Document 948412

Профе ссиональный конкурс работников образования
ВСЕРОССИЙСКИЙ ИНТЕРНЕТ -КОНКУPС
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА
(2013/14 учебный год)
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средн яя
общеобразовательная школа №18 р.п. Лукино (606427 Нижегород ская область,
Балахнинский район, р.п. Лукино , ул. Победы, 18, МБОУ СОШ №18 )
Номинация конкурса: Педагогические идеи и технологии: среднее образование
Факультативное занятие по алгебре №2:
«Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами»
Выполнила: учитель математики Королева Екатерина Николаевна
2014 год
Уравнения содержащие параметр.
Урок 2: Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от
параметра.
Цель: Формировать умение распознавать положение параболы в зависимости от ее
коэффициентов.
Ход урока
I. Объяснение нового материала.
Рассмотрим пример: найдите все значения параметра с, при которых оба корня
квадратного уравнения х2 + 4сх + (1 − 2с + 4с2 ) = 0 различны и меньше, чем – 1.
1
Уравнение имеет два различных корня при D > 0 (с > ). Теперь нужно составить
2
систему уравнений когда х1 > −1 и х2 > −1. Ее будет достаточно сложно решить.
Для решения заданий такого типа существует специальный метод.
Сначала рассмотрим квадратичную функцию f(x) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0. Запишем
𝑏 2
)
2𝑎
4𝑎𝑐− 𝑏2
ее в виде 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎(𝑥 +
+
.
4𝑎
Вспомним основные характеристики параболы, позволяющие построить ее график.
При решении заданий с параметрами эти характеристики применяются в другом
контексте.
𝑏
1. Прямая 𝑥 = − – ось параболы, которая является одновременно осью ее
2𝑎
𝑏
4𝑎𝑐− 𝑏2
симметрии. Вершиной параболы является точка (− ;
).
2𝑎
4𝑎
2. Знак числа а показывает, куда направлены ветви параболы: если а > 0, то
вверх, если а < 0, то вниз.
3. Дискриминант 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 показывает, пересекается ли парабола с осью
абсцисс.
Объединим вышесказанное в таблице:
Расположение графика по отношению к оси абсцисс в зависимости от знаков
коэффициента а и дискриминанта.
а>0
а<0
D>0
D=0
D<0
Утверждение 1: Оба корня меньше числа А, то есть х1 < А и х2 < А тогда и только
𝐷 > 0,
𝐷 > 0,
𝑎 > 0,
𝑎 < 0,
тогда, когда { 𝑥 < 𝐴, или { 𝑥 < 𝐴,
0
0
𝑓(𝐴) > 0
𝑓(𝐴) < 0.
Утверждение 2: Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х1 < А < х2 ,
𝑎 > 0,
𝑎 < 0,
тогда и только тогда, когда {
или {
Эти две системы можно
𝑓(𝐴) < 0
𝑓(𝐴) > 0.
заменить формулой 𝑎 ⋅ 𝑓(𝐴) < 0.
Утверждение 3: Оба корня больше числа А, то есть х1 > А и х2 > А, тогда и только
𝐷 > 0,
𝐷 > 0,
𝑎 > 0,
𝑎 < 0,
тогда, когда { 𝑥 > 𝐴, или { 𝑥 > 𝐴,
0
0
𝑓(𝐴) > 0
𝑓(𝐴) < 0.
Утверждение 4: Оба корня лежат между точками А и В, то есть А < х1 < В и А < х2
𝐷 > 0,
𝐷 > 0,
𝑎 > 0,
𝑎 < 0,
< В, тогда и только тогда, когда А < х0 < В, или А < х0 < В,
𝑓(𝐴) > 0,
𝑓(𝐴) < 0,
{ 𝑓(В) > 0
{ 𝑓(В) < 0.
Утверждение 5: Больший корень лежит между точками А и В, то есть х1 > х2 и А <
𝑎 > 0,
𝑎 < 0,
х1 < В, тогда и только тогда, когда {𝑓(𝐴) < 0, или {𝑓(𝐴) > 0,
𝑓(В) > 0
𝑓(В) < 0.
Утверждение 6: Меньший корень лежит между точками А и В, то есть х1 > х2 и А
𝑎 > 0,
𝑎 < 0,
< х2 < В, тогда и только тогда, когда {𝑓(𝐴) > 0, или {𝑓(𝐴) < 0,
𝑓(В) < 0
𝑓(В) > 0.
Утверждение 7: Корни лежат по разные стороны от отрезка [А; В], то есть х1 < А <
𝑎 > 0,
𝑎 < 0,
В < х2, тогда и только тогда, когда {𝑓(𝐴) < 0, или {𝑓(𝐴) > 0,
𝑓(В) < 0
𝑓(В) > 0.
Вернемся к примеру1: найдите все значения параметра с, при которых оба корня
квадратного уравнения х2 + 4сх + (1 − 2с + 4с2 ) = 0 различны и меньше, чем – 1.
(Для решения необходимо воспользоваться утверждением 1.)
Пример 2: При каких действительных значениях k оба корня (в том числе кратных)
уравнения (1 + k)х2 – 3kх + 4k = 0 больше 1? (Для решения необходимо
воспользоваться утверждением 3.)
II. Закрепление пройденного материала. Практическая работа в группах.
1 группа:
1
1. При каких значениях k число 2 находится между корнями уравнения 2х2 – х +
2
(k – 3)(k + 5) = 0?
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – ах + 2 = 0 лежат в
интервале (0; 3)?
2 группа:
1. При каких значениях k число 3 находится между корнями уравнения х2 + х + (k
– 1)(k + 7) = 0?
2. Существуют ли такие значения параметра а, что корни уравнения х2 + 2х + а = 0
лежат между – 1 и 1?
3 группа:
1. Найдите множество значений параметра k, при число 2 находится между
корнями уравнения 9х2 – 6х – (k – 2)(k + 2) = 3.
2. При каких значениях параметра а все решения уравнения (а – 1)х2 – (а + 1)х + а
= 0 имеет единственное решение удовлетворяющее условию 0 < x < 3?
III. Домашняя работа.
1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а + 4)х2 – 2(а + 2)х + 3(а
+ 6) = 0 положительны?
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 3)х2 – 3(а – 4)х + 4а –
16 = 0 принадлежат интервалу (2; 5)?
3. При каких значениях параметра а один из корней уравнения 2ах2 – 2х – 3а – 2 =
0 больше 1, а другой меньше 1?