Параметрические колебания тонкостенных криволинейных труб

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ
ТРУБ ИЗ АРМИРОВАННЫХ ПЛАСТИКОВ
А.В. Коротков, Ю.А. Куликов
Марийский государственный технический университет, Йошкар-Ола, Россия
Одним из источников упругих колебаний труб и трубопроводов являются пульсации
давления рабочей среды. Под действием пульсаций труба совершает обычные
вынужденные колебания, связанные с растяжением-сжатием стенки (труба “дышит”). В
определённых условиях стационарные режимы колебаний становятся динамически
неустойчивыми, в системе развивается параметрический резонанс.
Результаты исследования устойчивости осесимметричных форм колебаний
прямолинейных труб, как тонкостенных цилиндрических оболочек, представлены в
многочисленных работах, например [1]. Отличительной особенностью параметрических
колебаний криволинейных труб является наличие наряду с простыми резонансами
комбинационных резонансов суммарного типа [2].
Рис. 1. Расчетная схема
Рассмотрим трубу (рис. 1), осевая линия которой представляет дугу окружности
радиуса R , длиной L , с центральным углом (углом гиба)  0 . Труба имеет идеально
круглое поперечное сечение радиуса r , причём r / R  1/ 5 . Толщина стенки h . Края
трубы закрыты абсолютно жесткими невесомыми заглушками. Стенка трубы образована
перекрёстной спиральной намоткой волокон или армированной ленты на оправку.
Распределения коэффициентов армирования и эффективных упругих постоянных в
зависимости от углов армирования ±  , структуры пакета слоёв и технологической схемы
намотки даны в [3].
Труба находится под действием моногармонического давления p(t )  pm (1   cos t ) , где
pm – среднее (рабочее) давление,   p0 / pm 1 – параметр пульсации; p0 и  –
амплитуда и круговая частота.
Возмущённую форму, соответствующую отклонению движения от невозмущённого,
аппроксимируем функциями вида:

w  s, , t     w1n ( s, t )cos n  w2 n ( s, t ) sin n ,
n 1

1
(1)
 w1n (s, t ) sin n  w2n (s, t ) cos n  ,
n 1 n
s
s
wm1 ( s, t )  wm1 (1  cos ), wmn ( s, t )  wmn cos .
L
L
Здесь v и w – перемещения точек срединной поверхности в окружном и радиальном
направлениях, s и  – осевая и окружная координаты, t – время, wmn  wmn  t  –
v  s, , t    
обобщенные координаты, соответствующие стержневым ( m = 1, 2 и n = 1) и
оболочечным ( m = 1, 2 и n = 2, 3, 4, …) формам. Индекс m = 1 соответствует колебаниям
в плоскости трубы, индекс m = 2 – колебаниям по нормали к плоскости. Стержневая
(балочная) форма отражает перемещения, связанные с движениями поперечного сечения
трубы как жёсткого целого, оболочечные формы – перемещения, связанные с
деформированием стенки оболочки. Рассматриваются n = 2, 3, 4, ..,  волн в окружном
направлении и одна полуволна в осевом направлении.
На основании аппроксимации (1), полубезмоментной теории анизотропных
слоистых оболочек и уравнений Лагранжа второго рода получены две независимые
системы связанных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
жесткости
 Aw  2  Bw   (C   2  F  cos t )w  0 ,
(2)
которые описывают параметрические колебания трубы, как в плоскости её кривизны, так и
по нормали к плоскости. При этом   6 D2 /(mТ r 3 ) – множитель, mT  2 hr – масса
единицы длины трубы, D2  E2h3 / 12 1 12 21   – жёсткость стенки на изгиб в окружном
направлении, E2 , 12 ,  21 – эффективные упругие постоянные [4],   0.5 p0 / pкр –
pкр  3D2 / r 3 – критическое внешнее
давление, соответствующее статической потере устойчивости,  – коэффициент
демпфирования, f nn  n 2  1 . Элементы матриц  A ,  B , C  определяются рекуррентными
формулами [5].
Разрешающая система уравнений (2) описывает параметрические колебания
связанной оболочечно-стержневой системы. Источником параметрического возбуждения
служит периодическое изменение объёма внутренней полости. При этом давление
”работает” не на основных (осесимметричных) перемещениях, а на дополнительных
перемещениях, связанных с изгибными деформациями стенки.
Из анализа структуры матрицы C  следует, что стержневая форма ( n = 1) связана с
оболочечной формой ( n = 2). Это значит, что колебания трубы как стержня
сопровождаются колебаниями стенки оболочки, связанными со сплющиванием
поперечного сечения (проявляется эффект Кармана). Взаимодействие стержневой и
оболочечных форм обусловлено упругими связями, интенсивность которых
характеризуется недиагональными элементами матрицы C  и зависит от длины трубы L
коэффициент параметрического возбуждения,
и параметра кривизны r / R . Чем короче труба и чем больше параметр r / R , тем сильнее
проявляются эти связи. Кроме того, оболочечные формы взаимодействуют друг с другом:
раздельно n – чётные гармоники ( n = 2, 4, 6, …) и n – нечётные гармоники
( n = 3, 5, 7, …). Чем меньше радиус кривизны R и больше число n , тем сильнее
взаимодействие.
В условиях номинального рабочего режима идеальную трубу рассматриваем как
параметрически возбуждаемую систему с малой глубиной модуляции параметра  .
Анализ устойчивости упругих колебаний ограничиваем областью низших собственных
частот. Для расчета границ областей неустойчивости при главных простых резонансах
  2i и главных комбинационных резонансах   i   j ( i , j = 1, 2, .., 5) используем
метод малого параметра [1]. Возмущённую форму движения представляем в виде
суперпозиции собственных форм. Для решения задачи на собственные значения
используем метод Якоби.
В докладе представлены результаты исследования зависимости спектров низших
собственных форм и частот от рабочего давления, а также геометрических, структурных и
технологических факторов. Полученные результаты сопоставлены с данными расчётов
МКЭ.
Показаны картины резонансных полос в зависимости от угла гиба трубы  0 = 5º,
90º, 135º, 180º (при L = const) и углов армирования  = ±55º, ±65º, ±75º. Установлено, что
при уменьшении кривизны трубы низшая собственная частота 1 увеличивается, а
высшие частоты  2 ,  3 ,  4 ,  5 наоборот, уменьшаются и приближаются к собственным
частотам прямой трубы. При этом области динамической неустойчивости смещаются в
сторону меньших значений  /  21  , относительная ширина полос сужается. При  0 = 5º
области неустойчивости 21 и 1  2 практически исчезают.
С увеличением углов армирования ±  области динамической неустойчивости,
соответствующие главным простым и главным комбинационным резонансам, смещаются
в сторону больших значений  /  21  . При этом области неустойчивости 21 и 1  2
сужаются, а области неустойчивости 2 2 , 23 , 2 4 , 25 и 2  4 , 3  5 , наоборот,
расширяются.
ЛИТЕРАТУРА
1. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. – М.: Гостехиздат,
1956. – 600 с.
2. Куликов Ю.А. Вибропрочность тонкостенной криволинейной трубы под
действием пульсирующего внутреннего давления // Проблемы машиностроения и
надежности машин. – 1993. – № 3. – С. 23–30.
3. Куликов Ю.А., Лоскутов Ю.В. Механика трубопроводов из армированных
пластиков. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 2004. – 156 с.
4. Коротков А.В., Куликов Ю.А. Анализ собственных частот колебаний
тонкостенных многослойных труб из армированных пластиков // Механика
композиционных материалов и конструкций. – 2008 – Т. 14. – № 2. – С. 236–249.
5. Коротков А.В., Куликов Ю.А. Свободные колебания многослойных
криволинейных труб из армированных пластиков // Механика композиционных
материалов и конструкций. – 2009. – Т. 15. – № 2. – С. 203–220.