Тема: Представление числовой информации ... Представление десятичных чисел в двоичной системе счисления. Системы счисления

Тема: Представление числовой информации в компьютере. Системы счисления.
Представление десятичных чисел в двоичной системе счисления. Системы счисления
с произвольным основанием. Родственные системы счисления. Арифметические
действия в разных системах счисления. Форматы представления чисел в компьютере.
Основные понятия:
Система счисления, непозиционные и позиционные системы счисления, основание
системы счисления, индекс, значащие и незначащие нули, алфавит системы счисления,
Целочисленный формат, формат с плавающей точкой, мантисса, знак и порядок числа.
Ученики должны знать:
- основные понятия
- формулу разложения целого десятичного числа по степеням 10.
- формулу разложения целого десятичного числа по степеням 2.
- формулу разложения действительного числа по степеням 2.
- формулу разложения целого десятичного числа по степеням произвольного
основания.
- алгоритм перевода десятичного числа в число с произвольным основанием методом
деления
- алгоритм перевода числа с произвольным основанием в десятичную систему
счисления методом разложения по степеням
- алгоритм нахождения основания системы счисления
- таблицы соответствия каждой цифры восьмеричной и шестнадцатеричной систем
счисления и двоичного кода этой цифры
- алгоритм перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в
двоичную и обратный перевод с помощью таблицы соответствия
методом триад и тетрад
- представление целого положительного, целого отрицательного и действительного
чисел в компьютере
Ученики должны уметь:
- раскладывать целое десятичное число по степеням 10
- раскладывать целое десятичное число по степеням 2.
- раскладывать целого десятичное число по степеням произвольного
основания.
- переводить десятичное число в число с произвольным основанием методом
деления
- переводить числа с произвольным основанием в десятичную систему
счисления методом разложения по степеням
- находить основание системы счисления
- переводить числа из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в
двоичную и обратный перевод с помощью таблицы соответствия
методом триад и тетрад
- сравнивать числа, представленные в разных системах счисления
- складывать числа, представленные в разных системах счисления
1
Системы счисления. Урок 1.
Алфавит системы счисления. Основание системы счисления.
Позиция (разряд) цифры в числе. Значащие и незначащие нули.
Алгоритм перевода числа из недесятичной системы счисления в
десятичную - методом разложения по степеням основания.
Ход урока:
Система счисления (СС)– совокупность приемов и правил записи
чисел с помощью определенного набора символов.
Системы счисления бывают позиционными и непозиционными.
В непозиционной системе цифры не меняют своего значения в зависимости
от их положения в числе. А в позиционной системе значение каждой
цифры зависит от того в какой позиции или разряде она записана.
Пример непозиционной СС – римская. Например число ХХХ. Х- везде
означает 10. Всего ХХХ = Х+Х+Х=30
Мы будем изучать позиционные СС.
Например число 555 в позиционной СС это не 5+5+5, а 555=500+50+5.
Алфавит СС – набор символов для записи числа.
Основание СС – количество символов алфавита.
Система счисления Основание
Десятичная
10
Двоичная
2
Восьмеричная
8
Шестнадцатеричная
16
Алфавит
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1
0,1,2,3,4,5,6,7
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F
Обратите внимание, алфавит каждой системы начинается с 0 !
Теперь вы по аналогии назовите алфавиты других систем счисления.
2
Система счисления Основание
Двоичная
2
Троичная
3
Четверичная
4
Пятеричная
5
Шестеричная
6
Семеричная
7
Восьмеричная
8
Девятеричная
9
Десятичная
10
Одинадцатеричная
11
Двенадцатеричная
12
Тринадцатеричная
13
Четырнадцатеричная
14
Пятнадцатеричная
15
Шестнадцатеричная
16
Алфавит
0,1
0,1,2
0,1,2,3
0,1,2,3,4
0,1,2,3,4,5
0,1,2,3,4,5,6
0,1,2,3,4,5,6,7
0,1,2,3,4,5,6,7,8
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F
Как видите, это совсем не трудно.
Любое число можно разложить по степеням основания системы счисления,
основание СС пишется справа снизу.
Например:
2
1
0
555 10 = 5 * 10 + 5 * 10 + 5 * 10
555,55 10 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100 + 5 * 10-1 + 5 * 10 -2
Обратите внимание, отсчет идет с нулевого разряда !
3
Есть задачи, в которых требуется найти позицию цифры в числе.
Задача: Найти позицию цифры 5 в десятичном числе 154418,25
10
Смотрим, где запятая, перед ней 0-позиция,
отсчет целой части - справа налево,
отсчет дробной части – слева направо
позиция цифры
5
4
3
2
1
0
-1
-2
число
1
5
4
4
1
8
2
5
Ответ: Цифра 5 находится в 4 позиции.
Всем понятно, что если к целой части дописать слева нули, а к дробной части
дописать справа нули, то эти нули будут незначащими. 00154418, 250
С десятичной СС все ясно. Теперь переходим к двоичной СС.
Как вы думаете, числа 101,11
10
А числа 000101,110
2
и 101,11
2
одинаковые ? Нет.
и 101,11 одинаковые ? Да.
2
В первом варианте у числа в целой части слева и в дробной части справа
дописаны незначащие нули.
000101,110
2
.
Так, с незначащими нулями разобрались.
4
Теперь разложим двоичное число по степеням основания, т.е. по степеням
числа 2. Степени числа 2 все знают наизусть, поэтому будет легко.
Первый раз для наглядности, будем писать в виде таблицы, но скоро это
будет настолько очевидно, что вы это будете делать в уме.
позиция цифры
2
1
0
-1
-2
число
1
0
1
1
1
101,11 2 = 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2 -1 + 1*2 -2 =
= 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0.25 = 5,75 10
Напоминаю, отсчет начинается с нулевого разряда, т.е. с 0-вой
степени основания, поэтому, хотя первая цифра стоит третьей от
запятой, на самом деле, это второй разряд, т.е. вторая степень основания 2.
Т.о. разложив по степеням основания 2 двоичное число, мы получили
десятичное.
Вот вам алгоритм перевода числа из любой системы счисления
в десятичную – метод разложения по степеням основания.
Давайте еще раз потренируемся переводить число из 2-ной СС в 10-ную СС.
К доске
10110,101 2 = 1* 24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 + 1*2 -1 + 0*2 -2 + 1*2 -3 =
= 16 + 0 + 4 + 2 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 =
= 22,625 10
Так же мы поступаем и при переводе из других систем счисления в 10-ную.
Попробуем перевести из 5-ричной СС в 10-ную
К доске
433 5 = 4*52 + 3*51 + 3*50= 100 + 15 + 3 = 118 10
5
Попробуем перевести из 6-ричной СС в 10-ную
К доске
433 6 = 4*62 + 3*61 + 3*60= 144 + 18 + 3 = 165 10
Попробуем перевести из 7-ричной СС в 10-ную
К доске
433 7 = 4*72 + 3*71 + 3*70= 196 + 21 + 3 = 220 10
Попробуем перевести из 8-ричной СС в 10-ную
К доске
433 8 = 4*82 + 3*81 + 3*80= 256 + 24 + 3 = 283 10
Попробуем перевести из 9-ричной СС в 10-ную
К доске
433 9 = 4*92 + 3*91 + 3*90= 324 + 27 + 3 = 354 10
Попробуем перевести из 16-ричной СС в 10-ную.
Если в составе числа нет букв, то алгоритм абсолютно совпадает
К доске
433 16 = 4*162 + 3*161 + 3*160= 1024 + 48 + 3 = 1075 10
Если в составе числа есть буквы, то есть одна маленькая трудность в том,
что буквы 16-ричной системы надо заменять цифрами. Из розданной вам
таблицы вы пока должны запомнить только этот кусочек.
10-чная
10
11
12
13
14
15
16-чная
A
B
C
D
E
F
5D8 16 = 5*162 + 13*161 + 8*160= 1280 + 208 + 8 = 1496 10
Попробуем перевести из 16-ричной СС в 10-ную число с буквами
К доске
СА 16 = 12*161 + 10*160 = 192 + 10 = 202 10
6
В некоторых задачах требуется сравнить два числа или более. Алгоритм
такой. Если числа в разных системах счисления – представляем их в одной
системе счисления и записываем друг под другом, четко соблюдая разряды.
Сравниваем, начиная со старшего разряда. Сразу все ясно.
Задача: Сравнить два двоичных числа А и В:
А = 10100111 и В = 10111111. Запишем их друг под другом.
А
В
10100111
10111111
Сразу видно, что второе число больше, т.к. 7, 6 и 5 разряды совпадают , а
в 4-ом разряде у первого – 0, а у второго – 1.
Ответ: А < B
7