Введение в математический анализ

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ю.С.Налбандян
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим занятиям по курсу
«Введение в математический анализ»
(специальность «Зарубежное регионоведение»)
Часть 2.
Элементы дифференциального исчисления и методов оптимизации
Ростов-на-Дону
2012
ВВЕДЕНИЕ
Курс «Введение в математический анализ», который читается студентам
отделения «зарубежное регионоведение», решает такие важные задачи, как
ознакомление студентов с основными понятиями математического анализа и
смежных дисциплин, необходимыми для решения теоретических и практических задач экономики; воспитание абстрактного мышление и умения строго
излагать свои мысли . Пособие предназначено помочь в организации практических занятий и самостоятельной работы студентов и включает разделы, связанные с дифференцированием функций одного и многих переменных, а также с
приложением методов дифференциального исчисления, линейной алгебры и
аналитической геометрии к решению оптимизационных задач. Каждый из параграфов содержит необходимые теоретические положения, разобранные «типовые» задачи и упражнения для самостоятельного решения, позволяющие закрепить полученные навыки. Дополнительно рекомендуется литература:
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – СПб.: Лань, 2010
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: ACT: Астрель, 2006.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. –
М.: АСТ: Астрель 2007.
4. Справочник по математике для экономистов /Под ред. В.И.Ермакова. –
М.: Инфра-М, 2009.
5. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. Ч.1. – М.: Финансы и статистика. 2001.
6. Налбандян Ю.С. «Методические указания к практическим занятиям по
курсу «Введение в математический анализ». Часть 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии». – Ростов-на-Дону: УПЛ ЮФУ, 2012.
2
§ 1. СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1.1. Область определения, основные свойства. При решении ряда прикладных задач необходимо учитывать известные из школьного курса свойства
элементарных функций: показательной f ( x)  a x (и ее частного случая, экспоненты f ( x)  e x , логарифмической f ( x)  log a x (и ее частных случаев, десятичного f ( x)  lg x  log 10 x и натурального f ( x)  ln x  log e x логарифмов),
тригонометрических f ( x)  cos x , f ( x)  sin x , f ( x)  tgx , f ( x)  ctgx , степенной f ( x)  x (как для любого вещественного показателя степени, так и наиболее важные частные случаи f ( x)  kx  b , f ( x)  ax 2  bx  c , f ( x)  x ). В
этом параграфе рассматриваются наиболее важные примеры, более подробную
информацию можно найти, например, в [1].
4
Пример 1.1. Найти область определения функции f ( x)  x 2  4 .
Решение. Известно, что корень четной степени определен только при неотрицательном подкоренном выражении. Таким образом, решая неравенство
x 2  4  0 , получаем, что x  2 или x  2 . Поэтому D( f )  (,2]  [2,)
(использовано стандартное обозначение для области определения функции f).
Одним из наиболее важных, часто учитывающихся в практических задачах,
свойств функции является ее четность или нечетность. Как известно, функция
f (x)
называется четной (нечетной), если выполняются два условия: область
определения функции симметрична относительно начала координат и при любом x из области определения справедливо равенство f ( x)  f ( x) (соответственно, f ( x)   f ( x) ).
Пример 1.2. Проверить, обладают ли свойством четности (нечетности)
предложенные функции:
f ( x)  x 3  1 на естественной области определения;
3
g ( x)  3x 2  2 на естественной области определения;
p( x)  3x 2  2 при
x  [1;2] ;
r ( x)  x на естественной области определения;
 ( x)  x cos x на естественной области определения.
Решение. В данном примере функция f(x) определена для всех вещественных аргументов, т.е. D( f )  (';) симметрична относительно начала координат. Так как f ( x)  ( x) 3  1   x 3  1 , то очевидно, что f ( x)  f ( x) и
f ( x)   f ( x) , т.е. ни одним из интересующих свойств функция не обладает
(такие функции называются функциями общего вида).
Функция g(x), область определения которой также все множество вещественных
чисел,
является
четной
в
силу
равенства
g ( x)  3( x) 2  2  3x 2  2  g ( x) .
У функции p(x) область определения – отрезок [-1;2], а у r(x) – интервал
[0;) . Эти множества не симметричны относительно начала координат, по-
этому функции p(x), r(x) свойством четности и нечетности не обладают.
Наконец,
 (x)
определена
на
всей
вещественной
оси
и
 ( x)  ( x) cos( x)   x cos x   ( x) , поэтому  (x) нечетная функция.
Замечание. График четной функции симметричен относительно оси OY,
график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Примером могут послужить графики функций y  x 2 , y  x 3 .
1.2. Графики функций, их преобразование. В таблице 1.1 приведены правила, с помощью которых, зная графики элементарных функций, можно получать эскизы графиков более широкого класса функций. Следует обратить внимание на то, что некоторые преобразования проводятся либо с самим графиком,
либо с осями координат.
4
Таблица 1.1
Правила преобразования графика функции f(x)
Функция
Действия
Действия с графиком
осями
координат
Переместить график
y  f ( x)  b
с
на |b| Перенести ось абсцисс
f (x)
единиц по оси OY (вверх при на |b| единиц вниз при
b  0 (вверх при b  0 ).
b  0 и вниз при b  0 )
Переместить график f ( x ) на |a| Перенести ось ординат
y  f ( x  a) единиц по оси OX (вправо при на |a| единиц (влево при
a  0 , вправо при a  0 ).
a  0 , влево при a  0 ).
Отобразить график
y   f (x)
f (x)
симмет-
рично относительно оси OX («зеркальное» отображение).
График f ( x ) отобразить симмет-
y  f (  x)
рично относительно оси OY.
Увеличить ординаты «базового»
y  Cf (x)
графика в C раз при C>1 или
уменьшить в 1/C раз при 0<C<1
У базового графика уменьшить
y  f (Cx)
абсциссы в C раз при C>1 или увеличить их в 1/C раз при 0<C<1
Оставить график f (x) без изменения там, где f ( x)  0 ; фрагменты
y | f ( x) |
графика, соответствующие условию f ( x)  0 , отобразить симметрично относительно оси OX.
5
Пример 1.3. С помощью преобразования графика гиперболы
ить график функции y 
y  1/ x
постро-
x2
.
x3
Решение. Сначала необходимо выделить «целую часть» данной дробнорациональной функции: y 
x  2 x  3 1
1
. Далее последовательно

1
x3
x3
x3
выполняются следующие действия:
1) построить график функции y  1 x ;
2) сдвинуть его на 3 единицы влево по оси OX (получить график функции
y  1 ( x  3) );
3) полученный график симметрично отобразить относительно оси OX (график функции y   1 ( x  3) );
5) сдвинуть его на единицу вверх вдоль оси OY (график заданной функции).
Результат построений можно видеть на рисунке 1.1.
Пример 1.4. Построить график функции
f ( x)  lg x
.
 u, если u  0
Решение. Так как | u | 
, то формулу, задающую функцию,

u
,
если
u

0

можно преобразовать:
 lg x, если lg x  0  lg x, если x  1
.
f ( x) | lg x | 


lg
x
,
если
lg
x

0

lg
x
,
если
0

x

1


6
(1.1)
В соответствии с рекомендациями из таблицы, которые "подтверждены"
формулой (1.1), необходимо оставить без изменения фрагмент "базового" графика десятичного логарифма при x [1,) . Для
x  (0,1) соответствующий
фрагмент «базового» графика отображается симметрично относительно оси OX.
Результат см. на рисунке 1.2. (стр.7).
Пример 1.5. Построить график f ( x)  x 2  4 x  7 .
Решение. При исследовании квадратичной
функции полезно выделять полный квадрат:
f ( x)  x 2  2  2 x  4  4  7  ( x  2) 2  3.
Теперь можно использовать правила преобразования графиков. Строим график параболы
y  x 2 , сдвигаем его по оси OX на 2 единицы
вправо и поднимаем по оси OY на 3 единицы.
Результат – на рисунке 1.3.
1.3. Задания для самостоятельного решения.
Упражнение 1.1. Найти область определения функций:
1) f ( x)  lg( 6 x  7  x 2 ) ;
4) f ( x)  x  1 
2) f ( x)  ln( x 2  2 x  1) ;
3) f ( x)  tgx  ctgx ;
1
; 5) f ( x)  x  5  x  2 ; 6) f ( x)  x  5  2  x ;
6 x
7) f ( x)  5  x  x  2 ; 8) f ( x) 
1
3 5x  1
; 9) f ( x) 
x
1
; 10) f ( x) 
.
2
cos 2 x
x 1
Упражнение 1.2. Проверить, являются ли данные функции четными (нечетными). При отсутствии дополнительных указаний рассматривать функции
на естественной области определения.
1) f ( x)  x 5  2 x ;
2) f ( x)  x 3  sin x ;
3) f ( x)  lg x 2 ;
4) f ( x)  x sin 3x, x  ( 3;3 ) ;
5) f ( x)  2 x 4  3x  1 ;
6) f ( x)  x 2  2 x ;
7
7) f ( x)  x  tgx , x  (2;1) ;
8) f ( x)  cos x  sin 2 x ;
9) f ( x)  3 x  x 3 ;
10) f ( x)  x 3  x , x [3;1] ;
11) f ( x)  x 3  sin 2 x ;
12) f ( x)  2 x  2  x .
Упражнение 1.3. Используя правила преобразования графиков элементарных функций, построить эскизы графиков заданных функций:
1) f ( x)  x 2  3x  2 ;
4) f ( x) 
x3
;
x2
2) f ( x)  2 x 2  11x  15 ;
5) f ( x) 
7) f ( x) | 18  3x  x 2 |
x5
;
x2
8) f ( x)  x  4 | x  2 |
3) f ( x)  x 2  6 x ;
6) f ( x) 
x3
x4
9) f ( x)   x  2 ;
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
2.1. Функции одного переменного. Основными понятиями дифференциального исчисления являются производная функции и дифференциал функции.
При этом функции, имеющие конечные производные, называются дифференцируемыми. Для таких функций можно доказать ряд теорем, из которых следуют правила нахождения производных для алгебраической суммы, произведения и частного дифференцируемых функций:
 f ( x)  g ( x)' 
 f ( x) g ( x)' 
f ' ( x)  g ' ( x) ;
f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x) ;
Cf ( x)'  Cf ' ( x) ;
(2.1)
(2.2)
(2.3)
'
 f ( x) 
f ' ( x) g ( x)  g ' ( x) f ( x)

 
.
 g ( x) 
g 2 ( x)
(2.4)
Равенство (2.3) основано на том, что производная постоянной функции
(константы) равна нулю; оно означает, что при дифференцировании константа
выносится за знак производной.
8
В Таблице 2.1 формулы для производных элементарных функций приводятся как для случая независимого аргумента y  f ( x) (левый столбец), так и
для сложной функции y  f (u ( x)) (правый столбец).
Таблица 2.1
Таблица основных производных
( x )'   x
1) (u )'   u 1u '

1) x '  1,
 1
2) (cos x)'   sin x
2) (cos u )'   sin u  u '
3) (sin x)'  cos x
3) (sin u )'  cos u  u '
4) (tgx)' 
1
cos 2 x
4) (tgu )' 
1
sin 2 x
5) (ctgx)' 
u'
cos 2 u
5) (ctgu )' 
u '
sin 2 u
6) (a x )'  a x ln a ,
6) (au )'  au ln a  u ' ,
7) (e x )'  e x
7) (eu )'  euu '
8) (log a x)' 
9) (ln x)' 
1
,
x ln a
8) (log a u )' 
1
x
10) (arctgx)' 
9) (ln u )' 
1
1  x2
11) (arcctgx)' 
1
1  x2
12) (arcsin x)' 
1
13) (arccos x)' 
1 x
u'
,
u ln a
u'
u
10) (arctgu )' 
2
u'
1  u2
11) (arcctgu )' 
u '
1  u2
12) (arcsin u )' 
u'
1
13) (arccos u )' 
1  x2
9
1  u2
u '
1  u2
Чтобы найти производную функции y  f ( x) в точке x  a , необходимо
сначала найти f '( x) , а затем в полученное выражение подставить заданное
значение x  a .
Пример 2.1. Найти производную функции y 
x
2
x 1
в произвольной точке
и при x=1.
Решение. Применим формулы (2.4), (2.1) и (дважды) формулу производной
степенной функции:
'
 x  (x

 
2
 x  1
1
1/ 2
2
)' ( x  1)  ( x  1)' x
2
( x  1)

Итак, y ' 
2
1  3x 2
2 x ( x 2  1) 2
2
x2  1  4x2
2
2 x ( x  1)
2

2 x
( x 2  1)  2 x x
1  3x 2
2
2 x ( x  1)
2
2
( x  1)
2

.
. Чтобы выполнить второе задание, подставим вме-
сто x числовое значение 1: y ' (1) 
1 3
2  1  (1  1) 2
.
 2 1
.

24 4
Дифференциал функции y  f (x) , играющий важную роль в исследовании
функций (а также позволяющий при необходимости находить приближенное
значение функции), можно найти по формулам:
df  dy  f ' ( x)dx ,
(2.5)
(для произвольной точки из области определения) и
df xa  dy xa  f ' (a)dx
(2.6)
(для фиксированной точки x=a).
Пример 2.2. Найти дифференциал функции y  x cos(3x) .
Решение. Сначала воспользуемся формулой (2.2) и табличной производной
косинуса для сложной функции:
10
y'  x' cos3x  x(cos3x)'  1  cos3x  x  ( sin 3x)  (3x)'  cos3x  3x sin 3x.
С учетом формулы (2.5) получаем: dy  (cos 3x  3x sin 3x)dx
Пример 2.3. Найти в точке x  0 производную функции f ( x) 
1
3
3e
4x
5
и
дифференциал функции в этой точке.
Решение. Предварительно «подготовим» функцию к дифференцированию:
f ( x) 
1
3
3e 4 x  5
 (3e 4 x  5) 1 / 3 . Теперь воспользуемся формулами производ-
ных для степенной функции и функции y  e u (из таблицы), а также формулами (2.1), (2.3):
'
1

 
 4x
1
 3  e 4 x  (4 x)'
 4e 4 x
f ' ( x)   (3e  5) 3    (3e 4 x  5)  4 / 3 (3e 4 x  5)' 

.
3
3
4
x
4
x
3


3 3e  5
3e  5


Подставляем значение x  0 :
f ' (0) 
4
(3  5) 4 / 3

4
(2 3 ) 4 / 3

4
1
 .
4
24
Для определения дифференциала функции воспользуемся формулой (2.6):
dy x0  f ' (0)dx 
1
dx.
4
1
1
Ответ: f ' (0)   ; dy x  0 
dx.
4
4
При определенных условиях определены производные и дифференциалы
старших порядков, в частности, второго порядка, при этом:
f ' ' ( x)   f ' ( x) '
(2.7.)
d 2 f  d 2 y  f ' ' ( x)dx ,
(2.8)
d2 f
xa
 d2y
xa
11
 f ' ' (a)dx
(2.9)
Пример 2.4. Для функции f ( x)  3x  2 найти производную второго порядка ( f ' ' ( x) ) и дифференциал второго порядка в точке x=2.
Решение. Сначала найдем первую производную:

'
f ' ( x)  (3x  2)1/ 2 
1
3
(3x  2) 1/ 2 (3x  2)'  (3x  2) 1/ 2 .
2
2
Далее воспользуемся (2.7):
'
33
3
 3 1
f ' ' ( x)   (3x  2) 1 / 2     (3x  2)  3 / 2 (3x  2)'  
.
3
2
 2 2
4  (3x  2)
Подставляем значение x=2: f ' ' (2)  
Наконец, используем (2.9): d 2 f
x2
33
4  (3  2  2)3


9
4 43

9
9
 .
48
32
9
dx
32
2.2. Дифференцирование функций двух переменных. При дифференцировании функции z  f ( x, y) по одной из независимых переменных (x или y)
вторая фиксируется и считается константой. Применяются уже знакомые правила (2.1)-(2.4) и формулы из таблицы производных, однако при записи обязательно указывается, по какой переменной происходит дифференцирование.
Так, для частной производной первого порядка по x используются обозначения
f ' x ( x, y ) или
f
f
( x, y ) . Аналогично запись f ' y ( x, y )  ( x, y ) обозначает
x
y
частную производную первого порядка по y.
Для полного дифференциала функции z  f ( x, y) в произвольной точке и в
фиксированной точке M(a;b) справедливы формулы:
df  f ' x ( x, y )dx  f ' y ( x, y )dy
df x a, y b  df M  f ' x (a, b)dx  f ' y (a, b)dy
12
(2.10)
(2.11)
Как и для функции одного переменного, можно находить частные производные старших порядков. Например, для частных производных второго порядка справедливы правила
f ' ' xx ( x, y )  ( f ' x )' x ( x, y ); f ' ' yy ( x, y )  ( f ' y )' y ( x, y );
f ' ' xy ( x, y )  ( f ' x )' y ( x, y );
f ' ' yx ( x, y )  ( f ' y )' x ( x, y ).
;
(2.12)
Полный дифференциал второго порядка (в произвольной или фиксированной точке) находится по формулам
d 2 f  f xx'' ( x, y)dx 2  2 f xy'' ( x, y)dxdy  f yy'' ( x, y )dy 2
d2 f
x  a, y  b
 d2 f
M
 f ' ' xx (a, b)dx2  2 f ' ' xy (a, b)dxdy  f ' ' yy (a, b)dy 2
(2.13)
(2.14)
Заметим, что если исходная функция удовлетворяет некоторым дополнительным свойствам, то справедливо равенство f ' ' xy ( x, y )  f ' ' yx ( x, y ) . В этом
случае говорят, что «смешанные производные второго порядка» совпадают,
или что «порядок дифференцирования не играет роли».
Пример 2.5. Найти частные производные (по x и по y) первого порядка
функции f ( x, y)  x y , выписать полный дифференциал этой функции.
Решение. Чтобы найти f ' x ( x, y ) , необходимо зафиксировать переменную
y. Тогда получаем степенную функцию от x (y - показатель степени), а потому
f ' x ( x, y)  yx y 1 . Фиксируя x, получаем показательную функцию от y, поэтому
f ' y ( x, y)  x y ln x . Применяя теперь формулу (2.10), получим:
df  yx y 1dx  x y ln xdy .
Пример 2.6. Найти в точке М(1;2) полный дифференциал функции
f ( x, y)  x 3  3xy 2  5 y  1 ).
Решение. Сначала находим частные производные первого порядка, используя (2.1)-(2.3):
13
f ' x ( x, y)  ( x 3  3xy 2  5 y  1)' x  ( x 3 )' x 3 y 2 ( x)' x (5 y  1)' x  3x 2  3 y 2 .
В данном случае числовые коэффициенты и переменная y выступали в роли
констант: во втором слагаемом они были вынесены за скобки при дифференцировании, а третье слагаемое от x не зависело – поэтому его производная по x
равна нулю. Аналогично ищем производную по y (фиксируем x):
f ' y ( x, y)  ( x 3 )' y 3x( y 2 )' y 5( y)' y (1)' y  6 xy  5 .
Здесь первое и четвертое слагаемые от y не зависят, их производные по y
равны нулю.
Теперь
вычисляем
f ' x (1;2)  3  1  3  2 2  15 ;
значения
производных
в
данной
точке:
f ' y (1;2)  6  1  2  5  7 .
Воспользовавшись (2.11), окончательно имеем: df M  15dx  7dy
Пример 2.7. Найти частные производные второго порядка функции
f ( x, y)  x ln( 5 x  3 y) и выписать полный дифференциал второго порядка в точ-
ке M(0;1).
Решение. Сначала находим частные производные первого порядка. Следует обратить внимание на то, что при фиксированном y функция представляет
собой произведение двух функций, зависящих от x, а при фиксированном x это
константа, умноженная на функцию от y. Применяя (2.1)-(2.3), имеем:
f ' y ( x, y )  x(ln( 5 x  3 y ))' y 
 3x
;
5x  3 y
f ' x ( x, y)  ( x)' x ln( 5 x  3 y)  x(ln( 5 x  3 y))' x  ln( 5 x  3 y) 
5x
.
5x  3 y
Теперь воспользуемся формулами (2.12), причем найдем лишь одну (любую) из смешанных производных:
f ' ' yx ( x, y)  (
 3x
(5 x  3 y)  5 x
9y
)' x  3

;
5x  3 y
(5 x  3 y) 2
(5 x  3 y) 2
14
5x
)' x 
5x  3 y
5
(5 x  3 y )  5 x
5
15 y

5


;
5x  3 y
5 x  3 y (5 x  3 y ) 2
(5 x  3 y ) 2
f ' ' xx ( x, y )  (ln( 5 x  3 y ) 

'
''
f yy
( x, y )  3x (5 x  3 y ) 1 y  3x  (1)(5 x  3 y )  2 (3) 
9
(5 x  3 y )
2
.
Находим частные производные второго порядка в заданной точке M(0;1):
f ' ' yx (0,1) 
f ' ' xx (1,1) 
9 1
(0  3  1) 2
''
 1; f yy
(0,1) 
9
(0  3  1) 2
 1;
5
15  1
5 15
5 5
10

     .
0  3  1 (0  3  1) 2
3 9
3 3
3
Чтобы выписать дифференциал второго порядка, используем (2.14):
d2 f
M

10 2
10
dx  2  (1)dxdy  (1)dy 2   dx2  2dxdy  dy 2 .
3
3
Замечание. При нахождении частных производных второго порядка в качестве проверки можно было найти вторую смешанную производную и убедиться, что результаты совпадают:


5x
3
)' y 
 5 x (5 x  3 y ) 1 y ' 
5x  3 y
5x  3 y
3
5 x(1)( 3)  3(5 x  3 y )  15 x
9y




 f ' ' yx ( x, y ).
2
2
5 x  3 y (5 x  3 y ) 2
(5 x  3 y )
(5 x  3 y )
f ' ' xy ( x, y )  (ln( 5 x  3 y ) 
2.3. Задания для самостоятельного решения
Упражнение 2.1. Найти f ' ( x) (если задано – то в точке):
x3
1) f ( x) 
 2x 2  4x  5;
3
x 2  3x  4
3) f ( x) 
;
x
2) f ( x)  x 
1
x2
4) f ( x)  e x / 2  e  x / 2 ;
15
 5 x , x=1;
5) f ( x)  (1  5 x) 99 ;
3
6) f ( x) 
9) f ( x) 
5x 4  4x  1
, x=0;
7) f ( x)  x 3  3 x ; 8) f ( x)  ln( x 4  3x  1) ;
cos x
, x   / 2 ; 10) f ( x)  sin 2 x ;
1  2 sin x
12) f ( x) 
sin x
x3  2
13) f ( x)  3 cos 3x ;
;
11) f ( x) 
1  2 ln x
, x=1;
x
14) f ( x)  e3x tg (3x  4) .
Упражнение 2.2. Найти дифференциал функции (если указано – то в заданной точке):
2) f ( x)  xe x , x  1;
1) f ( x)  x x 2  1 ;
4) f ( x) 
2
2
x  x9
,x=0; 5) f ( x) 
3x  4
3
x 2
3) f ( x) 
x
2
x 1
;
, x  1; 6) f ( x)  ln( 5x  cos 5 x)
Упражнение 2.3. Найти f ' ' ( x) :
1) f ( x)  ln( x  x 2  1) ;
2) f ( x)  x(sin ln x  cos ln x) :
3) f ( x)  cos2 2 x ;
4) f ( x)  sin 3x  sin 5x
Упражнение 2.4. Найти частные производные первого порядка:
1) f ( x, y)  x 4  3xy 3  5 x 2 y  4 x  6 y ;
3) f ( x, y ) 
3x  5 y
x  3y
2
2) f ( x, y )  x  xy 2  y 3 ;
4) f ( x, y)  cos(2 x  y  3xy  1) ;
;
2
5) f ( x, y)  e x 3xy5 y ;
6) f ( x, y)  ln( 3 y 2  xy  8 y  4) ;
7) f ( x, y)  x cos(5 x  6 y) ;
8) f ( x, y ) 
x
x y
2
.
Упражнение 2.5. Найти полный дифференциал функции в заданной точке:
1) f ( x, y)  x 5x  6 y ,М(2;1);
2) f ( x, y)  ln( x 2  4 x  5 y) , M(0;2);
3) f ( x, y)  ( x  y)e 3x5 y ,M(2;0);
4) f ( x, y)  sin(5 x  6 y  xy 2 ) , M(2;1).
16
Упражнение 2.6. Найти частные производные второго порядка:
1) f ( x, y)  x 3  3 y 2 x  xy  2 y ;
3) f ( x, y)  5x  3 y ;
2) f ( x, y)  y sin( 3x  2 y) ;
2
5) f ( x, y)  e x 5 y
4) f ( x, y)  ln( 3  xy ) ;
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
3.1. Экстремумы функции одного переменного. Пусть D(f) – область
определения функции y  f (x) и x0  D( f ) . Если для всех x из некоторой
окрестности точки
x0
выполняется неравенство
f ( x)  f ( x0 )  M
(или
f ( x)  f ( x0 )  m ), то число M (или m) называется локальным максимумом
(или локальным минимумом) функции y  f (x) , а сама точка x 0 - точкой локального максимума (локального минимума). Оба числа объединяются термином «экстремум функции» (соответственно, говорят и о «точках экстремума»). При поиске экстремумов и точек экстремума функции придерживаются
следующей схемы рассуждений.
1) Установить область определения функции y  f (x) .
2) Найти ее производную f ' ( x) .
3) Проверить необходимое условие экстремума, т.е. выяснить, в каких точках из области определения функции производная обращается в нуль (решить
уравнение f’(x) = 0 ) Такие точки называются стационарными. Найти значения
x, при которых функция определена, а производная – нет (совокупность таких
точек и стационарных называется множеством критических точек).
4) Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения. Из общего курса
математического анализа известно, что на тех интервалах, на которых f ' ( x)  0 ,
функция возрастает, а там, где f ' ( x)  0 — убывает.
17
5) Проверить достаточное условие экстремума (для точек из области определения): если при переходе через найденную точку x 0 производная знак не меняет, то x 0 не является точкой экстремума; если слева от
x0
f ' ( x)  0 , а
справа f ' ( x)  0 , то x 0 - точка максимума исходной функции и f max  f ( x 0 ) ;
если слева от x 0 f ' ( x)  0 , а справа f ' ( x)  0 , то x 0 - точка минимума исходной функции и f min  f ( x 0 ) .
Замечание. Если найденная точка x 0 не принадлежит области определения функции, то она в любом случае не является точкой экстремума, хотя характер монотонности (возрастание – убывание) функции измениться при переходе через нее может.
Пример 3.1. Найти экстремумы функции f ( x)  3x  x 3 .
Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее
производная имеет вид f ' ( x)  3  3x 2 и также определена при всех x. Из уравнения f ' ( x)  3  3x 2  0 находим стационарные точки: x1  1 , x 2  1 . Составляем таблицу для числовых интервалов и определяем знак производной.
Для этого, наряду с другими способами, можно ограничиться вычислением
значения производной в промежуточных точках полученных интервалов.
f ' (0)  3  0 ,
Например,
f ' (2)  3  3(2) 2  3  12  0 f ' (2)  3  3(2) 2  3  12  0 .
Данные собираем в таблицу:
x
Знак
f ' ( x)
Вывод
(;1)
–1
(1;1)
1
(1;)
—
0
+
0
—
т. мин.
т. макс.
18
Итак, f min  f (1)  3(1)  (1) 3  2 ,
f m a x  f (1)  3  1  2 . При этом ис-
ходная функция возрастает на интервале (1;1) и убывает на интервалах
(;1) , (1;) .
3
Пример 3.2. Найти экстремумы функции f ( x)  x 2 .
Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее
производная имеет вид f ' ( x) 
2
33 x
. При этом производная не определена там,
где в нуль обращается знаменатель, т.е. при x=0. Эта точка является критической. Стационарных точек нет, так как в числителе стоит число, и потому дробь
не обращается в нуль. Учитывая, что знак производной совпадает со знаком
3 x , а потому и со знаком
x, получаем, что слева от x=0 (там, где x<0)
f ' ( x)  0 (и функция убывает), а справа f ' ( x)  0 (и функция возрастает). По-
этому x=0 – точка минимума исходной функции, и f min  f (0)  0 .
3.2. Наибольшее и наименьшее значение функции одного переменного
на числовом интервале. При решении ряда задач важную роль играют следующие утверждения.
Теорема о непрерывной на отрезке функции. Если функция y  f (x)
определена и непрерывна на числовом отрезке [a;b], то она достигает своих
максимального и минимального значений в точках этого отрезка, т.е. существует x1  [a, b] и x 2  [a, b] такие, что
min f ( x)  f ( x1 ) ,
x[ a;b]
max f ( x)  f ( x 2 ) .
x[ a;b]
Теорема о функции с единственной стационарной точкой. Пусть функция y  f (x) определена на открытом числовом интервале (a;b) и имеет на нем
единственную стационарную точку x 0 . Если x 0 - точка локального максимума,
19
то
max f ( x)  f ( x 0 ) ;
x( a;b)
если
x0
- точка локального минимума, то
min f ( x)  f ( x 0 ) .
x( a;b)
Первая из теорем позволяет построить алгоритм решения задачи на поиск
наибольшего и наименьшего значения функции
f (x) ,
определенной и непрерыв-
ной на заданном отрезке [a;b]. Этот алгоритм заключается в следующем.
1) Найти производную f ' ( x) .
2) Найти критические точки исходной функции и выбрать те из них, которые принадлежат отрезку [a;b].
3) Сравнить значения функции в найденных точках и на границах (т.е. в
точках x=a, x=b), выбрать наибольшее и наименьшее значения. Характер экстремума не определять!
Пример 3.3. Найти наибольшее и наименьшее значения f ( x) 
4 3
x  3x 2
3
на отрезке [1;4].
Решение.
f ' ( x)  4 x 2  6 x  2 x(2 x  3) , причем производная определена
всюду, критических точек нет. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем
производную к нулю: 2 x(2 x  3)  0 . Итак, x  3 / 2 и x  0 - стационарные точки. При этом 3 / 2  [1;4] , а x  0[1;4] , поэтому последняя точка нас не интересует. Сравниваем значения исходной функции в выбранной точке и на концах
отрезка:
f (1) 
4
5
3 ;
3
3
3 4  27 3  9 9 27
9
f( )

 
 ;
2
38
4
2 4
4
f (4) 
4  64
112
 3  16 
.
3
3
20
3
9
112
Итак, min f ( x)  f ( )   , max f ( x)  f (4) 
.
2
4 x[1;4]
3
x[1;4]
При решении задач практического характера помогает теорема о единственной стационарной точке.
Пример 3.4. Предприятие выпускает некий товар в объеме, превосходящем
1 экземпляр. Издержки производства (в у.е.) зависят от объема выпущенного
товара ( x ) и определяются формулой f ( x)  4  15 x . Спрос (цена на товар)
также
зависит
от
объема
производства
и
определяется
формулой
g ( x)   x 2  20 x  2 . Найти объем производства товара, при котором прибыль
будет максимальна.
Решение. В данной задаче необходимо сначала составить функцию, связывающую прибыль и объем производства товара, а также определить интервал,
на котором функция будет исследоваться. Прибыль – это разница между выручкой за проданный товар и издержками. Выручка определяется как объем
проданного товара, умноженный на его цену. Таким образом, функция, максимум которой нас интересует, определена на интервале (1;) и имеет вид
F ( x)  x( x 2  20 x  2)  (4  15 x)   x 3  20 x 2  13 x  4 .
Найдем
производную
F ' ( x)  3x 2  40 x  13  0 .
этой
функции
Решив
и
квадратное
приравняем
уравнение,
к
нулю:
находим:
x1  13, x 2  1 3 . Очевидно, что условию задачи удовлетворяет только первое
значение (13>1, 1/3<1). Сравнив знаки производной слева и справа от точки
x1  13 (сделайте это самостоятельно!), получаем, что x1  13 - точка максиму-
ма, поэтому
max F ( x)  F (13)  133  20  13 2  13  13  4  1010 .
x(1;)
Итак, при объеме производства в 13 единиц прибыль будет максимальной
и составит 1010 у.е.
21
3.3. Локальные безусловные экстремумы функции двух переменных.
Сразу отметим, что само определение локальных экстремумов функции
z  f ( x, y) фактически не отличается от случая функции одного переменного
y  f ( x) (только теперь точками локального экстремума будут точки вида
M ( x0 , y0 ) ). Алгоритм поиска точек экстремума и экстремумов функции двух
переменных состоит в следующем.
1) Установить область определения функции.
2) Найти ее частные производные первого порядка и приравнять их к ну f ' x ( x, y )  0
лю, т.е. решить систему уравнений 
(эти решения дадут координаf
'
(
x
,
y
)

0
 y
ты стационарных точек исходной функции).
3) Найти частные производные второго порядка для исследуемой функции
и вычислить их значения в найденных стационарных точках вида M ( x0 , y0 ) .
4) Вычислить для каждой стационарной точки числовые характеристики:
  f ''xx ( x0 , y0 )  f '' yy ( x0 , y0 )   f '' xy ( x0 , y0 )  ,
2
  f '' xx ( x0 , y0 ).
5) Если   0,   0 , то M ( x0 , y0 ) - точка локального минимума исходной функции и f min  f ( x0 , y0 ) ; если   0,   0 , то M ( x0 , y0 ) - точка локального максимума исходной функции и f max  f ( x0 , y0 ) ; во всех остальных случаях M ( x0 , y0 ) не является точкой экстремума.
Пример 3.5. Найти экстремумы функции f ( x, y)  1  15 x  2 x 2  xy  2 y 2 .
Решение. Функция определена при всех значениях (x,y). Найдем частные
производные первого порядка, и, приравняв к нулю, решим систему уравнений:
f ' y ( x, y)   x  4 y ;
f 'x ( x, y )  15  4 x  y ,
22
15  4 x  y  0 15  4(4 y)  y  0 15  15 y  0


.

x


4
y
x


4
y
 x  4 y  0


Отсюда получаем, что y = -1 и x = 4.
Итак, найдена стационарная точка M(4;-1). Находим частные производные
второго порядка: f xy'' ( x, y)  (15  4 x  y)' y  1, f xx'' ( x, y)  (15  4 x  y)'x  4 ;
f yy'' ( x, y)  ( x  4 y)' y  4 . В данном случае производные от x, y не зависят, поэтому и для стационарной точки M(4;-1) имеем: f xx'' (4; 1)  4 ; f yy'' (4; 1)  4 ;
f xy'' (4; 1)  1. Далее,   (4)  (4)  (1)2  16  1  15  0 , поэтому M(4;-1) является точкой локального экстремума исходной функции. Поскольку
  4  0 , то M(4;-1) – точка локального максимума исследуемой функции и
f max  f (4; 1)  1  15  4  2  42  4  (1)  2(1) 2  1  60  32  4  2  31.
Пример 3.6. Найти экстремумы функции f ( x, y)  x3  y 3  3xy , считая,
что x>0 и y>0.
Решение. Область определения функции задана в условии. Найдем частные производные первого порядка:
f x' ( x, y)  3x 2  3 y , f y' ( x, y)  3 y 2  3x . Да-
лее, решаем систему уравнений (учитывая условие x>0, y>0):
2
 y  x2
3x 2  3 y  0 
y 1
 yx
 2 2
 3

 2
( x )  x  0  x( x  1)  0  x  1
3 y  3x  0 
Итак, определена стационарная точка M(1;1). Находим частные производные второго порядка: f xx'' ( x, y )  6 x ; f yy'' ( x, y)  6 y ; f xy'' ( x, y)  3 . Вычисляем их
значения в точке M: f xx'' (1;1)  6 ;
f yy'' (1;1)  6 ; f xy'' (1;1)  3 . Теперь находим ха-
рактеристики  и . Так как   36  9  27  0 , то M(1;1) – точка экстремума;
23
поскольку   6  0 , то рассматриваемая точка является точкой локального минимума исходной функции и f min  f (1;1)  1 .
3.4. Понятие об условном экстремуме функции двух переменных. При
решении примера 3.6 мы столкнулись с тем, что на переменные было наложено
дополнительное ограничение. Фактически это была задача поиска условного
экстремума функции f ( x, y) , которая в общем случае ставится следующим образом: найти экстремумы функции z  f ( x, y) , если известно, что переменные
удовлетворяют условиям 1 ( x, y )  0 ,  2 ( x, y)  0 ,...,  n ( x, y)  0 . Для решения
подобных проблем существует специальная теория, однако в некоторых ситуациях задачу удается свести к поиску обычного экстремума функции одного переменного.
Пример 3.7. Найти экстремум функции f ( x, y)  x3  xy  2 y при условии
x  y  3  0.
Решение. Из условия выразим y и подставим в формулу, задающую функцию: y  3  x , а потому, вводя вспомогательную функцию F(x), имеем:
F ( x)  f ( x,3  x)  x3  x(3  x)  2(3  x)  x3  x 2  5x  6 .
Полученную функцию одного переменного исследуем по схеме, разобранной в п.3.1. Функция F ( x) определена при всех x. Приравнивая к нулю ее производную, получаем: F '( x)  3x 2  2 x  5  0  x  1, x  5/ 3 (решили квадратное уравнение). Далее определяем знаки производной на найденных числовых
интервала и строим таблицу:
x
(; 5/ 3)
-5/3
(5/ 3;1)
1
(1; )
F '( x)
+
0
—
0
+
Вывод
F ( x) возр.
Т. макс.
F ( x) убыв.
Т. мин.
F ( x) возр.
24
Для полученных значений x найдем соответствующие им значения y: при
x=1 y=2; при x=-5/3 y=14/3. Доказываемые в общем курсе математического
анализа утверждения позволяют говорить о том, что точка M(1;2) будет точкой
условного локального минимума, а точка N(-5/3;14/3) – точкой условного локального максимума функции f ( x, y) . Соответственно,
f min  f (1;2)  1  2  4  3 ,
f max  f (5/ 3;14 / 3) 
25
125 5 14
14 337
.

2 
27
33
3
27
3.5. Задания для самостоятельного решения.
Упражнение 3.1. Найти экстремумы данных функций:
1) f ( x)  x  ln x ; 2) f ( x)  2 x 2  x 4  5 ; 3) f ( x)  xe 3x ; 4) f ( x)  xe  x ;
5) f ( x)  x  x x ; 6) f ( x)  (2  x)( x  1) 2 ; 7) f ( x)  x 3  3x 2  24 x  72 .
Упражнение 3.2. Найти наибольшее и наименьшее значение заданной
функции на предложенном отрезке:
1) f ( x)  x 3  6 x 2  15 x  2 , а) x [2;6] ; b) x [2;3] ; c) x [0;2] ;
d) x [4;6]
2) f ( x)  x 
4
x
2
3) f ( x)  x 2  4 x  6 , x [3;5] ;
, x [1;3] ;
1
5) f ( x)  x  , x [0,01;100] ;
x
4) f ( x)  x 4  2 x 2  3 , x [3;2] ;
6) f ( x)  xe  x , a) x [0;2] ; b) x [2;3] ;
7) f ( x)  5  4 x , x [1;1]
3
8) f ( x)  3 x 2  63 x  4 x  8 , x [1;8]
Упражнение 3.3.Найти локальные безусловные экстремумы функций:
1) f ( x, y)  4 x  4 y  x 2  y 2 ;
2) f ( x, y)  x 2  xy  y 2  x  y  1 ;
3) f ( x, y )  x 2  xy  y 2  10 ;
4) f ( x, y)  2 xy  5 x 2  3 y 2  2 ;
5) f ( x, y)  x 2  xy  y 2  12 x  12 y ;
6) f ( x, y)  ( x  5) 2  y 2  1 ;
7) f ( x, y)  1  6 x  x 2  xy  y 2 ;
8) f ( x, y)  y x  2 y 2  x  14 y ;
9) f ( x, y)  3x 3  3 y 3  9 xy  10 ( x  0 ).
Упражнение 3.4. Найти условные экстремумы функций:
1) f ( x, y)  x 2  y 2  xy  x  y  4 при x  y  3  0 ;
2) f ( x, y ) 
1 1

при x  y  2 ;
x y
3) f ( x, y)  xy при x  y  1  0 .
26
Упражнение 3.5. Решить следующие задачи:
1) Издержки производства товара определены функцией g ( x)  4  15 x , цена на товар - функцией f ( x)   x 2  20 x  2 . Известно, что объем производства
x может меняться в пределах от 10 до 20 тысяч штук. Найти объем производства, максимизирующий прибыль, и значение максимальной прибыли.
2) Требуется огородить прямоугольную площадь вдоль выстроенной стены.
Стоимость работ по ограждению стороны, параллельной стене, равна 60 рублей
за метр, стоимость работ по ограждению двух других сторон составляет 90 рублей за метр. Какая максимальная площадь может быть огорожена, если можно
истратить 10800 рублей?
3) Прямоугольный участок разделен перегородкой, параллельной меньшей
из сторон. Стоимость установки внешнего ограждения 900 рублей за метр, перегородки – 1600 рублей за метр. Общая площадь участка равна 153 кв.м.
Определить размеры участка, минимизирующие стоимость строительства.
§ 4. ПОНЯТИЕ О ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ
4.1. Необходимые определения. Задачи, рассмотренные в § 3, представляют собой частный случай поисков оптимального (наибольшего или наименьшего) значения некоторой функции (без ограничений на область определения или
при определенных условия). В общей ситуации подобные задачи формулируются следующим образом.
Установить, при каких значениях аргументов
x1 , x 2 ,..., x n
функция
f ( X )  f ( x1 , x 2 ,..., x n ) достигает своего максимума или минимума (т.е.
f ( X )  f ( x1 , x 2 ,..., x n )  max(min) ), если при этом должны выполняться опре-
деленные условия. Эти условия называются системой ограничений, сама исследуемая функция – целевой функцией. Вектор X  ( x1 , x 2 ,..., x n ) называется
допустимым решением, если он удовлетворяет всем требованиям системы
27
ограничений. Совокупность всех допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР) рассматриваемой задачи. Допустимое решение называют оптимальным, если соответствующее ему значение функции и есть требуемое (максимальное или минимальное, в соответствии с постановкой задачи).
В задачах, упомянутых выше, исследование опиралось непосредственно на методы математического анализа. Теперь интересно разобрать, как «работают»
методы линейной алгебры и аналитической геометрии, основные понятия которых были разобраны в первой части данного пособия.
4.2. Понятие о линейном программировании. В случае, когда и функция,
и ограничения линейны, говорят о задаче линейного программирования. В
общей ситуации для функции нескольких (n) переменных и m условий, которым эти переменные должны удовлетворять, такая задача имеет вид:
f ( x1 , x 2 ,..., x n )  c1 x1  c 2 x 2  ...  c n x n  max(min)
 a11 x  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
 a x  a x  ...  a x  b
22 2
2n n
2
 21
...

a x  a x  ...  a x  b
m2 2
mn n
m
 m1

xi  0, i  1,2,..., n
(4.1)
Все коэффициенты в (4.1) – числа, а вместо значка
из знаков:
, , , ,  .

может стоять любой
В упрощенном (матричном) виде (4.1) выглядит следую-
щим образом:
f ( X )  max(min),
 AX  B

 X 0
.
К задаче линейного программирования сводятся многие экономические задачи, например, задачи об использовании ресурсов, о распределении запасов, о
составе кормовых смесей и т.д. При составлении математической модели отвечают на следующие вопросы:
28
- что является переменными этой задачи, каким ограничениям они удовлетворяют (в соответствии с условиями задачи);
- в чем состоит цель задачи, как выглядит и к чему должна стремиться целевая функция;
Пример 4.1. Составить математическую модель для решения следующей
задачи. На фабрике производится продукция двух типов. Для производства
единицы продукции первого типа требуются 2 часа работы станка A, 1 час работы станка B и 1 час на завершающие операции. Для производства единицы
продукции второго типа требуются 1 час работы станка A, 1 час работы станка
B и 3 часа на завершающие операции. В течение недели станок A может работать не более 70 часов, станок B не более 40 часов. На завершающие операции
выделяется ровно 90 часов. Доход от продажи единицы продукции первого типа 4 у.е., от продажи единицы продукции второго типа 6 у.е. Сколько продукции первого и второго типа следует производить за неделю, чтобы доход был
максимальным?
Решение. Очевидно, что в качестве переменных x1 и x2 следует взять количество (в единицах) продукции первого и второго (соответственно) типа. При
этом x1  0 , x 2  0 , а целевая функция (доход, который должен быть максимальным) имеет вид f ( x1 , x 2 )  4 x1  6 x 2  max . Теперь обратим внимание на
условия, диктующие ограничения на переменные. Для производства обоих видов продукции станок A должен работать 2 x1  1x 2 часов, станок В 1x1  1x 2 y
часов и на завершающие операции требуется 1x1  3x 2 . Учтем указанные в задаче возможности работы станков, и получаем:
f ( x, y )  4 x1  6 x1  max ,
29
2 x1  x 2  70
 x  x  40
 1
2
.

 x1  3 x 2  90
 x1  0, x 2  0
4.3. Графическое решение некоторых задач линейного программирования. Из разнообразия методов, существующих для решения таких задач (см. об
этом в [5]), выберем для иллюстрации лишь один, применяемый к функциям
двух переменных и использующий идеи аналитической геометрии, которые
были рассмотрены в методических указаниях [6]. В данном случае задача линейного программирования (4.1) имеет вид
f ( x, y )  c1 x  c 2 y  max(min)
 a11 x  a12 y  b1
 a x  a yb
22
2
 21
...

a x  a y  b
m2
m
 m1

x  0, y  0
(как и раньше, вместо значка

.
может стоять любой из знаков:
(4.2)
, , , ,  ).
Область допустимых решений такой задачи строится как решение системы
линейных неравенств, фигурирующих в системе ограничений. При этом, как
отмечено в [6, п.5.5], неравенство y  kx  b определяет полуплоскость, лежащую ниже прямой y  kx  b , а неравенство y  kx  b – полуплоскость, лежащую выше этой прямой. Если ОДР пуста, то задача решений не имеет. Если
же ОДР удается найти, то, как пересечение полуплоскостей, она является выпуклым множеством (т.е. множеством, которое вместе с двумя любыми своими точками содержит отрезок, заключенный между ними).
ОДР является ограниченной, если ее можно заключить в некоторый круг
конечного радиуса с центром в начале координат. ОДР является замкнутой,
если она содержит все свои границы (т.е. все ограничения являются нестрогими неравенствами). Вершинами ОДР являются точки, лежащие на пересечении прямых, служащих границами области.
Прямая c1 x  c 2 y  C (коэффициенты при x, y – это коэффициенты целевой
функции, постоянная C пробегает все множество вещественных чисел) называ30
ется линией уровня. Линии уровня образуют семейство параллельных прямых
с общим вектором нормали n  (c1, c2 ) . Опорной прямой называется линия
уровня, которая имеет с областью допустимых решений хотя бы одну общую
точку, и по отношению к которой область допустимых решений оказывается
полностью в одной из полуплоскостей (на которые прямая делит всю декартову
плоскость). Опорная прямая может иметь с областью допустимых решений одну общую точку или совпадать с отрезком границы. Область допустимых решений имеет не более двух опорных прямых!
Теорема о значениях целевой функции. Значения целевой функции на
линиях уровня возрастают, если линии уровня перемещаются в направлении
нормали n  (c1 , c 2 ) , и убывают при перемещении линий уровня в противоположную сторону.
Теорема об оптимальных значениях. Если область допустимых решений
задачи (4.2) непустая и ограниченная, то целевая функция f ( x, y ) достигает с
максимального (минимального) значения в одной из вершин этой области.
Опираясь на эти определения и утверждения, можно сформулировать следующий алгоритм графического решения задачи линейного программирования
с двумя неизвестными.
1) Построить область допустимых решений, решив графически систему линейных неравенств из (4.2).
2) Построить вектор нормали и линию уровня, проходящую через начало
координат (прямую c1 x  c 2 y  0 ).
3) Линию уровня переместить до положения опорной прямой.
При движении по нормали задача на минимум имеет оптимальное решение
в точке (или на отрезке), через которую проходит первая из полученных опорных прямых, а задача на максимум достигает оптимума на второй опорной
прямой (при движении против нормали все наоборот). Если же линии уровня
31
смещаются в бесконечность, то задача не имеет решения в силу неограниченность целевой функции ( f ( X )   для задачи на максимум и
f ( X )  
для за-
дачи на минимум).
Замечание 1. После нахождение оптимальных решений необходимо найти
оптимальное значение целевой функции.
Замечание 2. Если область допустимых решений замкнута и ограничена, то
вместо построения линий уровня и опорных прямых достаточно определить координаты всех ее вершин, найти значения целевой функции в этих точках и выбрать из них наибольшее (наименьшее). Однако такое метод является более
трудоемким.
Пример 4.2. Решить задачи линейного программирования
f ( x, y )  5 x  y  max(min),
 x  y 1
а) 
 y  2x
 y  0, x  0

f ( x, y )  5 x  y  max(min),
 x  y 1
b) 
y  2x

 y  0,0  x  3

.
Решение. Системы ограничений в задачах совпадают с системами линейных неравенств из примера 5.8 в [6], поэтому считаем, что области допустимых
решений уже найдены.
Для задачи a) на рисунке 4.1 штриховкой изображена область допустимых решений. Она не пустая, но не является ограниченной. Строим вектор нормали n  (5;1) . Прямая (1) соответствует
линии уровня 5 x  y  0 . Перемещая ее до положения первой опорной прямой (прямая (2)), замечаем, что движение идет в направлении нормали. При этом второй опорной прямой нет, линия уровня уходит в бесконечность.
32
Таким образом, максимального значения целевая функция не достигает, а ми1 2
нимального достигает в точке B. При этом f min  f ( B)  f ( 1 ; 2 )  5    1.
3 3
3 3
Переходим к задаче б).
Ее область
допустимых решений изображена штриховкой на рисунке 4.2 и представляет собой многоугольник ABDC, т.е. является
ограниченной. Как сама область, так и
координаты ее вершин были найдены
при решении примера 5.8 (б). В силу Замечания 2 достаточно найти значения
целевой функции в вершинах и сравнить
их
между
собой:
f (C )  f (3,0)  15 ,
f ( A)  f (1;0)  5 ;
f ( B)  f ( 1 ; 2 )  1,
3 3
f ( D)  f (3,6)  15  6  9 .
Таким образом, f min  f ( B)  1 , f max  f (C )  15 .
Задачу б) можно было решить и с помощью линий уровня и опорных прямых. Необходимые построения также приведены на рисунке 8.2. Здесь (1) – линия уровня 5 x  y  0 , N – вектор нормали, (2) и (3) – опорные прямые, полученные при перемещении линии уровня по направлению нормали. Поэтому
максимум достигается в точке C, минимум – в точке B.
4.4. Задания для самостоятельного решения.
Упражнение 4.1. Составить математические модели для следующих задач.
1) Компания добывает из двух типов руды минералы A, B. Количество минералов, извлекаемых из руды каждого типа, а также стоимость тонны каждого
сырья приведены в таблице 4.1. Необходимо произвести по крайней мере 3
33
тонны минерала A и 2 тонны минерала B. Сколько тонн руды каждого типа
надо закупить, чтобы выполнить задачу с минимальными затратами на покупку?
Руда типа I
Руда типа II
Минерал A
100 кг
200 кг
Минерал B
150 кг
50 кг
Цена 1 тонны
50 у.е.
60 у.е.
Таблица 4.1
2) При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать сено (не более 50 кг) и силос (не более 85 кг). Рацион должен содержать не
менее 1 кг белка, не более 100 г кальция и ровно 80 г фосфора. Данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и о себестоимости продуктов приведены в таблице 4.2. Определить рацион кормления с
минимальной себестоимостью.
Сено
Силос
Белки, г/кг
40
10
Кальций, г/кг
1,25
2,5
Фосфор, г/кг
2
1
Себестоим., руб/кг
1,2
0,8
Таблица 4.2
3) Для производства «любительской» и «ливерной» колбас закуплены мясо,
сало, ливер. Данные о запасах сырья, компонентах, необходимых для производства 10 кг колбасы каждого вида, прибыли от продажи приведены в таблице
4.3. Определить план выпуска колбас, приносящий максимальную прибыль.
Таблица 4.3.
Сырье
Запас
Любительская
Ливерная
Мясо, кг
360
6
1
Сало, кг
300
3
2
34
Ливер, кг
100
Прибыль, руб. за 10кг
35
1
7
120
70
Упражнение 4.2. Решить графически задачи линейного программирования:
 x y6

1) f ( x, y )  5 x  6 y  max(min),  x  2 y  0 ;
 y  0, x  2

 x  y 1

2) f ( x, y )  2 x  3 y  max(min),  x  y  5 ;
 x  0, y  0

 x y6

3) f ( x, y )  3x  2 y  max(min),  x  2 y  0
 x  2, x  0

 x  4y  4

4) f ( x, y )  2 x  5 y  min(max),  2 x  y  2 ;
 y  0, x  0

3x  y  3

5) f ( x, y )  5 x  3 y  max(min),  x  y  9 ;
 y  1, x  0

6) f ( x, y )  5 x  y  max(min),
 x  2y  4

 x  2y  0 ;
 y  0, x  0

 x  3y  6

7) f ( x, y )  y  x  max(min),  x  3 y  6 ;
 y  0, x  3

36
8) f ( x, y )  5 x  6 y  max(min),
9) f ( x, y )  5 x  y  max(min),
3x  2 y  24

2 x  3 y  24 ;
 y  0, x  0

 x  2y  4

 x  2y  0 ;
 y  0, x  6

 x  y 1

10) f ( x, y )  2 x  3 y  max(min),  x  y  5 ;
 x  0, y  0

 x  y  3
 x y0

11) f ( X )  x  2 y  max(min) ,  x  2 y  12 .
 4x  y  0

 x  0, y  0
37
ОТВЕТЫ
§1
Упражнение 1.1.
1) (1;7) ;
2) x  1 ;
определена; 7) [2;5] ;
3) x 
k
2
;
4) [1;6) ;
8) x  1 / 5 ; 9) x 

4

5) x  5 ;
6) функция не
k
, k Z ;
2
10) (;) .
Упражнение 1. 2.
1) нечетная; 2) нечетная; 3) четная; 4) четная; 5) функция общего вида;
6) функция общего вида; 7) функция общего вида; 8) четная; 9) нечетная;
10) функция общего вида; 11) нечетная;12) четная.
§2
Упражнение 2.1.
1) f ' ( x)  x 2  4 x  4 ;
4) f ' ( x) 
e x / 2  ex / 2
;
2
7) f ' ( x)  3x 2  3 x ln 3 ;
10) f ' ( x)  sin 2 x ;
13) f ' ( x) 
 sin 3x
3
cos2 3x
2) f ' (1)  6 / 5 ;
3 x
3
2


;
3
2
2 x
x
5) f ' ( x)  495(1  5 x) 98 ; 6) f ' (0)  6 ;
8) f ' ( x) 
11) f ' (1)  1 ;
;
3) f ' ( x) 
4x3  3
4
x  3x  1
;
12) f ' ( x) 
9) f ' ( / 2)  1 / 3 ;
( x 3  2) cos x  3x 2 sin x
3
( x  2)
2


1
.
14) f ' ( x)  3e3x  tg (3x  4) 
2

cos (3x  4) 

38
;
Упражнение 2.2.
1) df 
2x 2  1
x2 1
dx
1
; 4) df x  0   dx ;
27
( x 2  1) 3
dx ; 2) df x 1  edx ; 3) df  
4
5) df x 1  dx ;
3
6) df 
5(1  sin 5 x)
dx .
5 x  cos 5 x
Упражнение 2.3.
1) f ' ' ( x) 
x
2
( x  1)
3
2) f ' ' ( x) 
;
2 cos ln x
;
x
3) f ' ' ( x)  8 cos 4 x ;
4) f ' ' ( x)  2 cos 2 x  32 cos8 x .
Упражнение 2.4.
1) f ' x ( x, y)  4 x 3  3 y 3  10 xy  4 , f ' y ( x, y )  9 xy 2  5 x 2  6 .
2) f ' x ( x, y ) 
3) f ' x ( x, y ) 
1 y2
2
2 x  xy  y
3
, f ' y ( x, y) 
9y2  5y
, f ' y ( x, y ) 
2 2
(x  3y )
4) f ' x  (2  3 y) sin( 2 x  y  3xy) ,
2 xy  3 y 2
2
2 x  xy  y
15 y 2  18 xy  5 x
2 2
(x  3y )
f ' y  (3x 
1
2 y
3
.
.
) sin( 2 x  y  3xy ) .
2
2
5) f ' x ( x, y)  (2 x  3 y)e x 3xy5 y , f ' y ( x, y)  (3x  5)e x 3xy5 y .
6) f ' x ( x, y ) 
y
2
3 y  xy  8 y  4
, f ' y ( x, y ) 
7) f ' x ( x, y )  cos( 5 x  6 y )  5 x sin( 5 x  6 y ) ,
8) f ' x ( x, y ) 
2y2  x
2 3
2 (x  y )
, f ' y ( x, y ) 
39
6y  x  8
2
3 y  xy  8 y  4
.
f ' y ( x, y )  6 x sin( 5 x  6 y ) .
 xy
2 3
(x  y )
.
Упражнение 2.5.
21
3
2
1
1) df M  dx  dy ; 2) df M 
dx  dy ; 3) df M  7e 6 dx  9e 6 dy ;
5
2
4
2
4) df M  6 cos6dx  2 cos6dy .
Упражнение 2.6.
1) f ' ' xx ( x, y )  6 x , f ' ' xy ( x, y )  6 y  1 , f ' ' yy ( x, y )  6 x ;
2) f ' ' xx ( x, y )  9 y sin( 3x  2 y ) , f ' ' xy ( x, y )  3 cos( 3x  2 y )  6 y sin( 3x  2 y ) ,
f ' ' yy ( x, y )  4 cos( 3x  2 y )  4 y sin( 3x  2 y ) ;
3) f ' ' xx ( x, y ) 
f ' ' yy ( x, y ) 
 25
4 (5 x  3 y )
9
4 (5 x  3 y )
4) f ' ' xx ( x, y ) 
3
15
4 (5 x  3 y )
3
,
;
 y2
(3  xy )
3
, f ' ' xy ( x, y ) 
2
, f ' ' xy ( x, y ) 
2
5) f ' ' xx ( x, y)  2(1  2 x 2 )e x 5 y ,
3
(3  xy )
2
, f ' ' yy ( x, y) 
 x2
(3  xy )
2
;
2
f ' ' xx ( x, y)  10 xe x 5 y ,
2
f ' ' yy ( x, y)  25e x 5 y .
§3
Упражнение 3.1.
1) f min  f (1)  1 ;
3) f min  f (
1 1
;
)
3
3e
2) f min  f (0)  5 ,
1
4) f max  f (1)  ;
e
6) f min  f (1)  0 , f max  f (1)  4 ;
7) f min  f (4)  8 , f max  f (2)  100 ;
40
f max  f (1)  f (1)  6 ;
4
4
5) f max  f ( ) 
;
9
27
Упражнение 3.2.
1 а)
1 b)
min
f ( x)  f (5)  98 ; max
min
f ( x)  f (3)  70 ; max f ( x)  f (1)  10
x[ 2;6]
x[ 2;3]
x[2;6]
f ( x)  f (1)  10
x[2;3]
1 с) min f ( x)  f (2)  44 ; max f ( x)  f (0)  2
x[0;2]
x[0;2]
1 d) min f ( x)  f (5)  98 ; max f ( x)  f (6)  88
x[ 4;6]
x[4;6]
2) min f ( x)  f (2)  3 ; max f ( x)  f (1)  5
x[1;3]
3)
4)
5)
x[1;3]
min
f ( x)  f (2)  2 ; max f ( x)  f (3)  27
min
f ( x)  f (1)  f (1)  2 ; max
x[ 3;5]
x[ 3;5]
x[ 3;2]
x[ 3;2]
min
x[0,01;100]
f ( x)  f (1)  2 ;
max
x[0,01;100]
f ( x)  f (3)  66
f ( x)  f (100)  f (0,01)  100,01
6 a) min f ( x)  f (0)  0 ; max f ( x)  f (1)  1 / e
x[0;2]
x[0;2]
6 b) min f ( x)  f (2)  2 / e 2 ; max f ( x)  f (3)  3 / e
x[2;3]
x[ 2;3]
7) min
f ( x)  f (1)  1 ; max f ( x)  f (1)  3
8)
f ( x)  f (1 / 8)  7,8 ; max f ( x)  f (8)  24
x[ 1;1]
min
x[ 1;8]
x[1;1]
x[ 1;8]
Упражнение 3.3.
1) f max  f (2;2)  8 ; 2) f min  f (1;1)  0 ;
4) f max  f (0;0)  2 ;
5) f min  f (4;4)  48 ;
7) f max  f (4;2)  13 ; 8) f max  f (4;4)  28 ;
3) f min  f (0;0)  10 ;
6) f min  f (5;0)  1 ;
9) f min  f 1;1  10 .
Упражнение 3.4.
  3  3 1
;
1) f min  f 
;

 2 2  27
1 1 1
2) f min  f (1;1)  2 ; 3) f max  f  ;  
2 2 4
41
Упражнение 3.5.
1) Максимальная прибыль 910 у.е. при объеме производства 13 тыс.штук;
2) 2700 м2 (длина стороны, параллельной стене, 90 м, длина перепендикулярной стороны 30 м);
3) длины сторон участка 17 и 9 м.
§4
Упражнение 4.1.
1) Пусть x –количество тонн руды I типа, y – количество тонн руды II типа.
Задача линейного программирования имеет вид
f ( x, y )  50 x  60 y  min,
100 x  200 y  3000

 150 x  50 y  2000

x  0, y  0

f ( x, y )  50 x  60 y  min,
 x  2 y  30
или 
 3x  y  4
 x  0, y  0

;
2) Пусть x –количество сена (в кг), y – количество силоса (в кг). Тогда целевая функция имеет вид f ( x, y)  1,2 x  0,8 y  min , а система ограничений –
 40 x  10 y  100
1,25 x  2,5 y  100

.
 2 x  y  80
 x  50, y  85

 x  0, y  0
3) Пусть x –количество «любительской» колбасы (в десятках кг), y – количество «ливерной» колбасы (в десятках кг). Тогда f ( x, y)  120 x  70 y  max ,
 6 x  y  360
3x  2 y  300

.

x

7
y

100

 x  0, y  0
42
Упражнение 4.2.
1) f max  f (4;2)  32 ; f min  f (2;0)  10
2) область допустимых решений пуста
3) f max  f (0;6)  12 ; f min  f (2;1)  4
4) область допустимых решений пуста
5) f max  f (8;1)  37 ; f min  f (3 / 2;15 / 2)  15
6) f min  f (2;1)  11 ; f max не существует (область допустимых решений неограниченная)
7) f max  f (3;3)  0 ; f min не существует (область допустимых решений неограниченная)
8) f max  f (0;12)  72 ; f min  f (0;0)  0
9) f min  f (2;1)  11 ;
f max  f (6;3)  33
10) f min  f (1;0)  2 ;
f max  f (0;5)  15
11) f min  f (0;0)  0 ;
f max  f [ AB]  12, A(2;5), B(4;4)
43
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................. 1
§ 1. СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ .................................................. 3
1.1. Область определения, основные свойства. .................................................... 3
1.2. Графики функций, их преобразование. .......................................................... 4
1.3. Задания для самостоятельного решения. ....................................................... 7
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ............................................................ 8
2.1. Функции одного переменного. ........................................................................ 8
2.2. Дифференцирование функций двух переменных........................................ 12
2.3. Задания для самостоятельного решения ...................................................... 15
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К
ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ ............................................................................. 17
3.1. Экстремумы функции одного переменного. ................................................ 17
3.2. Наибольшее и наименьшее значение функции одного переменного на
числовом интервале. .............................................................................................. 19
3.3. Локальные безусловные экстремумы функции двух переменных. ........... 22
3.4. Понятие об условном экстремуме функции двух переменных. ................ 24
3.5. Задания для самостоятельного решения. ..................................................... 26
§ 4. ПОНЯТИЕ О ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ................................................... 27
4.1. Необходимые определения. ........................................................................... 27
4.2. Понятие о линейном программировании. .................................................... 28
4.3. Графическое решение некоторых задач линейного программирования. . 30
4.4. Задания для самостоятельного решения. ..................................................... 33
ОТВЕТЫ ..................................................................................................................... 38
44