01.03.02 Б2.Б.4 Алгебра и геометрия
advertisement
1. Паспорт программы дисциплины 1.1. Область применения программы Рабочая программа дисциплины является частью образовательной программы высшего образования направления подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки 010400 «Прикладная математика и информатика» (квалификация (степень) «бакалавр»), утвержденным Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 20.05. 2010 г. № 538 1.2 Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина Б2.Б.4 «Алгебра и геометрия» является базовой дисциплиной математического и естественно-научного цикла дисциплин ФГОС ВПО по направлению 01.03.02 «Прикладная математика и информатика». Дисциплина является общим и теоретическим основанием для всех математических дисциплин и естественно-научных дисциплин, входящих в ООП бакалавра экономики. 1.3 Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины: Цели изучения дисциплины : оснастить студентов математическим аппаратом, необходимым для применения математических методов в практической деятельности и в экономических исследованиях; дать студентам базовые математические знания по линейной алгебре и аналитической геометрии, необходимые для понимания математического анализа, теории вероятностей и других математических дисциплин. Задачи изучения дисциплины: теоретическое освоение студентами современных концепций и моделей математики; приобретение практических навыков применения аппарата математики в экономике. Результаты освоения дисциплины: 1. Знать: основы линейной алгебры и аналитической геометрии, абстрактные структуры необходимые для изучения других дисциплин и решения экономических задач. 2. Уметь: проводить классификацию алгебраических структур, решать системы линейных уравнений; выполнять операции над матрицами и векторами; составлять уравнения прямой, плоскости, кривых второго порядка; применять методы линейной алгебры и аналитической геометрии для решения экономических задач. 3. Владеть: основными методами линейной алгебры и линейного программирования для решения типичных задач линейной алгебры и математического моделирования различных экономических процессов и явлений. Дисциплина участвует в формировании компетенций ПК-1, ПК-2,ПК-11. Формируемые компетенции Осваиваемые знания, умения, владения Код Наименование Профессиональные компетенции (ПК) Научная и научно-исследовательская деятельность способность демонстрации ПК-1 З Знать элементы теории множеств, методы общенаучных базовых знаний отыскания решений и исследования систем естественных наук, математики и линейных уравнений, технику матриц и информатики, понимание определителей, основы аналитической основных фактов, концепций, геометрии. принципов теорий, связанных с У Уметь на примере теории абстрактных прикладной математикой и векторных пространств, линейных информатикой операторов, евклидовых пространств, линейных и квадратичных форм и аналитической геометрии демонстрировать язык алгебры В Владеть алгебраическими и ПК-2 способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии ПК-11 способность приобретать и использовать организационноуправленческие навыки в профессиональной и социальной деятельности геометрическими средствами для построения и анализа модельных задач. При решении задач выбирать и использовать необходимые вычислительные методы и средства. З Знать свойства информационных технологий, основанных на фундаментальных понятиях алгебры, а также сущность и значение информации в развитии современного информационного общества. У Уметь применить информацию о развитии данного процесса или явления для построения соответствующих математических моделей В Владеть методологией современного научного познания на стыке экономических, гуманитарных и математических дисциплин З Знать и применять на практике основные методы линейной алгебры и геометрии, способы формализации цели исследования и методы ее достижения. У Уметь работать с компьютером как средством работы по сбору и переработке информации по данному процессу или явлению В Владеть навыками решения практических задач 1.3.Связь с другими дисциплинами Учебного плана Перечень действующих и предшествующих дисциплин Математический анализ Основы информатики Операционные системы Дискретная математика Перечень последующих дисциплин, видов работ Теория вероятностей и математическая статистика Эконометрика Функциональный анализ Векторный анализ Дифференциальные уравнения Численные методы Методы оптимизации Дипломное и курсовое проектирование 2.Содержание дисциплины, способы и методы учебной деятельности преподавателя Методы обучения – система последовательных, взаимосвязанных действий, обеспечивающих усвоение содержания образования, развитие способностей студентов, овладение ими средствами самообразования и самообучения; обеспечивают цель обучения, способ усвоения и характер взаимодействия преподавателя и студента; направлены на приобретение знаний, формирование умений, навыков, их закрепление и контроль. Монологический (изложение теоретического материала в форме монолога) М Показательный (изложение материала с приемами показа) П Диалогический (изложение материала в форме беседы с вопросами и ответами) Д Эвристический (частично поисковый) (под руководством преподавателя обучающиеся рассуждают, Э решают возникающие вопросы, анализируют, обобщают, делают выводы и решают поставленную задачу) Проблемное изложение (преподаватель ставит проблему и раскрывает доказательно пути ее ПБ решения) Исследовательский (обучающиеся самостоятельно добывают знания в процессе разрешения проблемы, сравнивая различные варианты ее решения) Программированный (организация аудиторной и самостоятельной работы обучающихся осуществляется в индивидуальном темпе и под контролем специальных технических средств) Другой метод, используемый преподавателем (формируется самостоятельно), при этом в п.п. 2.1.-2.4. дается его наименование, необходимые пояснения И ПГ Приведенные в таблице сокращения обозначения педагогических методов используются составителем Рабочей программы для заполнения п.п. 2.1., 2.2. и 2.3. в столбце «Методы». 1-10 2 0 2 1-2 4 - 3-4 4 - 5-6 4 2 Очная форма обучения Первый семестр Лекции Модуль 1 «Элементы теории множеств. Матрицы и определители. Группы, кольца, поля» Тема «Множества и отображения» Основные понятия и определения теории множеств. Способы задания множеств. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, их свойства. Декартово произведение множеств. Отображения. Композиции отображений. Тема «Матрицы» Векторные пространства строк и столбцов ( nмерное координатное векторное пространство): определение n-мерного вектора; линейные операции над n-мерными векторами и их свойства; виды nмерных векторов; определение пространства R n . Линейная комбинация n-мерных векторов. Линейная оболочка. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц и его свойства. Операция транспонирования матриц. Столбцы и строки матрицы. Ранг матрицы (столбцовый, строчечный). Некоторые виды матриц: квадратные, диагональные, двухдиагональные, единичные, скалярные, нулевые, противоположные, треугольные, ступенчатые, симметричные, кососимметричные, обратимые, эрмитовы, ортогональные. Полная линейная группа, основные свойства. Тема Системы линейных уравнений» Основные определения: решение системы, совместные (несовместные), определенные (неопределенные), однородные (неоднородные), равносильные (неравносильные) системы; матрица, расширенная матрица системы. Виды записей системы Элементарные преобразования. Методы Гаусса и Жордана-Гаусса решения систем линейных Реализуемы е компетенци и Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание Методы в том числе в интерактивн ой форме, час. Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские) Кол. час Неделя 2.1. М, Д, ПБ, ПК-2 Э М, Д ПК-11 ПК-2, ПК-11 М, Д, ПБ ПК-2, ПК-11 М, Э, Д, ПБ ПК-2, ПК-11 7-8 9-10 4 4 - - уравнений. Общее, частное, базисное решения; система, приведенная к единичному базису, базисные и свободные переменные. Ранг системы уравнений, максимальное число базисных решений. Жордановы исключения, их применение к решению систем линейных уравнений и отысканию базисных решений. Обратная матрица и ее построение (метод ЖорданаГаусса). Матричная форма записи систем линейных уравнений и матричный способ ее решения. Тема «Определители» М, Д, Понятие определителя n-го порядка, понятие ПБ минора, алгебраического дополнения. Основные свойства определителей, теорема разложения, теорема аннулирования, теорема об определителе произведения матриц. Определители специальных матриц. Применение определителей к решению систем линейных уравнений, теорема Крамера. Вырожденная, невырожденная матрицы. Критерий обратимости матрицы. Вычисление обратной матрицы через алгебраические дополнения. Матричный оператор. Построение матрицы по матричному оператору. Линейность матричного оператора. Композиция матричных операторов. Обратимость матричного оператора (4.1.24) Тема «Группы, кольца, поля. Комплексные числа и М, Д многочлены» Множества с алгебраическими операциями: бинарные операции; полугруппы и моноиды; обобщенная ассоциативность; степени; обратимые элементы. Группы: определение и примеры; циклические группы; гомоморфизмы; изоморфизмы. Кольца и поля: определение и общие свойства колец; сравнения, кольцо классов вычетов; типы колец, поле; характеристика поля. Комплексные числа: основные определения; действия над комплексными числами в алгебраической форме; число i , модуль и аргумент комплексного числа; комплексно сопряженное число; геометрическая интерпретация комплексных чисел; тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел, корни из единицы. Комплексные матрицы. Кольцо многочленов от одной переменной над полем, операции над многочленами. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, алгоритм Евклида. Корни многочленов, бином, теорема Безу. Основная теорема алгебры комплексных чисел (теорема Гаусса); следствия из теоремы, формулы Виета. Многочлены с вещественными коэффициентами. ПК-2, ПК-11 ПК-1, ПК-2, ПК-11 11-18 16 2 11-12 4 - 13-14 4 - 15-16 4 2 Поле рациональных дробей. Модуль 2 «Линейные пространства и линейные операторы» М, Э, ПК-1, Д, ПБ ПК-2 ПК-11 Тема «Линейные (векторные) пространства» М, Д, ПК-1, Определение линейного пространства. Система ПБ ПК-2, векторов. Линейная комбинация, линейная оболочка ПК-11 векторов. Линейная зависимость системы векторов: определения и основные свойства. Размерность и базис линейного пространства. Основные теоремы о размерности и базисе. Критерий базисности векторов в пространстве R n . Координаты вектора в данном базисе. Свойства координат векторов. Стандартный базис в R n . Изоморфизм векторных пространств: определение, критерий. Переход к новому базису. Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Тема «Линейные (векторные) пространства» М, Д ПК-1, Подпространства векторного пространства: ПК-2, основные понятия; собственное подпространство; ПК11 сумма, прямая сумма, пересечение векторных подпространств. Максимальная линейно независимая подсистема векторов. Свойства размерности подпространств. Прямые суммы двух и более подпространств. Внешняя прямая сумма. Ранг системы векторов. Векторная форма системы линейных уравнений. Базисный минор матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы. Теорема о ранге произведения матриц. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли). Тема «Линейные отображения (гомоморфизмы, М, Э, ОК-1, линейные операторы) векторных пространств» Д, ПБ ПК-2, Определение, основные свойства линейных ПК11 отображений; образ и ядро линейного оператора; основные теоремы. Теорема о структуре множества решений неоднородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Матрица линейного оператора. Однозначное соответствие между матрицей и оператором. Теоремы о множестве матричных операторов, действующих из R m в R n . Изменение матрицы линейного оператора при замене базисов векторных пространств. Пространство линейных отображений, операции над линейными отображениями: сумма, умножение на число, произведение. Обратимость линейных операторов, обратный оператор и его матрица. Определитель и след линейного оператора. 17-18 4 - 24-29 6 2 24-25 2 2 Инвариантные подпространства. Классические группы матриц: полная линейная группа; специальная линейная группа; ортогональная группа; специальная ортогональная группа; унитарная группа; специальная унитарная группа. Основные определения, названия и стандартные обозначения. Тема «Линейные отображения (гомоморфизмы, линейные операторы) векторных пространств» Собственные значения, собственные векторы и собственное подпространство линейного оператора. Характеристический многочлен, характеристическое уравнение и характеристические корни. Основные определения и теоремы. Алгоритм определения собственных векторов линейного оператора. Спектр линейного оператора, линейные операторы с простым спектром. Диагонализируемый линейный оператор. Корневой вектор, корневое подпространство линейного оператора. Минимальный аннулирующий многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли. Условия диагонализируемости линейного оператора. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора (жорданова матрица). Прямая сумма, корневое подпространство. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора. Циклические подпространства. Теорема Жордана о приведении к нормальной форме. Второй семестр Лекции Модуль 1 «Евклидовы и унитарные пространства. Билинейные и квадратичные формы» Тема «Евклидовы и унитарные пространства» Определение скалярного произведения на векторном пространстве над полем действительных чисел. Определение евклидова векторного пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица скалярного произведения. Матрица Грама, определитель Грама. Скалярное произведение стандартного вида (стандартное скалярное произведение). Координатное евклидово (n-мерное) векторное пространство. Норма вектора. Нормированный вектор, свойства нормы, неравенство треугольника. Угол между векторами. Ортогональные векторы. Теорема Пифагора. Орт, нормирование вектора. Геометрическая интерпретация скалярного произведения векторов. Ортогональная и ортонормированная системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базисы. Свойства ортонормированных базисов. Ортогонализация системы векторов. Подпространства евклидова векторного М, Д ПК-1, ПК-2, ПК-11 М, Э, ПК-1, Д, ПБ ПК-2 ПК-11 М, Э, ПК-1, Д, ПБ ПК-2, ПК-11 26-27 2 - 28-29 2 - 30-41 12 4 30-31 2 2 пространства: определение, леммы. Ортогональное дополнение множества векторов евклидова пространства и его свойства. Изоморфизм евклидовых векторных пространств. Тема «Евклидовы и унитарные пространства» Линейные преобразования в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор и его матрица. Самосопряженный оператор и симметрические матрицы. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные операторы и ортогональные матрицы. Канонический вид матрицы ортогонального оператора. Определение скалярного произведения на векторном пространстве над полем комплексных чисел и его свойства. Понятие унитарного векторного пространства: основные определения и свойства. Самосопряженные и унитарные преобразования. Самосопряженные и кососимметрические операторы, их канонический вид. Нормальные операторы, связь нормальности с диагонализируемостью. Полярное разложение линейного оператора. Тема «Линейные, билинейные, квадратичные и эрмитовы формы». Понятие линейной формы (функционала). Сопряженное (двойственное) линейное пространство, дуальные базисы. Билинейные функции и формы. Симметрические и кососимметричные билинейные формы. Преобразование матрицы билинейной формы при смене базиса. Квадратичные формы, их матрицы. Ранг и индекс квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра .Пространство Минковского. Эрмитовы формы и их матрицы. Модуль 2 «Аналитическая геометрия. Аффинные пространства. Тензоры» М, Д, ПК-1, ПБ ПК-2, ПК-11 М, Д ПК-1, ПК-2, ПК-11 М, Э, ПК-1, Д ПК-2, ПК-11 Тема «Прямые линии на плоскости» М, Э, ПК-1, Алгебраические уравнения. Алгебраические линии и Д ПК-2, поверхности. Параметрические уравнения линий. ПК-11 Параметрические уравнения поверхностей. Уравнения, не содержащие одной из координат. Уравнения первого порядка, как уравнения прямых и плоскостей. Общее уравнение плоскости, вектор нормали; угол между плоскостями; взаимное расположение плоскостей; уравнение плоскости, проходящей через три точки; расстояние от точки до плоскости; уравнение плоскости в отрезках; нормальное уравнение плоскости. 32-33 2 - 34-35 2 2 36-37 2 - 38-39 2 - Прямая в пространстве: векторные, параметрические, канонические и общие уравнения прямой в пространстве, их геометрический смысл; уравнение прямой, проходящей через две точки; угол между двумя прямыми; условия параллельности и ортогональности двух прямых; уравнение отрезка, соединяющего две точки и его середина; деление отрезка в заданном отношении. Тема «Прямые линии на плоскости» Прямая на плоскости, уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в отрезках; расстояние от точки до прямой на плоскости, нормальное уравнение прямой. Угол между прямой и плоскостью. Признаки параллельности прямой и плоскости. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Пучки прямых на плоскости и плоскостей в пространстве, связь с линейной зависимостью их уравнений. Связки плоскостей и прямых в пространстве, связь с линейной зависимостью их уравнений. Геометрический смысл неравенств первого порядка на плоскости и в пространстве, понятие полуплоскости и полупространства. Тема «Линии и поверхности второго порядка» Исследование уравнения второго порядка с двумя переменными: приведение уравнения второго порядка к каноническому виду; виды линий второго порядка. Исследование свойств эллипса, гиперболы и параболы: характеризация эллипса и гиперболы с помощью фокального свойства; уравнение гиперболы в асимптотах; характеризация эллипса, гиперболы и параболы с помощью директориального свойства, их уравнения в полярных координатах. Тема «Линии и поверхности второго порядка» Исследование линии второго порядка, заданной общим уравнением: пересечение линии второго порядка и прямой; число асимптотических направлений, тип линии; диаметр линии второго порядка; центр линии второго порядка; сопряженные направления; главные направления; касательная к линии второго порядка; особые точки. Поверхности второго порядка: поверхности вращения; эллипсоид; конус второго порядка; однополостный гиперболоид; двуполостный гиперболоид; эллиптический параболоид; гиперболический параболоид. Тема «Аффинные пространства» Понятие n-мерного афинного пространства. Изоморфизм афинных пространств. Точечное евклидово пространство. Декартова система координат в афинном пространстве. Плоскость в М, Д ПК-1, ПК-2, ПК-11 М, Э, ПК-1, Д ПК-2, ПК-11 М, Д ПК-1, ПК-2, ПК-11 М, Д ПК-1, ПК-2, ПК-11 40-41 2 - 1-10 10 4 1 1 - 2 1 - 3 1 - 4 1 - 5 1 - 6 1 - афинном пространстве, направляющее подпространство, гиперплоскость, прямая линия. Линейные функции на афинном пространстве. Полупространство афинного пространства. Выпуклый многогранник. Общая теория линий и поверхностей второго порядка: закон преобразования коэффициентов; линии второго порядка на плоскости и их классификация; поверхности второго порядка и их классификация. Тема «Тензоры» М, Д ПК-1, Понятие тензора. Тензоры и полилинейные ПК-2, функции. Векторные пространства тензоров. ПК-11 Умножение тензоров. Базис в пространстве тензоров. Изменение координат тензора при переходе к другому базису. Симметричные и кососимметричные тензоры. Внешнее умножение и его свойства. Очная форма обучения Первый семестр Практические занятия Модуль 1 «Элементы теории множеств. Матрицы М, Д, ПК-1, И,Э, ПК-2, и определители. Группы, кольца, поля» ПБ ПК-3 Тема «Множества и отображения» Э, Д ПК-1, Способы задания множеств. Операции над ПК-2, множествами: пересечение, объединение, разность, ПК-11 их свойства. Декартово произведение множеств. Отображения. Композиции отображений. Тема «Матрицы» М, Э, ПК-1, Линейные операции над n-мерными векторами и их Д ПК-2, свойства. Линейная комбинация n-мерных векторов. ПК-11 Линейная оболочка. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Операции над матрицами и их свойства. Ранг матрицы (столбцовый, строчечный). Тема Системы линейных уравнений» Э, Д ПК-1, Решение систем линейных уравнений методом ПК-2, Гаусса и Жордана-Гаусса. Определение общего, ПК-11 частного, базисного решений. Нахождение ранга системы уравнений. Тема Системы линейных уравнений» Э, Д ОК-1, Решение систем линейных уравнений методом ПК-2, модифицированных жордановых исключений. ПК-3 Отыскание всех базисных решений. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матричный способ решения систем линейных уравнений. Тема «Определители» М, Д ПК-1, Основные свойства определителей, вычисление ПК-2, определителей n-ого порядка. ПК-11 Вычисление обратной матрицы через алгебраические дополнения. Метод Крамера решения систем линейных уравнений. Тема «Определители» М, Э, ПК-1, 7 1 2 8 1 - 9 1 2 10 1 - 11-18 8 - 11 1 - 12 1 - Построение матричного оператора по заданной матрице и наоборот. Обратимость матричного оператора и построение обратного. Тема «Группы, кольца, поля. Комплексные числа и многочлены» Действия над комплексными числами в алгебраической форме; число i , модуль и аргумент комплексного числа; комплексно сопряженное число; геометрическая интерпретация комплексных чисел; тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел, корни из единицы. Тема «Группы, кольца, поля. Комплексные числа и многочлены» Наибольший общий делитель двух многочленов, алгоритм Евклида. Корни многочленов, бином, теорема Безу. Формулы Виета. Вычисление корней многочленов: границы корней многочлена, метод Штурма отделения вещественных корней многочлена. Интерполяционный многочлен, формула Лагранжа и метод Ньютона для его построения. Дробно-рациональные функции, представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей, случай вещественного и комплексного полей. Результант двух многочленов, его выражение через корни многочленов. Дискриминант многочлена, выражение дискриминанта через корни многочлена. Тема «Деловая игра по теме «Матрицы» УЧЕБНАЯ ДЕЛОВАЯ ИГРА ПО ТЕМЕ: «МАТРИЦЫ». Цель игры – обучение моделированию простейшего экономического процесса. Постановка задачи. Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Необходимо определить общие затраты предприятия на производство определенного количества каждого вида продукции. Группа делится на три команды, каждая из которых получает индивидуальное задание. Контрольная работа по модулю 1 по темам «Элементы теории множеств», «Матрицы», Системы линейных уравнений», «Определители». Комплексные числа и многочлены». Модуль 2 «Линейные пространства и линейные операторы» Д ПК-2, ПК-11 М, Э, ПК-1, Д ПК-2, ПК-11 М, Э, ПК-1, Д ПК-2, ПК-11 Э,И,Д ,ПБ ПК-2, ПК-11 И, Э ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, И, Э ПК-2, ПК-11 Тема «Линейные (векторные) пространства» М, Д, ПК-1, Исследование на линейную зависимость системы Э ПК-2, векторов. Разложение вектора по базису. ПК-11 Тема «Линейные (векторные) пространства» М, Д , ПК-1, Построить матрицу перехода от одного базиса к Э ПК-2, другому и наоборот. Найти координаты вектора в ПК-11 заданном базисе по определению и с помощью 13 1 - 14 1 - 15 1 - 16 1 - 17 1 - 18 1 - 24-29 6 - 24 1 - матрицы перехода. Тема «Линейные (векторные) пространства» Проверить, является ли векторное пространство подпространством, найти его размерность и базис. Примеры на нахождение суммы, прямой суммы, пересечения векторных подпространств. Ранг системы векторов. Базисный минор матрицы. Ранг произведения матриц. Тема «Линейные отображения (гомоморфизмы, линейные операторы) векторных пространств» Установить, какие из заданных отображений являются линейными операторами. Найти ядро и образ линейного оператора и их размерность. Найти матрицу линейного оператора в данном базисе по определению и на основании теоремы об изменении матрицы оператора при переходе к новому базису. Тема «Линейные отображения (гомоморфизмы, линейные операторы) векторных пространств» Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений Операции над линейными отображениями: сумма, умножение на число, произведение. Обратимость линейных операторов, обратный оператор и его матрица. Определитель и след линейного оператора. Тема «Линейные отображения (гомоморфизмы, линейные операторы) векторных пространств» Собственные значения, собственные векторы и собственное подпространство линейного оператора. Характеристический многочлен, характеристическое уравнение и характеристические корни. Алгоритм определения собственных векторов линейного оператора. Спектр линейного оператора, линейные операторы с простым спектром. Диагонализируемый линейный оператор. Корневой вектор, корневое подпространство линейного оператора. Минимальный аннулирующий многочлен. Условия диагонализируемости линейного оператора. Тема «Линейные отображения (гомоморфизмы, линейные операторы) векторных пространств» Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора (жорданова матрица). Прямая сумма, корневое подпространство. Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора. Циклические подпространства. Приведение к нормальной форме. Контрольная работа по модулю 2 по темам «Линейные (векторные) пространства», «Линейные отображения векторных пространств». Второй семестр Практические занятия Модуль 1 «Евклидовы и унитарные пространства. Билинейные и квадратичные формы» Тема «Евклидовы и унитарные пространства» М, Д, ПК-1, Э ПК-2, ПК-11 М, Д ПК-1, ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, Э ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, Э ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, Э ПК-2, ПК-11 И, Э ПК-2 ПК-11 М, Д, ПК-1, И, Э ПК-2, ПК-11 М, Д. 25 1 - 26 1 - 27 1 - 28 1 - 29 1 - 30-41 12 4 30 1 - 31 1 2 Нахождение скалярного произведения векторов. Скалярное произведение стандартного вида. Норма вектора, нормирование вектора. Угол между векторами. Геометрическая интерпретация скалярного произведения векторов. Тема «Евклидовы и унитарные пространства» Ортогональная и ортонормированная системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базисы. Ортогонализация системы векторов. Тема «Евклидовы и унитарные пространства» Подпространства евклидова векторного пространства: Ортогональное дополнение множества векторов евклидова пространства. Самосопряженный оператор и симметрические матрицы. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные операторы и ортогональные матрицы. Канонический вид матрицы ортогонального оператора. Тема «Линейные, билинейные, квадратичные и эрмитовы формы». Билинейные функции и формы. Симметрические и кососимметричные билинейные формы. Преобразование матрицы билинейной формы при смене базиса. Тема «Линейные, билинейные, квадратичные и эрмитовы формы». Квадратичные формы, их матрицы. Ранг и индекс квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра . Эрмитовы формы и их матрицы. Контрольная работа по модулю 2 по темам «Евклидовы и унитарные пространства», «Линейные, билинейные, квадратичные и эрмитовы формы». Модуль 2 «Аналитическая геометрия. Аффинные пространства. Тензоры» Э ПК-1, ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, Э ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, Э ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, Э ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, Э ПК-2, ПК-11 И, Э ПК-1, ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, И, Э ПК-2, ПК-11 Тема «Прямые линии на плоскости» Д, Э ПК-1, Общее уравнение плоскости, вектор нормали; угол ПК-2, между плоскостями; взаимное расположение ПК-11 плоскостей; уравнение плоскости, проходящей через три точки; расстояние от точки до плоскости; уравнение плоскости в отрезках; нормальное уравнение плоскости. Тема «Прямые линии на плоскости» Д, Э ПК-1, Прямая в пространстве: векторные, ПК-2, параметрические, канонические и общие уравнения ПК-11 прямой в пространстве; уравнение прямой, проходящей через две точки; угол между двумя прямыми; условия параллельности и ортогональности двух прямых; уравнение отрезка, соединяющего две точки и его середина; деление 32 1 - 33 1 - 34 1 2 35 1 - 36 1 - 37 1 - 38 1 - 39 1 - 40 1 - 41 1 - отрезка в заданном отношении. Тема «Прямые линии на плоскости» Прямая на плоскости, уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в отрезках; расстояние от точки до прямой на плоскости, нормальное уравнение прямой. Нахождение для треугольника, заданного своими вершинами, уравнений сторон треугольника, уравнения высоты треугольника, нахождение ее длины. Составлений уравнений медианы, средней линии треугольника. Нахождение углов треугольника. Тема «Линии и поверхности второго порядка» Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду; виды линий второго порядка. Тема «Линии и поверхности второго порядка» Исследование свойств эллипса, гиперболы и параболы. Тема «Линии и поверхности второго порядка» Исследование линии второго порядка, заданной общим уравнением. Тема «Линии и поверхности второго порядка» Поверхности второго порядка: эллипсоид; конус второго порядка; однополостный гиперболоид. Тема «Линии и поверхности второго порядка» Поверхности второго порядка: двуполостный гиперболоид; эллиптический параболоид; гиперболический параболоид. Тема «Аффинные пространства» Плоскость в афинном пространстве, направляющее подпространство, гиперплоскость, прямая линия. Линейные функции на афинном пространстве. Полупространство афинного пространства. Выпуклый многогранник. Тема «Аффинные пространства» Общая теория линий и поверхностей второго порядка: закон преобразования коэффициентов; линии второго порядка на плоскости и их классификация; поверхности второго порядка и их классификация. Тема «Тензоры» Понятие тензора. Тензоры и полилинейные функции. Векторные пространства тензоров. Умножение тензоров. Базис в пространстве тензоров. Изменение координат тензора при переходе к другому базису. Симметричные и кососимметричные тензоры. Внешнее умножение и его свойства. Контрольная работа по модулю 2 по темам «Прямые линии на плоскости», «Линии и поверхности второго порядка». М, Э, ПК-1, Д ПК-2, ПК-11 М, Д ПК-1, ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, И, Э ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, И, Э ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, Э ПК-2, ПК-3 ОК-1, ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, Э ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, Э ПК-2, ПК-11 М, Д, ПК-1, Э ПК-2, ПК-11 И, Э ПК-1, ПК-2, ПК-11 1-3 4 4-8 4 9-10 4 10 4 11-13 4 14-17 4 18 1-18 1-18 4 4 4 24,25 4 26 4 Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к практическим и лабораторным занятиям; тематика рефератной работы, контрольных работ, рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и др. Первый семестр Выполнение индивидуального задания по теме «Множества и отображения». Метод Жордана-Гаусса. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Выполнение индивидуального задания по теме «Системы линейных уравнений». Подготовка к контрольной работе по модулю 1. Выполнение индивидуального задания по теме «Линейные пространства и линейные операторы». Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Подготовка к контрольной работе по модулю 2. Усвоение текущего учебного материала. Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. Тема «Линейные операторы». Второй семестр Скалярное произведение векторов, ортогональные векторы. Подпространства евклидова векторного пространства: Ортогональное дополнение множества векторов евклидова пространства. Реализуем ые компетен ции Кол. час Неделя 2.2.Самостоятельная работа студента ПК-2 ПК-2 ПК-2 ПК-2 ПК-2 ПК-2 ПК-2 ПК-2 ПК-2 ПК-2 ПК-2 Билинейные функции и формы. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду. 29 6 Подготовка к контрольной работе по модулю 1. 30-32 10 Прямые линии на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости. 33-38 8 Линии и поверхности второго порядка. 39-40 10 Выполнение индивидуального задания по теме «Аналитическая геометрия на плоскости». ПК-2 ПК-2 Подготовка к контрольной работе по модулю 4. Усвоение текущего учебного материала. Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. Тема «Тензоры» ПК-2 ПК-2 ПК-2 27 28 6 6 41 6 24-41 8 24-41 4 ПК-2 ПК-2 ПК-2 ПК-2 2.3. Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые в образовательном процессе Основаны на использовании современных достижений науки и информационных технологий. Направлены на повышение качества подготовки путем развития у студентов творческих способностей и самостоятельности (методы проблемного обучения, исследовательские методы, тренинговые формы, рейтинговые системы обучения и контроля знаний и др.). Нацелены на активизацию творческого потенциала и самостоятельности студентов и могут реализовываться на базе инновационных структур (научных лабораторий, центов, предприятий и организаций и др.). № Наименование основных форм Краткое описание и примеры, Часы использования в модулях темах, место проведения Деловые и ролевые игры Учебная деловая игра по теме 1 «Матрицы» в модуле 1 первого семестра на практическом занятии Разбор конкретных ситуаций Тема «Системы линейных 5 уравнений» в модуле 1 на лекции в первом семестре; тема «Группы, кольца, поля, комплексные числа и многочлены» в модуле 1 на лекциях в первом семестре; тема «Линейные отображения (гомоморфизмы, линейные операторы) векторных пространств в модуле 2 на лекции в первом семестре; тема «Евклидовы и унитарные пространства» в модуле 1 на лекции во втором семестре; темы «Прямые линии на плоскости», «Линии и поверхности второго порядка»в модуле 2 на лекции втором семестре. Ориентация содержания на Содержание дисциплины лучшие отечественные аналоги ориентируется на образовательных программ образовательную программу Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, на рабочую программу Южного Федерального университета. 3.1.Информационно-методические № 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Перечень основной и дополнительной литературы, методических разработок; с указанием наличия в библиотеке Основная литература: Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – Учебник для 12 вузов.- М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005.- 496 с. Кострикин А.И.,Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия: Учебное пособие: Изд-во 8 «Лань», 2005. – 304 с. КурошА.Г. Курс высшей алгебры.- CПб. : Лань, 2005. - 432 с. 8 Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – Изд-во «Лань», 2009. – 402 с. 12 Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. 50 М.:АСтрель:АСТ,2007. -.425 с. В наличии в библиотеке. Высшая математика для экономистов. Учеб. Для вузов/под ред. Н.Ш. Кремера. М.: 25 ЮНИТИ-ДАНА,2008.-.342 с. В наличии в библиотеке. Практикум по высшей математике для экономистов. Учебное пособие для вузов/под 66 ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. -354с. В наличии в библиотеке. Высшая математика для экономических специальностей (ч.1,2) учеб. и практикум/ под 5 ред. Н.Ш. Кремера. М.: Высшее образование, 2008. – 344,410 с. В наличии в библиотеке. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2 ч. М.:ОНИКС-21 век. Мир и 10 образование, 2005.-.415 с. В наличии в библиотеке. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-мат. лит., 201 2008.-352 с. В наличии в библиотеке. Математические методы и модели исследования операций. Учебник для вузов / под 10 ред. Колемаева В.А. ЮНИТИ-ДАНА, 2008. -405 с. В наличии в читальном зале. Дополнительная литература Архангельский А.В. Конечномерные векторные пространства.- Изд-во Московского 12 университета, 1982. – 248 с. Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.- М.: Дрофа, 10 2004. - 288 с. Винберг Э.Б. Курс алгебры. - М. Факториал Пресс, 2002. – 544 с. 8 Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и 8 приложения. – М.: Наука, 1986. – 760 с. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и 2 приложения. Теория гомологий. Т.3 2005. -. 288 с. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии.- М.: Физматлит, 2005. 240 стр. 15 5 Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Физматлит, 8 2001. – 464 с. Сборник задач по алгебре (под ред. Кострикина А.И.). – М.: Физико-математическая 8 литература, 2001. – 464 с. Солопова О.Г. Линейная алгебра: Учебное пособие / РГЭУ «РИНХ». – Ростов н/Д., 2005. 58 – 166 с. 3.2. Материально-технические Основное оборудование, стенды, макеты, компьютерная техника, наглядные пособия и другие дидактические № ауд. материалы, обеспечивающие проведение лабораторных и практических занятий, научно-исследовательской работы студентов с указанием наличия 207-214 302,307 Компьютерная техника. Телевизионная техника для презентаций. Основное назначение (опытное, обучающее, контролирующее) и краткая характеристика использования при изучении явлений и процессов, выполнении расчетов. ППП МS Excel, Eviews 6.0 4. Текущий контроль успеваемости и промежуточная аттестация 4.1 Оценочные средства текущего контроля успеваемости № Тест (демонстрационный вариант), вопросы и задания для текущего контроля успеваемости Текущий контроль успеваемости 4.1.1.Типичные задания для подготовки к практическим занятиям 1. Типичные задания по модулю 1 Задание 1. Решить систему уравнений а) по формулам Крамера; б) матричным способом: 2 x 1 4 x 2 3x 3 1 x 1 2x 2 4x 3 3 3x x 5x 2 2 3 1 Варианты ответов: 1) 2. 1 1 x 2 ; 2) x 0 ; 1 1 3) 1 x 0 ; 1 4) 2 x 1 . 0 Задание 2. Решить систему уравнений а) методом Жордана-Гаусса; б) методом модифицированных жордановых исключений. Найти все базисные решения системы. 2 x 2 x 2 x 3 1 1 x 1 3x 2 x 3 0 Варианты ответов: а) 1) t / 8 3 / 8 x 3t / 8 1 / 8, t R t ; 2) t 1 2t 1 x t 1 , t R ; 3) x t 1 , t R ; 4) t t 0 x t , t R . t 1 б) 1) 3) 3. 3 / 8 0 1 / 3 ; x 1 / 8 , x 1, x 0 0 3 1 / 3 1 3 0 x 1 , x 0 , x 1 ; 0 1 2 2) 4) 1 2 1 x 1, x 0, x 0 ; 0 1 1 0 1 3 x 0 , x 5 , x 0 . 1 0 2 Задание 3. Указать, в каком из приведенных примеров существует произведение матриц: 3 1 1 3 1 3 3 1 1 2 1 3 , в) 3 1 , г) 1 3 1 4 а) 4 2 4 0 2 , б) 1 3 1 3 3 4 2 1 1 5 1 3 4. 1 2 , В = 0 1 Задание 4. Найти АВ, если А = 3 2 1 0 Варианты ответов: 1 1 а) 5. 2 ; 0 3 4 ; 1 2 б) 1 1 в ) 2 ; 0 4 4 . 1 1 г) Задание 5. Если главный определитель системы равен нулю, то: а) система является несовместной или неопределенной, б) система имеет единственное решение, в) система имеет ровно два различных решения, г) система имеет ровно три различных решения. Типичные задания по модулю 2 1. Задание 1. При каком значении параметра t данная система векторов а = (1, 2, 0), b = (5, t, 2), c =(t, 1, 3) линейно зависима. Варианты ответов: а) 7/32, б) 5/7, в) 32/7, г) 1/7, д) 0. 2. 1 0 0 Задание 2. Найти собственные значения линейного оператора с матрицей 1 1 2 . 1 1 0 Варианты ответов: а) 1, -1, 2; 3. б) 2, 1, 1; в) 2, -2, 1; г) -1, 2, -1. Задание 3. Найти ядро KerA и образ Im A линейного оператора A : R 3 R 2 , x1 x x Ax A x2 1 3 . 2 x1 2 x3 xp Варианты ответов: а) 0 1 1 0 1 KerA t1 1 t2 0 , Im A L , , ; 2 0 2 0 1 t t R 1, 2 б) 0 1 1 0 1 KerA t1 0 t2 0 , Im A L , , ; 2 0 2 1 1 t t R 1, 2 в) 1 1 KerA t1 1 t2 0 , 0 1 t t R 1, 2 1 1 0 Im A L , , ; 2 0 2 1 1 0 1 0 KerA t1 0 t2 0 , Im A L , , . 2 0 2 0 1 t t R 1, 2 г) 4. Задание 4.. Для линейного оператора x 4 x x A : R 2 R 2 , Ax A 1 1 2 x2 3x1 x2 найти его матрицу Ae ,e в базисе 1 0 e e1 , e2 , и 0 1 найти его матрицу A f , f в базисе 1 1 f f1 , f 2 , . 1 0 Варианты ответов: а) 4 1 Ae,e , 3 1 2 3 Af , f ; 3 1 б) 1 4 Ae,e , 1 3 3 2 Af , f ; 1 3 в) 2 3 Ae,e , 3 1 4 1 Af , f ; 3 1 г) 4 3 Ae,e , 1 1 2 3 Af , f . 3 1 Тестовые задания для подготовки к зачету (второй семестр) Типичные задания по модулю 1 1. Задание 1. Вычислить скалярное произведение векторов ху, если х = (2, 1, 3), у = (1, 2, -1). Варианты ответов: а) 1; 2. б) 0; в) (2, 2, -3); г) 7. Задание 2. При каком значении параметра t векторы a=(1, -5, t), b=(3, 4t,19). Варианты ответов: a и b ортогональны, если а) -6, б) 6, в) 3, г) -12, д) 12. 3. Задание 3. Определить, какая квадратичная форма является положительно определенной: а) A( x1, x2 ) 4 x12 x22 2 x32 2 x1x2 4 x1x3 2 x2 x3 ; б) A( x1 , x2 ) 3x1 2 x1 x2 2 x1 x3 3 x2 2 x2 x3 3 x3 ; 2 2 2 в) A( x1 , x2 ) 3x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 ; 2 2 2 г) A( x1 , x2 ) 2 x12 x22 2 x1 x3 2 x2 x3 2 x32 . Типичные задания по модулю 2 1. Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(-4,0), B(-2,6), C(2,2). Найти: (а) уравнение стороны АС; (б) уравнение высоты АК; (в) длину средней линии MP/BC; ^ (г) угол MP MB ; (д) точку пересечения высот треугольника; Варианты ответов: а) 1) x 3y 4 0 ; 2) 3x y 4 0 ; 3) x 3y 4 0 ; 4) 3x 4 y 1 0 . б) 1) x y 4 0 ; 2) x y 4 0 ; 3) x y 4 0 ; 4) x y 4 0 . в) 1) x y 0 ; 2) x y 0 ; 3) x y 1 0 ; 4) x y 1 0 . г) 1) / 4 ; 2) / 3 ; 3) arccos 5 / 5 ; 4) arccos 5 / 5 . ; ; 4) 1,3 . д) 1) 31 ; , 2) 3,1 ; 3) 13 2. Задание 2.. Найти: , проходящей через точки A(1,2,3),B(3,4,4). б) уравнение плоскости , проходящей через точки 0(0, 0, 0), С(0, -3, 1) параллельно прямой а) уравнение прямой в) пересечение прямой с плоскостью H: Варианты ответов: 3x y 2z 1 0 . x 1 y 2 z 3 x 3 y 4 z 4 x 1 y 2 ; 2) ; 3) z 3; 2 2 3 1 2 2 2 2 x 1 y 2 z 3 4) . 1 2 3 б) 1) 5x 2 y 6z 0 ; 2) 2x 3y 6z 0 ; 3) 5x 6 y 2z 0 ; 4) 6x 5y 2z 0 . , ,3 ; 2) 3,2,1 ; 3) 5,4,3 ; 4) 7 / 5;2 / 5;9 / 5 . в) 1) 12 а) 1) 3. 2 Задание 3. Найти расстояние от точки А(5, -3,8) до плоскости х-2у+2z+3=0. Варианты ответов: а) 15; б) 8; в) 10; г) 12. 4.1.2. Индивидуальные задания Семестр 1 Модуль 1 1. Задание 1. Тема «Множества и отображения». Даны множества: xa A x R : 0, B x R : ( x (b 1))( x (c 2)) 0, C x R :( x (b 1))( x (c 2)) 0 x (b 3) Найти пересечение, объединение, разность и декартово произведение множеств А и В, А и С. Примечание. 2. ab –порядковый номер в журнале, с – номер группы. Задание 2.Тема «Системы линейных уравнений». Дана система уравнений: 2 x 6 y 2 z 6a 2b 2c 2 x 5 y z 5a b 2c cx (3c 2) y ( a c ) z a (3c b 2) c( c a ) Решить систему уравнений: 1) по формулам Крамера, 2) методом Жордана-Гаусса, 3) методом обратной матрицы. 3. Задание 3. Тема «Системы линейных уравнений». Найти все базисные решения системы уравнений методом МЖИ: 2ax 3by cz 3abc ax by cz abc 3ax 4by 2cz 2abc Модуль 2 4. Задание 4. Тема «Линейные (векторные) пространства». Задание 4. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах X=(a+1)m+(5-b)n, y=(b-5)m+cn, где m 2, n 1, угол между векторами m , n равен 120 5. Задание 5. . Тема «Линейные (векторные) пространства». Дана система векторов a=(b,1,c), b=(1,c,1), m=(c,b,a). а) Выяснить, является ли эта система векторов является базисом пространства R3. б) Разложить вектор х=(a+b, a+c, b+c) по этому базису. Семестр 2 1. Задание 1, модуль 1. Тема «Линейные, билинейные, квадратичные и эрмитовы формы». Задана квадратичная форма: A( x, x) (a b) x1 (1 a b ) x2 2(ab) x2 x3 . 2 2 2 2 Привести заданную квадратичную форму к каноническому виду, а также найти ортонормированный базис, в котором она имеет этот вид. 2. Задание 2, модуль 2. Тема «Аналитическая геометрия. Аффинные пространства. Тензоры». Дан треугольник с вершинами A(b-5,0), B(a-3,6), C(c+1,2). Найти: 1) угол А; 2) уравнение высоты АК; 3) уравнение медианы из вершины А; 4) длину высоты АК; 5) уравнение средней линии МР, параллельной ВС; 6) площадь треугольника. 4.1.3.Темы контрольных работ 1. Модуль 1. Комплексные числа, многочлены. Действия с матрицами. Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений. 2. Модуль 2 Линейная зависимость и независимость векторов. Ядро и образ линейного оператора.. Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. . 3. Модуль 3. Скалярное произведение векторов. Ортогонализация системы векторов. Исследование на знакоопределенность квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. 4. Модуль 4.. Прямая на плоскости и в пространстве. Гиперплоскость в R 3 . Кривые второго порядка. (Тесты по темам (модулям) дисциплины (модулю) приводятся в комплекте оценочных средств (КОС). 4.2 Оценочные средства для проведения промежуточной аттестации в форме экзамена 4.2.1Вопросы к экзамену за первый семестр 1. Понятие множества. Способы задания множеств. Подмножество. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. 2. Отображения. Композиция отображений. 3. Определение комплексного числа. Действия над комплексными числами. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. 4. Алгебраические уравнения и многочлены. Делимость многочленов. Теорема Гаусса. 5. Понятие матрицы. Различные виды матриц. Равные матрицы. Линейные операции над матрицами. 6. Произведение матриц и его свойства. 7. Матричный оператор и его линейность. Композиция матричных операторов. 8. Операция транспонирования матриц и ее свойства. 9. Понятие определителей и их основные свойства. 10.Миноры и алгебраические дополнения. Теоремы разложения и аннулирования. Понятие об определителях п-го порядка. 11.Понятие обратной матрицы. Теорема существования обратной матрицы. Формула нахождения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. 12.Матричные уравнения и их решения. 13.Ранг матрицы и его нахождение с помощью элементарных преобразований матриц. 14.Теорема (формулы) Крамера 15.Системы линейных уравнений. Основные определения: решение, совместность, несовместность, определенность, неопределенность. Равносильные системы. 16.Метод Жордана-Гаусса решения системы линейных уравнений общего вида. Равносильные преобразования систем, алгоритм метода Жордана-Гаусса, общее, частное, базисное решение; система, приведенная к единичному базису, базисные и свободные неизвестные. 17.Модифицированные жордановы исключения, их применение к решению систем линейных уравнений и отысканию базисных решений. 18.Матричная форма записи системы линейных уравнений. Матричный способ решения системы линейных уравнений. 19.Определение векторного (линейного) пространства. Линейная комбинация, линейная оболочка, линейная зависимость и независимость векторов. 20.Размерность и базис векторного пространства. Основные теоремы о размерности и базисе. Критерий базисности векторов в пространстве Rn . 21.Координаты вектора в данном базисе. Свойства координат векторов. Стандартный базис в R n .. Изоморфизм векторных пространств. 22.Переход к новому базису. Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. 23.Определение подпространства векторного пространства. Собственные и несобственные подпространства. Сумма, прямая сумма, пересечение подпространств 24.Векторная форма записи системы линейных уравнений. Ранг системы векторов. Теорема о ранге матрицы. Теорема о ранге произведения матриц Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц (теорема КронекераКапелли). 25.Линейный оператор. Ядро и образ линейного оператора. 26.Теорема о структуре множества решений неоднородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. 27.Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при замене базисов векторных пространств. 28.Произведение линейных операторов и обратимость линейных операторов. 29. Собственные значения, собственные векторы и собственное подпространство линейного оператора. Характеристический многочлен, характеристическое уравнение и характеристические корни 4.2.2Вопросы к зачету за второй семестр 1. Понятие скалярного произведения на векторном пространстве над полем действительных чисел. Определение евклидова векторного пространства. Стандартное скалярное произведение. 2. Неравенство Коши-Буняковского. Норма вектора. Нормированный вектор. Неравенство треугольника. Угол между векторами. 3. Ортогональные векторы. Теорема Пифагора. Ортогональная и ортонормированная системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базисы. 4. Подпространства евклидова векторного пространства. Ортогональное дополнение множества векторов евклидова пространства и его свойства. 5. Изоморфизм евклидовых векторных пространств. 6. Самосопряженный оператор и его матрица. Лемма о существовании ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. 7. Понятие линейной формы (функционала). 8. Квадратичные формы и их матричная запись. Понятие о положительно и отрицательно определенных квадратичных формах. Критерий Сильвестра. 9. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 10.Прямая линия на плоскости 11.Общее уравнение прямой на плоскости. 12.Частные виды уравнения прямой на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, по двум точкам, уравнение пучка прямых. 13.Угол между прямыми на плоскости; условие параллельности и перпендикулярности 14.Прямая линия в пространстве 15.Общие уравнения прямой в пространстве. 16.Частные виды уравнений прямой в пространстве: канонические уравнения, уравнения по двум точкам. 17.Плоскость в пространстве, общее уравнение, нормальный вектор и его свойства 18.Частные виды уравнений плоскости 19.Плоскость и прямая в пространстве: углы, условия параллельности и перпендикулярности прямых, плоскостей и друг с другом. 20.Кривые второго порядка, их канонические уравнения. 21.Понятие выпуклого множества. Крайняя точка . Теоремы о выпуклых множествах. Критерии оценивания содержатся в комплекте оценочных средств для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации по дисциплине (модулю), а также в методических указаниях по подготовке и защите курсовой работы (проекта), промежуточной аттестации обучающихся. 5.Дополнения и изменения в рабочей программе Дисциплина (указывается индекс и наименование дисциплины (модуля)) Направление подготовки (указывается код и наименование направления подготовки) профиль (указывается код и наименование профильной программы) квалификация (степень) «бакалавр» Учебный план подготовки утвержден Ученым Советом Протокол № … от «___ » ___ 201_ г. на учебный год _____/______ Следующие записи относятся к п.п. Автор Зав. кафедрой Принято УМУ__________________________________ Дата:_____________________
