Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей

Государственное бюджетное
образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«Центр дополнительного
образования для детей»
350000 г. Краснодар,
ул. Красная,76
тел. 259-84-01
E-mail:cdodd@mail.ru
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ
«ЮНИОР»
Математика 8 класс
ответы и критерии оценки заданий
к работе № 2,2014-2015 учебный год
Задание 1 . Какое из чисел больше:
а) 5300 или 3500
б)
234567
234589
или
891011
891033
Ответ: а) второе, б) первое
а)Представим 5300 как (53)100=(125)100, а 3500 как (35)100=(243)100.Так как 125<243,
то и (125)100< (243)100, следовательно 5300<3500.
б) Пусть
234567 x
234589 x  22

 , тогда
891033 y  22
891011 y
. Рассмотрим
x x  22
x x  22 xy  22x  xy  22y 22 x  y
.



 0 , так как x<y. Тогда 
y y  22
y y  22
y y  22
y y  22
Задание 2. Доказать, что 4100  5100  6100 .
Указание Очевидно, что 4100  5100 , а значит 4100  5100  2  5100 поэтому для
доказательства неравенства 4100  5100  6100 достаточно установить, что 2  5100  6100 .
Ответ: Так как 4100  5100 , то нужно показать, что 5100  5100  2  5100  6100 или что
 6
 
 5
100
4
1296
46
 6
 6
 2 . Но уже   
2
 2 . Тем более  
 5
 5
625
625
100
 2.
Задание 3. Докажите неравенства: а) a 2  b 2  29  4b  10a ;
б) 2a 2  5ab  4b 2  0 ; при a  0, b  0 .
Ответ: а) a2+b2+29-4b+10a= (a+5)2+(b-2)2  0 при любых a и b. б) 2a2-5ab+4b2  0 нужно доказать. Покажем, что 2a2+4b2  5ab . Воспользуемся неравенством Коши
для двух чисел. Имеем 2a 2  4b 2  2 2a 2  4b 2  2 8ab . Осталось показать, что
2
2 8ab  5a  b .Это верно, так как  2 8  52  32  25
Задание 4. Докажите, что
1 1
4
 
при x, y  0 .
x y x y
Ответ:
1 1
4
y  x  y 2  x 2  xy  4 xy x 2  y 2  2 xy


 0 , так как
Имеем  
x y xy
x  y   x  y
xy   x  y
x 2  y 2  2 xy   x  y  0 и x  y   x  y  0 , ввиду x  0 , y  0 .
2
Задание 5. Докажите, что x 2  y 2  1  xy  x  y , при любых х и у.
Указание: Рассмотреть разность x 2  y 2  1  xy  x  y и привести ее к виду
a2  b2  c2 .
 x  y 2   x  1 2   y  1 2
2
2
 0 при любых X и Y.
Ответ: x  y  1  xy  x  y 


2
Задание 6. Докажите, что (1  a1 )  (1  a 2 )  ...  (1  a n )  2 n , если известно, что числа
положительны и произведение a1  a2  ...  an  1 .
a1 , a 2 ,..., a n
Указание Воспользуйтесь неравенством 1  x  2 x , справедливым для x  0
Ответ: Так как 1  a1  2 a1 , 1  a 2  2 a 2 , ... , 1  a n  2 a n . Перемножим почленно n
неравенств 1  a 1 1  a 2 ...1  a n   2  2...2  a 1  a 2 ...a n  2 n
Задание 7. 10. a  0, b  0, c  0 Докажите, что
a b c
   3 . Указание Применить
b c a
неравенство Коши для трех чисел.
Ответ: Воспользуемся неравенством Коши для трех чисел:
Имеем
abc 3
 a bc .
3
a b c
a b c
   33    3
b c a
b c a
Задание 8. а) Найти наименьшее значение суммы a  b , если a  b  25 и a  0; b  0 .
б) Найти наибольшее значение произведения a  b , если a  b  20 и a  0; b  0
Ответ: а) сумма a  b будет наименьшей, если a = b; так как a  b  25, то a 2  25 ,
a  5  b . Тогда a  b  10 - наименьшее значение. б) произведение a  b будет
a  b  100 -наибольшим, если a  b ; так как a  b  20 , то a  b  10 . Тогда
наибольшее значение;
Задание 9. Доказать, что длина медианы АМ треугольника АВС, проведенная из
вершины А, меньше полусуммы его сторон АВ и АС. Указание. Продлить
медиану АМ треугольника АВС на отрезок МТ, равный АМ.
Ответ: продлив медиану АМ на длину МТ=АМ, получим параллелограмм.
АТ<АВ+ВТ и АТ<АС+СТ. Сложив почленно, получим 2АТ<АВ+ВТ+АС+СТ. Но
АТ=2АМ тогда 4АМ<2АВ+2АС. Или AM 
AB  AC
.
2
Задание 10. Точка О лежит внутри треугольника АВС. Докажите, что
АО+ОС<АВ+ВС.
Указание. Продолжите отрезок АО до пересечения
со стороной ВС в точке D. Воспользуйтесь неравенством треугольника в
треугольниках ABD и ODC.
Ответ: Имеем AB+BD>AD и OD+DC>OC. Сложив почленно, получим:
AB+BD+OD+DC>AD+OC. Но BD+DC=BC;AD=AO+OD. Вычтем OD из обеих
частей неравенства. AB+BC>AO+OC.
Критерии оценки заданий:
0 - баллов – задание выполнено, но неверно;
1 - балл –правильный ответ, отсутствует решение;
2-3 - балла - выполнено 50% задания и зависит от его сложности;
4 - балла – задание выполнено, но имеются недочеты
5 - баллов– баллов задание выполнено правильно
Максимальное количество - 50 баллов.