Составитель Редактор А.В. Гусенков

Составитель
О.В. Фролова
Редактор
А.В. Гусенков
Методические указания предназначены для студентов специальности 140203 «Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем»
Утверждены цикловой методической комиссией ЭЭФ
Рецензент
кафедра «Автоматическое управление электроэнергетическими системами» ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ
Методические указания к лабораторной работе
Составитель ФРОЛОВА Ольга Васильевна
Редактор Н.Б. Михалева
Лицензия ИД №05285 от 4.07.2001 г.
Подписано в печать
Формат 60х84 1/16
Печать плоская. Усл.печ.л. 1,86. Тираж 100 экз. Заказ
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический
университет им. В.И. Ленина»
153003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, 34.
Отпечатано в РИО ИГЭУ
СОДЕРЖАНИЕ
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ…………………………………………...
4
2. АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ……...
4
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ПРОГРАММЫ, РЕАЛИЗУЮЩЕЙ СИМПЛЕКСМЕТОД………………………………………………………. 13
4. ВЫПОЛНЕНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ......... 20
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ…..………………………
3
21
1.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Цель лабораторной работы – изучение принципов составления математической модели задачи линейного программирования, алгоритма симплекс-метода, решение задачи с помощью программы, реализующей симплексметод.
2.
АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Характеристика задач, которые можно решать с помощью методов линейного программирования, сводится к
следующему:
1) функция цели – линейная комбинация искомых
переменных:
F  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn .
(1)
2) система ограничений – также в виде линейных
комбинаций переменных (равенств или неравенств):
a11 x1  ...  a1n x1n  b1; 
a21 x1  ...  a2 n xn  b2 ; 

.............................. 
am1 x1  ...  amn xn  bm , 
где
(2)
bi  0, i  (1,..., m); x j  0, j  (1, , n).
Часть ограничений в (2) может быть представлена в
виде неравенств
4
ai1 x1  ...  ain xn  bi .
(3)
В этом случае неравенство заменяется равенством
ai1 x1  ...  ain xn  ain1 xn1  bi .
(4)
Знак минус при ain1 взят с учетом того, что левая
часть выражения (3) больше правой ( bi ).
Данный прием позволяет свести ограничения типа
неравенств (3) к ограничениям типа равенств (2).
Решение задачи может быть найдено следующим
образом:
 произвольным образом выбираются m переменных, а оставшиеся n  m переменных приравниваются к
нулю. Решается система (2). Полученное решение называется базисным, а m переменных – базисными. Остальные
n  m переменных называются свободными;
 полученное базисное решение называют допустимым, если удовлетворяются условия неотрицательности
переменных x j  0  . В противном случае решение недопустимо, и необходимо выбрать новые m базисных переменных;
 базисному допустимому решению соответствует
определенное значение функции цели (1);
 если найти все допустимые решения и для каждого определить F по (1), то можно найти минимум и максимум функции цели.
Рассмотренный алгоритм является весьма трудоемким из-за перебора большого числа базисных решений.
Симплекс-метод упорядочивает перебор базисных решений в целях минимизации (максимизации) функции цели.
5
Этапы решения поставленной задачи симплексметодом:
а) записать задачу в виде системы (2) и целевой
функции (1);
б) найти допустимое базисное решение;
в) проверить при полученном базисном решении, не
достигнут ли минимум (максимум) функции цели;
г) если минимум (максимум) не достигнут, перейти к
новым базисным переменным и к пункту «б».
Если решение существует, оно будет найдено за конечное число шагов.
Пример. Найти минимум целевой функции
x1  0, x2  0 .
F  x2  x1
(5)
при наличии ограничений
 2 x1  x2  x3  2;

x1  2 x2  x4  2; 
x1  x2  x5  5. 
(6)
Степень неопределенности (р) системы (6)
p  n  m  5  3  2,
где
(7)
n - число переменных;
m - число уравнений (число базисных переменных).
При p  2 (число свободных переменных) задача может
быть изображена на плоскости.
Произвольным образом в качестве базисных переменных примем x3 , x4 , x5 :
6
x3  2  2 x1  x2 ; 

x4  2  x1  2 x2 ;
x5  5  x1  x2 . 
(8)
Условие xi  0 i  1,...,5 определяет пять уравнений
прямых, каждая из которых делит плоскость x1 , x2 на две
полуплоскости допустимую и недопустимую (рис. 1):
x1  0 , прямая x1  0;
x2  0, прямая x2  0;
x3  0, прямая 0  2  2 x1  x2 из (8);
x4  0, прямая 0  2  x1  2 x2 из (8);
x5  0, прямая 0  5  x1  x2 из (8).
X2
X1=0
Область допустимых решений
C
F
X4=0
B
D
X3=0
X2=0
A
E
X1
X5=0
Рис.1. Графическое изображение области допустимых решений
На рис. 1 штриховкой показана допустимая полуплоскость. F - одно из положений прямой (5), где стрелкой
показано движение F к области допустимых значений.
7
Данный рисунок позволяет утверждать, что минимум
функции цели лежит в одной из вершин области допустимых решений (пересечение двух прямых, задающих величину) и определяет две свободные переменные
Ax1  0, x2  0; Bx1  0, x3  0; C x3  0, x5  0;
Dx4  0, x5  0; Ex2  0, x4  0 .
Для выбранного базисного решения (8) при
x1  0, x2  0 (точка А)
x3  2; 

x4  2;
x5  5. 
(9)
Условие неотрицательности переменных выполняется.
Функция цели F  0 . Является ли это решение минимальным? Анализ знаков коэффициентов при x1 и x2 в (5) показывает, что при отрицательном коэффициенте при
x1 (1) увеличение x1 x1  0 приведет к уменьшению F .
Увеличение x1 ограничивается уравнениями для x4 и x5 в
системе (8). Если x1  2 , то x4 становится отрицательным,
если x1  5 , то x4 и x5 становятся отрицательными, следовательно, x1 можно увеличить до 2. При этом x4  0 , следовательно, теперь x2  0 , x4  0 , т.е. осуществлен выбор
новых свободных переменных (переход в точку Е).
Новое базисное решение:
x1  2  x4  2 x2 ;


x3  2  2  (2  x4  2 x2 )  x2  6  3x2  2 x4 ;

x5  5  2  x4  2 x2  x2  3  3x2  x4 .

8
(10)
Функция цели для новых свободных переменных
F  x2  2  x4  2 x2  2  x2  x4
(11)
равна -2 при x2  x4  0.
Дальнейшее уменьшение F возможно при увеличении
x2 . Рост x2 ограничивает (до 1) уравнение для x5 системы
(10). Следовательно, новое базисное решение (точка D):
1
1

x2  1  x5  x4 ;

3
3

1
1

x3  6  3  (1  x5  x4 )  2 x4  9  x5  x4 ; 
3
3

1
1
1
2 
x1  2  x4  2  (1  x5  x4 )  4  x4  x5 .
3
3
3
3 
(12)
Функция цели для свободных переменных x4 и x5
1
1
1
2
F  2  1  x5  x4  x4  3  x5  x4 .
3
3
3
3
F  3; x4  0; x5  0.
(13)
Положительные коэффициенты при x4 и x5 показывают, что дальнейшее уменьшение F невозможно и F  3 искомое минимальное значение.
Для поиска максимального значения функции цели достаточно умножить на -1 коэффициенты при переменных в
исходной функции цели (1). В рассмотренном примере для
поиска максимума функции цели (5) будет иметь вид
9
F  x1  x2 .
(14)
Для поиска первого допустимого решения может быть
использован ряд способов. Ниже рассмотрен один из способов, позволяющий найти решение задачи в табличной
форме.
Исходную задачу, но с поиском максимума, запишем в
следующем виде:
F '  0  ( x1  x2 ); 
x3  2  (2 x1  x2 );

x4  2  ( x1  2 x2 ); 
x5  5  ( x1  x2 ). 
(15)
Матрицу коэффициентов системы представим в виде
табл. 1, а (левые верхние клетки табл. 1, а).
Таблица 1. Матрица коэффициентов системы
1
X1
0
-1
2
2
-2
2
1
-2
а)
2/3
1/3
9
1
1
2/3
4
1/3
2/3
1
-1
3
-1/3
1/3
1
-1/3
1/3
1/3
-3
1
-1
1
3
2
3
-1
-1/3
2
2
-2
1
-1
X5
3
2
-2
1
X4
1
-4
X2
1
1
6
1
1
2
5
-2
2
X4
2
1
1
4
1
X2
-2
-2/3
б)
10
в)
Анализ коэффициентов первого столбца (кроме первого) показывает, что взятое базисное решение является
допустимым, так как все коэффициенты положительны
(2,2,5).
Поскольку в первой строке коэффициент при переменной  x1 отрицателен (-1), оптимальное решение не
найдено.
Столбец с отрицательным коэффициентом при  xi 
выделяется. Определяется, какую из базисных переменных
сделать свободной. Очевидно, ту, которая быстрее обратится в нуль при увеличении x1 . В нашем примере – это
x4 . Строка коэффициентов для базисной переменной x4
выделяется. Коэффициент в выделенной клетке называется
генеральным. Величина, обратная генеральному коэффициенту, обозначается λ. В нашем примере λ=1/1=1.
Заполняются нижние правые углы клеток по следующему алгоритму:
 в выделенной клетке записывается λ;
 в клетках выделенной строки записываются коэффициенты, равные произведению верхнего коэффициента на λ (кроме генерального);
 в клетках выделенного столбца записываются коэффициенты, равные произведению верхнего
столбца на –λ (кроме генерального);
 в остальных клетках записываются коэффициенты,
равные произведению выделенных коэффициентов
(обведены), на пересечении которых стоит данная
клетка.
Затем заполняются клетки табл. 1,б, в которой свободная переменная x1 стала базисной, а x4 – свободной.
Верхние левые клетки табл. 1,б заполняются по следующему алгоритму:
11

cтроку и столбец новых базисной и свободной переменных заполняют нижними коэффициентами
выделенных строки и столбца табл. 1,а;
 в остальных клетках записываются коэффициенты,
равные сумме верхних и нижних коэффициентов
табл. 1,а.
Табл. 1,б соответствует новому базису x1 , x3 , x5 . Далее
процедура повторяется. Достигнутое решение отображается в табл. 1,в, где коэффициенты при свободных переменных  x4 , x5  в первой строке положительны. Свободный
член первой строки дает максимальное значение F '  3.
Получение начального допустимого базисного решения при большом числе переменных является самостоятельной, достаточно сложной задачей. Общий вид системы
(2) можно записать в виде
nm
xi '  aij x j "  ai 0 ,
j 1
(
16)
где ai 0  0, i  1,..., m.
В такой форме xi ' - переменная, принятая за базисную, и ai 0 - свободный член должны иметь одинаковые по
знаку коэффициенты, что соответствует неотрицательности базисной переменной. Коэффициент при xi ' в (16)
равен единице, так как, если он не равен единице, на него
всегда можно разделить уравнение (16). Если такие переменные найдутся в каждом из m уравнений, они и составят допустимое базисное решение.
В случае, когда в некоторых уравнениях таких переменных нет, их вводят искусственно. Обозначим переменные, которые могут быть выбраны из (16) в качестве
базисных, x1 ' ,...x5 ' , s  m .
12
В остальные m s уравнений вводим искусственные
базисные переменные xK ' , K  s  1,..., m, налагая на них
условие xK  0 .
Тогда система (16) примет вид


j 1


ns
x K '  a Kj x j "  a K 0 , K  s  1,..., m.

j 1
ns
xi '  aij x j "  ai 0 , i  1,..., s,
(17)
Искусственные переменные xK ' должны входить
и в функцию цели, но практически не влиять на неё. Это
обеспечивается введением их в функцию F ' с много
большими по модулю, чем у остальных переменных, коэффициентами, взятыми с отрицательным знаком.
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ПРОГРАММЫ, РЕАЛИЗУЮЩЕЙ СИМПЛЕКСМЕТОД
Задана целевая функция в виде линейной комбинации
переменных
F  x1  x2 .
(
18)
Ограничения, накладываемые на переменные x1 и x2 ,
заданы графически многоугольником допустимых решений (рис. 2).
13
X2
B
5
4
3
X4  0
C
X3  0
X5  0
A
X7  0
2
D
X6  0
1
E
X1
1
2
3
4
5
6
Рис. 2. График области допустимых решений
Необходимо найти неотрицательные значения переменных x1 и x2 , удовлетворяющих системе ограничений и
придающих минимум или максимум целевой функции
(18).
Каждая прямая на графике делит плоскость x1  x2 на
две полуплоскости. Координаты точек одной из этих полуплоскостей могут являться допустимыми решениями задачи. Совместно прямые образуют многоугольник допустимых решений. Поэтому, чтобы получить систему ограничений, сначала необходимо записать уравнения соответствующих прямых:
прямая – AB x2  2  x1  1 ;
прямая – BC x2  5 ;
прямая – CD 3  x1  x2  20 ;
прямая – DE x1  2  x2  2 ;
прямая – AE 2  x1  3  x2  11 .
14
Систему ограничений можно записать, определив координаты точек полуплоскости, удовлетворяющие решению (19):
x2  2  x1  1;


x2  5;

3  x1  x2  20; 
x1  2  x2  2; 

2  x1  3  x2  11.
(19)
Таким образом, математическую модель задачи линейного проектирования составят функция цели (18), система ограничений (19) и условие неотрицательности переменных x1  0 и x2  0 .
Система ограничений приводится к каноническому
виду путем введения дополнительных неотрицательных
переменных. Тогда неравенства (19) могут быть преобразованы в равенства (20):
x2  2  x1  x3  1;


x2  x4  5;

3  x1  x2  x5  20; 
x1  2  x2  x6  2; 

2  x1  3  x2  x7  11.
(20)
Знак минус при x7 взят с учетом того, что левая часть
последнего неравенства больше правой.
В функцию цели дополнительные переменные войдут
с коэффициентом, равным 0. Получится пять уравнений
(m=5) относительно семи неизвестных (n=7). Степень неопределенности p  n  m  2 .
15
Прежде чем найти опорное решение, необходимо составить систему общего решения. Для этого система уравнений (20) преобразуется к виду
x3  1  2  x1  x2 ;
x4
x5
x6
x7


 5  x2 ;

 20  3  x1  x2 ; 

 2  x1  2  x2 ;

 11  2  x1  3  x2 .
(21)
Для получения общего решения необходимо, чтобы
каждая базисная переменная входила только в одно из
уравнений системы. В системе (21) x3 , x4 , x5 , x6 , x7 являются базисными переменными, x1 и x2 - свободными
переменными. x1 и x2 могут принимать произвольные
значения.
С учетом неотрицательности решения задачи линейного программирования система уравнений относительно
базисных переменных имеет вид
x3  1  2  x1  x2  0;
x4
x5
x6
x7


 5  x2  0;

 20  3  x1  x2  0;


 2  x1  2  x2  0;

 11  2  x1  3  x2  0.
(22)
Эта система неравенств определяет множество свободных переменных ( x1 , x2 ), каждому из которых должна
соответствовать совокупность неотрицательных базисных
переменных. В полученной системе (22) нельзя задать
16
x1  0 , x2  0 , так как при этом x7  11  0 (на рис. 2 точка с координатами x1  0 , x2  0 не является допустимым
решением). Поэтому в качестве базисных выбираются переменные x1 , x2 , x5 , x6 , x7 , тогда свободные переменные
– x3 и x4 .
x1  2  0,5  x3  0,5  x4 ; 

x2  5  x4 ;

x5  9  1,5  x3  2,5  x4 ; 
x6  10  0,5  x3  1,5  x4 ;


x7  8  x3  4  x4 .
(23)
В системе (24) при задании xсв  0 ( x3  0 , x4  0 )
выполняется условие неотрицательности базисных переменных:
x1  2  0,5  x3  0,5  x4  0; 

x2  5  x4  0;

x5  9  1,5  x3  2,5  x4  0; 
x6  10  0,5  x3  1,5  x4  0;


x7  8  x3  4  x4  0.
(24)
Каждому решению ( x3 , x4 ) системы неравенств (24)
соответствует допустимое решение рассматриваемой задачи линейного проектирования. Из множества допустимых
решений интересны опорные решения, так как оптимальное решение совпадает с одним из опорных решений, соответствующих вершинам многоугольника допустимых
решений.
Каждая вершина многоугольника допустимых решений (рис.2) является пересечением p  2 прямых из сово17
купности (23). Учитывая, что на любой из этих прямых
соответствующая базисная неизвестная равна нулю, можно
утверждать, что в каждой вершине многоугольника p  2
неизвестных обращаются в нуль.
Таким образом, чтобы найти опорное решение, необходимо сначала сформулировать неотрицательное общее
решение системы, а затем положить в этом решении
xсв  0 .
Для решения задачи на ЭВМ необходимо выполнить
следующее:
 представить ограничения в виде допустимого базисного решения;
 выразить функцию цели через свободные переменные (26).
Находится новое выражение для функции цели через
свободные переменные x3 , x4 .
(25)
F  x1  x2  2  0,5  x3  0,5  x4  5  x4 ;
F  7  0,5  x3  1,5  x4 .
(26)
Рассмотренный пример записывается в следующем виде:
F  7  (0,5  x3  1,5  x4 ); 
x1  2  ( 0,5  x3  0,5  x4 ); 

x2  5  (0  x3  1  x4 );

x5  9  (1,5  x3  2,5  x4 ); 
x6  10  (0,5  x3  1,5  x4 ); 

x7  8  (1  x3  4  x4 ).

В программу вводятся:
 число переменных ( n  7 );
 число ограничений ( m  5 );
 индексы свободных переменных (3, 4);
18
(27)


индексы базисных переменных (1, 2, 5, 6, 7);
матрица коэффициентов
7
-0,5
1,5
2
-0,5
0,5
5
0
1
9
1,5
-2,5
10
0,5
1,5
8
-1
4
Протокол расчета программы «Симплекс-метод линейного
программирования»
Преобразованная матрица
4
1
3
14
7
2
-0,125
-0,375
0,25
0,875
0,875
-0,25
-0,375
-0,125
-0,25
0,625
-0,375
0,25
Fmin  4 ;
x1  1 ; x2  3 ; x5  14 ; x6  7 ; x7  2 ; x3  x4  0 .
Таким образом, неотрицательные значения переменных, удовлетворяющих системе ограничений (19) и придающих минимум целевой функции (18), будут соответственно равны x1  1 ; x2  3 . Минимальное значение целевой функции Fmin  4 .
Для поиска максимального значения функции цели
достаточно умножить на -1 коэффициенты при переменных в исходной функции цели (18), а затем выразить ее
через новые свободные переменные.
19
4. ВЫПОЛНЕНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ
Для выполнения лабораторной работы воспользуйтесь соответствующим вариантом в приложении.
Задание лабораторной работы состоит из двух задач:
1. Необходимо найти неотрицательные значения переменных, удовлетворяющие многоугольнику допустимых
решений и придающие минимальное значение целевой
функции, приведенной в соответствующем варианте.
2. Необходимо найти неотрицательные значения переменных, удовлетворяющие многоугольнику допустимых
решений и придающие максимальное значение целевой
функции, приведенной в соответствующем варианте.
Задание выполняется в следующей последовательности:
 по многоугольнику допустимых решений, указанном в варианте задания, составляется система неравенств –
система ограничений;
 записывается математическая модель задачи;
 находится общее решение задачи линейного программирования;
 находится одно из опорных решений;
 с помощью программы, реализующей симплексметод, определяется минимальное значение функции цели
при наличии ограничений и значения переменных;
 определяется максимальное значение функции цели при наличии ограничений и значения переменных;
 графическим методом производится проверка
найденных решений.
20
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ НА ЛАБОРАТОРНУЮ
РАБОТУ
Вариант 1
Функция цели F  2  x1  x2 .
(П1)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. П1. Графическое задание области допустимых решений для
варианта 1
21
Вариант 2
Функция цели F  x1  3  x2 .
(П2)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. П2. Графическое задание области допустимых решений для
варианта 2
Вариант 3
Функция цели F  x1  x2  2 .
(П3)
X2
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X1
Рис. П3. Графическое задание области допустимых решений для
варианта 3
22
Вариант 4
Функция цели F  x2 .
(П4)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. П4. Графическое задание области допустимых решений для
варианта 4
Вариант 5
Функция цели F  x2  2  x1 .
(П5)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. П5. Графическое задание области допустимых решений для
варианта 5
23
Вариант 6
Функция цели F  2  x1  x2 .
(П6)
X2
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X1
Рис. П6. Графическое задание области допустимых решений для
варианта 6
Вариант 1
Функция цели F  1  x1  x2 .
(П7)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. П7. Графическое задание области допустимых решений для
варианта 7
24
Вариант 8
Функция цели F  x2  4  x1 .
(П8)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. П8. Графическое задание области допустимых решений для
варианта 8
Вариант 9
Функция цели F  x1  x2 .
(П9)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. П9. Графическое задание области допустимых решений для
варианта 9
25
Вариант 10
Функция цели F  x1 .
(П10
)
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
4
2
5
6
7
8
9
Рис. П10. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 10
Вариант 11
Функция цели F  x1  3  x2  1 .
(П11
)
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. П11. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 11
26
Вариант 12
Функция цели F  4  2  x1  x2 .
(П12
)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. П12. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 12
Вариант 13
Функция цели F  x2  x1 .
(П13
)
X2
7
6
5
4
3
2
1
1
2
4
5
27
6
7
8
9
X1
Рис. П13. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 13
28
Вариант 14
Функция цели F  x1  x2 .
(П14
)
X2
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X1
Рис. П14. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 14
Вариант 15
Функция цели F  x1  4  x2 .
(П15
)
X2
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
29
6
7
8
9
X1
Рис. П15. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 15
Вариант 16
Функция цели F  x1  x2  3 .
(П16
)
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X1
Рис. П16. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 16
Вариант 17
Функция цели F  2  x1  x2  1 .
(П17
)
X2
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
30
6
7
8
9
X1
Рис. П17. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 17
31
Вариант 18
Функция цели F  2  x1 .
(П18
)
X2
7
6
5
4
3
2
1
1
3
2
4
5
6
7
X1
9
8
Рис. П18. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 18
Вариант 19
Функция цели F  x1  x2 .
(П19
)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
32
6
7
8
9
Рис. П19. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 19
33
Вариант 20
Функция цели F  2  x1  x2 .
(П20
)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
6
7
9
8
Рис. П20. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 20
Вариант 21
Функция цели F  4  x1  x2 .
(П21
)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
34
6
7
8
9
Рис. П21. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 21
35
Вариант 22
Функция цели F  1,5  x1  x2 .
(П22
)
X2
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X1
Рис. П22. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 22
Вариант 23
Функция цели F  x2  2  x1  1 .
(П23
)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
36
6
7
8
9
Рис. П23. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 23
37
Вариант 24
Функция цели F  2  x1  1,5  x2 .
(П24
)
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. П24. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 24
Вариант 25
Функция цели F  2  x1  x2  3 .
(П25
)
X2
7
6
5
4
3
2
1
X1
1
2
3
4
5
38
6
7
8
9
Рис. П25. Графическое задание области допустимых решений
для варианта 25
39