Лекция к уроку 11-12

Лекция к уроку 11-12
Система уравнений второй степени
с двумя неизвестными
Наиболее общий вид уравнения 2-й степени с двумя неизвестными есть
ах2 + bху + су2 + dx + ey + f = 0,
где а, b, с, d, е, f — данные числа или выражения, содержащие известные
величины. Одно уравнение 2-й степени с двумя неизвестными имеет бесчисленное
множество решений.
Система двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно квадратное, а другое - 1-й степени, можно решить способом подстановки.
Выражение одного неизвестного через другое находится из уравнения 1-й степени.
Подставив это выражение в уравнение второй степени, получим уравнение с одним
неизвестным. В общем случае оно будет квадратным (см. пример 1). Но может
оказаться, что члены второй степени взаимно уничтожатся, и тогда мы будем
иметь уравнение первой степени (см. пример 2).
Пример 1. х2 - 3xy + 4у2 - 6х + 2у = 0, х - 2у = 3.
Из второго уравнения находим х = 3 + 2у.
Подставляя это выражение в первое уравнение, имеем:
(3 +2у)2 - 3(3 + 2y)у + 4y2- 6(3 + 2у) + 2у = 0.
Решаем это уравнение:
9 + 12y + 4y2 -9y - 6y2 +4y2 -18 -12y +2y = 0;
2y2 -7y -9 = 0;
y=
y1 = 9/2 ; y2 = -1.
Найденные значения y1 = 9/2 ; y2 = -1 подставляем в выражение x = 3 +2y;
получаем x1 = 12, x2 = 1.
2
2
Пример 2. x – y = 1; x + y = 2.
Из второго уравнения находим у = 2 - х.
Подставляя это выражение в первое уравнение, получим х2 - (2 - х)2 = 1.
После приведения подобных членов члены второй степени взаимно
уничтожаются, и мы получаем - 4 + 4x = 1, откуда x = 5/4.
Подставляя это значение в выражение у = 2 - х, находим y = 3/4.
Систему двух квадратных уравнений с двумя неизвестными можно
решать так: если одно из уравнений не содержит члена ах2 (или члена су2), то
применяем способ подстановки, выражая из этого уравнения х (или у) через у (или
х); если же оба уравнения содержат члены вида ах2 и су2, то предварительно
применяем способ сложения или вычитания, чтобы получить уравнение, не
содержащее члена ах2 или су2. После этого пользуемся способом подстановки.
После исключения получается уравнение с одним неизвестным, имеющее, вообще
говоря, 4-ю степень. К квадратному уравнению оно сводится лишь в
исключительных случаях, но эти случаи встречаются довольно часто при решении
геометрических задач.
Пример 3. x2 + xy + 2y2 = 74, 2x2 + 2xy + y2 = 73.
Оба уравнения содержат как члены с x2, так и члены с y2. Поэтому сначала
применим способ сложения или вычитания, чтобы получить уравнение, не
содержащее, скажем y2.
Из последнего уравнения находим выражение y через x:
Это выражение подставляем в одно из данных уравнений, например в первое,
получаем:
Упрощения дают:
x4 +24x2 – x4 +1152 – 96x2 +2x4 = 74x2;
2x4 -146x2 +1152 = 0;
x4 – 73x2 +576 = 0.
Получилось биквадратное уравнение.
Положив x2 = z, приводим его к уравнению z2 – 73z + 576 = 0.
Решая последнее находим:
z1 = 64; z2 = 9.
Первое решение дает x1 = 8; x2 = - 8; второе x3 = 3; x4 = -3. Подставляя значения x1;
x2; x3; x4 в выражение
, получаем соответствующие им значения y:
y1 = - 5; y2 = + 5; y3 = +5; y4 = - 5.