 В.Д. МУР, Н.Б. НАРОЖНЫЙ, А.М. ФЕДОТОВ О ВКЛАДЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТОЧКИ

УДК 530.1(06) Теоретические проблемы физики
В.Д. МУР, Н.Б. НАРОЖНЫЙ, А.М. ФЕДОТОВ
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
О ВКЛАДЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТОЧКИ  = 0 В РАЗЛОЖЕНИЕ
СГЛАЖЕННОГО ПОЛЯ ПО БУСТОВЫМ МОДАМ
Показано, что выбрасывание спектральной точки  = 0 из разложения поля по
бустовым модам является незаконным, даже если теория строится на языке
«сглаженных полей». Отсюда, в частности, следует, что квантование Унру в
пространстве Минковского неосуществимо, даже если используются только
сглаженные поля.
В недавней серии работ (см., например, [1, 2]) авторы совместно с
Б.М. Карнаковым и В.А. Белинским показали, что квантование Унру [3]
невозможно осуществить в пространстве Минковского, и поставили под
сомнение существование эффекта Унру. Причина для такого утверждения
состоит в том, что квантование Унру основано на переходе от полного
набора бустовых мод (x) к набору правых и левых мод Унру, который
не содержит нулевой моды ( = 0), пропорциональной функции Вайтмана.
Однако набор бустовых мод (x) имеет -функционную сингулярность
по  в точке  = 0, если мировая точка x находится на световом конусе и в
начале
координат
пространства
Минковского.
В
частности,
 (0)   ( ) / 2 . Поэтому нулевая мода дает ненулевой вклад в оператор
квантованного поля на световом конусе и в начале координат, а набор мод
Унру является неполным.
В комментарии [4] на нашу работу [2] Фуллинг и Унру, в частности,
утверждают, что квантовая теория поля может быть сформулирована на
языке «сглаженных полей» [ f ]  M d 2 x  ( x) f ( x), f T , где T –
подходящее пространство тестовых функций. Поскольку, по мнению
авторов [4], световой конус, имеющиий меру нуль, не дает вклада в
сглаженные полевые операторы, Фуллинг и Унру утверждают, что вклад
нулевой моды в сглаженное квантованное поле не является существенным
и может быть опущен. В данной работе обсудим упомянутое утверждение
Фуллинга и Унру, полный ответ на комментарий [4] можно найти в [6].
Пусть M(x) – скалярное поле в пространстве Минковского, а (x)
получается из M(x) выбрасыванием вклада всех бустовых мод с || < .
Тогда утверждение Фуллинга и Унру означает, что при   0  [f]  M[f]
в слабом смысле (т.е., в смысле сходимости матричных элементов между
266
ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 5
УДК 530.1(06) Теоретические проблемы физики
физически реализуемыми состояниями). Более того, поскольку
квантованным полем в пространстве Минковского называется система
операторов {M[f], f  T}, указанный предельный переход должен быть
равномерным относительно сглаживания с тестовыми функциями f  T.
Покажем, что утверждение Фуллинга и Унру неверно.
Пусть g   d g   b† 0M – нормированное одночастичное состояние


со спектром g(), сосредоточенным вблизи  = 0, а f ( x)   R 2 1 e (t
2
 z 2 ) / R2
.
Тогда,
g  ( f ) 0 M  g M ( f ) 0 M 




f ( )   d 2 x   ( x) f ( x) 
M
g * ( ) f ( ) d   g * (0)  f ( ) d  ,

m R 
K i / 2 
.
2 2
 4 
2
1
2
Пользуясь асимптотикой функции Макдональда, при || <  << 1,
R << 1/m, получаем, что при любом  << 1
g  ( f ) 0M  g M ( f ) 0M 
2 g (0)
 ln(2 2 / mR )


0
g (0)
sin y
dy 
,
y
2 2
11
ln(2 22 // mR
mR)) >> . Полученная
для всех R, удовлетворяющих условию ln(2
оценка означает, что предельный переход для  [f] при   0 не является
равномерным относительно f  T, а значит, квантованное поле { [f],
f  T} не сводится в пределе   0 к полю в пространстве Минковского.
Таким образом, использование «сглаженных полей» не дает оснований
для выбрасывания из спектра нулевой бустовой моды.
Данная работа была поддержана РФФИ и министерством образования
РФ.
Список литературы
1. Narozhny N., Fedotov A., Karnakov B., Mur V. and Belinskii V. // Ann. der Phys.
(Leipzig). 2000. 9. 199.
2. Narozhny N.B., Fedotov A.M., Karnakov B.M., Mur V.D. and Belinskii V.A. // Phys. Rev.
2002. D 65. 025004.
3. Unruh W.G. // Phys.Rev. 1976. D 14. 870.
4. Fulling S.A., Unruh W.G. // Phys. Rev. 2004. D 70. 048701.
5. Narozhny N.B., Fedotov A.M., Karnakov B.M., Mur V.D., Belinskii V.A. // Phys. Rev. D.
2004. 70. 048702.
ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 5
267
УДК 530.1(06) Теоретические проблемы физики
ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 5
268