Задания В9: вычисление производной (геометрический смысл), первообразной и интеграла

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
1
Задания В9:
вычисление производной (геометрический смысл), первообразной и
интеграла
Пример1.
В9. На рисунке изображен график функции y = f(x)
и касательная к этому графику, проведенная в точке
с абсциссой 4. Найдите значение производной
функции f(x) в точке х 0 = 4.
у
y = f(x)
0
х
4
Пример 2.
В9. На рисунке изображен график функции y = f(x)
и касательная к этому графику, проведенная в
точке с абсциссой 2. Найдите значение
производной функции f(x) в точке х 0 = 2.
у
y = f(x)
3
х
1 2
Пример 3.
В9. На рисунке изображен график функции y = f(x)
и касательная к этому графику, проведенная в точке
с абсциссой х 0 . Найдите значение производной
функции f(x) в точке х 0 .
у
y = f(x)
2
х0
0
х
Пример 4.
В9. На рисунке изображен график функции y = f(x).
Прямая, проходящая через точку (7;1), касается
этого графика в точке с абсциссой 3.Найдите f'(3).
у
0
4
y = f(х)
х
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
2
Пример 5.
В9. Функция у  f (x) определена на интервале (-5;6). На рисунке изображен график
функции у  f (x) . Найдите среди точек х1 , х 2 , …, х 7 те точки, в которых производная
функции f (x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.
у
у  f (x)
х
х1
-5
х3
х2
х4
х5
х6
х7 6
Пример 6.
В9. На рисунке изображен график функции у  f (x) . Найдите среди точек х1 , х 2 , х 4
х5 и х 6 те точки, в которых производная функции f (x) положительна. В ответ
запишите количество найденных точек. у
у  f (x)
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х
Пример 7.
В9. На рисунке изображен график функции у  f (x) . Найдите среди точек х1 , х 2 , х 4
х5 и х 6 те точки, в которых производная функции f (x) отрицательна. В ответ
запишите количество найденных точек. у
у  f (x)
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
3
Пример 8.
В9. На рисунке изображен график функции у  f (x) и отмечены точки -7, -3, 1, 7. В
какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
у
-7
-3
0 1
7
х
Пример 9.
В9. На рисунке изображен график функции у  f (x) и отмечены точки -5, -3, 3, 7. В
какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
у
-5 -3
0
3
7
х
Пример 10.
В9. Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой на
протяжении 15 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки А до
точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси
ординат – расстояние s в метрах. Определите, сколько раз за время движения скорость
точки М обращалась в нуль (начало и конец движения не учитывайте).
s
s=s(t)
t
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
4
Пример 11.
у
В9. Материальная точка движется вдоль прямой от
начального до конечного положения. На рисунке
изображен график ее движения. На оси абсцисс
откладывается время в секундах, на оси ординат –
расстояние от начального положения точки (в метрах).
Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ
дайте в метрах в секунду.
2
0
2
х
Пример 12.
1
В9. Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t )  t 3  5t 2  25t , где
3
х - расстояние от точки отсчета в метрах, t - в секундах, измеренное с момента начала
движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 64 м/с?
Пример 13.
В9. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику,
проведенная в точке x 0 . Уравнение касательной дано на рисунке. Найдите значение
производной функции y = 2f(x) – 1 в точке x 0 .
У
y = f(x)
у = 1,5х + 3,5
х
0 x0
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
5
Пример 14.

В9. Функция у  f (x) определена на интервале (-3;5). На рисунке изображен график ее
производной. Определите, сколько существует касательных к графику
функции у  f (x) , которые параллельны прямой у = 5х – 6 или совпадают с ней.
у
у = f (x)
1
х
-3
0
5
Пример 15.
В9. На рисунке изображены график функции у  f (x) - производной функции f (x) ,
и восемь точек на оси абсцисс х1 , х 2 , х3 , …, х8 . Сколько из этих точек принадлежат
промежуткам возрастания функции f (x) ?
у
х5 х 6
х2
х3
х1
х7
х4
х8
х
Пример 16.
В9. На рисунке изображены график функции у  f (x) - производной функции f (x) ,
и восемь точек на оси абсцисс х1 , х 2 , х3 , …, х8 . Сколько из этих точек принадлежат
промежуткам убывания функции f (x) ?
у
х5 х 6
х2
х1
х3
х4
х7
х8
х
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
6
Пример 17.
В9. На рисунке изображен график производной функции у  f (x) , определенной
на интервале (-12;6). Найдите точку экстремума функции у  f (x) на отрезке [-7;0].
Пример 18.
В9. На рисунке изображен график производной функции у  f (x) , определенной
на интервале (-4;5). Найдите количество точек экстремума функции. у  f (x) .
у
у = f (x)
х
-4
0
5
Пример 19.
у
В9. Функция f (x) определена на промежутке
(-5;5). На рисунке изображен график ее
производной f (x) .
Найдите
точку
максимума x 0 функции у  f (x) (в которой
функция f (x) принимает
наибольшее
значение).
у  f (x)
-5
-1 0
5
х
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
7
Пример 20.
В9. На рисунке изображен график производной функции у  f (x) , определенной
на интервале (-4;5). Найдите точку максимума функции у  f (x) .
у
у = f (x)
х
-4
0
5
Пример 21.
В9. На рисунке изображен график производной функции у  f (x) , определенной на
интервале (-4;5). Найдите точку минимума функции. у  f (x) .
у
у = f (x)
х
-4
0
5
Пример 22.
В9. На рисунке изображен график первообразной у  F (x ) некоторой функции
у  f (x) , определенной на интервале (-16; -2). Пользуясь рисунком, определите
количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-14; -8].
у
.
х
-16
-14-13
-9
-7 -6
-3 -2
0
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
8
Пример 23.
у
у  f (x)
В9. На рисунке изображен график
некоторой функции у  f (x) . Пользуясь
рисунком,
вычислите
определенный
4
5
интеграл
2
х
0
2 3
 f ( x)dx .
5
Пример 24.
у
у  f (x)
х
-5
-2
0
В9. На рисунке изображен график некоторой
функции y = f(x). Одна из первообразных
1
7
функции равна F ( x)   x 3  x 2  10 x  6 .
3
2
Найдите площадь закрашенной фигуры.
Пример 25.
В9. На рисунке изображен график
некоторой функции у  f (x) (два луча с
общей начальной точкой). Пользуясь
рисунком, вычислите F(8) – F(3), где F(x) –
одна из первообразных функции f(x).
у
6
х
0
3
6
8