток ряда (2), тогда из неравенства
(3) получим
a n1 ( x)  a n 2 ( x)    a n N ( x)  bn1  bn 2    bn N .
Следовательно, a n1 ( x)  a n 2 ( x)    a n N ( x)  bn1  bn 2    bn N .
Перейдя в обеих частях этого неравенства к пределу при N   ,
получим ,что Rn ( x)  Rn для всех x   т.е. max Rn ( x)  Rn .
x
Поскольку
ряд
(2)
сходится
то
lim Rn  0
n
,
следовательно
lim max Rn ( x)  0 .
n  x
Необходимость выделять равномерную сходимость связана с тем, что
равномерно сходящиеся ряды обладают рядом естественных свойств, которых
лишены неравномерно сходящиеся ряды.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
Пусть ряд

 a k ( x)
равномерно сходится в промежутке  и все его члены
k D
a k (x ) непрерывны в  , тогда сумма этого ряда S (x) также непрерывна в  .
2) Пусть ряд

 a k ( x)
k 0
равномерно сходится в отрезке [ ,  ] и имеет
сумму S (x) . Пусть все члены ряда a k (x ) непрерывны в отрезке [ ,  ] тогда
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 112 из 228
интеграл по [ ,  ] от суммы ряда равен сумме интегралов от его слагаемых
т.е.

 


 S ( x)dx  k0  a k ( x)dx.
Из свойства 1) следует что S( x ) и Rn ( x)  S ( x)  S n ( x) непрерывны на
[ ,  ] . Проинтегрировав соотношение S ( x)  S n ( x)  Rn ( x) , получим

n 1 

 S ( x)dx  k0  a k ( x)dx   R n ( x)dx .



(4)




  Rn ( x)dx    Rn ( x) dx  (    ) max Rn ( x)


x[ ,  ]

 
Поскольку
n 
max Rn ( x) 
 0  то
x[ ,  ]

lim  Rn ( x)dx  0 .
n 
и
Перейдя в равенстве (4) к пределу

при n   , получим требуемое утверждение.
Пусть
члены
сходящегося
в
[ ,  ]
ряда

 a k ( x)
непрерывно
k D
дифференцируемы в промежутке [ ,  ] и S (x) - сумма этого ряда. Пусть ряд,
составленный из производных ряда

 a k ( x) ,равномерно
сходится в [ ,  ] ,
k 0

тогда сумма ряда из производных равна производной S (x) , т.е. S ( x)   a k ( x) .
k 0
Обозначим сумму ряда

 a k ( x)
через F (x) . Согласно предыдущему
k 0
свойству проинтегрируем F (t ) на отрезке [ , x] , где x [ ,  ] , получим
x
 F (t )dt 

 x
  ak' (t )dt 
k  0

 (ak ( x)  ak ( )) S ( x)  S ( ) . Продифференцируем по x
k 0

x

левую и правую части этого равенства получим   F (t )dt   ( S ( x)  S ( ))  


F ( x)  S ( x) .
Степенные ряды.
Степенные ряды т.е. ряды, члены которых есть степенные функции,
являются одним из основных примеров функциональных рядов.
Определение. Функциональный ряд вида

 Ck x k
(5)
k 0
называется степенным рядом а числа C k называются его коэффициентами.
Степенной ряд всегда сходится при x  0 . Следующая теорема
описывает его область сходимости.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 113 из 228
Теорема Абеля
а) Если степенной ряд (5) сходится в точке x 0 ( x 0  0 ) то он сходится
для всех x из интервала x  x0 (см. рис. 1,а)).
б) Если степенной ряд расходится в точке x1 , то он расходится для
всех x , удовлетворяющих неравенству x  x1 (см. рис.1,б)).
 x0
x0
0
X
Рис. 1, а).
x1
0
X
x1
Рис. 1, б).
Определение. Наибольшее значение x 0 такое, что в интервале
(  x 0 , x 0 ) степенной ряд (5) сходится, называется радиусом сходимости
этого ряда (обозначается через R ) а интервал  R , R  называется его
интервалом сходимости.
Из теоремы Абеля следует что в интервале  R , R  ряд (5) сходится а
в интервалах  ,R  и R ,  он расходится (см. рис. 2).
сходится
?
расходится
R
0
?
X
R расходится
Рис. 2
Сходимость ряда в точке x   R исследуется дополнительно.
Если ряд сходится только в точке 0  то R считается равным 0  а если
он сходится для всех x , то R считается равным  .
Для определения радиуса сходимости R имеются следующие
формулы получаемые из признаков Даламбера и Коши.
Ck
R  lim

k  C
k 1
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
R  lim
стр. 114 из 228
1
k  k
Ck
Однако
проще
находить
интервал
сходимости
путем
непосредственного применения признаков Даламбера или Коши к
абсолютным величинам членов ряда (5).
Теорема. Пусть отрезок [ ,  ] лежит в интервале сходимости
( R, R) степенного ряда

 C k x k ,тогда в [ ,  ] этот ряд
сходится абсолютно
k 0
и равномерно.
Свойства степенных рядов.
1) Сумма степенного ряда (5) S (x) непрерывна в интервале сходимости
(  R, R ) .
Пусть S (x) сумма степенного ряда (5) и отрезок [ ,  ] лежит в интервале

k 1
K 1

сходимости ( R, R) , тогда  S ( x)dx   Ck    .
k 1
k 0

3) Производная суммы S (x) степенного ряда (5) в интервале сходимости
( R, R) равна сумме степенного ряда, составленного из производных членов
ряда (5), т.е. Rn ( x0 ) .
4) Сумма степенного ряда (5) в интервале ( R, R) бесконечно
дифференцируема.
Определение. Функциональный ряд

C
k
(x  x 0 ) k
(6)
k 0
называется смещенным степенным рядом с центром в x 0 .
Если обозначить ( x  x 0 ) через y , то смещенный степенной ряд
превращается в степенной ряд вида (5). Поэтому ряд (6) имеет интервал
сходимости вида ( x 0  R, x 0  R) и в этом интервале обладает всеми
свойствами степенных рядов.
Ряды Тейлора
Выше было показано что сумма степенного ряда S (x) является
бесконечно дифференцируемой функцией. Рассмотрим теперь обратную задачу
о том, как заданную функцию y  f (x) записать в виде суммы некоторого
степенного ряда. Такая запись позволит приближенно находить значения этой
функции приближенно интегрировать ее численно решать дифференциальные
уравнения и т.д.
Пусть функция y  f (x) имеет производные до n го порядка
включительно в окрестности точки x 0 .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 115 из 228
Определение. Многочленом Тейлора n го порядка функции y  f (x) в
точке x 0 называется многочлен
f ( x 0 )( x  x 0 ) f ( x 0 )( x  x 0 ) 2
f
Tn ( x )  f ( x 0 ) 


1!
2!
k
n
( x  x0 )
  f (k ) ( x0 )
.
k!
k 0
(n)
( x 0 )( x  x 0 ) n

n!
(7)
Здесь f ( 0) ( x) считается равным f (x) и 0!  1 .
Основное свойство этого многочлена состоит в следующем.
Значения многочлена и всех его производных до n го порядка
включительно в точке x 0 совпадают с соответствующими значениями функции
и ее производных т.е.
Tn ( x 0 )  f ( x 0 ) ; Tn ( x 0 )  f ( x 0 ) ; … … … ; Tn( n ) ( x 0 )  f ( n ) ( x 0 ) .
Tn( k ) ( x)  0 .
При k  n
В самом деле из (7), подставив вместо x значение x0 , получим
Tn ( x 0 )  f ( x 0 )  0    0  f ( x 0 ) ;
Tn ( x)  f ( x 0 )  f ( x 0 )( x  x 0 )    f
(n)
( x  x 0 ) n 1
( x0 )
;
(n  1)!
Подставив сюда x  x 0 , получим
Tn ( x 0 )  f ( x 0 )  0    0 и т.д.
Tn( n ) ( x 0 )  f
(n)
( x0 ) .
При k  n Tn( k ) ( x 0 )  0 .
Определение. Разность между f (x) и Tn (x) называется остаточным
членом Тейлора с центром в x 0 :
Обозначим его через Rn ( x)  f ( x)  Tn ( x)
Из (7) следует что
Rn ( x 0 )  Rn ( x 0 )    Rn( n ) ( x 0 )  0
(8)
Теорема 1. Пусть функция f (x ) имеет в окрестности x 0 непрерывную
(n  1) ую производную f ( n1) ( x) . Тогда для любого x из этой окрестности
найдется такая точка c  ( x 0 , x) или c  ( x, x 0 ) , что
f ( n 1) (c)
(9)
R n ( x) 
( x  x 0 ) n 1
(n  1)!
При доказательстве воспользуемся теоремой Коши четвертого модуля
«Дифференциальное исчисление функций одной переменной». Пусть
g ( x)  ( x  x 0 ) n 1 . Несложно проверить что
g ( x 0 )  g ( x 0 )    g ( n ) ( x 0 )  0
(10)
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
g ( n 1) ( x 0 )  (n  1)! .
x  x0 .
определенности
стр. 116 из 228
(11)
отношение
Пусть
для
Рассмотрим
Rn ( x ) Rn ( x )  Rn ( x 0 )

.
g ( x)
g ( x)  g ( x 0 )
Здесь в числителе и знаменателе добавлены нулевые величины Rn ( x0 ) и
g ( x0 ) .
Согласно теореме Коши найдется точка c 1  ( x, x 0 ) такая
что
Rn ( x)  Rn ( x 0 ) Rn (c1 )
R ( x) Rn (c1 )  Rn ( x 0 )


, т.е. учитывая (8) и (10) n
.
g ( x)  g ( x 0 )
g (c1 )
g ( x)
g (c1 )  g ( x 0 )
Согласно теореме Коши в промежутке ( x 0 , c1 ) найдется точка c 2 такая,
Rn (c1 )  Rn ( x0 ) Rn'' (c 2 ) Rn ( x) Rn (c 2 )  Rn ( x 0 )

что

.

g (c 2 )  g ( x 0 )
g (c1 )  g ( x0 )
g (c 2 ) g ( x)
Продолжая этот процесс (n  1) раз получим что
Rn ( x) Rn( n 1) (c n 1 )

g ( x) g ( n 1) (c n 1 )
(12).
Обозначим c n 1 через c  g ( n1) ( x ) заменим согласно (11) на (n  1)! а
Rn
( n 1)
(c )  f
( n 1)
(c)  Tn( n 1) (c)  f
( n 1)
(c )  0 .
В результате из (12) получаем
Rn ( x)
( x  x 0 ) n 1
f ( n 1) (c)

,что и доказывает
(n  1)!
требуемое утверждение.
Определение. Остаточный член Rn (x), записанный в виде (9) называется
остаточным членом в форме Лагранжа а запись функции в виде
n
( x  x 0 ) k f ( n 1) (c)
(k)
(13)
f ( x )  Tn ( x )  R n ( x )   f ( x 0 )

( x  x 0 ) n 1
k
!
(
n

1
)!
k 0
называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Остаточный член здесь имеет тот же самый вид что и слагаемые
многочлена Тейлора только в (n  1) ой производной вместо x 0 стоит близкая
к ней точка c .
Многочлен Тейлора используется для приближенного нахождения
значения функции в точке x  Rn (x) при этом является погрешностью этого
вычисления. Однако часто вместо многочленов удобно использовать ряды.
Определение. Пусть функция y  f (x) бесконечно дифференцируема в
окрестности точки x 0 . Рядом Тейлора для функции y  f (x) с центром в точке
x 0 называется смещенный степенной ряд
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013

f
k 0
(k )
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 117 из 228
( x  x0 ) k
f ( x0 )
f ( x0 )
( x0 )
 f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  
k!
1!
2!
(14)
Частичная сумма S n (x) этого ряда является многочленом Тейлора Tn ( x ) .
(здесь и далее S n ( x ) состоит из (n  1) слагаемых). Не следует думать что
сумма ряда Тейлора S( x ) всегда совпадает с функцией y  f ( x )  по которой он
был построен, во-первых потому, что область определения функции может не
совпадать с областью сходимости ряда а вовторых даже в случае
существования f (x ) и S( x ) , эти значения могут отличаться друг от друга.
Теорема 2. Пусть функция y  f ( x ) бесконечно дифференцируема в
окрестности U точки x 0  и пусть для всех x из этой окрестности остаточный
член Тейлора R n ( x ) стремится к нулю при n   , тогда ряд Тейлора функции
y  f ( x ) с центром в x 0 сходится в U , и его сумма S n ( x ) совпадает в U со
значениями функции f (x ) .
В этом случае говорят что функция y  f ( x ) разлагается в ряд Тейлора в
окрестности U .
Учитывая что Tn ( x )  Sn ( x ) запишем формулу Тейлора (13) для x  U
f ( x )  Sn ( x )  R n ( x )  или f ( x )  R n ( x )  Sn ( x ) .
Перейдем в этом соотношении к пределу при
lim f ( x )  lim R n ( x )  lim Sn ( x ) .
n 
n 
n 
получим
n 
Поскольку предел левой части существует и равен f (x)  lim Rn ( x)  0  то
n 
существует предел частичных сумм ряда (14), стоящий в правой части т.е.
f ( x)  S ( x) что и требовалось доказать.
Определение. Ряд Тейлора с центром в точке x 0  0 называется рядом
Маклорена этой функций.
Ряд Маклорена имеет вид

f (0)
xk
(k )
(15)
 f (0) k!  f (0)  f (0) x  2! x 2  
k 0
а остаточный член Тейлора в форме Лагранжа
f ( n 1) (c) n 1
(16)
Rn ( x) 
x
(n  1)!
где c  (0, x) или c  (x,0) .
Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций
Показательная функция y  e x .
Поскольку f ( k ) ( x)  e x для любого k  то f ( k ) (0)  e 0  1. Подставив эти
значения в (15), получим ряд Маклорена для этой функции. Проверим условия
теоремы 2.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 118 из 228
Для любого фиксированного x из (16) получим
x
n 1
e x
ex
Rn ( x) 
x n 1 
.
(n  1)!
(n  1)!
(17)
x k 1
Согласно признака Даламбера ряд 
сходится для всех x .
k 1 ( k  1)!

Поэтому согласно необходимого признака
x k 1
 0 и из (17)
(k  1)! k 
получаем что lim Rn ( x)  0 .
n 
Окончательно имеем разложение функции y  e x в ряд Маклорена для
x  (,)

x2
xk
e 1 x 
 ...  
.
2!
k
!
k 0
x
Функция y  sin x .
Поскольку f ( x)  sin x 
f
( IV )
f ( x)  cos x 
f ( x)   sin x 
(18)
f    cos x 
 sin x и т.д., то
f (0)  0  f (0)  1  f (0)  0  f (0)  1 f ( IV ) (0)  0 и т.д.
Из (15) получим что
2 k 1

x3 x5
k 1 x
.
sin x  x 

    (1)
3! 5!
(
2
k

1
)!
k 1
Поскольку f
x
(k )
(19)
(c)  1 то для любого x
2n
и, как было показано выше lim R2n1 ( x)  0 для всех x .
n
(2n)!
Поэтому разложение (19) справедливо для x  (,) .
3) Функция y  cos x .
Разложение в ряд Маклорена этой функции проведите самостоятельно по
аналогии с предыдущим.
2k

x2 x4
k x
Для любого x  (,) cos x  1 

    (1)
2! 4!
(2k )!
k 0
R2 n 1 ( x) 
Степенная функция y  (1  x)  .
Вычислим значения f (k ) (0) .
f ( x)  (1  x)  f (0)  1 f ( x)   (1  x) 1  f (0)    f ( x)   (  x)(1  x)  2 
f (0)   (  1)  и т.д.
С помощью индукции доказывается что
f ( k ) (0)   (  1)(1  2)  (  k  1) .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 119 из 228
Подставив эти значения в (15) , получим что

 (  1) 2
 (  1)  (  k  1) k
(1  x)   1  x 
x 1 
x .
2!
k
!
k 0
Можно доказать что этот ряд сходится и равенство выполняется для
любых действительных  и x  (1,1) .
Данный ряд называется биномиальным поскольку для целых
положительных  коэффициенты ряда совпадают с коэффициентами бинома
Ньютона.
Логарифмическая функция y  ln(1  x) .Воспользуемся формулой суммы
1
геометрической прогрессии для x  1 :
1 t  t2  t3 
1 t
Поскольку ряд равномерно сходится на промежутке [0, x] (или [x,0] ) при
x  1  то проинтегрировав его по этому промежутку, получим
x
x
x
1
x
x t2
dt
2

1
dt

tdt

t
dt


;
ln(
1

t
)

t

1 t 


0
0
2
0
0
0
0
x
0

t3
3
x
 ;
0
k

x2 x3
k 1 x
ln(1  x)  x 

    (1)
.
2
3
k
k 1
На самом деле данное разложение справедливо для x  (1,1] .
6) y  arctgx
Интегрируя геометрическую прогрессию и ее сумму
1
 1  t 2  t 4   по промежутку [0, x] , получим что
2
1 t
2 k 1

x3 x5
k x
arctgx  x 

    (1)
.
3
5
2k  1
k 0
Данное разложение верно для x  (1,1] .
1
7) y  arcsin x . Запишем биномиальный ряд для    и x  t 2 .
2
1

1
1
1 3 4 1 3  5 6
 (1  t 2 ) 2  1  t 2 
t 
t  .
2
2
2
4
2

4

6
1 t
Проинтегрировав ряд по промежутку [0, x] , получим требуемое
разложение

(2k  1)!! x 2k 1
1 x3 1 3 x5 1 3  5 x7
.
arcsin x  x 


 x  
2 3 24 5 246 7
k 1 (2k )!! (2k  1)
Здесь (2k  1)!!  1  3  5 (2k  1) ; (2k )!!  2  4  2k ;
Данное разложение справедливо для x  (1,1] .
Ряды Фурье
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 120 из 228
Пусть функция f  x  — интегрируемая и периодическая с периодом 2 .
Коэффициентами Фурье функции f  x  называются числа a 0 , a1 , a 2 , …, a n ,
…, b0 , b1 , b 2 , …, b n , …, которые находятся по формулам
an 
bn 

1


 f x dx ,
(20)
 f x  cos nxdx , ( n  1, 2, )
(21)
a0 
1
1





 f x  sin nxdx , ( n  1, 2, )
(22)

Рядом Фурье функции f  x  называется ряд

a0
  a n cos nx  bn sin nx .
2 n 1
Условия сходимости ряда Фурье
Ряд Фурье интегрируемой функции f  x  может либо расходиться, либо
сходиться, причем как к функции f  x  , так и к функции, отличной от нее.
Условия сходимости ряда Фурье были установлены немецким
математиком Дирихле.
Теорема Дирихле. Если функция f  x  непрерывна или имеет конечное
число точек разрыва на отрезке   ,   и при этом монотонна или имеет
конечное число экстремумов на   ,   , то ряд Фурье функции f  x  сходится
для любых х из   ,   и его сумма равна:
1) f  x  для всех точек непрерывности х из интервала   ,   ;
1
2)  f x 0  0  f x0  0 для всех точек разрыва x 0 ;
2
1
3)  f    0  f   0 при x   и x   .
2
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f  x  — четная функция ( f  x   f  x  , x    ,  ). Тогда bn  0
( n  1, 2,  ), и, следовательно, четная функция разлагается в ряд Фурье по
косинусам:

a0
  a n cos nx ,
2 n 1
2
2
где a 0   f  x dx , a n   f  x  cos nxdx , ( n  1, 2,  ).
(23)
 0
 0
Аналогично нечетная функция f  x  (т.е. f  x    f x  , x    ,  )
разлагается в ряд Фурье по синусам:
f x  
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 121 из 228

f  x    bn sin nx ,
2

n 1
f  x  sin nxdx , ( n  1, 2,  ).
(24)
 0
Ряд Фурье функции, заданной на произвольном промежутке
Пусть f  x  — периодическая с периодом 2l функция, удовлетворяющая
условиям теоремы Дирихле на интервале  l, l  . Тогда ее разложение в ряд
Фурье имеет следующий вид

a
nx
nx 

f x   0    a n cos
 bn sin
,
2 n 1 
l
l 
где
где bn 
1l
a 0   f  x dx ,
l l
1l
nx
1l
nx
a n   f  x  cos
dx , bn   f  x  sin
dx , ( n  1, 2,  ).
l l
l
l l
l
Ряд Фурье четной функции f  x  содержит только свободный член и
косинусы

a
nx
f x   0   a n cos
,
2 n 1
l
где
2l
2l
nx
a 0   f  x dx , a n   f  x  cos
dx , ( n  1, 2,  ).
l 0
l 0
l
Нечетная функция f  x  ) разлагается в ряд Фурье по синусам

nx
f  x    bn sin
l
n 1
где
2l
nx
bn   f  x  sin
dx , ( n  1, 2,  ).
l 0
l
Литература. [1]: ч.2, стр. 13-55; [2]: ч.2, стр. 254-368
Лекция 14. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Дифференциальные уравнения. Общие сведения
Для многих динамических, то есть меняющихся во времени, процессов и
явлений бывает трудно написать закон их поведения в виде конкретной
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 122 из 228
функции времени, а написать этот закон в виде дифференциального уравнения
часто значительно легче.
Определение. Уравнение, в которое неизвестная функция (или векторфункция) входит под знаком производной или дифференциала, называется
дифференциальным уравнением (д.у.) .
Если в д.у. неизвестная функция является функцией одной независимой
переменной, то д.у. называется обыкновенным. Если неизвестная функция
зависит от двух или большего числа переменных, то д.у. называется
дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение. Порядком д.у. называется порядок самой старшей
производной (или дифференциала) неизвестной функции, входящей в д.у.
Например, д.у. (1  x 2 ) y  x( y 4  1) и ( y  x)dy  y 3dx  0 являются обыкновенными
д.у. 1-го порядка, а д.у. (1  x 2 ) y  x( y 3  1) является обыкновенным д.у. 2-го
порядка.
Определение. Решением д.у. порядка n называется функция, имеющая
непрерывные производные до порядка n включительно и обращающая при
подстановке уравнение в тождество.
Процесс нахождения решений д.у. называется его интегрированием.
Далее мы будем заниматься исключительно обыкновенными д.у. и
начнём их изучение с д.у. самого низкого – первого - порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Обыкновенным д.у. 1-го порядка называется уравнение вида
(1)
F ( x, y, y)  0 .
Это самая общая форма записи д.у. первого порядка –
уравнение,
неразрешённое относительно производной.
Если (1) удаётся разрешить относительно y и записать в виде
(2)
y   f ( x, y ) ,
то уравнение (2) называется д.у. 1-го порядка, разрешённым
относительно производной. Функция f ( x, y ) называется правой частью д.у.
(2).
От формы (2), используя равенство y  
dy
dx
, можно перейти к третьей форме
записи д.у. первого порядка - так называемой дифференциальной форме
записи
(3)
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0.
В ходе решения уравнения пользуются той формой записи, которая в
данный момент удобнее.
Определение. Функция y   (x) , заданная на некотором промежутке,
называется решением д.у. (на этом промежутке), если при подстановке её в
уравнение оно обращается в тождество на этом промежутке. Предполагается
при этом, что первая производная функции  (x) непрерывна.
Рассмотрим простейший пример: уравнение y   2 x . Его решением является
функция y  x 2 . Однако функции y  x 2  2 и y  x 2  5 также являются его
решениями. Нетрудно проверить подстановкой, что любая функция вида
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 123 из 228
y  x2  C ,
где С – некоторая постоянная, является решением данного д.у. Таким
образом, данное д.у. имеет не одно или два, а бесконечное множество решений
– как говорят, семейство решений, зависящее от одного параметра –
произвольно определяемой постоянной С.
Подобная ситуация имеет место для всех д.у., и решить д.у. означает для нас
описать всю совокупность его решений.
Множество решений д.у. 1-го порядка, зависящее от одной произвольной
постоянной и содержащее все его решения, называется общим решением д.у.
Определение. Общим решением д.у. 1-го порядка называется функция
y   ( x, C ) , зависящая от одной произвольной постоянной С и удовлетворяющая
следующим двум условиям:
1) функция y   ( x, C ) удовлетворяет д.у. при любом конкретном значении
постоянной С в некоторой области D изменения переменных х и у;
2) какова бы ни была точка ( x, y )  D , равенство y   ( x, C ) разрешимо
относительно С, т.е. существует такое значение C  C0 , что y   ( x, C0 ) .
Процесс нахождения решений д.у. состоит в преобразовании его к такому виду,
из которого находится его общее решение. При этом два д.у. называются
эквивалентными, если решения одного из них являются решениями другого.
Идеальным было бы при нахождении решения осуществлять переход к
эквивалентным уравнениям. Это не всегда удаётся. Поэтому в процессе
преобразований мы должны следить, чтобы не терять решений и не
приобретать лишних.
Если в процессе разыскания решения приходим к соотношению вида
( x, y, C )  0 , которое не удаётся разрешить относительно у, то и в этом случае
решение считается найденным.
Определение. Равенство ( x, y, C )  0 , задающее общее решение д.у. в
неявном виде, называется общим интегралом д.у. 1-го порядка.
Придав произвольной постоянной С конкретное значение C  C0 ,
получаем из общего решения y   ( x, C ) частное решение y   ( x, C0 ) , а из
общего интеграла ( x, y, C )  0 - частный интеграл ( x, y, C0 )  0 .
Некоторые типы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах
Уравнения с разделяющимися переменными
Самыми простыми в решении являются уравнения вида f1 ( x)dx  f 2 ( y)dy ,
называемые д.у. с разделёнными переменными. Действительно, если функция
y  y (x) есть решение этого уравнения, то в силу инвариантности формы первого
дифференциала можем записать  f1 ( x)dx   f 2 ( y)dy . Если  f1 ( x)dx  ( x)  C1 ,
f
объединив произвольные постоянные, получаем
соотношение ( x)  F ( y )  C , разрешая которое относительно y , получаем всю
совокупность решений исходного уравнения. Большинство методов решений
д.у. заключается в сведении их к уравнению с разделёнными переменными и
2
( y )dy  F ( y )  C 2 ,
то,
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 124 из 228
последующему интегрированию. Поэтому процесс нахождения решений д.у. и
называется интегрированием.
Следующими по сложности являются
уравнения с разделяющимися
переменными.
Определение. Если в д.у. y  f ( x, y) (2), разрешённом относительно
производной, правая часть f ( x, y)  f1( x) f 2 ( y), т. е. уравнение имеет вид
(4)
y  f1 ( x) f 2 ( y ),
или в эквивалентной форме
(5)
M1 ( x) M 2 ( y )dx  N1 ( x) N 2 ( y )dy  0 ,
то уравнения (4) и (5) называются уравнениями с разделяющимися
переменными. Переменные в них разделяются:
- из уравнения (4), если f 2 ( y )  0 , с учетом того, что y  dy / dx , получаем
dy
 f1 ( x)dx ;
f 2 ( y)
- из уравнения (5), если M 2 ( y )  0 , N 1 ( x)  0 , получаем
N 2 ( y)
M ( x)
dy   1
dx .
M 2 ( y)
N 1 ( x)
Однородные уравнения
Определение. Функция F ( x, y ) двух переменных называется однородной
функцией порядка k (или степени k), если для неё выполнено соотношение:
F (x, y )  k F ( x, y ) , где λ – любое число или выражение. Примеры:
1. F ( x, y)  xy  y 2 является однородной функцией порядка 2. В самом деле,
F (x, y)  (x)(y)  (y)2  2 ( xy  y 2 )  2 F ( x, y) .
2.
F ( x, y ) 
xy  y 2
- однородная функция нулевого порядка.
x2
Если F ( x, y ) - однородная функция нулевого порядка, то, положив  
равенстве
F (x, y )  F ( x, y ) ,
имеем:
 y
 y
F ( x, y )  F 1,      .
 x
 x
1
в
x
Например,
xy  y 2 y  y 
F ( x, y ) 
   .
x2
x x
Определение. Д.у. y /  f ( x, y ) (2) называется однородным, если его правая
2
часть f ( x, y ) является однородной функцией нулевого порядка.
Из предыдущего следует, что тогда д.у. (2) можно записать в виде y /   y  ,
x
поэтому однородное д.у. сводится к уравнению с разделяющимися переменными
заменой
z
y
,
x
или
y  zx ,
где
z  z (x)
- новая неизвестная функция.
Действительно, тогда y /  z  z / x , и исходное уравнение может быть переписано
в виде z  z / x  f ( z ) , или z / x  f ( z )  z , и переменные при f ( z )  z разделяются
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
dz
dx
.

f ( z ) z x
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 125 из 228
Заметим, что в случае f ( z )  z исходное уравнение уже является
уравнением с разделяющимися переменными.
Если д.у. записано в дифференциальной форме M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 (3), то
можно показать, что оно является однородным тогда и только тогда, когда
функции M ( x, y ) и N ( x, y ) - однородные функции одного и того же порядка.
 a xb y c 
Уравнения вида y /  f  1 1 1  приводятся к однородному переносом
 a 2 xb2 y c 2 
начала координат в точку ( x0 , y0 ) пересечения прямых a1 xb1 yc1  0, a2 xb2 yc2  0,
если определитель
a1
a2
b1
b2
отличен от нуля; для этого делается подстановка
x    x0 , y    y0 .
Если
определитель
равен
нулю,
то
замена
a1 x  b1 y  z приводит исходное уравнение к уравнению с разделяющимися
переменными.
Линейные д.у. первого порядка
Д.у. первого порядка вида
a1( x) y  a0 ( x) y  b( x) , линейное относительно
неизвестной функции и её производной, называется линейным д.у. Обычно его
записывают в виде
(6)
y  p ( x ) y  q ( x ) ,
называемым нормальным. Если q( x)  0, то уравнение называется линейным
однородным, в противном случае – линейным неоднородным.
Однородное линейное д.у. y  p( x) y  0 является д.у. с разделяющимися
переменными.
Разделяя в нём
переменные, получаем:
dy
  p( x)dx ,
y
или,
интегрируя обе части: ln y    p( x)dx  ln C , C  0 . С учётом обозначения
имеем тогда общее решение y  C exp  p( x)dx . . Постоянная С здесь
может принимать любые значения, т.к. при C  0 имеем решение y  0 ,
«потерянное» на этапе разделения переменных.
Решение неоднородного линейного д.у. (6) можно искать разными
способами.
В методе Бернулли решение уравнения (6) находится в виде y  u ( x)  v( x) ,
где u (x) и v(x) - неизвестные функции. Для их нахождения подставим y  u  v в
exp( x)  e x
(6):
dv
du
v
 puv  q . Сгруппировав третье слагаемое с первым:
dx
dx
dv
du
 du

 dv

 pu   u
 q , требуем, чтобы
u   pv   v
 q , или со вторым: v
dx
dx
 dx

 dx

u
скобка обратилась в нуль, и решаем получившееся линейное однородное
д.у.
dv
так, как описано выше. Например, в первом варианте имеем:
 pv  0 . Выбрав
dx
из его общего решения какое-нибудь одно частное решение v(x) и подставив
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 126 из 228
его обратно в д.у. с группировкой, получим д.у. с разделяющимися
переменными относительно второй функции u (x) .
Другой способ решения линейного неоднородного д.у. (6) называется
методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.
Согласно этому методу решается вначале линейное однородное д.у.
y  p ( x) y  0 , соответствующее данному неоднородному д.у. (6), т.е. полученное
из него постановкой нуля вместо правой части q(x) . Его общее решение
найдено выше: y  C exp  p( x)dx . . Суть метода заключается в том, что решение
неоднородного уравнения (6) мы находим в ЭТОМ ЖЕ виде, где на месте
постоянной C стоит неизвестная пока функция C (x), т.е. в виде
y  C ( x) exp  p( x)dx. Т.к. это выражение есть решение уравнения (6), то,
подставив, получим тождество, имеющее вид д.у. относительно функции C (x) .
Найдя из него C (x) , определяем общее решение исходного неоднородного д.у.
(6).
Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение
y  p ( x ) y  q ( x ) y n
(7)
называется уравнением Бернулли.
Так как при n  0 получается линейное д.у., а при
д.у. с
n 1 разделяющимися переменными, то далее предполагаем, что n  0 и n  1 .

Разделим обе части (7) на y n , получим: yn  p(nx1)  q( x) . Сделаем замену 1n 1  z ,
y
тогда имеем
y
z
.

n
1

n
y
y
Подставляя в д.у., получим:
y
z
 p( x) z  q( x) ,
1 n
или, что
то же самое,
z  (1  n) p ( x) z  (1  n)q ( x) . Это линейное неоднородное д.у.,
которое мы решать умеем.
Методы Бернулли и Лагранжа можно применить к уравнению Бернулли и
непосредственно, не приводя его предварительно к линейному.
Уравнения в полных дифференциалах
Рассмотрим д.у. первого порядка в дифференциальной форме (3):
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 .
Если существует функция U ( x, y ) такая, что её полный дифференциал dU ( x, y )
совпадает с левой частью (3): dU ( x, y)  M ( x, y)dx  N ( x, y)dy , то уравнение (3)
называется уравнением в полных дифференциалах.
Из курса математического анализа известно, что необходимым и
достаточным условием того, чтобы выражение M ( x, y)dx  N ( x, y)dy было полным
дифференциалом некоторой функции U ( x, y ) , является тождество
M N

y
x
,
(8)
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 127 из 228
называемое обычно «признак полного дифференциала». Таким образом, при
выполнении условия
(8) д.у. (3) является уравнением в полных
дифференциалах и легко решается, если знать функцию U ( x, y ) ,
дифференциалом которой является левая часть уравнения. В этом случае его
можно записать в виде dU ( x, y )  0 , откуда легко найти общий интеграл
U ( x, y )  C .
Другой способ нахождения функции U ( x, y ) связан со следующей теоремой
из курса математического анализа:
Теорема. Выражение M ( x, y)dx  N ( x, y)dy является полным дифференциалом
некоторой функции U ( x, y ) тогда и только тогда, когда криволинейный интеграл
 M ( x, y)dx  N ( x, y)dy не зависит от пути интегрирования в односвязной области G
L
изменения переменных x и y (Как известно из того же курса, заданное в области

G плоское векторное поле F ( x, y)  M ( x, y) , N ( x, y) называется в этом случае
потенциальным, а скалярная функция U ( x, y ) - его потенциалом).
В ходе доказательства указанной теоремы функция U ( x, y ) восстанавливается
в виде криволинейного интеграла от M ( x, y)dx  N ( x, y)dy вдоль любого пути,
соединяющего некоторую фиксированную точку ( x0 , y0 ) , лежащую в области G,
с переменной точкой ( x , y ) :
( x, y )
y
y
( x, y )
( x0 , y )
( x, y )
U ( x, y ) 
 M ( x, y)dx  N ( x, y)dy .
( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
O
( x, y 0 )
( x0 , y 0 )
x
O
x
Рис.Б
Рис.А
x
y
x0
y0
y
x
y0
x0
U ( x, y )   M ( x, y0 )dx   N ( x, y )dy ,
если
Здесь
в
качестве
пути
интегрирования
удобно
брать
ломаную
из
двух
звеньев,
параллельных осям координат: Если
выбрать путь так, как на рис.А, то
так,
как
на
рис.Б,
то
U ( x, y )   N ( x0 , y )dy   M ( x, y )dx .
Взяв дифференциал некоторой функции двух переменных и приравняв
его к нулю, получим уравнение в полных дифференциалах. Сократив на общий
множитель (если он есть), мы, скорее всего, получим д.у., не являющееся
уравнением в полных дифференциалах. Поэтому возникает обратная задача:
для заданного д.у. первого порядка в дифференциальной форме подобрать
функцию  ( x, y ) так, чтобы, умножив на неё обе части уравнения, получить
уравнение в полных дифференциалах. Эта задача носит название задачи о
нахождении интегрирующего множителя. Можно доказать, что всякое д.у.
первого порядка, имеющее общий интеграл, обладает бесконечным числом
интегрирующих множителей, однако задача их отыскания в общем случае
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 128 из 228
сложна – сложнее, чем решение самого уравнения. Интегрирующий множитель
 ( x, y ) удаётся найти только в некоторых частных случаях.
Постановка задачи о выделении решений. Теорема существования и
единственности.
Множество решений д.у. первого порядка y   f ( x, y) (1), разрешённого
относительно производной, есть некоторое семейство функций y   ( x, C ) ,
зависящее от произвольной константы C и названное нами общим решением.
Чтобы определить значение постоянной С и выделить конкретное частное
решение, требуется наложить некоторые условия. Т.к. постоянная в общем
решении одна, то и условие требуется только одно; для д.у. первого порядка
оно записывается в виде
или y x  x  y0
(1*)
y( x0 )  y 0
0
и называется начальным условием.
Задача нахождения решения д.у., удовлетворяющего начальному условию,
называется задачей Коши и формулируется следующим образом: найти
решение дифференциального уравнения (1) , удовлетворяющее начальному
условию (1*). Геометрический смысл задачи Коши состоит в нахождении
интегральной кривой уравнения (1), проходящей через заданную точку
M 0 ( x0 , y0 ) .
Выясним, каким условиям должна удовлетворять правая часть f ( x, y ) д.у. (1),
чтобы решение задачи Коши существовало и было единственным.
Определение. Будем говорить, что функция f ( x, y ) удовлетворяет условию
Липшица по y в области D , если для любых двух точек ( x, y1 ), ( x, y 2 ) из D
выполнено неравенство
f ( x, y1 )  f ( x, y2 )  L  y1  y2 ,
где L - некоторая константа, не зависящая от x и y и называемая постоянной
Липшица.
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Пусть в
уравнении (1) правая часть f ( x, y )
1) непрерывна в прямоугольнике D   x0  a  x  x0  a, y0  b  y  y0  b;
2) удовлетворяет в области D условию Липшица по y .
Тогда существует единственная функция y  Y (x) , непрерывная на некотором
отрезке [ x0  h , x0  h] , имеющая на нём непрерывную производную и
удовлетворяющая уравнению (1) и начальному условию (1*).
Замечание. Вместо требования выполнения условия Липшица по y часто
требуют, чтобы функция
f ( x, y )
имела непрерывную частную производную f в
y
области D. Это условие проверять легче.
Теорема существования и единственности гарантирует, что при выполнении
её условий через точку ( x0 , y 0 )  D проходит только одно решение уравнения (1).
Если условия теоремы нарушаются в некоторой точке, то через неё может
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 129 из 228
проходить больше, чем одно решение (нарушается единственность), либо не
проходить ни одного решения (нарушается существование).
Лекция 15. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Уравнения высших порядков
Общие сведения
Д.у. n  го порядка называется уравнение вида
F ( x, y, y ,..., y ( n ) )  0 .
(1)
Его решением называется всякая функция y (x) , обращающая (1) в тождество.
Если уравнение (1) удаётся представить в виде
(2)
y ( n )  f ( x, y,..., y ( n 1) ) ,
то его называют д.у. n  го порядка, разрешённым относительно старшей
производной.
Рассмотрим простейшее д.у. второго порядка y //  f ( x) . Интегрируя его
два раза, имеем: y /   f ( x)dx  C1 , y    f ( x)dx dx  C1 x  C 2 , где C1 , C 2 произвольные постоянные. Подобное имеет место для любого д.у. порядка
выше первого: его общее решение будет содержать столько произвольных
постоянных, каков его порядок. В случае д.у. 2-го порядка
(3)
F ( x, y, y , y // )  0
его общее решение записывается формулой y   ( x, C1 , C 2 ) , а общий интеграл –
формулой ( x, y, C1 , C 2 )  0 .
Для выделения частных решений из общего требуется задание
дополнительных условий. Так, при решении д.у. 2-го порядка для определения
двух произвольных постоянных C1 , C 2 потребуется два условия, а в уравнении
5-го порядка – целых пять.
Чаще всего задают начальные условия, т.е. условия вида
(4)
y ( x0 )  y00 , y( x0 )  y01 , ..., y ( n 1) ( x0 )  y0n 1 .
Определение. Общим решением уравнения n-го порядка (1) назовём его
решение y   ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) , содержащее n произвольных постоянных C1 , C2 ,..., Cn ,
которые можно подобрать так, чтобы удовлетворить любым заранее
выбранным начальным условиям (4).
Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего
начальным условиям (4), носит название задачи Коши. Для д.у. 2-го порядка
задача Коши задаётся так: найти решение д.у. (3), удовлетворяющее начальным
условиям
(3*)
y ( x0 )  y00 , y( x0 )  y01 .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 130 из 228
Геометрически речь идёт о нахождении интегральной кривой y  y (x) ,
проходящей через заданную точку M 0 ( x0 , y0 ) и имеющей в этой точке заданный
наклон касательной tg  y0/ .
Механическое истолкование подобной задачи основано на втором законе
Ньютона. Если материальная точка массы m движется по оси Ох под действием
силы F t , x, dxdt  , зависящей от времени t, положения точки х и её скорости dxdt в
момент времени t, то согласно второму закону Ньютона
d 2x
dx 

 f  t , x,  ,
2
dt
dt 

где
(6)
d 2x
- ускорение точки в момент времени t; f  t , x, dx   1 F  t , x, dx  .
2
dt
dt  m 
dt 

Уравнение (6) выражает закон движения в дифференциальной форме;
всякому его решению x  x(t ) соответствует определённый закон движения
точки по оси Ох. Задача Коши для уравнения движения (6) состоит в
нахождении закона движения x(t ) , удовлетворяющего заданным значениям
положения точки
x(t0 )  x0
и её скорости
dx
(t0 )  v0 в начальный момент времени
dt
t0 .
Для д.у. n  го порядка (2), разрешённого относительно производной,
справедлива следующая
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если
правая часть f ( x, z1 , z2 ,..., zn ) уравнения (2) непрерывна по совокупности
аргументов и удовлетворяет условиям Липшица по аргументам z1 , z 2 ,..., z n , то
найдётся окрестность точки x0 , в которой решение уравнения (2),
удовлетворяющее начальным условиям (4), существует и единственно.
(Функция f ( x, z1 , z2 ,..., zn ) удовлетворяет условию Липшица по аргументам
z1 , z 2 ,..., z n в области D , если для любых двух точек ( x, z11 , z 12 ,..., z 1n ), ( x, z12 , z 22 ,..., z n2 ) из
n
D выполнено неравенство f ( x, z11 , z12 ,..., z1n )  f ( x, z12 , z22 ,..., zn2 )   L zi1  zi2 , где
L-
i 1
постоянная Липшица, не зависящая от аргументов x , z1 , z 2 ,..., z n ).
Теорема существования и единственности гарантирует, что при выполнении
её условий через точку ( x0 , y 0 , y10 ,..., y 0n1 )  D проходит только одно решение этого
уравнения. Если условия теоремы нарушаются в некоторой точке, то через неё
может проходить больше, чем одно решение (нарушается единственность),
либо не проходить ни одного решения (нарушается существование).
Возможны иные постановки задач. Так, для д.у. второго порядка может
ставиться краевая или граничная задача: найти на отрезке x0 , x1  решение
уравнения F ( x, y, y, y)  0 , удовлетворяющее на концах отрезка условиям
 0 y ( x0 )   0 y( x0 )   0 ,
,

 1 y ( x1 )  1 y( x1 )   1.
где  i ,  i ,  i (i  0,1) - некоторые числа.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 131 из 228
Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
В некоторых случаях можно свести д.у. порядка выше первого к д.у.
более низкого порядка.
I. Уравнения вида
решаются последовательным
y ( n)  f ( x)
интегрированием n раз:
y
( n 1)
x
  f ( x)dx  C1 ,
y( n  2 ) 
x0
x

 f ( x )dx dx  C ( x  x )  C ,
1
0
2


x0  x0

x
и т.д.
II. В уравнениях вида F ( x, y (k ) , y (k 1) ,..., y (n) )  0 , k  1 , не содержащих явно
неизвестную функцию
а также, возможно, несколько её
y,
последовательных младших производных y / , y // ,..., y k 1 , порядок понижается
с
помощью
замены
неизвестной
функции
Тогда
y ( k )  z ( x) .
/
( n k )
(
n
)
(
n

k
)
( k 1)
)  0 порядка n  k .
( x) , и мы приходим к д.у. F ( x, z, z ,..., z
y
 z( x), ... , y  z
Найдя его решение z   ( x, C1, C2 ,..., Cn  k ) и возвращаясь к “старой” неизвестной y,
получаем уравнение y (n  k )   ( x, C1, C2 ,..., Cn  k ) рассмотренного выше I типа.
III. Следующим типом уравнений, допускающих понижение порядка,
является уравнение вида
содержащее явно
F ( y, y / , y // ,..., y ( n ) )  0 , не
независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены
y /  p( y ) , где y – независимая переменная, а p - новая искомая функция,
зависящая от y . Тогда
y // 
y /// 
 p //  p 2  ( p / ) 2  p
dp dp dy


 p /  p,
dx dy dx
d
dp /
dp dp / dy
dp dy
( p /  p) 
 p  p/


 p  p/ 


dx
dx
dx
dy dx
dy dx
и т.д. Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок
на единицу.
IV. Уравнения, однородные относительно неизвестной функции и её
производных. Левая часть такого д.у. есть однородная функция (некоторого
порядка k) относительно y, y / ,..., y ( n ) , т.е. F ( x, ty, ty / ,..., ty ( n ) )  t k F ( x, y, y / ,..., y ( n ) ) . В
этом случае вводят новую неизвестную функцию z (x) по формуле y  e 
zdx
/
или z  y . Тогда y /  yz , y //  yz /  y / z  yz /  yz 2 и т.д. При подстановке в д.у. в
y
силу однородности F множитель y вынесется в степени k и на него можно будет
сократить, т.к. по определению y  0 . После этого будем иметь д.у.
относительно z порядка на единицу меньшего, чем исходное д.у.
V. Если левая часть д.у. (1) F ( x, y, y ,..., y ( n ) )  0 является производной
некоторого дифференциального выражения, то д.у. можно переписать в виде
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
d
( x, y, y / ,..., y ( n 1) )  0 ,
dx
откуда
Ред. № 1 от 29.08.2013
 ( x, y, y / ,..., y ( n 1) )  C1 ,
стр. 132 из 228
и
порядок
исходного
уравнения оказывается пониженным на единицу.
VI. Бывает также возможность понизить порядок д.у., проведя
некоторые преобразования.
Пример:
Если обе части уравнения yy ///  y / y // разделить на yy //  0 , то получим уравнение
y /// y /

y //
y
, которое можно переписать в виде (ln y // ) /  (ln y ) / . Из последнего
соотношения следует, что ln y //  ln y  ln C , или, что то же самое, y //  Cy.
Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа III.
Во многих практических задачах изучаемые функции и их производные
принимают настолько малые значения, что их квадратами, кубами и более
высокими степенями можно пренебречь. Это позволяет заменить произвольные
зависимости между величинами линейными зависимостями. Применяя эту
операцию, называемую линеаризацией, к д.у., описывающему изучаемый
процесс, получаем д.у., в которое искомые функции и их производные входят
линейно. Такие д.у. называются линейными.
Определение. Д.у. n-го порядка F ( x, y, y,..., y ( n ) )  0 называется
линейным, если его левая часть F ( x, y, y,..., y (n ) ) линейна относительно
неизвестной функции y и её производных y,..., y ( n ) , т.е. д.у. имеет вид
an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a0 ( x) y  f ( x) .
(1)
Здесь ak (x) , k  0 ,...,n , - коэффициенты д.у., an ( x)  0 , f (x) называется
правой частью д.у.; все функции считаются непрерывными на некотором
отрезке a, b.
Определение. Если в д.у. (1) правая часть f ( x)  0 , то оно называется
линейным однородным д.у. (ЛОДУ). Если правая часть не равна
тождественно нулю, то д.у. (1) называется линейным неоднородным (ЛНДУ).
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для
линейных д.у. порядка n ):
Пусть функции ak ( x), 0  k  n , и f (x) определены и непрерывны на отрезке
 ,   , an ( x)  0 для всякого x из  ,   , и пусть x 0 - некоторая точка этого
отрезка.
Тогда
для
любого
набора
начальных
данных
y ( x0 )  y00 , y / ( x0 )  y10 , ..., y ( n 1) ( x0 )  y0n 1 существует единственное решение
уравнения (1), определённое на всём отрезке  ,   .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 133 из 228
В дальнейшем будем иногда пользоваться краткими записями уравнения
n
(1):
 ak ( x) y (k ) 
f ( x) ,
или
даже
L[ y]  f ( x) ,
где
k 0
L [ y ]  an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y  a0 ( x) y - левая часть (1).
Линейная независимость функций
Определение. Система функций y1 , y2 ,..., ym называется линейно
зависимой на отрезке [a, b] , если существуют числа 1 ,  2 ,..., m , не все из
которых равны нулю, такие, что
m
1 y1   2 y2  ...   m ym   i yi  0
i 1
всюду на [a, b] , и линейно независимой, если такого ненулевого набора не
существует.
Для систем функций справедливы следующие свойства, доказательства
которых аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для
систем векторов:
1. Система функций y1 , y2 ,..., ym  линейно зависима на отрезке [a, b] тогда и
только тогда, когда одна из функций есть линейная комбинация остальных.
2. Всякая система функций, содержащая функцию, тождественно равную нулю
на отрезке [a, b] , линейно зависима на [a, b] .
3. Всякая система функций, содержащая линейно зависимую на отрезке [a, b]
подсистему функций, линейно зависима на [a, b] .
Приведём примеры линейно зависимых и линейно независимых систем
функций.
1. Система функций 1, cos 2 x, sin 2 x линейно зависима на всей числовой оси,


так как по основному тригонометрическому тождеству 1  cos 2 x  sin 2 x .


2. Функции 1, x, x 2 ,..., x n образуют линейно независимую систему на любом
отрезке числовой прямой, т.к. по основной теореме алгебры многочлен степени
n , у которого хотя бы один коэффициент отличен от нуля, не может обращаться
в нуль более чем в n точках, т.е. не существует чисел  0 ,1 ,..., n , не все из
которых равны нулю, таких, что  0  1 x  ...   n x n  0 (т.е. для всех х).
Не всегда удаётся легко показать линейную зависимость или линейную
независимость систем функций, пользуясь только определением. Для
выяснения этого вопроса служит построенный ниже определитель.
Определение. Пусть y1 , y2 ,..., ym  - система m  1 раз непрерывно
дифференцируемых функций. Определитель
y1
y2
...
ym
/
/
y1
y2
...
ym/
W ( y1 ,..., ym ) 
 W ( x) ,
...
...
...
...
y1( m 1) y2( m 1) ... ym( m 1)
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 134 из 228
называется определителем Вронского или вронскианом системы функций
y1, y2 ,..., ym .
Определитель Вронского служит индикатором линейной зависимости
системы функций.
Теорема. Если система функций y1 , y2 ,..., ym  линейно зависима на
[ ,  ] , то её определитель Вронского W ( y1 ,..., ym ) тождественно равен нулю на
отрезке [ ,  ] .
Доказательство. Пусть система функций y1 , y 2 ,..., y m  линейно
зависима. Тогда по свойству 1 одну из них можно представить в виде линейной
комбинации остальных. Подставляя эту линейную комбинацию в определитель
Вронского, получаем, что при любом фиксированном x соответствующий
столбец есть линейная комбинация остальных. Следовательно, по свойствам
определителя, он равен нулю для всех x [ ,  ] . Теорема доказана.
Следствие. Если W ( y1 ,..., ym )  0 хотя бы в одной точке [ ,  ] , то
система функций y1 , y2 ,..., ym  линейно независима на [ ,  ] .
Примеры.
1. Система  cos x, sin x линейно независима на любом промежутке, т.к.
cos x sin x
W ( x) 
 cos2 x  sin 2 x  1  0 .
 sin x cos x
2. Система
e , xe 
x
x
линейно независима на любом промежутке, т.к.


ex
xe x
W ( x)  x
 e x e x  xe x  e x xe x  e2 x  0 ни в одной точке.
x
x
e e  xe
Замечание. Обратное теореме утверждение неверно. Возможны случаи,
когда W ( y1 ,..., ym )  0 на [ ,  ] , но система y1 , y2 ,..., ym  линейно независима!
Линейные однородные д.у. n-го порядка (ЛОДУ)
Имеют вид
(2)
L [ y ]  an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a0 ( x) y  0
и обладают двумя основными свойствами:
1. Если функция y  y(x) является решением ЛОДУ (2), то и любая функция
вида C y(x) , где C=const, также является его решением:
L(Cy)  по свойству производной C можно вынести  C L( y)  0 по
условию.
2. Если функции y1 , y2 являются решениями ЛОДУ (2), то y1  y2 также
является решением (2). Доказывается аналогично по свойству производной.
Следствие. Любая линейная комбинация решений ЛОДУ (2) снова есть
его решение.
Займёмся построением общего решения ЛОДУ (2). Оно должно
содержать n произвольных постоянных C1 ,...,Cn - ровно столько, каков
порядок д.у. (2). Может показаться, что достаточно найти какие-либо n частных
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 135 из 228
решений y1 , y2 ,..., yn и составить их линейную комбинацию y  C1 y1  ...  Cn yn .
Однако она, хотя и является решением д.у. (2) в силу следствия, вовсе не
обязана быть его общим решением.
Докажем вначале две следующих теоремы.
Теорема. Для любого ЛОДУ порядка n существует система, состоящая
из n линейно независимых решений этого уравнения.
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
Доказательство. Возьмём матрицу A  
с определителем,
..................... 


a
a
...
a
nn 
 n1 n 2
отличным от нуля. Тогда строки и столбцы этой матрицы линейно независимы.
Найдём такие решения y j ( x) ( j  1,2,...n) ЛОДУ (2), чтобы выполнялись
соотношения y (jk ) ( x0 )  ak 1, j ; k  0, 1,..., n  1 . По теореме существования и
единственности такой набор решений существует. Найденная система решений
y1, y2 ,..., yn  линейно независима, так как её определитель Вронского в точке
x 0 совпадает с определителем матрицы. Теорема доказана. Матрицу А можно
взять единичную.
Теорема. Если y1 , y2 ,..., yn  - линейно независимая система n решений
ЛОДУ n -го порядка (2) с непрерывными на [ ,  ] коэффициентами и an ( x)  0
для всех x [ ,  ] , то её определитель Вронского W ( y1 ,..., ym ) отличен от нуля
для всех x [ ,  ] .
Доказательство. От противного. Пусть W ( x0 )  0 в точке x0  [ ,  ] .
Составим однородную систему линейных алгебраических уравнений из n
уравнений относительно n
неизвестных, которые обозначим C1 ,...,Cn :
 C1 y1 ( x0 )  ...  Cn yn ( x0 )  0
 C y / ( x )  ...  C y / ( x )  0
 1 1 0
n n
0
. Её определитель совпадает с W ( x0 ) , и т.к. он

..........
..........
..........
..........
..........
.

 C1 y1( n 1) ( x0 )  ...  Cn yn( n 1) ( x0 )  0
равен 0, то записанная система имеет по крайней мере одно ненулевое решение
C10 ,...,Cn0 . Рассмотрим функцию y  C10 y1  ...  Cn0 yn . По следствию из свойств
ЛОДУ функция у является решением ЛОДУ (2). При этом из первого уравнения
системы получаем, что y ( x0 )  C10 y1 ( x0 )  ...  Cn0 yn ( x0 )  0 , из второго
уравнения системы - y / ( x0 )  C10 y1/ ( x0 )  ...  Cn0 yn/ ( x0 )  0 , …, из последнего
уравнения системы - y ( n 1) ( x0 )  C10 y1( n 1) ( x0 )  ...  Cn0 yn( n 1) ( x0 )  0 . Получили,
что у
удовлетворяет ЛОДУ (2) и нулевым начальным условиям
y ( x0 )  0, y / ( x0 )  0, ..., y ( n 1) ( x0 )  0 . Таким начальным условиям, очевидно,
удовлетворяет тривиальное решение y  0 , а по теореме существования и
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 136 из 228
единственности решения задачи Коши это решение
- единственное.
Следовательно, y  C10 y1  ...  Cn0 yn  0 , а поскольку не все числа C10 ,...,Cn0
равны нулю, то система y1 , y2 ,..., yn  линейно зависима. Противоречие.
Определение. Фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОДУ n -го
порядка (2) называется система любых n его линейно независимых частных
решений .
Теорема (о виде общего решения ЛОДУ (2)). Если y1 , y2 ,..., yn - ФСР
ЛОДУ (2), то его общее решение y00 может быть представлено формулой
y00  C1 y1  ...  Cn yn ,
(3)
где C1 ,...,Cn - произвольные постоянные.
Доказательство. Решение (3) будет общим, т.е. содержать все без
исключения частные решения д.у. (2), если можно так подобрать произвольные
постоянные C1 ,...,Cn , чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные
условия y ( x0 )  y00 , y( x0 )  y10 , , y ( n 1) ( x0 )  y0n 1 , где x0 - любая точка
промежутка [ ,  ] . Потребовав выполнения начальных условий, получим
систему линейных алгебраических уравнений
 C1 y1 ( x0 )  ...  Cn yn ( x0 )  y0

/
/
/
 C1 y1 ( x0 )  ...  Cn yn ( x0 )  y0

 ...................................................
 C1 y1( n 1) ( x0 )  ...  Cn yn( n 1) ( x0 )  y0( n 1)
C1 ,...,Cn и определителем, являющимся определителем
с неизвестными
Вронского W системы y1 , y2 ,..., yn , вычисленным в точке x0 . Т.к. y1 , y2 ,..., yn это ФСР, то W ( x0 )  0 , и система уравнений имеет решение C1 ,...,Cn при
любом выборе точки x0 и начальных условий, что и требовалось доказать.
Поиск ФСР ЛОДУ для составления yоо в общем случае является трудной
задачей. Тем не менее есть класс уравнений, для которого эта задача
достаточно легко решается.
ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Так называют ЛОДУ (2), у которого коэффициенты постоянны, т.е.
ai  x   ai  const :
L [ y ]  an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a0 ( x) y  0 .
(5)
Для построения ФСР ЛОДУ (5), следуя Эйлеру, будем искать его
y  e rx , r  const . Тогда y /  r  e rx , y //  r 2  e rx ,…,
решение в виде
y ( n )  r n  e rx . Подставляя в (5) и вынося за скобки общий для всех слагаемых
множитель e rx , получаем:
нуль не обращается, то
L(e rx )  e rx (an r n  ...  a1r  a0 )  0 . Т.к. e rx нигде в
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
an r  an 1r
n
Ред. № 1 от 29.08.2013
n 1
 ...  a1r  a0 
стр. 137 из 228
n
 ak r k  0 .
(6)
k 0
Уравнение (6) называется характеристическим уравнением ЛОДУ с
постоянными коэффициентами (5).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Функция y  e rx является решением ЛОДУ с постоянными
коэффициентами (5) тогда и только тогда, когда число r есть корень
характеристического уравнения (6).
Замечание. Для составления характеристического уравнения (6)
достаточно заменить в ЛОДУ (5) производные y (k ) на соответствующие
степени r k (считая при этом саму функцию у нулевой производной y ( 0 ) ).
Корни
характеристического
уравнения
(6)
называются
характеристическими числами ЛОДУ (5). Как известно из алгебры, всего
их n (с учётом кратности). Структура ФСР и, как следствие, структура
общего решения определяются видом характеристических чисел.
Возможно 3 следующих случая.
Случай 1. Все корни характеристического уравнения (6) действительные
и различные.
Обозначим их r1 , r2 ,...,rn . Тогда получим n различных частных решений ЛОДУ
(5)
y1  e r1 x , y2  e r2 x ,…, yn  e rn x .
(7.1)
Докажем, что полученная система решений линейно независима.
Рассмотрим её определитель Вронского:
r1 x
r2 x
W (e , e ,...,e
rn x
)
e r1 x
e r2 x
...
e rn x
r1e r1 x
r2e r2 x
...
rn e rn x
...
...
...
...
r1n 1e r1 x
 e ( r1  r2 ... rn ) x
( r  r  ...  r ) x

r2n 1e r2 x ... rnn 1e rn x
1
1
...
1
r1
...
r2
...
r1n 1
r2n 1
... rn
.
... ...
... rnn 1
rx
r x
r x
n
Множитель e 1 2
в правой части W (e 1 , e 2 ,..., e n ) нигде в
нуль не обращается. Поэтому осталось показать, что второй сомножитель
(определитель) не равен нулю. Предположим, что это не так, т.е.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
1
1
r1
...
r2
...
...
стр. 138 из 228
1
... rn
 0.
... ...
r1n 1 r2n 1 ... rnn 1
Тогда строки этого определителя линейно зависимы, т.е. существуют
b1 , b 2 , ..., b n ,
числа
не
все
равные
нулю
и
такие,
что
b1  b2 r1  b3r12  ...  bn r1n 1  0 , b1  b2 r2  b3r22  ...  bn r2n 1  0 , …,
b1  b2 rn  b3rn2  ...  bn rnn 1  0 .
Это означает, что числа r1 ,..., rn суть n различных корней многочлена
(n  1) -ой степени, что невозможно. Следовательно, определитель в правой
части W (e r1 x , e r2 x ,...,e rn x ) не равен нулю, система функций (7.1) линейно
независима и образует ФСР ЛОДУ (5).
Таким образом, общее решение ЛОДУ (5) в рассматриваемом случае
y  C1 e r1 x  C2 e r2 x  ...  Cn e rn x .
можно записать в виде
(8.1)
Случай 2. Все корни характеристического уравнения (6)
действительные, но среди них есть кратные.
Предположим без ограничения общности, что корень r1 имеет кратность s,
а все остальные корни различны. Рассмотрим вначале случай r1  0 . Из алгебры
многочленов следует, что тогда характеристическое уравнение (6) должно
иметь вид an r n  an 1r n 1  ...  as r s  0 , так как иначе r1 не являлось бы корнем
кратности
s.
Следовательно,
ЛОДУ
(5)
имеет
вид
( n)
( n 1)
(s)
an y  an 1 y
 ...  as y  0 , т.е. не содержит производных порядка ниже s.
Этому уравнению удовлетворяют все функции, у которых производные
порядка s и выше равны нулю. В частности, таковыми являются все
многочлены степени не выше s  1 , например, 1, x, x 2 ,..., x s 1 .
Покажем, что данная система функций линейно независима. Составив
определитель
Вронского
этой
системы,
получим:
s 1
1 x .....
x
0 1 .... ( s  1) x s  2
W (1, x, x 2 ,..., x s 1 ) 
. Это определитель верхнетреугольной
...........................
0 0 ..... ( s  1)!
матрицы с отличными от нуля элементами на главной диагонали, поэтому он не
равен нулю, что и доказывает линейную независимость системы функций
1, x, x 2 ,..., x s 1 .
Пусть теперь r1  0 . Произведём в ЛОДУ (5) замену y  ze r1 x  z exp( r1 x) .
Тогда y /  ( z /  r1 z )e r1 x , y //  ( z //  2r1 z /  r12 z )e r1 x и т. д. Подставляя полученные
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 139 из 228
значения производных в (5), снова получим ЛОДУ с постоянными
коэффициентами
L1 ( z )  bn z ( n )  bn 1 z ( n 1)  ...  b1 z /  b0 z  0
(5*)
с характеристическим уравнением
bn k n  bn 1k n 1  ...  b1k  b0  0 .
(6*)
Если k - корень характеристического уравнения (6*), то z  e kx - решение
уравнения (5*), а y  ze r1 x  e( k  r1 ) x является решением уравнения (5). Тогда
r  k  r1 - корень характеристического уравнения (6). С другой стороны,
уравнение (5) может быть получено из уравнения (5*) обратной заменой
z  ye  r1 x и поэтому каждому корню характеристического уравнения (6)
соответствует корень k  r  r1 характеристического уравнения (6*). Таким
образом, установлено взаимно однозначное соответствие между корнями
характеристических уравнений (6) и (6*), причём различным корням одного
уравнения соответствуют различные корни другого. Так как r  r1 - корень
кратности s уравнения (6), то уравнение (6*) имеет число k  0 корнем кратности
s, и по доказанному ранее, уравнение (5*) имеет s линейно независимых
решений z1  1, z2  x , z3  x 2 ,..., zs  x s 1 , которым соответствует s линейно
независимых решений y1  e r1 x , y2  xe r1 x , y3  x 2e r1 x ,..., ys  x s 1e r1 x уравнения
(5). Присоединяя полученную систему s решений к n  s решениям,
соответствующим остальным корням rs 1 ,...,rn характеристического уравнения
(которые различны), получим ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами (5)
в случае наличия действительных кратных корней:
y1  e r1 x , y2  xe r1 x , y3  x 2e r1 x ,..., ys  x s 1e r1 x , ys 1  e rs 1 x ,..., yn  e rn x . (7.2)
Таким образом, общее решение ЛОДУ (5) в рассматриваемом случае
можно записать в виде
y  C1e r1 x  C2 xe r1 x  C3 x 2e r1 x  ...  Cs x s 1e r1 x  Cs 1 e rs 1 x  ...  Cn e rn x .
(8.2)
Случай 3. Среди корней характеристического уравнения есть
комплексные корни.
Согласно изложенному выше каждому комплексному корню rj     i
кратности
s характеристического уравнения (6) соответствует набор
yl  xl 1e(   i ) x ( l  1 ,... , s ). Однако
комплексных частных решений
рассматривать комплексные решения не всегда удобно, поэтому найдём
действительные решения, соответствующие комплексным корням. Так как мы
рассматриваем ЛОДУ с действительными коэффициентами, то для каждого
комплексного корня rj     i кратности s характеристического уравнения
(6) комплексно сопряжённое ему число rk  rj     i также является корнем
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 140 из 228
кратности s этого уравнения, которому соответствует свой набор комплексных
частных решений yl  xl 1e(   i ) x , l  1 ,... , s .
Рассмотрим вместо этих решений их линейные комбинации
y  yl
y  yl
~
l 1 ,..., s , которые
y1l  l
 xl 1ex cos x, y2l  l
 xl 1ex sin x ,
2
2i
также являются решениями ЛОДУ (5). Так как преобразование,
осуществляющее переход от yl , yl к ~y1l , ~y2l , l  1 ,..., s , невырожденное (с
отличным от нуля определителем), то оно переводит линейно независимую
систему решений в линейно независимую.
Таким образом, если характеристическое уравнение (6) имеет пару
комплексно сопряжённых корней    i , каждый кратности s, то в ФСР ЛОДУ
(5) им соответствует подсистема функций
xl 1ex cos x, xl 1ex sin x , l  1 ,... , s .
(7.3)
Общее решение ЛОДУ (5) в этом случае имеет вид .
y  ...  C j ex cos x  C j 1x ex cos x  ...  C j  l xl 1ex cos x 
(8.3)
x
x
l 1 x
 C j  l 1 e sin x  C j  l  2 x e sin x  ...  C j  l  s x e sin x  ... .
Более
компактная
запись:
x
l 1
l 1
y  ...  e (C j  C j 1x  ...  C j  l x ) cos x  (C j  l 1  C j  l  2 x  ...  C j  l  s x ) sin x  ...


Литература. [5], стр.425-441
Лекция 14. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения со
стандартной правой частью. Метод подбора решений.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия
Во многих практических задачах изучаемые функции и их производные
принимают настолько малые значения, что их квадратами, кубами и более
высокими степенями можно пренебречь. Это позволяет заменить произвольные
зависимости между величинами линейными зависимостями. Применяя эту
операцию, называемую линеаризацией, к д.у., описывающему изучаемый
процесс, получаем д.у., в которое искомые функции и их производные входят
линейно. Такие д.у. называются линейными.
Определение. Д.у. n-го порядка F ( x, y, y ,..., y ( n ) )  0 называется линейным, если
его левая часть F ( x, y, y,..., y (n ) ) линейна относительно неизвестной функции y и
её производных y,..., y ( n ) , т.е. д.у. имеет вид
(1)
an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a0 ( x) y  f ( x) .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 141 из 228
Здесь ak (x) , k  0 ,..., n , - коэффициенты д.у., an ( x)  0 , f (x) называется
правой частью д.у.; все функции считаются непрерывными на некотором
отрезке a, b .
Определение. Если в д.у. (1) правая часть f ( x)  0 , то оно называется линейным
однородным д.у. (ЛОДУ). Если правая часть не равна тождественно нулю, то
д.у. (1) называется линейным неоднородным (ЛНДУ).
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для
линейных д.у. порядка n ):
Пусть функции ak ( x), 0  k  n , и f (x) определены и непрерывны на отрезке
 ,   , a n ( x)  0 для всякого x из  ,   , и пусть x0 - некоторая точка этого отрезка.
Тогда
для
любого
набора
начальных
данных
0
/
1
( n 1)
n 1
существует единственное решение
y ( x0 )  y0 , y ( x0 )  y0 , ..., y
( x0 )  y0
уравнения (1), определённое на всём отрезке  ,   .
n
В дальнейшем будем иногда пользоваться краткими записями уравнения (1):
 a ( x) y
k 0
(k )
k
 f ( x) ,
или даже L[ y ]  f ( x) , где L [ y ]  an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y  a0 ( x) y - левая часть (1).
Линейная независимость функций
Определение. Система функций y1 , y2 ,..., ym  называется линейно зависимой на
отрезке [a, b] , если существуют числа 1, 2 ,..., m , не все из которых равны нулю,
такие, что
m
1 y1   2 y2  ...   m ym   i yi  0
i 1
всюду на [a, b] , и линейно независимой, если такого ненулевого набора не
существует.
Для систем функций справедливы следующие свойства, доказательства которых аналогичны
доказательствам соответствующих утверждений для систем векторов:
1. Система функций y1 , y2 ,..., ym  линейно зависима на отрезке [a, b] тогда и
только тогда, когда одна из функций есть линейная комбинация остальных.
2. Всякая система функций, содержащая функцию, тождественно равную нулю
на отрезке [a, b] , линейно зависима на [a, b] .
3. Всякая система функций, содержащая линейно зависимую на отрезке [a, b]
подсистему функций, линейно зависима на [a, b] .
Приведём примеры линейно зависимых и линейно независимых систем
функций.
1. Система функций 1, cos2 x, sin 2 x линейно зависима на всей числовой оси, так
как по основному тригонометрическому тождеству 1  cos2 x  sin 2 x .
2. Функции 1, x, x 2 ,..., x n  образуют линейно независимую систему на любом
отрезке числовой прямой, т.к. по основной теореме алгебры многочлен степени
n , у которого хотя бы один коэффициент отличен от нуля, не может обращаться
в нуль более чем в n точках, т.е. не существует чисел  0 ,1 ,..., n , не все из
которых равны нулю, таких, что  0  1 x  ...   n x n  0 (т.е. для всех х).
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 142 из 228
Не всегда удаётся легко показать линейную зависимость или линейную
независимость систем функций, пользуясь только определением. Для
выяснения этого вопроса служит построенный ниже определитель.
Определение. Пусть y1 , y2 ,..., ym  - система m  1
раз непрерывно
дифференцируемых функций. Определитель
W ( y1 ,..., ym ) 
y1
y1/
y2
y2/
...
...
ym
ym/
...
...
y1( m 1)
y2( m 1)
...
...
( m 1)
... ym
 W ( x) ,
называется определителем Вронского или вронскианом системы функций
y1 , y2 ,..., ym  .
Определитель Вронского служит индикатором линейной зависимости
системы функций.
Теорема. Если система функций y1 , y2 ,..., ym  линейно зависима на [, ] , то её
определитель Вронского W ( y1 ,..., ym ) тождественно равен нулю на отрезке [ ,  ] .
Следствие. Если W ( y1 ,..., ym )  0 хотя бы в одной точке [ ,  ] , то система функций
y1 , y2 ,..., ym  линейно независима на [ ,  ] .
Примеры.
1. система cos x, sin x линейно независима на любом промежутке, т.к.
W ( x) 
cos x sin x
 cos2 x  sin 2 x  1  0 .
 sin x cos x
2. система e x , xe x  линейно независима на любом промежутке, т.к.
W ( x) 
ex
ex


xe x
 e x e x  xe x  e x xe x  e 2 x  0
x
x
e  xe
ни в одной точке.
Замечание. Обратное теореме утверждение неверно. Возможны случаи, когда
W ( y1 ,..., ym )  0 на [ ,  ] , но система y1 , y2 ,..., ym  линейно независима!
Линейные однородные д.у. n-го порядка (ЛОДУ)
Имеют вид
(2)
L [ y]  a n ( x) y ( n )  a n 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a 0 ( x) y  0
и обладают двумя основными свойствами:
1. Если функция y  y (x) является решением ЛОДУ (2), то и любая функция
вида C y (x) , где C=const, также является его решением:
L(Cy )  по свойству производно й C можно вынести  C L( y )  0 по условию.
2. Если функции y1 , y2 являются решениями ЛОДУ (2), то y1  y2 также
является решением (2). Доказывается аналогично по свойству производной.
Следствие. Любая линейная комбинация решений ЛОДУ (2) снова есть его
решение.
Займёмся построением общего решения ЛОДУ (2). Оно должно
содержать n произвольных постоянных C1 ,..., Cn - ровно столько, каков порядок
д.у. (2). Может показаться, что достаточно найти какие-либо n частных
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 143 из 228
решений y1, y2 ,..., yn и составить их линейную комбинацию y  C1 y1  ...  Cn yn .
Однако она, хотя и является решением д.у. (2) в силу следствия, вовсе не
обязана быть его общим решением.
Докажем вначале две следующих теоремы.
Теорема. Для любого ЛОДУ порядка n существует система, состоящая из n линейно независимых
решений этого уравнения.
Теорема. Если y1 , y2 ,..., yn  - линейно независимая система n решений
ЛОДУ n -го порядка (2) с непрерывными на [ ,  ] коэффициентами и a n ( x)  0
для всех x [ ,  ] ,.то её определитель Вронского W ( y1 ,..., ym ) отличен от нуля для
всех x [ ,  ] .
Определение. Фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОДУ n -го
порядка (2) называется система любых n его линейно независимых частных
решений .
Теорема (о виде общего решения ЛОДУ (2)). Если y1, y2 ,..., yn - ФСР ЛОДУ
(2), то его общее решение y00 может быть представлено формулой
(3)
y00  C1 y1  ...  Cn yn ,
где C1 ,..., Cn - произвольные постоянные.
Линейные неоднородные д.у. n-го порядка (ЛНДУ)
Имеют вид (1): L[ y]  an ( x) y ( n)  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a0 ( x) y  f ( x) .
Если правую часть f (x) заменить нулём, получим ЛОДУ, называемое
соответствующим данному ЛНДУ.
Теорема (о виде общего решения ЛНДУ). Общее решение yOH ЛНДУ (1)
может быть представлено в виде
(4)
yОН ( x)  y00 ( x)  yЧН ( x) ,
где yоо - общее решение соответствующего ЛОДУ, а yЧН - какое-либо частное
решение ЛНДУ.
Один из универсальных способов нахождения частного решения yЧН метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) - будет изложен
ниже.
Поиск ФСР ЛОДУ для составления yоо в общем случае является трудной
задачей. Тем не менее есть класс уравнений, для которого эта задача
достаточно легко решается.
ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Так называют ЛОДУ (2), у которого коэффициенты постоянны, т.е.
ai x   ai  const :
(5)
L [ y]  a n ( x) y ( n )  a n 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a 0 ( x) y  0 .
Для построения ФСР ЛОДУ (5), следуя Эйлеру, будем искать его
решение в виде y  e rx , r  const . Тогда y /  r  e rx , y //  r 2  erx ,…, y (n)  r n  erx .
Подставляя в (5) и вынося за скобки общий для всех слагаемых множитель erx ,
rx
получаем:
L(e rx )  e rx (an r n  ...  a1r  a0 )  0 . Т.к. e нигде в нуль не обращается,
то
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
an r n  an 1r n 1  ...  a1r  a0 
стр. 144 из 228
n
 ak r k  0 .
(6)
k 0
Уравнение (6) называется характеристическим уравнением ЛОДУ с
постоянными коэффициентами (5).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Функция y  e rx является решением ЛОДУ с постоянными
коэффициентами (5) тогда и только тогда, когда число r есть корень
характеристического уравнения (6).
Замечание. Для составления характеристического уравнения (6)
достаточно заменить в ЛОДУ (5) производные y (k ) на соответствующие
степени r k (считая при этом саму функцию у нулевой производной y ( 0) ).
Корни характеристического уравнения (6) называются
характеристическими числами ЛОДУ (5). Как известно из алгебры, всего
их n (с учётом кратности). Структура ФСР и, как следствие, структура
общего решения определяются видом характеристических чисел.
Возможно 3 следующих случая.
Случай 1. Все корни характеристического уравнения (6) действительные
и различные.
Обозначим их r1, r2 ,..., rn . Тогда получим n различных частных решений
ЛОДУ (5)
(7.1)
y1  e r x , y2  e r2 x ,…, yn  e rn x .
Докажем, что полученная система решений линейно независима.
Рассмотрим её определитель Вронского:
1
e r1 x
r e r1 x
W (e r1 x , e r2 x ,..., e rn x )  1
...
n 1 r1 x
r1 e
e r2 x
r2e r2 x
...
n 1 r2 x
r2 e
...
e rn x
... rne rn x
 e( r1  r2 ... rn ) x
...
...
... rnn 1e rn x
1
1
r1
r2
...
...
n 1
r1
r2n 1
... 1
... rn
.
... ...
... rnn 1
Множитель e(r1  r2 ... rn ) x в правой части W (er1x , er2 x ,..., ern x ) нигде в нуль не
обращается. Поэтому осталось показать, что второй сомножитель
(определитель) не равен нулю. Предположим, что это не так, т.е.
1
1
...
1
r1
...
r2
...
...
...
rn
 0.
...
Тогда строки этого определителя линейно зависимы, т.е.
r1n 1 r2n 1 ... rnn 1
существуют
числа
b1 , b2 , ..., bn ,
не
все
равные нулю и такие, что
b1  b2 r1  b3r12  ...  bn r1n 1  0 , b1  b2 r2  b3r22  ...  bn r2n 1  0 , … , b1  b2 rn  b3rn2  ...  bn rnn 1  0 .
Это означает, что числа r1 ,..., rn суть n различных корней многочлена (n  1) -ой
степени, что невозможно. Следовательно, определитель в правой части
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 145 из 228
не равен нулю, система функций (7.1) линейно независима и
образует ФСР ЛОДУ (5).
Таким образом, общее решение ЛОДУ (5) в рассматриваемом случае
можно записать в виде
(8.1)
y  C1 e r x  C2 e r x  ...  Cn e r x .
Случай 2. Все корни характеристического уравнения (6)
действительные, но среди них есть кратные.
Предположим без ограничения общности, что корень r1 имеет кратность s,
а все остальные корни различны. Рассмотрим вначале случай r1  0 . Из алгебры
многочленов следует, что тогда характеристическое уравнение (6) должно
иметь вид a n r n  a n1 r n1  ...  a s r s  0 , так как иначе r1 не являлось бы корнем
кратности s. Следовательно, ЛОДУ (5) имеет вид an y ( n )  an 1 y ( n 1)  ...  as y ( s )  0 ,
т.е. не содержит производных порядка ниже s. Этому уравнению
удовлетворяют все функции, у которых производные порядка s и выше равны
нулю. В частности, таковыми являются все многочлены степени не выше s  1 ,
например, 1, x, x 2 ,..., x s 1 .
Покажем, что данная система функций линейно независима. Составив
W (e r1 x , e r2 x ,..., e rn x )
1
2
n
определитель Вронского этой системы, получим:
1 x .....
x s 1
0 1 .... ( s  1) x s  2
. Это определитель верхнетреугольной
W (1, x, x 2 ,..., x s 1 ) 
.......... .......... .......
0 0 ..... ( s  1)!
матрицы с отличными от нуля элементами на главной диагонали, поэтому он
не равен нулю, что и доказывает линейную независимость системы функций
1, x, x 2 ,..., x s 1 .
Пусть теперь
r1  0 .
Произведём в ЛОДУ (5) замену
y /  ( z /  r1 z )e r1 x , y //  ( z //  2r1 z /  r12 z )e r1 x
y  ze r1 x  z exp(r1x) .
Тогда
и т. д. Подставляя полученные значения
производных в (5), снова получим ЛОДУ с постоянными коэффициентами
L1 ( z )  bn z ( n )  bn 1 z ( n 1)  ...  b1 z /  b0 z  0
(5*)
с характеристическим уравнением
bn k n  bn 1k n 1  ...  b1k  b0  0 .
(6*)
Если k - корень характеристического уравнения (6*), то z  e kx - решение
уравнения (5*), а y  ze r1x  e(k  r1 ) x является решением уравнения (5). Тогда
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 146 из 228
корень характеристического уравнения (6). С другой стороны,
уравнение (5) может быть получено из уравнения (5*) обратной заменой
z  ye r1 x и поэтому каждому корню характеристического уравнения (6)
соответствует корень k  r  r1 характеристического уравнения (6*). Таким
образом, установлено взаимно однозначное соответствие между корнями
характеристических уравнений (6) и (6*), причём различным корням одного
уравнения соответствуют различные корни другого. Так как r  r1 - корень
кратности s уравнения (6), то уравнение (6*) имеет число k  0 корнем кратности
s, и по доказанному ранее, уравнение (5*) имеет s линейно независимых
решений z1  1, z2  x , z3  x 2 ,... , zs  x s 1 , которым соответствует s линейно
независимых решений y1  er x , y2  xer x , y3  x 2er x ,..., ys  x s 1er x уравнения (5).
Присоединяя полученную систему s решений к n  s решениям,
соответствующим остальным корням rs 1 ,..., rn характеристического уравнения
(которые различны), получим ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами (5)
в случае наличия действительных кратных корней:
(7.2)
y1  e r x , y2  xe r x , y3  x 2e r x ,..., ys  x s 1e r x , ys 1  e r x ,..., yn  e r x .
Таким образом, общее решение ЛОДУ (5) в рассматриваемом случае
можно записать в виде
(8.2)
y  C1e r x  C2 xer x  C3 x 2e r x  ...  Cs x s 1e r x  Cs 1 e r x  ...  Cn e r x .
Случай 3. Среди корней характеристического уравнения есть
комплексные корни.
Согласно изложенному выше каждому комплексному корню rj     i
кратности
s характеристического уравнения (6) соответствует набор
комплексных частных решений yl  xl 1e(   i ) x ( l  1,..., s ). Однако рассматривать
комплексные решения не всегда удобно, поэтому найдём действительные
решения, соответствующие комплексным корням. Так как мы рассматриваем
ЛОДУ с действительными коэффициентами, то для каждого комплексного
корня rj     i кратности s характеристического уравнения (6) комплексно
сопряжённое ему число rk  rj     i также является корнем кратности s этого
уравнения, которому соответствует свой набор комплексных частных решений
yl  x l 1e(   i ) x , l  1,..., s . Рассмотрим вместо этих решений их линейные
r  k  r1 -
1
1
1
1
комбинации
1
1
1
1
s 1
1
1
1
1
n
s 1
y  yl
y  yl
~
y1l  l
 x l 1ex cos x, y2l  l
 x l 1ex sin x ,
2
2i
n
l 1 ,..., s ,
которые
также являются решениями ЛОДУ (5). Так как преобразование,
осуществляющее переход от yl , yl к ~y1l , ~y 2l , l  1 ,..., s , невырожденное (с отличным
от нуля определителем), то оно переводит линейно независимую систему
решений в линейно независимую.
Таким образом, если характеристическое уравнение (6) имеет пару
комплексно сопряжённых корней    i , каждый кратности s, то в ФСР ЛОДУ
(5) им соответствует подсистема функций
(7.3)
x l 1ex cos x, x l 1ex sin x , l  1,..., s .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 147 из 228
Общее решение ЛОДУ (5) в этом случае имеет вид .
y  ...  C j ex cos x  C j 1 x ex cos x  ...  C j l x l 1ex cos x 
(8.3)
 C j  l 1 ex sin x  C j  l  2 x ex sin x  ...  C j  l  s xl 1ex sin x  ... .
Более компактная запись:


y  ...  ex (C j  C j 1 x  ...  C j  l xl 1 ) cos x  (C j  l 1  C j  l  2 x  ...  C j  l  s xl 1 ) sin x  ...
ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального
вида.
Метод подбора yчн по виду правой части
Суть метода подбора состоит в следующем.
Решается ЛНДУ (1) L[ y]  an ( x) y ( n)  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a0 ( x) y  f ( x)
с постоянными коэффициентами. Если правая часть f (x) этого д.у. имеет
вид
x
(12)
f ( x)  e ( Pn ( x) cos x  Qm ( x) sin x) ,
где Pn (x) и Qm (x) - многочлены степени n и m соответственно, то частное
решение yчн ЛНДУ (1) ищется в виде
~
~
(13)
yЧН  x s ex Pk ( x) cos x  Qk ( x) sin x ,
~
~
где k  maxn , m  , Pk ( x) и Qk ( x) - многочлены степени k общего вида с
неопределёнными коэффициентами, s – кратность корня
r   i
характеристического уравнения (6) соответствующего ЛОДУ (если    i не
является корнем характеристического уравнения, то s  0 ).
В зависимости от чисел  ,  , s возможны восемь различных случаев,
которые удобно свести в следующую таблицу:
Сводная таблица видов частных решений yчн
для различных видов правых частей f (x)
№ Правая часть f (x)
Контрольное число
Вид частного решения
  i
  0 не входит в число
1
2
Pn (x)
Pn ( x) ex
корней
характеристического
уравнения
  0 является корнем
характеристического
уравнения кратности s
   не входит в число
корней
характеристического
уравнения
yчн
~
Pn ( x)
~
x s Pn ( x)
~
Pn ( x) ex
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 148 из 228
   является корнем
3
4
~
характеристического
x s Pn ( x) ex
уравнения кратности s
   i не входит в число
~
~
Pk ( x) cos x  Qk ( x) sin x
корней
Pn ( x) cos x  Qm ( x) sin x
характеристического
уравнения
   i является корнем
~
~
x s Pk ( x) cos x  Qk ( x) sin x 
характеристического
уравнения кратности s
     i не входит в
~
~
ex Pk ( x) cos x  Qk ( x) sin x 
число корней
ex Pn ( x) cos x  Qm ( x) sin x  характеристического
уравнения
     i является корнем
~
~
x s ex Pk ( x) cos x  Qk ( x) sin x 
характеристического
уравнения кратности s
3. Метод вариации произвольных постоянных решения ЛНДУ
Рассмотрим снова ЛНДУ общего вида
L [ y]  an ( x) y ( n)  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a0 ( x) y  f ( x) .
(1)
Пусть общее решение соответствующего ему ЛОДУ
L [ y]  a n ( x) y ( n )  a n 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a 0 ( x) y  0
имеет вид
(2)
y00  C1 y1  ...  Cn yn ,
(3)
где y1 , y2 ,..., yn  - ФСР ЛОДУ (2).
Аналогично случаю линейного уравнения первого порядка, будем искать
частное решение yЧН уравнения (1) в виде (3), превратив постоянные C1 ,..., Cn в
переменные – функции – иначе говоря, «варьируя» их:
yЧН  C1 ( x) y1  ...  Cn ( x) yn ;
(9)
при этом для нахождения неизвестных пока функций C1 ( x),..., Cn ( x) требуется
составить систему из n соотношений между ними.
Выбор одного соотношения очевиден: функция (9) должна быть
решением ЛНДУ (1). Подставим функцию (9) в ЛНДУ (1), для чего найдём её
производные.
Первая производная равна

 
/
yЧН
 C1/ . ( x) y1  ...  Cn/ ( x) yn  C1 ( x) y1/  ...  Cn ( x) yn/
.
(10)
При вычислении второй производной в правой части появится уже
четыре больших скобки, при вычислении третьей производной – восемь, и так
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 149 из 228
далее. Так как при подстановке решения (9) в уравнение (1) получается только
одно соотношение, то выбор остальных n  1 полностью находится в нашей
власти. Поэтому для упрощения подстановки первую скобку
C1/ . ( x) y1  ...  Cn/ ( x) yn в (10) полагаем равной нулю. С учётом этого вторая
производная становится равной

 
//
yЧН
 C1/ . ( x) y1/  ...  Cn/ ( x) yn/  C1 ( x) y1//  ...  Cn ( x) yn//
.
В ней также полагаем первую скобку равной нулю, находим третью
производную и повторяем процедуру далее до (n  1) -ой производной
включительно, получая при этом n  1 соотношение между C1/ ( x),..., Cn / ( x) .
Наконец, n -ая производная оказывается равной

 
( n)
yЧН
 C1/ . ( x) y1( n 1)  ...  Cn/ ( x) yn( n 1)  C1 ( x) y1( n )  ...  Cn ( x) yn( n )
.
Подставляя полученные производные в (1) и приводя подобные при
C1 ( x),..., Cn ( x) , будем иметь:

L( y)  C1 ( x)  an ( x) y1
(n)

 C ( x)  a ( x) y
 C2 ( x)  an ( x) y2
n
n

n
( n 1)
 an 1 ( x) y1

 ...  a1 ( x) y1  a0 ( x) y1 
/

 a ( x) y  
( n)
 an 1 ( x) y2
( n 1)
 ...  a1 ( x) y2  a0 ( x) y2  ... 
( n)
 an 1 ( x) yn
( n 1)
 ...  a1 ( x) yn
/
/
0
n

 an ( x)  C1/ . ( x) y1( n 1)  ...  Cn/ ( x) yn( n 1)  f ( x) .
Т.к. функции y j , j  1,2,..., n, являются решениями соответствующего ЛОДУ (2),
то все скобки, кроме последней, обращаются в нуль. Присоединяя оставшееся
соотношение к уже имеющимся n  1 , получаем неоднородную систему
алгебраических уравнений для нахождения C1/ ( x),..., Cn / ( x) :







C1/ . ( x) y1  ...  Cn/ ( x) yn  0
C1/ . ( x) y1/  ...  Cn/ ( x) yn/  0
.......... .......... ............ .......... .......... ...
f ( x)
C1/ . ( x) y1( n 1)  ...  Cn/ ( x) yn( n 1) 
an ( x )
(11)
Определитель этой системы есть определитель Вронского ФСР
y1 , y2 ,..., yn  соответствующего ЛОДУ (2) и поэтому не равен нулю.
Следовательно, существует единственное решение системы C1/ ( x),..., Cn / ( x) .
Найдя его и проинтегрировав, получим функции C1 ( x),..., Cn ( x) с точностью до
постоянных интегрирования. Подставляя C1 ( x),..., Cn ( x) в (9), получаем общее
решение ЛНДУ (1).
В простейшем случае n  2 , т.е. для ЛНДУ второго порядка, система
соотношений (11) приобретает вид
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 150 из 228
 C1 y1  C2 y2  0 ,

 C  y  C  y  f ( x ) .
2 2
 1 1
a2 ( x)
Изложенный метод называется методом вариации произвольной
постоянной или методом Лагранжа. Он является общим методом нахождения
yЧН и пригоден для любого ЛНДУ.
Решение ЛНДУ n-го порядка методом вариации произвольных постоянных
связано с вычислением n неопределённых интегралов. Существует класс ЛНДУ
с постоянными коэффициентами, не требующих выполнения интегрирования
при нахождении yчн .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 151 из 228
3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Практическое занятие 1. Предел функции в точке и на бесконечности.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Нахождение пределов функций. Особые случаи вычисления
пределов (неопределенности).
Пример1. Найти предел функций при х  0
1) f ( x) 
1
x
2) f ( x) 
1
x2
3) f ( x)  
1
x2
Решение
f ( x)  
1) lim
x 0
f ( x)  
2) lim
x 0
f ( x)   .
3) lim
x 0
n2
Пример 2. Последовательность задана общим членом xn 
. Написать
n 1
члены последовательности x3 , xn1 , x2n , xn5 .
Решение.
9
(n  1) 2
4n 2
(n  5) 2
x3  , xn 1 
, x2 n 
, x n 5 
.
4
n2
2n  1
n4
Литература. [4]: Гл.1, 4.12 – 4.21, 4.24 – 4.25, 4.30 – 4.32;
[3]: 181 – 187, 191 – 198, 203 – 208, 211 – 214.
Контрольные вопросы:
1. Сформулируйте определения предела последовательности, предела
функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и
предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
2.Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные
свойства?
3.Основные теоремы о пределах функций.
4.Первый замечательный предел. Сформулируйте определение числа е
(второй замечательный предел).
Практическое занятие 2. Числовая последовательность и ее предел.
Первый и второй замечательные пределы. Сравнение
бесконечно малых величин. Непрерывность функции. Точки
разрыва функции, их классификация. Основные теоремы о
непрерывных функциях.
tg x
sin x
sin x
1
 lim
 lim
 lim
 1 1  1 .
x 0 x  cos x
x 0
x
x x0 cos x
x
x
x
2  sin 2
2 sin sin
1  cos x
2  lim
2
2 1.
 lim
Пример 2. lim
2
2
x 0
x 0
x 0
x
x
2
x
x
2 2
2
2
Пример 1. lim
x 0
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Пример 3. lim
x 0
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 152 из 228
sin 4 x
4 x  sin 4 x  2 x
 lim
 2.
sin 2 x x0 4 x  sin 2 x  2 x
cos x  cos 3x
2  sin 2 x  sin x
2  2 sin 2 x  sin x
 lim
 lim
4.
2
2
x

0
x

0
2x  x
x
x
sin( x 2  4)
sin( x 2  4)
1
Пример 5. lim

lim
 .
3
2
2
x 2 x  4 x  4  x
x 2 ( x  4)  ( x  1)
3
1  sin x 0
x  sin x
x   0.
 lim
Пример 6. lim
x 0 x  sin x
x 0
sin
x 2
1
x
x 5
 1  x  1  5 
 1

Пример 7. lim 1    (1 )  lim 1   1     e 1  e .
x 
x 
 x
 x   x  
Пример 4. lim
x 0
1
Пример 8. lim (1  tg x) ctg x  (1 )  lim (1  tg x) tg x  e .
x0
x0
1
x

1
  1  

 1

lim 1    (1 )  lim 1     e 1  .
x
x
x  
e

 x


x
Пример 9.
4
x
x4

 4  

 x4

Пример 10. lim 
 (1 )  lim 1     e 4 .

x 
x

 x 
 x  

2x
x 3
2x
1
Пример 11. lim ( x  2)  (1 )  lim [1  ( x  3)] x3   e 6 .
x3
x3 

x
ln
ln x  1  0 
ln x  ln e 1
e 
    lim
 lim
Пример 12. lim
x e x  e
x

e
x

e
x
xe
e
0
1
e
x
1
ln( 1  z ) 1
1
 lim
  1  . (Здесь z   1 ).
e
e z 0
z
e
e

Пример 13.
e x  ea
e a (e x a  1) a
e xa  1 a
 lim
 e lim
 e ln e  e a .
x a x  a
x a
x a x  a
xa
lim
Пример 14.
(1  2 x)1 3  1  0 
(1  2 x)1 3  1
1 2
    2  lim
 2  .
x 0
x 0
x
2x
3 3
0
3 x
3 x
e 1
3
e 1
3
3
  lim
   ln e   .
Пример 15. lim
x 0
2x
2 x0  3x
2
2
1
5
5
1  sin x  1
(1  sin x)  1
1
Пример 16. lim
 lim
 cos x  .
x 0
x

0
tg x
sin x
5
lim
Пример 17. Рассмотрим
функцию
2
 x , при x  2,
f ( x)  
 x  1, при x  2.
Разрыв функции возможен только в точке x  2 (в
остальных точках она непрерывна как всякий
y
4
скачок
3
2
x
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
многочлен).
Ред. № 1 от 29.08.2013
Найдем lim f ( x)  lim x 2  4 ,
x20
стр. 153 из 228
lim f ( x)  lim ( x  1)  3 .
x2 0
x20
x2 0
Так
как
односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, то в точке x  2
функция имеет разрыв первого рода. Величина скачка равна 3  4  1 . Заметим,
f ( x)  3 , следовательно, функция в этой точке непрерывна справа
что f (2)  xlim
2 0
(см.рис.).
Литература. [4]: Гл.1, 3.19 – 3.22, 4.36 – 4.42, 4.45, 4.49 – 4.50, 4.52 – 4.53,
4.63 – 4.67, 4.112 – 4.113, 4.117
[3]: 216 – 228, 234 – 239, 241 – 251, 254, 258, 262, 264, 266, 269
– 270, 317, 320, 327, 328.
Контрольные вопросы:
1.Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на
отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции.
2.Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке и
дайте геометрическое истолкование этим свойствам
Практическое занятие 3. Понятие производной, ее геометрический
смысл. Основные правила дифференцирования. Таблица
производных.
Производная
сложной
функции.
Дифференцирование
функций,
заданных
неявно
и
параметрически.
Пример 1. Найти производную от функции y  ln sin arctg e 3x .
Решение. Берем сначала производную от натурального логарифма по
формуле 3), рассматривая в качестве его аргумента всё выражение, стоящее под
5
1
знаком логарифма. Получим y 
sin arctg e3 x
5

3x5 

  sin arctg e  . Затем берем


производную от синуса (формула 4)), у которого аргумент – всё, что стоит
1
после знака sin , т.е. arctg e3 x : y 
5
sin arctg e3 x
5

5
5
 cos arctg e3 x   arctg e3 x  . Берем


далее производную от корня (формула 1)):
1
y 
1
 cos arctg e3 x 
5
sin arctg e3 x
5
2 arctg e3 x
от арктангенса : y 
1
sin arctg e3 x
5

 arctg e3 x
5
 . Теперь берём производную
1
 cos arctg e3 x 
5
5
2 arctg e3 x
5

1
1 e
6x
5
  .
 e3 x
5
Находим
производную показательной функции
e 3x : y 
5
1
sin arctg e3 x
1
 cos arctg e3 x 
5
5
2 arctg e3 x
находим производную от степени:
5

1
1  e6 x
 e3 x  (3x5 ) . И, наконец,
5
5
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
1
y 
sin arctg e 3 x
5
Ред. № 1 от 29.08.2013
 cos arctg e
3 x5

1
2 arctg e 3 x
5

e3x
1 e
стр. 154 из 228
5
6 x5
15 x 4 .
На
практике
бывает
удобным
при
каждом
очередном
дифференцировании выписывать не всю производную целиком, а лишь
промежуточные производные. Полученные функции затем просто
перемножаются в соответствии с общей формулой.
Пример 2. Найти производную функции y  (tg x) x .
Решение. Продифференцируем
данную
функцию,
считая
ее
x
показательной, т.е. считая, что tg x  const . Получим: (tg x) lntg x  2x . Теперь
2
2
дифференцируем ее как степенную, считая, что: x 2  const : x 2 (tg x) x 1
2
1
. Для
cos 2 x
окончательного ответа осталось только сложить полученные результаты
дифференцирования.
Пример 3.
Найти производную функции y по x , заданной
 x  2t  t 2 ,
параметрически: 
 y  t 2  2t 3 .
y  2t  6t 2 2(t  3t 2 ) t (1  3t )
Решение.
.
y x  t 


xt
2  2t
2(1  t )
1 t
В параметрической
 x  2t  t 2 ,
форме: 
t (1  3t )
.
 y x 
1 t

Пример 4.
Найти производную y  , не разрешая уравнения
2 4
x  x y  x y  5  0 относительно y .
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по х. Т.к. в правой
части стоит нуль, и производная постоянной равна нулю, то имеем:
d ( x 3  x 2 y  x 2 y 4  5)  0 .
3
2
dx
Применяя правила дифференцирования суммы и произведения, найдем:
3x 2  2 xy   x 2 y   2 xy4  4 x 2 y 3 y   0 , откуда y  
Пример 5.
y ln x  x 2e y  1  0
Решение.
3x 2  2 xy  2 xy 4
.
x 2  4x 2 y 3
Найти y  от функции, заданной неявно уравнением
( x  0) .
y  ln x  y
1
 2 xe y  x 2 e y y   0
x
(производную от e y берем как
производную сложной функции). Разрешая уравнение относительно y  , найдем
y
 2 xe y
y  x
.
ln x  x 2 e y

Литература. [4]: Гл.5, 1.21 – 1.31, 1.33, 1.37 – 1.39, 1.114 – 1.119, 1.138 –
1.143.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 155 из 228
[3]: 368, 375 – 377, 380, 382, 387, 391,398, 412, 414, 420, 423,
428, 439, 441, 450, 458, 476, 512, 516, 582, 583, 589,593,
596, 604, 610, 613.
Контрольные вопросы:
Что называется производной функции?
Свойства производных
Как найти производную сложной функции?
Как найти производную неявно заданной функции?
Практическое занятие 4. Дифференциал функции. Производные и
дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя.
Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Роля,
Лагранжа, Коши). Формула Тейлора.
Пример 1. Для функции y  x 3 найти y и dy .
Решение.
y  ( x  x)3  x3  x3  3x 2x  3xx 2  x3  x3  3x 2x  3xx 2  x3 ;
тогда dy  3x 2 x (взяли главную линейную относительно x часть y ; в данном
случае  (x)x  3xx 2  x 3 ).
Пример 2. Вычислить значение функции f ( x)  e x в точке x  0,1 .
Решение. В качестве x 0 возьмем число 0, тогда x  x  x0  0,1 и
По таблице e 0,1  1,1052 . Ошибка получилась
e 0,1  e 0  e 0 0,1  1  0,1  1,1 .
незначительная.
Пример 3. Вычислить 16,02 .
f ( x)  1 . Подбираем
2 x
ближайшее к 16,02 целое число с легко извлекающимся корнем: x0  16 . Тогда
Решение.
Взяв функцию
f ( x)  x , имеем:
Получаем
x  x  x0  16,02  16  0,02 .
1
1
16,02  16 
0,02  4  0,02  4  0,0025  4,0025 .
8
2 16
Пример 4.
Найти
производные
включительно следующих функций:
1) y  2 x 3  3x 2  1;
до
по
формуле
четвертого
порядка
2) y  e x  x 2 ; 3) y  x ln x .
Решение. 1) y  6 x2  6 x, y  12 x  6, y  12, y ( 4)  y (5)  ...  0 .
2) y  e x  2 x, y  e x  2, y  e x , y ( 4)  e x .
3) y  ln x  x  1  ln x  1, y  1 , y   12 , y ( 4)  23 .
x
x
x
x
2
 xt ,
Пример 5.
Найти y xx// функции 
 y  2 cos t.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
Решение. По формуле: y x/ 
параметрической форме
стр. 156 из 228
 2 sin t
sin t

. Производную y x/ запишем в
2t
t
 x  t2,

 /
sin t
.
 yx  
t

и снова применим формулу:

 sin t 
cos t  t  1  sin t

 
sin t  t cos t
t 
t2
.
yxx  


2t
2t 3
(t 2 )
Пример 6.
Дана функция y ln x  e y  0 . Найти y .
Решение.
Берем первую производную от обеих частей равенства,
считая y функцией от x : y   ln x  y  1  e y  y   0 . Это равенство определяет y  ,
x
причём тоже неявно, если не разрешать его относительно y  . Дифференцируем
его, считая y и y функциями от x :
y   ln x  y  
1
1
1
 y    y  2  (e y  y   y   e y  y )  0 . Отсюда можно найти выражение
x
x
x
для y .
Пример 7.
Найти d 2 y от функции y  x 4  3x 2  2 .
Решение. dy  y   dx  (4 x 3  6 x)dx  2(2 x 3  3x)dx ,
d 2 y  d (dy)  d[2( x3  3x)dx]  2dx  d (2 x3  3x)  2dx(6 x2  3)dx  6(2 x2  1)dx 2 .
Этот же результат можно получить и через производные: y  4 x3  6 x ,
y  ( y)  (4 x3  6 x)  12 x 2  6 , d 2 y  f ( x)dx 2  (12 x 2  6)dx 2 .
Пример 8.
Решение.
Найти xlim
 / 4
tg x  1
.
sin 4 x
Величины, стоящие в числителе и знаменателе, при x   4
0
являются бесконечно малыми, т.е. имеем неопределённость вида   , и можно
0
воспользоваться правилом Лопиталя:
1
2
tg x  1
1
1
lim
 lim cos x  lim
 .
2
x  / 4 sin 4 x
x  / 4 4 cos 4 x
x  / 4 4 cos 4 x cos x
2
x

2
ln
x
Пример 9.
Найти xlim
.

x
2
1
x  2 ln x   
x  1.
Решение. lim
    lim
x  
x


x
1

Пример 10. Представить по формуле Тейлора функцию f(x) = ex, а = 0
Решение.
Находим:
f(x) = ex, f(0) = 1
f(x) = ex, f(0) = 1
……………………
f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
x
1
Тогда: e x  1  
Ред. № 1 от 29.08.2013
x2 x3
xn
x n1 x

 ... 

e ,
2! 3!
n! (n  1)!
стр. 157 из 228
0  1
Пример 11: Найдем значение числа е.
В полученной выше формуле положим х = 1.
e  11
1 1 1
1
   ... 
e
2 3! 4!
(n  1)!
Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003
Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451
Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553
Литература. [4]: Гл.5. 1.154, 1.157, 2.13, 3.14, 3.19, 3.20, 3.22, 3.30, 3.32,
3.34
[3]: 726, 727, 777, 778, 783, 787, 788, 795.
Контрольные вопросы:
Чему равна производная arcctgx ?
Чему равна производная arcsin x ?
Чему равна производная arctgx ?
Чему равна производная arccos x ?
Как найти дифференциал функции?
Как применяется дифференциал в приближенных вычислениях?
Какие теоремы для дифференцируемых функций Вы знаете? Сформулируйте
их.
В чем заключается правило Лопиталя?
Как выглядит формула Тейлора?
Практическое занятие
5. Исследование функции с помощью
производной. Условия постоянства и монотонности
функции. Экстремум функции, наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке. Выпуклость графика
функции, точки перегиба.
Пример 1. Определить
промежутки
монотонности
функции
2
f ( x)  3 x  2 x .
Решение. Найдем f ( x)  6 x  2 . Из неравенств 6x  2  0 и 6x  2  0
получаем, что f (x) строго возрастает на промежутке (1 3 ,  ) и строго убывает
на (, 1 3) .
Пример 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции
f ( x)  e 2 x  3 x .
Решение. Находим производную f ( x)  2e 2 x  3 . Так как e 2 x  0 при всех
x , то и f ( x)  0 на всей числовой оси, следовательно, f (x) всюду возрастает.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Пример 3.
Решение.
f ( x) 
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 158 из 228
Исследовать на экстремум функцию f ( x) 
10 x
.
4  x2
Функция определена на всей числовой оси. Ее производная
10(4  x )  20 x 2 10(4  x 2 )
всюду конечна, следовательно, критическими

(4  x 2 ) 2
(4  x 2 )2
2
будут только стационарные точки. Для их нахождения решаем уравнение
f ( x) 
10(4  x 2 )
 0 , получаем
(4  x 2 ) 2
x1  2, x2  2 . Область определения
критическими точками разбивается на интервалы
Составим таблицу:
x
f  (x)
f (x)
(,  2 )
2
–
↓
0
 5/ 2
 2 , 2 
+
↑
(,  )
(,  2 ),  2 , 2 , (2, ) .
2
( 2,  )
–
↓
0
5/ 2
5
Имеем в точке x1  2 – минимум, f min (2)   , в точке x2  2 - максимум,
2
5
f max ( 2)  .
2
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию f ( x)  3 x 2 .
Решение. Область определения функции – вся числовая прямая
(,  ) . Стационарных точек нет, т.к. производная f ( x) 
2
33 x
не обращается в
нуль ни при каком значении x . В точке x  0 она обращается в бесконечность.
Это единственная критическая точка. Составим таблицу:
( , 0 )
( 0 ,  )
0
x
f  (x)
–
∞
+
f (x)
↓
0
↑
В точке x  0 функция имеет минимум, f min (0)  0 .
Пример 5.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
4
2
y  x  2 x  5 на отрезке [ 0, 2 ] .
Решение. Найдем f ( x)  4 x 3  4 x  4 x( x 2  1) . Из уравнения 4 x( x 2  1)  0
находим стационарные точки x1  1, x2  0 , x3  1. Из них точка x1  1 не
попадает внутрь отрезка (т.е. в интервал ( 0 , 2 ) ), точка x2  0 является концом.
Находим значения функции в точках x2  0 , x3  1 и на оставшемся конце x  2 .
Сравнивая значения f (0)  5 , f (1)  4 , f (2)  13 , заключаем, что второе из них
является наименьшим, а третье – наибольшим значениями функции на отрезке
[ 0, 2 ] .
Записывать
этот
факт
принято
так:
max f ( x)  f (2)  13 ,
x[ 0, 2 ]
min f ( x)  f (1)  4 .
x[ 0, 2 ]
Пример 6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба кривой
y  3x  8 x 3  6 x 2  12 .
4
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Решение.
Ред. № 1 от 29.08.2013
Находим
1
y  36 x 2  48 x  12  36( x  1)( x  ) .
3
стр. 159 из 228
y   12 x 3  24 x 2  12 x ,
производные:
Решая уравнение
y   0 ,
находим точки,
1
, x2  1 . Область определения функции
3
1
1
(,  ) разбивается этими точками на интервалы (, ) , ( , 1 ) , (1,  ) . На
3
3
каждом из них y  имеет постоянный знак, который определяем пробными
подозрительные на перегиб:
x1 
точками.
x
1

  , 
3

1
3
1 
 , 1
3 
1
( 1,  )
y 
+
0
–
0
+

13
перегиб

y

335 / 27
перегиб
1
1
Получаем ответ: выпукла вверх на   ,  ; выпукла вниз на  , 1 ;
3

1 335
) и M1 (1, 13) .
выпукла вверх на (1,  ) ; точки перегиба M 0 ( ,
3 27
3

Литература. [4]: Гл.5. 4.4 – 4.6, 4.13, 4.14, 4.30, 4.38, 4.41.
[3]: 814, 819, 821, 825, 828, 835, 838, 842, 847, 854, 866, 884,
891, 898.
Контрольные вопросы:
Какие точки называются точками экстремума функции?
Какие точки называются точками перегиба? Как их найти?
Как найти интервалы монотонности функции?
Как найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции?
Практическое занятие
6. Асимптоты кривой. Общая схема
исследования функции и построение ее графика.
2
Пример 1. Найти горизонтальные асимптоты кривой y  e  x .
Решение. Область определения (,  ) . Найдем пределы на   :
x
lim e  lim e x  (e )  0 , значит, прямая y  0 – горизонтальная асимптота.
x  
x  
2
2
Пример 2. Найти наклонные асимптоты графика функции y 
Решение.
x2 1
.
x 1
x2  1
 1 .Теперь
По формуле (1) найдем k  xlim
   x ( x  1)
 x2  1 
b  lim 
 x   1 . Получаем уравнение наклонной асимптоты y  x  1 .
x   x  1


найдем
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Пример 3.
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 160 из 228
Провести полное исследование функции y 
x3
3  x2
и
построить её график.
Решение. 1)
Функция определена всюду, кроме точек x   3 .
2) Очевидно, функция непериодическая. Так как f ( x)   f ( x) , то
функция нечётная, и, следовательно, её график симметричен относительно
начала координат. Поэтому можно было бы ограничиться исследованием
только для 0  x   .
3) Будучи
элементарной, функция непрерывна на всей области
определения. Исследуем возможные точки разрыва x   3 :
3
3
x3
  ,
2
3 0 3  x
lim
x 
3
x
x
x
  , lim
  , следовательно, функция имеет
  , lim
2
2
x  3 0 3  x
x 3 0 3  x 2
x  3 0 3  x
разрывы второго рода в точках x   3 .
Из пункта 3) следует, что прямые x   3 – вертикальные асимптоты. Найдём
 x3

x3
3x

  lim
наклонные: k  lim
,


1
b

lim

x
 0 , следовательно,
x    x(3  x 2 )
x    3  x 2
x   3  x 2


lim
y   x – наклонная асимптота (при x   и x   )
Находим y  
9x 2  x 4
, приравниваем её к нулю:
(3  x 2 ) 2
x1  3, x2  0, x3  3 . Составим таблицу:
(,  3 )  3
x
 3 ,  3 (  3 , 0)

f  (x)
f (x)
–
↓
0

+
↑
9/ 2
+
↑
0
0
0
x 2 (3  x)(3  x)
 0 , откуда
(3  x 2 ) 2
( 0, 3 )
( 3 , 3)
3
+
↑
+
↑
0
 9/ 2
( 3,   )
–
↓
ymin (3)  9 2 , ymax (3)   9 2 , в точке x2  0 экстремума нет.
Находим y  
6 x(9  x 2 )
. Видим, что y   0 только при x  0 - точка возможного
(3  x 2 ) 3
перегиба. Других точек нет. Составим таблицу:
x
f  (x )
f (x)
  ,  3 
(  3 , 0)
–
–


0
0
0
( 0, 3 )
( 3,  )
+
+


В точке (0, 0) график имеет перегиб.
7) Так как y  0 только при x  0 , то пересечение с осями координат происходит
только в начале координат.
Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 161 из 228
y
9/2
3
–
3
 3
3
x
–
9/2
Литература. [4]: Гл.5. 4.53, 4.70, 4.77, 4.103, 4.111.
[3]: 903, 911, 929, 942, 946, 953.
Контрольные вопросы:
Схема исследования функции и построения ее графика.
что называется асимптотой?
Какие виды асимптот Вам известны?
Практическое занятие 7. Первообразная и неопределенный интеграл.
Таблица
неопределенных
интегралов.
Метод
непосредственного
интегрирования.
Интегрирование
заменой переменной и по частям.
1
3
sin x cos xdx .
Пример 1:  ( x 2  2 sin x  1)dx   x 2 dx  2 sin xdx   dx  x 3  2 cos x  x  C;
Пример 2. Найти неопределенный интеграл 
Решение. Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

2 3/ 2
2
t  C  sin 3 / 2 x  C.
3
3
2
Пример 3.  x( x  1) 3 / 2 dx.
t dt   t 1 / 2 dt 
Решение. Замена t  x 2  1; dt  2 xdx; dx 
dt
; Получаем:
2x
dt 1 3 / 2
1 2
t 5/ 2
( x 2  1) 5 / 2
  t dt   t 5 / 2  C 
C 
 C;
2 2
2 5
5
5
u  x 2 ; dv  sin xdx; 
2
2
Пример 4.  x sin xdx  
   x cos x   cos x  2 xdx 
du

2
xdx
;
v


cos
x


u  x; dv  cos xdx;
2
2

   x cos x  2 x sin x   sin xdx   x cos x  2 x sin x  2 cos x  C.
du

dx
;
v

sin
x


3/ 2
t

Пример 5.

УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 162 из 228
1 21 1
t 21
(2 x  1) 21
20
20 1


(
2
x

1
)
dx

2
x

1

t
;
dt

2
dx
;

t

dt

t


C


C

C

 2 21 2
42
42
Пример 6.

2  x2  2  x2
4 x
x
 arcsin
 C.
2
4
2  x2  2  x2
dx  
2 x
2
2 x
2
dx  
dx
2 x
2

dx
2 x
 ln x  x 2  2 
2
Пример 7.

cos x
sin
3
dx 
x
 sin
 2 sin 1 / 2 x  C  
3/ 2
x cos xdx  sin x  t; dt  cos xdx 
2
sin x
t
3/ 2
dt  2t  1 / 2  C 
 C.
Пример 8.
u  x 2 ; dv  e 5 x dx; 
1 5x
x 2e5x 2

 1 5x 2
2 5x
5x
x
e
dx


e
x

e
2
xdx

  xe5 x dx 

e  5


5
5
5
;
du  2 xdx; v 
5 

u  x; dv  e 5 x dx; 
1 5 x  x 2 e 5 x 2 xe5 x
2

 x 2 e 5 x 2  xe5 x




e dx  


e 5 x dx 

1 5x



5
5
5
5
5
25
25


du  dx; v  e ;
5


x 2 e 5 x 2 xe5 x 2e 5 x e 5 x  2 2 x 2 




 .
x 
5
25
125
5 
5 25 
Литература. [4]: Гл.6. 1.18, 1.23 – 1.25, 1.32, 1.34, 1.42, 1.49, 1.51, 1.53, 1.54,
1.57, 1.62, 1.67 – 1.69, 1.72, 1.79, 1.90, 1.106, 1.112, 1.115,
1.120.
[3]: 1032,1043 –1045, 1056, 1064, 1068, 1074, 1080, 1089, 1109,
1119, 1125, 1127, 1148, 1154, 1170, 1193, 1195, 1212, 1214,
1216, 1223.
Контрольные вопросы:
Запишите таблицу неопределенных интегралов.
Какими свойствами обладает неопределенный интеграл?
Какие методы интегрирования вы знаете?
Практическое занятие
8. Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Интегрирование
тригонометрических
функций,
тригонометрические подстановки.
Пример 1. Вычислить
6 x 5  8 x 4  25 x 3  20 x 2  76 x  7
dx

3x 3  4 x 2  17 x  6
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 163 из 228
Решение. Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у
нее целую часть:
6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7
3x3 – 4x2 – 17x + 6
6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2
2x2 + 3
9x3 + 8x2 – 76x - 7
9x3 – 12x2 – 51x +18
20x2 – 25x – 25
 2
20 x 2  25 x  25 
4 x 2  5x  5
2
2
2
x

3

dx

2
x
dx

3
dx

5
dx  x 3  3x 

3
2
3
2
 



3
3x  4 x  17 x  6 
3x  4 x  17 x  6
4 x 2  5x  5
 5 3
dx
3x  4 x 2  17 x  6
Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3
знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:
3x3 – 4x2 – 17x + 6
3x3 – 9x2
5x2 – 17x
5x2 – 15x
- 2x + 6
-2x + 6
0
x-3
3x2 + 5x - 2
Таким образом
3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1).
Тогда:
4 x 2  5x  5
A
B
C



( x  3)( x  2)(3x  1) x  3 x  2 3x  1
A( x  2)(3x  1)  B( x  3)(3x  1)  C ( x  3)( x  2)  4 x 2  5x  5
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных
коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений
(которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой)
применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода
состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно
несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений
х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений
принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем
случае – 3, -2, 1/3. Получаем:
40 A  16

35 B  21
C  1

A  2 / 5

B  3 / 5
C  1

Окончательно получаем:
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 164 из 228
2
dx
dx
dx
6 x 5  8 x 4  25 x 3  20 x 2  76 x  7
 2
 5

dx = x 3  3 x  3
3
2

3
x2
x3
3x  1
3x  4 x  17 x  6
2
5
 x 3  3x  3 ln x  2  2 ln x  3  ln 3x  1  C.
3
3
Пример 2.Вычислить
3x 4  14 x 2  7 x  15
A
Bx  C
Dx  E
 ( x  3)( x 2  2) 2 dx   x  3 dx   ( x 2  2) 2 dx   x 2  2 dx
Решение. Найдем неопределенные коэффициенты:
A( x  2) 2  ( Bx  C )( x  3)  ( Dx  E )( x  3)( x 2  2)  3x 4  14 x 2  7 x  15
2
Ax 4  4 Ax 2  4 A  Bx 2  3Bx  Cx  3C  Dx 4  2Dx 2  3Dx 3  6Dx  Ex 3  2 Ex  3Ex 2  6 E 
 ( D  A) x 4  (3D  E ) x 3  ( A  B  2 D  3E  4 A) x 2  (3B  C  6D  2 E ) x  (2 A  3C  6 E  4 A)
D  A  3
D  3  A
3D  E  0
 E  9  3 A


B

2
D

3
E

4
A

14

 B  6  2 A  27  9 A  4 A  14
3B  C  6 D  2 E  7
3B  C  18  6 A  18  6 A  7


3C  6 E  4 A  15
3C  54  18 A  4 A  15
D  3  A
 E  9  3 A

 B  11A  35
3B  C  7

3C  22 A  69
D  3  A
 E  9  3 A

11A  35  B
C  7  3B

21  9 B  70  2 B  69
A  3
B  2

C  1
D  0

 E  0
Тогда значение заданного интеграла:
dx
2x  1
dx
x
dx
1
 2
dx  3
 2 2
dx   2
 3 ln x  3  2

2
2
2
x3
x3
( x  2)
( x  2)
( x  2)
x 2
x
1
x


arctg
 C.
2
4( x  2) 4 2
2
3
Пример 3.
sin x  t

cos 7 xdx 
(1  t 2 ) 3
1  3t 2  3t 4  t 6
dt
dt


dt

cos
xdx

dt

dt   4  3 2 
 
4
4
 sin 4 x 

t
t
t
t
cos 2 x  1  sin 2 x 


1 3
1
1
3
sin 3 x
 3 dt   t 2 dt   3   3t  t 3  


3
sin
x

 C.
t
3
3
3t
3 sin 3 x sin x
Пример 4.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 165 из 228
 (t  2) 2  4t  5 
cos x  t

sin 3 x
1 t2
t 2  4t  4  4t  5
dt   
 dt 
 2  cos x dx  dt   sin xdx   2  t dt  
t2
t2


2
4t
5 
tdt
dt
t
t

  t  2 

dt   tdt   2dt  4 
 5
  2t  5 ln t  2  4 
dt 

t  2 t  2
t2
t2 2
t2

A
 t

 t  2  t  2  B


dt
t2
 A  Bt  2  t  t 2



2
t

5
ln
t

2

8

4
dt

 2t  5 ln t  2  8 ln t  2  4t 

t2 
B

1
,
A


2
2
2


 t

2

1 

t  2 t  2

2
t
cos 2 x
  2t  3 ln t  2  C 
 2 cos x  3 ln(cos x  2)  C.
2
2
Пример 5.
1
tgx  t ;

2
dx


cos
x
 sin 2 x  6 sin x cos x  16 cos 2 x   tg 2 x  6tgx  16 dx   1 dx  d (tgx)  dt  
 cos 2 x


dt
dt
1 tgx  3  5
1 tgx  2

 ln
 C  ln
 C.
2
10 tgx  8
t  6t  16
(t  3)  25 10 tgx  3  5
2
Пример 6.
1
1
1
1
 sin 7 x sin 2 xdx  2  cos 5xdx  2  cos 9 xdx  10 sin 5 x  18 sin 9 x  C.
Пример 7.
1
1
 sin 10 x cos 7 x cos 4 xdx   sin 10 x[cos 7 x cos 4 x]dx  2  sin 10 x cos11xdx  2  sin 10 x cos 3xdx 
1
1
1
1
1
1
1
sin 21xdx   sin xdx   sin 13xdx   sin 7 xdx   cos 21x  cos x  cos 13x 

4
4
4
4
84
4
52
1
 cos 7 x  C.
28

Пример 8.
 sin
2
dx
4dx
2 
 dctg 2 x



  2ctg 2 x  C
2
2
x cos x
sin 2 x  dx
sin 2 x 
Пример 9.
2
1
1
1 1

2
2
 sin xdx    2  2 cos 2 x  dx  4  (1  cos 2 x) dx  4  (1  2 cos 2 x  cos 2 x)dx 
1
1
1
x 1
1 1
x sin 2 x
  dx   cos 2 xdx   cos 2 2 xdx   sin 2 x   (1  cos 4 x)dx  

4
2
4
4 4
4 2
4
4
1
x sin 2 x x sin 4 x 1  3x
sin 4 x 
  dx   cos 4 xdx  
 
   sin 2 x 
 C.
8
4
4
8
32
4 2
8 
4


Пример 10.


 2dx
4

 1  2 x  t; dt 
4
1  2x  1  2x 
4 4 1  2x

dx


3
 dx 
 2t 3 dt
t 2 dt

 3 ;   2
 2

t 1
2t 
t t

УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 166 из 228
t 
t
1 


2
 2  t 
dt  t 2  2 1 
dt  2 tdt  2
dt  t  2t  2 ln t  1  C 
t 1
 t 1
 t 1
  1  2 x  24 1  2 x  2 ln 4 1  2 x  1  C.
Пример 11.
12 x  1  t ; x  1  t 12 ;
(t 4  t 3 )12t 11dt
t3  t2
dx



12

 
 ( x  1) 1  6 x  1
 t 2  1 dt 
t 12 (1  t 2 )
dx  12t 11dt ;

 t3

 
t2
t 
1  
tdt

 12  2
dt   2
dt   12   t  2
 12 dt 
dt   1  2
dt   12 tdt  12 2
t 1 
t 1
 t 1 
  t 1
 t 1
x 1  4 x 1
3


dt
 6t 2  12t  6 ln( t 2  1)  12arctgt  C  66 x  1  1212 x  1  6 ln( 6 x  1  1) 
1 t2
 12arctg12 x  1  C.
 12 
Пример 12:
 x  a sin t ; 
a2
2
2
2
2
2
2
2
a

x
dx


a

a
sin
t
a
cos
tdt

a
cos
t
dt

(1  cos 2t )dt 

 


2 
dx  a cos tdt 
a 2t a 2
a 2t a 2
a2
x x


sin 2t  C 

sin t cos t  C 
arcsin 
a 2  x 2  C.
2
4
2
2
2
a 2
Пример 13:
x
a


x  atgt; dx 
dt ;
2

dx
a cos tdt
cos 3 tdt
1 (1  sin 2 t )d sin t

cos t 






cos 2 ta 4 tg 4 ta  a 4 sin 4 t a 4 
sin 4 t
a2  x2  a2  x2  a ;

cos t


4

1
1
a2
 4

 C  sin t  1  2

3a sin 3 t a 4 sin t
a  x2


(a 2  x 2 ) 3 / 2
a2  x2

 C.

3a 4 x 3
a4x
a 2  x 2 
x
Пример 14:
2
2 sin t 

dt ;
dx
2 sin t cos tdt
1
 x  cos t ; dx 
2
cos
t


ctg 4 tdt 


2
5
5
 x( x 2  4) 5 / 2

32
cos
t

2

2
tg
t
 x 2  4  2tgt;



1
1
1
1
1  1
 1



ctg 2 t  2  1dt    ctg 2 td (ctgt )   ctg 2 tdt   ctg 3 t    2  1dt 

32
32
32
96
32  sin t 
 sin t 

1
1
t
2 
1
1
  ctg 3t  ctgt 
 C  ctgt 




2
3
/
2
96
32
32
12( x  4)
x2  4 
16 x 2  4

1
2
 arccos  C.
32
x
Пример 15.

3x  7 x 2  1
3
x  2x  5
2
dx  ( Ax 2  Bx  C ) x 2  2 x  5   
dx
x  2x  5
2
.
Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на ax 2  bx  c
и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
3x 3  7 x 2  1
Ред. № 1 от 29.08.2013
 (2 Ax  B) x 2  2 x  5 
Ax 2  Bx  C
( x  1) 
стр. 167 из 228

x 2  2x  5
x 2  2x  5
x 2  2x  5
(2 Ax  B)( x 2  2 x  5)  ( Ax 2  Bx  C )( x  1)   = 3x 3  7 x 2  1
2 Ax 3  4 Ax 2  10 Ax  Bx 2  2 Bx  5B  Ax 3  Bx 2  Cx  Ax 2  Bx  C   = 3 x 3  7 x 2  1
3 Ax 3  (5 A  2B) x 2  (10 A  3B  C ) x  5B  C    3x 3  7 x 2  1
A  1
A  1
5 A  2 B  7
 B  1




10 A  3B  C  0
C  13
5B  C    1
  7
3x 3  7 x 2  1
dx
Итого  2
=
dx  ( x 2  x  13) x 2  2 x  5  7 
x  2x  5
( x  1) 2  4
= ( x 2  x  13) x 2  2 x  5  7 ln( x  1  x 2  2 x  5)  C.
Пример 16.
2
2
 (4 x  6 x) x  3dx  
(4 x 2  6 x)( x 2  3)
4 x 4  6 x 3  12 x 2  18 x
x2  3
dx  ( Ax 3  Bx 2  Cx  D) x 2  3   
 (3 Ax 2  2 Bx  C ) x 2  3 
( Ax 3  Bx 2  Cx  D) x
dx
x2  3


x2  3
x2  3
x2  3
4 x 4  6 x 3  12 x 2  18x  (3 Ax 2  2Bx  C )( x 2  3)  Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx  
4 x 4  6 x 3  12 x 2  18 x  3 Ax 4  2 Bx 3  Cx 2  9 Ax 2  6 Bx  3C  Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx  
4 x 4  6 x 3  12 x 2  18x  4 Ax 4  3Bx 3  (2C  9 A) x 2  (6B  D) x  3C  
A  1; B  2; C  3 / 2; D  6;   9 / 2;
3
9
 3
 2
2
2
2
2
 (4 x  6 x) x  3dx   x  2 x  2 x  6  x  3  2 ln x  x  3  C.
Пример 17.
x

3
1


x ; 

dx
v 3 dv
v 2 dv
dv


v

 
 
 ( Av  B) 1  v 2   

2
2
1
x  1 dx   dv 
1 v
1 v2
2
v

1

v 2 
v2
v2
( Av  B)v


 A 1 v2 

2
2
1 v
1 v
1 v2
 v 2  A  Av 2  Av 2  Bv  
 v 2  2 Av 2  Bv  A  
A  1 / 2; B  0;   1 / 2;
v 2 dv
1 v2

v 1 v2 1
1  x2 1
1 
 arcsin v  

arcsin
C
2
2
2  x 2
x 
Второй способ решения того же самого примера.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 168 из 228
sin t
1
tgt


2
x

;
dx

dt
;
dx
sin t cos 4 t


cos
t
cos
t
cos
t
dt  
dt   cos 2 tdt 
 1
2
 x3 x2 1   2
cos t sin t
 x  1  tgt;

 tgt
3


cos t

1
1
1
1 x 2  1 
  1  cos 2t dt  t  sin 2t  sin 2t  2 sin t cos t  2  

2
2
4
x
x 

1
1
x 2  1 
  arccos 
 C.
2 
x
x 2 
С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением
arcsin
1 
1
  arccos , а постоянная интегрирования С – произвольное число,
x 2
x
ответы, полученные различными методами, совпадают.
Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно
применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода
интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством,
очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью
вычислений и преобразований.
Пример 18.
 x  sin t ;



dx
cos tdt
dt
x
 (1  x 2 ) 3 / 2  dx  cos tdt;    cos 3 t   cos 2 t  tgt  C  1  x 2  C.

2 
cos t  1  x 
Литература. [4]: Гл.6, §2
[3]: №№ 1282,1284, 1294, 1315, 1318, 1323, 1338, 1340, 1343,
1365, 1373, 1407
Контрольные вопросы:
В каких случаях применяется подстановка Эйлера? Как она выглядит?
В каких случаях применяется подстановка Чебышева? Как она выглядит?
В каких случаях применяются тригонометрические подстановки?
Практическое занятие
9. Определенный интеграл: определение,
свойства, существование. Формула Ньютона-Лейбница.
Интеграл с переменным верхним пределом. Интегрирование
по частям и замена переменной в определенном интеграле.
Геометрические приложения определенного интеграла.
1
Пример 1.  e
0
x2
1 2
1
0
2 1
1
xdx   e x d ( x 2 )  1 e x
 e  e  e 1.
2
2
2
2
0
0
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 169 из 228
Пример 2.


3
3



4
sin x 3 1


 (sin 4 3  sin 4 4 )  1 ((
4
4  4
3
3
 sin x cos xdx   sin xd sin x 
4
4

Пример 3.


2


x cos xdx  x sin x 02  sin xdx  x sin x 02  cos x 02 
0
 ((
2 4
) )
2
4


2
3 4
)
2
0
Пример 4. Вычислить интеграл
1


2
 1.
2
x 3e x dx .
0
2
Решение. Полагаем
2
 1 x 2e x
2
1
U  x 2 , dV  xe x dx .
1
1

2
2
 xe x dx  1 x 2 e x
2
0
 1 ex
2
0
0
2
1
0
4
2

0
xt .
и
2
2



0
0
0
2
 t3 t 2

2   t  ln(1  t )  
3 2
0
8 4
 16
 2   2  (ln 3  ln 1)    2 ln 3.
3 2
 3
8
Пример 6. Вычислить интеграл  dx .
2  x 1
3
Решение. Положим
8
2
3
 2t
3
2
x 1  t
dx
x 1
2
. Тогда   2,   3 , dx  2tdt и поэтому
3
 2
2
 4 ln( t
x e
3 x2
dx 
0
Тогда   0,   2 , dx  2tdt и поэтому исходный
2t 3dt
((t 3  1)  1)dt
dt
((t  1)(t 2  t  1)  1)dt
2
2

  2 (t 2  t  1)dt  2
1 t
1 t
1 t
1 t
0

1
xdx
.
x
2
2
2
 1
0
Решение. Положим
интеграл равен
dU  2 xdx, V  1 e x
2
 1 (e  0  e  1)  1 .
2
2
Пример 5. Вычислить интеграл
2
Тогда
3
3
3
2
2
2
tdt
t 22
dt
 2
dt  2 dt  4

t2
t2
t2
3
 2) 2
 2(3  2)  4(ln 5  ln 4)  2  4 ln 1,25.
Пример 7.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y  x2 и x  y2 .
Решение. Эти кривые пересекаются в точках A(0,0) и
B(1,1) . Поэтому
1
2
S   ( x  x )dx 
3
2
0
x
3
1
0

x3
3
1
1
3
 .
0
Пример 8. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями y 2  2 x  1 и x  y  1  0 .

5
.
64
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 170 из 228
Решение. Эти кривые пересекаются в точках A(0,1) и B(4,3) . В данном
случае лучше рассматривать простейшую область второго типа. Поэтому
3
3
 y 2 3 y y3 
y 2  1 
  16 .
S   y 1
dy  




 2

2
2
6


 1 3
1

Пример 9. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной
линиями x  2 , x  1 , y  0 , y  e x .
Решение. В данном случае
1
S  e
 x
2
0
dx   e
 x
2
1
dx   e
 x
0
1
dx   e dx   e x dx  e x
0
x
2
0
2
1
 e x  1  e 2  e1  1  2  e1  e 2
0
0
.
Пример 10. Найти длину дуги кривой
y  ln x ,
заключенной между точками
x1  3 и x2  8.
Решение.Так как кривая задана явно, то
8

l
1
3
замену
t  x2  1 .
Тогда
x 2  t 2  1, 2 xdx  2tdt
1
dx 
x2
8

3
x2  1
dx .
x
Делаем
и поэтому
t 2 dt
dt
dt 1 dt
t 1
3
l 2
 dt   2
 dt  1 
 
1  1 ln
 1  ln
.
2 2 t 1 2 2 t 1
2 t 1 2
2
2 t 1
2
2 t 1
2
3
3
3
3
3
3
3
Пример 11. Найти длину дуги кривой
точками t1  0
Решение.
Так
xt  3a cos t sin t , yt  3a sin
l  3a 
0
заключенной между
и t2  2 .
2
2
 x  a cos3 t ,

 y  a sin 3 t ,
2
как
кривая
t cos t и поэтому
cos t sin t  sin t cos t dt  3a
2
4
2
4
2
задана

2
параметрически,
2
cos 2t
0 sin 2t dt  6a 0 sin 2t dt  6a 2

2
то
 3a .
0
Пример 12. Найти длину дуги кривой   2 cos , заключённой между точками
1    и  2  
2
2
Решение. Так как кривая задана в полярной системе координат, 
 2 sin  ,
то

l
2



(2 sin  )  (2 cos ) d 
2
2
2
2

2 d  2 2

 2 .
2
2
Получился ожидаемый результат, так как уравнение   2 cos ,
определяет окружность радиуса 1 с центром в точке
Литература. [4]: Гл.6,§2
x  1, y  0 .
   
2
2
,
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 171 из 228
[3]: №№ 1521, 1524, 1537, 1582, 1599, 1603, 1623, 1626,
1635, 1651, 1667, 1689.
Контрольные вопросы:
Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
В чем суть метода интегрирования по частям в определенном интеграле
(записать формулу)?
В чем суть метода интегрирования подстановкой в определенном интеграле?
Какие геометрические приложения определенного интеграла Вы знаете?
Какие физические приложения определенного интеграла Вы знаете?
Практическое занятие 10. Дифференциальное исчисление функции
многих переменных. Предел и непрерывность. Частные
производные. Полное приращение и полный дифференциал.
Производная сложной функции. Производная функции,
заданной неявно. Частные производные высших порядков.
х у
Пример 1. Существует ли предел lim
?
х 0 х  у
y 0
х у
определена в проколотой окрестности точки
х у
О 0, 0  вне прямой х  у  0 , поэтому условие  х, у   0, 0  означает, что
х  у  0.
Если применить здесь обычный метод «проб и ошибок», то можно
получить такие результаты.
х у
1) Обозначая f x, y  
и устремляя M  x, y  к О 0, 0  вдоль оси Ох,
х у
х0
т.е. принимать y  0 , а x  0 , то lim f x, y   lim
 1.
х 0
х 0 х  0
y 0
Решение. Функция
2) Если устремим M  x, y  к О 0, 0  вдоль оси Оу, т.е. принимать x  0 ,
0 y
y  0 , то lim f  x, y   lim
 1 .
х 0
y 0 0  y
y 0
Разные «предельные числа» означают, что lim
х 0
y 0
(предел должен быть единственным).
е у  х у 2  1
Пример 2. Найти предел lim
.
х 0 31  х  х  у  2 
y 2
х у
х у
не существует
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 172 из 228
Решение. Исходя из того, что х  у  2  0 при x  0 , y  2 , используя
известную формулу lim
e  1

 0
 1 и теорему о пределах, легко заключаем, что
у
е у  х у 2  1
2
lim

 .
х 0 у  х  у  2  31  х 
3
y 2
Пример 3. Найти предел lim
х 
y 
х у
х 2  ху  у 2
.
Решение. Условие  х, у   ,   преобразуем в условие  z, t   0, 0
z  t zt .
1
1
при помощи подстановок x  , y  . Получаем lim 2
z 0 z  zt  t 2
t
z
t 0
Из известного неравенства (Коши) имеем z 2  t 2  2tz . А тогда
z  t zt  z  t zt  z  t .И поскольку
z 2  zt  t 2  tz , и поэтому
zt
z 2  zt  t 2
z  t zt  0 .
lim  z  t   0 , то заключаем, что lim 2
z 0 z  zt  t 2
z 0
t 0
t 0
Пример 4. Непрерывна ли функция f  x, y    x  y  sin
1
x2  y2
при x  0 ,
y  0 и f 0, 0   0 .
Решение. Проверяем условия непрерывности функции в точке О 0, 0  .
1) Функция f  x, y  определена в окрестности этой точки.
2) lim  x  y  sin
x 0
y 0
1
x2  y2
 0 , так как имеем x  y  0 , а sin
1
x2  y2
ограничена.
3) Предел в точке равен значению функции в этой точке f 0, 0   0 .
Функция непрерывна в точке О 0, 0  .
Добавим, что эта функция непрерывна в каждой точке  х, у   R 2 как
комбинация непрерывных элементарных функций.
Замечание. Если бы функция f  x, y  была бы неопределена в точке
О 0, 0  , то, доопределив ее в этой точке нулем, мы бы получили непрерывную
функцию.


1
Пример 5. Функция f  x, y   x  y x  y 1 , x  0 , y  1 не определена в
точке М 0 0, 1 . Можно ли ее доопределить в этой точке так, чтобы она стала
непрерывной?
2
2
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 173 из 228
Решение. Данная функция не определена в точках параболы у  1  х 2 , а
значит не определена в проколотой окрестности точки М 0 0, 1 . Тогда в
качестве множества Е принимаем произвольную окрестность точки М 0 0, 1 ,
из которой исключены точки параболы. Остается найти соответствующий
предел.
Имеем
1
1
t  x 2  y  1, x 2  y  1  t 
2
2
x

y

1
1  t  t  e .
lim x  y

  lim
x 0
t 0




x
,
y

0
,
1

t

0


y 1
Значит, если положить f 0, 1  e , то соответствующая функция будет
непрерывна в точке М 0 0, 1 . Добавим, что рассматриваемую функцию можно


доопределить как непрерывную в каждой точке  x 0 , y 0  параболы у  1  х 2 ,
если положить f  x 0 , y 0   e .
Пример 6. Исследовать точки разрыва функции f  х, у  
3x 2  y 2
.
x2  y2 1
Решение. Эта функция не определена в каждой точке окружности
2
x  y 2  1 . Если  x, y    x 0 , y 0 , где  x 0 , y 0  — произвольная точка
окружности, то f  х, у    . Точнее: если  x, y  лежит внутри единичного
круга и приближается к  x 0 , y 0  то f  х, у    , а если  x, y  расположена
вне единичного круга и приближается к  x 0 , y 0  , то f  х, у    . В
остальных точках плоскости функция f  x, y  непрерывна.
x
Пример 7. Найти частные и полное приращения функции z  xy 2  в
y
точке M 0 3,  2  при приращениях аргументов x  0,1 и y  0,05 .
Решение. Принимаем x 0  3 , y 0  2 , x 0  x  3,1, y 0  y  2,05 ,
3
M 1 3,1  2,05 . Сначала определим zM 0   z3,  2  3 22 
 13,5 .
2
Далее,
z x0  x, y 0   z 3,1;  2  3,1 2 
2
3,1
 13,95 ,
2
3
 14,07 ,
 2,05
3,1
2
z M 1   z x 0  x, y 0  y   z 3,1;  2,05  3,1 2,05 
 14,54 .
 2,05
Таким образом,
 x z  z  x 0  x, y 0   z  x 0 , y 0   0,45 ,
 y z  z x0 , y 0  y   z x0 , y 0   0,57 ,
z x 0 , y 0  y   z 3;  2,05  3 2,05 
2
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 174 из 228
z  z  x 0  x, y 0  y   z  x 0 , y 0   14,54  13,5  1,04 .
Очевидно, что z  1,04   x z   y z  0,45  0,57  1,02 .
x
Пример 8. Найти частные производные функции z 

y

1
.
y 3 x 3 6x 2 y
Решение. Частные производные функции двух и более переменных
определяются по тем же формулам и правилам, что и функции одной
переменной. Следует помнить только одно правило: если по одной переменной
дифференцируем, то остальные считаются постоянными.
|
n
 1 
Имеем (напомним, что  п    n 1 ):
x
х 
|
|
1
1  1 
1 3y
1
 1 
|
|
z x  3  x   y 3  
 2  3  4  3 ,
y
x
3x y
 x  6y  x  y
|
|
 1 
1
1
|
 x 3   3  y   2
6x
y  x
1
3x
1
1
    4  3  2 2 .
y
x
6x y
 y
x 2  2 xy
Пример 9. Найти частные производные функции z  2
.
y  2 xy  1
Решение. Здесь используем правило дифференцирования дроби.
2 x  2 y  y 2  2 xy  1  x 2  2 xy 2 y
|
zx 
,
2
2
y  2 xy  1
z |y

z |y



 




 2 x y  2 xy  1  2 y  2 x  x 2  2 xy
2
y

2
.
 2 xy  1
Пример 10. Найти частные производные, частные дифференциалы и
x2  y2
полный дифференциал функции z  cos 3
.
x  y3
Решение. Здесь имеем дело с производными сложной функции и дроби.
x2  y2  x2  y2
z
  sin 3

3  3
x
x  y  x  y3
2

|




x 2  y 2 2 x x 3  y 3  3x 2 x 2  y 2
   sin
.

2

x3  y3
x
x3  y3
x2  y 2
Ввиду симметрии выражения 3
относительно х и у можно писать
x  y3
сразу






x 2  y 2 2 y x3  y 3  3y 2 x 2  y 2
z
  sin 3

.
3
3 2
y
x  y3
x y
После преобразований получаем ответы:


УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 175 из 228
x 2  y 2  x 4  3 x 2 y 2  2 xy 3
z
  sin 3

,
3
3 2
x
x  y3
x y


x 2  y 2  y 4  3x 2 y 2  2 x 3 y
z
  sin 3

,
3
3 2
y
x  y3
x y

dxz 
dyz 
dz 
x
1
3
y

3 2
 sin
x2
x 4  3 x 2 y 2  2 xy 3
x
y

3 2
y 4  3x 2 y 2  2 x 3 y
x  y 
y
xx  3xy
3 2
3
2
3
x y
3
3
2
3

 sin
 sin
x2  y2
x3  y3
x2  y2
x3  y3

dx ,
dy ,
 

 2 y 3 dx  y y 3  3x 2 y  2 x 3 dy .
Пример 11 . Вычислить приближенно 1,07 3,97 .
Решение. Число 1,07 3,97 есть частное значение функции f  x, y   x y при
x  1,07 , y  3,97 .
Известно, что f 1, 4   1 . Поэтому принимаем x 0  1 , y 0  4 .
Тогда x  x  x 0  0,07 , y  y  y 0  0,03 .
f  x  x, y  y 
Значение
вычислим при помощи формулы
линеаризации: f  x 0 , y 0   df  x 0 , y 0  .
Имеем:
f x|  yx y 1 , f x| 1, 4   4 ,
f y|  x y ln x ,
f y| 1, 4  0 ,
df 1, 4  4  0,07  0   0,03  0,28 .
Таким образом, 1,07 3,97  1  0,28  1,28 .
sin
Пример 12. Вычислить приближенно
Решение.

1) Принимаем f  x, y   sin x 

5
y 2
8e ,
2
1,55  8e 0,015

5
.

, y 0  0 , x  1,55 ,
2
y  0,015 , x  x  x 0  1,55  1,571  0,021 , y  y  y 0  0,015 .
5
0 2
2
x 0  1,571 
 
2) f  x 0 , y 0    sin  8e   243 .
2


3
5
3) f x|  sin 2 x  8e y 2  sin 2 x , f x|  x 0 , y 0   0 , т.к. sin 2 x 0  sin   0 ,
2
3
3
5
|
|
2
y 2
y
f y  sin x  8e
 8e , f y x 0 , y 0   201  8 2  540
2
df  x 0 , y 0   540  0,015  8,1 .




УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
sin

5
стр. 176 из 228
1,55  8e 0,015  243  8,1  251,1 .
2
2
dz
Пример 13. Найти производную
функции z  e x  y , если x  a cos t ,
dt
y  a sin t .
Решение. В этом примере подстановка х и у в z приводит к
2
2
2
2
dz
0.
zt   e a cos t sin t   e a . Следовательно,
dt
dz
Пример 14. Найти
, если z  x 5  2 xy  y 3 , и x  cos 2t , y  arctgt .
dt
Решение. Непосредственная подстановка очевидно не упрощает функцию
dz z dх z dу
z. Используем формулу:
.


dt х dt у dt
z
 5х 4  2 у ,
х
z
 2х  3у 2 ,
у
dх
 2 sin t ,
dt
dy
1

.
dt 1  t 2
В результате можно как сохранить переменные х и у, так и заменить их
через t (в зависимости от того, что проще). Ответ оставим в таком виде:
dz
1
 2 5 x 4  2 y sin t  2 x  3 y 2
.
dt
1 t2
x2
Пример 15. Найти дифференциал функции z 
, если x  u  2v ,
y
y  2u  v .
z
z
Решение. Поскольку dz  dx  dy , то найдем все эти величины.
х
у
z 2 х
,

х y
Окончательно,
2




z
х2
 2 ,
у
y
x
x
dx 
du  dv  du  2dv ,
u
v
dy
y
dy 
du  dv  2du  dv .
u
v
Подставляем в dz :
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 177 из 228
2
x
du  2dv  x 2 2du  dv .
y
y
Подставим выражения для х и у и перегруппируем члены, выделяя
множители при du и dv:
 2x
 4x x 2 

x2 
x 
x
x 
dz  
 2 2 du   
 2 dv  21  du   4  dv 
y 
y
y 
y 
y 

 y
 y
dz  2

u  2v   u  2v 
u  2v  
u  2v

2u  3v du  9u  2v dv
21 
du   4 
dv 

2u  v  
2u  v 
2u  v   2u  v 2

Литература. [3]: №№ 1792, 1801 – 1807, 1833, 1837, 1843, 1856, 1860, 1861,
1892, 1896, 1942, 1948.
Контрольные вопросы:
Дайте определение предела функции многих переменных.
Дайте определение непрерывности функции многих переменных
Дайте определение частной производной функции многих переменных
Определение функции многих переменных.
Что называется полным приращением функции?
Что называется частным приращением функции?
Что называется полным дифференциалом функции?
Практическое занятие 11. Производная по направлению. Градиент.
Уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности. Экстремум функции двух переменных.
Пример 1. Составить уравнения касательной и нормали в точке М 0 1, 1 к
кривой у  у  х  , заданной неявно уравнением х 3  2 ху 3  ух 4  2  0 .
Решение. Положим F  x, y   х 3  2 ху 3  ух 4  2 . Тогда F 1, 1  0 .
Далее
Fx| 1, 1  1.
имеем
Fy|  6 xy 2  x 4 ,
F y| 1, 1  5 ,
Fx|  3 x 2  2 y 3  4 x 3 y ,
Условие Fy| 1, 1  0 обеспечивает существование однозначной неявной
функции y  x  в окрестности точки x 0  1 .
Уравнение касательной к у  у  х  имеет вид: y  y 0  k  x  x 0  , где
1
k  y |  x 0    т.е.
5
1
(t): y  1    x  1 .
5
1
Уравнение нормали имеет вид y  y 0    x  x 0 , т.е.
k
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 178 из 228
(п): y  1  5 x  1 .
Ответ: (t) : x  5 y  6  0 х, (п): 5x  y  4  0 .
Пример 2. Найти производную функции z  2,5 x 2  5 xy  3 y 2  5 y в
точке A1, 2  в направлении, составляющем с осью Ох угол 30°. Определить
направление максимального роста данной функции в данной точке.
Решение. Имеем z |x  5 x  5 y ,
z |y  5 x  6 y  5 ,
z |x 1, 2   5 ,
z |y 1, 2  12 .
Следовательно, если через l
обозначим данное направление, то
f
5 3
 5 cos 30  12 sin 30  
 6.
l
2
Градиент функции поля в
данной точке имеет вид
grad z 1, 2   5, 12   5i  12 j .
Этот вектор указывает направление, в
котором функция растет быстрее, чем
по другим направлениям.
На рисунке схематически изображены точка A1, 2  , направление l с
  30 и направление grad z .
Максимальное значение производной в точке A1, 2  равно модулю
градиента: 5 2  12 2  13 .
Пример 3. Найти производную функции z  3 x 2  5 y 2 в точке A1,  1 по
направлению к точке B 2, 1.
1
Решение. Имеем AB  l  2  1, 1  1  1, 2 , l  5 , cos 
,
5
2
2 
 1
. Тогда e  
sin  
,
 – орт направления l .
5
 5 5
Далее, имеем z |x  6 x , z |y  10 y , z |x 1,  1  6 , z |y 1,  1  10 , а значит
z
1 10  2
14
6


.
l 1, 1
5
5
5
z
Отрицательность
означает, что функция в этом направлении убывает.
l
Пример 4. Найти направление максимального роста функции
z  3x 2  xy  2 y 2 в точке A2, 1 . Найти также наибольшее из значений
производных по разным направлениям в точке А.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 179 из 228
Решение. Имеем
z |x  6 x  y , z |y  x  4 y , z |x 2, 1  13 , z |y 2, 1  2 .
Градиент функции z в данной точке — это вектор grad z 2, 1  13,  2 .
Этот вектор (его направление) указывает на направление максимального роста
функции в точке A2, 1 .
Наибольшее значение производной в A2, 1 равно 13 2  2 2  173 .
Пример 5. Даны функция z  x 2  3 y 3  xy , точка A1, 1 и вектор
a   5, 12  . Найти
а) grad z  A ;
б) производную в точке А по направлению a .
Решение. а) Имеем z |x  2 x  y , z |y  9 y 2  x , z |x 1, 1  1 , z |y 1, 1  8 ,
значит,
grad z  A  1, 8 .
5
б) Найдем направляющие косинусы вектора a , | а  13 , cos   ,
13
12
z
5
12
sin   . Следовательно,
 1   8   7 .
13
a
13
13
Максимальная производная в точке A1, 1 равна
grad z 1, 1  12  8 2  65 ,
а по направлению a величина производной равна 7.
Пример 6. Функцию f  x, y   3x 2  2 xy  1 представить в
многочлена Тейлора по степеням x  1, y  2 .
Решение. Принимаем x 0  1 , y 0  2 и последовательно находим:
f 1,  2  2 ,
df 1,  2  6 x  2 y x  2 xy  x 1, y 2  2x  2y ,

d 2 f 1,  2  6x 2  4xy

x 1, y  2
виде
 6x 2  4xy .
Заменив x  x  1 , y  y  2 в формуле Тейлора, получим
3x 2  2 xy  1  2  2 x  1  2 y  2  3 x  1  2 x  1 y  2 .
В правой части равенства имеем многочлен Тейлора второй степени по
степеням x  1, y  2 .
2
Пример 7. Вычислить приближенно функцию f  x, y   x 2  y 2 в точке
11,8; 5,3 , используя формулу Тейлора с n  2 .
Решение. Принимаем x 0  12 , x  0,2 , y 0  5 , y  0,3 . Имеем
f 12, 5  13 ,
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
df 12, 5 
xx  yy
d f 12, 5 
2
Ред. № 1 от 29.08.2013
x 2  y 2 12, 5 

 12  0,2  5  0,3
 0,0692 ,
13
y 2 x 2  2 xyxy  x 2 y 2
x
2
y
стр. 180 из 228

2 3
 0,0096 .
12, 5 
1
 0,0096  12,9356 .
2
Пример 8. Исследовать на экстремум функцию
f  x, y   4 x 2 y  24 xy  y 2  32 y  6 .
Решение. Область определения D  f  — вся плоскость Оху, f  x, y  —
дифференцируема в каждой точке M  x, y   D f  .
1. Определим стационарные точки (применим теорему о необходимых
условиях экстремума).
 f
 х  8 xy  24 y  0,
 y  x  3  0,

 f
 2
2 x  12 x  y  16  0.
  4 x 2  24 x  2 y  32  0
 y
Отсюда
 y  0 : x 2  6 x  8  0  x1  4, x 2  2,

 x  3, y  2.
Получили три стационарные точки: M 1  4, 0  , M 2  2, 0  , M 3  3, 2  .
2. Эти точки исследуем достаточность условий экстремума. Сначала
определим отдельно
2 f
2 f
2 f
 8y ,
2
 8 x  24 ,
xy
x 2
y 2
А теперь для каждой точки вычислим соответствующие (см. теорему о
достаточных условиях экстремума) А, В, С, определим знаки величин
D  AC  B 2 и А.
а) M 1  4, 0  : A1  0 , B1  32  24  8 , C1  2 , A1C1  B12  64  0 , т.е.
M 1  4, 0  не является точкой экстремума.
Таким образом, 11,8 2  5,3 2  13  0,0692 
б) M 2  2, 0  : A2  0 , B 2  16  24  8 , C 2  2 , A2 C 2  B22  0 , т.е.
M 2  2, 0  не является точкой экстремума.
в) M 3  3, 2  : A3  16 , B3  0 , C 3  2 , A3 C 3  B32  32  0 . При этом
A  0 . Вывод: M 3  3, 2  — точка локального минимума функции f  x, y  с
f min  f  3, 2  10 .
Ответ: min f  x, y   f  3, 2  10 .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 181 из 228
Литература. [3]: №№ 1876, 1877, 1884, 1887, 1981, 2008, 2010, 2030.
Контрольные вопросы:
Дайте определение производной по направлению
Запишите уравнение касательной плоскости
Запишите уравнение нормали к поверхности
Чему равен угол  между grad  в точках М 1; 1; 1 и N  1; 1; 0  , где   4 x 2 yz ?
Чему равен модуль grad  в точке М 1; 1; 1 , где   4 x 2 yz ?
Какой вид имеют необходимые условия экстремума функции двух
переменных?
Сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух переменных?
Практическое занятие 12. Кратные, криволинейные и поверхностные
интегралы.
Пример 1. Вычислить двойные интегралы по прямоугольным областям
интегрирования Р.
x2
dxdy ; 0  x  1 , 0  y  1 ;
а) 
2
1

y
P
 x
б)
2
 
y cos xy 2 d xdy ; 0  x 
P

2
, 0  y  2.
Решение.
а) Область Р изображена на рисунке 1
2
1
x
1
1
x2
1
dy
 1  y 2 dxdy   dx 1  y 2 dy   х  1  y 2 dx 
P
0
1
  x arctgy
2
0
y 1
y 0
1
dx  
0

4
2
0
0
 x
x 2 dx 
3 1
4 3
0

0

12
.
Рис. 1
б) Область Р изображена на рисунке 2

 x
2
 
2
2
0
0
 
y cos xy dxdy   dx x 2 y cos xy 2 dy 
2
P

 
 
  
2
2
x2
x
x
2
2
 x ydy 
d y  d xy   dx cos xy 2 d xy 2 
2
2
0
0 2
2
Рис. 2
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013

Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 182 из 228

 
2
x
   sin xy 2

0 2
u  x dv  sin 4 xdx 1  х cos 4 x
2
dx  1 x sin 4 xdx 
cos 4 x   
du  dx v  
y 0 
2 0
2
4
4

y 2

2

0




2
12

1

  cos 4 xdx     sin 4 x   .
40
16 32
16

0

Пример 2.. Записать двойной интеграл
 f x, y dxdy как повторный, если
P
а) Р – параллелограмм со сторонами x  1, x  7 ,
x  y  5  0, x  y  0;
б) Р – треугольник с вершинами О(0;0); А(2;1);
В(3;-2);
x2 y2
в) Р – внутренность эллипса

 1;
4
9
г) Р - круговое кольцо 1  x 2  y 2  4 .
Решение.
а) При решении задач подобного типа
целесообразно изобразить плоскую область Р
графически.
Из уравнения стороны ВС
x y50
получаем
у = х + 5.
Из уравнения стороны AD
x y0
получаем
у=х.
Следовательно,
7
x 5
1
x
Рис. 3
 f x, y dxdy   dx  f x, y dy
P
Если изменить порядок интегрирования, то область Р необходимо
рассматривать как объединение трех областей: треугольников ABE, FCD и
параллелограмма BFDE. Это связано с тем, что нельзя записать одним
уравнением границу ABC и границу ADC.
Из уравнения стороны ВС получаем х = у - 5.
Из уравнения стороны AD получаем х = у.
 f x, y dxdy   f x, y dxdy   f x, y dxdy   f x, y dxdy ,
P
ABE
BFDE
FCD
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 183 из 228
6
y
7
y
12
7
1
1
6
y 5
7
y 5
 f x, y dxdy   dy f x, y dx   dy  f x, y dx   dy  f x, y dx .
P
б) Находим уравнения прямых OA, OB, АВ, на которых расположены
стороны треугольника.
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные
точки:
x  x1
y  y1

.
x 2  x1 y 2  y1
В результате очевидных преобразований получаем
следующие уравнения
1
прямая ОА: y  x или х = 2у;
2
2
3
прямая OB: y   x или x   y ;
2
3
1
7
прямая АВ: у = -3х + 7 или x   y  .
3
3
Поскольку верхняя граница области Р состоит из
отрезков двух прямых, задаваемых различными
уравнениями, то область Р необходимо разбить на
треугольники ОАС и CAB.
 f x, y dxdy   f x, y dxdy   f x, y dxdy ,
P
OAC
1
x
2
2
OAB
3
3 x  7
0
2
 x
3
 f x, y dxdy   dx 2 f x, y dy   dx 2 f x, y dy .
P
 x
3
Если изменить порядок интегрирования, то область Р придется
рассматривать как совокупность треугольников OAD и ODB:
0
1 7
 y
3 3
1
1 7
 y
3 3
0
2y
 f x, y dxdy   dy 3 f x, y dx   dy  f x, y dx .
P
2
 y
2
x2 y2

 1 задает эллипс с центром в начале координат,
в) Уравнение
4
9
фокусы которого расположены на оси Оу и который имеет полуоси 2 и 3.
3
Уравнение дуги ABC: y 
4  x2 ;
2
3
уравнение дуги ADC: y  
4  x2 ;
2
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
уравнение дуги DAB: x  
уравнение дуги DCB: x 
стр. 184 из 228
2
9  y2 ;
3
2
9  y2 .
3
Следовательно,
3
4 x 2
2
2
 f x, y dxdy   dx 3  f x, y dy
2
P

2
4 x 2
или
3
2
9 y 2
3
 f x, y dxdy   dy 2  f x, y dx .
3
P

3
9 y 2
г) Кольцо 1  x 2  y 2  4 образовано двумя
концентрическими окружностями с центром в начале
координат и имеющими радиусы 1 и 2. Вертикальные касательные BL и DF, проведенные в точках
М(-1; 0) и N(1; 0) к окружности x 2  y 2  1 ,
разбивают кольцо на области ABL; MBCDNR;
MLKFNS; EDF.
Дуги АВ; BD; DE задаются уравнением
y  4  x2 .
Дуги AL; LF; FE задаются уравнением y   4  x 2 .
Дуга MRN задается уравнением y  1  x 2 .
Дуга MSN задается уравнением y   1  x 2 .
Таким образом,
1
4 x 2
1
 1 x 2
1
4 x 2
1
 4 x 2
1
1 x 2
 f x, y dxdy   dx  f x, y dy   dx  f x, y dy   dx  f x, y dy 
P
2
 4 x 2
2
4 x 2
  dx
1
 f x, y dy .
 4 x 2
При изменении порядка интегрирования получаем аналогичное
выражение формальной заменой х на у и у на х (за исключением выражения
функции f  x, y  ).
Пример 3. Изменить порядок интегрирования
2
2x
0
x
a)  dx  f  x, y dy ;
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 185 из 228
y
1
б)  dy  f  x, y dx ;
0
y
1
x2
3
1 3
 x
2 2
0
0
1
0
в)  dx  f  x, y dy   dx
 f x, y dy .
Решение.
а) По пределам интегрирования повторного
интеграла восстановим область интегрирования Р.
Границы искомой области задаются следующими
уравнениями: х = 0; х = 2; у = х; у = 2х.
Таким образом, Р - треугольник ОАВ с вершинами
О(0; 0); А(2; 4); В(2; 2). При изменении порядка
интегрирования разобьем область Р на треугольники ОСВ
и CAB:
2
2x
2
0
x
0
у
4
2
 dx  f x, y dy   dу 1 f x, y dх   dу 1 f x, y dх .
2
б) Область
границы
2
у
2
интегрирования
у
имеет
следующие
у  0,
у  1,
х  у,
х у.
1
y
1
х
0
х2
 dy  f x, y dx   dх  f x, y dу
0
y
в) Область интегрирования состоит из
двух подобластей
1) х  0 ; х  1; у  0 ; у  х 2 ;
1
3
2) х  1; х  3 ; у  0 ; у   х  .
2
2
После
изменения
порядка
интегрирования получаем
1
x2
3
1 3
 x
2 2
1
0
0
1
0
0
2 у 3
 dx  f x, y dy   dx  f x, y dy   dу  f x, y dх .
у
Пример 4. Вычислить интегралы
а)  x 2  у 2 d xdy , Р – область, ограниченная параболами у  х 2 и у 2  х ;

P

УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
б)
 cosx  у dxdy ,
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 186 из 228
Р - область, ограниченная прямыми х  0 , y   ,
P
y  x.
Решение.
 x
а)
2

P
 2
y2 

   x y 

2

0
1
1
x
0
2


 у dxdy   dx  x 2  у 2 dy 
2
y x
y x2
x
 2
x
x4 
4
dx 
dx    x x   x 

2
2

0
1
1
 5 1

 2 7 x2
3
3 5 
4
   x 2  x  x dx   x 2 

x



7

2
2
4
10
0


0
2 1 3
33
.
   
7 4 10 140
1


0
x
 cosx  у dxdy   dx cosx  у dy 
б)
P


  sin  x  y  y  x dx   sin  x     sin 2 x dx 
y 
0
0


1


   sin x  sin 2 x dx   cos x  cos 2 x  
2

0
0
1
1
1 3

 

  cos  cos 2    cos 0  cos 0   1    2 .
2
2
2 2

 

Пример 5. Перейти к полярным координатам и расставить пределы
интегрирования в двойном интеграле  f  x, y dxdy , где
P
а) Р – круг x  y  R ;
2
2
2
б) Р – область, ограниченная линиями x 2  y 2  4 x , x 2  y 2  8 x , y  x ,
y  2x ;
в) Р – треугольник, ограниченный прямыми x  0 , y  0 , y  1  x .
Решение.
а) Переходя к полярной системе координат x  r cos ,
y  r sin  , получаем следующее уравнение окружности
x 2  y 2  R 2 , r  R.
Очевидно, что 0    2 , поэтому

P
f  x, y dxdy 
2
R
0
0
 d  f r cos , r sin    rdr .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 187 из 228
б) Преобразуем исходные выражения x 2  y 2  4 x и
x 2  y 2  8x
К каноническому
x 2  y 2  4x  0 ,
виду:
 x  22  y 2  4 ;
x  42  y 2  16 .
x 2  y 2  8x  0 ,
Следовательно, область Р ограничена окружностью,
имеющей радиус 2, с центром в точке (2; 0); окружностью,
имеющей радиус 4, с центром в точке (4; 0), а также
прямыми y  x , y  2 x .
Фигура
ограничена
ABCD
лучами

  arctg 2 .

4
и
В полярной системе координат уравнение дуги AD имеет вид
r 2 cos2   r 2 sin 2   4r cos , r  4 cos .
Аналогично, уравнение дуги ВС:
r 2 cos2   r 2 sin 2   8r cos , r  8 cos .
Таким образом,
arctg 2
8 cos 
 f x, y dxdy   d  f r cos , r sin    rdr .
4 cos 
P
4
в) В полярной системе координат прямая y  1  x
имеет вид
1
.
r sin   1  r cos , r 
sin   cos
Следовательно,


2
1
sin   cos 
0
0
f  x, y dxdy   d
P
 f r cos , r sin    rdr .
Пример 6. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл
1 х2  у2

1 x2  y2
P
dxdy ,
где Р – область, ограниченная окружностью x 2  y 2  R 2 , 0  R  1 , и расположенная в первой координатной четверти.
Решение.
Очевидно, что 0   

P
1 х  у
2
2
1 x2  y2

2
, 0  r  R , следовательно,

2
R
dxdy   d 
0
0
1 r2
1 r2
rdr .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 188 из 228
Рассмотрим неопределенный интеграл
1 r2
1 1 r2 2
1 1 t
1 1 t
2
dt 
 1  r 2 rdr  2  1  r 2 dr  r  t  2  1  t dt  2 
2
1 t
1
dt
1
tdt
1
1
1
1
 
 
 arcsin t 
1  t 2  arcsin r 2 
1 r4 .
2 1 t2 2 1 t2 2
2
2
2
Следовательно,

2
R
 d 
0
0
arcsin r
2
1 r2
 1
1 r
2
rdr 
2

2
 1 r
4

R

0
arcsin R
4

2

 1 R4 1 .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y 2  2 x
Пример 7.
и y  x.
Решение. Имеем S   dxdy . Направление,
D
или порядок, интегрирования выберем так, как
указано на чертеже (рис. 1).
Сначала определим координаты точки А:
 y 2  2 x,
 x 2  2 x  x1  0 , y1  0 и

 y  x;
Рис. 1
x2  2 , y2  2 .
Проекция области D на ось Оу есть отрезок [0,2]. Таким образом,
2

 y2 y3 
y2 
2



 
S   dy  dx   x y 2 dy    y 
dy


 2
2 
6 
3

0
0
0
y2
0
2
2
y
2
y
2
2
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
4 x  7 y  82  3x  8 y  92  64 .
Решение. Вычисления по формуле S   dxdy неприемлемы ввиду
D
сложности пределов интегрирования. Произведем замену переменных по
формулам
1

8u  7v  1,
x


4 x  7 y  8  u,
53
откуда 

3x  8 y  9  v,
 y  1  3u  4v  60 .

53
x 8 x 7 y
3 y 4
При этом
 ,
 ,
 , то есть
 ,
u 53 v 53 u
53 v 53
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
x
J  u
y
u
В плоскости координат
стр. 189 из 228
x
8
7
v  53 53  1 .
y
3
4 53

53 53
v
u, v  соответствующая линия имеет вид
u 2  v 2  64 , т. е представляет собой окружность, а область G — круг
u 2  v 2  64 с площадью S G   64 . Используя соответствующие формулы,
получаем
1
1
64
S   dxdy   Jdudv   dudv  S G  
.
53
53
53
D
G
G
Пример 9. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
y  x , y  2 x , x  z  4, z  0.
Решение. Первые два уравнения
изображают параболические цилиндры с вертикальной образующей, третье, т.е. x  z  4
— уравнение наклонной плоскости, а
уравнение
—
плоскость
Оху.
z0
Соответствующее тело изображено на рис. 2;
сверху
его
ограничивает
поверхность
z  4  x.
Объем тела вычислим по формуле
V   4  x dxdy ,
D
где область D изображена на рис. 3.
Рис. 2
Имеем
4
2 x
4
V   4  x dx  dy   4  x  y
0
0
4
x
y 2 x
y x
4
dx   4  x  x dx 
0
 2 3 2 5
128
 4  x 2  x 2  
.
 3

5
15

0
Пример 10
Вычислить площадь части
поверхности цилиндра x 2  y 2  R 2 , заключенной
между плоскостями z  0 и z  px , р > 0.
Решение. Поверхность цилиндра не может быть
записана явной формулой z  z  x, y  , поэтому
формула
2
Рис. 3
2
S   1  z |x  z |y dxdy
D
Рис. 4
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 190 из 228
неприменима. Выразим в таком случае поверхность цилиндра (рис. 4) явно в
виде y   R 2  x 2 и воспользуемся формулой
2
2
S   1  y |x  y |z dxdy ,
D
где D — область, ограниченная прямыми z  px , z  0 ,
x  R (рис. 5) в плоскости Oxz.
Имея в виду знак ұ перед радикалом, вычислим
площадь половины поверхности, т.е. описываемой
уравнением y  R 2  x 2 , а результат удвоим.
Имеем
x
y |x  
, y |z  0 ,
2
2
R x
1
x2
R

.
R2  x2
R2  x2
Следовательно,
R
R
dx
S  2
dxdz  2 R 
R2  x2
R2  x2
D
0

 2 pR  R  x
2
2

R
Рис. 5
px
R
0
0
 dz  2 pR
x
R2  x2
dx 
 2 pR 2 .
0
Пример 11 Определить массу круглой пластины радиуса R с центром в
начале координат, если поверхностная плотность материала пластины в точке
M  x, y  равна   x, y   k x 2  y 2 , где k  0 – фиксированное число.
Решение. Переходя от декартовых координат к полярным, имеем

2 kR 3
m     x, y dxdy   k x  y dxdy  4k  d  r dr 
.
3
2
2
2
D
0
0
x  y R
2
2
2
R
2
Пример 12 Найти моменты инерции квадратной пластины 0  x  a ,
0  y  a относительно осей координат и начала координат, если плотность
пластины пропорциональна ординате точки пластины с коэффициентом k .
Решение. Вычисления производим по соответствующим формулам
учитывая, что   x, y   xy :
1) J x 
a
a
0
0
2
3
 ky  y dxdy  k  dx y dy 
0 x  a
0 y  a
a
a
ka 5
.
4
ka 5
2) J y   ky  x dxdy  k  x dx ydy 
.
6
0 x  a
0
0
2
0 y  a
2
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 191 из 228
5ka 5
.
12
Пример 13 Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной
параболой ay  x 2 и прямой x  y  2a , если плотность пластины постоянна и
равна  0 .
Решение. Сделаем чертеж (рис. 6). Находим абсциссы точек А и В
x2
пересечения прямой x  y  2a и параболы y 
.
a
Из системы уравнений
 x  y  2a


x2
y


a

находим x1  2a и x 2  a .
1) Масса пластины D равна
3) J 0  J x  J y 
m  mD     0 dxdy   0
D
a
2a x
2 a
x2
a
 dx  dy 
Рис. 6

x2 
9

dx  a 2  0 .
  0   2a  x 
a 
2
2a 
2) Вычислим статические моменты пластины относительно координатных осей
a
2a  x
a

x4 
36
2
М х   0  ydxdy   0  dx  ydy   0   2a  x   2 dx  a 3  0 .
5
a 
D
2a
2a 
x2
a
a
2a  x

x2 
9

 xdx   a 3  0 .
М y   0  xdxdy   0  xdx  dy   0   2a  x 
a 
4
D
2a
2a 
x2
a
a
a
3) Координаты центра тяжести найдем теперь по формулам:
My
M
8a
a
xc 
  , yc  x 
.
m
5
m
2
Пример 14. Вычислить тройные интегралы:
а)  xy 2 z 3 dxdydz , где область Р ограничена поверхностями z  xy , y  x ,
Р
x  1, z  0 ;
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
dxdydz
 1  x  y  z 3 ,
б)
где
область
Р
ограничена
стр. 192 из 228
поверхностями
Р
x  y  z  1, x  0 , y  0 , z  0 .
Решение.
а) Как и в случае двойных интегралов,
вычисление тройных интегралов требует
понимания структуры области интегрирования.
В данном случае область Р определяется
следующими неравенствами:
0  х  1 , 0  у  х , 0  z  xy ,
поэтому
 xy
2
Р
1
x
xy
0
z  xy
0
0
z dxdydz   dx dy  xy 2 z 3 dz 
3
1
x 5 6
 2 z4 
x y


  dx  xy
dy

dx
  4 dy 
4  z 0
0
0
0
0
1
x
z  xy
yx
1
1 5 7
 2 z4 
x y
1 1 12
1 13
1

  dx  xy
dy

dx

x
dx

x

.



4
28
28
364
364
0
 z 0
0
0
0
0
y 0
б) Уравнение x  y  z  1 определяет плоскость, которая пересекает оси
координат в точках А(1; 0; 0); В(0; 1; 0); С(0; 0; 1).
Следовательно, Р - треугольная пирамида
ОABC.
Предельные значения переменной х: x  0 ,
x  1.
Если зафиксировать значение х, то
предельные значения переменной у: y  0 и
у 1 х .
При фиксированных значениях х и у
переменная z имеет предельные значения z  0 и
z 1 х  у.
Переходим к повторному интегралу
1
1 x 1 x  y
dxdydz
3
 1  x  y  z 3   dx  dy  1  x  y  z  d 1  x  y  z  
Р
0
0
0
1
x
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
1
1 x
0
0
  dx 
Ред. № 1 от 29.08.2013
z 1 x  y
1
 21  x  y  z 
2
 1

1

    y 


8
2
1

x

y

0
1
z 0
y 1 x
y 0
стр. 193 из 228

1
1 
dy   dx  

dy 
2
8 
0
0  21  x  y 
1
1 x
 x 1
1
1
dx   

 dx 
2x  1 4 
0 8
1
1
  x  12 1
1 
1
5
 
 ln  x  1  x   ln 2  .
2
4 
2
16
 16
0
Пример 15. а) Перейти к сферическим координатам в интеграле
 f 

x 2  y 2  z 2 dxdydz ,
где
область
Р
ограничена
поверхностями
Р
z  x 2  y 2 , x  y , x  1, y  0 , z  0 ;
б) перейти к цилиндрическим координатам и вычислить
2
интеграл  x  y 2 d xdydz , где область Р ограничена поверхностями


Р
x  y  2z ; z  2 .
Решение.
а) Область Р ограничена криволинейной трапецией ABCD,
криволинейными треугольниками АВО и OCD, треугольником AOD и частью
поверхности параболоида вращения ВОС.
В
сферических
координатах
y  r sin  cos ,
x  r sin  ;
x  r cos cos ,
2
2
x2  y2  z2  r .
Переменная  изменяется от   0 до  
( AOD 

)
4
Переменная  изменяется от
значения NOM , которое зависит от
.
Из
треугольника
АОМ:
1
, следовательно, точка
OM 
cos
координаты M 1, tg , 0 .

4
  0 до
величины
AM  tg ,
М
имеет
Точка N находится на поверхности z  x 2  y 2 ,
поэтому
1
,
z  1  tg 2 
cos2 
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 194 из 228

1 
.
т. е. N 1, tg ,
2

cos



NM
1
. Таким образом, диапазон

OM cos
1
значений переменной  : 0    arctg
.
cos
Переменная r изменяется от значения OS до значения ОТ. Точка S
находится на поверхности z  x 2  y 2 , уравнение которой в сферических
координатах:
r sin   r 2 cos2  cos2   r 2 cos2  sin 2  ,
sin 
следовательно, OS 
.
cos2 
Из треугольника ОМТ
OM
,
OT 
cos TOM
1
.
OT 
cos cos
Таким образом, переменная r изменяется в диапазоне
sin 
1
.

r

2
cos

cos

cos 
Итак,
Из треугольника NOM: tgNOM 

 x
Р
2
y
1
1
cos  cos  cos 
dxdydz   d  d  f r r

4
2
arctg
0
0
2
cosdr .
sin
cos 2 
б) Очевидно, что область Р симметрична относительно координатных
плоскостей Oxz и Oyz. Подынтегральная функция четна по каждой из
переменных х и у. Вычисление исходного интеграла сводится к его вычислению
в первом октанте ( x  0 ; y  0 ; z  0 ).
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 195 из 228
Рассмотрим сечение области Р плоскостью Oyz. Поскольку уравнение


1 2
x  y 2 z = — (х2 + у2) определяет параболоид вращения, то все сечения,
2
проходящие через ось Oz, одинаковы.
В цилиндрической системе координат
x  r cos ,
y  r sin  ,
z  h.
z
Если ограничиться первым октантом, то 0   

.
2
Переменная h меняется от 0 до 2. Переменная r меняется от 0 до значения
ОЕ, которое определяется величиной h. В цилиндрических координатах
уравнение параболоида:
1
h  r2.
2
Следовательно, OE  2h .
Таким образом, 0  r  2h .
Итак,

 x
Р
2

2
2
2h
 y dxdydz  4  d  dh  r dr  4 
2
3
0
0
h3
 2 
3
0
2

0
 2r4 

2 


4
0
0
2h
2
dh  2  h 2 dh 
0
16
.
3
Литература. [3]: №№ 2113, 2121, 2128, 2135, 2136, 2141, 2145, 2160, 2165,
2183, 2194, 2198, 2204, 2240, 2260,
Контрольные вопросы:
1. Почему в определении двойного интеграла условие d  0 нельзя
заменить условием n   ?
2. Как можно с помощью двойного интеграла выразить объем тела,
ограниченного сверху поверхностью z  f  x, y  , а снизу – поверхностью
z  g  x, y  , заданных на одной и той же области D? ( f  x, y  и g  x, y 
непрерывны и f  x, y   g  x, y   x, y   D )
3. Что выражает знак якобиана преобразования координат?
4. Почему функции х  хu , v  , y  y u, v  , используемые при замене
переменных в двойном интеграле, должны быть дифференцируемыми?
5. При составлении повторного интеграла получилась запись
а
a2  x2
0
ax  x 2
 dx  f x, y dy .Какой области D может соответствовать этот интеграл?
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 196 из 228
Какие приложения двойного интеграла Вам известны?
В каком отношении гиперболоид х 2  у 2  z 2  a 2 делит объем шара
x 2  y 2  z 2  3a 2 ?
Дайте определение тройного интеграла.
Вычисление тройного интеграла по параллелепипеду.
Запишите формулы перехода от декартовой системе к цилиндрической в
тройном интеграле
Запишите формулы перехода от декартовой системе к сферической в тройном
интеграле
Понятия криволинейного и поверхностного интегралов. Вычисление и
основные приложения.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
x
 y dl ,
L
где L — дуга параболы y 2  2 x , заключенная между точками (2;2) и (8;4).
Решение. Найдем дифференциал дуги dl для кривой y  2 x . Имеем
1
y| 
 
2
, dl  1  y | dx  1 
2x
Следовательно, данный интеграл равен

L
1
dx .
2x
8
8
3
x
x
1
x 1  2x
18
1 2
dl  
1  dx  
dx   1  2 xdx   1  2 x  2
y
2x
2x
22
2 3
2 2x
2
1
 17 17  5 5 .
6
Пример 2.
Вычислить криволинейный интеграл
2
3
 x  y dl ,



8

2

L
где L — контур треугольника АВО с вершинами А(1;0), В(0;1), О(0;0) (см.
рис.).
Решение. Поскольку
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
 x
2
Ред. № 1 от 29.08.2013

 x
 y 3 dl 

 x
 y 3 dl 
2
АВ
L
2

 y 3 dl 
ВО
стр. 197 из 228
 x
2

 y 3 dl ,
ОА
то остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков АВ,
ВО и О А:
1) (АВ): так как уравнение прямой АВ имеет вид y  1  x , то
 
2
dl  1  y | dx  2dx .
Отсюда, учитывая, что х меняется от 0 до 1, получим
1
 x 3 1  x 4 
1 1 7 2
2
3
2
 x  y dl   x  1  x  2dx  2  3  4   2  3  4   12 .
AB
0

0
2) (ВО): рассуждая аналогично, находим x  0 , 0  y  1 , dl  dy , откуда


1

3

 x
2

1
 y 3 dl   y 3 dy 
BO
0
3) (ОА): y  0 , 0  x  1 , dl  dx .
 x
OА
2

1
1
 y dl   х 2 dх  .
3
0
3
4) Окончательно
 x
1
.
4



7 2 1 1 7 2  7 7 2 1
  

.
12
4
3
12
12
L
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл
2
 y 3 dl 

x 2  y 2 dl ,
L
где L — окружность х  у  ах ( а  0 ).
Решение. Введем полярные координаты x  r cos , y  r sin  . Тогда,
2
2
поскольку х 2  у 2  r 2 , уравнение окружности примет вид r 2  ar cos , т.е.
r  a cos , а дифференциал дуги
2
dl  r 2  r | d  a 2 cos2   a 2 sin 2  d  ad .
  
При этом    ,  . Следовательно,
 2 2


2
x 2  y 2 dl  a  a cosd  2a 2 .
L


2
Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции
с тремя переменными
 5z  2
L

x 2  y 2 dl ,
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 198 из 228
где L — дуга кривой, заданной параметрически x  t cos t , y  t sin t , z  t ,
0t  .
Решение. Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t .
Имеем для подынтегральной функции:


5 z  2 x 2  y 2  5t  2 t 2 cos 2 t  sin 2 t  3t .
Теперь выразим через t дифференциал dl :
dl 
x   y   z  dt 
| 2
cos
cos

2

| 2
| 2
 
t  cos t   1dt 
 1dt 

t  2t sin t cos t  t 2 sin 2 t  sin 2 t  2t sin t cos t  t 2 cos2 t  1dt 


t  sin 2 t  t 2 sin 2
Таким образом,
2

L
cos t  t sin t 2  sin t  t cos t 2

2

2  t 2 dt .


 
3
5 z  2 x  y dl   3t 2  t dt  
2  t2d 2  t2  2  t2
0
0 2
2
2
2

2   
2 3

3 
2

0
 2 2.
Пример 5. Даны функции Р х, у   8 х  4 у  2 , Рх, у   8 х  4 у  2 и
точки А(3,6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл
 8 x  4 y  2dx  8 y  2dy ,
L
где:
1) L — отрезок ОА;
2) L — ломаная ОВА;
3) L — ломаная ОСА;
4) L — парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через
точки О и А;
5) проверить выполнимость условия Грина.
Решение. Пути интегрирования, соответствующие п. п. 1)-4), изображены
на рис. 1.
1) Отрезок ОА может быть записан в виде: у  2 х , х  0, 3. Тогда
dy  2dx и
3

3
2
 Pdx  Qdy   8 x  4  2 x  2dx  8  2 x  2dx   48 x  6dx  24 x  6 x
OA
0
0

3
0
 234
2) Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по
отрезкам ОВ и В А. Тогда:
а) ОВ: здесь y  0 , 0  x  3 , т. е. dy  0 , откуда
3

2
 Pdx  Qdy   8 x  2dx  4 x  2 x
OB
0
б) В А: x  3 , 0  y  6 , т. е. dx  0 , и

3
0
 42 .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 199 из 228
 Pdx  Qdy   8 y  2dy  4 y
6
BA
2
 2y
0

6
0
 156 .
Таким образом,
 8 x  4 y  2dx  8 y  2dy  42  156  198 .
OBA
3) Этот интеграл вычислим аналогично
предыдущему.
а) ОС: x  0 , (т. е. dx  0 ), 0  y  6 , откуда
6
 8 x  4 y  2dx  8 y  2dy   8 y  2dx  156 .
OC
0
б) СА: 0  x  3 , y  6 , dy  0 , следовательно,
3
Рис. 1
 8 x  4 y  2dx  8 y  2dy   8 x  26 dx  114 .
CA
0
Окончательно
 8 x  4 y  2dx  8 y  2dy  114  156  270 .
OCA
Подставив координаты точки А(3,6) в равенство y  ax 2 найдем
4)
2x 2
4
уравнение данной параболы y 
. При этом 0  x  3 и dy  xdx , откуда
3
3

(путь ОА по параболе обозначим OA )



 16 x 2
4
8x 2








8
x

4
y

2
dx

8
y

2
dy

8
x


2
dx


2
xdx



 

 3
3
3





0
OA
3
3
3
8
32 
8
16
 64
 16

   x3  x2 
x   2dx   x 4  x 3  x 2  2 x   222 .
3
3 
9
3
9
0
0 9
5) Имеем
P 
 8 x  4 y  2  4 ,
y y
Q 
 8 y  2  0 ,
x x
т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в
пунктах 1)-4) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл
второго рода зависит от пути интегрирования.
Пример 6.
Вычислить интеграл
2
2
 y dx  x dy ,
L
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
где L — верхняя половина эллипса
x2
a2

y2
b2
стр. 200 из 228
 1 , пробегаемая по ходу часовой
стрелки.
Решение. Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса:
x  a cos t , y  b sin t , t  0,  , т.е. dx  a sin tdt , dy  b costdt . Подставляя в
интеграл и учитывая направление обхода (откуда следует, что t меняется от 
до 0), получаем
y
0
2



dx  x dy    b sin t  a sin t  a cos t  b cos t dt   ab 2 sin 2 t  sin tdt 
2
2
2
2
2

L
0


0
0





  a 2 b cos2 t  cos tdt  ab 2  1  cos2 t d cos t   a 2 b  1  sin 2 t d sin t  
0

2

cos3 t 
sin 3 t 
4
2 
  a b sin t 
  ab 2 .
 ab  cos t 



3 0
3 0 3


Пример 7. Вычислить
 yzdx  xzdy  xydz
L
по дуге винтовой линии x  a cos t , y  a sin t , z  bt при изменении t от 0 до
2 .
Решение. Сначала найдем дифференциалы переменных: dx  a sin tdt ,
dy  a cos tdt , dz  bdt . Выразим подынтегральное выражение через t, сводя
исходный интеграл к определенному:
2
2
2
2
2
2
 yzdx  xzdy  xydz    a bt sin t  a bt cos t  ba sin t cos t dt 
L
0
 sin 2t 2 1 2
sin 2t 
cos 2t

2 
 a b   t cos 2t 
  sin 2tdt 
dt  a b t 
2 
2 0
2 0
4
0

Пример 8. Вычислить криволинейный интеграл
2
2
2
 x  1dx  xyzdy  y
L
2
0

  0.


zdz ,
где L — отрезок, соединяющий точку C 2, 3,  1 с точкой D3,  2, 0  .
Решение. Составим параметрические уравнения отрезка CD, используя
уравнения прямой, проходящей через две точки:
x  2 y  3 z 1
.


1
5
1
Отсюда x  2  t , y  3  5t , z  1  t , t  0, 1 .
Далее, находим dx  dt , dy  5dt , dz  dt , подставляем все нужные
выражения в данный интеграл, обозначенный через J, и вычисляем
определенный интеграл:
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
1
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 201 из 228


J   3  t dt  52  t 3  5t  1  t dt  3  5t   1  t dt 
0
1
2


  24  25t  45t 2  50t 3 dt  9 .
0
Пример 9.
Проверить, является ли выражение

 2
1
x 
 3x y  dx   x 3  2 dу
y
y 


полным дифференциалом некоторой функции U  x, y  и если да, то найти эту
функцию.
x
1
Решение. Обозначим P  3 x 2 y  , Q  x 3  2 . Тогда
y
y
P
1
 3x 2  2 ,
y
y
Q
1
 3x 2  2 .
x
y
P Q
Таким образом, условие Грина (
) имеет место при y  0 .

y x
Следовательно, данное выражение есть полный дифференциал некоторой
функции U  x, y  , которая может быть найдена как криволинейный интеграл
 х, у 
 3
 2
1
x 

dу ,


3
x
y

dx

x

 

2 

y
y 


 х0 , у 0 
где  х 0 , у 0  — произвольная фиксированная точка плоскости Оху, не лежащая
на оси Ох (так как y 0  0 ). Положим  х 0 , у 0   0, 1 , а в качестве пути
интегрирования выберем путь L = ABC, изображенный на рис. 2. Тогда
сокращенно можно написать
U  x, y  
 x, y 

 x0 ,

y0 


ABC

AB


.
BC
Имеем: 1) (АВ): y  1 , т. е. dy  0 и
 3
 2
1
x 

dу 


3
x
y

dx

x

 

2 

y
y



AB
 х , 1

 3x
0, 1
Рис. 2
2

 1 dx  x 3  x .
2)
(ВС):
х—
фиксировано,
следовательно, dx  0 , откуда
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 202 из 228
 х, y 
 х, y 
 3
 3
 2
 3
1
x 
x 
x








3
x
y

dx

x

dу

x

dу

x
y


 



2 
2 


y
y
y
y


  x , 1



 x , 1 
BC
x
 x3 y   x3  x .
y
x
x
3) Таким образом, U x, y   x 3  x  x 3 y   x 3  x  x 3 y  .
y
y
Проверка показывает, что действительно,


x 
1
x 
dU  d  x 3 y     3x 2 y  dx   x 3  2 dy .
y 
y
y 


Пример 10. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный
интеграл




x 2  y 2 dx  y xy  ln x  x 2  y 2 dy
L
в двойной и с его помощью вычислить интеграл по контуру прямоугольника
ABCD (рис. 3), где А(1,1), В(7,1), С(7,4), D(1,4).



Решение. Имеем Р  х 2  у 2 , Q  y xy  ln x  x 2  y 2 , откуда

Q
1
 y y 

x
x  x2  y2



1

 y y
y y

x 2  y 2 

y
P

,
2
2
y
x y
Рис. 3
Q P

 y2 
x y

1 



 
x 2  y 2  
x
x2  y2 1
x2  y2
y

,
y
 y2.
x y
x y
Таким образом, в силу формулы Грина данный криволинейный интеграл
равен двойному интегралу от y 2 по прямоугольнику ABCD, т.е.
2
2
2
2
7
4
 Q P 
2
2
 Pdx  Qdy    x  y dxdy   y dxdy   dx y dy 
L
ABCD
ABCD
1
1
7
x
1
y3

3
4
7
1
63
 147 .
3
Пример 11. Вычислить работу силового поля F  yi  xj
перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса
x2 y2

1
a2 b2
при
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 203 из 228
из точки C a, 0  в точку B a, 0 .
Решение. Работа А силового поля F  Pi  Qj
материальной точки М вдоль линии СВ равна
 Pdx  Qdy .
при перемещении
CB
x  a cos t ,
Запишем дугу эллипса СВ в параметрической форме:
y  b sin t , t  0,  . Тогда dx  a sin tdt , dy  b cos tdt и
A

 ydx  xdy    ab sin
CB
2


t  ab cos t dt  ab dt  ab .
2
0
0
Пример 12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
d
 1  x  z 3 ,

где  — часть плоскости x  y  z  1 , заключенная в первом октанте.
Решение. Поверхность  можно выразить явно: z  1  x  y ,  x, y   D ,
где область D — треугольник, ограниченный прямыми x  0 , y  0 и x  y  1
   z  dxdy 
(рис. 1). При этом d  1  z |x
2
| 2
y
3dxdy .
Рис. 1
Данный интеграл сводится к двойному (при этом знаменатель
подынтегральной функции равен 1  x  z  1  x  1  x  y   2  y ):
d
3dxdy
 1  x  z 3   2  y 3


1
1 x
 3  dx 
0
0
1
dy
2  y 
3
 3
0
1 x
1
22  y 
dx 
2
0
3  1
1 
3
1
1 
3 1
3

dx



x



.



2 0  1  x 2 4 
2  1 x 4  0
2 4 8
Пример 13. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
2
2
 х  у d ,

1
1



УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 204 из 228
где  — сфера x 2  y 2  z 2  R 2 .
Решение. В силу симметрии относительно координатных плоскостей
поверхности  и подынтегральной функции ограничимся вычислением
интеграла при условии х  0 , у  0 , z  0 (т. е. в первом октанте), а результат
умножим на 8.
Используя сферические координаты, запишем параметрические
уравнения сферы x  R sin  cos , y  R sin  sin  , x  R cos , учитывая, что
u   , v   . Тогда
2
 y 
 x 
 z 
2
2
E            R sin  sin    R sin  cos   0  R 2 sin 2  ,
 u 
 u 
 u 
2
2
2
 y 
 x 
 z 
2
2
2
G           R cos sin    R cos sin     R sin    R 2 ,
 v 
 v 
 v 
x x y y z z
F


  R sin  sin  R cos cos  
u v u v u v
 R sin  cos R cos sin    0 ,
2
2
EG  F 2  R 2 sin  ,
а область интегрирования — четверть круга x 2  y 2  R 2 (обозначим ее крез В)
в параметрической форме имеет вид
R 2 sin 2  cos2   R 2 sin 2  sin 2   R 2 , 0   

, 0  

.
2
2
Остается выразить через параметры подынтегральную функцию
f  x, y   x 2  y 2 . На сфере x 2  y 2  z 2  R 2 имеем


f  x, y   R 2  z 2  R 2  R 2 cos 2   R 2 1  cos 2  .
Таким образом, данный интеграл равен



8 R 1  cos  R sin dd  8 R
2
2
2
B

2
 d  1  cos  d cos  
2
4
2
0
0

cos3   2 8 4

  R .
 8R   cos 
2
3  0 3
Пример 14.
Вычислить площадь той части параболоида вращения
2
2
ay  x  z , которая находится в первом октанте и ограничена плоскостью
y  2a (а > 0).
Решение. Способ 1. Поверхность, площадь которой будем вычислять,
x2  z2
представим в виде y 
, т.е. как функцию переменных х и z.
а
Следовательно, соответствующая формула для площади примет вид
4

УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 205 из 228
   y  dxdz ,
2
S   1  y |x
| 2
z
D
где область D — проекция поверхности на плоскость Oxz (рис. 2). Параболоид
ay  x 2  z 2 пересекается плоскостью y  2a по окружности x 2  z 2  2a 2
Рис. 2
радиуса a 2 . Следовательно, D — четверть круга x 2  z 2  2a 2 ( x  0 , z  0 ).
2x | 2z
Определим подынтегральную функцию. Имеем y |x 
, yz 
,
a
a
4x 2 4z 2 a 2  4 x 2  z 2
| 2
| 2
1  yx  yz 1  2  2 
.
a
a
a2
Таким образом,
1
S   a 2  4 x 2  z 2 dxdz .
a D
Переходя к полярным координатам, получаем

   


2
1
S   d
a0
a 2

0

1
a 2  4r 2 rdr   
a
2
0



1

a 2  4r 2
43

3 a 2
2
0

13 2
a .
12
Способ 2. Поверхность параболоида представим в виде z  ay  x 2 , то
есть как функцию переменных х и у. В этом случае соответствующая формула
имеет вид
   z  dxdy ,
S   1  z |x
2
| 2
y
D1
где D1 — проекция поверхности на плоскость Оху. Область D1 ограничена
осью Оу, параболой x  ay и прямой y  2a . Определим подынтегральную
функцию. Имеем
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
z |x  
z |y 
1
x
ay  x 2
a
2 ay  x
   
2
z |x
2
z |y

2
стр. 206 из 228
,
,
4ay  a 2

4 ay  x 2

.
Таким образом
4ay  a 2
1
1 2a
S  
dxdy   4ay  a 2 dy
2
2 D1 ay  x
2 0

1
2
2a

ay
4ay  a 2 arcsin
0
x
ay
dy 
0

ay

0
1  a  4ay
 
2 2
6
2
dx
ay  x

3 2a
2

2

13 2
a .
12
0
Пример 15. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
 zdxdy  ydxdz  xdydz ,

где  — верхняя сторона плоскости x  y  z  1 , ограниченной
координатными плоскостями.
Решение. Интеграл будем вычислять покомпонентно, проектируя  на
разные координатные плоскости (см. рис. 3).
Рис. 3
Вычислим
 zdxdy .

Выражая явно z через х и у, сведем этот интеграл к двойному интегралу
по  ОАВ. Подставляя z  1  x  y в подынтегральную функцию и учитывая,
что: 0  x  1 , 0  y  1  x , получаем
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
1 x
стр. 207 из 228
1 x

y2 

 zdxdy   1  x  y dxdy   dx  1  x  y dy    1  x y  2  dx 
0

OAB
0
0
0
1
1

1
1  x 2 dx   1  x 3
2
0
Остальные интегралы
6
 ydxdz
и

1
0
1
 .
6
 xdydz
приводят к такому же

результату.
1 1
 .
6 2
Пример 16. Найти поток векторного поля F  x, y, z   xi  yj  zk через
часть поверхности эллипсоида
x2 y2 z2


 1,
a2 b2 c2
лежащую в первом октанте в направлении внешней нормали.
Решение. Искомый поток равен
 F  n d   x cos  y cos   z cos d .
Поэтому искомый интеграл равен 3 


Последний интеграл сводится к поверхностным интегралам второго рода
 xdydz   ydxdz   zdxdy ,
D1
D2
D3
где D1 , D 2 , D3 – проекции эллипсоида на соответствующие координатные
плоскости.
Рассмотрим, например,  zdxdy , где z можно выразить через х и у из
D3
уравнения эллипсоида, D3 – внутренность четверти эллипса
x2
y2

 1, х  0 , у  0.
a2 b2
Очевидно, что  zdxdy равен объему восьмой части эллипсоида, которая,
D3
1 4
  abc . Аналогичные интерпретации можно дать и
8 3
другим интегралам, поэтому исходный интеграл I рода, т.е. поток векторного
 abc
1 4
поля, равен 3    abc 
.
8 3
2
Пример 17. Найти поток вектора F  x, y, z   x 2 i  y 2 j  z 2 k через
как известно, равна
поверхность тела, ограниченного сферой x 2  y 2  z 2  3R 2 , плоскостью Оху и
однополостным гиперболоидом x 2  y 2  z 2  R 2 .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 208 из 228
Решение. Имеем
2
2
2
 F  n d   x cos  y cos   z cos d 




  x 2 cosd   y 2 cos d   z 2 cos d .



Ha плоскости Oxz и Oyz поверхность  проектируется дважды, с обеих
сторон, к тому же поверхность  симметрична относительно этих плоскостей.
Поэтому соответствующие интегралы получаются нулевыми:
2
2
 x cosd   y cos d  0 .

А теперь вычислим

 z
2
cosd .

Рис. 4
Поверхность  состоит из трех частей (см. рис. 4):
а) сегмент сферы z  3R 2  x 2  y 2 , для которого cos  0 (внешняя
нормаль образует с Oz острый угол); проекция этого сегмента на Оху есть круг
x 2  y 2  z 2  3R 2
x 2  y 2  2R 2
(сегмент
сферы
пересекается
с
гиперболоидом x 2  y 2  z 2  R 2 по линии
2
2
2
2

x 2  y 2  2R 2
 x  y  z  3R
 
 2
2
2
2

x

y

z

R
z  R

это окружность радиуса 2 R );
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 209 из 228
б) сегмент параболоида проектируется на Оху в
R 2  x 2  y 2  2R 2 , z 2  x 2  y 2  R 2 (из уравнения гиперболоида);
кольцо
в) наконец, третья часть — это круг x 2  y 2  R 2 , на котором z  0 .
Поэтому
2
2
2
2
2
2
2
 F  n d   z cos d   3R  x  y d xdy 
 x  y  R d xdy 



x  y 2 R
2
2


R  x  y 2 R
2
2
2
2

2
7R 4
.

2
Литература. [3]: №№ 2295, 2310, 2312, 2315, 2328, 2336, 2347, 2356, 2361.
Контрольные вопросы:
Зависит ли криволинейный интеграл I рода от направления интегрирования?
Какие приложения криволинейного интеграла I рода Вы знаете?
Чему равен

x 2  y 2 dl , где L задана уравнениями x  acos t  t sin t  ,
L
y  asin t  t cos t  , 0  t  2 ?
Зависит ли криволинейный интеграл II рода от направления интегрирования?
Какие приложения криволинейного интеграла II рода Вы знаете?
x2 y2
Чему равен  уdх  хdy , где L – эллипс

 1 , пробегаемый в
4
9
L
положительном направлении?
Дайте определение поверхностного интеграла первого рода.
Какие приложения поверхностного интеграла первого рода Вы знаете?
Дайте определение поверхностного интеграла второго рода.
Как связаны поверхностные интегралы первого и второго рода?
Практическое занятие 13. Числовые и функциональные ряды.
Пример 1. Ряд 1  2  ...  n  ... . Частичная сумма
n (n  1)
  при n   . Ряд расходится.
2
Пример 2. Ряд (1)  1  (1)  1  ...  (1) n  ... . Частичная сумма
 0 , если n чётно
Sn  
, lim S n не существует. Ряд расходится.
 1 , если n нечётно n

n
1
1 2 3 4
n
  0.
Пример 3. Ряд     ...  
расходится, т.к. nlim
  2n  1
2
3 5 7 9
n 1 2n  1
S n  1  2  ...  n 

ln n
.
n 1 n
Пример 4. Исследуем сходимость ряда

Решение. Члены ряда неотрицательны:
ln n
 0 , n  1, 2 , ... .
n
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 210 из 228

Для сравнения используем расходящийся гармонический ряд
1
n.
Имеем:
n 1
при n  3 ln n  1 и
ln n 1
 , поэтому согласно части б) признака сравнения
n
n
исследуемый ряд расходится.
Пример 5. Исследуем сходимость ряда

n
n 1
1
.
1
2

Решение. Для сравнения возьмём обобщённый гармонический ряд
n 1
который сходится, т.к. p  2 > 1 . Поскольку n 2  1  n 2 , то
1
1
 2
n 1 n
2
1
n
2
,
для всех n  1 ,
и по части а) признака сравнения исследуемый ряд сходится.
Пример 6. Исследуем сходимость ряда

n
n 1
n 1
.
2
1
Решение.Для сравнения подберём обобщённый гармонический ряд
следующим образом. Оставим в числителе и знаменателе слагаемые с
наибольшей степенью, получим ряд с членами
vn 
n
n
2

1
n
3
, которые составляют
2
сходящийся обобщённый гармонический ряд с параметром p 
 n 1
1 
n n
2
3
2
3
 1 . Найдём
2
1
1
1
n  1 , вследствие чего заданный
предел K: lim  2
: 3   lim 2
 lim
n  n  1
n  n  1
n 
1
2
n 

1 2
2
n
ряд сходится.
Пример7. Исследуем сходимость ряда
Решение.
Имеем: un 

2n
.

n 1 n!
2n
2n 1
, un 1 
,
n!
(n  1)!
 2n 1 2n 
2n 1  n!
2
p  lim 
:   lim
 lim
 0 < 1 , поэтому ряд сходится.
n
n   (n  1)!
n  n  1
n!  n  (n  1)!2


1
Пример 8. Исследуем сходимость ряда  1  
n
n 1 
Решение.
Вычислим предел
 1
p  lim 1  
n 
 n
n
n2
n2
.
 1
 lim 1  
n 
 n
n
 1 n 
 lim  1   

n  
 n  
1
(по второму замечательному пределу). Поскольку p  1 , то исходный ряд
сходится.
Пример 9. Исследуем сходимость обобщённого гармонического ряда

1

p для различных p .
n 1 n
 e 1
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
Решение.При p  0 nlim

стр. 211 из 228
1
 0 , следовательно, по необходимому признаку
np
ряд расходится.
Пусть теперь p > 0 . Нетрудно заметить, что члены ряда суть значения
функции f ( x) 
1
при x  1, 2 , 3 , ... . При x  1 функция f (x) непрерывна,
xp

1
n
положительна и убывает, следовательно, по интегральному признаку ряд
n 1
сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

1
x
p
p
dx ,
1
который (см. «Несобственные интегралы») сходится, если p > 1 .

Окончательно получаем, что обобщённый гармонический ряд
1
n
n 1
p
сходится при p > 1 .
Пример 10. Исследуем сходимость ряда

1
 n ln n .
n2
Решение.На промежутке [ 2,) функция f ( x) 
1
определена,
x ln x
непрерывна, положительна и убывает, т.к. её знаменатель возрастает с ростом
x . Вычислим несобственный интеграл:
  dx
  d (ln x)

 
 ln ln x  lim ln ln x  ln ln 2   ,

2 x  
x
ln
x
ln
x
1
2
следовательно, исследуемый
ряд расходится.
Пример 11. Исследуем сходимость знакочередующегося ряда

1 1 1
1
   ...   (1) n 1 .
2 3 4
n
n 1
1
1
1
0 и

Решение. Поскольку nlim
для всех n  N , то ряд сходится,
 n
n 1 n
и его сумма S удовлетворяет неравенству 0  S < 1 .
Пример 12. Вычислить с погрешностью, не превосходящей   0,01 , сумму
1
ряда
(1) n 1
1 1 1
1
1
1  


 ...
n!
2 6 24 120 720
n 1


Решение. Очевидно, что ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница.
Поскольку у этого ряда u5  1  0.01 , то r4 < 0.01 . Отбросив остаток r4 из суммы
120
ряда получим что с точностью   0,01
S  S4  1 
1 1 1
5
 
 .
2 6 24 8
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013

 (1)n 1
Пример 13. Ряд
n 1
стр. 212 из 228
1
сходится абсолютно так как ряд
n2

1
n
n 1
2
,
составленный из модулей его членов, сходится (будучи обобщённым
гармоническим рядом с показателем p  2 ).
Пример 14. Выше было показано что ряд
1

1 1 1
1
   ...   (1) n 1
2 3 4
n
n 1
сходится согласно признаку Лейбница. Однако ряд из абсолютных величин его
членов есть расходящийся гармонический ряд

1
n,
поэтому
ряд
n 1

 (1)
n 1
n 1
1
сходится лишь условно.
n
Литература. [3]: №№ 2401 – 2408, 2417, 2422, 2427, 2429, 2431 – 2437, 2439
– 2441, 2470 – 2474.
Контрольные вопросы:
Какие признаки сходимости знакоположительных рядов Вы знаете?
Какие ряды называются знакочередующимися?
Какие ряды называются абсолютно сходящимися?
Какие ряды называются условно сходящимися?
Функциональные ряды.
Пример1.
Для
каждого
значения
функциональный
ряд
x

 k x  1  2 x  3x  
1
1
1
является рядом Дирихле. Поэтому этот ряд сходится
k 1
только при x  1, т.е. его область сходимости есть интервал
D  (1,) .

Пример2. Рассмотрим ряд  x k в промежутке   D  (1,1) .
k 0
n
x
не существует поскольку lim x   .
x( 1, 1) 1  x
x 1 1  x
max R n ( x )  max
x( 1, 1)
n
Следовательно, в   (1,1) ряд сходится неравномерно.
1 1
Если рассмотреть   [ , ]  то
2 2
xn
1
1
max
 R    т.к. при x 
1 1
2
2
x[  , ] 1  x
2 2
числитель дроби принимает свое наибольшее значение, а знаменатель
n
наименьшее.
Поэтому
1
 
1
2
lim max R x   lim    lim n 1  0 и
1 1
n 
n 
1 n  2
x[  , ]
1
2 2
2
1 1
в промежутке [ , ] этот ряд сходится.
2 2
В этом промежутке исследуемый ряд сходится равномерно.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 213 из 228

Пример 3. Проверим, что ряд

sin kx
k2
k 1
равномерно сходится на всей
числовой оси.

sin kx
1
1
Решение. Поскольку sin kx  1 то
.
Поэтому
ряд


2
k2
k2
k 1 k
мажорирует данный ряд для x  R . Поскольку числовой ряд Дирихле сходится
(p  2)  то функциональный ряд сходится равномерно на (,) .
Пример 4. Выше было проверено, что геометрическая прогрессия

x
k
k 0
1
1
равномерно сходится в промежутке [0, ] и имеет сумму S( x ) 
.
1 x
2
1
Решение. Применив свойство 2) к отрезку [0, ] , получим,
2
что
1
2

1
2
1
1

dx
x k 1 2
k
2
.Вычислим
записанные
интегралы

x
dx

ln(
1

x
)

0
0

0 1  x 

k 0 0
k 0 k  1

1
1
 ln  ln 1   k 1 .
2
k 0 2

1
1
1
1
 3     k .Этот пример
Следовательно ln 2   2
2 2 2 2 3
k 0 2  k
показывает, что с помощью почленного интегрирования можно находить
суммы числовых рядов.

Пример 5. Рассмотрим сходящуюся геометрическую прогрессию
x
k 0
1
промежутке [0, ] .
2
k
на
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Решение. Сумма этого ряда S( x ) 

виде
 kx
k 1
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 214 из 228
1
.Ряд из производных записывается в
1 x

и мажорируется сходящимся рядом
2
k 0
k 0
k
k 1
. (Проверьте
сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера). Поэтому ряд из
1
производных равномерно сходится в отрезке [0, ] . Согласно свойству 3)
2

получим
 kx
k 0
k 1

1
 1 
.С помощью дифференцирования также

 
2
 1  x  (1  x )
можно находить суммы числовых рядов. Например подставив в последнее

1
k
соотношение x   получим  k 1 
2
k 0 2
1
 4.
1 2
(1  )
2
Пример 6. Найдем область сходимости ряда

xk
.

k 1 k
Решение. Исследуем абсолютную сходимость этого ряда с помощью
признака Даламбера получим
x k 1 x k
x k 1 k
k
q  lim
:
 lim
 x lim
 x .Отсюда получаем что при
k
k  k  1
k  ( k  1) x
k  k  1
k
x  1 , т.е. в интервале (11) этот ряд сходится а при x  1 , т.е. в интервалах
(,1) и (1,) он расходится. Поэтому радиус сходимости ряда R  1 и
интервал сходимости есть (11).
Исследуем концы этого интервала. Подставив x  1 в ряд, получим

1
числовой ряд  , который является гармонический расходящимся рядом.
k 1 k
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 215 из 228
(1) k
Подставив
.Выше с
x  1 , получим знакочередующийся ряд 
k
k 1
помощью признака Лейбница было проверено что он сходится. Окончательно
получаем, что область сходимости исследуемого ряда есть D  [1,1).
Пример 7. Вычислим число e с точностью до   0,01 .

x2
xk
x
Решение. Для этого воспользуемся рядом e  1  x 
при
 ... 
2!
k  0 k!
1 1
x  1 получим e  1  1     .
2! 3!
Оценим остаточный член R n (1) :


e1
3
R 5 (1)  
 0.01 .
6! 720
Поэтому с требуемой точностью
1 1 1 1
1 1 1
1
326
43
e  S (1)  1  1      2   


2 .
2! 3! 4! 5!
2 6 24 120 120
60
1
sin x
Пример 8. Вычислим 
dx с точностью до   0.01 .
x
0
Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся разложением в
степенной ряд подинтегральной функции и свойством
2) об
интегрировании равномерно сходящихся степенных рядов. Из (34) получаем
sin x
x2 x4 x6
что
1 
   и этот ряд равномерно сходится на любом
x
3! 5! 7!
отрезке поэтому
1

sin x
x2 x4 
x3 1 x5 1
1
1


dx

1


...
dx

x




1



0 x
0  3! 5! 
0 3  3! 0
5  5! 0
3  3! 5  5!
В результате получился знакочередующийся ряд, удовлетворяющий
признаку Лейбница. Поскольку, согласно следствию из признака Лейбница
1
1
17
sin x
1
R2 
 0.01 то с требуемой точностью 

dx 1 
5 120
3  6 18
x
0
Пример 9.
Разложить в ряд Фурье функцию f  x   1 , заданную на
интервале   ,   .
Решение. Функция четная, поэтому она разлагается в ряд Фурье по
косинусам, а коэффициенты a n можно найти по формулам (23):
1
1
a0 
2
2
2

f x dx  dx  x


 0
0
0

2

  2,
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
2
стр. 216 из 228

2
2
a n   f x  cos nxdx   cos nxdx 
sin nx 
0
0
n
0
2
sin  n  sin 0  2 0  0  0 .

n
n
Итак, a 0  2 , a n  0 ( n  1, 2,  ). Таким образом, в данном случае ряд
a
2
Фурье состоит из единственного ненулевого слагаемого, равного 0   1 , и
2 2
разложение имеет тривиальный вид: 1  1.
 1,    x  0,
Пример 10. Разложить в ряд Фурье функцию f x   
 1, 0  x   .
Решение. Функция нечетная, поэтому она разлагается в ряд Фурье по
синусам. Находим коэффициенты b n по формулам (24):
bn 
2


0

2
2
2
cos n  cos 0 
f x  sin nxdx   sin nxdx   cos nx  
0
n

n
0
n  2k ,
0,
2
2

n
n
 1  1  1   1   4

k  1, 2, 
,
n

2
k

1
,
n
n
 2k  1

Окончательно получаем
4  sin 2k  1x 4  sin x sin 3x sin 5 x

f x   
 


  .
 n 1 2k  1
 1
3
5





Литература. [3]: §4,5,6
Контрольные вопросы:
1. Определение функционального ряда.
2. Область сходимости.
3. Равномерная сходимость функциональных рядов.
4. Определение степенных рядов.
5. Радиус сходимости степенного ряда.
6. Область сходимости степенного ряда.
Практическое занятие 14. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Пример 1. Решить уравнение y  e x  y .
Решение. Для уравнения y  e x  y имеем y   e x e y ,
откуда e  y dy  e x dx .
Интегрируя обе части, получаем: e  y  e x  C , откуда имеем общее решение
y   ln( e x  C ) .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
Пример 2. Решить уравнение
стр. 217 из 228
xydx  ( x  1)dy  0 .
Решение. В предположении, что
y( x  1)  0,
получаем
xdx
dy

y
x1
или,
интегрируя, ln y   x  ln x  1  ln C , C  0 , откуда y  C ( x  1)e  x - общее решение
уравнения. Решение y = 0 получается из общего решения при C = 0, а решение
x  1 не содержится в общем решении. Объединяя всё найденное, имеем, таким
образом, ответ: y  C ( x  1)e  x , x  1 .
Пример 3. Решить уравнение (e5 x  9)dy  ye 5 x dx .
Решение. В предположении, что
ln y  15 ln( e 5 x  9 )  ln C
, отсюда
получаем
y  0,
y  C  e5 x  9 .
5
dy
e5 x dx
 5x
y
e 9
или, интегрируя,
Решение y = 0 получается при
C 0.
Пример 4. Решим уравнение ( y 2  2 xy )dx  x 2 dy  0 .
Решение. Это однородное уравнение, так как y 2  2 xy и x 2 - однородные
функции второго порядка. Делаем замену y  xz, dy  zdx  xdz . Подставляя в
уравнение, имеем:
( x 2 z 2  2 x 2 z )dx  x 2 ( zdx  xdz)  0.
Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на x 2 , получаем уравнение
с разделяющимися переменными
( z 2  z )dx  xdz  0.
dz
dx
Разделяя переменные, получаем 

, или, что то же самое,
z ( z  1)
x
1 
dx
1
Интегрируя
последнее
соотношение,
имеем
 
dz  .
x
 z z 1
ln z  ln z  1  ln x  ln C . Потенцируя (переходя от логарифмической функции к
e x ),
можем записать
y
 Cx .
yx
z
y
 Cx или, делая обратную замену z  , получаем
z 1
x
При сокращении на
x2
мы потеряли решение
x0,
которое в
найденное решение не входит. Кроме того, мы могли потерять решения при
делении на z ( z  1) . Случай z  0 даёт решение y  0 , входящее в найденное при
C  0 . Случай z  1 даёт решение y  x , которое не входит в найденное.
Ответ:
Пример 5.
y
 Cx
yx
- общий интеграл,
yx
- частное решение.
Решим неоднородное линейное д.у.
Решение. Сделаем замену y  u  v . Имеем: u
y  2 y  4x .
dv
du
v
 2uv  4 x . Группируем
dx
dx
dv
du
первое слагаемое с третьим: u  2v   v  4 x . Потребовав, чтобы скобка
 dx

dx
обратилась в нуль, приходим к линейному однородному д.у.
dv
 2v  0 .
dx
dv
 2dx , находим его общее решение v  Ce2 x , из
v
которого, положив, к примеру, C  1, получаем v  e2 x . Подставив её в д.у. с
Разделяя в нём переменные:
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 218 из 228
группировкой, имеем д.у. относительно второй неизвестной функции u (x) :
du
 4 x . Разделяем переменные: du  4 x e2 x dx , и после интегрирования
dx
находим u  2 xe2 x  e 2 x  C . Ответ к исходному д.у. получаем, перемножив u и v :
y  u  v  e2 x (2 xe2 x  e2 x  C )  2 x  1  Ce2 x .
e 2 x
Пример 6. Решить уравнение y   2 y  4 x .
Решение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y   2 y  0 .
Решая его, получаем: y  Ce 2 x . Ищем теперь решение исходного уравнения в
виде y( x)  C ( x)e2 x . Подставляя y (x) и y / ( x)  C / ( x)e2 x  2C ( x)e2 x в исходное
уравнение, имеем: C / ( x)e2 x  2C ( x)e2 x  2C ( x)e2 x  4 x , что после приведения
подобных даёт: C / ( x)  4 xe2 x , откуда C ( x)  2 xe2 x  e 2 x  C1 . Подставляя найденное
выражение C (x) в y(x) , получаем общее решение исходного уравнения
y ( x)  (2 xe 2 x  e 2 x  C1 )e 2 x  2 x  1  C1e 2 x . Ответ тот же.
Пример 7. Решим линейное д.у. y  5 y  e7 x .
Решение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y  5 y  0 .
Решая его, получаем
dy
 5 dx , ln y  5 x  ln C
y
исходного уравнения в виде
исходное уравнение, имеем:
1 e 7 x  C e 5 x y ( x)  12
1
,
y  Ce 5 x .
Ищем теперь решение
y  C ( x ) e 5 x .
C ( x)  e12x ,
Подставляя y и y  C ( x)e 5 x  5C ( x)e 5 x в
откуда C ( x)  121 e12 x  C1 и
общее решение исходного уравнения.
Пример 8. Решим д.у. первого порядка
(4e3 y  x)dy  dx .
Решение. Разрешим его относительно производной:
dy
1
 3y
, откуда
dx 4e  x
ясно, что оно не является ни д.у. с разделяющимися переменными, ни
однородным д.у., ни линейным относительно y. Вспомним, однако, что
переменные x и y в д.у. первого порядка, записанное в дифференциальной
форме, входят равноправно. Считая x  x( y ) и переписав уравнение в виде
4e3 y  x  dx , или, что то же самое, в форме x /  x  4e3 y , получаем, что данное д.у.
dy
является линейным относительно x и x / . Рассмотрим соответствующее
  dy , ln x   y  ln C ,
однородное уравнение x /  x  0 . Решая его, получаем: dx
x
x  Ce y .
Ищем теперь решение уравнения x  x  4e3 y в виде x  C ( y )e  y .
Подставляя в него x и x  C ( y)e y  C ( x)e y , имеем C ( y )  4e 4 y , откуда C ( y )  e 4 y  C1
и x( y)  e 3 y  C1e  y - общее решение исходного уравнения.
Пример 9. Найти общее решение д.у.
y   2 xy  2 xy 3 .
Решение. Это уравнение Бернулли при
y3,
получаем
y
2x
 2  2 x.
y
y
3
n 3.
Делаем замену
z
Разделив обе части уравнения на
1
y
2
. Тогда
y
z  2 3
y
и поэтому
уравнение переписывается в виде  z   4xz  4x . Решая это линейное уравнение
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 219 из 228
методом вариации произвольной постоянной, получаем
1
y
2
2
 1  C1e 2 x ,
или, что то же самое,
1
y
1  C1e
2x
2
2
z ( x)  1  C1e 2 x ,
. При делении на
откуда
y3
мы
потеряли решение y  0 , которое в полученное решение не входит.
Пример 10. Найти общее решение уравнения 2 yy  2 xy 2  x3 .
Решение. Разделив обе части на 2 y , получаем y  xy 
x3
. Это уравнение
2y
Бернулли при n  1 . Делаем замену z  y 2 . Тогда z   2 yy  и поэтому уравнение
переписывается в виде z  2xz  x3 . Это линейное уравнение. Решаем вначале
2
соответствующее однородное уравнение. Имеем: z  2xz  0 , z  Ce x . Находим
2
теперь решение уравнения z  2xz  x3 в виде z  C ( x)e x . Подставляя в него z и z  ,
получаем
C ( x)  x 3e  x
2
U  x 2 , dV  x exp(  x 2 )dx ,
z ( x)   12 x 2  12  C1e x
2
y    12 x 2  12  C1e x
, откуда
имеем:
, откуда
2
C ( x)   x3e  x dx .
2
Интегрируя по частям с
C ( x)   12 x 2e  x  12 e  x  C1 .
2
y 2   12 x 2  12  C1e x
2
2
Поэтому
или, что то же самое,
.
Пример 11. Решить уравнение xdy  ydx  0 .
Решение. Дифференциальное уравнение
полных дифференциалах, так как
xdy  ydx  0
является уравнением в
M ( x, y )  y , N ( x, y )  x ,
M
N
 1,
1
y
x
и
d ( xy)  xdy  ydx .
Поэтому xy  C есть общий интеграл этого уравнения.
Пример 12. Решить уравнение 2 xydx  x 2dy  0 .
Решение. Для уравнения 2 xydx  x 2dy  0 выражение x 2 y  C есть общий
интеграл, так как левая часть этого уравнения является полным
дифференциалом функции u ( x, y )  x 2 y.
Чтобы найти U ( x, y ) ,сопоставим вид её полного дифференциала
U ( x, y )
U ( x, y )
dx 
dy с левой частью д.у. Имеем тогда
x
y
U
U
M,
 N . Из одного из полученных равенств, например, первого,
x
y
dU ( x, y ) 
находим U ( x, y )   M ( x, y )dx  C ( y ) , где C ( y ) - пока произвольная функция от y.
Подставив U ( x, y ) во второе равенство, получаем уравнение относительно C / ( y) .
Решив его, находим функцию C ( y ) , а за ней и U ( x, y ) .
Пример 13. Найти общее решение уравнения 2 xydx  ( x 2  y 2 )dy  0 .
Решение. Так как
уравнение
является
M ( x, y) 
N ( x, y)  2
 (2 xy)  2 x,

( x  y 2 )  2x ,
y
y
x
x
уравнением
в
полных
то данное
дифференциалах
и
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
M ( x, y )  2 xy 
Ред. № 1 от 29.08.2013
U
U
.
, N ( x, y )  x 2  y 2 
x
y
U ( x, y )   2 xydx  x 2 y  C ( y ) .
Из
Подставим во второе:
стр. 220 из 228
первого
равенства
U
 x 2  C / ( y )  x 2  y 2 , откуда
y
y3
y3
 C1 . Положив здесь C1  0 , имеем U ( x, y )  x 2 y  . Тогда
3
3
3
y
общий интеграл уравнения имеет вид: x 2 y   C .
3
C / ( y)   y 2 и C ( y)  
Пример 14. Найти общее решение уравнения
2 xydx  ( x 2  y 2 )dy  0 .
Решение. Выше уже определяли, что данное уравнение является уравнением
в полных дифференциалах. Восстановим функцию U ( x, y ) , взяв в качестве пути
интегрирования ломаную на рис.А (см.лекцию). При x0  0, y0  0 получаем:
y
 2
y3 
y3
2
U ( x, y )   (2 x  0)dx   ( x  y )dy   x y    x y  .
3 0
3

0
0
y
x
2
2
(общее решение) имеет вид
x2 y 
y3
 C.
3
Тогда общий интеграл
Ответ тот же.
Пример 15. Решить уравнение e  y dx  (2 y  xe  y )dy  0
Решение. Уравнение e  y dx  (2 y  xe  y )dy  0 является уравнением в полных
дифференциалах, так как
Восстанавливая
по
U ( x, y )
y
M ( x, y )   y
 (e )  e  y ,
y
y
схеме
x
рис.Б.,
U ( x, y)   (2 y  0  e  y )dy   e  y dx   y 2  xe y .
0
N ( x, y ) 
 (2 y  xe y )  e  y .
x
x
при x0  0, y0  0 получаем:
Следовательно,
общий
интеграл
0
уравнения равен  y  xe y  C .
2
Практическое занятие 15. Дифференциальные уравнения высших
порядков.
Пример 1. Решить уравнение x y //  1 .
1
x
раз, окончательно получаем y   ln x dx  C1 x  C2  x ln x  x  C1 x  C2 .
Решение. Можем записать y //  , откуда y /  ln x  C1 и, интегрируя ещё
Пример 2. Решить уравнение y ///  sin 3x .
Решение. Последовательно интегрируя, получаем:
1 cos 3 x  1 C x 2  C x  C .
y //   13 cos 3x  C1 , y /   19 sin 3x  C1 x  C2 , y  27
2
3
2 1
Пример 3. Решить уравнение x 2 y //  ( y / )2 .
Решение. В д.у. нет y. Делаем замену y /  z ( x) . Тогда y //  z / ( x) . Подставляя в
исходное уравнение, получаем x 2 z /  z 2 . Разделяя переменные, получаем

dz
dx
 2 .
2
z
x
Интегрируя, имеем
1 1
1  C1x
,
  C1 
z x
x
или, что то же самое,
z
x
.
1  C1 x
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 221 из 228
Возвращаясь к функции y, переписываем последнее соотношение в виде
y/ 
y
x
, откуда dy  xdx . Интегрируя при C1  0 , окончательно получаем
1 C1x
1  C1 x
1
1
x
ln 1  C1 x  C 2 .
C1
C12
Если
C1  0 ,
то z  x, y /  x и
y  0,5 x 2  C3 .
Кроме того,
при делении на z 2 мы потеряли решение y /  0 , или, что то же самое, y  C .
Пример 4. Решить уравнение x y //  y / .
Решение. Делаем замену y /  z ( x) . Тогда y //  z / ( x) . Подставляя в исходное
dz dx
.

z
x
уравнение, получаем xz/  z . Разделяя переменные, получаем
Интегрируя, имеем ln z  ln x  ln C1 , или, что то же самое, z  C1x . Возвращаясь к
функции y, последнее соотношение записываем в виде y /  C1 x , откуда
dy  C1xdx . Интегрируя, окончательно получаем y  0,5C1x 2  C2 .
Пример 5. Решить уравнение y // (e x  1)  y / e x .
Решение. Делаем замену y /  z ( x) . Тогда y //  z / ( x) . Подставляя в исходное
уравнение, получаем z / (e x  1)  ze x . Разделяя переменные, получаем
d z e xd x
.
 x
z
e 1
Интегрируя, имеем ln z  ln( e x  1 )  ln C1 , или, что то же самое, z  C1(e x  1) .
Возвращаясь к функции y, переписываем последнее соотношение в виде
y /  C1 (e x  1) , откуда dy  C1(e x  1)dx . Интегрируя, окончательно получаем
y  C1(e x  x)  C2 .
Пример 5. Решить уравнение ( y / )2  2 yy //  0.
Решение. Делаем стандартную замену y  p( y ) , тогда y // 
Подставляя в уравнение, получаем
p  0,
имеем
Тогда y / 
получаем
p2  2 y
dp
 p  0.
dy
dp dy

 p/  p .
dy dx
Разделяя переменные, при
1
dp
dy
C
  . Интегрируя, получаем ln p   ln y  ln C1 , откуда p  1 .
2
p
2y
y
C1
или
y
y dy  C1dx .
Интегрируя последнее равенство, окончательно
2 32
 y  C1x  C2 . При разделении переменных
3
y  C , которое получается при p  0 , или, что то
решение
но оно содержится в полученном выше при
мы могли потерять
же самое, при y /  0 ,
C1  0 .
Пример 7. Решить задачу Коши y //  2yy / , y(0)  0, y / (0)  1.
Решение. Делаем замену y /  p( y) , тогда y // 
уравнение, получаем
dp
 p  2 yp .
dy
dp dy

 p /  p. Подставляя в
dy dx
В силу начальных условий p  0 (т.к. y / (0)  1 ),
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 222 из 228
поэтому на p можно сократить. Разделяя переменные, имеем dp  2 ydy .
Интегрируя, получаем p  y 2  C1 . Тогда y /  y 2  C1 . Учитывая начальные
условия, получаем C1  1 . Поэтому y /  y 2  1 или dy  ( y 2  1)dx . Разделяя в
последнем равенстве переменные и интегрируя, окончательно получаем
arctg y  x  C2 . Учитывая начальные условия, получаем C 2  0 . Таким образом,
искомое решение arctg y  x , или, что то же самое, y  tg x .
Пример 8. Решить уравнение yy //  ( y / )2  6 xy2 .
Решение. Д.у. второго порядка yy //  ( y / )2  6 xy2 . Функция yy //  ( y / )2  6 xy2 однородная 2-го порядка относительно y, y / , y // , следовательно, вводим новую
y/
неизвестную функцию z формулой z  . Тогда y /  yz , y //  yz /  y / z  yz /  yz 2 ,
y
и д.у. принимает вид y 2 z 2  z /   y 2 z 2  6xy2 . Сокращая на y 2 , имеем z /  6 x ,
откуда z  3x 2  C1 . Возвращаясь к у, получаем д.у. первого порядка с
разделяющимися
переменными
y/
 3 x 2  C1 ,
y
решая
которое,
находим
y  C2 e x C1x .
3
Пример 9. Решим уравнение yy //  y /   0 .
2
Решение. Его можно переписать в виде d ( yy / )  0 , откуда yy /  C1 . Разделяя
переменные, получаем: ydy  C1dx . Интегрируя, имеем y 2  C1x  C2 - общий
интеграл исходного д.у.
Пример 10. Решить уравнение y //  3 y /  2 y  0 .
Решение. Для уравнения y //  3 y /  2 y  0 корни характеристического
уравнения r 2  3r  2  0 равны r1  1 , r2  2 . Следовательно, ФСР (7.1) составляют
функции
y1  e x , y2  e 2 x , а общее решение (8.1) записывается в виде
y  C1e x  C2e 2 x .
Пример 11. Решить уравнение y ///  4 y //  4 y /  0
Решение. Для ЛОДУ y ///  4 y //  4 y /  0 характеристическое уравнение
r 3  4r 2  4r  0 имеет корни: r  0 кратности 1 и r  2 кратности 2, т.к.
r 3  4r 2  4r  r (r  2) 2 . Поэтому ФСР уравнения является система функций
y1  1, y2  e 2 x , y3  xe2 x , а общее решение имеет вид y  C1  C2e 2 x  C3 xe 2 x .
Пример 12. Решить уравнение y (5)  2 y ( 4)  y ///  0
Решение. Для уравнения y (5)  2 y ( 4)  y ///  0 характеристическое уравнение
r 5  2r 4  r 3  0 имеет корни r  0 кратности 3 и r  1 кратности 2, так как
r 5  2r 4  r 3  r 3 (r  1) 2 . Поэтому ФСР решений является система функций
а
общее
решение
имеет
вид
y1  1, y2  x, y3  x 2 , y4  e x , y5  xe x ,
2
x
x
y  C1  C2 x  C3 x  C4e  C5 xe .
Пример 13. Решить ЛНДУ y ///  4 y //  5 y /  2 y  2 x  3 .
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 223 из 228
Решение. Составляем соответствующее ЛОДУ y ///  4 y //  5 y /  2 y  0 .
Корнями его характеристического уравнения r 3  4r 2  5r  2  0 являются r1, 2  1
кратности 2 и r3  2 кратности 1. Общее решение соответствующего ЛОДУ
имеет вид: y00  C1e x  C2 xex  C3e2 x .
Правая часть f ( x)  2 x  3 . Это многочлен степени 1. Следовательно, n  1 ,
  0 (т.к. нет экспоненты e x ),   0 (т.к. нет ни косинуса, ни синуса),
контрольное число      i  0 не является корнем характеристического
уравнения, поэтому s  0 . Частное решение yчн ищем в виде многочлена той же
степени n  1 с неопределёнными коэффициентами: yЧН  Ax  B . Находим
//
///
последовательно: yЧН/  A , yЧН
 0 , yЧН
 0 . Подставляя в уравнение, получаем:
5 A  2 Ax  2B  2x  3 . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x ,
  2A  2
, откуда A  1, B  4
 5 A  2B  3
получаем: 
Тогда
ЛНДУ.
и yЧН   x  4 - частное решение.
yОН  y00  yЧН  C1e x  C2 xex  C3e 2 x  x  4
- общее решение исходного
Пример 14. Решить уравнение y ///  4 y //  5 y /  2 y  (2 x  3)e2 x .
Решение. Для
ЛНДУ y ///  4 y //  5 y /  2 y  (2 x  3)e2 x общее решение
соответствующего ЛОДУ имеет тот же вид, что и в примере 4:
y00  C1e x  C2 xex  C3e 2 x .
Правая часть f ( x)  (2 x  3)e2 x . Следовательно, n  1 ,   2 ,   0 (т.к. нет ни
косинуса, ни синуса), контрольное число      i  2 является корнем
характеристического уравнения кратности 1, поэтому s  1 . Частное решение
yчн ищем в том же виде, что и f (x ) , но с неопределёнными коэффициентами и
множителем x s  x : yЧН  x( Ax  B) e2 x  ( Ax2  Bx )e2 x .
Пример 15. Решить уравнение y //  y  cos x .
Решение. Для уравнения y //  y  cos x корнями характеристического
уравнения r 2  1  0 являются числа r1, 2   i кратности 1, т.е. общее решение
соответствующего ЛОДУ имеет вид y00  C1 cos x  C2 sin x .
Правая часть f ( x)  cos x , значит,   1 . В правой части нет экспоненты
e x , следовательно,   0 и контрольное число      i  i . Число  является
корнем характеристического уравнения, поэтому s  1 . Определим степень k.
При cos x стоит множителем многочлен Pn ( x)  1 степени n  0 , а sin x нет
вообще, т.е. при синусе стоит множителем многочлен Qm ( x)  0 степени m  0 .
yчн
Поэтому
ищем в виде
k  max n , m  0 , и частное решение
yЧН  x( A cos x  B sin x) . Подстановку в исходное ЛНДУ удобно делать так:
yЧН  Ax cos x  Bx sin x
1 

/
yЧН  ( A  Bx ) cos x  ( B  Ax) sin x
 0   (складывая и приводя подобные при
//
yЧН
 (2 B  Ax) cos x  (2 A  Bx ) sin x  1 

cos x , sin x )
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 224 из 228
//
yЧН
 yЧН  2B cos x  2 A sin x  cos x .
Из этого равенства, сравнивая коэффициенты при cos x и при sin x ,
 2B  1
, т.е. A  0 , B  0,5 .
 2 A  0
получаем: 
Следовательно, yЧН  0,5x sin x , yОН  C1 cos x  C2 sin x  0,5x sin x .
Пример 16. Решить уравнение y //  2 y /  5 y  0
Решение. Для уравнения y //  2 y /  5 y  0 корни характеристического
уравнения
x
r 2  2r  5  0
равны r1, 2  2  4  20  1  2i , и ФСР состоит из функций
2
а общее решение имеет вид y  C1e x cos 2 x  C2e x sin 2 x.
Пример 17. Решить уравнение y ///  4 y //  13 y /  0
Решение. Для уравнения y ///  4 y //  13 y /  0 корни характеристического
x
y1  e cos 2 x, y2  e sin 2 x,
уравнения
r 3  4r 2  13r  0
функций
y1  1, y2  e 2 x cos 3 x,
y  C1  C2e
2x
cos 3x  C3e
2x
равны
r1  0, r2,3 
y3  e 2 x sin 3 x,
4  16  52
  2  3i ,
2
а
общее
и ФСР состоит из
решение
имеет
вид
sin 3x.
Для уравнения y ( 4)  8 y //  16 y  0 характеристическое уравнение r 4  8r 2  16  0
имеет корни r  2i кратности 2, так как r 4  8r 2  16  (r 2  4) 2 . Поэтому ФСР
состоит из функций y1  cos 2 x , y2  x cos 2 x , y3  sin 2 x , y4  x sin 2 x , а общее
решение имеет вид
y  C1 cos 2x  C2 x cos 2x  C3 sin 2x  C4 x sin 2x  (C1  C2 x) cos 2x  (C3  C4 x) sin 2x .
Пример 18. Найдём общее решение уравнения y //  4 y /  3 y  9e 3 x .
Решение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
y  4 y /  3 y  0 . Корни его характеристического уравнения r 2  4r  3  0 равны
и  3 , поэтому ФСР состоит из функций y1  e  x и y 2  e 3x . Решение
неоднородного уравнения ищем в виде y  C1( x)e x  C2 ( x)e3x . Для нахождения
производных C1 ,C2 составляем систему уравнений
//

 C1e  x  C2 e 3 x  0,

x
3 x

 9e 3 x ,
 C1e  3C2 e
C2  
9
.
2
решая которую, находим
Интегрируя полученные функции, имеем
Подставляя
9
2
C1  e  2 x ,
~
9
9
~
C1   e  2 x  C1 , C2   x  C2 .
4
2
в выражение для y , окончательно находим общее решение
9
9
~
~
y   e  3 x  x e  3 x  C1 e  x  C2 e  3 x .
4
C1
и
1
C2
2
Пример 19. Найдём общее решение ЛНДУ y ///  7 y /  6 y  e5 x .
Решение. Корни характеристического уравнения r 3  7r  6  0
соответствующего ЛОДУ равны  2 ,  1 , 3 . Поэтому ФСР ЛОДУ состоит из
функций y1  e 2 x , y 2  e  x , y3  e 3 x . Решение исходного ЛНДУ ищем в виде
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
y  C1 ( x)e 2 x  C 2 ( x)e  x  C 3 ( x)e 3 x .
стр. 225 из 228
Для нахождения производных
составляем систему уравнений
C1 , C 2 , C3
 C1e 2 x  C 2 e  x  C 3 e 3 x  0,

2 x
 C 2 e  x  3C 3 e 3 x  0,
 2C1e
 4C e 2 x  C  e  x  9C  e 3 x  e 5 x .
1
2
3

Решая эту систему, находим
полученные функции, имеем
Подставляя
y
1
84
C1 
1
5
1
4
C1  e 7 x , C 2   e 6 x , C 3 
1 2x
e .
20
Интегрируя
~
~
1 7x ~
1
1
e  C1 , C 2   e 6 x  C 2 , C 3  e 2 x  C 3 .
35
40
24
в выражение для y , окончательно находим
~
~
~
e 5 x  C1 e  2 x  C 2 e  x  C 3 e 3 x .
C1 , C2 , C 3
Методические рекомендации
Подготовку к каждому практическому занятию следует начинать с
повторения основных разделов темы, детального разбора примеров (по
рекомендованной литературе или конспектам) и ответов на контрольные
вопросы.
Работа над учебником обязательно должна сопровождаться решением
задач по изучаемому разделу курса. Задачи рекомендуется решать
самостоятельно, так как при этом лучше усваивается и закрепляется
теоретический курс. Очень полезно, самостоятельно произвести все
требующиеся расчеты, а затем проанализировать приведенные в учебнике и
задачниках примеры и задачи с решениями.
Типовые задачи мы будем решать на аудиторных практических занятиях.
Во время самостоятельной работы под руководством преподавателя я смогу
дать ответы на вопросы, которые возникнут у вас при выполнении домашних
заданий.
Для полного понимания рассматриваемого материала, необходимо
оформить краткий конспект каждой темы, записывая основные определения и
все без исключения формулы с анализом их прикладного смысла. Все записи, а
также решения задач по каждой теме, следует вести в отдельной тетради для
практических работ.
В дальнейшем этот материал, подготовленный вами самостоятельно, не
только окажет большую помощь при повторении курса перед экзаменом, но и
может быть использован как справочное пособие в практической работе.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 226 из 228
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
Методические рекомендации
В ходе изучения дисциплины каждый студент получит индивидуальные
домашние задания, которые охватывают основные разделы курса и позволяют
выяснить, насколько хорошо усвоены теоретические положения и может ли
студент применять их для решения практических задач.
Каждое задание должно быть выполнено на листах формата А4 и
оформлено в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению
расчетных работ. Работа должна быть написана разборчивым почерком. На
обложке самостоятельной работы необходимо указать специальность, курс,
группу, фамилию и имя студента, номер варианта и дату сдачи работы.
Решение задач следует сопровождать краткими пояснениями, обязательно
приводить все формулы, используемые в задаче. После завершения домашней
работы необходимо сделать ссылку на использованную литературу.
Не откладывайте выполнение задания на последний день перед его сдачей.
К сожалению, некоторые студенты так и поступают. В этом случае у вас
возникнут затруднения при решении более сложных задач. Если вы будете
придерживаться установленного графика выполнения работы, то во время
проведения СРСП, преподаватель сможет ответить на возникшие у вас вопросы
при решении задач.
Номер варианта контрольных задач следует выбрать согласно порядкового
номера Вашей фамилии в списке группы, составленном в алфавитном порядке..
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике, раздел
«Пределы», задачи 2, 4, 6, 9, 10, 11, 12, 15
Задание 2. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике, раздел
«Дифференцирование», задачи 2-5, 9, 11, 15, 19, 20
Задание 3. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике, раздел
«Графики», задачи 1, 2, 3, 6, 7
Задание 4. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике, раздел
«Интегралы», задачи 1-8, 10-12, 14, 17, 18, 21
Задание 5. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике, раздел
«Векторный анализ», задачи 1, 2, 4
Задание 6. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике, раздел
«Кратные интегралы», задачи 1-6, 8, 10, 11
Задание 7. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике, раздел
«Ряды», задачи 1-9, 11, 19, 20
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 227 из 228
Темы для самостоятельной работы студента (реферат)
Числовая последовательность и ее предел. Первый и второй замечательные
пределы
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
Геометрический смысл частной производной
Переход к полярной системе координат в двойном интеграле
Геометрические приложения двойного интеграла.
Механические приложения двойного интеграла.
Физические приложения двойного интеграла.
Замена переменной в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические
координаты
Приложения тройных интегралов.
Числовые ряды. Основные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Приложение теории рядов к приближенным вычислениям.
УМКД 042-14.01.20.172/03-2013
Ред. № 1 от 29.08.2013
стр. 228 из 228
5. ЛИТЕРАТУРА
5.1 Основная литература.
5.1.1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. 1, 2. М.,
«Наука», 2011
5.1.2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, ч. 1, 2. М.,
«Наука», 2012
5.1.3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.,
«Наука», 2012
5.1.4. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. 1 курс., М.
«Айрис пресс», 2008.
5.1.5. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. 2 курс., М.
«Айрис пресс», 2009.
5.2 Дополнительная.
5.2.1. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике, М. «Высшая
школа», 2010.
5.2.2. Данко Л. Е., Попов Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Часть 1,2., М., «Высшая математика».
5.2.3. Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М. Практикум по высшей
математике, Ростов-на-Дону, «Феникс», 2013.
5.2.4. Ефимов А.В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М.,
«Наука», 2009
5.2.5. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для
ВТУЗов, М., Наука, 2012
5.2.6. Коровкин П.П. Математический анализ, М., Просвещение, 2012