Ф. И. Чернова Т.К. Пимонова СТАТИСТИКА:

Ф. И. Чернова
Т.К. Пимонова
СТАТИСТИКА:
практикум
Утверждено Редакционно-издательским советом
университета в качестве пособия
Магнитогорск
2014
УДК
Рецензенты:
Заведующий кафедрой менеджмента ФГБОУ ВПО «Магнитогорский
государственный технический университет имени Г.И.Носова»,
доцент, кандидат технических наук
Д.Б.Симаков
Заведующий кафедрой естественнонаучных дисциплин, менеджмента и
сервиса ОАНО ВО «Московский психолого-социальный университет»,
доцент, кандидат педагогических наук
С.И. Аверьянова
Чернова Ф.И., Пимонова Т.К. Статистика: практикум / Ф.И.Чернова,
Т.К.Пимонова. – Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. тех. ун-та им.
Г.И.Носова, 2015.
Чернова Ф.И. – старший преподаватель филиала НОУ ВПО «МПСУ» в г.
Магнитогорске Челябинской области. Преподает статистику в учебных
заведениях города более сорока лет.
Пимонова Т.К. – кандидат экономических наук, доцент, заведующая
кафедрой гуманитарных и социально-экономических дисциплин филиала
НОУ ВПО «МПСУ» в г. Магнитогорске Челябинской области.
Практикум содержит методические указания, решения задач по основным
темам общей теории статистики, а также задачи для самостоятельной работы
студентов. Может быть рекомендован к использованию студентам
направлений «Экономика», «Менеджмент», «Управление персоналом»,
«Государственное и муниципальное управление».
Содержание
ПРЕДИСЛОВИЕ .................................................................................................... 4
ТЕМА 1 СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ ................................................. 6
Задачи и упражнения для самостоятельной работы ....................................... 7
ТЕМА 2 СВОДКА И ГРУППИРОВКА СТАТИСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
.................................................................................................................................. 9
Задачи и упражнения для самостоятельной работы ..................................... 16
ТЕМА 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ .............................. 20
Задачи для самостоятельной работы .............................................................. 26
ТЕМА 4. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В
СТАТИСТИКЕ ..................................................................................................... 28
Задачи для самостоятельной работы ............................................................. 34
ТЕМА 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ В СТАТИСТИКЕ. ВИДЫ. ВАРИАЦИЯ,
ЕЁ ПОКАЗАТЕЛИ .............................................................................................. 41
Задачи для самостоятельной работы студентов ............................................ 52
Тема 6. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ. ОШИБКА И ЧИСЛЕННОСТЬ
ВЫБОРКИ ............................................................................................................. 56
Задачи для самостоятельной работы студентов. ........................................... 61
ТЕМА 7. РЯДЫ ДИНАМИКИ: ПОКАЗАТЕЛИ ИХ ОЦЕНКИ, МЕТОДЫ
ОБРАБОТКИ ........................................................................................................ 64
Задачи для самостоятельной работы студентов ............................................ 67
Метод скользящей средней ............................................................................. 73
Выравнивание рядов динамики по аналитическим формулам .................... 75
Задания для самостоятельной работы студентов .......................................... 78
Методы выявления сезонных колебаний ....................................................... 78
Задачи для самостоятельной работы студентов ............................................ 80
ТЕМА 8. ИНДЕКСЫ: ВИДЫ, ПОРЯДОК РАСЧЕТА ...................................... 81
Задачи для самостоятельной работы студентов ............................................ 91
ТЕМА 9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ РЕГРЕССИИ И КОРРЕЛЯЦИИ В
СТАТИСТИКЕ ..................................................................................................... 94
Задачи для самостоятельной работы студентов .......................................... 100
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Практикум дает возможность более продуктивно распределять
учебное время и упростить для студентов самостоятельное изучение курса.
Предлагаемый практикум по общей теории статистики может быть
использован студентами при получении экономического образования,
неотъемлемой частью которого является статистическая грамотность,
позволяющая проводить статистические исследования с целью выявления
статистических закономерностей в развитии общественно-экономических
явлений и процессов.
Одна из основных задач данного пособия
- научить студента
творчески подходить к решению задач, обусловленных ходом развития тех
или иных экономических явлений.
Задачи составлены с учетом постепенного поэтапного освоения
студентами курса общей теории статистики на основе следующих
рекомендуемых учебников:
1.
Васнев, С.А.Кадровая статистика[Текст ]: учеб. пособие/С.А.Васнев.
- М.:Статистика, 2011.-160с.
2.
Делен,
С.А.Статистика[Электронный
ресурс
]:
учеб.
пособие/С.А.Делен;
А-Приор,
2009.Режим
доступа:
http://www.iprbookshop.ru
3.
Плохотников,
К.Э.Статистика[Текст
]:учеб.
пособие
/К.Э.Плохотников, С.В.Колков.-М.:Флинта:МПСИ, 2010.-288с.
4.
Салин, В.Н.Социально-экономическая статистика[Текст ]:учебник
/В.Н.Салин, Е.П.Шпаковская.-М.:Юристъ, 2006.-461с.
5.
Социально-экономическая
статистика[Текст
]:практикум/Под
ред.В.Н.Салина, Е.П.Шпаковской.-М.:Финансы и статистика, 2006.-192с.
6.
Статистика[Текст ]:учеб.пособие/Под ред.В.Г.Ионина.-2-е изд.,
перераб. и доп.-М.:ИНФРА-М, 2006.-384с.
7.
Статистика[Текст ]:учебник/ Под ред.И.И.Елисеевой. - М.: Высшее
образование, 2008.
8.
Статистический
словарь[Текст
]:словарь/гл.ред.Ю.А.Юрков;
редкол.:И.К.Белявский, В.А.Варенов, В.И.Галицкий.-М.:Финстатинформ,
2000.
9.
Теория статистики [Электронный ресурс]: учебник/ Р.А. Шмойлова
[и др.].-М.:Финансы и статистика, 2014.— 656 c.— Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/18846
4
10.
Экономическая статистика[Текст ]:учебник /Под ред. Ю.Н. Иванова.
– М.: ИНФРА-М, 2007.-736с.
Особенностью данного пособия, на наш взгляд, является то, что
большая часть задач составлена на основе реальных данных, полученных из
информации, отраженной в СМИ, таких, как:
1. Аргументы и факты. Челябинск
2. МК-Урал. Московский комсомолец. Общественно-политическая газета.
Российский региональный еженедельник
3. Комсомольская правда. Челябинск
4. Синегорье. Областная газета для всей семьи
5. Магнитогорский металл. Общественно-политическая газета, и др.
5
ТЕМА 1 СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
Наблюдение - первый этап статистического исследования и
представляет собой процесс сбора данных о явлениях общественной жизни
для их цифрового освещения. Характер и состав сведений, получаемых в
процессе наблюдения, обусловлены целями и конкретными задачами
статистического исследования, для его выполнения определяются объем и
единица наблюдения, разрабатывается программа, выбирается форма
наблюдения. Выбор объекта и единицы наблюдения есть решение
программно-методологических вопросов статистического наблюдения.
Программа наблюдения – это перечень признаков, подлежащих
регистрации, либо перечень вопросов, по которым собирают сведения.
Программа наблюдения оформляется в виде бланка (анкеты, формуляра).
В процессе подготовки статистического наблюдения решаются также
определенные организационные вопросы- определение:
-субъекта,
- места,
-времени,
-формы,
-способа наблюдения.
Основными формами статистического наблюдения служат отчетность
и специально – организованные статистические обследования.
Собранные в процессе статистического наблюдения данные должны
быть подвергнуты всесторонней
проверке и контролю. Проверка
осуществляется с точки зрения полноты охвата всех единиц наблюдения и
правильности оформления документов, то есть отчетливости их заполнения и
наличия в
них всех необходимых записей, предусмотренных
статистическими формами и инструкцией. Одновременно с этой формой
контроля статистические данные должны проверяться по существу в порядке
логического и арифметического контроля.
Пример
составления
программы
(анкеты)
статистического
наблюдения, обеспечивающего формирование национальной сборной по
хоккею:
1. Задача наблюдения – отбор игроков для выступления за национальную
сборную;
2. Объект наблюдения – совокупность игроков в профессиональных
клубах;
6
3. Единица наблюдения – хоккеист, «на сегодняшний день» играющий
в хоккей;
4. Субъект наблюдения – комитет по отбору;
5. Время наблюдения – в течение сезона;
6. Форма наблюдения – специальное статистическое обследование;
7. Признаки, определяющие отбор:
- гражданство,
- амплуа,
- возраст,
- количество проведенных игр,
-количество заброшенных шайб для полевых игроков и количество
пропущенных (для вратарей),
- количество сделанных передач гола,
- физическое состояние (здоровье) и физические характеристики
(скорость, выносливость и другое),
- моральное состояние,
- технические показатели (преодоление препятствий, владение
клюшкой, видение поля и другое),
- участие когда – либо в играх за сборную,
- другие признаки.
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1. Составьте план статистического обследования Вашего места учебы:
а) определите цель, объект и единицу наблюдения;
б) составьте программу наблюдения;
в) разработайте формуляр наблюдения и инструкцию к нему;
г) составьте организационный план наблюдения.
2. Какие признаки следует указать в анкете при проведении обследования:
а) промышленного предприятия;
б) аграрно-промышленного комплекса;
в) торгового предприятия;
г) страховой компании;
д) совместного предприятия;
3. Определить цель и разработать программу статистического обследования
школ города.
7
4. Какая форма статистического наблюдения должна использоваться при
изучении структуры автомобильного транспорта в городе?
5. Проверка статистической отчетности по численности контингента
университета показала: общая численность студентов 500 человек, в том
числе: 1 курс – 80 человек, 2 курс – 90 человек, 3 курс – 120 человек, 4 курс –
115 человек, 5 курс – 105 человек. Какой вид контроля следует выполнить
для проверки полученных результатов исследования отчетности.
6. Данные переписного листа свидетельствуют:
а) фамилия, имя ,отчество (Иванова Мария Ивановна);
б) пол (мужской);
в) возраст (8 лет);
г) состоит ли в браке в настоящее время (да);
д) национальность (русская);
е) родной язык (русский);
ж) образование (средне специальное);
з) место работы (поликлиника);
и) занятие по этому месту работы (медицинская сестра);
Какой вид контроля следует выполнить для проверки полученной
информации из переписного листа.
7. В обследуемой стране на вопрос «Состоит ли он в браке в настоящее время
», один из членов семьи ответил «Нет». Перепись населения проводилась с 15
по 22 января текущего года. Критическим моментом времени было 00 часов
ночи с 14 на 15 января. Счетчик (счетный работник) в указанной семье был
17 января. Свидетельство о расторжении брака у члена семьи, отрицающего
его женатое состояние, указывает, брак, расторгнут в первый день переписи –
15 января. Как должен поступить счетчик? Считать опрашиваемого
состоящим в браке или в разводе?
8. В условиях переписи, отраженных в предыдущем задании, в семье
посещаемой счетчиком 16 января, 14 января родился ребенок. Как должен
поступить счетчик относительно этого ребенка:
- внести в переписной лист;
- не вносить в переписной лист;
8
ТЕМА 2 СВОДКА И ГРУППИРОВКА СТАТИСТИЧЕСКИХ
МАТЕРИАЛОВ
Сводка и обработка результатов статистического наблюдения – второй
этап статистического исследования.
Сводка выполняется по программе, разработанной заранее,
представляет собой обработку материалов наблюдения, включая:
- обязательный контроль собранных данных;
- систематизацию и группировку материалов;
- составление таблиц;
- получение итогов и производных показателей;
Цель сводки – получение на основе сведенных материалов
обобщающих статистических показателей, отражающих сущность изучаемых
социально – экономических явлений и процессов и позволяющих выявить
определенные статистические закономерности.
Группировка – это выделение в совокупности общественных явлений
важнейших типов, характерных групп и подгрупп по существенным для них
признакам. Группировка – это разбиение совокупности на группы,
однородные по какому- либо признаку. В основе группировки лежат две
категории: группировочный признак и интервал.
Группировочный признак – это признак, по которому происходит
выделение единиц совокупности в однородные группы.
Группировочные признаки делятся на:
1)
имеющие количественное выражение (значение) признака
(возраст, стаж работы, и так далее). Данные признаки являются
вариационными и подразделяются на дискретные и непрерывные
(интервальные).
Дискретный признак может принимать определенные (конкретные) значения
из конечного набора таких значений. Непрерывный признак может
принимать любые промежуточные значения в виде интервалов «от и до».
2)
признаки, не имеющие
конкретного количественного
выражения, являются атрибутивными признаками.
Так, например, распределение студентов по баллам оценок,
полученных в сессию (от 2 до 5) будет группировка по вариационному
дискретному признаку, а распределение студентов по уровню успеваемости с
выделением в их составе двух групп: неуспевающие и успевающие - есть
группировка по атрибутивному признаку.
9
В общей теории статистики признак обозначается через «х».
Интервал очерчивает количественные границы групп, практически
представляет собой промежуток между максимальным и минимальным
значением признака в конкретной группе. Интервалы бывают равные и
неравные, открытые и закрытые.
Шаг интервала рассчитывается по формуле (2.1):
ℎ=
𝑋𝑚𝑎𝑥−𝑋𝑚𝑖𝑛
𝑛
,
(2.1)
где
ℎ – шаг (размер) интервала
𝑋𝑚𝑎𝑥, 𝑋𝑚𝑖𝑛 – соответственно максимальное и минимальное значение
группировочного признака в исследуемой статистической совокупности;
n – число групп;
При выполнении группировки рекомендуется соблюдать следующие
правила при определении практической для применения величины шага
интервала:
1.
если расчетная его величина имеет один знак до запятой
(2,58), то производится округление до десятой (h=2,6);
2.
две значащие цифры до запятой (35,31) позволяют округлить
до целого
числа (h=35);
3.
при трехзначном числе (383) округление производят до
числа, кратного 50 или 100 (h=350 или h=400);
Так же при выполнении группировки следует руководствоваться
правилом «включительно» или «исключительно». В первом случае единица
совокупности, имеющая значение, соответствующее максимальному
значению признака, в какой -либо группе, учитывается в составе этой
группы. Например выполняется группировка данных по заработной плате по
интервалам, тыс. руб: 10-15; 15-20; 20-25 и так далее.
При «включительно», рабочий с заработной платой в сумме 20
тыс.руб. включается в группу с интервалом 15-20, а при «исключительно» 20-25.
Для определения числа групп (n) в исследуемой статистической
совокупности так же имеют место определенные пути (правила):
1.
математический путь — формула Стерджесса (2.2):
10
n=1+3,322 lgN,
(2.2)
где
N – объем совокупности (число единиц в изучаемой совокупности)
2.
применение показателя δ (среднее квадратическое
отклонение).
Если шаг интервала (h)
h=0,5δ
n=12
h=2/3δ
n=9
h=δ
n=6
3.
количество групп задается исследователем при выполнении
группировки той или иной статистической совокупности.
Простой группировкой в статистике является ряд распределения. Это
ряд чисел, показывающий как распределяются единицы совокупности по
изучаемому признаку.
Для характеристики ряда распределения используются показатели:
1.
частота – число единиц совокупности, соответствующее
данному значению признака. В общей теории статистики частота
обозначается через «ʄ»
2.
частость (𝜔) – это доля частот в общем объеме
совокупности, определяется по формуле (2.3):
i 
3.
fi
f
(100%).
(2.3)
i
кумулятивные частоты ( S f ) и частости ( S  ).
Кумулятивные показатели- это есть его значение нарастающим
итогом, то есть накопленные (кумулятивные) частоты и частости.
Пример. Имеются следующие данные о числе рабочих мест в
30 магазинах и о размере розничного товарооборота в них в отчетном
периоде (табл. 2.1).
11
Таблица 2.1
Номер
магазина
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Число
рабочих
мест
2
9
8
2
6
3
5
4
5
6
4
7
12
10
3
Исходные данные
ТовароНомер
Число
оборот
магазина
рабочих
(тыс. руб)
мест
90
410
370
110
210
120
160
130
160
180
130
310
520
710
140
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Итого:
2
7
9
4
12
9
2
6
8
5
11
9
2
5
8
185
Товарооборот
(тыс.руб)
110
350
420
150
520
360
90
210
410
190
480
430
110
170
410
8160
Требуется построить вариационный ряд:
1.
дискретный – по числу рабочих мест в магазинах;
2.
интервальный – по объему товарооборота, выделив при этом
4 группы магазинов.
Рассчитать для полученных рядов частоты, частости и их
кумулятивные величины.
Решение
В практической деятельности для выполнения группировки
пользуются подсчетом единиц совокупности «тройками» (
), «пятерками»
), десятками (
)
1.
В данной задаче при небольшом объеме совокупности (30
магазинов) подсчет ведем «тройками» (табл. 2.2).
(
12
Таблица 2.2
Группировка магазинов по числу рабочих мест
Число рабочих
Число магазинов
Число рабочих
Число магазинов
мест в магазине
мест в магазине
2
3
II
II2
3
I4
6
7
3
9
4
5
8
5
3
10
I
I
4
1
11
I
1
12
II
2
Итого
II 2
30
Для расчета показателей, характеризующих ряд распределения
составляется табл. 2.3.
Таблица 2.3
Расчет показателей дискретного ряда распределения
Число
Число
Кумулятивные
магазинов
рабочих
Частость,
(частота),
мест,
 i (%) Частоты,(sf), шт. Частости,(S𝜔),
( fi )
%
( Xi )
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Итого
5
2
3
4
3
2
3
4
1
1
2
30
16,7
6,7
10,0
13,3
10,0
6,7
10,0
13,3
3,3
3,3
6,7
100,0
13
5
7
10
14
17
19
22
26
27
28
30
-
16,7
23,4
33,4
46,7
56,7
63,4
73,4
86,7
90,0
93,3
100,0
-
Из данных таблицы можно сделать вывод: треть магазинов (10 из 30)
имеют рабочие места, число которых не превышает 4-х мест, другая же треть
магазинов имеет рабочие места в каждом более 7.
2.
Для группировки магазинов по размеру товарооборота с
выделением в их составе 4-х групп рассчитывается шаг интервала по
формуле (2.1):
𝑛 = 4 ; 𝑋𝑚𝑖𝑛=90 тыс. руб ;𝑋𝑚𝑎𝑥 = 710 тыс. руб
ℎ=
710 − 90 620
=
= 155 тыс. руб
4
4
Для выполнения группировки принимаем
этим группы будут иметь интервалы (табл. 2.4).
h=155, в соответствии с
Таблица 2.4
Группировка магазинов по объему товарооборота
Объем
Число
Частость,
Кумулятивные
товарооборота,
магазинов
 i (%)
Частоты,
Частости,
f
X i (тыс.руб)
(частота), i
S𝜔 (%)
S (шт)
f
90-245
245-400
400-555
555-710
Итого
17
5
7
1
30
56,7
16,7
23,3
3,3
100,0
17
22
29
30
-
56,7
73,4
96,7
100,0
-
В анализируемой группе магазинов почти ¾ их состава имеют
розничный товарооборот не более 400 тыс. руб.
В определенных случаях возникает необходимость сведения многих
мелких групп в более крупные. Данный процесс называется вторичной
группировкой. Одним из ее способов является долевая перегруппировка.
Пример. Имеется пять групп фермерских хозяйств, расположенных
от низшей к высшей, то есть от бедной к зажиточной, на долю которых
приходятся следующие доли хозяйств и посевных площадей в них (табл. 2.5).
14
Таблица 2.5
Группы хозяйств
I
II
III
IV
V
Итого
Исходные данные
Для
фермерских Доля посевных площадей,
хозяйств, %
%
30,0
15,0
25,0
20,0
20,0
20,0
15,0
21,0
10,0
24,0
100,0
100,0
Образовать на основе этих данных три группы: низшую в 50%
хозяйств и высшую 20% и средняя будет составлять 30%.
Решение
Для составления низшей группы в 50% фермерских хозяйств
необходимо взять первую группу (30 %) и 4/5 от второй, так как до 50 % не
хватает 20 % хозяйств, что составляет от второй 20/25=4/5. Для составления
высшей группы в 20% хозяйств берем пятую группу (10%) и добавляет к ней
10% от четвертой группы, что составляет от нее 2/3 (10/15=2/3).
Для определения доли посевных площадей в каждой вновь
образованных группах необходимо в таком же соотношении добавлять такую
же часть от доли посевов дробимых групп, то есть какую часть взяли от доли
фермерских хозяйств.
Таким образом доля посевных площадей в низшей группе будет
составлять: 15+ (4x20/5)= 31% ;
в высшей группе: 24+ (2х21/3)=38%. И на долю в средней группе
приходится: 100-(31+38)= 38%
Результаты вторичной группировки будут иметь вид (табл. 2.6).
Таблица 2.6
Результаты вторичной группировки
Группы хозяйств
Доля фермерских
Доля посевных
хозяйств, %
площадей, %
низшая
50,0
31,0
средняя
30,0
31,0
высшая
20,0
38,0
Итого
100,0
100,0
15
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.
Рабочие фирмы по производству пластиковых окон характеризуются
показателями (табл. 2.7).
Таблица 2.7
Исходные данные
N п/п
Образование
Стаж работы, годы
Выработка, штуки
1
среднее специальное
25
70
2
неполное среднее
25
62
3
среднее
1
40
4
незаконченное высшее
10
65
5
неполное среднее
16
54
6
неполное среднее
26
65
7
среднее
2
28
8
среднее
2
30
9
среднее
20
68
10
неполное среднее
20
65
11
среднее специальное
9
55
12
неполное среднее
6
45
13
высшее
20
65
14
среднее
25
68
15
неполное среднее
14
55
16
среднее специальное
2
40
17
неполное среднее
13
56
18
высшее
5
48
19
неполное среднее
12
50
20
неполное среднее
20
65
21
среднее специальное
1
42
22
среднее
1
40
23
среднее специальное
2
42
24
среднее
26
70
25
незаконченное высшее
25
70
26
неполное среднее
17
60
27
неполное среднее
18
55
28
среднее
18
71
29
неполное среднее
25
60
30
среднее специальное
22
68
16
Требуется:
1.1
.Составить атрибутивный ряд распределения по
«образование», выделив при этом группы с образованием:
неполное среднее
среднее
среднее специальное
незаконченное высшее
высшее
1.2.Составить вариационный интервальный ряд распределения:
а) по стажу, образуя 4 группы
б) по выработке, образуя 5 групп
Рассчитать частоты, частости и их накопленные величины.
признаку
2.
Известны следующие данные о поголовье крупного рогатого скота в
40 фермерских хозяйствах области:
495 405 556 390 425 500 530 505 402 510
480 600 650 540 710 395 494 440 570 462
750 560 410 401 544 705 660 555 610 601
598 408 661 469 601 504 689 586 611 488
Построить вариационный интервальный ряд распределения по
поголовью скота, выделив в нем 5 групп. Рассчитать частости и
кумулятивные показатели.
3.
Построить вариационные ряды распределения по данным
табл. 2.8.
а) дискретный – по тарифному разряду;
б) интервальный – по уровню выполнения норм выработки, выделив 4
группы.
Таблица 2.8
Исходные данные
N
Тарифный
Выполнение
N
Тарифный
Выполнение
п/п
разряд
норм выработки
п/п
разряд
норм выработки
(%)
(%)
1
2
101 22
6
107
2
3
6
5
108
105
17
23
24
4
3
105
103
N
п/п
Тарифный
разряд
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
2
3
4
4
5
5
4
4
6
3
4
3
4
2
2
5
5
3
Выполнение
норм выработки
(%)
102
103
104
106
107
106
105
104
108
102
105
103
103
101
102
104
105
102
N
п/п
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Продолжение таблицы 2.8
Тарифный
Выполнение
разряд
норм выработки
(%)
5
106
2
102
4
103
4
104
5
104
6
105
5
102
4
103
2
101
3
102
3
101
5
104
6
107
4
105
3
103
2
102
3
102
3
103
Рассчитать показатели, характеризующие ряды распределения.
4.
Город представлен 6-ю районами, в каждом из них агентство
недвижимости предлагает на продажу следующие двухкомнатные квартиры
(табл. 2.9).
Составить соответствующие ряды распределения (атрибутивные и
вариационные) по признакам:
- тип квартиры
- общая жилая площадь
- площадь кухни
- тип санузла
При построении вариационных рядов выделить 4 группы.
18
Для каждого
показатели.
ряда
рассчитать
соответствующие
аналитические
Таблица 2.9
Район
Тип квартиры
1
смежная
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
изолированная
смежная
изолированная
смежная
изолированная
смежная
изолированная
изолированная
изолированная
изолированная
смежная
изолированная
смежная
изолированная
изолированная
изолированная
смежная
изолированная
изолированная
изолированная
изолированная
изолированная
смежная
изолированная
Исходные данные
Общая
Площадь
жилплощадь,
кухни,
м2
кв.м
38
6,0
35
37
40
35
31
37
34
31
35
38
32
35
37
38
49
34
36
40
40
40
42
40
39
38
19
8,0
6,0
8,0
6,0
6,0
6,0
7,0
6,0
7,0
6,0
8,0
7,0
6,0
6,0
13,0
7,0
6,0
9,0
9,0
9,0
9,0
8,0
8,0
7,0
Тип санитарного
узла
Совмещенный
(С)
Раздельный (Р)
С
Р
С
С
С
Р
Р
Р
С
С
Р
С
С
Р
Р
С
Р
Р
С
Р
Р
Р
Р
5.
По уровню заработной платы рабочие фирмы распределяются
следующим образом, представленным в табл. 2.10:
Таблица 2.10
Исходные данные
Группы рабочих по уровню
Число работающих, чел
заработной платы, руб.
до 6000
26
6000-10000
30
10000-18000
54
18000-30000
84
30000-40000
47
40000 и более
19
Итого
260
Произвести перегруппировку данных, образовав новые группы с
интервалами до 7000 руб., 7000-10000, 10000-20000, 20000-30000, свыше
30000 руб.
ТЕМА 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ
Наглядное выражение результатов статистического исследования
обеспечивают таблицы и графики.
Таблицы - это графленная сетка, состоящая из горизонтальных строк
и вертикальных граф (столбцов).
Статистическая таблица имеет подлежащее и сказуемое.
Подлежащее – объект изучения (перечень единиц совокупности или
групп), располагается в таблице слева в виде названия ее строк. Сказуемое
таблицы – это цифровые данные, характеризующие подлежащее,
располагается в таблице сверху в виде названия граф.
В статистике таблицы подразделяются по построению подлежащего:
простые (перечневые, территориальные, хронологические), групповые и
комбинационные (см.пример). По разработке сказуемого таблицы могут быть
простыми и сложными.
1.
Примеры простой таблицы по построению подлежащего
20
а) Перечневая.
Таблица 3.1
Тарифы на коммунальные услуги в г. Магнитогорске с 01.07.2013г.
Виды услуг
Ед. изм.
Тариф, руб.
Капремонт
кв.м.
1,44
Содержание и ремонт
кв.м
11,23
Вывоз мусора
кв.м
0,98
Лифт
кв.м
3,84
Отопление
кв.м
39,25
Горячее водоснабжение
куб.м
87,04
Водоснабжение
куб.м
20,24
Водоотведение
куб.м
17,24
Газ
куб.м
5,26
Электрическая энергия
кв.ч
2,69
б) Хронологическая.
Таблица 3.2
Годы
2005
2006
2007
2008
Рождаемость и разводы в России
Рождаемость, Количество
Рождаемость,
Годы
чел
разводов
чел
1457376
604942 2009
1761687
1479637
640837 2010
1788948
1610122
685910 2011
1796629
1713947
703412 2012
1902084
Количество
разводов
699430
639321
669376
644101
в) Территориальная.
Таблица 3.3
Рейтинг европейских стран по стоимости бензина
Страны
Норвегия
Германия
Франция
Польша
Украина
Россия
Казахстан
Белоруссия
2.
Цена бензина, руб.
за 1л по курсу ЦБ
Количество бензина, которое можно купить
на среднюю чистую зарплату в месяц, л
78,5
68,1
65,2
53,7
43,9
31,3
30,2
29,0
2188
1407
1436
464
230
750
650
422
Пример групповой таблицы по построению подлежащего.
21
Таблица 3.4
Распределение семей в городе по размеру дохода
Доход семьи,
тыс.руб./месяц
20-30
30-40
40-50
Итого
3.
Число семей
Число членов семьи
150
200
50
400
3
4
4
-
Число детей в
семье
1
2
2
-
Пример комбинационной таблицы по построению подлежащего.
Таблица 3.5
Группировка предприятий в городе по отдельным признакам
Группы предприятий по величине
дебиторской задолженности, млн. руб.
10-15
Итого по группе
15-20
Итого по группе
Всего
Группы предприятий по
объему продаж млн.руб.
120-150
150-180
180-210
120-150
150-180
180-210
-
Число
предприятий
7
5
3
15
3
1
4
19
Примеры таблиц по разработке сказуемого
1.
Простые
Таблица 3.6
Численность пенсионеров в России в 2009 г.
Категория пенсионеров
Всего
Мужчины
Женщины
Всего
2.
8,6
22,1
30,7
Сложные
22
Городские
5,6
7,9
13,5
Сельские
3,0
14,2
17,2
Таблица 3.7
Численность студентов заочного отделения
в Магнитогорском филиале МПСУ в 2013г.
Местные
Курс
Всего
Мужчины
Иногородние
Женщины
Мужчины
Всего
Всего
Женщины
Всего
Мужчины
Женщины
I
II
III
IV
V
VI
Всего
Пример заполнения табл. 3.7
Таблица 3.8
Динамика численности студентов заочного отделения
в Магнитогорском филиале МПСУ в 2013г.
Годы
Показатели
А
Темпы роста, %
2008
2009
2010
2011
2009
2010
2011
1
2
3
4
5
6
7
Основные
технико-экономические
показатели
деятельности
исследуемой организации (ООО «α» в 2008-2011 г.г.) сводятся в таблицы и
представляются графически.
График в статистике – это условное изображение числовых величин и
их соотношений в виде различных геометрических образов – точек, линий,
полос, фигур и т.п.
В практической деятельности чаще всего используются столбиковые
диаграммы для сравнения одноимённых показателей, характеризующих
различные объекты или территории. В этих же целях используются
квадратные и круговые диаграммы.
23
Количество. ед.
Для отображения структуры явления используются структурные
диаграммы, а их основной формой выступает секторная диаграмма.
Для отображения экономических явлений, протекающих во времени,
применяют динамические диаграммы , их формой выступают линейные
координатные диаграммы.
Примеры:
1.
В отчётном периоде по городу были выявлены следующие
нарушения ПДД водителями:
а) управление в состоянии опьянения – 4741;
б) передача управления лицу в состоянии опьянения – 124;
в) превышение скорости – 40721;
г) нарушение правил проезда железнодорожных переездов – 177;
д) выезд на полосу встречного движения – 1578;
е) нарушение правил перевозки грузов – 256;
ж) без прав на управление – 3439.
Отобразить указанную информацию на столбиковой диаграмме (рис. 3.1).
50000
40721
40000
30000
20000
10000
4741
124
177
1578
256
г)
д)
е)
3439
0
а)
б)
б)
ж)
Рис.3.1 Распределение нарушений ПДД водителями по видам
2.
Ежедневно на дороги областного центра выходит 1015 единиц
общественного транспорта. Из них 450автобусов (44,3%), трамваев (25,1%) и
310 троллейбусов (30, 6%).
Отобразить на графике структуру общественного транспорта в городе и
абсолютное количество видов транспорта.
Решение
Для отображения структуры строится секторная диаграмма; % (рис. 3.2):
24
Обозначения:
Автобусы а)
30.6 44.3
Трамваи б)
25.1
Троллейбусы в)
Рис. 3.2 Структура общественного транспорта
Количество, ед.
Абсолютное количество единиц транспорта может быть представлено
столбиковой диаграммой (рис. 3.3).
500
450
400
310
255
300
200
100
0
а)
б)
в)
Рис.3.3 Распределение общественного транспорта по видам
3.
Имеются данные о мировых ценах на пшеницу (табл. 3.9),
которые графически отображаются на линейной диаграмме (рис. 3.4).
Таблица 3.9
Динамика мировых цен на пшеницу в 2010-2011гг.
Месяцы
Цены
Месяцы
Цены
2010г.
долл./т.
2011г.
долл./т.
Июнь
157,7
Январь
326,6
Июль
195,8
Февраль
348,1
Август
246,2
Март
316,7
Сентябрь
271,7
Апрель
336,1
Октябрь
270,2
Май
355,3
Ноябрь
274,1
Июнь
326,4
Декабрь
306,5
-
25
Jun/11
May/11
Apr/11
Mar/11
Feb/11
Jan/11
Dec/10
Nov/10
Oct/10
Sep/10
Aug/10
Jul/10
Jun/10
Показатель, долл./т
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Рис.3.4 Динамика мировых цен на пшеницу в 2010-2011гг.
Задачи для самостоятельной работы
Имеются данные о производстве продукции по кварталам отчетного
1.
года:
I квартал – 15317; II квартал – 22620; III квартал – 31593;
IVквартал-34054.
Изобразить эти данные в виде диаграмм:
а) прямоугольных (столбиковых и линейных);
б) квадратных;
в) круговых.
Сделать аналитическое заключение: какой график обеспечивает
наиболее наглядное изображение рассматриваемого показателя (явления).
2.
Отобразить на линейном графике изменения соотношения евро к
доллару и рублю (табл. 3.10).
Таблица 3.10
Динамика евро
Периоды
Курс евро к доллару
Евро к рублю
1-ый
1,57
36,86
2-ой
1,27
34,4
3-ий
1,35
41,62
4-ый
1,28
45,96
Продолжение таблицы 3.10
26
Периоды
Курс евро к доллару
Евро к рублю
5-ый
1,40
43,27
6-ой
1,42
45,81
7-ой
1,49
42,78
8-ой
1,36
40,5
9-ый
1,30
38,51
3.
Пассажирооборот характеризуется следующей структурой видов
транспорта; %:
-железнодорожный – 55,9;
-морской – 0,3;
-речной – 0,7;
-автомобильный – 31,1;
-воздушный – 12.
Отобразить структуру пассажирооборота в форме секторной и
полосовой диаграмм.
4.
За рассматриваемый пятилетний период времени число родившихся
в области составило; чел.:
1-й – 30988; 2-й – 32355; 3-й – 33588; 4-й – 36592; 5-й – 37571.
Выбрать форму графического изображения данных, характеризующих
рождаемость в области.
5.
Средняя заработная плата по металлургическим предприятиям в 2010
году составляла, руб.:
ОАО «ММК» - 34 523;
ОАО «Северсталь» - 40 293;
ОАО «Новолипецкий МК»;
ОАО «Уральская сталь» - 22 422;
ОАО «Западно-Сибирский МК» - 23 866;
Металлургическое производство России - 23 965.
Представленные данные отобразить на столбиковой диаграмме,
сделать выводы, сопоставляя среднюю заработную плату металлургов по
предприятиям.
27
ТЕМА 4. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В СТАТИСТИКЕ
Абсолютные величины – это первичная форма отображения
результатов, полученных в процессе статистического наблюдения. Они
являются именованными величинами , измеряются в конкретных единицах
(т; м; руб. и т.д.) и подразделяются на индивидуальные и суммарные.
Разграничиваются на моментные и интервальные, при этом в отличие от
вторых первые нельзя суммировать. Недостатком абсолютной величины
является то, что они не дают полного представления об изучаемом явлении,
рассматриваемого с разных позиций. Решение этой задачи обеспечивает
использование относительных величин.
Относительная величина – это производная от двух абсолютных
величин, определяется в форме коэффициентов, процентов, промилле и т.п.
В статистике используются следующие относительные величины :
1)
Относительные величины динамики (ig), характеризуют изменения
уровня развития какого либо явления во времени по формуле (4.1):
.
(4.1).
Пример:
По данным таблицы рассчитать относительные величины динамики
(гр. 3), характеризующие рост тарифов на коммунальные услуги в городе .
Таблица 4.1
Исходные и расчетные данные
Коммунальные
Относительная
услуги в г.
Декабрь 2010 г.
Январь 2011 г.
величина
Челябинске
динамики ig(%)
А
1
2
3
2
Отопление руб/м
23,73
27,36
115,3
Горячая
вода
137,45
158,47
115,3
руб/чел
Холодная
вода,
171,71
197,47
115,0
водоотведение
Электроэнергия
1,79
1,97
110,1
28
Вывод: таким образом, наблюдается увеличение тарифов, связанных с
услугами по воде , выросших на 15 и более процентов, электроэнергия
подорожала на 10,1%.
2)
Относительные величины планового задания позволяют судить о
степени напряженности плановых показателей на текущей (отчетный) год и
рассчитывается по формуле (4.2):.
iпл. з. 
значение _ показателя _ по _ плану _ текущего _ периода
(4.2)
фактическое _ значение _ показателя _ в _ предыдущем _ периоде
Пример.
В отчетном году было принято плановое задание по производству
товара «А» в объеме 12 000 ед., в то время как в предыдущем периоде такого
товара было выпущено 11 800 ед. Определить степень напряженности плана
в текущем году по данному товару.
Решение
iпл. з. 
12000
 1,017(101,7%)
11800
Вывод: на текущей год запланировано увеличение выпуска товара «А»
на 1,7%, что не указывает на высокую степень напряженности плана по
выпуску товара.
3)
Относительная величина выполнения плана ( планового задания)
определяется по формуле (4.3):
iвыпл.пл =
. (4.3)
Пример.
Фактическое производство товара «А» в отчетном году составило
11500 ед. Чему равно выполнение плана по данному товару.
Решение
11500
iвыпл.пл.=
12000
= 0,958 (95,8%)
Вывод: фактическое производство товара «А» отчетном году было
ниже планового на 4,2% , что составило 500 ед. товара.
29
Между рассмотренными относительными величинами существует
зависимость по формулам (4.4):
i g  iпл. з.  iвыпл. з. ; iпл. з. 
ig
iвыпл.пл.
;
iвыпл.пл. 
ig
iпл. з.
(4.4)
Для рассматриваемых выше примеров:
или i g 
ig
11500
 0,974(97,4%)
11800
Вывод: фактически выпуск продукта «А» в отчетном периоде был
ниже на 2,6% чем в предыдущем году или на 300 ед. товара.
Пример.
Промышленное предприятие
перевыполнило план по выпуску
продукции в текущем году на 4,3% , а фактический выпуск продукции по
сравнению с аналогичным показателем предыдущего года вырос на 8,4%.
Определить плановое задание по увеличению объема продукции в текущем
году по сравнению с фактическим её объемом в предыдущем году.
Решение:
вып.пл.=4,3% ;iвып.пл.=104,3% (1,043)
𝑖пл.з. =
1,084
= 1,039 (103,9%)
1,043
Вывод: плановое задание текущего года увеличилось на 3,9%.
4) Относительная величина структуры(𝛼)характеризует доли, удельные веса
составных элементов в общем итоге, то есть под структурой понимается доля
части в целом; рассчитывается по формуле (4.5):
,%
(4.5)
Пример:
Имеются данные за два года, характеризующие угон отечественных
авто по дням недели в городе Ч (табл. 4.2, гр. 1 и 2).
Рассчитать структуру угонов по дням недели (гр. 3 и 4) и
относительные величины динамики : по числу угонов (гр. 5) и их
структуре (гр. 6).
Таблица 4.2
30
Угон отечественных авто в городе Ч
Число угонов
Дни недели
А
Понедельник
Базисный
период
Отчетный
период
1
2
113
103
95
103
94
108
93
709
Вторник
Среда
Четверг
Пятница
Суббота
Воскресенье
Всего
Структура угона ,%
Базисный
период
3
15,94
14,53
13,40
14,53
13,26
15.23
13,11
100
131
140
154
123
122
141
100
911
Отчетный
период
4
14,38
15,37
16,90
13,50
13,39
15,48
10,98
100
Относительная величина
динамики, %
По числу По структуре
угонов
угонов
5
115,9
135,9
162,1
119,4
129,8
130,6
107,5
128,5
6
90,2
105,8
126,1
92,9
101,0
101,6
83,8
-
Решение
Из таблицы видно, наибольшее число угонов в базисном периоде
приходится на понедельник , а в отчетном – на среду. Общее число угонов
увеличилось более чем на четверть и составило 202 угонов.
В динамике числа угонов и их структуре имеет место
несоответствие, которое обусловлено разноплановым увеличением общего
числа угонов и их количества отдельно по каждому дню недели. Так . в
понедельник число угонов выросло на 15,9% при увеличении в целом за
неделю на 28.5%, что привело к снижению доли понедельника в общем
количестве угонов за неделю.
Относительная величина координации ( «ОВК»).
ОВК характеризует отношение частей данной совокупности к одной из
них, принятой за базу сравнения. ОВК показывает, сколько единиц одной
части приходится на 1, 10, 100, …, единиц другой части. Например,
«…потому что на 10 девчонок по статистике 9 ребят».
ОВК рассчитывается по формуле (4.6):
5)
ОВК=
показатель ,характеризующий 𝑖−тую часть
показатель,характеризующий часть совокупности,принятой за базу сравнения
Пример
31
. (4.6)
За отчетную неделю в Загсах двух районов города «М» сочетались
законным браком 26 пар, расторгли брачный союз 45 пар. Определить ОВК в
двух вариантах.
Решение
ОВК1=
ОВК2=
26
45
45
26
=0,58
= 1,73
Вывод: на данной территории в отчетном периоде на 100 разводов
приходилось 58 браков, или на 100 браков – 173 разводов.
6)
Относительная
величина
сравнения
(ОВС)
характеризует
сравнительные размеры одноименных абсолютных величин, относящихся к
одному и тому же периоду либо моменту времени, но к различным объектам
или территориям.
ОВС рассчитывается по формуле (4.6):
ОВС =
показатель,характеризующий объект "А"
показатель,характеризующий объект "Б"
.
(4.6)
Пример.
Так, средний размер пенсии у пенсионера - мужчин в 2009г .
составлял
6,5 тыс.руб. , а у женщин – 6, 0 тыс. руб.
Средняя
продолжительность жизни в России; у мужчин ≈ 63 года , у женщин ≈ 75
лет.
Рассчитать относительные величины сравнения.
Решение.
1.
Сравнивая размеры пенсии у мужчин и женщин имеем:
а)
6,5
6,0
= 1,08 (108,3%)
б)
6,0
6.5
= 0.923 (92,3%)
Средний размер пенсии у мужчин на 8,3% выше, чем у женщин, или средняя
пенсия пенсионерки на 7,7% меньше пенсии у пенсионера мужчины.
2.
Сравниваем среднюю продолжительность жизни в РФ у мужчины
и женщины:
а)
63
75
= 0,84 б)
75
63
= 1,19
вывод: продолжительность жизни у женщин почти, в 1,2 раза больше чем у
мужчин, или мужчины живут на 16% меньше чем женщины.
32
7)
Относительные величины интенсивности (ОВИ) характеризуют
степень распределения или развития данного явления в той или иной среде.
Область их применения :
- демографическая статистика ( коэффициент рождаемости,
смертности , естественного прироста населения);
-показатели уровня экономического развития, характеризующие
производство продукции (потребления) в расчете на душу населения;
-определение уровня обеспеченности населения теми или иными
товарами в расчете на одну семью, 100 семей и т.д. ;
-обеспеченность населения определенными специалистами( медицина,
образование и т.д.) в расчете на … человек населения;
-показатели интенсивности труда (производительность, трудоемкость).
ОВИ рассчитываются по формуле (4.7):
ОВИ=
показатель ,характеризующий явление"А"
показатель,характеризующий среду распростронения явления "А"
(4.7)
Пример
В один из отчетных периодов
среднесписочная численность
населения города «М» составляла 425,5 тыс. чел. .В данном периоде в городе
родилась 4333 человека и умерло 7106 человек . Рассчитать показатели
характеризующие демографическую статистику.
Решение
Показатели,
характеризующие
демографическую
статистику,
рассчитываются по формулам (4.8) – (4.10):
-коэффициент рождаемости Кр:
КР=
Число родившихся
средняя списаность населения
;
(4.8)
-коэффициент смертности Ксм:
Ксм.=
число умерших
средняя списаность населения
;
(4.9)
-коэффициент естественного прироста Кест.пр..:
Кест.пр.=
численость естественного прироста населения
средняя списаность населения
33
число родившихся−число умерших
=
средняя списаность населения
(4.10)
или
Кест.пр. = Кр – Ксм. ;
Данные показатели обычно рассчитывается в промилле (%о) и
показывают
число родившихся, умерших и естественного прироста
соответственно в расчете на 1000 человек.
Решение
4333
Кр= 425500
Ксм=
=10,18 %
⁄1000
7106
=16,70%
425,5
4333−7106
Кест.пр.=
425,5
= -6,52%
или Кест.пр.=10,18 – 16,7 = -6,52%о
Вывод: таким образом , на данной территории в рассматриваемом
периоде на каждую 1000 человек родилось 10,18 чел., умерло 16,7чел. и
естественный прирост населения составляет отрицательную величину , то
есть численность населения в городе сокращалась на 6,52 чел. в расчете на
тысячу населения.
Задачи для самостоятельной работы
1.
Промышленное предприятие по плану отчетного года
должно было увеличить выпуск продукции на 5% по сравнению с
предыдущим годом. Фактическое же производство в отчетном году было
выше на 7,2% по сравнению с предыдущим годом. Определить степень
выполнения плана по производству продукции на предприятии в отчетном
году.
2.
Предприятие фактически в отчетном году реализовало
продукции на 3% больше, чем было предусмотрено планом. При этом
увеличение реализации продукции в отчетном году по сравнению с
предыдущим годом планировалось в размере 7%. Рассчитать, на сколько
процентов увеличился фактический объем реализации продукции в отчетном
году по сравнению с предыдущим годом.
3.
На предприятии фактический объем производства
продукции в отчетном году составил 106,5% к уровню прошлого года. План
по выпуску продукции в отчетном году был перевыполнен на 2,1%.
34
Определить уровень планового задания по производству продукции в
отчетном году.
4. Объем продаж на предприятии в отчетном году в сопоставимых
ценах по сравнению спредыдущем годом увеличился на 3% и составил
150млн. руб. чему равен объем продаж в предыдущем году?
5. Организация планировала в отчетном периоде увеличить торговый
оборот на 8,5% по сравнению спредыдущем годом. План по обороту в
отчетном году был выполнен на 101,6%. Чему равны относительный
показатель динамики оборота и его увеличение.
6. Автомобильный завод в текущем месяце превысил плановое задание
по реализации своей продукции на 6,2%, продав сверх плана 3150 машин.
Определить общее количество машин , реализованных за месяц, а также –
плановое задание по их выпуску в данном месяце.
7. Средняя годовая численность рабочих на предприятии увеличилась
за последние пять лет на 15,6% , а численность всего персонала на 18,1%. Как
изменился удельный вес рабочих в общей численности персонала?
8. Имеются данные о стоимости бензина АИ-95 , руб. за 1 литр( по
курсу ЦБ) в июле 2013г и изменении цен с июля года. % (гр. 1 и 2, табл. 4.3).
Определить уровень цен в начале 2013 г (пр3).
Таблица 4.3
Исходные данные
Страна
Норвегия
Италия
Литва
Эстония
Польша
Украина
Россия
Казахстан
Белоруссия
Бензин АИ-95, руб./л
(июль 2013г.)
Уменьшение цен с
начала года, %
78,5
74,1
56.6
54,7
53,7
43,9
31,3
30.2
29,0
Цена на бензин в
начале года
2,1
-0,9
-3,4
-2,1
-3,9
-1,1
-1,9
-1,1
0,0
9. Раскрываемость убийств по итогам года в области составила 89,2%
против 87% в прошлом году. Рассчитать динамику раскрываемости
указанных преступлений в области в отчетном году.
10. Имеются данные . характеризующие угоны отечественных авто в
городе Ч. по его районам (табл.4.4) и по способам угона (табл.4.5).
35
Рассчитать структуру угонов , её динамику, а так же динамику числа
угонов.
Таблица 4.4
Угоны отечественных авто в городе по его районам
Районы города
А
1.Центральный
2.Советский
3.Тракторозаводский
4.Ленинский
5.Металургический
6.Калиненский
7.Курчатовский
Всего
Прошлый год
1
Угнано авто
Отчетный год
2
91
123
89
89
71
134
109
106
153
134
87
92
170
169
Таблица 4.5
Угон отечественных авто в городах по способам угона
Способы угона
отечественных авто
1.Взлом замка
2.Спил замка
3.пролом стены
4.газосварка
5.подкоп
6.домкрат
7.свободный доступ
8.применение насилия
Всего
Угнаны авто
Предыдущий год
Отчетный год
97
63
14
28
18
13
4
9
7
16
5
22
496
686
68
74
11. По статистике в Магнитогорске за 10 месяцев 2012 года
зарегистрировано 353 преступления, совершенных несовершеннолетними
гражданами за аналогичный период 2011 г. таких преступлений было 277.
Определить относительную величину указанных преступлений и их
абсолютное изменение.
12. Численность населения России в 2009 году составляла 141,9 млн.
чел. , из них 30,7 млн. чел. старше трудоспособного возраста. Определить их
долю в общей численности населения России.
36
13. За 9 месяцев 2012 г. в городе зарегистрировано 7583 преступления
( в 2011г. этот же показатель равнялся 7510), в том числе имущественные
преступления составили 5705; особо тяжкие и тяжкие достигают 1712
преступлений. Рассчитать структуру преступлений и их динамику.
14. В
марте рассматриваемого года в городе Ч. Было
зарегистрировано 1168 бомжей. Из них 129 женщин. Рассчитать
относительные величины структуры и координации .
15.В городе Ч. В анализируемом периоде в сфере народного хозяйства
было занято 450027 граждан, а численность пенсионеров в городе составляла
272 944 человека. Рассчитать относительную величину координации в 2-х
вариантах.
16. В областном центре в рассматриваемом периоде зарегистрировано
260 050 автомобилей. В том числе 185550 – легковушки, из них 28 246иномарки. На дорогах города произошло 1993 дорожно-транспортных
происшествий. В них погибло 167 человек. 2304 ранено. Рассчитать
возможные показатели структуры и координации , исходя из данной
информации.
17. Численность населения города М. по состоянию на 1 января
рассматриваемого года составляла 413443 человека при соотношении полов
населения : женщин - 53%, мужчин - 47%. Рассчитать абсолютную
численность мужчин и женщин , и относительную величину координации в
двух вариантах.
18. За отчетный период в ЗАГСе Правобережного района
г.Магнитогорска число свадеб составило 742 и разводов 604. Рассчитать в
двух вариантах относительную величину координации.
19. Определить динамику разводов и рождаемости в России за период
2002 г по 2012 г
Таблица 4.6
Исходные данные
Показатели
2002г.
Количество разводов
Рождаемость, чел
853647
1396967
2012г.
644101
1902084
Будет ли достаточно объективно характеризоваться демографическая
ситуация в стране на основе выполненных расчетов?
37
20. В Челябинской области в рассматриваемом периоде
зарегистрировали 29559 супружеских пар – на один процент больше , чем в
предыдущем году. Число расторгнутых браков снизилось на 5,6% и
составило 20467 случаев. Рассчитать число браков и разводов предыдущем
году ; относительные величины координации для двух лет в двух вариантах
и их динамику.
21. По данным Территориального органа Федеральной Службы
государственной статистики имеются следующая информация за 2009 г. :
1) Что косит мужиков, чел.:
Отравились алкоголем – 326
Были убиты – 507
Совершили суицид – 1065
Умерли от болезней – 19999
Рассчитать структуру « печальной статистики».
Таблица 4.7
Количество мужчин и женщин, умерших не от болезней, чел.:
Причины
Пол
Муж. До 30 лет.
Женщины до 30 лет
Мужчины до 60 лет
Женщины до 60 лет
Отравление
алкоголем
30
3
241
64
Самоубийства
319
49
576
84
Убийства
105
30
351
72
Рассчитать в возрастных группах относительные величины
координации и выполнить их сравнение. Определив общее число по каждой
строке, рассчитать относительные величины структуры. Сделать вывод.
22. В 2014 году предусматривается поднять прожиточный минимум
для Южно-уральских пенсионеров с 5434 до 6215 руб. В то время как
среднероссийский показатель составляет 6300 руб. Рассчитать:
1) Относительную величину динамики показателя;
2) Долю «старой» и «новой» величины показателя для южно уральских
пенсионеров в размере прожиточного минимума в среднем по России ;
3)
Относительную
величину
динамики
удельных
весов
Южноуральского уровня (нового и старого) в размере ПМ в среднем по
России.
23. В 2011 году в России было заключено 1,2 млн. браков , а разводов
64 200.
38
Рассчитать: 1) Относительную величину координации;
2) долю разводов в объеме заключенных браков:
3) относительную величину сравнения доли разведенных семей в
России и США , где данный показатель в рассматриваемом периоде составил
41 процент.
24. Имеются данные , представляющие рейтинг европейских стран по
стоимости бензина и его объема , возможного для покупки на среднюю
чистую зарплату в месяц:
Таблица 4.8
Исходные данные
Страна
Норвегия
Финляндия
Германия
Франция
Украина
Россия
Казахстан
Белоруссия
Бензин АИ-95 руб./л. (по
курсу ЦБ)
78,5
70,3
68,1
65,2
43,9
31,3
30,2
29,0
Сколько литров бензина можно
купить на чистую зарплату в месяц
2188
1483
1407
1436
230
750
650
422
Рассчитать относительные величины сравнения по:
1.Ценам на бензин
2. Объему бензина, закупаемого на чистую заплату
3. Уровню благосостояния
За базу сравнения принять показатели России.
25. В рассматриваемом периоде число миллионеров в разных странах
составило тыс. чел:
США – 2272
Великобритания – 383
Китай – 236
Канада – 200
Австралия – 117
Россия – 84
Бразилия – 80
Индия - 61.
39
Рассчитать относительные величины сравнения, взяв за базу Россию.
Обеспечит ли рассчитанный показатель объективную оценку «
зажиточности» в разных странах?
26. Средняя предлагаемая зарплата для инженера на конец 2012 года
представлена в табл. 4.9
Таблица 4.9
Средняя предполагаемая заработная плата инженера
Город
Зарплата
Москва
49,6
Новоси- Екатебирск ринбург
39
31
33,3
С-Пб.
Нижний
Новгород
25.3
Самара
25,7
Ка- Ростовзань на-Дону
24,1
25
Рассчитать относительные величины сравнения взяв за базу сравнения
заработную плату в Москве.
27. По данным государственного комитета по делам ЗАГС Чел. Обл. ,
в первом полугодии 2013 года в регионе родилось 23363 человека. Из них
11978 мал. И 11385 дев. Рассчитать структуру родившихся и относительные
величины координации.
28. Розничный товарооборот области за год увеличился на 13,2% и
составил 420,2 млрд. руб., из него 46,8% товарооборот по
продовольственным товарам и 53,2% - по непродовольственным товарам. За
анализируемый год продажи продовольственных товаров увеличились на
21,7%, а непродовольственных – на 6,6%.
Рассчитать:
1. Объем товарооборота в предыдущем периоде;
2. Объем оборота по продовольственным и непродовольственным
товарам в отчетном и предыдущим периодах;
3. Удельный
вес оборота по продовольственным и
непродовольственным товарам в товарообороте предыдущего периода.
29. Объем платных услуг за отчетный период составил 93,2 млрд. руб.,
темп его прироста был равен 2,1%, и в их структуре 43,2% приходилось на
коммунальные услуги и услуги связи. Определить:
1. Объем платных услуг в предыдущем году;
2. Объем в общей стоимости услуг в отчетном году коммунальных
услуг и услуг связи.
30. Товарооборот в розничной торговле области увеличился на 13,2%,
при этом по продовольственным товарам – на 21,7%, а по
40
непродовольственным на 6,6%. Их доля в общем розничном товарообороте
соответственно составляла 46,8% и 53,2%. Рассчитать изменение удельного
веса в общем розничном товарообороте продовольственных и
непродовольственных товаров в отчетном периоде по сравнению с
предыдущим годом.
31. За 9 месяцев текущего года в области было зарегистрировано 24209
браков и 14428 разводов за этот же период. Рассчитать относительную
величину координации в двух вариантах.
32. В области потребительские цены в октябре 2013 года выросли на
0,5% к предыдущему месяцу и на 4,4% к сентябрю 2012 года. Рассчитать
среднемесячное изменение потребительских цен за период с октября 2012
года по сентябрь 2013 года, а также соотношение цепного прироста
потребительских цен в октябре 2013 года и среднемесячного изменения цен
за период с октября 2012 года по сентябрь 2013 года.
ТЕМА 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ В СТАТИСТИКЕ.
ВИДЫ. ВАРИАЦИЯ, ЕЁ ПОКАЗАТЕЛИ
Средняя величина – это центр распределения изучаемых значений
признака , в ней погашаются колебания индивидуальных значений признака.
В общей теории статистики средняя величина обозначается
буквой « 𝑥̅ ».
Средние величины делятся на два больших класса:
- Степенные средние;
- Структурные средние;
Степенные средние.
В этот класс входят средние величины:арифметическая, гармоническая,
геометрическая, квадратическая, кубическая.
Степенные средние в зависимости от формы представленных исходных
данных могут быть простыми и взвешенными.
Простые средние рассчитываются по несгруппированным данным, а
взвешенные - по сгруппированным.
Из средних величин наиболее часто встречаются средние:
1.Арифметическая простая и взвешенная
41
2.Гармоническая взвешенная
3.Геометрическая простая
1.1 Арифметическая простая рассчитывается по формуле (5.1):
𝑥̅ =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
,
(5.1)
где
𝑥𝑖 - отдельные значения признака.
n - число рассматриваемых вариантов.
Пример
Заработная плата рабочих в бригаде из 6 человек представлена в
табл.5.1.
Таблица 5.1
Исходные данные
Рабочий(n)
Зарплата руб.
𝑥𝑖
1
11200
2
12100
3
10800
4
13200
5
12800
6
11900
Расcчитать среднюю заработную плату одного рабочего в данной
бригаде.
Решение
𝑥̅ =
11200+12100+10800+13200+12800+11900 72000
=
6
1.2.Средняя
формуле (5.2):
арифметическая
𝑥̅ =
6
взвешенная
∑ 𝑥𝑖𝑓
∑ 𝑓𝑖
𝑖
,
= 12000 рублей.
рассчитывается
по
(5.2)
где
𝑓𝑖 - частота каждого варианта.
Пример
Заработная
плата
работников
предприятия
характеризуется
следующими данными, представленными сгруппированными интервальными
величинами (табл. 5.2).
Таблица 5.2
Исходные и расчетные данные
42
Зарплата в месяц рубли
(𝑥𝑖 )
A
До 6000
6000-8000
8000-10000
10000-14000
14000-18000
18000-22000
Итого
Численность
работников (𝑓𝑖 )
1
74
75
84
177
184
185
779
Середина
интервала(𝑥𝑖 )
2
5000
7000
9000
12000
16000
20000
-
𝑥𝑖 𝑓𝑖
3
370000
525000
756000
2124000
2944000
3700000
10419000
Для расчета средней величины необходимо рассчитать середину
интервала частоты признака (графа 2) и произведение признака и частоты по
каждой строке (гр. 3):
𝑥̅ =
10419000
779
=13375 рубля.
Вывод: На предприятии , численность работников которого составляет
779 человек средняя заработная плата равна 13375рубля.
2. Средняя
формуле (5.3):
гармоническая
𝑥̅ =
∑ 𝑥𝑖𝑓
𝑥𝑖𝑓
∑
𝑖
𝑖
взвешенная
.
рассчитывается
по
(5.3)
𝑥𝑖
Пример
Выпуск продукции в стоимостном выражении и процент выполнения
плана по выпуску продукции в целом по объединению и его структурным
подразделениям характеризуются следующим данными (табл.5.3).
Рассчитать процент выполнения плана по выпуску продукции.
Таблица 5.3
Исходные и расчетные данные
Заводы
Фактический выпуск
продукции, млн. рублей
(𝑥𝑖𝑓𝑖 )
Процент
выполнения плана,
% (𝑥𝑖 )
1
2
3
43
Плановый выпуск
продукции, млн.руб
𝑥𝑖𝑓
( 𝑖)
𝑥𝑖
4
1
2
3
Итого
18,5
21,8
22,5
62,8
101,0
99,0
102,5
?
18,32
22,02
21,95
62,29
Решение
Процент выполнения плана по выпуску продукции рассчитывается по
формуле (5.4):
X=
фактический выпуск
плановыйй выпуск
∙ 100%.
(5.4)
Так как в исходных данных для расчета процента выполнения плана
по указанной формуле отсутствует знаменатель, следовательно, в данной
задаче следует рассчитывать среднюю гармоническую взвешенную, для чего
составляется графа 4, которая и определяет объем планового выпуска
продукции.
Процент выполнения плана по выпуску продукции в целом по
объединению составит:
̅= 62,8 . 100= 100,8%.
Х
62,28
3. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле (5.5):
𝑛−1
𝑥̅ = √
значение показателя в п−ом
периоде
значение показателя в 1−м .
периоде за рассматриваемый
отрезок времени
(5.5)
Наибольшее применение данная средняя находит при определении
среднегодовых темпов роста исследуемого явления (показателя).
Пример
Добыча газа в России за пятилетний период представлена в табл.5.4.
Таблица 5.4
Добыча газа в России, млрд.м3
Годы
Добыча газа
1
304,3
2
304,8
44
3
323,3
4
348,1
5
379,6
Определить среднегодовой темп роста добычи газа в России.
Решение
5−1
379,6
х̅= √304,6 ∙ 100 = 4√1,247 ∙ 100 = 1,057 ∙ 100 = 105,7 %
Вывод: За исследуемый период времени по добыче газа в России темп
роста в среднем за год составляет 105,7% или среднегодовой темп прироста в
пятилетнем разрезе равен 5,7%
Структурные средние
Структурные средние представляются модой и медианой.
Мода - наиболее часто встречающееся значение признака.
Для дискретного ряда мода определяется непосредственно значением
признака (х𝑖 ), имеющего наибольшую частоту.
Для интервальных рядов мода (Мо ) рассчитывается по формуле (5.6):
Мо = 𝑋0 + ℎ (𝑓
𝑓0 −𝑓1
0 +𝑓1 )+(𝑓0 −𝑓2 )
,
(5.6)
где
Хо -нижняя граница модального интервала, который определяется по
наибольшей частоте, соответствующей интервальному значению признака;
h- шаг (размер, величина) интервала;
𝑓0 - частота модального интервала;
𝑓1 - частота интервала, предшествующего модальному;
𝑓2 - частота интервала, следующего за модальным.
Медиана- это значение варьирующего признака, которое приходится
на середину упорядоченного вариационного ряда. Медиана делит
вариационный ряд на 2 равные части.
Расчет медианы (Ме) производят следующим образом.
Для дискретных вариационных рядов, в которых:
1) нечетное число(2m+1) случаев — формула (5.7):
Me = 𝑥𝑚+1 .
(5.7)
Пример
Дано 9 вариантов (случаев) значений признака “x”, расположенных в
возрастающем порядке:
45
𝑥1 = 8, 𝑥2 = 9, 𝑥3 = 11,𝑥4 =12,𝑥5 = 15, 𝑥6 = 16,𝑥7 = 18,𝑥8 = 19,
𝑥9 =
21
В ряду 9 случаев, следовательно, 2m+1=9; m=4
𝑀𝑒 = 𝑥4+1 =𝑥5 =15.
2) четное число случаев (2m) — формула (5.8):
𝑀𝑒 =
𝑥𝑚 +𝑥𝑚+1
2
.
(5.8)
Пример
Дано 12 вариантов значений признака:
𝑥1 =8,
𝑥2 =9,
𝑥3 =11,
𝑥4 =12,
𝑥7 =18,
𝑥8 =19,
𝑥9 =21,
𝑥10 =23,
𝑥5 =15,
𝑥11 =24,
𝑥6 =16,
𝑥12 =26
В ряду 2m=12; m=6
𝑀𝑒 =
𝒙𝟔 +𝒙𝟕 16+28
𝟐
=
2
=17
Для интервальных рядов медиана рассчитывается по формуле (5.9):
∑𝑓
𝑀𝑒 =хо +h 2
−𝑆ме−1
𝑓ме
,
(5.9)
где
хо -нижняя граница медианного интервала, который находится по
номеру медианы ( 𝑁𝑚𝑒 ) по формуле (5.10):
𝑁𝑚𝑒 =
∑𝑓
2
;
(5.10)
∑f – сумма частот, объем исследуемой статистической совокупности.
h - шаг интервала.
𝑆𝑚𝑒−1 - накопленная (кумулятивная) частота до медианного интервала.
𝑓𝑚𝑒 - частота медианного интервала.
Показатели вариации
Признаки общественных явлений, изучаемых статистикой, имеют
различную колеблемость или вариацию, и т.к. колеблемость признаков
бывает большей или меньшей возникает задача измерения её величины через
использование показателей.
1. Размах вариаций, 𝑅𝑏 — рассчитывается по формуле (5.11):
46
R b = xmax -xmin ,
(5.11)
где
xmax — максимальное значение;
xmin — минимальное значение.
Недостаток показателя: неполно характеризует колеблемость, так как
учитывает только 2 крайних значения: максимальное и минимальное.
Используется в качестве приблизительной оценки вариации.
2. Среднее линейное отклонение
В зависимости от формы представления исходных данных
(несгруппированные и сгруппированные) отклонение рассчитывается:
-при несгруппированных данных — по формуле (5.12):
l=
∑|𝑥𝑖 –𝑥̅ |
𝑛
;
(5.12)
-при сгруппированных данных (взвешенная) — по формуле (5.13):
l=
̅̅̅̅̅̅̅
∑ |(𝑥𝑖 –𝑥)|
𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
,
(5.13)
где
|𝑥𝑖 – 𝑥̅ |- абсолютное значение отклонений отдельных вариантов (𝑥𝑖 ) от
средней арифметической(х̅), т.е. без учета знаков (+) и (-);
n-число вариантов в дискретном вариационном ряду;
𝑓𝑖 -частота i-го значения признака в интервальных вариационных
рядах;
∑ 𝑓𝑖 -объем исследуемой статистической совокупности.
3. Дисперсия(σ2 ) и среднее квадратическое отклонение (σ):
- простая — соответственно по формулам (5.14) и (5.15):
𝝈2 =
∑(𝑥𝑖 −𝑥̅ )2
𝑛
𝝈 =√
;
(5.14)
∑(𝑥𝑖 −𝑥̅ )2
𝑛
;
(5.15)
- взвешенная — соответственно по формулам (5.16) и (5.17):
𝝈2 =
∑(𝑥𝑖 −𝑥̅ )2 𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
;
47
(5.16)
∑(𝑥𝑖 −𝑥̅ )2 𝑓𝑖
𝝈=√
∑ 𝑓𝑖
.
(5.17)
Для расчета показателей х̅; l; 𝝈2 ; 𝝈 рекомендуется составлять
таблицу 5.5.
Таблица 5.5
Расчет показателей вариации
Признак
Значение
признака
𝑥𝑖
А
1
Середина
интервала в
значениях
признака(𝑥𝑖 )
2
Частота
признака
(𝑓𝑖 )
𝑥𝑖 𝑓𝑖
𝑥𝑖 − х̅
(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑓𝑖
3
4
5
6
7
Гр.2 рассчитывается в интервальных (непрерывных) вариационных
рядах.
4. Учитывая что среднее линейное и среднее квадратическое
отклонение представляют собой абсолютные величины, для характеристики
колеблемости признака используются относительные показатели коэффициенты вариации (V), определяемые в процентах по формулам (5.18)
и (5.19):
𝑙
𝑉𝑒 = x 100; %
(5.18)
𝑥̅
𝝈
𝑉𝝈 = x 100; %
(5.19)
𝑥̅
Пример
Рассчитать среднюю величину признака, его моду и медиану и
показатели вариации (размах вариации, среднее линейное отклонение,
дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффиценты вариации) по
исходным данным о процентах влажности продукта “A”, полученных на
основе анализа 484 проб (гр.1 и 2 таблицы 5.6).
Таблица 5.6
Расчетные данные
% влажности,
𝑥𝑖
Число
проб
𝑓𝑖
Середина
𝑥𝑖
𝑥𝑖 𝑓𝑖
𝑥𝑖 -х̅
|(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )|𝑓𝑖
48
(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
(𝑥𝑖
− 𝑥̅ )2 𝑓𝑖
Накопленные
частоты
𝑆𝑓
1
7-9
9-11
11-13
13-15
15-17
17-19
Всего
2
3
38
62
70
150
89
75
484
4
304
620
840
2100
1424
1350
6638
8
10
12
14
16
18
-
5
-5.7
-3.7
-1.7
0.3
2.3
4.3
-
6
216.6
229.4
119.0
45.0
204.7
322.5
1137,2
7
32.49
13.69
2.89
0.09
5.29
18.49
-
8
1234.62
848.79
202.3
13.5
470.84
1386.75
4156,76 -
9
38
100
170
320
409
484
Исходные частоты признака, 𝑓𝑖 (гр. 2) представлены интервальными
величинами, следовательно для расчета требуемых показателей необходимо
определить середину интервала значения признака, 𝑥𝑖 (гр. 3)
В гр. 4 определяются произведения индивидуальных значений
признака и его частот, после чего рассчитывается по формуле средней
арифметической взвешенной средний процент влажности продукта
𝑥̅ =
∑ 𝑥𝑖𝑓
∑ 𝑓𝑖
𝑖
; 𝑥̅ =
6638
484
=13.7%;
Для расчета средних отклонений (линейного и квадратического) в
таблице 5.6 рассчитывается гр.5
Среднее линейное отклонение определяются по формуле взвешенной
l=
̅̅̅̅̅̅̅
∑ |(𝑥𝑖 –𝑥)|
𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
; l=
1137,2
484
=2,35
Для расчета среднего квадратического отклонения используется
формула
𝝈=√
∑(𝑥𝑖 −𝑥̅ )2 𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
; 𝝈=√
4156.76
484
=√8.588=2.93;
Определяем коэффициенты вариации:
𝑙
2.35
𝑥̅
𝝈
13.7
2.93
𝑥̅
13.7
𝑉𝑒 = ; 𝑉𝑒 =
𝑉𝝈 = ; 𝑉𝝈 =
x100=17.15%
x100= 21.4%
Далее определяются структурные средние мода (Мо)и медиана (Ме).
Для расчета моды выявляются модальный интервал, таким в
рассматриваемом примере будет интервал 13-15, так как ему соответствует
наибольшая частота (f=150).
Для модального интервала:
𝑥0 =13.5%, 𝑓0 =150, 𝑓1 =70 , 𝑓2 =89, h=2%
(150−70)
Мо =13.5+2 (150−70)+(150−89)=14.3%
49
Чтобы определить медианный интервал рассчитываются накопленные
частоты ,𝑆𝑓 (гр.9) и номер медианы:
𝑁𝑚𝑒 =
∑𝑓
2
; 𝑁𝑚𝑒 =
484
2
=242
Это означает, на середину данного вариационного ряда проходится
242 проба, которая в соответствии с уровнем накопленных частот находится
в интервале 13-15, который и будет медианным
Для него:
𝑥0 =13%; h=2; 𝑆𝑚𝑒−1 =170
∑𝑓
2
𝑓𝑚𝑒 =150
=242
𝑀𝑒 =хо +h
∑𝑓
−𝑆𝑚𝑒−1
2
𝑓𝑚𝑒
242−170
𝑀𝑒 =13+2
150
;
=13.96%
Выводы:
Для исследуемой статической совокупности(пробы продукта “A” по
проценту влажности) получены следующие результаты:
1.
Средний процент влажности составил 13,7%, при этом
процент влажности в пробах находится в пределах от 7 до 19% и размах
вариации равен: 𝑅𝑏 =19-7=12%
2.
Процент влажности продукта в среднем отклоняется от
средневзвешенного процента влажности на 2,35 процентных пунктов, что
составляет 17,15% через среднее линейное отклонение и на 2,93 процентных
пунктов или 21,7% через среднее квадратическое отклонение.
3.
Наибольшее число проб имеют влажность на уровне 14,13%;
о чем свидетельствует модальное значение признака (𝑀0 =14.13%)
4.
При этом половина исследуемых проб имеет влажность,
размер которой ниже 13,96%, другая же половина проб характеризуется
уровнем выше 13,96%, т.к𝑀𝑒 =13,96%
Графическое определение моды и медианы
Для определения моды на графике используется гистограмма.
Порядок ее построения:
На оси абсцисс располагается рад сомкнутых прямоугольников. Их
основанием служит величина интервала признака а высотой -частота
каждого интервала. В прямоугольнике с наибольшей частотой проводятся
линии:1. Соединяет правый угол данного прямоугольника с правым углом
50
предыдущего прямоугольника; 2.Соединяет левый угол прямоугольника с
наибольшей частотой с левым углом прямоугольника , следующий за ним.
Из точки пересечения опускается перпендикуляр на ось абсцисс,
который и определяет размер модального признака
Для выше рассмотренного примера график будет иметь вид,
представленный на рис.5.1.
Рис.5.1 Определение моду графическим методом
Гистограмма распределения проб продукта по проценту в них
влажности.
Графическое отображение медианы выполняется путем построения
кумуляты по накопленным частотам. Из верхней границы каждого интервала
на оси абсцисс восстанавливается перпендикуляр, соответствующий по
высоте накопленной частоте с начала ряда по данный интервал. Далее
соединяются последовательно вершины перпендикуляров .Полученная
кривая называется кумулятой. Из точки на оси ординат, соответствующей
порядковому номеру медианы (половина всех частот) проводится прямая
параллельно оси абсцисс до ее пересечения с кумулятой. Из полученной
точки опускается перпендикуляр на ось абсцисс, который отражает уровень
медианы.
Для рассмотренного примера медиана представлена на рис.5.2.
51
Рис.5.2. Определение медианы графическим способом
Задачи для самостоятельной работы студентов
Рассчитать среднее значение признака, его модальный и медианный
уровень; среднее линейное и среднее квадратическое отклонения;
коэффициенты вариации; размах вариации по исходной информации,
представленной в следующих задачах (задачи 1-8).
1.
В
целях
изучения
вышеуказанных
показателей
рассматривается стаж работников и их численность в соответствии с тем или
иным стажем (табл. 5.7).
Таблица 5.7
Исходные данные
Стаж, лет
xj
Число
работников,
чел
0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
14-16
5
8
15
30
17
13
7
15
Свыше
16
10
Итого
120
2.
В табл. 5.8 представлены доходы россиян в руб. и их доля в
% от общего числа жителей страны.
Таблица 5.8
Исходные данные
Доход,
руб
До
4500
4500-8500
8500-12500
12500-16500
52
16500-20500
20500-24500
24500-28500
Свыше
28500
Всего
%
10
жителей
от общего
числа
24,7
19,9
14,2
8,3
5,9
4,9
12,1
100
3.
Имеются данные, характеризующие уровень заработной
платы работников предприятия и их численность (табл.5.9).
Таблица 5.9
Исходные данные
Зарплата, До 6000 6000руб
10000
Численность
работников,
чел
74
180
1000014000
1400018000
210
250
1800022000
190
2200026000
150
2600030000
90
3000034000
Всего
60
1154
4.
Состав безработных в городе имеет следующую структуру,
представленную в табл. 5.1
Таблица 5.10
Состав безработных
Возрастные
18-20
22-26 26-30 30-40 40-50 50-60 Свыше Всего
группы,
60
лет
Удельный
11.1
15.3
16.9
18.5
35.2
2.1
0.9 100.0
вес
безработных,
%
5.
В исследуемом регионе структура городов по их
численности характеризуется данными, представленными в табл.5.11
Таблица 5.11
Исходные данные
53
Города с
население, До 10
тыс. чел
Доля
городов в
общем
составе,
%
13.2
1050
5090
90250
200350
11.1
18.3
21.8
25.4
300500
5.8
5001000
3.9
Свыше
Всего
1 млн.
0.5
100
6.
В районе действуют 150 фермерских хозяйств, одним из
овощных видов продукции является картофель. В табл. 5.12 представлена его
себестоимость по хозяйствам и их распределение по себестоимости
картофеля.
Таблица 5.12
Исходные данные
Себестоимость
10
11
12
13
14
15
Всего
картофеля, руб.
Число хозяйств
19
21
28
44
20
18
150
7.
Промышленные предприятия города в количестве 15 единиц
за отчетный период произвели следующий объем товарной продукции
(табл.5.13).
Таблица 5.13
Исходные данные
Товарная
300400500600700800- 900- Всего
продукция,
400
500
600
700
800
900
1000
тыс. руб.
Число
1
2
2
4
3
2
1
15
предприятий
8.
В городе работают 12 коммерческих банков, средний размер
вклада в них находится на уровне, представленном в табл.5.14.
Таблица 5.14
Исходные данные
54
Средний размер
вклада, тыс. руб.
Число банков
200250
250300
2
300350
2
350400
2
400450
3
Всего
450500
2
1
12
9.
Фактический товарооборот магазина составляет 2,4 млн. руб.
в том числе по отделам (гр 2 табл.5.15)
Таблица 5.15
Исходные данные
Фактический
Выполнение плана по
Отделы магазина
товарооборот, тыс. руб.
отделам, %
1
500
104
2
400
108
3
700
112
4
450
98
5
350
105
Всего
2400
?
Определить процент выполнения плана в целом по магазину. Какой
вид средней используется?
10.
Годовой товарооборот в магазине за пятилетний период
представлен в табл. 5.16.
Таблица 5.16
Исходные данные
Год
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
Товарооборот
год
за
11500
12600
13650
14500
15000
Рассчитать среднегодовой темп роста. Какой вид средней необходимо
использовать?
55
Тема 6. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ. ОШИБКА И
ЧИСЛЕННОСТЬ ВЫБОРКИ
Выборочное наблюдение представляет собой несплошное наблюдение,
результат которого переносится на всю (генеральную) совокупность, при
этом единицы которые отобраны для исследования составляют выборочную
совокупность.
Таблица 6.1
Показатели, характеризующие генеральную и выборочную совокупность
Генеральная
совокупность
Выборочная
совокупность
Объём совокупности
N
n
Численность единиц, обладающих
обследуемым признаком.
M
m
Показатели
Доля
единиц,
обладающих
обследуемым признаком
P=
M
N
̅
X
Средний размер признака
Дисперсия
количественного
признака
GX̅
Дисперсия доли
GP 2
2
W=
m
n
̃
X
GX̃ 2
GW 2
Расчеты среднего размера признака и дисперсии рассмотрены в
предыдущей теме.
Показатели, полученные при исследовании выборочной совокупности,
как правило, отличаются от аналогичных показателей, представляющих
генеральную совокупность. Разность между уровнями показателей
выборочной и генеральной совокупности называется ошибкой выборки,
которая рассчитывается как средняя и как предельная.
Выборочная средняя есть результат того, что ошибки выборки
являются случайными величинами ( так как в выборку попадают случайные
единицы совокупности), а следовательно, необходимо рассчитывать
среднюю ошибку, которая обозначается через «𝜇».
56
Средние ошибки в зависимости от метода формирования выборочной
совокупности рассчитываются по формулам, представленным в табл.6.2.
Таблица 6.2
Расчет средней ошибки
Метод отбора
Для средней
Для доли
Повторный
μX̃ = √
Бесповторный
μx̃ = √
GX̃ 2
n
μw = √
Gx̃ 2
n
(1 − )
n
N
μw = √
W − (1 − W)
n
W(1 − W)
n
(1 − )
n
N
В практической деятельности используется предельная ошибка (∆),
которая связана с гарантирующим ее уровнем вероятности [Ф(t)] и
рассчитывается по формуле (6.1):
∆=𝜇𝑡
(6.1)
Уровень вероятности (доверия) определяет величина нормированного
коэффициента (t), его значения даются в таблицах нормального
распределения вероятностей. Наибольшее использование находят следующие
сочетания Ф(t) и t, представленные в табл.6.3.
Таблица 6.3
Нормированный коэффициент t
Ф(t)
0.683
0.866
0.950
0.954
Ф(t)
0.988
0.990
0.997
0.999
t
1.0
1.5
1.96
2.0
t
2.5
2.58
3.0
3.5
Так, если исследователю достаточен уровень доверия (вероятности),
равный 68,3%, то для расчета предельной ошибки t=1; в условиях
максимального уровня доверия (99,9%) t=3,5
57
Показатели генеральной и выборочной совокупности связаны между
собой зависимостью (6.2) и (6.3):
- для средней
- для доли
𝑋̅ = 𝑋̃ ± ∆𝑋̃
𝑃 = 𝑊 ± ∆𝑊
(6.2)
(6.3)
Пример.
Чтобы определить с помощью выборочного обследования средний вес
булки хлеба, было взято 100 булок из партии в 1000 единиц. В результате
наблюдения установлено, средний вес булки хлеба в выборочной
совокупности равен 500 г. при среднем квадратическом отклонении, равном
40 г.
Определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых заключается
средний вес каждой булки хлеба во всей совокупности, если выборка
формировалась методом:
1.
Повторного отбора
2.
Бесповторного отбора
Краткое условие задачи:
n= 100 бул.
𝐺𝑋̃ = 40 г.
N= 1000 бул.
Ф(t)= 0,997
𝑋̃= 500 г.
t= 3
Решение:
Повторный отбор:
𝜇𝑋̃ = √
𝐺𝑋̃ 2
402
=√
= 4г.
𝑛
100
∆𝑋̃ = 𝜇𝑋̃ × 𝑡 =4 × 3 = 12г.
𝑋̅ = 𝑋̃ ± ∆𝑋̃ = 500 ± 12
Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что
фактический вес одной булки хлеба находится в пределах от 488 г. до 512 г.
Бесповторный отбор:
𝜇𝑋̃ = √
𝐺𝑋2̃
𝑛
402
100
(1 − ) = √
(1 −
) = 3.8
𝑛
𝑁
100
100
∆𝑋̃ = 3.8 × 3 = 11.4г.
𝑋̅ = 500 ± 11.4г.
58
Выборка, сформированная бесповторным методом, показывает,
средний вес булки хлеба во всей совокупности находится в пределах от 488,6
г. до 511,4 г.
Бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки (11,4<12 г.). Но
разница не велика даже при 10% отборе (100 булок из 1000). Поэтому в
практических расчётах ошибку выборки достаточно исчислять по формуле
для нее в соответствии с повторным отбором.
Пример.
Для определения доли студентов заочного отделения факультета,
работающих по специальности, произведено выборочное обследование. В
результате 10% бесповторного отбора получены следующие результаты,
представленные в табл.6.4.
Таблица 6.4
Исходные данные
Курс обучения
3
4
5
Количество отобранных студентов
50
60
90
Количество
студентов
работающих
по
20
36
72
специальности
Определить: с вероятностью 0.954 долю студентов, работающих по
специальности, в общей численности студентов факультета.
Решение
1.
Общее число отобранных студентов (n)
n=50+60+90=человек
2.
Всего студентов на факультете (N)
𝑁 = 200 ÷ 0.1 = 2000 чел.
3.
Количество студентов работающих по специальности (m)
m= 20+36+72= 128 чел.
4.
Выборочная доля студентов работающих по специальности (W)
𝑚 128
𝑊= =
= 0.64 (64%)
𝑛 200
5.
Случайная (средняя) ошибка выборки
𝜇𝑊 = √
𝑊(1 − 𝑊)
𝑛
0.64 × 0.36
(1 − 0.1) = 0.032 (3,2%)
(1 − ) = √
𝑛
𝑁
200
∆𝑊 = 𝜇𝑊 × 𝑡∆𝑊 = 3.2 × 2 = 6.4%
59
6.
Доля студентов работающих по специальности в общей численности
студентов факультета (P) находится в пределах от 57.6% до 70.4% при
вероятности 0.954
𝑃 = 𝑊 ± ∆𝑋̃ 𝑃 = 64 ± 6.4 %
Определение численности выборки
В случаях, когда исследователем задается величина допустимой
ошибки выборки и доверительная вероятность, задача заключается в
определении численности выборки, обеспечивающей уровень заданных
показателей.
Численность выборки при случайном и механическом отборе
определяется по формулам, представленным в табл.6.5.
Таблица 6.5
Расчет численности выборки
Метод отбора
Для средней
Для доли
Повторный
Бесповторный
n=
n=
t 2 − GX2̃
∆2
t 2 Gx2̃ N
N∆2 + t 2 GX2̃
n=
n=
t 2 W(1 − W)
∆2
t 2 W(1 − W)N
N∆2 + t 2 W(1 − W)
Более достоверные результаты требуют увеличения доверительной
вероятности. С увеличением допустимой ошибки уменьшается необходимый
объём выборки и наоборот.
Пример
Сколько участков площади, засеянной пшеницей, следует отобрать для
выборочного наблюдения, чтобы ошибка выборки с вероятностью 0,954 не
превышала 0.1ц для средней и 3% для доли. При этом вся посевная площадь
поделена на 1000 участков, среднее квадратическое отклонение составляет
1,044 и доля участков с изучаемой урожайностью (например, 14ц с 1га)в
генеральной совокупности составляет 80%.
Решение
N= 1000 участков
𝜎 = 1.044; 𝜎 2 = 1.0442 = 1.09
P= 80% (0.8)
60
∆𝑥̃ = 0,1
∆𝑃 = 0.03 (3%)
t= 2 при Ф (t) = 0.954
В условиях бесповторной выборки ее численность будет составлять:
а) Для определения средней
𝑡 2𝐺 2𝑁
22 × 1.09 × 1000
𝑛=
=
= 304 участка
𝑁∆2 + 𝑡 2 𝐺 2 0.12 × 1000 + 22 × 1.09
б) Для определения доли
𝑡 2 𝑊(1 − 𝑊)𝑁
22 × 0.8(1 − 0.8) × 1000
𝑛=
=
= 415участков
𝑁∆2 + 𝑡 2 𝑊(1 − 𝑊) 1000 × 0.032 + 22 × 0.8(1 − 0.8)
Задачи для самостоятельной работы студентов.
1.
Для определения золы в угле проводилось выборочное обследование,
при котором методом повторного отбора было взято 300 проб угля из разных
вагонов, прибывших на предприятие. Установлено, средняя зольность угля
отобранных проб составляет 16,5% при среднеквадратическом отклонении,
равном 8%.
С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится
средняя зольность угля во всем объеме угля, поступившего на предприятие.
2.
Для обследования уровня жирности молока в фермерском хозяйстве
была сформирована выборка методом повторного отбора, в результате из
общего суточного удоя было взято 100 проб, которые по проценту жирности
молока распределились согласно табл. 6.6.
Таблица 6.6
Распределение проб по проценту жирности
Процент жирности
3.6-3.8
3.8-4.0 4.0-4.2 Всего
Число проб
30
50
20
100
Определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится
процент жирности всего суточного удоя молока, предварительно определив:
А) средний процент жирности молока в отобранных пробах;
Б) среднее квадратическое отклонение процента жирности молока в
выборке.
61
3.
Для определения среднего уровня квалификации рабочих была
сформирована 20%-ная выборка методом бесповторного отбора, которая
составила 100 чел.
Рабочие по тарифному разряду в выборке распределились следующим
образом (табл.6.7).
Таблица 6.7
Распределение рабочих по тарифным разрядам
Тарифные
1
2
3
4
5
6
Всего
разряды
Число
0
10
28
32
20
10
100
рабочих
С вероятностью 0.954 в целом для цеха определить предел, в котором
находится средний разряд рабочих, для чего необходимо рассчитать: а)
средний разряд рабочих в выборке; б) среднее квадратическое отклонение в
квалификации рабочих в выборке.
4.
В целях определения среднего уровня успеваемости студентов
дневного отделения университета была произведена 10%-ная бесповторная
выборка,
результаты
которой
характеризуются
следующими
данными (табл.6.8).
Таблица 6.8
Распределение студентов по успеваемости
Баллы
2
3
4
5
Всего
успеваемости
Число
студентов
30
60
110
50
250
Определить:
а) средний балл успеваемости студентов в выборке и среднее квадратическое
отклонение для нее;
б) пределы, в которых находится средний уровень успеваемости студентов в
целом по университету. В расчетах принять уровень вероятности равный
0,997.
62
5.
В анализируемом районе города проживает 220 тыс. семей,
требовалось определить предел, в котором находится среднее число детей в
семьях района. Для этого была сформирована 5%-ная выборка (табл.6.9).
Таблицам6.9
Численность детей в семьях
Число детей в семье
0
1
2
3
4
5
Всего
Количество семей
1200
5000
2200
2000
400
200
11000
Расчеты выполнить с вероятностью равной 0,954.
6.
Исследуемая партия продукции состоит из 1500 единиц. Определить,
какое количество единиц продукции из данной партии необходимо
обследовать на предмет изучения среднего срока службы продукции путем
организации бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0.997 предельная
ошибка выборки составляла не более 3-х лет. Предполагаемое среднее
квадратическое отклонение G=8 лет.
7.
Рассчитать, сколько рабочих нужно обследовать в порядке
случайной выборки для определения среднего разряда рабочих, чтобы с
вероятностью, равной 0.997, можно было гарантировать ошибку не более 0,8
разряда. Предполагаемый уровень дисперсии составляет 1,46.
8.
Ставится задача провести выборочное обследование в одном из
цехов предприятия с целью определения доли рабочих в возрасте старше 40
лет. Каким должен быть объём выборки, чтобы с вероятностью 0,954 можно
было бы гарантировать точность результата до 5%. Принять уровень
дисперсии, равной 0, 25.
9.
Выборочное обследование 300 работающих предприятия на предмет
выявления доли численности женщин, удельной вес которых составляет 35%
(w=0,35). Каков уровень вероятности (доверия) позволяет констатировать,
что в указанных расчётах допущена ошибка (∆), не превышающая 7% (0,07).
10.
Сколько осужденных нужно обследовать методом повторного отбора
для определения среднего срока наказания, чтобы с вероятностью 0,997
можно было гарантировать ошибку (∆) не более 0,5 года. Предполагаемое
среднее квадратическое отклонения (G) равно 2.
63
ТЕМА 7. РЯДЫ ДИНАМИКИ:
ПОКАЗАТЕЛИ ИХ ОЦЕНКИ, МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
Для отображения динамики развития социально-экономических
явлений используют ряды динамики.
Ряды динамики – это ряды количественных характеристик изменений
общественных явлений во времени (хронологические, временные).
Динамический ряд состоит из двух элементов: рассматриваемое время
развития явления и конкретное значение показателя, отражающего сущность
этого явления, и выступающего в качестве уровня ряда, в статистике
обозначаемого через «y».
Ряды, в которых время задано в виде промежутков (лет, месяцев,
суток), есть интервальный динамический ряд. Если же время задано в виде
конкретных дат (моментов) времени – моментный динамический ряд.
В статистическом изучении динамических рядов используются
показатели:
- абсолютный прирост (∆)
- коэффициент роста (Кр)
- темп роста (Тр)
- коэффициент прироста (Кпр)
- темп прироста (Тпр)
- абсолютное значение одного процента прироста (А)
Указанные показатели рассчитываются базисные и цепные.
Использование в качестве базы сравнения постоянного значения
показателя (уровень ряда в первом периоде данного ряда) обеспечивает
получение базисных показателей ряда. При сравнении с предыдущим
периодом или моментом времени результатом будут цепные показатели.
Формулы расчета аналитических показателей динамических рядов
представлены в табл.7.1.
Ряды динамики рассматриваются с позиций среднего уровня показателей:
̅;
- средний уровень ряда, У
- средний абсолютный прирост, ∆̅;
̅̅̅р ;
- средний темп роста, Т
- средний темп прироста, ̅̅̅̅
Тпр .
64
Таблица 7.1
Показатели
1. Абсолютный прирост
(∆)
2. Коэффициент роста
(Кр)
Формулы расчета показателей динамики
Базисные (баз.)
Цепные (цеп.)
∆𝑖 баз = У𝑖 − У1
∆𝑖 цеп = У𝑖 − У𝑖−1
Средние
∆баз.𝑛
∆̅=
𝑛−1
∆𝑖 баз = ∑∆𝑖 цеп
Кр баз =
У𝑖
У𝑖
Кр цеп =
У𝑖
У𝑖−1
Кр баз = ∏К р цеп ,
где ∏ - потенцирование (умножение).
̅̅̅
Кр =
Тр баз = Кр баз ∗ 100
Тр баз = Кр цеп ∗ 100
4. Коэффициент
прироста (Кпр)
5. Темп прироста, %
(Тпр)
Кпр баз = 1 − Кр баз
Кпр цеп = 1 − Кр цеп
Тпр баз = Кпр баз ∗ 100
Тпр баз = Тр баз − 100
У𝑖
А баз =
100
Тпр цеп = Кпр цеп ∗ 100
Тпр цеп = Тр цеп − 100
∆𝑖 цеп
А цеп =
Тпр 𝑖 цеп
6. Абсолютное значение
одного процента
прироста (А)
7. Средние уровни
показателей динамики
√У ,
1
где У1 ; У𝑛 – соответственно значения
показателя для периода начального в
ряду динамики и конечного;
̅̅̅
Кр =
3. Темп роста, % (Тр)
𝑛−1 У𝑛
𝑛−1
√П Кр цеп =
𝑛−1
√Кр баз
̅̅̅р = ̅̅̅
Т
Кр ∗ 100
̅̅̅̅̅
̅̅̅
К
пр = Кр − 1
̅̅̅̅
̅̅̅р − 100; %
Тпр = Т
∑𝑛𝑖=1 У𝑖
,
𝑛
где n – число рассматриваемых
периодов (лет, месяцев, суток)
̅=
У
Пример
Имеются данные, характеризующие количество разводов в России.
Рассчитать аналитические показатели для рассматриваемого
динамического ряда.
Таблица 7.2
Расчет показателей динамики
Годы
Показатели
Всего
2008
2009
2010
2011
2012
1.Количество
разводов
в
России (Уi)
703412 699430
2.Абсолютный
прирост, ∆:
- базисный
-3982
- цепной
-3982
3.Коэффициент
роста, Кр:
- базисный
1
0,994
- цепной
0,994
4.Темп роста, Тр;
%:
- базисный
100
99,4
- цепной
99,4
5.Коэффициент
прироста, Кпр:
- базисный
- -0,006
- цепной
- -0,006
6. Темп
прироста, Тпр, %:
- базисный
-0,6
- цепной
-0,6
7.Абсолютное
значение одного
процента
прироста, А:
- цепной
6636
639321
669376
644101
3355640
-64091
-60109
-34036
30055
-59311
-25275
-59311
0,909
0,914
0,952
1,047
0,916
0,962
-0,994*0,914*
*1,047*0,962=
= 0,916
90,9
91,4
95,2
104,7
91,6
96,2
-
-0,091
-0,086
-0,048
0,047
-0,084
0,038
-
-9,1
-8,6
-4,8
4,7
-8,4
-3,8
-
6989
6395
6651
-
Среднегодовые показатели за анализируемый пятилетний период
составляют:
̅=
1. среднегодовое число разводовУ
3355640
2. среднегодовой абсолютный прирост∆̅=
̅̅̅р =
3. среднегодовой темп роста Т
= 671128 разв.
𝑛
−59311
5−1
5−1 644101
√
703412
= 14828 разв.
∗ 100 = 97,8%
4. среднегодовой темп прироста ̅̅̅̅
Тпр = 97,8 − 100 = −2,2%
Таким образом, анализ динамики разводов в России за период с 2008г.
по 2012г. Показал:
- число разводов превысило 3355тыс. разводов;
- среднегодовое число разводов составило 671128 разводов;
- отмечается тенденция снижения количества разводов, среднегодовой
темп роста составил 97,8%, что
- обеспечило среднегодовое снижение темпа прироста на 2,2 %.
Задачи для самостоятельной работы студентов
1. На рис.7.1 представлено изменение ставки по вкладам в банках РФ.
Ставка, %
15
10
15
5
8.8
7.8
2010
2011
10.7
8.7
0
2009
2012
2013
Рис.7.1 Динамика ставки по вкладам в коммерческих банках РФ
Проанализировать данный динамический ряд с целью выявления
годовых и среднегодовых:
- уровня ряда;
- абсолютного прироста;
- темпов роста;
- темпов прироста.
Сделать выводы.
67
2. Имеются данные, характеризующие динамику материнского капитала в
России (табл.7.3).
Таблица 7.3
Динамика размера материнского капитала, руб.
Годы
2007
Размер
материнского
капитала
2008
2009
2010
2011
2012
2013
250000 276250 312162 343378 365698 387640 408960
В целях анализа данного динамического
необходимые аналитические показатели.
3. По данным Минсельхоза США
характеризуется данными (табл.7.4).
экспорт
из
ряда
рассчитать
России
пшеницы
Таблица 7.4
Динамика экспорта пшеницы из России
Годы
Экспорт
пшеницы,
млн.т.
2004
8,5
2005
10,7
2006
10,8
2007
12,2
2008
18,4
2009
18,6
2010
4,0
Рассчитать:
1) абсолютный прирост по годам;
2) коэффициенты и темпы роста и прироста (базисные т цепные);
3) цену одного процента прироста (цепной);
4) среднегодовые показатели
- среднегодовой объем экспорта пшеницы;
- среднегодовой абсолютный прирост;
- среднегодовые темпы роста и прироста.
4. Имеются данные, характеризующие уровень безработных в России в
помесячном разрезе в один из 2000-х годов и численность активного
населения (табл.7.5).
Проанализировать
данные
ряды
динамики,
рассчитав
соответствующие аналитические показатели, а также составить третий
68
динамический ряд, характеризующий долю безработных
численности активного населения и выполнить его анализ.
в
общей
6,7
6,5
6,3
75,5 75,1
74,8
75,2
75,6
75,9
76,1
декабрь
июнь
6,9
ноябрь
май
апрель
7,1
октябрь
5,9
март
6,5
сентябрь
Число
безработных,
млн. чел
Численность активного
населения, млн. чел
август
январь
февраль
Таблица 7.5
Динамика безработицы и численности активного населения
Отчетный год
Декабрь
пред. года
Месяцы
июль
Месяцы
Число
безработных,
млн. чел
Численность активного
населения, млн. чел
6,2
6,0
5,8
5,8
6,1
6,2
76,3
76,6
76,2
75,8
75,5
75,4
5. В табл. 7.6 отражены тарифы на некоторые виды коммунальных услуг
в г. Магнитогорске за пятилетие.
Таблица 7.6
Динамика тарифов на коммунальные услуги в г. Магнитогорске
Виды услуг
2009
2010
2011
2012
2013
1. Электроэнергия,
коп/кВт-ч.
2. Газ, руб/чел. в месяц.
3. Отопление, руб/м2.
4. Холодная вода, руб/м3
5. Горячая вода, руб/м3
81
179
197
209
269
36,44
25,88
9,96
52,04
42,31
31,45
12,56
65,84
47,82
32,24
15,88
70,44
54,96
35,79
17,87
78,43
63,12
39,25
20,24
87,04
Выполнить анализ каждого динамического ряда и сделать выводы.
69
6. Имеются данные об урожайности зерновых культур в одном из
сельскохозяйственных предприятий района за пятилетний период (табл.7.7).
Таблица 7.7
Динамика урожайности
Годы
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
Урожайность
13,8
15,1
14,7
13,1
12,5
зерновых, ц/га
В целях анализа данного динамического ряда рассчитать требуемые
при этом аналитические показатели. Сделать выводы.
7. В городе за пятилетку введено жилья за счет ипотечных средств (табл. 7.8).
Таблица 7.8
Динамика ввода жилья за счет ипотечного кредитования
Годы
1-й
Введено общей площади, кв.м.
2-й
65
3-й
62
64
4-й
70
5-й
73
Определить темпы роста и прироста введенной площади, а также ее
абсолютный прирост в годовом и среднегодовом разрезе.
8. Розничный товарооборот в предприятиях малого бизнеса в регионе за
анализируемый пятилетний период характеризуется данными (табл.7.9).
Таблица 7.9
Динамика розничного товарооборота малых предприятий
Годы
1-й
Розничный товарооборот, млн.руб.
2-й
120
150
3-й
190
4-й
220
5-й
250
Проанализировать данный динамический ряд и сделать выводы.
9. Прибыль промышленного предприятия в отчетном шестилетнем периоде
представлена в табл.7.10.
Таблица 7.10
Динамика прибыли промышленного предприятия
6-й
Годы
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
Прибыль, млн.руб.
750
780
740
690
720
Выполнить анализ данного динамического ряда и сделать выводы.
70
710
Обработка рядов динамики
С целью выявления закономерностей изменения и сглаживания
случайных колебаний динамического ряда, характеризующего какое-либо
общественно-экономическое явление, следует проводить соответствующую
обработку ряда.
К числу основных способов обработки относят:
̅̅̅р ; ̅̅̅
1. Использование среднего коэффициента или темпа роста (К
Тр )
Пример
Используя исходные данные о фонде оплаты труда, т.руб.:
Январь – 371875
Февраль – 382700
Март – 393800
Апрель – 425300
Преобразовать ряд динамики способом среднего коэффициента роста.
Решение
1) Определяется средний коэффициент роста по формуле средней
геометрической простой
̅̅̅
Кр =
𝑛−1
√
У𝑛
=
У1
4−1
√
425350
= 1,0458
371875
2) Преобразованный динамический ряд будет иметь вид, тыс.руб.:
Январь – 371875
Февраль – 371875*1,0458=388907
Март – 388907*1,0458=406719
Апрель – 406719*1,0458=425350
2. Использование среднего абсолютного прироста (∆̅)
Для выше рассмотренного примера
425350 − 371825
∆̅=
= 17825тыс. руб.
4−1
Исходный динамический ряд преобразуется в следующий ряд,
тыс.руб.:
Январь – 371875
Февраль – 389700
Март – 407525
Апрель – 425350
71
3. Укрупнение интервалов и расчет для них средних показателей.
Выгружено
выгонов
Итого
Декаб.
Нояб.
Окт.
Сент.
Авг.
Июль
Июнь
Май
Апр.
Март
Февр.
Янв.
Месяц
Пример
Имеются данные о выгрузке вагонов по 15 станциям железной дороги
в отчетном году(табл. 7.11).
Таблица 7.11
Динамика выгрузки вагонов, тыс.условных вагонов:
40,4 36,8 40,6 38,0 42,2 48,5 40,8 44,8 49,4 48,9 46,4 40,2 517
Решение
1) Укрупнение интервала до продолжительности квартала позволяет
иметь следующий ряд динамики (табл.7.12).
Таблица 7.12
Сгруппированный ряд динамики
Кварталы
Выгружено, тыс.условных вагонов
I
117,8
II
128,7
III
135,0
IV
135,5
Итого за год
517,0
2) Рассчитывается среднемесячная выгрузка вагонов
в каждом
квартале методом средней арифметической простой (табл.7.13).
Таблица 7.13
Расчет среднемесячной выгрузки
Кварталы
Среднемесячная выгрузка, тыс.условных вагонов
I
117,8:3 = 39,3
II
128,7:3 = 42,9
III
135,0:3 = 45,0
IV
135,5:3 = 45,2
Итого за год
517,0:3 = 43,1
72
3) Таблицы в п.п. 1 и 2 отчетливо показывают, что объем выгрузки
вагонов в течение отчетного года постепенно увеличился, в то время как,
ориентируясь на месячные данные, нельзя однозначно обозначить
направление в изменении уровня ряда динамики – количество выгруженных
вагонов, что позволило сделать в процессе укрупнения интервала.
4. Сглаживание уровней способом скользящей (подвижной) средней.
5. Выравнивание по аналитическим формулам.
Метод скользящей средней
Метод скользящей средней состоит в том, что абсолютные данные
анализируемого показателя заменяются абсолютными величинами,
исчисленными по средней арифметической простой за определенный период.
При выборе этих периодов производится скольжение путем исключения из
периода первых уровней и включения последующих.
При использовании этого способа найденные скользящие
располагаются в середине (центре) периода.
Наглядное представление о динамике развития явления обеспечивает
отображение на графике (линейной диаграмме) исходных данных и
результатов обработки динамического ряда методом скользящей средней.
Пример
Имеются данные о добыче угля за первую половину месяца (15 дней).
Требуется выровнять исходный ряд динамики методом скользящей
средней с 3-хчленным периодом.
Решение
1) Находим скользящие суммы добычи угля за 3 дня: с 1 по 3 день
800+820+810 = 2430
2) Полученную сумму делим на 3. Результат записывается в строку «2й день».
Далее рассматриваем сумму объемов добычи угля за периодом со 2 по
4 день и т.д. (табл.7.14).
Таблица 7.14
Расчет скользящих средних
Добыча угля,
Скользящие ∑/ добычи
Скользящая
Дни месяца
тыс.т.
угля за 3 дня
средняя за 3 дня
1
800
2
820
2430
810
73
Дни месяца
Продолжение таблицы 7.14
Скользящие ∑ добычи
Скользящая
угля за 3 дня
средняя за 3 дня
2460
820
2460
820
2500
833
2500
833
2520
840
2510
837
2540
847
2550
850
2580
860
2580
860
2610
870
2630
877
-
Добыча угля,
тыс.т.
810
830
820
850
830
840
840
860
850
870
860
880
890
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
/
Добыча угля, тыс.т
Линейная диаграмма по исходным данным и расчетным представлена
на рис.7.2.
890
880
870
860
850
840
830
820
810
800
Обозначения:
1;
2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Дни месяца
Рис.7.2 Динамика добычи угля
Примечание
1 – исходные данные добычи угля;
2 – данные по добыче угля, полученные на основе скользящей средней.
74
Из приведенного графика видно наибольшую наглядность в
отражении тенденции развития рассматриваемого процесса – добыча угля –
обеспечивает кривая, построенная по данным скользящей средней.
Выравнивание рядов динамики по аналитическим формулам
Данный способ заключается в том, что по эмпирическим данным
находят теоретические (вероятностные) уровни, которые рассматриваются
как некая функция времени: ̅̅̅
У𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡
Наибольшее использование в статистике находит выравнивание по
прямой линии, основанное на использовании метода наименьших квадратов.
Аналитическое уравнение прямой линии имеет вид (7.1):
где
𝑦̅𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡
(7.1)
𝑎0 ; 𝑎1 – параметры уравнения;
t - условное обозначение времени.
Для нахождения параметров 𝑎0 ; 𝑎1
нормальных уравнений (7.2):
𝑎0 𝑛 + 𝑎1 ∑ 𝑡 = ∑
следует
решить
систему
𝑦
𝑎0 ∑ 𝑡 + 𝑎2 ∑ 𝑡 2 = ∑ 𝑦𝑡
(7.2)
где
n – число рассматриваемых периодов;
y – уровень ряда.
Для удобства в решении задач данным способом составляется расчетная
таблица по форме, представленной в табл. 7.15.
Таблица 7.15
Выравнивание рядов динамики аналитическим методом
Периоды
Значение
Условное
̅̅̅
У𝑡
(годы,
показателя
обозначение
t2
yt
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑡
месяцы, дни) (уровень ряда), у
времени, t
20…
…
Итого
75
Пример
Используя данные предыдущей задачи, выравнивание динамического
ряда по прямой линии представлено в табл. 7.16.
Таблица 7.16
Выравнивание рядов динамики аналитическим методом
Добыча
Условное
Дни
̅̅̅
угля,
обозначение
t2
уt
У𝑡 = 799,9 + 5,43𝑡
месяца
тыс.т. (у)
времени, t
1
800
1
1
800
805,3
2
820
2
4
1640
810,8
3
810
3
9
2430
816,2
4
830
4
16
3320
821, 6
5
820
5
25
4100
827,0
6
850
6
36
5100
832,5
7
830
7
49
5810
837,9
8
840
8
64
6720
843,3
9
840
9
81
7560
848,8
10
860
10
100
8600
854,2
11
850
11
121
9350
859,6
12
870
12
144
10440
865,1
13
860
13
169
1180
870,5
14
880
14
196
12320
875,9
15
890
15
225
13350
881,3
Итого
12650
120
1240 102720
12650
Система нормальных уравнений будет иметь вид:
15𝑎0 + 120𝑎1 = 1650 −1
{
| 1 } умножаем
120𝑎0 + 1240𝑎1 = 102720 8
−15𝑎0 − 120𝑎1 = −12650
{ 15𝑎0 + 155𝑎1 = 12840
35𝑎1 = 190
𝑎1 = 5.42857 ≈ 5.43
Находим а0:
15 ∗ 𝑎0 + 155 ∗ 5.43 = 12840
76
15 ∗ 𝑎0 + 841.65 = 12840
15 ∗ 𝑎0 = 12840 − 841.65 = 11998.35
𝑎0 = 799.9
и уравнение прямой линии
̅̅̅
У𝑡 = 799,9 + 5,43 ∗ 𝑡
Параметр 𝑎1 показывает, что добыча угля ежедневно в среднем
увеличивается на 5,43 тыс.т.
Данный способ при предположении, что линейная закономерность
изменения добычи угля, принятая для первой половины месяца, сохранится
до конца этого месяца, то добыча угля 30-го числа месяца будет составлять
̅̅̅̅̅
У30 = 799,9 + 5,43 ∗ 30 = 962,8 тыс. т.
Добыча угля, тыс.т
Следует отметить, что естественно данная величина условная в
соответствии с полученной в процессе выравнивания ряда тенденцией
(трендом).
Как и в предыдущем методе обработки динамического ряда следует
отобразить динамику исходного и выровненного рядов на линейной
диаграмме.
890
Обозначения:
880
870
1
860
2
850
840
830
820
810
800
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Дни месяца
Рис.7.3 Динамика добычи угля
Примечание
1 – исходный динамический ряд;
2 – выровненный динамический ряд.
77
Задания для самостоятельной работы студентов
Предлагается выполнить обработку рядов динамики методами
скользящей средней и выравнивания по прямой линии, рассмотренных в
задачах для самостоятельной работы в изучаемой теме, отмеченных (*)
(задачи №№1, 2, 3, 5) и отразить на линейных диаграммах.
Методы выявления сезонных колебаний
В статистике периодические колебания, имеющие определенный и
постоянный период, равный годовому отрезку времени, называются
«сезонными колебаниями», а динамический ряд в этом случае есть сезонный
ряд динамики. Их исследование обеспечивается расчетом индексов
сезонности, для чего используются методы:
1. Определение индекса сезонности как процентное отношение
помесячных (или квартальных) уровней к среднему уровню за исследуемый
отрезок времени по формуле (7.3):
𝐽сез =
где
у̅𝑖
× 100; %
̅
У
(7.3)
̅𝑖 - уровень показателя для каждого месяца (квартала) в среднем за 3
У
года;
̅ - средний уровень показателя в среднем за 3-хлетний период.
У
Большая достоверность (надежность) будет иметь место при изучении
данных за 3 года.
2. Для каждого года рассчитываются помесячные (квартальные)
индексы сезонности по формуле (7.4), а затем для каждого месяца (квартала)
рассчитывается средняя за 3 года по формуле (7.5):
𝑗𝑖 =
У𝑖
̅
У
̅сез =
У
× 100 ,
∑ 𝑗𝑖
3
(7.4)
(7.5)
.
Пример
Имеются данные, характеризующие производство продукта «А» за 3хлетний период по кварталам (табл.7.17).
Определить индекс для данного продукта.
78
Таблица 7.17
Производство по
кварталам, тыс.ед.
I
II
III
IV
Итого за год
Исходные данные
Годы
1
2
3
258
270
260
360
362
370
396
400
410
423
411
436
1437
1443
1476
Всего
788
1092
1206
1270
4356
В среднем
за квартал
262,7
364
402
423,3
1452
Решение
1. Определяем среднее квартальное за 3 года производство данного
продукта
4356
̅=
У
= 363 тыс. ед.
3∗4
2. Рассчитываем индекс сезонности за каждый квартал по
формуле (7.4).
Например, для первого квартала 1-го года и четвертого квартала 2-го
года:
258
𝑗𝐼,1 =
= 0,711 (71,1%)
363
411
𝑗𝐼𝑉,2 =
= 1.132 (113.2%)
363
В табл.7.18 представлены расчеты поквартальных индексов сезонности по
годам и в среднем за 3 года.
Таблица 7.18
Расчет индексов сезонности
Индекс сезонности по годам
Кварталы
1-й
2-й
3-й
В среднем за 3 года, ̅̅̅̅̅
Усез
I
71,1
74,4
71,6
72,4
II
99,2
99,7
101,9
100,3
III
109,1
110,2
112,9
110,7
IV
116,5
113,2
120,1
116,6
Всего
400
Для расчета индекса сезонности по кварталам в среднем за 3 года
используется формула (7.5).
79
Так, для первого квартала в среднегодовом исчислении индекс
сезонности составляет:
̅ 𝐼 = 71.1+74.4+71.6 = 72.4% и т.д. (см. табл.7.18).
𝐽сез
3
Правильность выполненных расчетов индексов проверяется
следующим образом:
1) при исчислении месячных индексов сезонности их сумма должна
составлять 1200%;
2) при определении квартальных индексов сезонности сумма четырех
кварталов равняется 400 (см. табл.7.18).
Задачи для самостоятельной работы студентов
1. Имеются данные о числе родившихся и числе зарегистрированных
браков и разводов в городе по месяцам за 3 отчетных года (табл.7.19).
Таблица 7.19
Исходные данные
Месяцы
Число
Число
Число
родившихся, чел.
зарегистрированных зарегистрированных
браков
разводов
1-й
2-й
3-й
1-й
2-й
3-й
1-й
2-й
3-й
Январь
441
402
433
223
220
221
198
203
201
Февраль
372
408
389
230
225
227
242
205
227
Март
405
399
404
220
230
225
199
209
204
Апрель
419
408
413
210
190
201
201
197
199
Май
431
415
421
180
185
183
185
201
193
Июнь
408
403
406
230
215
224
207
227
215
Июль
392
401
398
190
198
195
209
199
204
Август
423
432
427
185
191
187
204
200
202
Сентябрь
455
449
452
195
202
201
216
204
210
Октябрь
416
421
419
205
195
193
198
203
203
Ноябрь
398
393
396
210
217
207
203
197
202
Декабрь
387
380
390
202
199
221
189
194
195
За год
4947 4911 4948 2480 2467 2485 2451 2439 2455
Для анализа внутригодовой динамики представленных показателей
определить индексы в месячном разрезе.
2.Используя данные выше приведенной таблицы, определить значения
показателей за квартал и определить для них индексы сезонности.
80
ТЕМА 8. ИНДЕКСЫ: ВИДЫ, ПОРЯДОК РАСЧЕТА
Индексы- это относительные показатели, выражающие значение
сложных
экономических
явлений,
состоящих
из
непосредственно
несоизмеримых элементов.
Индексы характеризуют соотношение явления во времени (индексы
динамики); в пространстве (территориальные индексы) и по сравнению с
планом (индекс выполнения плана).
Индексы подразделяются на индивидуальные и общие (сводные).
Индивидуальные индексы не учитывают структуру изучаемого
явления и обеспечивают сравнение количественного уровня показателя в
данных условиях с его величиной в других условиях.
При изучении неоднородной совокупности используются общие
индексы, в которых рассматриваются индексируемая величина и
взвешивающий показатель (соизмеритель).
Так, при определении, например, сводного индекса цен индексируется
величина- цена, а в качестве соизмерителя выступает объем реализованных
товаров. В зависимости от того, показатель - соизмеритель какого периода
используется- базисного или отчётного. Индексы соответственно
рассчитываются:
- индексы Ласпейреса
- индексы Пааше
которые позволяют сделать однозначный (одинаковый) вывод.
В общей теории статистики используются определенные обозначения:
i- индивидуальный индекс
J- сводный (общий) индекс
p- цена
q- количество (физический объем)
Ƶ- себестоимость
t- производительность (трудоемкость)
z-урожайность
S- посевная площадь
0- базисный период
1- отчетный период.
81
Например,
цена
в
базисном
𝑃1
индивидуальный индекс цен 𝑖𝑝 =
𝑃0
периоде-Р1 ,
в
отчетном-
Р0
и
.
Общие индексы могут быть построены на агрегатные или как средние
из индивидуальных.
В практической деятельности большое применение находит агрегатная
форма общих индексов.
В табл.8.1 представлены формулы расчета индексов (инвидуальных и
общих), при этом индекс Ласпейреса обозначаются через «Л», а Пааше-«П».
Таблица 8.1
Формулы расчета индексов
ИндексиИндивиСоизмериАгрегатная форма
Индекс
руемые
дуальный
тели
общего индекса
величины
индекс
Цен
Себестоимости
Физического
объема
Товарооборота
Общих
затрат
Производительности
труда через
трудоемкость
𝑃0 ; 𝑃1
Ƶ0 ; Ƶ1
𝑞0 ;𝑞1
𝑃0 ; 𝑃1 ;
𝑞0 ; 𝑞1
Ƶ0 ; Ƶ1
𝑞0 ; 𝑞1
𝑡0 ; 𝑡1
𝑃1
𝑖𝑝 =
𝑃0
Ƶ1
Ƶ0
𝑖Ƶ =
𝑖𝑞 =
𝑃1 𝑞1
𝑃0 𝑞0
𝑖𝑝𝑞 =
𝑖Ƶ𝑞 =
𝑞1
𝑞0
Ƶ1 𝑞1
Ƶ0 𝑞0
𝑖𝑡 =
𝑡0
𝑡1
82
𝑞1
𝐽𝑝 =
𝑞0
𝐽𝑝 =
𝑞1
𝐽Ƶ =
𝑞0
𝐽Ƶ =
𝑃1
𝐽𝑞 =
𝑃0
𝐽𝑞 =
Ƶ1
𝐽𝑞 =
Ƶ0
𝐽𝑞 =
∑𝑃1 𝑞1
∑𝑃0 𝑞1
∑𝑃1 𝑞0
∑𝑃0 𝑞0
∑Ƶ1 𝑞1
(Л)
(П)
∑Ƶ0 𝑞1
∑Ƶ1 𝑞0
∑Ƶ0 𝑞0
∑𝑃1 𝑞1
∑𝑃1 𝑞0
∑𝑃1 𝑞1
(Л)
(П)
(Л)
∑𝑃0 𝑞0
∑Ƶ1 𝑞1
∑Ƶ1 𝑞0
∑Ƶ0 𝑞1
(Л)
(Л)
∑Ƶ0 𝑞0
∑𝑃1 𝑞1
𝐽𝑝𝑞 =
-
(П)
∑𝑃0 𝑞0
(П);
𝐽𝑝𝑞 = 𝐽𝑝𝑥 × 𝐽𝑞
𝐽Ƶ𝑞 =
-
∑Ƶ1 𝑞1
∑Ƶ0 𝑞0
𝐽Ƶ𝑞 = 𝐽Ƶ × 𝐽𝑞
𝑞1
𝐽𝑡 =
𝑞0
𝐽𝑡 =
∑𝑡0 𝑞1
∑𝑡1 𝑞1
∑𝑡0 𝑞0
∑𝑡1 𝑞0
(П)
(Л)
(Л)
(П);
(Л)
Продолжение таблицы 8.1
Индекс
Урожайнос
ти
Посевных
площадей
Валового
сбора
Индексируемые
величины
Индивидуальный
индекс
𝑟0 ; 𝑟1
𝑟1
𝑖𝑟 =
𝑟0
𝑆0 ; 𝑆1
𝑟0 ; 𝑟1
𝑆0 ; 𝑆1
𝑆1
𝑆0
𝑖𝑠 =
𝑖𝑟𝑠 =
Соизмерители
𝑧1 𝑆1
𝑧0 𝑆0
Агрегатная форма
общего индекса
𝑆1
𝐽𝑟 =
𝑆0
𝐽𝑟 =
𝑟1
𝐽𝑠 =
𝑟0
𝐽𝑠 =
-
∑𝑟1 𝑆1
∑𝑟0 𝑆1
∑𝑟1 𝑆0
∑𝑟0 𝑆0
∑𝑟1 𝑆1
∑𝑟1 𝑆0
∑𝑟0 𝑆1
(П)
(Л)
(П)
(Л)
∑𝑟0 𝑆0
∑𝑟1 𝑆1
𝐽𝑟𝑠 =
∑𝑟0 𝑆0
(П)
𝐽𝑟𝑠 = 𝐽𝑟 × 𝐽𝑠 (Л)
В соответствии с требованиями по построению общих индексов в их
агрегатной форме можно выразить общий индекс любого показателя.
Например,
индекс
фонда
оплаты
труда
рассчитывается
по формуле (8.1):
∑з1 К1
(8.1)
𝐽фот =
∑з1 К0
где
з – средняя заработная плата одного работника
К-численность работников.
Индивидуальный
индекс
средней
зарплаты
рассчитывается
по формуле (8.2):
з
𝑖з = 1.
(8.2)
з0
Индивидуальный индекс численности работников рассчитывается по
формуле (8.3):
𝑖𝑘 =
Общий индекс
формулам (8.4) и (8.5):
К1
К0
средней
𝐽з =
𝐽з =
.
(8.3)
заработной
∑з1 к1
∑з0 к1
∑з1 к0
∑з0 к0
платы
рассчитывается
по
(П),
(8.4)
(Л).
(8.5)
83
Общий индекс
формулам (8.6) и (8.7):
численности
𝐽к =
𝐽к =
Проверка
формуле (8.8):
индексов
∑з1 к1
∑з1 к0
∑з0 к1
∑з0 к0
по
работников
рассчитывается
по
(П),
(8.6)
(Л).
(8.7)
фонду
. 𝐽фот = 𝐽з × 𝐽к
оплате
труда
проводится
по
(8.8)
Пример
Имеются данные о ценах на товары первой необходимости и объемах
их продажи на одном из территориальных рынках (гр 1-4 табл.8.2).
Расcчитать:
1) индивидуальные индексы:
- цен,
- физического объема,
- товарооборота (гр 5-7 табл.8.2);
2) общие индексы цен, физического объема и товарооборота
(гр. 8-11 табл.8.2).
Решение
Графу 7 построчно (по видам товара) можно рассчитывать как
отношение гр. 11 гр. 8 (
гр11
гр8
)
Общие индексы будут равны:
1) цен
∑Р1 𝑞1 882720
𝐽ц =
=
= 1,237 (123,7%)
∑𝑝0 𝑞1 714390
или
∑𝑃1 𝑞0 776400
𝐽ц =
=
= 1,237 (123,7%)
∑𝑃0 𝑞0 627200
2) физического объема
∑P1 q1 882720
Jq =
=
= 1,138 (113,7%)
∑P1 q0 776400
или
Jq =
∑P0 q1
∑P1 q0
=
714390
627200
= 1,138
84
Таблица 8.2
Исходные и расчетные данные
Цена товара,
Индивидуальные в %
руб/ед.
Продано ед.
Товар
Мясо, кг
Молоко, л
Картофель,
кг
Яйца
(1 десяток)
Итого
Базисный
период
𝑞0
Отчетный
период
𝑞1
Базисный
период
Р0
Отчетный
период
Р1
Индекс Физичесцен
кого объема
𝑖𝑝
𝑖𝑞
3000
600
3500
620
180
17
220
26
122,2
152,9
116,7
103,3
6000
5800
9500
12
126,3
800
750
25
36
-
-
-
-
𝑃0 𝑞0
Товароборота
𝑖𝑝𝑞
𝑃0 𝑞1
𝑝1 𝑞0
𝑝1 𝑞1
142,6 540000 660000
158 10200 10540
66600 770000
15600
16120
96,7
122,1
57000
55100
72000
69600
144
93,8
135
20000
18750
28800
27000
-
-
- 627200 714390 776450 882720
3) товарооборота
∑P1 q1 882720
Jpq =
=
= 1,407 (140,7%)
∑P0 q0 627200
Или
Jpq = Jp × Jq = 1,2337 × 1,138 = 1,407 (140,7%)
Таким образом, на рассматриваемом рынке указанной группе товаров
первой необходимости имело место:
1) цены на мясо за отчетный период выросли почти на четверть (22,2);
2) объём проданного мяса увеличился на 16,7%. Данное
обстоятельство обусловило рос товарооборота по этому продукту на 42,6%;
3) увеличение товарооборота по молоку значительно более чем в 1,5
раза есть результат того, что отмечается по выше цен на 52,2% при
увеличении объема продажи молока на 3.3%;
4) отмечается значительный (более чем на четверть) рост цен на
картофель при снижении на 3,3% (96,7-100=-3,3%) объема его продажи, при
этом товарооборот по картофелю увеличится на 22,1%;
5) при значительном увеличении цен на яйцо (44,0) товарооборота по
этому продукт увеличился в меньшей степени (на 35%). Это явилось
следствием снижения на 6,2% объема его продажи.
В целом по рассматриваемой группе товаров на исследуемом рынке
имеем:
— изменение цен на все продукты в среднем характеризуется
увеличением на 23,7%.
— в отчетном периоде было продано продуктов на 13,8% больше, чем
в базисном периоде.
— Товарооборот характеризуется увеличением на 40,7%.
Известно, изменение цен (их увеличение или снижение) приводит к
перерасходу средств или их экономии у населения при приобретении тех или
иных товаров. Экономию или перерасход средств в этом случае можно
определить, если из числителя формулы общего индекса цен Пааше вычесть
ее знаменатель. полученный результат и будет определять экономию или
перерасход средств (±Э) — формулы (8.9) и (8.10):
∑𝑃1 𝑞1
(8.9)
𝐽𝑝 =
∑𝑃0 𝑞1
(8.10)
±Э = ∑𝑃1 𝑞1 − ∑𝑃0 𝑞1
В рассматриваемом примере:
±Э = 882720 − 714390 = +168330руб.,
т.е. среднее увеличение цен на 23,7% обусловило перерасход денежных
средств у населения на 168330 руб., что в свою очередь, увеличило
товарооборот на 26,8% (168330: 627200=0,268).
Пример
В отчетном периоде имело место повышение цен на некоторые виды
тканей: хлопчатобумажные- 6%; капроновые - 3%; шерстяные- 7% и
товарооборот по тканям в отчетном периоде соответственно составит,
тыс. руб.: 120; 85; 150. Определить общий индекс повышения цен на ткани.
Решение
Для решения данной задачи рекомендуется рассчитать структуру
товарооборота (см. таб.8.3, гр.4).
Таблица 8.3
Исходные и расчетные данные
Продано в
Изменение
Индивидуотчетном
цен в
Структура
альный
периоде
Наименование
отчетном
товарооборота
индекс цен
тыс. руб.
тканей
периоде по
,
𝑝1
𝑖𝑝 =
сравнению с
%
𝑞1 𝑃1
𝑝0
базисным %
Хлопчато+6
1,06
120
33,8
бумажные
Капроновые
+3
1,03
85
23,9
Шерстяные
+7
1,07
150
42,3
Итого
355
100,0
Таким образом, в отчетном периоде 33,8% тканей имело индекс роста
цен 1,06; -23,9% -1.03 и 42.3% -1,07.
В таких условиях общий индекс цен будет соответствовать:
Jp= 0,338 x 1,06 + 0,239 x 1,03 + 0,423 x 1,07 = 0,3583 + 0,2462 + 0,4526 =
= 1.057 (105,7%).
Это свидетельствует, что общее повышение цен на указанные ткани
составило 5,7%
Данную задачу можно решать используя формулу среднего
гармонического индекса, тождественного агрегатной форме индекса Пааше
— формула (8.11):
87
𝐽𝑝 =
𝐽𝑝 = 120
1,6
355
85 150
+
1,03 1,07
+
=
∑𝑃1 𝑞1
∑
355
113,2+825+140,2
(8.11)
𝑝1 𝑞1
=
𝑖𝑝
355
113,2
= 1,057 (105,7%)
Индексы постоянного и переменного состава
В случаях, когда один товар или услуга производятся (реализуются) в
нескольких местах (в отличии от предыдущих задач), рассчитывается индекс
пс
переменного состава (J ) как отношении средних цен в отчетном и базисном
р
периодах — формула (8.12):
пс Р1
р Р0
J =
где
,
(8.12)
Р1 и Р0 − соответственно средние цены на товар, реализуемый в
нескольких местах в базисном и отчетном периодах — формулы (8.13) и
(8.14):
∑Р1 𝑞1
(8.13)
Р1 =
∑𝑞1
∑Р0 𝑞0
(8.14)
Р0 =
∑𝑞0
Следовательно, индекс переменного состава можно рассчитать по
формуле (8.15):
пс ∑Р1 𝑞1 ∑𝑃0 𝑞0
(8.15)
𝐽 =
÷
р
∑𝑞
∑𝑞0
фс
Индекс цен постоянного (фиксированного) состава( J ) определяется
р
по ранее изложенной методике — формула (8.16):
фс ∑Р1 𝑞1
𝐽
=
р
∑𝑃0 𝑞1
(8.16)
Индекс структурных сдвигов позволяет оценить воздействие на объем
товарооборота такого фактора, как изменение удельных весов (структура)
одного и того же товара, реализуемого в нескольких местах в разные
периоды времени и при изменении уровня цен в периодах.
Индекс структурных сдвигов (Jстр) рассчитывается по формуле (8.17):
88
Jстр=
∑𝑝0 𝑞1
∑𝑞1
÷
∑𝑃0 𝑞0
(8.17)
∑𝑞0
Между указанными индексами существует зависимость (8.18) и (8.19):
пс
J = 𝐽фс × 𝐽стр
(8.13)
р
𝐽пс
𝐽пс
(8.14)
Jфс= ; Jстр=
𝐽стр
𝐽фс
Пример
Товар «А» реализуется в трех регионах, цена на товар и объем его
реализации представлены в нижеследующей таблице (гр 1-4)
Рассчитывать индексы: переменного состава, постоянного состава,
структурных сдвигов.
Решение
Для решения задач необходимо рассчитать структуру проданного
товара в регионах по периодам (гр 5,6) и вспомогательные графы 7-9
табл.8.4.
Индексы равны: 𝐽
фс
J
𝐽
=
р
стр
р
65550
÷
49
108,6
или Jстр=
р
=
65550
49
÷
51700
42
=
1337,8
1231,0
= 1,086 (108,6 %)
= 1,091 (109,1%)
60100
60100
=
пс
109,1
51700
42
=
1226,5
1231,0
= 0,996 (99,6%)
= 0,996 (99,6%)
В расчете индекса структурных сдвигов в числителе результат
определения средней цены (12226,5 руб) во втором полугодии при условии
сохранения в этом периоде цен в каждом регионе, т.е. их уровень
соответствует ценам первого полугодия. Знаменатель-это фактическая
средняя цена в первом полугодии. При Jстр=99,6% имеет место снижение
средней цены на 0.4% за счет структурных сдвигов в проданном товаре в
зависимости от региона реализации.
Индекс переменного состава показывает, средняя цена товара
повысилась на 8.6%, при этом изменение цен по регионам составило: 1й 1350:1100= 1.091, т.е. в первом регионе цена увеличилась на 8.3%; во втором
- 10%; в третьем - 9.1%.
Индекс постоянного (фиксированного) состава показывает, если бы
структура реализации товара "А" по регионам не изменилась, среднее
увеличение цены составило бы 9ю1%.
89
Таблица 8.4
1 полугодие
Регионы
Исходные и расчетные данные
Структура
2 полугодие
проданного товара
%
Цена,
Продано,
1 полу2 полуруб/ед
тыс/ед
годие
годие
(𝑝1 )
(𝑞1 )
1300
18
35,7
36,7
1
Цена,
руб/ед
(𝑝0 )
1200
Продано,
тыс/ед
(𝑞0 )
15
2
1500
10
16500
11
23,8
3
1100
17
1200
20
-
42
-
49
Всего
𝑃0 𝑞0
𝑃0 𝑞1
𝑝1 𝑞1
18000
21600
23400
22,5
15000
16500
18150
40,5
40,8
18700
22000
24000
100,0
100,0
51700
60100
65550
Задачи для самостоятельной работы студентов
1. Имеются данные характеризирующие выпуск товарной продукции
некоторых видов продукции и их цены по двум периодам (табл 8.5).
Таблица 8.5
Исходные данные
Виды
продукции
А
Б
В
Выпуск, ед
1 предприятие
1500
2800
2000
2 предприятие
1400
3000
2500
Цена руб/ ед
1 период
2000
5000
4000
2 период
21000
5200
4500
Определите индексы индивидуальные и общие (сводные) цен;
физического объема товарной продукции.
2. Выпуск продукции на заводе электроприборов за первый и второй
кварталы характеризуются следующими данными (табл. 8.6).
Таблица 8.6
Исходные данные
Выпущено единиц
Цена продукции, руб/ед
Виды продукции
1 квартал
2 квартал
1 квартал
2 квартал
Электропылесосы
500
750
4900
5500
Электровентиляторы
800
790
2250
2360
Электрочайник
2000
1900
1800
1970
Определить индивидуальные и общие индексы:
Стоимости продукции, физического объема и цен
3. Известны следующие данные по промышленному предприятию:
- индекс фонда оплаты труда,
- индекс средней заработной платы по категориям работающих на
предприятии (табл. 8.7).
Определить индекс численности отдельных категорий работников и в
целом по предприятию.
Таблица 8.7
Исходные данные
Категории работающих
ФОТ
Руководители, специалисты и служащие (Рсс)
Рабочие
Всего
Индексы %
Средней
заработной платы
107.6
105.4
110.6
104.2
108.9
1.045
4. Объем произведенного продукта «А» на предприятии увеличился в
текущем периоде на 12.5% по сравнению с базисным; производительность
труда поэтому виду продукции выросла на 3.2% Определить индекс затрат
рабочего времени на производство всего объема производства продукта «А».
5. Как изменились цена на продукцию, если объем проданной
продукции увеличился на 5%, а выручка от реализации на 19%.
6. Рассчитать индивидуальные и общие индексы цен, физического
объема и товарооборота в одном из районов города по данным табл.8.8.
Таблица 8.8
Исходные данные
Базисный период
Отчетный период
Продукты
Продано, ед.
Молоко, л
Мясо, кг
Картофель, кг
Яйцо, 1 десяток
Цена
руб/ед.
20000
1500
8000
4680
18
160
12
42
Продано ед.
21000
1800
8200
5000
Цена
руб/ед.
25
270
15
57
Сделайте выводы.
7. Впервой секции магазина товарооборот в прошедшем году составил
2 млрд. руб, а во второй 3 млрд. руб. В отчетному году товарооборот в
сопоставимых ценах увеличился соответственно на 10 и 15%. Определить
общий индекс физического объема по товарообороту в магазине в отчётном
году по сравнению с предыдущим.
92
8. По фирме, реализующей продовольственные товары, в отчетном
периоде по сравнению с базисным выручка от реализации выросла на 15.2%;
физический объем реализованных продуктов увеличился на 3.6%
Определить среднее изменения цен на реализованные продуктты и общую
стоимость их реализации в отчетном периоде, если в базисном она составила
3500 млн. руб.
9. Два предприятия производят одинаковую продукцию «А» в
объемах и по себестоимости (табл.8.9).
Таблица 8.9
Исходные данные
Себестоимость единицы
Выпуск продукции, тыс. ед.
продукции, руб.
Предприятие
Базисный
Отчетный
Базисный
Отчетный
период
период
период
период
№1
153
168
1500
1600
№2
127
109
1700
1900
Всего
280
277
Рассчитать индексы себестоимости переменного,
(финансированного) состава и структурных сдвигов.
Сделать выводы.
постоянного
11. Мебельная фабрика производит продукцию (см. табл.8.10), объем
которой и выручка от реализации характеризуются данными:
Таблица 8.10
Исходные данные
Виды продукции
Изменение объема Выручка от реализации в
в текущем месяцу предыдущем месяце, тыс. руб.
по сравнению с
предыдущим, %
Столы
-2
2000
Диваны
+8
5000
Стулья
+3
1500
Определить увеличение выпуска всей продукции в отчетном периоде
по сравнению с предыдущим (в %), т.е. рассчитать общий индекс
физического объема.
93
11. Как изменится производительность труда на предприятии, если
общие затраты труда понизятся на 8%, обеспечив при этом сохранение
объема производимой продукции?
12. Фондовооруженность труда на предприятии увеличилась на 5%, а
производительность труда на 3%.
Как изменится фондоотдача основных средств на предприятии?
13. Два предприятия (А и Б) производят одноименную продукцию в
объемах и по цене: (табл.8.11).
Таблица 8.11
Исходные данные
Предприятие
Выпуск продукции, ед.
Цена продукции
А
3600
700
Б
3400
800
Рассчитать территориальные индексы товарооборота, физического
объема и цен.
ТЕМА 9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ
РЕГРЕССИИ И КОРРЕЛЯЦИИ В СТАТИСТИКЕ
Социально- экономические явления есть результат одновременного
воздействия множества причин(признаков).
В статистике различают функциональную и стохастическую
зависимость.
Функциональная зависимость - такая связь, при которой определенное
изменение факторного признака обуславливают конкретное изменение
результативного признака (показателя).
Стохастическая связь - это неполная, вероятностная зависимость
между показателями, которая проявляется только в массе наблюдений.
Частный случай статистической связи - есть корреляционная связь,
при которой изменение среднего значения результативного признака
обусловлено изменением факторных признаков.
Корреляционная зависимость имеет следующие возможные связи —
формулы (9.1) – (9.4):
94
1)
Прямолинейная:
𝑦̅𝑥 = 𝑎𝑜 + 𝑎1 𝑥,
(9.1)
2)
Криволинейная в виде:
а) Параболы второго порядка
y̅x = a o + a1 x + a 2 x 2 ,
(9.2)
б) Гиперболы
y̅x = a o +
𝑎1
𝑥
,
(9.3)
в) Показательной функции
где
y̅x = a o а1х .
(9.4)
a o ,a1 ,a2 – параметры для всех уравнений, как правило определяются
через решение системы нормальных уравнений.
Система нормальных уравнений при связи и ее решение при линейной
зависимости рассмотрены в теме 7 «Ряды динамики».
Система нормальных уравнений при связи, выраженной параболой
второго порядка имеют вид (9.5):
𝑛𝑎0 + ∑ 𝑥 ∗ a1 + a 2 ∑ 𝑥 2 = ∑ 𝑦
a o ∑ 𝑥 + a1 ∑ 𝑥 2 + a 2 ∑ 𝑥 3 = ∑ 𝑥𝑦
(9.5)
a 0 ∑ 𝑥 2 + a1 ∑ 𝑥 3 + a 2 ∑ 𝑥 4 = ∑ 𝑥 2 𝑦
Корреляционный анализ имеет своей целью определение тесноты
связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным
и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).
Тесноту связи характеризуют показатели:
1)
Линейный коэффициент корреляции — формула (9.6) и (9.7):
r=
r=
xy − x ∗ y
δx ∗ δy
∑ xy − (∑ y ∑ x: n)
√[∑ x 2 −
(∑ x)2
95
n
][∑ y 2 −
(9.6)
(∑ y)2
n
(9.7)
Линейный коэффициент корреляции r изменяется от -1 до 1;
-1 ≤ 𝑟 ≤ 1:
— при r = 0 — связь отсутствует,
— 0 <r< 1— связь прямая,
-1 <r< 0 — связь обратная,
r = 1 связь функциональная.
Пример
По данным нижеследующей таблицы с помощью линейного
коэффициента корреляции определить тесноту связи между числом
преступлений и численностью лиц, не занятых в экономике (табл.9.1)
Таблица 9.1
Исходные данные
Лица в трудоспособном
Число зарегистрированных
Период
возрасте, не занятые в
преступлений (у)
экономике, тыс.чел. (х)
1
11.7
5493
2
13.5
7791
3
19.2
8661
4
21.5
7240
Допускаем, зависимость между показателями прямолинейная:
y̅x = a o + a1 x
Система нормальных уравнений:
{
𝑛𝑎0 + a1 ∑ 𝑥 = ∑ 𝑦
𝑎0 ∑ 𝑥 + 𝑎1 ∑ 𝑥 2 = ∑ 𝑦𝑥
Составляем вспомогательную таблицу (табл. 9.2).
4𝑎0 + 65.9𝑎1 = 29185
|16,475
{
65.9𝑎0 + 1150.03𝑎1 = 491397,8
65.9𝑎0 + 1085.7𝑎1 = 480882.9
-{
(480822.9)
65.9𝑎0 + 1150.03𝑎1 = 491397.8
-64.33𝑎1 = −10574.9
𝑎1 = 164.38
96
4𝑎0 + 65.9 ∗ 164 ∗ 164.38 = 29185
4𝑎0 = −10832.64 + 29185 = 18352,4
𝑎0 = 4588.09
y̅x = 4588.09 + 164.38𝑥
Таблица 9.2
Расчетные данные
Период
(годы)
х
1
2
3
4
Итого
11.7
13.5
19.2
21.5
65.9
у
𝑟=
5493
7791
8661
7240
29185
64268.1 136.89
105178.5 182.25
166291.2 368.64
155660 462.25
491397.8 1150.03
491397.8 –
√(1150.03 −
=
y̅x
= 4588.09
+ 164.38
𝑥2
ху
65.92
4
6511 30173049
6808 60699681
7744 75012921
8122 52517600
29185 218303251
65.9𝑥29185
4
)(218303251 −
291852
4
=
)
491397.8 − 480822.9
√(1150.03 − 1085.70)(218303251 −
=
у2
291852
4
491397.8 − 480822.9
√(1150.03 − 1085.70)(218303251 − 212941056)
10574.9
10574.9
=
=
= 0.57
18572.8
√64.33 ∗ 5362196
Линейный коэффициент корреляции 0 <r< 1 свидетельствующий о
заметной связи между численностью лиц в трудоспособном возрасте, не
занятых в экономике, и числом зарегистрированных преступлений.
3.
Коэффициент корреляции рангов Спирмэна (𝜌) и рангов Кэндела (𝜏)
рассчитываются по формулам (9.8) и (9.9):
𝜌 = 1−
6 ∑ 𝑑2
𝑛(𝑛2 −1)
97
,
(9.8)
где
𝑑 2 - квадраты разности рангов,
𝑛 – число наблюдений( число пар рангов).
Коэффициент принимает любые значение в интервале [ -1;1].
𝜏=
2𝑆
𝑛(𝑛 − 1)
(9.9)
где
S- общая сумма баллов — формула (9.10):
S=P+Q,
(9.10)
где
P- сумма баллов рангов, следующих за данным рангом, более высокого
порядка( учитывается со знаком «+»),
Q- тоже, более низкого порядка и фиксируется со знаком «-».
Пример
С помощью коэффициентов корреляции рангов Спирмэна и Кэндэла
измерить тесноту свзяи между полученной прибылью (у) и затратами
на 1 рубль реализованной продукции (х) по данным табл. 9.3.
Гр. 8 и 9 заполняются следующим образом :
За основу берется значения «х» во второй графе и отыскивается его
место в гр. 5, которые проставляется в графе 8.
Например, стр. 6 гр. 2 х=81, его место в гр. 5 находится в стр. 3,
следовательно, число 3 проставляется в гр. 8 по стр. 6 и т.д.
Аналогичным образом определяются гр. 9, исходя из гр. 3 в качестве
базовой.
Так, гр. 3 стр. 3: у3 = 100.1, в гр. 7 его место под номером 5, который
проставляется в гр. 9 по стр. 3.
6 ∗ 70
420
𝜌=1−
= 1−
=1−2= −1
2
6(6 − 1)
6 ∗ 35
Значение
данного
коэффициента
указывает,
что
между
результативным показателем (полученная прибыль) и факторным
показателем (затраты на 1 руб. реализованной продукции) имеет место
весьма высокая обратная связь.
98
Таблица 9.3
Исходные и расчетные данные
Сравнение Разность
Затраты
Ранжирование
Подсчет баллов
рангов
рангов
1 руб. Получение нач.
№ п/п
𝑑2
d=
реализ. приб, млн. руб.
𝑁𝑦
𝑁𝑦
х
y
P «+»
Q «-»
𝑁𝑥
𝑁𝑥
𝑁𝑥 − 𝑁𝑦
прод.(х)
1
96
22.1
77
1
22.1
1
6
1
5
25 5
0
2
77
107.0
79
2
60.6
2
1
6
-5
25
0
4
3
79
100.1
81
3
77.9
3
2
5
-3
9
0
3
4
89
60.6
82
4
78.9
4
5
2
3
9
2
0
5
82
77.9
89
5
100.1
5
4
3
1
1
1
0
6
81
78.9
96
6
107.0
6
3
4
-1
1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
70
8
7
Итого -
Для расчета коэффициента корреляции рангов Кэндэла составляем табл. 9.4.
Таблица 9.4
Расчет коэффициента корреляции рангов
1
2
3
4
5
6
Ранг затрат на
1 рубль
реализованной
продукции
Ранг
полученной
прибыли
6
5
4
3
2
1
P=0+0+0+0+0=0
Q=-5-4-3-2-1=-15
S=P+Q=0-15=-15
τ=
2x−15
6(6−1)
=
−30
30
= −1.
Таким образом, величина рангового коэффициента корреляции
Кэндэла, как и коэффициент Спирмэна, свидетельствует о достаточно тесной
обратной связи между рассматриваемыми показателями.
Задачи для самостоятельной работы студентов
1.
На основе коэффициента корреляции рангов Спирмэна
оцените тесноту связи между разрядом рабочих бригад и их среднесуточной
выработкой (табл.9.5).
Таблица 9.5
Исходные данные
Тарифный разряд
2
6
4
3
4
5
3
рабочего
Среднесуточная
15
24
17
17
20
19
16
выработка изделий, шт.
2.
Имеются данные, характеризующие стоимость основных
производственных средств структурных подразделений предприятия и их
суточное производство продукции
Таблица 9.6
Основные
средства
подразделений,
млн.
руб. (х)
Суточное производство
продукции, тыс. ед. (у)
2.2
Исходные данные
2.8
3.5
4.2
4.0
3.9
4.1
3.8
5.0
6.2
7.0
7.8
7.6
7.2
8.0
7.5
Найти уравнение регрессии «y̅x =...» ?
Измерить тесноту зависимости между показателями через:
1)
2)
Линейный коэффициент корреляции
Коэффициентов корреляции рангов Спирмэна и Кэндэла.
3.
С помощью коэффициентов корреляции рангов Спирмэна и
Кэндэла определить тесноту связи между урожайностью зерновых и
количеством внесенных минеральных удобрений:
Таблица 9.7
Исходные данные
Количество
16 18
21
20
22
25
28
31
33
35
мин. удобр.,
кг/га(х)
Урожайность 14 14.2 14.5 14.3 15.0 14.9 15.3 15.4 15.8 16.0
зерновых,
ц/га (у)
4.
Предприятия промышленного объединения при объемах
выручки от реализации имеют определенную прибыль.
Таблица 9.8
Исходные данные
Выручка от 49.2 48.3 48.1 47.9 46.8 47.5 47.2 46.0 45.8 47.3
реализ. прод.,
млн. руб. (х)
Прибыль от 13.4 12.1 6.5
7.0
5.2
7.3
8.9
4.9
10.5 11.6
продаж, млн.
руб. (у)
Определить
тесноту
связи
соответствующий коэффициент.
101
между
показателями,
выбрав