УДК 51 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА

УДК 51
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА
ПОРАЖЕНИЯ ЦЕЛИ
В. А. Полев, А. Ю. Глот, М. Ю. Попов
Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил «Военновоздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина» (г. Воронеж), polevvladislav@rambler.ru
В статье рассмотрены различные модели поражения одиночной цели, позволяющие применять методы теории вероятностей для
изучения характеристик уязвимости. С помощью координатного закона поражения исследована вероятность поражения цели в зависимости от координат точек попаданий (разрывов) снарядов. При построении математических моделей рассмотрен и другой случай: зависимость поражения цели от числа попавших снарядов.
Ключевые слова: математическое моделирование, поражение цели,
характеристики уязвимости, координатный закон, методы теории вероятностей.
Большинство современных моделей боевых действий основано
на теоретико-вероятностных конструкциях. Применимость методов
теории вероятностей для исследования тех или иных процессов вооруженной борьбы может быть обоснована только эмпирически на
основе анализа статистической устойчивости характеристик этих
процессов. Так, например, факт поражения той или иной цели противника в результате огня артиллерии или бомбометания является
случайным событием; случайным является число самолётов, преодолевших систему ПВО, случайный характер носят процессы разведки
и опознавания объектов противника; случайными являются отказы
техники, моральное состояние личного состава и т. д. Случайность
этих явлений эмпирически подтверждена достаточно большим числом экспериментов.
В настоящее время сложились два основных подхода к стохастическому моделированию боевых действий. Первое направление
связано с построением стохастических моделей на основе метода
статистических испытаний (Монте-Карло). Второе направление за-
ключается в построении аналитических моделей боевых действий.
Оба эти направления развиваются параллельно и взаимно дополняют
друг друга. Главной особенностью моделей, основанных на методе
статистических испытаний, является то, что они приближённо воспроизводят боевой процесс на основе имитации его элементарных
составляющих и их взаимосвязей. Это позволяет моделировать процессы очень сложной структуры, зависящие от большого числа разнообразных факторов [1]. Вместе с тем модели статистических испытаний, как правило, громоздки. Их применение требует большого
объёма памяти ЭВМ и связано с большими затратами машинного
времени. Существенным недостатком этих моделей является отсутствие конструктивных способов оптимизации [2]. Некоторые из недостатков имитационных статистических моделей боевых действий
преодолеваются применением аналитических моделей.
Под одиночной целью будем понимать отдельный, малоразмерный объект (самолёт, корабль, танк), выполняющий вполне
определённые функции. Задача стрельбы — вывести этот объект из
строя, т. е. лишить его возможности выполнять свои функции. Условимся событие, состоящее в том, что объект перестал выполнять
свои функции (вышел из строя), обозначать общим термином «поражение цели». Так как стрельба по одиночной цели ведётся для достижения вполне определённого результата — поражения цели, то в
качестве показателя эффективности логично выбрать вероятность
поражения цели:
𝑊 = 𝑃(𝐴),
(1)
где 𝐴 — поражение цели.
Понятие «поражение цели» может иметь различный смысл в
зависимости от тактической обстановки. Например, при стрельбе по
самолёту «поражение» может означать: 1) немедленное сбитие; 2)
невозможность лететь в строю; 3) отказ от выполнения боевого задания и т. п.
Вопрос о том, какое из этих понятий поражения положить в
основу оценки эффективности и как его конкретизировать, зависит
от тактической обстановки.
Пусть, например, бомбардировщик обстреливается на большом расстоянии от объекта; цель стрельбы — помешать ему выполнить свою боевую задачу. При этих условиях повреждения топлив-
ной системы, вызывающие интенсивную течь горючего, будут «поражающими»: самолёт не достигнет объекта из-за нехватки горючего. Те же самые повреждения окажутся «непоражающими», если
бомбардировщик обстреливается в непосредственной близости от
объекта. В этом случае в понятие «поражение» приходится вкладывать смысл «немедленное сбитие».
Чтобы оценивать эффективность стрельбы, кроме характеристик рассеивания, нужно знать ещё характеристики поражающего
действия боеприпасов по цели или, что равносильно, характеристики
уязвимости цели по отношению к применяемым снарядам. Характеристики рассеивания зависят от точности стрельбы, т. е. степени совершенства технических устройств, приводящих снаряд в район цели. Что касается характеристик уязвимости, то они зависят от параметров снаряда и цели, таких, как: 1) конструкция, вес и разрушительная мощь снаряда; 2) конструкция и прочность цели.
В зависимости от типа цели и типа снаряда применяются те
или другие характеристики уязвимости.
Одной из возможных характеристик уязвимости одиночной
цели является так называемый «координатный закон поражения». Он
выражает вероятность поражения цели в зависимости от координат
точек попаданий (разрывов) снарядов.
Рассмотрим самый простой случай. Пусть ведётся стрельба
одним снарядом с плоским рассеиванием по одиночной малоразмерной цели (танк, корабль, ракетная установка и т. д.). Предположим,
что снаряд попал в точку М с координатами (𝑥, 𝑦). Очевидно, вероятность поражения цели будет зависеть от координат (𝑥, 𝑦). Обозначим эту вероятность 𝐺1 (𝑥, 𝑦) и назовём координатным законом поражения цели. Слово «координатный» указывает на зависимость его
от координат точки попадания.
Координатный закон поражения характеризует данную комбинацию снаряд — цель. Помимо координат (𝑥, 𝑦) он зависит в некоторой степени ещё и от условий стрельбы (например, угла подхода
снаряда к картинной плоскости; скорости снаряда в момент разрыва
и т. п.). Мы будем считать эти условия заданными.
Рассмотрим случай стрельбы не одним, а двумя снарядами.
Здесь придётся ввести координатный закон поражения, зависящий от
координат обеих точек попадания: 𝐺2 (𝑥1 , 𝑦1 ; 𝑥2 , 𝑦2 ), который представляет собой вероятность поражения цели при условии, что два
снаряда разорвались: один — в точке 𝑀1 (𝑥1 , 𝑦1 ), другой в точке
𝑀2 (𝑥2 , 𝑦2 ).
В общем случае, при стрельбе n снарядами координатный закон поражения будет зависеть от координат всех точек попадания:
𝐺𝑛 (𝑥1 , 𝑦1 ; 𝑥2 , 𝑦2 ; … ; 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )
(2)
Данная функция есть не что иное, как условная вероятность
поражения цели n снарядами, разорвавшимися в точках с координатами (𝑥1 , 𝑦1 ); … ; (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ).
Координатный закон поражения вида (2) представляет собой
функцию 2n аргументов, и, естественно, оперировать такой функцией крайне неудобно. Однако в частном случае вид этой функции может быть сильно упрощён; а именно: если снаряды поражают цель
независимо друг от друга.
Рассмотрим именно этот случай, когда снаряды поражают цель
- независимо. Это значит, что при фиксированных координатах точек попадания любых двух снарядов вероятность поражения цели
одним из них не зависит от того, какие повреждения причинил ей
другой, не поразивший. Обозначим: 𝐴 — поражение цели n снарядами и вычислим вероятность этого события:
𝐺𝑛 (𝑥1 , 𝑦1 ; 𝑥2 , 𝑦2 ; … ; 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 𝑃(𝐴).
(3)
Перейдем к противоположному событию 𝐴̅ — непоражению
цели. Представим его как совмещение (произведение) n событий:
𝐴1̅ — первый снаряд не поразил цель;
𝐴̅2 — второй снаряд не поразил цель;
……………………………………………..
𝐴̅𝑛 — n-й снаряд не поразил цель.
Мы условились, что события 𝐴1̅ , ̅𝐴2 , … , 𝐴̅𝑛 независимы. Тогда
по теореме умножения вероятностей получим
𝑃(𝐴̅) = 𝑃(𝐴1̅ ) 𝑃( ̅𝐴2 ) … 𝑃(𝐴̅𝑛 ).
(4)
Найдем 𝑃(𝐴1̅ ) — вероятность непоражения цели первым снарядом, разорвавшимся в точке (𝑥1 , 𝑦1 ). Очевидно, что
𝑃(𝐴1̅ ) = 1 − 𝐺1 (𝑥1 , 𝑦1 ).
(5)
Аналогично
𝑃(𝐴̅2 ) = 1 − 𝐺1 (𝑥2 , 𝑦2 ); … ; 𝑃(𝐴̅𝑛 ) = 1 − 𝐺1 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ).
(6)
Следовательно, вероятность непоражения цели всеми n снарядами будет
𝑃(𝐴̅) = (1 − 𝐺1 (𝑥1 , 𝑦1 ))(1 − 𝐺1 (𝑥2 , 𝑦2 )) … (1 − 𝐺1 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )),
(7)
а вероятность поражения
𝐺𝑛 (𝑥1 , 𝑦1 ; 𝑥2 , 𝑦2 ; … ; 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) =
= 1 − (1 − 𝐺1 (𝑥1 , 𝑦1 ))(1 − 𝐺1 (𝑥2 , 𝑦2 )) … (1 − 𝐺1 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )).
(8)
Таким
образом,
сложная
функция
2n
аргументов
𝐺𝑛 (𝑥1 , 𝑦1 ; 𝑥2 , 𝑦2 ; … ; 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) выразилась через гораздо более простую
функцию всего двух аргументов 𝐺1 (𝑥, 𝑦).
Заметим, что для такого упрощения нам понадобилось предположение о том, что снаряды «независимы в смысле поражения».
Это допущение в теории стрельбы часто называют «отсутствием накопления ущерба». Под «накоплением ущерба» понимается
явление, состоящее в том, что цель может быть поражена совместным действием двух или более снарядов, ни один из которых цели
не поразил. При «накоплении ущерба» снаряды как бы «помогают
друг другу». При «отсутствии накопления ущерба» снаряды помогать друг другу не могут и поражают цель независимо.
Для реальных целей накопление ущерба почти всегда имеет
место, но обычно играет в балансе уязвимости цели сравнительно
малую роль, и им оказывается возможно пренебречь.
При отсутствии накопления ущерба, как показывает формула
(8), координатный закон поражения цели несколькими снарядами
𝐺𝑛 (𝑥1 , 𝑦1 ; 𝑥2 , 𝑦2 ; … ; 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) выражается через простейший координатный закон поражения одним снарядом.
Совершенно аналогично рассмотренному плоскому случаю
можно построить характеристики уязвимости одиночной цели по
отношению к дистанционным снарядам с объёмным рассеиванием.
Простейшей характеристикой уязвимости будет координатный
закон поражения 𝐺1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) — условная вероятность поражения цели при условии, что снаряд разорвался в точке с координатами
(𝑥, 𝑦, 𝑧). В случае стрельбы n снарядами с объёмным рассеиванием
общей характеристикой уязвимости цели будет координатный закон:
𝐺𝑛 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ; 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ; … ; 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) , который при отсутствии
накопления ущерба выражается через простейший закон 𝐺1 (𝑥, 𝑦, 𝑧):
𝐺𝑛 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ; 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ; … ; 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) =1−
− (1 − 𝐺1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ))(1 − 𝐺1 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 )) … (1 − 𝐺1 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 )).
(9)
При стрельбе ударными снарядами характеристики уязвимости цели значительно упрощаются. Дело в там, что ударные снаряды
могут поражать цель только при непосредственном попадании в неё,
поэтому для тех точек попадания, которые оказываются за пределами цели, координатный закон равен нулю и может не рассматриваться. Кроме того, если размеры цели не слишком велики по сравнению
с областью рассеивания снарядов, задачу удаётся упростить ещё
больше и охарактеризовать уязвимость цели с помощью очень простой функции, зависящей только от одного аргумента.
Обозначим 𝐺(𝑚) - условную вероятность поражения цели при
условии, что в неё попало ровно 𝑚 снарядов. Функцию 𝐺(𝑚) мы будем называть просто «законом поражения цели». В отличие от аргументов координатного закона поражения аргумент функции 𝐺(𝑚)
представляет собой число попавших снарядов, а не их координаты.
Функцию 𝐺(𝑚) легко вычислить, если допустить, что попавшие в цель снаряды распределяются по её проекции на плоскость
рассеивания равномерно и независимо друг от друга, т. е. вероятность попадания в какой-либо агрегат пропорциональна площади
этого агрегата и не зависит от того, в какие участки цели попали
другие снаряды. Такое допущение хорошо оправдывается для целей,
размеры которых невелики по сравнению с размерами всей области
рассеивания снарядов. При стрельбе по одиночной малоразмерной
цели это довольно типичный случай.
Если такое допущение может быть принято, то, зная состав
цели, относительные площади, взаимное расположение и уязвимость
её агрегатов, легко можно найти закон поражения 𝐺(𝑚) расчётным
путём.
Закон поражения цели 𝐺(𝑚) обладает следующими очевидными свойствами:
1) 𝐺(0) = 0 (при отсутствии попаданий цель поражена быть не
может).
2) 𝐺(∞) = 1 (при неограниченном увеличении числа попаданий поражение цели становится достоверным).
3) 𝐺(𝑚) — неубывающая функция 𝑚 (при увеличении числа
попаданий вероятность поражения цели не может стать меньше).
Предположим, что самолёт, по которому ведётся стрельба, состоит из трёх различных по уязвимости частей, а именно: 1) кабина
летчика, двигатель; 2) топливные баки; 3) плоскости, хвостовое оперение.
При попадании снаряда данного типа в первую часть поражение самолёта гарантировано. Если один снаряд попал во вторую
часть, он вызывает только течь горючего, но не воспламеняет его;
второй попавший снаряд воспламеняет горючее, и самолёт гибнет в
результате пожара; третья часть самолёта для снарядов данного типа
мало уязвима; для поражения самолёта требуется не менее трёх попаданий в эту часть. Относительные площади первой, второй и третьей частей на проекции цели равны соответственно 0,3, 0,2 и 0,5.
Найдём закон поражения самолета 𝐺(𝑚).
Пусть 𝑚 =1 (в самолет попал ровно один снаряд). Для поражения цели нужно, чтобы он попал в первую часть: G(1) = 0,3.
Пусть 𝑚 =2 (в самолет попало ровно два снаряда). Они могут
поразить самолёт двумя способами: хотя бы один из снарядов попадет в первую часть или оба снаряда попадут во вторую часть.
По теоремам сложения и умножения вероятностей получим
𝐺(2) = 1 − (1 − 0,3)2 + 0,22 = 0,55.
(10)
Величину 𝐺(3) таким простым способом найти уже нельзя, так
как при трёх попаданиях события «попадание хотя бы одного снаряда в первую часть» и «попадание не менее двух снарядов во вторую»
уже не будут несовместными.
Для определения 𝐺(3) лучше перейти к противоположному
событию — непоражению цели при трёх попаданиях. Для выполнения условия, что цель не была поражена при трёх попаданиях, нужно, чтобы два снаряда попали в третью часть, а один — во вторую.
Так как из трёх снарядов можно составить три различные комбинации, при которых один снаряд попадает во вторую часть, а два
остальных — в третью, вероятность непоражения цели при трёх попаданиях будет 3 ∙ 0,2 ∙ 0,52 , а вероятность поражения
𝐺(3) = 1 − 3 ∙ 0,2 ∙ 0,52 = 0,85.
(11)
При четырех попаданиях цель поражается с полной достоверностью 𝐺(4) = 1.
Таким образом, построены различные модели поражения одиночной цели, позволяющие применять методы теории вероятностей
для исследования характеристик уязвимости.
Литература
1.
Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы,
методология. – М.: Наука, 1988. – 208 с.
2.
Полев В. А., Свистов В. В. Сравнение методов случайного
поиска и оптимизации сложных систем / Моделирование и управление в
сложных системах: сборник научных трудов. – № 2 (17). – Воронеж: ИПФ
«Воронеж», 2014. – С. 22-30.
«Mathematical Modelling in the Process of Hitting the Target» by
V. A. Polev, A. Yu. Glot, M. Yu. Popov
The Military Training-Scientific Centre of the Air Forces «Professor N. E.
Zhukovskiy and Yu. A. Gagarin Air Forces Academy» (Voronezh)
Annotation: Different models of hitting the target, allowing to use the
methods of the theory of probability for the studying of characteristics of vulnerability are being examined in this article. The probability of hitting the target
depending on the coordinates of the hitting point of aim of the shell (missiles) are
being investigated with the help of coordinate law of hitting. Another case of the
dependence of the hitting of the point of aim on the number of hit missiles is being investigated in the process of forming mathematical modelling.
Key words: mathematical modeling, hitting the target, characteristics of
vulnerability, coordinate law (the law of coordinates), methods of the theory of
probability (chances).