ОПД.Ф.13 Математическая экономика и имитационное

1
СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСА
Раздел 1. Основы моделирования экономических процессов (10 ч.)
Тема 1. Введение, основные понятия и предельный анализ в экономике
(6 ч.)
Актуальность применения математики в управлении производством.
Системы
управления
математическую
в
экономике.
модель.
Соотношения,
Основные
понятия
формирующие
математического
моделирования. Типы математических моделей. Связь математической
экономики с другими науками. Предельный анализ в экономике. Основной
инструментарий
предельного
анализа.
Эластичность
функции.
Виды
эластичности в экономике.
Тема 2. Производственные функции (4 ч.)
Понятие производственной функции. Двухфакторная производственная
функция. Мультипликативная производственная функция. Производственная
функция Кобба-Дугласа. Средние и предельные (маржинальные) значения
производственной функции. Неоклассическая производственная функция.
Эластичность. Оценка с помощью производственной функции масштаба и
эффективности производства. Основные типы производственных функций.
Раздел
2.
Введение
в
понятие
имитационного
моделирования. (6 ч.)
Тема 1. Понятие моделирования, цели моделирования, классификация
видов моделей. Общая схема моделирования (целевые и управляемые
параметры).
Особенности
моделирования.
и
условия
Необходимые
применимости
имитационного
функциональные
компоненты
инструментальных систем имитационного моделирования. (4 ч.)
Тема 2. Сущность метода «Монте-Карло». Сопоставление метода по
целям и используемому аппарату с задачами имитационного моделирования.
Соотношение между понятиями «математическое ожидание случайной
2
величины» и «среднее значение случайной величины по результатам
испытаний».
Применение
метода
«Монте-Карло»
для
вычисления
определенных интегралов. (2 ч.)
Раздел
3.
Применение
аппарата
теории
вероятностей
в
имитационном моделировании. (8 ч.)
Тема 1. Определение понятия разыгрывания случайной величины,
использование этой процедуры в задачах имитационного моделирования.
Общий способ разыгрывания случайной величины с произвольным законом
распределения. Способы разыгрывания случайных величин с характерными
законами
распределения
(равномерное
на
произвольном
интервале,
нормальное, экспоненциальное). Метод Неймана. (4 ч.)
Тема
2.
Место
процедуры
определения
закона
распределения
случайной величины на основе опытных данных в имитационном
моделировании. Элементы математической статистики, применимые в
задачах определения закона распределения значений целевых параметров в
имитационном моделировании.
Статистическая функция распределения,
статистический ряд, «сглаживание» статистического ряда. (2 ч.)
Тема
3.
Этапы
процедуры
определения
закона распределения
случайной величины на основе опытных данных. Проверка правдоподобия
гипотез. Критерий согласия Пирсона. Характер заключения, которое может
быть сделано на основании значения критерия согласия.( 2 ч.)
Раздел 4. Сети Петри. (6 ч.)
Тема 1. Определение Сети Петри. Основные понятия (позиции,
переходы, разметка, срабатывание). Условия срабатывания переходов.
Сопоставление базовых понятий модели асинхронных процессов (состояние,
процесс, условие) базовым понятиям Сети Петри (позиция, переход,
разметка). (4 ч.)
3
Тема 2. Моделирование характерных асинхронных процессов и их
интерпретация
в
реальных
экономических
ситуациях
(параллельные
процессы, производитель-потребитель, конкурирующие за уникальный
ресурс процессы). Компоненты инструментальной системы для работы с
Сетями Петри. (2 ч.)
Раздел 5. Компьютерные системы имитационного моделирования
(на примере системы GPSS). (6 ч.)
Тема 1. Концепция моделирования на GPSS. Основные элементы
моделей:
транзакты,
приборы,
многоканальные
устройства,
очереди.
Параметры транзактов. Стандартные числовые атрибуты (СЧА). Блоки и
операторы GPSS. Назначение и вычисление количественных параметров
(оператор и блоки LET, LET+, LET-).
Операторы
SIMULATE
(моделировать),
START
(начать),
END
(закончить). Внесение транзактов в модель (блок GENERATE). Переход
транзактов в блок, отличный от последующего (блок GOTO – безусловная
передача; блок IF – статистическая передача). Удаление транзактов из
модели (блок TERMINATE).
Занятие и освобождение приборов (блоки SEIZE и RELEASE).
Моделирование многоканальных устройств: оператор STORAGE, блоки
ENTER (войти) и LEAVE (выйти). Задержка во времени (блок ADVANCE).
Сбор статистики при ожидании (блок
ARRIVE - стать в очередь; блок
DEPART -покинуть очередь).
Тема 2. Вывод результатов в процессе моделирования (блок PRINT).
Использование
таблиц
(оператор
Использование
арифметических
TABLE
выражений
и
блок
TABULATE).
(оператор
VARIABLE).
Использование функций (оператор FUNCTION). Функции с СЧА как
независимыми переменными. Встроенные математические и логические
функции. Функции с адресом.
4
II. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
КУРСА
Практическая часть курса включает в себя лабораторные работы,
объемом 36 часов.
Содержание лабораторныхработ
№
пп
Номер раздела
теоретической
части
1
2
2
3
3
4
4
5
Наименование лабораторной работы
Определение площади произвольной фигуры методом
«Монте-Карло».
Генерация (разыгрывание) непрерывной случайной
величины
с
заданным
законом
распределения.
Определение закона распределения случайной величины
на основании опытных данных.
Практическое знакомство с программой «MPNet» моделирование
взаимодействия
параллельных
(асинхронных)
процессов
с
помощью
аппарата
модифицированных Сетей Петри.
Практическое знакомство с программой «GPSS World»,
моделирование различных способов обработки и
представления данных (время ожидания и обслуживания,
случайные числа, функции, таблицы, матрицы и т.п.).
III. КОНТРОЛЬ ДОСТИЖЕНИЙ ЦЕЛЕЙ КУРСА
В учебном плане предусмотрен экзамен. Осуществляется рейтинговая
система оценки знаний.
Экзаменационные вопросы для студентов, не набравших баллы в ходе
рейтинговой оценки, представлены
в разделе УМКД « Контрольно-
измерительные материалы».
Вопросы к экзамену
1. Виды моделей, их классификация. Место имитационных моделей в
этой классификации.
5
2. Существенные
имитационного
особенности
моделирования.
(целесообразность
Основы
методологии
применения)
имитационного
моделирования.
3.
«Метод
Монте-Карло»,
сущность.
Сопоставление
понятий
«имитационное моделирование» и «Метод Монте-Карло». Целесообразность
и схема применения «Метода Монте-Карло» для вычисления определенного
интеграла.
4. «Метод Монте-Карло», сущность. Правило «3-х сигм», способы
оценки достоверности и точности метода.
5. Разыгрывание
случайных
величин,
определение.
Продемонстрировать пример разыгрывания дискретной случайной величины
с распределением
┌ 3
4
│
┐
│
└ 0,25 0,75 ┘.
6. Разыгрывание случайных величин, определение. Общая схема
разыгрывания дискретной случайной величины.
7. Разыгрывание случайных величин, определение. Общая формула
разыгрывания непрерывной случайной величины. Оценка ее применимости
для различных видов распределений.
8. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания
непрерывной
случайной
величины
равномерно
распределенной на интервале (а, в).
9. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания непрерывной случайной величины с экспоненциальным
законом распределения. Примеры практических ситуаций с таким законом
распределения.
10. Разыгрывание случайных величин, определение. Метод Неймана
для разыгрывания непрерывной случайной величины с произвольным
законом распределения.
6
11. Разыгрывание
случайных
величин,
определение.
Приемы
разыгрывания непрерывной случайной величины с нормальным законом
распределения.
12. Два
аспекта
применения
аппарата
теории
вероятностей
в
имитационном моделировании. Соотношение понятий «математическое
ожидание» и «среднее значение, рассчитанное по результатам испытаний».
13. Определение законов распределения случайных величин на
основании опытных данных. Характерные задачи. Особенность применения
методов математической статистики в имитационном моделировании.
14. Статистическая функция распределения. Пример построения по
результатам опыта.
15. Статистический ряд. Пример построения по результатам опыта.
16. Оценка достоверности гипотезы о законе распределения случайной
величины, сделанной на основании опытных данных. Критерии согласия.
17. Определение законов распределения случайных величин на
основании
опытных
данных.
Критерий
согласия
Пирсона.
Схема
применения.
18. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение,
основные понятия, их графическая интерпретация. Пример:
модель
одноканальной системы массового обслуживания.
19. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение,
основные понятия, их графическая интерпретация. Пример:
модель
взаимодействия «производитель – потребитель».
20. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение,
основные понятия, их графическая интерпретация. Пример: модель задачи
взаимного исключения процессов (монопольное использование ресурса
нескольким процессами).
21. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение,
основные понятия, их графическая интерпретация. Пример:
модель
взаимодействия процессов чтения и записи.
7
22. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия.
Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS
«транзакт».
23. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия.
Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS
«устройство».
24. Система (язык): сфера применения, основные понятия. Примеры
явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS «память».
25. Принципиальное
отличие
процесса
исполнения
программы,
написанной на традиционном языке программирования и программы в
GPSS. Типовая последовательность действий при продвижении транзакта.
IV. ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ РАБОТ И РЕФЕРАТОВ
Не предусмотрены учебным планом.
V.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
И
ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
1. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций
в экономике.: Учеб.пособ. - СПб.: Изд-во ''Питер'', 2010.-208с.
2. Емельянов А.А. и др. Имитационное моделирование экономических
процессов: Учеб.пособие /А.А. Емельянов, Е.А. Власова, Р.В. Дума; Под ред.
А.А. Емельянова. – М.: Финансы и статистика, 2009.368с.
3
Духанов, А.В. Имитационное моделирование сложных систем: курс
лекций / А.В. Духанов, О.Н. Медведева; Владим. гос. ун-т. - Владимир: Издво Владим. гос. ун-та, 2010. - 115 с.
8
Дополнительная литература
1. Росс
С.И.
Математическое
моделирование
и
исследование
национальной экономики: Учебное пособие. - СПб.: СПбГУ ИТМО, 2006. - 61 с.
2. Финаев В.И., Павленко Е.Н., Заргарян Е.В. Аналитические и
имитационные
модели:
Учебное
пособие.
-
Таганрог:
Изд-во
Технологического института ЮФУ, 2007. - 310 с.
3. Зандер Е.В. Имитационное моделирование деятельности предприятий:
Учебно-методический комплекс. - Красноярск: КрасГУ, 2004. - 32 с.
Электронные образовательные ресурсы
1. Николенко С.И. Теория экономических механизмов: учебное
пособие. - М.: ИНТУИТ.РУ : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. - 207 с.:
ил., табл. - (Серия "Основы экономики и менеджмента") [Электронный
ресурс]. – Режим доступа [http://window.edu.ru/resource/612/64612].
2. Азарнова Т.В., Баева Н.Б. Модели производственных процессов,
логистики и риска: Методическое пособие для вузов (2-е издание). Воронеж: Изд-во ВГУ, 2008. - 88 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа
[http://window.edu.ru/resource/372/65372].
3. Блейхер О.В. Математические модели в экономике: Учебнометодический комплекс. - Томск, ТПУ, 2009. - 52 с. [Электронный ресурс]. –
Режим доступа [http://window.edu.ru/resource/912/73912].
9
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В Г. БОЛЬШОЙ КАМЕНЬ
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРТИЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
(ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА)
по дисциплине «Математическая экономика и имитационное моделирование
экономических процессов»
Специальность - 080801.65 - «Прикладная информатика (в экономике)»
10
Экзаменационные билеты для итоговой аттестации
Билет 1.
1. Виды моделей, их классификация. Место имитационных моделей в
этой
классификации.
применения)
Существенные
имитационного
особенности
моделирования.
(целесообразность
Основы
методологии
имитационного моделирования.
2. Разыгрывание
случайных
величин,
определение.
Продемонстрировать пример разыгрывания дискретной случайной величины
с распределением
┌ 3
4
│
┐
│
└ 0,25 0,75 ┘.
Билет 2.
1.
«Метод
Монте-Карло»,
сущность.
Сопоставление
понятий
«имитационное моделирование» и «Метод Монте-Карло». Целесообразность
и схема применения метода для вычисления определенного интеграла.
2. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Блок
ADVANCE.
Билет 3.
1. Разыгрывание случайных величин, определение. Общая формула
разыгрывания непрерывной случайной величины (метод обратных функций).
Оценка ее применимости для различных видов распределений.
2. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение,
основные понятия, их графическая интерпретация. Пример:
модель
одноканальной системы массового обслуживания.
11
Билет 4.
1. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания
непрерывной
случайной
величины
равномерно
распределенной на интервале (а, в).
2. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Блоки
TABLE, TABULATE.
Билет 5.
1. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания непрерывной случайной величины с экспоненциальным
законом распределения. Примеры практических ситуаций с таким законом
распределения.
2. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия.
Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS
«устройство».
Билет 6.
1. Разыгрывание случайных величин, определение. Метод Неймана
для разыгрывания непрерывной случайной величины с произвольным
законом распределения.
2. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение,
основные понятия, их графическая интерпретация. Пример:
модель
одноканальной системы массового обслуживания.
Билет 7.
1. Разыгрывание
случайных
величин,
определение.
Приемы
разыгрывания непрерывной случайной величины с нормальным законом
распределения.
12
2. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия.
Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS
«транзакт».
Билет 8.
1. Два
аспекта
применения
аппарата
теории
вероятностей
в
имитационном моделировании. Соотношение понятий «математическое
ожидание» и «среднее значение, рассчитанное по результатам испытаний».
2. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия.
Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS
«память (накопитель)».
Билет 9.
1. Два
аспекта
применения
аппарата
теории
вероятностей
в
имитационном моделировании. Соотношение понятий «математическое
ожидание» и «среднее значение, рассчитанное по результатам испытаний».
2. Принципиальное
отличие
процесса
исполнения
программы,
написанной на традиционном языке программирования и программы в
GPSS. Типовая последовательность действий при продвижении транзакта.
Билет 11.
1. Виды моделей, их классификация. Место имитационных моделей в
этой
классификации.
применения)
Существенные
имитационного
особенности
моделирования.
(целесообразность
Основы
методологии
имитационного моделирования.
2. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Блок
ADVANCE.
13
Билет 13.
1. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания
непрерывной
случайной
величины,
равномерно
распределенной на интервале (а, в).
2. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение,
основные понятия, их графическая
интерпретация. Пример:
модель
одноканальной системы массового обслуживания.
Билет 14.
1. Определение законов распределения случайных величин на
основании опытных данных: статистический ряд. Пример построения по
результатам опыта.
2. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Блоки
TABLE, TABULATE.
Билет 16.
1. «Метод
Монте-Карло»,
сущность.
Сопоставление
понятий
«имитационное моделирование» и «Метод Монте-Карло». Целесообразность
и схема применения метода для вычисления определенного интеграла.
2. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия.
Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS
«устройство».
Билет 17.
1. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия.
Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS
«устройство».
2. Разыгрывание
случайных
величин,
определение.
Продемонстрировать пример разыгрывания дискретной случайной величины
с распределением
14
┌ 3
4
│
┐
│
└ 0,25 0,75 ┘.
Билет 18.
1. Виды моделей, их классификация. Место имитационных моделей в
этой
классификации.
применения)
Существенные
имитационного
особенности
моделирования.
(целесообразность
Основы
методологии
имитационного моделирования.
2. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия.
Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS
«устройство».
Билет 19.
1. Виды моделей, их классификация. Место имитационных моделей в
этой
классификации.
применения)
Существенные
имитационного
особенности
моделирования.
(целесообразность
Основы
методологии
исполнения
программы,
имитационного моделирования.
2. Принципиальное
отличие
процесса
написанной на традиционном языке программирования и программы в
GPSS. Типовая последовательность действий при продвижении транзакта.
Билет 20.
1. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания
непрерывной
случайной
величины
равномерно
исполнения
программы,
распределенной на интервале (а, в).
2. Принципиальное
отличие
процесса
написанной на традиционном языке программирования и программы в
GPSS. Типовая последовательность действий при продвижении транзакта.
15
Билет 21.
1. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания
непрерывной
случайной
величины
равномерно
распределенной на интервале (а, в).
2. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Блоки
GENERATE, TERMINATE.
Билет 23.
1. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Блоки
QUEUE, DEPART.
2. Разыгрывание
случайных
величин,
определение.
Продемонстрировать пример разыгрывания дискретной случайной величины
с распределением
┌ 1 5
│
┐
│
└ 0,25 0,75 ┘.
Билет 24.
1. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания
непрерывной
случайной
величины
равномерно
распределенной на интервале (а, в).
2. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия.
Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS
«устройство».
Билет 25.
1. Определение законов распределения случайных величин на
основании опытных данных: статистический ряд. Пример построения по
результатам опыта.
16
2. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Блоки
ENTER, LEAVE.
Билет 26.
1. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания
непрерывной
случайной
величины
равномерно
исполнения
программы,
распределенной на интервале (а, в).
2. Принципиальное
отличие
процесса
написанной на традиционном языке программирования и программы в
GPSS. Типовая последовательность действий при продвижении транзакта.
Тесты для тематической (промежуточной) аттестации:
Тесты по теме «Введение, основные понятия и предельный анализ в
экономике»
1. Что такое математическая модель (выберите правильный
ответ)?
1. Математическая модель– это описание изучаемой системы или
объекта.
2. Математическая модель– это описание изучаемой системы или
объекта в текстовом редакторе MSWord.
3. Математическая модель– это набор формул, символов и знаков.
4. Математическая модель – это описание изучаемой системы или
объекта на языке математики.
5. Математическая модель– это математическое описание различных
процессов и явлений с целью получения их теоретического обоснования.
2. Математическая модель выражает взаимосвязь между:
1. Экзогенными и эндогенными переменными.
17
2. Между уравнениями и неравенствами, входящими в систему.
3. Между переменными и постоянными величинами.
4.
Между
управляемыми,
неуправляемыми
переменными
и
показателями эффективности.
5. Между управляемыми переменными и показателями эффективности.
3. Что такое математическая экономика?
1. Математическая экономика– это раздел науки, занимающийся
анализом свойств и решений математических моделей.
2. Математическая экономика– это раздел экономической науки,
занимающийся решением дифференциальных уравнений, описывающих
экономические процессы.
3. Математическая экономика– это раздел экономической науки,
занимающийся анализом свойств и решений математических моделей
экономических процессов.
4.
Математическая
экономика–
это
самостоятельная
научная
дисциплина, изучающая теоретические вопросы управления народным
хозяйством.
5. Математическая экономика– это сфера научной и практической
деятельности,
исследующая
количественные
закономерности
и
взаимозависимости в экономике при помощи методов математической
статистики.
4. Существует следующие типы моделей:
1. Полная, упрощенная, имитационная.
2. Полная, упрощенная.
3. Упрощенная, имитационная.
4. Теоретическая, имитационная.
5. Практическая и теоретическая.
18
5.
Математические
модели,
используемые
в
экономике,
подразделяются на следующие классы:
1. Макро- и микроэкономические, оптимизационные и равновесные,
статические и динамические.
2. Теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные,
статические и динамические.
3. Макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные.
4.
Микроэкономические,
теоретические,
прикладные,
оптимизационные, равновесные, статические и динамические.
5. Макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные,
оптимизационные и равновесные, статические и динамические.
6. Что называется предельным анализом в экономике?
1. Применение дифференциального исчисления для анализа прироста
переменных величин.
2. Применение интегрального исчисления для анализа прироста
переменных величин.
3. Применение дифференциального и интегрального исчисленийдля
анализа прироста переменных величин.
4. Применение дифференциального исчислениядля анализа прироста
постоянных величин.
5. . Применение дифференциального исчислениядля анализа прироста
экзогенных переменных.
7. Основным инструментарием предельного анализа в экономике
являются:
1. Предельные затраты, предельный доход, предельная прибыль,
предельный продукт, предельная производительность труда, предельная
производительность капитала, эластичность функции.
2. Предельные затраты, предельный доход, предельная прибыль,
19
предельный продукт, предельная производительность труда, предельная
производительность капитала.
3. Предельные затраты, предельный доход, предельная прибыль,
предельный
продукт,
производительность
труда,
предельная
производительность капитала.
4. Предельные затраты, предельный доход, предельная прибыль,
предельный
продукт,
производительность
труда,
производительность
капитала.
5. Предельные затраты, предельный доход, предельная прибыль,
предельный
продукт,
производительность
труда,
производительность
капитала и эластичность функции.
8. Что такое эластичность функции?
1. Предел отношения между относительным приращением независимой
переменной и зависимой переменной при x0.
2. Предел отношения между относительным приращением независимой
переменной и зависимой переменной, когда x.
3. Предел отношения между относительным приращением зависимой
переменнойи независимой переменной, когда x.
4. Предел отношения между относительным приращением зависимой
переменнойи независимой переменной, когда x0.
5.
Отношение
между
относительным
приращением
независимой
переменной и зависимой переменной, когда x0.
9. Какие из перечисленных свойств относится к эластичности функции?
1. Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит
от того, в каких единицах измеряются уи х.
2.Эластичность
произведения
двух
функций
равняется
разности
показателей эластичности сомножителей.
20
3. Эластичность произведения двух функций равняется произведению
показателей эластичности сомножителей.
4. Эластичность –размерная величина, значение которой зависит от
того, в каких единицах измеряются уи х.
5. Эластичности взаимно обратных функций – взаимно обратные
величины.
10. Эластичностью спроса относительно дохода называется выражение:
1.
2.
3.
4.
5.
Тесты по теме «Производственные функции»
1. Что такое изокванта (выберите правильный ответ)?
1. Логарифмическая производная факторов K и L
21
2. Линии наибольшего роста производственной функции.
3. Совокупность таких сочетаний ресурсов, при которых может быть
произведено определенное количество продукции Х0, т.е. множество
Q(Xo) = {(K,L:F(K,L)=X0}.
4. Среднегеометрическое
частных
показателей
экономической
эффективности
5. Функция F(K, L), для которой для любых двух неотрицательных точек
(К1, L1) и (К2, L2) и любого числа  [0, 1] справедливо неравенство
2. Как определяется предельная производительность труда?
1.Величина
2. Частные производные выпуска по факторам
.
3. Логарифмическая производная факторов
4. Величина
5.Величина
.
.
.
3. Что такое производственная функция?
1. Среднегеометрическое темпов роста ресурсов.
2. Скалярная функция, если для любого вектора (К, L) и любого
22
положительного она удовлетворяет соотношению F(K, L) = F(K, L).
3. Функция F(K, L), для которой для любых двух неотрицательных точек
(К1, L1) и (К2, L2) и любого числа  [0, 1] справедливо неравенство
4. Зависимость между количеством используемых в производстве
ресурсов (факторов производства) и объемом выпускаемой продукции.
5. Взвешенное
среднегеометрическое
частных
показателей
экономической эффективности
4.Какая зависимость определяет связь между средней и предельной
производительностью основных производственных фондов (ОПФ) в случае
мультипликативной производственной функции (МПФ)?
1.
2.
.
3.
4.
5.
.
5.Какой экономический смысл имеет коэффициент 1 МПФ Х = AK1L2?
1. Предельная норма замены фондов трудом.
2. На сколько % изменится выпуск при увеличении основных фондов (ОФ)
на 1%.
23
3. Предельная норма замены труда фондами.
4. Тангенс угла наклона касательной к изокванте по отношению к
отрицательному направлению оси абсцисс.
5. Масштаб производства.
Тесты по теме «Модели макроэкономической динамики»
1. Функция предложения труда в модели Солоу определяется
равенством
1. L = const.
2.
3. X = F(K, L).
4. L = L0et.
5. L = aL + Y.
2. Сформулируйте «Золотое» правило накопления в модели Солоу с
производственной функцией (ПФ) Кобба-Дугласа.
1. В условиях совершенной конкуренции при любой норме сбережений
рыночная экономика тяготеет к сбалансированному росту, при котором
национальный доход (НД) и капитал увеличиваются с темпом, равным темпу
роста предложения труда.
2. Средняя норма потребления достигает максимума, когда темп
прироста капитала равен предельной производительности капитала.
3. Совместимость динамического равновесия с полной занятостью.
4. Оптимальная норма накопления совпадает с ее эластичностью по
ОПФ.
5. Условия, обеспечивающие равенство между совокупным спросом и
совокупным предложением в растущей экономике.
3.Наилучшее значение доли капиталовложений в конечном продукте
24
(КП) определяется равенством
1.
2.
.
3.
4.
5.
.
.
4. Используя модель Солоу с ПФ Кобба-Дугласа, у которой А = 106 и
= 1/2, найти значения фондовооруженности, производительности труда и
удельного потребления на стационарной траектории, для которой норма
накопления  = 0,2, выбытие фондов . = 0,2 за год, а годовой прирост
трудовых ресурсов v = 0,05.
1. 50108, 71010, 0.751011.
2. 64108, 81010, 0.751010.
3. 50108, 81010, 0.641012.
4. 641010, 81011 0.641012.
5. 50108, 81012, 0.651011.
5.Установите соответствие в балансовых соотношениях модели Солоу.
1. Валовой выпуск (ВВ) распределяется на производственное
потребление и конечный продукт (КП).
2. КП распределяется на валовые капитальные вложения (инвестиции)
и непроизводственное потребление…
1. Y = I + C;
2. A = K;
3. X = aX + Y;
4. Y = (1 – a)X;
25
5. I = (1 – a)X;
6. C = (1 – )Y.
Тесты по теме «Модели межотраслевого баланса»
1. Какой смысл имеют коэффициенты матрицы (Е – А)-1.
1. Объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью на производство
конечной продукции.
2. Затраты продукции i-й отрасли на воспроизводство единицы
продукции j – й отрасли.
3. Часть общего ВВ, израсходованная на производственные нужды в
процессе производства.
4. Затраты ВВi– й отрасли на воспроизводство единицы КП j-й отрасли.
5. Объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе
производства.
2. В чём заключается экономический смысл понятия неразложимости
технологической матрицы в модели Леонтьева.
1. Любой
продукт
производится
в
большем
количестве,
чем
используется, значит, накапливаются его излишки.
2. Любая отрасль использует, хотя бы косвенно, продукцию всех
отраслей.
3. Сложившуюся технологию производства можно считать неизменной.
4. Каждая отрасль способна произвести любой объем своей продукции
при условии, что ей будет обеспечено сырье в необходимом количестве.
5. Данная технология может удовлетворить любой конечный спрос.
3. Сформулируйте теорему Фробениуса – Перрона о спектральных
свойствах неотрицательных матриц.
1. Модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, когдаА <1.
26
2. Если матрицаАнеотрицательна и неразложима, сумма элементов
каждой строки не больше 1 и хотя бы для одной строки строго меньше 1, то
модель Леонтьева, определяемая матрицей А, продуктивна.
3. Неразложимая неотрицательная матрица A устойчива тогда и только
тогда, когда выполняется неравенство
для любого ее собственного
числа
4. Неразложимая матрицаАимеет положительное собственное число А
такое, что модули всех остальных собственных чисел матрицы А не
превосходят А. Числу А отвечает единственный (с точностью до скалярного
множителя собственный вектор ХА, все координаты которого ненулевые и
одного знака (т.е. его можно выбрать положительным).
5. Если
векторХА является
собственным
принадлежащим собственному значению А,
вектором
ТО ДЛЯ
значению
может
соответствовать
А,
любого k0 вектор kХА
тоже собственный вектор матрицы А, принадлежащий
собственному
матрицы
А. Одному
несколько
линейно
независимых собственных векторов.
4. Выяснить, при каких значенияха >0 матрица
будет продуктивной.
1. 12<а<15.
2. 10 <а.
3. а< 1/9.
4. а = 13; 15; 20.
5. 2 < а < 6 .
27
5. Экономическая система, состоит из трех отраслей: топливноэнергетическая, промышленность и сельское хозяйство. Пусть
транспонированная матрица прямых затрат, v = (4; 10; 4) – вектор норм
добавленной стоимости. Определить равновесные цены.
1.
; .
3.
.
5.
Тесты по теме «Классическая модель рыночной экономики»
1. Продолжить утверждение «В состоянии равновесия предельный
продукт труда в стоимостном выражении ...»
1. Определяет функцию спроса на рабочую силу.
2. Равен ставке заработной платы.
3. Удовлетворяет условию
4. Определяет функцию предложения рабочей силы.
5. Представляет доход рабочих на единицу продукции.
2. Экономический смысл условия
заключается в следующем:
1. С ростом реальной заработной платы спрос на рабочую силу падает.
2. При падении ставки заработной платы предельный продукт также
будет падать, пока снова не будет достигнуто равновесие.
3. Возникло избыточное превышение предложения рабочей силы, что
привело бы к падению реальной заработной платы до (w/p)0.
4. Возник недостаток рабочей силы, что привело бы к повышению
28
реальной заработной платы до величины (w/p)0.
5. С каждой дополнительной единицей труда можно получить
дополнительную прибыль.
3. Что означает следующее условие
?
1. С каждой дополнительной единицей труда можно получить
дополнительную прибыль.
2. Необходимо увеличить наем рабочей силы.
3. Необходимо сократить количество занятых.
4. При падении ставки заработной платы предельный продукт также
будет падать, пока снова не будет достигнуто равновесие.
5.Прибыль убывает и необходимо сократить количество занятых.
4. Что означает предложение денег в классической модели рыночной
экономики?
1. Предложение денег определяется формулойMs = kpY.
2. Предложение денег рассматривается как фиксированная величина Мs,
регулируемая государством.
3. Предложение денег определяется формулой Ms= kpY +Lq(r).
4. Предложение денег меняется прямо пропорционально изменению
уровня цен.
5. Предложение денег можно представить формулой Ms = kpY, где k –
величина, обратная скорости обращения денег.
5. В чём состоит экономическая интерпретация неравенства (w/p) >
(w/p)0.?
1. Из соотношения (w/p) > (w/p)0 следует, что при увеличении ставки
заработной платы предельный продукт также будет увеличиваться, пока
снова не будет достигнуто динамическое равновесие.
29
2. Все рынки связаны друг с другом. Достаточно одному из рынков
выйти из состояния равновесия, как и все остальные рынки выйдут из этого
состояния и потом будут стремиться к некоторому новому состоянию
динамического равновесия.
3. Если (w/p) > (w/p)0, то необходимо увеличить наем рабочей силы, так
как с каждой дополнительной единицей труда получали бы дополнительную
прибыль.
4. Возникло превышение предложения над спросом на рабочую силу,
соответственно избыточное предложение рабочей силы привело к падению
заработной платы wпод влиянием вынужденной безработицы, при этом цены
рупадут, но в меньшей степени и реальная заработная плата снизится.
5. Возник
недостаток
рабочей
силы.
Это
вынудило
бы
предпринимателей увеличить оплату труда w, и тем самым увеличится и
реальная
заработная
плата.
Снова
будет
достигнуто
динамическое
равновесие.
Тесты по теме «Модели поведения потребителей»
1. Что означает следующее условие
, если функция u(x),
определенная на множестве X, называется функцией полезности,
соответствующей отношению предпочтения , если и(х) и(у)тогда и только
тогда, когда xy.?
1. Небольшой прирост блага при его первоначальном отсутствии резко
увеличивает полезность.
2. При очень большом объеме блага его дальнейшее увеличение не
приводит к увеличению полезности.
3. С ростом потребления блага полезность растет.
4. Для каждого потребителя функция полезности, если она существует,
определяется не однозначно.
30
5. С ростом потребления блага скорость роста полезности замедляется.
2. Какие два товара i, jназываются взаимозаменяемыми?
1. Если при снижении спроса на i– йтовар спрос на j– й товар также
падает.
2. Если
, т.е. если при возрастании цены на товар i при
компенсирующем изменении дохода с одновременным падением спроса на
товар i возрастет спрос на товар j.
3. Когда функция полезности остается постоянной.
4. В том случае, когда
.
5. В том случае, когда
3. Экономический смысл неравенства
заключается в
следующем:
1. Товары образуют взаимодополнительную пару (например,
компенсируемое увеличение цены на бензин приводит к падению спроса на
бензин и к падению спроса на автомобили).
2. Если спрос растет, то он растет больше при наличии компенсации,
если падает – то в меньшей степени.
3. Товары i, jявляются взаимозаменяемыми, т.е. если при возрастании
цены на товар i при компенсирующем изменении дохода с одновременным
падением спроса на товар i возрастет спрос на товар j.
4. При повышении цены на j-й товар найдется такой i-й товар
потребление которого возрастет при компенсирующем изменении дохода.
5. При возрастании цены на товар iпри компенсирующем изменении
дохода с одновременным падением спроса на товар iвозрастет спрос на товар
j.
31
4. Продолжить следующее утверждение «В точке спроса отношение
предельной полезности товара к его цене ...».
1. Зависит от предельной полезности добавочного дохода.
2. Есть величина постоянная.
3. Зависит от дохода Q.
4. С возрастанием цены убывает.
5. С убыванием предельной полезности убывает.
5. Сформулируйте 1-й закон Госсена.
1. Точка спроса – решение задачи потребительского выбора:
и(х) =>max, px = Q, х 0.
2. С ростом потребления блага полезность растет.
3. С ростом потребления блага скорость роста полезности замедляется.
4. В точке спроса предельная норма замещения одного товара другим
равна обратному отношению цен.
5. С увеличением цены на любой продукт j спрос на остальные
продукты не убывает:
Тесты по теме «Модели фирмы и монополии»
1. Оптимальная задача производителя при акцизном налоге (налоге с
продаж) формулируется следующим образом:
1. рТтах, Т.
2.П(x)=pF(x)-wx=>max, x 0.
3. П(Y) = R(Y) – I(Y) => max, Y 0.
4. (р – t)F(Z) – wZ=> max, Z  0.
5. (pF(Z) - wZ)(l - t) =>max, Z  0.
32
2. Записать математически утверждение «производство – необратимый
процесс», если вектор Z= (x1, ..., xm) – вектор затрат, а вектор Y= (x1,..., xm) –
вектор выпуска. ВекторТ = (Z, Y) – вектор затрат-выпуска, или технологий.
Каждый производитель характеризуется некоторым производственным
множеством т.
1. Если векторТ сколь угодно точно приближается векторами из , то
Т  .
2.  = {0}, где = {Т : Т  0}.
3. Если T1, Т2 , то для любого числа 0  1 выполняется условие Т1
+ (1 – ) Т2 .
4.  (-) = {0}, т.е. если Т, Т0, то -Т нельзя поменять местами
затраты и выпуск.
5. Для вектора затрат Z обозначим множество Mz = {Y:(Z, У) } –
множество всех возможных выпусков при затратах Z.В этом множестве
рассмотрим поверхность производственных возможностей Kz = {YMz: если
VMzи V>Y, то V= Y), т.е. Kz – множество лучших выпусков при данных
затратах Z. Для любого вектора затрат все наилучшие выпуски лежат на
поверхности производственных возможностей.
3. Что означает неравенство
если цена единицы ресурса w =
(w1, w2, ..., wn), axj =xj(p,w), (j = 1, 2, ..., n) функции спроса на ресурсы при
данных ценах на продукцию и ресурсы?
1. Увеличение цены выпуска приводит к увеличению спроса на
некоторые ресурсы.
2. Возрастание цены продукции приводит к понижению спроса на
определенный вид ресурсов, если и только если увеличение платы за этот
ресурс приводит к возрастанию оптимального выпуска.
3. Повышение платы за ресурс, всегда приводит к сокращению спроса
на этот ресурс. Кривые спроса на ресурсы-затраты всегда убывающие.
33
4. Возрастание цены продукции приводит к повышению спроса на
определенный вид ресурсов, если и только если увеличение платы за этот
ресурс приводит к сокращению оптимального выпуска.
5. Фирма на конкурентном рынке не может покупать ресурсы,
необходимые для производства по ценам, отличным от рыночных.
4. Что означает ситуацию, которая носит название неравновесия
Стакелъберга?
1. Если вторая фирма так же, как первая, будет действовать исходя из
того, что первая действует по Курно.
2. Каждая фирма принимает решение считать объем выпуска своего
конкурента постоянным в течение заданного периода.
3. Издержки фирм являются одинаковыми линейными функциями
выпуска, а цена продукции – линейная функция суммарного выпуска фирм.
4. Первая фирма выбирает какой либо выпуск Х11< Х0, тогда вторая
фирма действует так, как если бы первая все время выбирала Х11, , т.е.
, далее первая фирма выбирает
и т. д. обе фирмы
действуют аналогично.
5. Первая фирма раскрывает свою стратегию выпуска Х1, тогда вторая
фирма будет действовать по Курно оптимально, т.е.
, и тогда
- будет выпуск первой фирмы, максимизирующий ее прибыль.
5. Экономический смысл соотношения
заключается в
следующем:
1. Увеличение цены выпуска приводит к увеличению спроса на
некоторые ресурсы.
2. С ростом цены на продукцию выпуск продукции растет (выпуск
34является возрастающей функцией цены на продукцию).
34
3. В оптимальной точке стоимость предельного продукта данного
ресурса должна равняться его цене.
4. Повышение платы за ресурс, всегда приводит к сокращению спроса
на этот ресурс. Кривые спроса на ресурсы-затраты всегда убывающие.
5. Возрастание цены продукции приводит к повышению спроса на
определенный вид ресурсов, если увеличение платы за этот ресурс приводит
к сокращению оптимального выпуска.
Тесты для итоговой аттестации:
1. Дана функция затрат C = 10 + 5x + x2. Чему равны предельные
затраты, если объём производства равен 10 единиц?
1) 20; 2) 30; 3) 25; 4) 50; 5) 28.
2. Чему рана эластичность функции y = 3x– 6 при x = 10?
1) 1; 2) 2; 3) 5; 4) 1,5; 5) 1,25.
3. Эластичность функции равна 1,5. Это означает, что если x возрастёт
на 1 %, то y возрастёт на:
1) 1 %; 2) 15 %; 3) 0,15 %; 4) 1,5 %; 5) 1,5 ед.
4. Производственная функция в некоторой стране имеет вид: Y =
(КL)0.5. Предположим, что в наблюдаемый период отсутствуют технический
прогресс и рост населения, а норма выбытия капитала составляет 5%. При
этом ежегодно сберегается 30% от объема национального производства.
Определить уровень дохода на одного работающего, соответствующий
устойчивому запасу капитала.
1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 1.5; 5) 3.8.
5. Какое равновесие экономической системы называется устойчивым?
1) Когда экономика имеет устойчивые темпы роста.
35
2) Когда государственный бюджет на протяжении нескольких лет не
имеет дефицита.
3) Если выведенная из состояния равновесия, экономика сама в него
возвращается.
4) Если нет инфляции и безработицы.
5) Когда на денежном рынке устанавливаются относительные цены.
6. Какое положение является исходным постулатом классической
школы?
1) Эффективный спрос порождает предложение;
2) Предложение благ порождает спрос на них;
3) Общее равновесие экономической системы устанавливается через
равновесие наденежном рынке;
4) Государство не должно вмешиваться в развитие экономики.
5) В состоянии равновесия не все факторы могут быть вовлечены в
процесс производства.
7. В чем причина выхода экономической системы из равновесия с
точки зрения классиков?
1) Уровень цен опережает рост денежной массы.
2) В разбалансировании денежного рынка;
3) В ошибках правительства, войнах, неблагоприятных природноклиматических явлениях;
4) В снижении общих закупок по сравнению с выпуском продукции;
5) В неразвитости производственной сферы.
8. Что понимается экономистами классиками под равновесием на
рынке рабочей силы?
1) Равенство спроса и предложения рабочей силы, через которое
устанавливается уровень реальной заработной платы;
2) Равенство спроса и предложения рабочей силы, через которое
36
устанавливается уровень номинальной заработной платы;
3) Полная занятость населения, которая способствует использованию
всех факторов производства.
4) Такой уровень занятости, который дает максимизировать объем
производства.
5) Равновесием на рынке рабочей силы определяется производством в
экономической системе.
9. От чего зависит уровень цен в национальной экономике?
1) От равновесного состояния совокупного спроса и совокупного
предложения;
2) От состояния рынка труда и уровня реальной заработной платы;
3) От объема денежной массы, находящейся в обращении;
4) От равновесного уровня процентной ставки.
5) От скорости оборота денег.
10. Какие действия со стороны правительства возможны, по мнению
классиков, при нарушении макроэкономического равновесия?
1) Дополнительное стимулирование экономического развития за счет
привлечения внутреннего золотого запаса;
2) Не требуется государственного вмешательства, т.к. имеются
автоматические стабилизаторы;
3) Понижение (повышение) уровня процентной ставки;
4) Привлечение государственных (бюджетных) ассигнований при
резком падении производства.
5) Сохранять принцип нейтральности по отношению к действующим на
рынке экономическим субъектам, оставив за собой законодательные
функции и контроль за их выполнением.
11. Неоклассические модели экономического роста основаны на...
37
1) ...равенстве запланированных сбережений и запланированных
инвестиции.
2) ... методе распределения дохода между заработной платой и
прибылью.
3)
…
факторном
подходе
в
исследовании
агрегированной
производственной функции.
4) ... ожиданиях предпринимателей относительно совокупного спроса.
5) … переходе на более высокий уровень потребления сразу же при
повышении дохода.
12. Какая из формул представляет ключевое уравнение накопления
капитала по модели Р. Солоу?
1)
2)
3)
4)
5)
13. Если в экономике имеющийся запас капитала меньше, чем
необходимо по «золотому правилу накопления», это означает, что...
1) ... понизится уровень потребления.
2) ... увеличится объем производства.
3) ... повысится норма сбережений.
4) ... сократится объем инвестиций.
5) … повысится уровень цен в экономической системе;
38
14. Используя условие теста 4, найдите объем потребления на одного
работающего, соответствующий устойчивому уровню запаса капитала.
1) 4,2. 2) 3,4. 3) 6.1 4) 2.5 5) 5.4
15. Какие факторы влияют на объем денежной массы (М) на рынке?
1) Скорость оборота денежной единицы;
2) Уровень цен в экономической системе;
3) Отсутствие равновесия на денежном рынке;
4) Уровень процентной ставки;
5) Объем национального производства.
39
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В Г. БОЛЬШОЙ КАМЕНЬ
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Математическая экономика и имитационное моделирование экономических
процессов
080801.65 Прикладная информатика (в экономике)
Форма подготовки (очная)
40
Практическая работа № 1
Тема: Вычисление площади произвольной фигуры методом «МонтеКарло» (МК).
Цель: Применяя метод МК для решения простой задачи вычисления
площадей геометрических фигур, получить представление о сути метода и
технологии его реализации.
Теоретический раздел.
Ответить на вопросы:
а) в чем суть метода МК;
б) изложить принцип применения метода для вычисления площадей
(вычисления определенных интегралов);
в) назвать другие возможные области применения метода «МонтеКарло».
Постановка задачи.
Для плоской фигуры (индивидуально определяемой для каждого
варианта):
- произвести вычисление площади фигуры методом МК;
- вычислить расхождение полученного значения с точным значением
(вычисляемым по формуле) – погрешность вычисления (абсолютное
значение и относительное в процентах);
- проанализировать зависимость значения погрешности от числа
испытаний.
Ход работы:
1. Для заданной фигуры определить точную формулу вычисления ее
площади.
2. Описать в виде блок-схемы алгоритмы:
- вычисления площади фигуры методом МК, определения погрешности
относительно точного значения;
- анализа зависимости погрешности от числа испытаний.
3. Выполнить программную реализацию алгоритмов.
41
4. Сделать вывод по результатам работы.
Методические указания, пример.
Метод «Монте - Карло» — численный метод, основанный на
воспроизведении
большого
числа
реализаций
случайного
процесса,
специально построенного («сконструированного») для данной задачи.
При решении подобных задач ранее, без применения компьютеров,
источником случайных чисел служили различные физические эксперименты:
бросание монеты или кубика, верчение рулетки и т.п. С именем города в
княжестве Монако, известного своими игорными домами, и связано
происхождение названия метода.
Примерный алгоритм вычисления площади плоской фигуры
Фигура является произвольной, обязательное условие - должны быть
известны границы фигуры в виде аналитического выражения или табличного
задания функции.
В данном примере граница фигуры определяется уравнениями:
- осью абсцисс на интервале (a, b) (y = 0);
- графиком функции y = f(x), при этом f(x)<M;
- вертикальными прямыми x = a и x = b.
1.
Генерируем
пару
случайных
величин:
распределенную в диапазоне от a до b, а также
-
x
i
y
i
равномерно
- равномерно
распределенную в диапазоне от 0 до M, Указанные величины рассматриваем
как координаты некоторой «случайной»
точки внутри прямоугольника,
ограниченного снизу осью абсцисс, сверху
прямой y=M, а по бокам
-
прямыми x = a и x = b. Эта точка имеет координаты ( xi , yi) и может попасть
в исследуемую фигуру, а может и не попасть.
2. Проверяем принадлежность точки ( xi , yi) к исследуемой фигуре.
Если попадания нет, т.е.
y  f ( x ) , то переходим к пункту 1 и генерируем
i
i
координаты новой точки ( xi 1 , yi 1) .
42
3. Если попадание есть, т.е.,
y  f ( x ) , то необходимо зафиксировать
i
i
факт попадания (увеличить на единицу счетчик попаданий P) и снова
перейти к пункту 1. Примечание: попадание точки точно на границу фигуры
y  f (x )
i
i
можно отнести как к первому, так и ко второму исходу — это
воля экспериментатора (автора программы).
4. Предыдущие пункты следует повторить достаточно большое число
раз
(i = 1 ÷ N). От значения N, в конечном итоге, зависит точность
вычислений.
5. После проведения N испытаний имеем несложную пропорцию:
общее число опытов соответствует всей площади прямоугольника, равной M
× (b-a), а число попаданий
P
будет соответствовать неизвестной площади
S
исследуемой фигуры. Отсюда:
S = (M × (b-a) ) × P / N.
Генерация случайных чисел для целей решения задачи
Генерация
случайных
распределенных
вещественных
чисел,
в диапазоне от 0 до 1 (случайная
равномерно
величина, со
стандартным обозначением γ), осуществляется с помощью соответствующих
функций, «встроенных» в язык программирования.
Например, в языке Паскаль – это функция RANDOM: γ:=random.
В MSExcel - это функция =СЛЧИС(), в VBA это функция Rnd.
Если
необходимо
генерировать
случайные
числа,
равномерно
распределенные в другом диапазоне (случайная величина η), то необходимо
преобразовать
это
выражение
с
помощью
операций
смещения
и
масштабирования. Например, для того, чтобы получить случайное число η с
равномерным распределением
в диапазоне от C
до D, необходимо
воспользоваться соотношением:
η = C + (D – C) γ.
Варианты задания.
43
Геометрическая
фигура,
площадь
которой
подлежит
расчету,
образуется осью абсцисс и графиком функции y=f(x) (y> 0) на интервале a ≤
x ≤ b.
При этом:
а) a ≥ 0, b> а.
б) y=f(x) <M.
Ваш вариант (вид функции) определяется по последней цифре вашего
порядкового номера в списке группы, деленной на 2 (округление в сторону
увеличения).
1) y = k x + c; 2) y = k x ² + c; 3) y = k sin(x) + c; 4) y = k cos(x) + c;
5) y = kln(x) + c.
Литература: Соболь И.М., Метод Монте-Карло. М., 1968
Отчет
о
лабораторной
работе,
содержащий
разделы:
теоретический, постановка задачи, ход работы, представляется
в
течение трех недель преподавателю в электронном виде (на носителе
или по адресу vladim@fentu.ru).
Практическая работа № 2
Тема: Генерация (разыгрывание) случайных величин (СВ) с заданным
законом распределения.
Цель: получить представление и практические навыки разыгрывания
СВ с различными законами распределения.
Теоретический раздел.
Ответить на вопросы:
а) дать определение понятия «разыгрывание СВ»;
б)
указать
перечень
наиболее
распространенных
приемов
разыгрывания СВ;
Постановка задачи.
1. Выполнить разыгрывание 10 значений дискретной случайной
величины, заданной следующим образом:
44
x i:
1
pi :
0,15
2
0,35
3
4
0,45
0,05
Вычислить среднестатистическое значение разагранной величины и
сравнить его с её математическим ожиданием.
2. Выполнить разыгрывание непрерывной СВ (закон распределения СВ
индивидуально определяется для каждого варианта).
Ход работы:
1. Выбрать метод разыгрывания случайной величины для заданной (см.
раздел «Варианты заданий») функции. Если для данной СВ возможны также
иные (помимо выбранного) способы разыгрывания, указать их.
2.
Разыграть
случайные
величины
(получить
набор
значений
разыгранныхСВ).
3. Оценить параметры разыгранных случайных величин (среднее
значение, статистическая дисперсия) и сравнить их с соответствующими
теоретическими параметрами (математическое ожидание, дисперсия).
Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать разделы:
- теоретический;
- постановка задачи;
- ход выполнения работы.
Отчет представляется
в течение двух недель после проведения
лабораторного занятия преподавателю в электронном виде (на носителе или
по указанному электронному адресу).
Методические указания.
Задача может быть реализована средствами MSExcel или какого-либо
языка программирования.
Задачу генерирования случайных чисел на ЭВМ с заданным законом
распределения решают в несколько этапов:
45
предварительно
-
реализуется
возможность
получать
последовательность равномерно распределенных на интервале [0, 1]
псевдослучайных чисел («базовая» случайная величина);
-
с
помощью
этой
базовой
случайной
величины
получают
последовательности случайных чисел с заданным законом распределения в
заданном интервале.
Разыгрыванием
распределения
случайной
называется
величины
получение
с
заданным
значения
этой
законом
случайной
величины на основании одного или нескольких значений базовой
случайной величины.
Приемы генерации значений «базовой» случайной величины
«Базовая» случайная величина
распределенная
в
интервале
(0,
- случайная величина, равномерно
1),
то
есть
такое
распределение
(равномерное) характеризуется тем, что каждое возможное случайное число равновероятно.
Генерация
распределенных
случайных
вещественных
чисел,
в диапазоне от 0 до 1 (случайная
равномерно
величина, со
стандартным обозначением γ), осуществляется с помощью соответствующих
функций, «встроенных» в язык программирования.
Например, в языке Паскаль – это функция RANDOM: γ:=random.
В MS Excel - это функция =СЛЧИС(), в VBA это функция Rnd.
Разыгрывание дискретных случайных величин.
Общая схема.
Дискретная случайная величина (ДСВ) X задана, если:
- задано множество её возможных значений { x1, x2, …, xi, …, xn};
- задана вероятность каждого из этих значений pi (i = 1 ÷ n).
Как правило, такое задание удобно оформить в виде следующей
таблицы:
46
x
X
1
…
x
2
n
p
p
1
x
…
p
2
p
n
Процедура разыгрывания дискретной случайной величины выглядит
следующим образом.
Подготовительные операции:
- разбиваем интервал (0, 1) точками с координатами р1, р1+р2, ,
р1+р2+р3, …, р1+р2+р3 +…+рn-1 на n частичных интервалов :
;
- эти интервалы имеют естественную нумерацию i = 1 ÷ n, очевидно
также, что длина Di каждого из интервалов равна значению вероятности рi .
Собственно
разыгрывание
(получение
очередного
значения
требуемой случайной величины на основании одного или нескольких
значений базовой случайной величины γ) заключается в циклическом
выполнении следующей последовательности действий:
- генерируем очередное значение случайной величины γj
(напомним,
оно из интервала (0, 1);
- анализируем,
в какой интервал ∆i оно попало, и номер этого
интервала определят очередное значение
разыгрываемой случайной
величины - хi.
Сводный перечень способов разыгрывания непрерывных
случайных величин.
1. Общее решение на основании метода обратных функций: путем
z
разрешения уравнения
 p( x)dx  
a
относительно z.
1.1. Решение этого уравнения для разыгрывания равномерной СВ:
47
z = a + γ(b – a).
1.2. Решение этого уравнения для разыгрывания экспоненциальной СВ
1
z   ln 
a
(Пуассона) :
.
2. Специальное решение (поскольку уравнение не разрешимо) для
нормальнойСВ
(Гаусса)
с
использованием
центральной
предельной
теоремы.
Разыгрывание нормальной СВ: через «стандартное нормальное
распределение» x: z = m + σx.
Разыгрывание «стандартного нормального распределения» на основе
«центральной предельной теоремы» - «сумма большого числа случайных
чисел с одинаковыми законами распределения приблизительно нормальна».
Известно, что если случайная величина R распределена равномерно в
интервале (0, 1), то ее математическое ожидание М(R) = 1/2, а дисперсия
D(R) = 1/12.
Составим сумму n независимых случайных величин Rj (j = 1,2,...n),
которые распределены равномерно в интервале (0, 1). Получим
Пронормируем
эту
сумму.
Для
этого
найдем
.
сначала
ее
математическое ожидание и дисперсию. Известно, что математическое
ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий
слагаемых. Сумма Ri содержит n слагаемых. Математическое ожидание
каждого слагаемого равно 1/2. Следовательно, математическое ожидание
суммы равно:
;
Аналогично для дисперсии суммы Rj получим:
48
Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы Rj:
Теперь пронормируем сумму Rj.
Для этого вычтем из суммы Rj математическое ожидание этой суммы и
разделим на среднее квадратическое отклонение суммы Rj(то есть,
).
Получим
На основании центральной предельной теоремы
теории
вероятностей
при
распределение
этой
нормированной
случайной величины стремится к нормальному закону с параметрами a = 0 и
= 1.
При
конечномn
распределение
можно
рассматривать
как
приближенно нормальное. Например, при n = 12 получим достаточно точное
для практики приближение
Таким образом, получаем, что для того чтобы разыграть возможное
значение xi нормальной случайной величины Х с параметрами a = 0 и
= 1,
нужно сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы
вычесть 6.
3. Метод Неймана (универсальный) для разыгрывания непрерывной
случайной величины.
49
В общем случае может оказаться, что «метод обратных функций»
неприменим: в силу того, разрешить общее уравнение трудно или даже
невозможно. Например, в случае, когда интеграл от p(х) не выражается
через элементарные функции или когда плотность p(х) задана, не
аналитически, а графически.
В этом случае возможно применение действительно универсального
метода разыгрывания непрерывной случайной
величины
-
«Метода
Неймана».
Итак, задана случайная
величина Х с произвольным
законом распределения, она
определена
на
конечном
интервале (а, b) и плотность ее
ограничена (рис. 1): p(х) ≤ M0
.
Рис. 1. Разыгрывание произвольной случайной величины.
Разыгрывать значениеХможно следующим образом:
1) выбираем два значения r1 и r2 случайной величины R и строим
случайную точку Г (ή, η”) с координатами
ή = a + r1 (b-a);
η”= r2 M0.
2) если точка Г лежит под кривой у = p(х), то полагаем x = ή, если же
точка Г лежит над кривой у = р(х), то пару (ή, η”) отбрасываем и выбираем
новую пару значений (ή, η”).
50
Примечание:
z – значение интересующей нас (разыгрываемой) случайной величины;
γ
- значение «базовой» случайной величины – равномерно
распределенной на интервале 0 ÷ 1;
x – значение случайной величины со
«стандартным нормальным
распределением» (m=0, σ =1).
Как правило, в языках программирования и моделирования имеются
встроенные функции для генерации значений γ и x.
Варианты задания.
Ваш вариант (вид функции плотности распределения) определяется по
последней цифре вашего порядкового номера в списке группы.
0) нормальный закон распределения f ( x) 
1
 2

e
( x m)2
2 2
, m =2, σ = 0,7;
1) распределение по закону Гаусса, m =5, σ = 3,5;
2) закон равномерной плотности на интервале (а, в), а= 10, в= 15;
3) распределение по закону Пуассона (x≥0) f ( x)  ae  ax , а = 4;
4) нормальный закон распределения f ( x) 
1
 2

e
( x m)2
2 2
, m =0, σ = 2;
5) экспоненциальный закон распределения (x≥0), a = 2.
6) распределение по закону Гаусса , m =25, σ = 5;
7) закон равномерной плотности на интервале (а, в), а= 2, в= 10;
8) распределение по закону Пуассона (x≥0) f ( x)  ae  ax , а = 10;
9) нормальный закон распределения f ( x) 
1
 2

e
( x m)2
2 2
, m =10, σ = 5.
Практическая работа № 3
Тема: Определение закона распределения случайной величины (СВ) на
основании опытных данных.
51
Цель: получить представление и практические навыки решения
«обратной» (по отношению к задаче разыгрывания случайной величины)
задачи
определения
-
закона
распределения
СВ.
Теоретический раздел.
Ответить на вопросы:
а) дать общее описание задачи определения закона распределения СВ
на основании опытных данных;
б) перечислить этапы процедуры определения закона распределения
СВ на основании опытных данных.
Постановка задачи.
Полученные в результате выполнения лабораторной работы № 2
«разыгранные»
наборы значений случайных величин, рассмотреть как
исходные данные («забыв» их происхождение) и решить «обратную» задачу:
определить закон их распределения.
Ход работы:
Для каждой анализируемой СВ.
1. Построить (представить таблично и/или в виде гистограммы)
статистическую функцию распределения.
2. Построить (представить таблично и/или в виде гистограммы)
статистический ряд распределения.
3. Вычислить статистическое среднее значение по результатам опыта
n
(M
*
[X ] 
x
j 1
n
j
),
где
n
-
количество
значений
x
j
случайной
величины,
полученных по результатам опыта.
4. Сделать предположение (гипотезу) о виде функции плотности
распределения и выполнить её проверку по критерию Пирсона в следующем
порядке.
4.1. Вычислить значение меры расхождения по «критерию Пирсона»
(«кси-квадрат») для выбранной теоретической функции.
52
4.2. Вычислить значение математического ожидания теоретической
функции – гипотезы и сравнить его со статистическим средним (п. 3).
4.3. Установить количество связей (s), определить количество степеней
свободы (r).
4.4. Определить (по таблице из Л-1 или используя соответствующую
функцию в языке программирования) оценочную вероятность.
4.5.
Сделать
заключение на основании
полученного
значения
оценочной вероятности.
Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать разделы:
- теоретический;
- постановка задачи;
- ход выполнения работы.
Отчет представляется
в течение двух недель после проведения
лабораторного занятия преподавателю в электронном виде (на носителе или
по указанному электронному адресу).
Методические указания
Задача может быть реализована средствами MSExcel или какого-либо
языка программирования.
Значения критерия «кси-квадрат» (Пирсона) вычисляется по формуле
(подробнее см. в Л-1).
(mi  npi ) 2
U  
, где:
npi
i 1
k
2
i = 1 ÷ k, k – число разрядов статистического ряда, на которые разбит
весь диапазон полученных значений случайной величины;
mi - число значений случайной величины, попавшей i-й разряд (по
результатам опыта);
pi -
вероятность (теоретическая) попадания значений случайной
величины в i-й разряд;
53
n - количество значений случайной величины, полученных по
результатам опыта.
Количество «связей» (дополнительных ограничений на значения
параметров выбранной теоретической функции): s.
Такими дополнительными ограничениями могут быть:
требование
-
k
mi
n
«сумма
всех
частот
должна
быть
равна
1
единице»( i1
) имеет место всегда;
- требование равенства статистического среднего по результатам опыта
n
( M *[ X ] 
x
j 1
j
n
) и математического ожидания теоретического распределения
(M[X]).
Количество степеней свободы: r= k-s.
Оценочная вероятность (p)
– есть вероятность того, что мера
расхождения теоретического и статистического распределений будет не
меньше, чем рассчитанное значение критерия, за счет чисто случайных
причин.
Достаточно большое значение p – основание, чтобы
признать
расхождение между теоретическим и статистическим распределениями
несущественным и отнести его (расхождение) на счет случайных причин.
Тем самым – нет оснований гипотезу отвергнуть.
В противном случае (если оценочная вероятность мала), гипотезу
следует отвергнуть: расхождение между теоретическим и статистическим
распределениями является не случайным, а вызвано принципиально
неверным выбором теоретической функции.
Практическая работа № 4
Тема:
Практическое
предназначенной
для
знакомство
моделирования
с
программой
взаимодействия
«MPNet»,
параллельных
54
(асинхронных) процессов с помощью аппарата модифицированных Сетей
Петри.
Цель: получить представление и практические навыки работы с
программным
пакетом,
овладеть
приемами
моделирования
простых
характерных ситуаций.
Теоретический раздел.
Ответить на вопросы:
а) определение Сети Петри, перечень её базовых понятий;
б) сформулировать (применительно к Сети Петри) общие принципы
моделирования:замещение (отображение)
базовых понятий предметной
области понятиями (категориями) системы моделирования;
б)
перечислить
основные
компоненты
и
функции
пакетов
моделирования с использованием Сетей Петри (на примере MPNet).
Содержание работы.
1. Общее знакомство с программойMPNet по ее описанию. Свойства и
характеристики позиций (мест), переходов, дуг в программе MPNet.
Основные
функциональные
возможности
пакета:
графический
редактор – построение визуальной модели; эмулятор – «проигрывание»
модели; анализ статистики функционирования модели.
Сформулировать отличия (расширения) моделирующих возможностей
пакетаMPNet, в сравнении с классическим (каноническими) свойствами
Сетей Петри.
2. Ознакомление с готовым примером «Офис» (файл – «офис.nmp»).
Выявление параметров, значение которых могут быть проанализированы в
результате «проигрывания »модели.
3.
Построение
моделей
для
простых
характерных
ситуаций,
рассмотренных в лекциях (одноканальная система массового обслуживания;
конфликтующие процессы – «запись - запись», «запись – чтение»;
55
«производитель - потребитель»). Формулировка для каждой ситуации
возможных задач моделирования:
- целевые параметры, подлежащие анализу;
- исходные (варьируемые) параметры, влияющие на значения целевых
параметров.
Вопросы к тестам для тематической (промежуточной) аттестации
Раздел 1.
1. Виды моделей, их классификация. Место имитационных моделей в
этой классификации.
2. Существенные
имитационного
особенности
моделирования.
(целесообразность
Основы
методологии
применения)
имитационного
моделирования.
3.
«Метод
Монте-Карло»,
сущность.
Сопоставление
понятий
«имитационное моделирование» и «Метод Монте-Карло». Целесообразность
и схема применения «Метода Монте-Карло» для вычисления определенного
интеграла.
4. «Метод Монте-Карло», сущность. Правило «3-х сигм», способы
оценки достоверности и точности метода.
Раздел 2.
5. Разыгрывание
случайных
величин,
определение.
Продемонстрировать пример разыгрывания дискретной случайной величины
с распределением
┌ 3
│
4
┐
│
└ 0,25 0,75 ┘.
6. Разыгрывание случайных величин, определение. Общая схема
разыгрывания дискретной случайной величины.
56
7. Разыгрывание случайных величин, определение. Общая формула
разыгрывания непрерывной случайной величины (. Оценка ее применимости
для различных видов распределений.
8. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания
непрерывной
случайной
величины
равномерно
распределенной на интервале (а, в).
9. Разыгрывание случайных величин, определение. Формула для
разыгрывания непрерывной случайной величины с экспоненциальным
законом распределения. Примеры практических ситуаций с таким законом
распределения.
10. Разыгрывание случайных величин, определение. Метод Неймана
для разыгрывания непрерывной случайной величины с произвольным
законом распределения.
11. Разыгрывание
случайных
величин,
определение.
Приемы
разыгрывания непрерывной случайной величины с нормальным законом
распределения.
12. Два
аспекта
применения
аппарата
теории
вероятностей
в
имитационном моделировании. Соотношение понятий «математическое
ожидание» и «среднее значение, рассчитанное по результатам испытаний».
13. Определение законов распределения случайных величин на
основании опытных данных. Характерные задачи. Особенность применения
методов математической статистики в имитационном моделировании.
14. Статистическая функция распределения. Пример построения по
результатам опыта.
15. Статистический ряд. Пример построения по результатам опыта.
16. Оценка достоверности гипотезы о законе распределения случайной
величины, сделанной на основании опытных данных. Критерии согласия.
17. Определение законов распределения случайных величин на
основании
опытных
данных.
Критерий
согласия
Пирсона.
Схема
применения.
57
Раздел 3.
18. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение,
основные понятия, их графическая интерпретация. Пример:
модель
одноканальной системы массового обслуживания.
19. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение,
основные понятия, их графическая интерпретация. Пример:
модель
взаимодействия «производитель – потребитель».
20. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение,
основные понятия, их графическая интерпретация. Пример: модель задачи
взаимного исключения процессов (монопольное использование ресурса
нескольким процессами).
21. Основные понятия «Сетей Петри»: сфера применения, определение,
основные понятия, их графическая интерпретация. Пример:
модель
взаимодействия процессов чтения и записи.
22. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия.
Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS
«транзакт».
23. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия.
Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS
«устройство».
24. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия.
Примеры явлений предметной области, моделируемых объектом GPSS
«память».
25. Принципиальное
отличие
процесса
исполнения
программы,
написанной на традиционном языке программирования и программы в
GPSS. Типовая последовательность действий при продвижении транзакта.
26. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Блоки
TABLE, TABULATE.
27. Система (язык) GPSS: сфера применения, основные понятия. Блоки
QUEUE, DEPART.
58