мат. основа без рис - Учебно
advertisement
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.Г. Еременко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КАРТ (часть первая ) курс «картография» Учебно – методическое пособие для студентов геолого-географического факультета специальности география (012500), геоэкология (013600) Ростов-на-Дону 2005 год Учебно-методическое пособие разработано доцентом кафедры общей географии, краеведения и туризма В.Г. Еременко Ответственный редактор: заведующий кафедрой общей географии, краеведения и туризма, доцент Г.П. Долженко Рецензент: кандидат географических наук, доцент В.В. Астахов Печатается по решению Ученого совета геолого-географического факультета РГУ, протокол № 8 от 22 апреля 2005 года. Утверждено на заседании кафедры общей географии, краеведения и туризма, протокол № 2 от 10 октября 2004 года. . ФЕДЕРАЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ Технология изготовления, редактирования и издания карт: теория картографирования, математическая и геодезическая основа карт; изготовление карт, атласов, их редактирование; картографический дизайн; использование карт. 2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ -4- 1. ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ КАРТЫ - 4- 2. ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ И ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ КАРТЫ - 10 - 3. ПОНЯТИЕ О КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ - 14 - 4. ГЛАВНЫЙ И ЧАСТНЫЙ МАСШТАБЫ. ЛИНИИ И ТОЧКИ НУЛЕВЫХ ИСКАЖЕНИЙ - 18 - 5. ЭЛЛИПС ИСКАЖЕНИЙ - 21 - 6. ИСКАЖЕНИЯ УГЛОВ - 24 - 7. ИСКАЖЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ - 25 - 8. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРУ ИСКАЖЕНИЙ - 27 - 9. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ ПО ВИДУ МЕРИДИАНОВ И ПАРАЛЛЕЛЕЙ (ПО СПОСОБУ ПОСТРОЕНИЯ) ЛИТЕРАТУРА - 31 - 34 - 3 ВВЕДЕНИЕ Картография в системе подготовки специалистов географов и геоэкологов занимает важное место. Успешное освоение курса картографии невозможно без знания высшей математики, физики и фундаментальных курсов географического, геоэкологического образования: общей геологии, землеведения, геодезии и топографии, ландшафтоведения и пр. В современный период техническая революция оказывает все большее влияние на картографию в связи с чем приоритетную роль в ней начинает играть автоматизация (использование компьютерных технологий в картографии, электронной техники и др.), широко применяющаяся при составлении и издании картографических произведений. Вместе с тем, чтобы картографические произведения действительно представляли научную и практическую ценность, необходимо использовать строгие математические законы построения картографических изображений и, прежде всего, необходимо иметь обоснованные, с точки зрения математики, способы перехода от поверхности Земного эллипсоида к плоскости и др. В настоящем учебно-методическом пособии рассматриваются общие вопросы математической основы географических карт без которых, в дальнейшем при их составлении, невозможно правильно отобразить картографируемую территорию. Без знания математической основы невозможна актуализация географического размещения элементов содержания географических карт и других картографических произведений. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ КАРТЫ Любая современная географическая карта состоит из трех групп элементов: математических, географических и элементов оформления карты. Рассмотрим каждую из групп в отдельности. 4 1. Математические элементы Математические элементы включают: а) масштаб карты; б) картографическую сетку; в) рамку карты; г) опорные пункты. Масштаб каты может иметь три следующих вида: числовой, графический (линейный) и пояснительную подпись (натуральный масштаб). Числовой масштаб обычно выражают так: 1 : 1 000 000 или 1/1 000 000. Линейный масштаб показан на рисунке 1. Рисунок 1 – Линейный масштаб карты Обычно под линейным масштабом помещают пояснительную подпись. Пояснительная подпись указывает сколько метров или километров на местности соответствует одному сантиметру на карте. Например, «в 1 сантиметре 500 метров». Наименьшее деление линейного масштаба называется точностью масштаба. На топографических картах масштабом можно пользоваться во всех частях карты, на географических – только на картах небольших территорий. На географических картах масштаб является переменным и сохраняется только по каким-нибудь линиям на карте. Например, по всем меридианам или по всем параллелям, или только по двум параллелям, или только по экватору. Часто масштаб сохраняется только в одной точке карты, т.е. он имеет лишь ориентировочное значение. Карта одной и той же территории может быть составлена в разных масштабах. От масштаба карты зависит степень подробностей, с которой можно нанести географические элементы. Например, на картах крупного масштаба весьма подробно изображаются населенные пункты, рельеф и гидрографическая 5 сеть, на картах мелкого масштаба все это изображается в обобщенном виде. Если, например, на карте крупного масштаба в населенном пункте изображаются улицы, переулки и отдельные здания, то на карте мелкого масштаба тот же населенный пункт может быть показан в обобщенном виде или даже кружком. Степень подробности изображения географических элементов зависит не только от масштаба карты, но и от назначения карты. Так, например, на топографических основах (картах) для геологических карт подробно изображаются рельеф и гидрография, а населенные пункты, дороги и растительный покров даются в весьма обобщенном виде. Картографическая сетка представляет собой изображение градусной сетки Земли на географической карте. Вид сетки зависит от того, в какой проекции составлена карта. Картографическая сетка служит для переноса географических элементов с топографической карты на географическую. Рамкой карты называются одна или несколько линий, ограничивающих карту. На рисунках 2 и 3 показаны рамки географической карты, на рисунке 4 – рамка топографической карты. К опорным пунктам относятся: астрономические пункты, тригонометрические пункты или пункты триангуляции, пункты полигонометрии и марки нивелирования (рис. 5). Опорные пункты служат геодезической основой для съемки и составления топографических карт. Рисунок 2 Рисунок 3 6 Рисунок 4 - Рамка топографической карты Рисунок 5 2. Географические элементы: а) гидрографическая сеть; б) рельеф; в) почвенно-растительный покров; г) населенные пункты; д) пути сообщения и средства связи; е) политико-административное деление; ж) элементы экономики и культуры. Самым сложным географическим элементом является рельеф. Для изображения рельефа на картах применяются самые различные способы, о которых будет сказано ниже. Не зависимо от назначения карты, некоторые географические элементы даются обязательно. К этим элементам относятся: а) гидрографическая сеть; б) населенные пункты; в) дороги; г) границы. Иногда может быть дан рельеф, как это делается на геологических картах. Географические элементы изображаются на картах с той подробностью, которую позволяет масштаб карты и ее назначение. 3. Элементы оформления карты: а) название карты; б) надписи названий государств,7населенных пунктов, морей, рек, гор и т.д.; в) условные знаки; г) составители карты и редактор; д) список материалов, по которым составлена карта; е) год издания, количество листов, тираж издания; ж) проекция карты (указывается не всегда) P.S. Условные знаки, список материалов, авторов, т.е. дополняющие карту сведения, называют легендой карты. 2. ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ И ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ КАРТЫ Географические карты классифицируются по содержанию и масштабам. По содержанию карты можно разделить на две основных группы: общегеографические и тематические. Раньше тематические карты называли специальными. На общегеографических картах дается общая характеристика изображаемой территории без выделения отдельных географических элементов по сравнению с другими. На этих картах показывают гидрографическую сеть, рельеф, населенные пункты, дороги, границы и другие географические элементы. Кроме этих элементов на картах изображаются объекты промышленного, сельскохозяйственного и социально-культурного значения. Общегеографические карты составляются на основании согласованных требований и инструкций многочисленных заинтересованных организаций. Тематическим картами называются такие карты, на которых выделяется какой-либо элемент или группа элементов, или какое-либо явление или группа явлений. На этих картах могут изображаться элементы, которые даже не имеют видимых очертаний на земной поверхности (температура, осадки, плотность населения и т.п.). Тематические карты составляются так, чтобы элементы, определяющие их 8 тему резко выделялись на общем фоне географических элементов местности. В качестве примера можно указать на геологические, геоморфологические, почвенные, ботанические и другие карты. В российской практике по назначению принято делить карты на три группы: 1. обзорные; 2. обзорно-топографические; 3. топографические. 1. К обзорным картам относят карты масштаба 1 : 1 000 000 и мельче. Обзорные карты представляют собой изображение значительных территорий земной поверхности (областей, стран, континентов). Обычно этими картами пользуются при изучении географии и поэтому их часто называют просто географическими картами. Из обзорных карт в России широко применяется карта в масштабе 1:2 500 000. Этот масштаб позволяет склейку всех листов карты России для демонстрационных целей. В этом масштабе издаются некоторые тематические научно-справочные карты России. К этим же картам относят различные справочные и бланковые карты. 2. К обзорно-топографическим картам относятся карты масштаба 1:300 000, 1:500 000 и 1: 1 000 000. По своей точности они очень близки к топографическим картам (0Ю5-0,6 мм). Обзорно-топографические карты более подробны и точнее географических. Эти карты удобны для предварительного изучения больших районов, выполнения различных расчетов, предварительного проектирования дорог, линий электропередач, газопроводов и других целей, где не требуется высокой точности. 3. Топографическая карта представляет собой общегеографическую карту крупного масштаба. На ней изображаются главным образом элементы 9 земной поверхности, имеющие видимые геометрические очертания. Большинство элементов земной поверхности изображаются с сохранением очертаний и размеров в масштабе карты. Топографические карты составляют по материалам мензульной и аэрофототопографической съемок. Большая ценность топографических карт состоит в том, что они служат исходными материалами для составления обзорных карт. С 1923 года в СССР и, в настоящем, в России приняты метрические масштабы топографических карт. В зависимости от масштаба их можно разделить на три группы (табл. 1). Карты масштаба 1:2 000 и 1:5 000 называют топографическими планами. Все топографические карты используются для решения различных народно-хозяйственных и инженерных задач. Поэтому к ним предъявляются высокие требования в смысле точности. Следовательно, эти карты должны быть составлены таким образом, чтобы искажения на них были минимальными. Это достигается тем, что на топографических картах изображаются участки только определенного размера. В качестве таких участков в России берутся трапеции, ограниченные меридианами и параллелями. При чем размеры трапеций выбраны с таким расчетом, чтобы можно было пренебречь сферичность Земли и принимать их за плоские. Искажения на каждой из них практически неощутимы. Каждая трапеция изображается на отдельном листе, т.е. топографическая карта является многолистной. 10 Таблица 1 Группа Крупномасштабные Среднемасштабные Мелкомасштабные Размеры рамок Площадь (в км2 Масштаб ∆φ ∆λ на широте 540) 1:10 000 2′ 30″ 3′ 45″ 19 1:25 000 5′ 7′ 5″ 75 1:50 000 10′ 13′ ″ 300 1:100 000 20′ 30′ 1 200 1:200 000 40′ 10 5 000 1:500 000 20 30 4 400 1:1 000 000 40 60 17 500 От 600 до 760 северной широты листы сдваиваются, а от 760 до 880 – учетверяются по долготе. Указанные выше качества топографической карты достигаются тем, что они составляются в равноугольной поперечно-цилиндрической проекции Гаусса. Иногда эту проекцию называют проекцией Гаусса-Крюгера. Подробно об этой проекции будет сказано ниже. Наряду с достоинствами, многочисленные карты имеют значительный недостаток. Сущность его заключается в следующем. Если взять трапеции многолистной карты и соединить между собой смежными сторонами, то получится поверхность выпуклого многогранника. Соединив трапеции по параллелям, получим разрывы по меридианам, если соединить по меридианам, поучатся разрывы по параллелям (рис. 6). Рисунок 6 Размеры разрывов увеличиваются, по мере удаления от начальной трапеции. Опыт показывает, что при соединении не более девяти листов, разрывы будут малы и ими можно пренебречь. 11 Таким образом, многолистные карты могут быть использованы для обзорных целей таких участков, площадь которых не превышает склейки из девяти трапеций. Роль карты в народном хозяйстве велика. Картами пользуются при планировании и строительстве различных сооружений, разработке полезных ископаемых, организации сельского хозяйства, мелиорации, дорожном деле, при кораблевождении, аэронавигации и т.д. Важную роль играет карта в военном деле. Карта нужна школе, научным учреждениям и учебным заведениям. 3. ПОНЯТИЕ О КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ Земную поверхность нельзя развернуть на плоскости, поэтому то или иное изображение земной поверхности или некоторой части ее на плоскости будет иметь искажения и длин, и углов, и площадей. Наиболее подобное изображение земной поверхности дает глобус. На глобусе сохраняется подобие фигур, отношение длин линий и величин площадей. Глобус дает представление о Земле, как о планете. На нем наглядно изображены суша и водные пространства по этим изображениям можно судить о их взаимном расположении и площади. Построение первых глобусов относится к глубокой древности. Древний картограф Птолемей в своей книге «География» дает первое описание правил построения глобуса. До наших дней сохранились два глобуса, построенные арабскими картографами в XIII веке. Один из них хранится в Италии, другой – в Германии. Особенно большое распространение получили глобусы после открытия Колумбом Америки (1492 год). Началась эпоха крупных географических открытий и кругосветных плаваний. Было практически доказано, что Земля имеет форму шара. 12 В Нюрнбергском музее хранится глобус Мартина Бехайма (1459–1500 гг.), который при его жизни называли «яблоком Земли». В XVII веке было стремление изготавливать глобусы больших размеров. Один из таких глобусов был изготовлен в 1913 году в Германии Омарием и Бушем и имел диаметр 3,5 метра. На всемирной выставке в Париже в 1889 году был представлен глобус, имевший диаметр 12, 75 метра и весивший 10 тонн. Начиная с XIX века получили распространение учебные глобусы небольшого размера. В настоящее время для школ выпускаются глобусы диаметром от 10,2 до 50,8 см. Глобус является прекрасным учебным пособием, но не может служить для детального изучения отдельных стран и решения на нем инженерных и научных задач. Например, если диаметр Земли принять с округлением 12 740 км, то на глобусе диаметром в 50,8 см масштаб изображения будет равен (с округлением) 1:25 000 000. При таком масштабе глобуса мелкие подробности изображать нельзя. «Изучение различных способов изображения земной поверхности на плоскости и изображение составляет земной предмет математической поверхности на плоскости картографии. А мы называть будем само картографической проекцией или просто картой»1 Подробное изображение отдельных территорий, областей и государств можно дать только на карте, на которую географические элементы переносятся с земного эллипсоида искусственными приемами. Сферическая поверхность Земли относится к числу таких поверхностей, которую нельзя развернуть в плоскости без разрывов и складок. Чтобы получить сплошное изображение земной поверхности с наименьшими искажениями, в 1 13М.: 1948, с 8. Н.А. Урмаев. Математическая картография. Изд-во ВИА. картографии пользуются условными построениями, которые принято называть картографическими проекциями. В общем случае эта задача решается так. Сначала с эллипсоида переносят на плоскость (карту) линии меридианов и параллелей, т.е. картографическую сетку, а после этого, пользуясь сеткой переносят на плоскость географические элементы. Очень наглядно эту задачу можно решить с помощью обычного глобуса. Для этого поступим так. Вырежем по меридианам из поверхности глобуса три узких полоски так, чтобы их можно было развернуть на плоскость. Эти полосы называют двугольниками или фюзо. Полоски распластаем и соединим их по линии экватора (рис. 7). Левый рисунок не является картой, он имеет разрывы, а карта должна непрерывное изображение. Чтобы получить карту произведем равномерное растяжение двугольников. Растяжение пойдет параллельно экватору, т.е. по параллелям. Края соседних полосок представляют собой один и тот же меридиан. Двигаясь навстречу друг другу они сольются посередине в прямую линию и по длине будут равны средним меридианам. После растяжения полосок получится карта участка, вырезанного с глобуса. Рисунок 7. Из рисунка видно, что сплошное изображение на карте получилось в результате равномерного растяжения параллелей, которые стали равны длине экватора. Таким образом, масштабы на всех параллелях получились разные. Только экватор сохранил свою длину. Экватор и меридианы остались той же длины, а параллели испытали растяжение. Об искажениях на карте удобно судить путем сопоставления глобуса и карты. На глобусе имеются северный и южный полюсы, на карте их нет. Все 14 меридианы сближаются к полюсам и длины их одинаковы. Расстояния между меридианами на одной и той же параллели равны. Расстояние между параллелями равны между собой. Криволинейные трапеции, составленные меридианами и параллелями на одной и той же широте одинаковы по площади, но заметно уменьшаются от экватора к полюсам. На карте все меридианы, хотя и сохранили свою длину, но расстояние между ними стало одинаковым от экватора до края изображения. Расстояние между параллелями сохранились и тоже равны между собой. Все криволинейные трапеции, ограниченные крайними меридианами полосок, превратились в прямоугольники одинакового размера. Из сказанного выше можно сделать следующие выводы: 1. При проектировании земной поверхности на плоскость изображение должно быть непрерывным без разрывов. 2. Каждой точки земной поверхности на плоскости должна соответствовать только одна точка. Выполнив растяжение или сжатие изображения, нарушают геометрические свойства фигур земной поверхности. Фигуры Земли имеют следующие геометрические свойства: площадь, форму, углы между линиями очертания и длину ее элементов. Все геометрические свойства при переходе от сферической поверхности Земли к проекции, в общем случае нарушаются, что приводит к искажениям. Все искажения можно разделить на четыре вида: а) искажения длин; б) искажения площадей; в) искажения углов; г) искажения форм. При искажении длин масштаб на карте меняется с переменной места и 15 направления. Это затрудняет измерение длин географических объектов на карте, расположенных в разных частях карты или расположенных по разным направлениям. Искажения площадей состоит в том, что масштаб площади на карте в разных местах разный. Это сильно усложняет задачу определения площади как отдельных фигур, так и сравнения их между собой. Искажения углов заключается в том, что углы на карте не равны углам на местности. Искажения фигур состоит в том, что фигуры карты не подобны соответствующим фигурам на земной поверхности. Рассмотрим три вида искажений более подробно. 4. ГЛАВНЫЙ И ЧАСТНЫЙ МАСШТАБЫ. ЛИНИИ И ТОЧКИ НУЛЕВЫХ ИСКАЖЕНИЙ. В картографических проекциях степень уменьшения изображения в разных частях получается разной, а, следовательно, и масштаб карты получается величиной переменной. В нашем примере (см. рис. 7) экватор и меридиан остались той же длины, что и на глобусе. Все параллели сильно растянуты. Так, например, параллель с широтой φ = 750 изобразилась такой же длины, как и на экваторе, хотя в действительности длина дуги в 10 у них разная. На экваторе она равна 111,3 км, а на широте φ = 750 только 28,9 км. Следовательно, параллель растянулась почти в четыре раза. Меридианы и экватор изобразились в масштабе глобуса. В таком случае говорят, что по всем меридианам и экватору сохранился главный масштаб. При вычислении картографической проекции для составления карты, всегда задаются определенным масштабом, который должен сохраняться в определенных местах или по определенным направлениям (по среднему 16 меридиану или по всем параллелям, или только по экватору). Такой масштаб, называемый главным, подписывают на карте. Он показывает общую степень уменьшения, принятую для данной карты. Во всех остальных местах карты масштабы будут отличаться от главного, они будут крупнее или мельче главного, эти масштабы называют частными и обозначают буквой μ. Под масштабом в картографии понимают отношение бесконечно малого отрезка, взятого на карте, к соответствующему ему отрезку на земном эллипсоиде (земном шаре). Все зависит от того, что берется за основу при построении проекции – земной шар или эллипсоид. Чем меньше будет изменение масштаба в пределах данного участка, тем совершеннее будет картографическая проекция. Для выполнения картографических работ необходимо знать распределение на карте величин частных масштабов, чтобы можно было вносить поправки в результаты измерений. На картах указывается только главный числовой масштаб, но, к сожалению, не указывается к каким линиям он относится. Частные масштабы вычисляют по специальным формулам. Анализ вычисления частных масштабов показывает, что среди них имеется одно направление с наибольшим масштабом, а другое – с наименьшим. В квадратной проекции (см. рис. 7) наибольший масштаб совпадает с направлением параллели, а наименьший – с направлением меридиана. Наибольший масштаб, выраженный в долях главного масштаба обозначают буквой «а», а наименьший – буквой «в». Направления наибольшего и наименьшего масштабов называют главными направлениями. Главные направления только тогда совпадают с меридианами и параллелями, когда меридианы и параллели пересекаются под прямыми углами. В таких случаях масштаб по меридианам обозначают буквой «m», а по параллелям – буквой «n». 17 Для удобства теоретических расчетов и анализа искажений длин, обычно главный масштаб принимают за единицу. Тогда отклонение частных масштабов от единицы будет характеризовать величину искажений на карте. Разность между частным и главным масштабом называется относительным искажением длин, т.е. υ=μ–1 (1) Рассмотрим это на примере. Пусть главный масштаб карты 1:200 000 000 (в 1 см – 2 000км на земном эллипсоиде), а частный масштаб μ = 4. Абсолютное значение частного масштаба будет равно: 4 : 200 000 000 = 1 : 50 000 000. Относительное искажение длин определится так: υ = 4 – 1 = 3. Искажения длин чаще всего выражают в процентах, тогда υ = 300 %. Каким бы способом не развертывать земную поверхность на плоскость, обязательно возникнут разрывы и перекрытия, что в свою очередь приводит к растяжениям и сжатиям. Но на карте вместе с тем будут места, в которых не будет сжатий и растяжений. Линии или точки на географической карте, в которых нет искажений, называют линиями или точками нулевых искажений. По мере удаления от них искажения возрастают. 5. ЭЛЛИПС ИСКАЖЕНИЙ Для того, чтобы наглядно представить себе характер искажений в разных частях карты, часто пользуются, так называемым эллипсом искажений. Если взять на глобусе окружность бесконечно-малого размера, то при переходе на карту из-за растяжений или сжатий эта окружность исказится подобно очертаниям географических объектов и примет форму эллипса (рис. 8). Этот эллипс называют эллипсом искажений или индикатриссой Тиссо. 18 Рисунок 8 Эллипс искажений на картах не изображается. Им пользуются в математической картографии для выяснения величины и характера искажений в какой-нибудь точке проекции. Вид и размеры эллипса неодинаковы в разных проекциях и даже в разных точках одной и той же проекции. Направления осей эллипса могут совпадать с меридианами и параллелями, а в некоторых случаях оси эллипса могут занимать относительно меридианов и параллелей произвольное положение. Две окружности, взятые на шаре (см. рис. 8), после растяжения полосок, на проекции изобразились эллипсами. х х х х′ А у А′ у′ х′ r r′ у у′ 0 0 Рисунок 9 Докажем это следующим образом. Возьмем на земном эллипсоиде бесконечно алый кружок (рис. 9). Примем меридиан за ось х, а параллель за ось у. Предположим, что оси Ох и Оу совпадут с меридианом и параллелью. Уравнение круга будет: х 2 + у2 = r 2 (2) При переходе на плоскость координаты кружка х и у искажаются и будут равны х′ и у′. Обозначим масштабы по осям на плоскости для оси х′ через m, а для оси 19 у′ через n. Тогда координаты на плоскости будут раны х′ = mх (3) у′ = nу (4) х = х′ / m (5) у = у′ / n (6) Отсюда Значения х и у подставим в уравнение круга (1) ( х′ / m)2 + (у′ / n) 2 = r2 (7) Разделим все члены этого равенства на r2 . ( х′ / m r)2 + (у′ / n r) 2 = 1 (8) Уравнение (8) показывает, что круг, взятый на эллипсоиде изображается на плоскости в виде эллипса. Если за оси координат круга взять взаимно перпендикулярные диаметры, совпадающие с главными направлениями, то в изображении на плоскости получим эллипс, отнесенным к его осям. Тогда уравнение (8) примет следующий вид. ( х′2 / а2) + (у′2 / в2) 2 = 1 где При а = mr, в = nr (9) (10) r = 1, а = m и в = n, величина полуосей эллипса будет равняться масштабам линий по главным направлениям. Для разных проекций форма и размеры эллипса будут различны. Искажения форм будут тем больше, чем больше оси эллипса будут отличаться друг от друга, т.е. чем больше будут отличаться масштабы по главным направлениям. В качестве меры искажения форм принимают коэффициент k. k = а/в (11) где а и в – наибольший и наименьший масштабы в данной точке. Пусть, например, наибольший масштаб в данной точке а =2, а наименьший 20 в = 0,5, тогда коэффициент искажения будет равен k = 2/0,5 = 4 Изображение на карте будет вытянуто по сравнению с истинным очертанием в 4 раза. Для определения искажений в пределах карты можно пользоваться специальными таблицами или схемами изокол. Изоколами называются линии, соединяющие на карте точки с одинаковыми искажениями. Изоколы могут быть для углов, площадей, длин или форм. 6. ИСКАЖЕНИЯ УГЛОВ Возьмем на поверхности глобуса угол u (рис. 10), который на карте изобразиться углом u′. Каждая сторона угла на глобусе образует с меридианом угол α, который называется азимутом. На карте этот азимут изобразится углом α′. Для простоты рассуждений азимуты линий 0В и 0′ В′ на рисунке не показаны. В картографии приняты два вида угловых искажений: искажения 0 меридиан меридиан направления и искажения углов. А α u 0′ В А′ α′ u′ В′ 21 Рисунок 10 Разность между азимутом стороны угла на карте α′ и азимутом стороны угла на глобусе называется искажением направления, т.е. ω = α′ - α (12) Разность между величиной угла u′ на карте и величиной u на глобусе называется искажением угла, т.е. 2ω = u′ - u (13) Искажение угла выражается величиной 2ω потому, что угол состоит из двух направлений, каждое из которых имеет искажение ω. Пример. u′ = 600 (на карте) u = 520 (на глобусе) тогда 2ω = 600 – 520 = 40 7. ИСКАЖЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ Возьмем на глобусе квадрат, который на карте, в общем случае, изобразится параллелограммом. Обозначим стороны квадрата через а, а стороны параллелограмма через а1 и а2. а а2 а а1 Q 900 Рисунок 11 Прямой угол квадрата изобразится на карте углом Q. Искажение площади выразим через частный масштаб Р, а относительное искажение площади через 22 Р–1. Масштаб площади равен отношению площади параллелограмма к площади квадрата, т.е. площади фигуры на карте к площади этой же фигуры на глобусе. Р = Рпар. / Ркв. = (а1 а2 sin Q) / а2 (14) а1 = а μ1 (15) а2 = а μ2 (16) но где μ1 и μ2 - частные масштабы карты. После подстановки в равенство (14) получим Р = (а2 μ1 μ2 sin Q) / а2 (17) а сократив выражение на а2 будем иметь Р = μ1 μ2 sin Q (18) μ1 = m (масштаб по оси х) (19) μ2 = m (масштаб по оси у) (20) Если принять равными тогда формула (18) будет иметь такой вид Р = m n sin Q (21) Проекции, в которых отсутствуют искажения площадей, называются равновеликими. Пусть, например, частный масштаб площади Р = 2,50, тогда относительное искажение площади будет равно 2,50 – 1 = 1,50, что составляет 150%. Масштабы площадей на картах не подписываются и их приходится вычислять при выполнении картографических работ по числовым масштабам длин. При создании физико-географических и социально-экономических карт, бывает необходимо сохранить верное соотношение площадей. В таких случаях выгодно применять равновеликие и произвольные (равнопромежуточные) 23 проекции. В равнопромежуточных проекциях искажения площади в 2-3 раза меньше, чем в равноугольных. Для политических карт мира желательно сохранить правильность соотношения площадей отдельных государств, не исказив внешний контур государства. В этом случае выгодно применять равнопромежуточную проекцию. Проекция Меркатора для таких карт не подходит, так как в ней сильно искажаются площади. 8. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРУ ИСКАЖЕНИЙ Главная задача математической картографии состоит в том, чтобы изобразить сферическую поверхность Земли с наименьшими искажениями. Над решением этой задачи ученые работают много веков. Картографические проекции принято классифицировать по двум независящим друг от друга признакам: 1. По характеру искажений; 2. По виду меридианов и параллелей (способу построения). При переходе от сферической поверхности Земли к проекции (карте) происходят искажения площадей, углов, форм и длин. Если построить проекции, свободные от искажения углов, то будут сильно искажены площади. Если построить проекции, свободные от искажения площадей, то будут сильно искажены углы и формы. На географических картах невозможно сохранить формы очертания материков, океанов, морей, островов и т.п. Они всегда искажены. От искажения длин можно избавиться частично, построив сетку, в которой масштаб будет сохраняться по каким-нибудь линиям, например, по меридианам, или по всем прямым, идущим от центра карты. По всем линиям на карте сохранить один и тот же масштаб нельзя. 24 По характеру искажений проекции делятся на три группы: 1. равноугольные или конформные; 2. равновеликие или эквивалентные; 3. произвольные. Рассмотрим каждую из них в отдельности. 1.Равноугольными или конформными проекциями называют такие, которые не искажают углов, но искажают площади и линии. Условие равноугольности выражается следующими данными: а = в = m = n = μ – масштабы длин в данной точке равны по всем направлениям; ω = 0 – угловых искажений нет; Р = μ2 – масштаб площади равен произведению масштабов по главным направлениям, но так как они равны, то масштаб площади равен квадрату масштаба длин. В этой проекции сохраняется подобие бесконечно малых фигур. Элементарный кружок эллипсоида изобразится кружком, но отличным по площади при переходе из точки в точку (рис. 12). Название равноугольные происходит от того, что в подобных фигурах, соответственные углы длин равны между собой. Рисунок 12 На этом рисунке показаны искажения в равноугольной проекции. Главный масштаб сохраняется на параллели в 500. На этой параллели кружки на проекции по своей площади равны кружкам на проекции по своей площади равны кружкам на эллипсоиде. Из рисунка видно, что при удалении кружков от параллели в 500, т.е. от главного масштаба, искажения длин и площадей увеличиваются и площади 25 кружков становятся больше. В этой проекции составляются карты, по которым нужно измерять углы, например, в метеорологии направление ветра, в мореплавании курс корабля (проекция Меркатора). 2. Равновеликими или эквивалентными (равноплощадными) проекциями называют такие, которые сохраняют постоянной величину отношения площадей на проекции к соответствующим площадям на эллипсоиде. В этих проекциях площади карты пропорциональны соответствующим площадям изображаемой поверхности. Условие равновеликости определяется формулой: Р = m n = const (22) т.е. масштаб площадей постоянен. Любой бесконечно малый кружок, взятый на эллипсоиде, изобразится на проекции эллипсом, но площадь его, как правило, будет равна площади кружка эллипсоида (рис. 13). Рисунок 13 Таким образом, в равновеликих проекциях площади не искажаются и масштаб площади остается постоянным во всех частях карты. Из рисунка 13 видно, что при переходе от параллели к параллели, формы эллипса меняются. При этом соблюдается строгая закономерность в том, что во сколько раз одна ось эллипса будет больше радиуса окружности, расположенной на линии нулевых искажений, во столько раз другая ось будет меньше его. С удалением от линии нулевых искажений непрерывно возрастают искажения длин. Вместе с эти очень сильно искажаются формы, так как эллипсы по одному из главных направлений растягиваются, а по другому – сжимаются. Масштаб длин меняется в зависимости от направления и при переходе от 26 точки к точке, но среднее значение масштабов для всех точек остается одинаковым. В этой проекции удобно составлять карты природных зон, это позволит сравнивать между собой площади отдельных зон. Эта проекция весьма удобна и тем, что по картам, составленным в этой проекции, площади контуров можно измерять планиметром, таким же способом, как и по планам. 3. Произвольные, которые искажают углы и площади. Среди произвольных проекций наиболее распространены равнопромежуточные (эквидистантные), у которых масштаб по одному из направлений, например, по меридианам или параллелям остается постоянным и равным главному. Примером такой проекции может служить рассмотренная выше квадратная проекция (см рис. 8). По характеру искажений произвольные проекции лежат между равноугольными и равновеликими (рис. 14). Рисунок 14 В этих проекциях кружки, взятые на эллипсоиде, изобразятся на проекции в разных местах эллипсами различной формы и различной площади. Искажения углов, линий и площадей разное, в зависимости от принятого условия для данной проекции. 9. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ ПО ВИДУ МЕРИДИАНОВ И ПАРАЛЛЕЛЕЙ (ПО СПОСОБУ ПОСТРОЕНИЯ) Вид картографической сетки зависит от способа изображения земного эллипсоида или шара на карте. Картографическая сетка представляет собой сетку, состоящую из 27 меридианов и параллелей. Такую сетку называют основной. Наиболее простую для данной проекции сетку называют нормальной сеткой. Необходимо отметить, что в прямых проекциях картографическая сетка является нормальной. Картографические проекции можно классифицировать по разным признакам, но в последнее время их классифицируют по виду геометрической поверхности, с помощью которой градусную сетку Земли переносят на карту. В качестве таких вспомогательных поверхностей берут: плоскость, цилиндр и конус. По виду вспомогательной поверхности проекции делятся на пять групп: 1. Азимутальные, которые строятся на касательной к земному шару (или эллипсоиду) или на секущей земной шар плоскости (рис. 15). 2. Цилиндрические, которые строятся на боковой поверхности касательного к земному шару цилиндра или на поверхности секущего его цилиндра (рис. 16). 3. Конические, которые строятся на боковой поверхности касательного к земному шару конуса или секущего его конуса (рис. 17). 4. Поликонические, которые строятся на боковых поверхностях нескольких касательных к земному шару конусов, а после этого развертываются в плоскость. Развертки могут соединяться между собой различными способами (рис. 18). Рисунок 15 Рисунок 16 28 Рисунок 17 Рисунок 18 5. Условные, которые строятся без вспомогательных плоскостей, а каждая по какому-нибудь условию. Подробно о них будет сказано ниже. ЛИТЕРАТУРА Берлянт А.М. Картография. М.: Аспект - Пресс, 2001 Божок А.П. и др. Топография с основами геодезии. М.: Высшая школа, 1986. Гараевская Л.С., Мамосова Н.В. Практическое пособие по картографии. М.: Недра, 1990. Господинов Г.В., Сорокин В.Н. Топография. М.: Изд-во МГУ, 1982. Грюнберг Г.Ю. Картография с основами топографии. М.: Просвещение, 1991. Картоведение. Под редакцией профессора А.М. Берлянт. М.: Аспект – Пресс, 2003. Картография с основами топографии: учебное пособие для студентов педагогических институтов. Под редакцией Грюнберга Г.Ю. М.: Просвещение, 1991. Комиссарова Т.С. Картография с основами топографии. М.: Просвещение, 2001. Клюшин Е.Б. и др. Инженерная геодезия. Под редакцией Д.Ш. Михелева. М.: Высшая школа, 2000. Лапкина Н.А. Практические работы по топографии и картографии. М.: Просвещение, 1971. Маргунов Н.Ф., Сысоев Р.А. Геодезия. М.: Недра, 1976. Павлов А.А. Практическое пособие по математической картографии. Л.: 29 1974. Практикум по прикладной геодезии. М.: Недра, 1993. Салищев К.А. Картоведение. М.: Изд-во МГУ, 1976 Соловьев М.Д. Математическая картография. М.: Недра, 1969 Фельдман В.Д., Михелев Д.Ш. Основы инженерной геодезии. М.: Высшая школа, 1998. Чижмаков А.Ф., Чижмакова А.М. Геодезия. М.: Недра, 1975. Чурилова Е.А., Колосова Н.Н. Картография с основами топографии. Практикум. М.: Дрофа, 2004. 30 31 32 33 34 35
