1. Определитель равен нулю, при k равном … 0 2 –2

1.
Определитель
равен нулю, при k равном …
0
2
–2
-3
Решение:
Вычислим определитель разложением по элементам первой строки:
По условию определитель равен нулю, то есть
или
1.1
.
Определитель
равен…
Решение:
Данный определитель удобно вычислять путем разложения по элементам первого
столбца:
В нашем случае получаем:
1.2
Определитель
.
равен …
Решение:
По свойству определителей получаем:
.
2.
Даны матрицы
имеет вид…
Решение:
и
. Тогда матрица
Матрица С находится следующим образом:
.
2.1
Даны матрицы
вид…
и
. Тогда матрица
имеет
Решение:
Матрица С находится следующим образом:
.
2.2
Даны матрицы
матрица
,
имеет вид…
,
. Тогда
Решение:
Матрица D находится следующим образом:
.
3.
Даны матрицы
…
и
. Тогда матрица
равна
Произведение матриц вида
вычисляется следующим образом:
и
Решение:
Тогда матрица
находится следующим образом:
.
3.1
Произведение матриц с размерностями
и
возможно при ...
Решение:
Произведение матрицы A на матрицу B возможно, если только количество столбцов
матрицы A равно количеству строк матрицы B. В нашем случае, это возможно при
, то есть, например,
и
.
3.2
Даны матрицы
Решение:
и
. Тогда матрица
имеет вид …
Произведение матриц вида
образом:
и
находится следующим
. Тогда,
.
4.
Ранг матрицы
равен двум при
–6
–18
29/108
0
Решение:
равном …
Чтобы ранг матрицы
равнялся двум, необходимо, чтобы все
миноры третьего порядка равнялись нулю:
Вычислим минор
. Очевидно, что при
, ранг матрицы будет равен двум, так как все миноры третьего порядка будут
равны нулю, и есть хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, например:
.
4_1.
Ранг матрицы
равен…
Решение:
Ранг матрицы равен трем, так как хотя бы один минор третьего порядка матрицы А не
равен нулю, например:
4.2
Ранг матрицы
равен…
Решение:
Произведем элементарные преобразования над матрицей:
.
Ранг равен единице.
4.3
Ранг матрицы
Решение:
равен двум при
равном …
Чтобы ранг матрицы
равнялся двум, необходимо, чтобы все
миноры третьего порядка равнялись нулю:
Вычислим минор
. Очевидно, что при
, ранг матрицы будет равен двум, так как все миноры третьего порядка будут
равны нулю, и есть хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, например:
.
5
Уравнение прямой, проходящей через точку
, перпендикулярной прямой
имеет вид ….
Решение:
Вычислим угловой коэффициент прямой
. А именно:
. Так как прямые перпендикулярны, то
, т.е.
,и
.
Следовательно, уравнение искомой прямой можно задать как
Подставляя в это уравнение координаты точки А, найдем значение
.
.
5.1
Острый угол между прямыми
и
равен…
Решение:
Угол между прямыми
и
находится из формулы:
, или
. Следовательно, острый угол
между прямыми равен
5.2
Общее уравнение прямой, проходящей через точки
и
имеет вид…
Решение:
Уравнение прямой проходящей через точки
или
, то есть
и
находится как:
.
6
Расстояние между центрами окружностей, заданных уравнениями
и
3
равно…
Решение:
Приведем к каноническому виду уравнение первой окружности:
,
следовательно, центр окружности находится в точке С(2;1). Центр второй окружности
находится в начале координат О(0;0). Найдем расстояние между точками О и С как:
6.1
Дано уравнение гиперболы
фокусами равно...
. Тогда расстояние между её
Решение:
Расстояние между фокусами равно 2с, где значение параметра c находится из
выражения, связывающего полуоси гиперболы:
. То есть
или
.
7
Синус угла между прямой
и плоскостью
равен….
Решение:
Синус угла между прямой
и плоскостью
находится как:
.
7.1
Уравнение плоскости проходящей через ось Оz и точку
имеет вид…
Решение:
Уравнение плоскости проходящей через ось Оz имеет вид:
Так как точка М принадлежит плоскости , то справедливо равенство
. Получаем
, то есть
.
или
.
7.2
Прямая
равном…
и плоскость
параллельны при k
Решение:
Условие параллельности плоскости
имеет вид:
и прямой
, или
,
8
Точка
задана в полярной системе координат. Тогда в прямоугольной системе
координат точка имеет вид...
Решение:
Прямоугольные координаты точки А находим как:
, то есть
8.1
Точка А(–3; –
) задана в прямоугольной системе координат. Тогда её полярные
координаты
равны...
Решение:
Полярные координаты точки А находим как:
,
, то есть, при условии что,
, получаем
.
8_2.
Координаты точки, симметричной точке
(заданной в полярной системе
координат), относительно полярного полюса, равны...
Решение:
Координаты точек, симметричных относительно полярного полюса, отличаются только
полярными углами на число . То есть, точка В, симметричная точке А относительно
полярного полюса, имеет координаты:
.
9
Количество точек разрыва функции
равно …
Решение:
Точками разрыва функции y=f (x) являются те, в которых функция не определена,
(точки x=0 и x=3). А также те точки, в которых нарушается непрерывность функции, то
есть не выполняется условие непрерывности:
.
Таковыми могут являться точки, при переходе через которые изменяется аналитическое
выражение функции. Это точка x=1. Проверим, выполняется ли условие
непрерывности, для этого найдем односторонние пределы:
;
. Пределы не равны. Это значит – условие непрерывности в точке
x=1 не выполняется, следовательно: x=1 – точка разрыва. Вывод: 3 точки разрыва.
9_1.
Точкой разрыва функции
является точка…
Решение:
Точками разрыва функции являются те точки, в которых функция не определена, т.е. те
точки, в которых знаменатель равен нулю. И эти точки должны принадлежать области
определения функции.
Область определения функции
.Но
Вывод: х=1-точка разрыва функции.
.Нули знаменателя:
не входит в область определения.
9.2
Количество точек разрыва функции
равно …
,
2
1
0
3
Решение:
Точками разрыва функции являются те точки, в которых функция не определена, т.е. те
в которых знаменатель равен нулю:
Вывод: точек разрыва нет.
, но
и