полнотекстовый ресурс
advertisement
Введение Начертательная геометрия – одна из дисциплин, составляющих основу инженерного образования. Она изучает законы построения пространственных форм с помощью изображения их на плоскости и способы решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм. Наши представления о предметах можно передавать, помимо других способов, также методом графического изображения предметов. С помощью графического изображения можно представить предметы не только существующие, но и воображаемые. Эти графические изображения называются чертежами. Прежде чем изготовить какое-либо изделие или построить какое-либо сооружение, инженер–проектировщик должен полностью представить его и затем каким-то образом передать свой замысел непосредственным исполнителям. Инженер излагает его на чертеже, на котором он показывает точную форму, размеры и взаимодействие отдельных частей изделия или сооружения. По чертежу дается задание на изготовление какого-либо изделия, текущий контроль и прием готовой продукции. Трудно представить себе инженера, не умеющего решать пространственные задачи и читать чертежи: чертеж – это язык техники, которая развивается сейчас невиданными темпами. Начертательная геометрия способствует развитию пространственного мышления и готовит будущего инженера к успешному изучению специальных дисциплин и к техническому творчеству – проектированию. 5 1 Способы получения графических изображений Форму любого предмета можно рассматривать как сочетание отдельных простейших геометрических тел. Для изображения геометрических тел нужно уметь изображать отдельные их элементы: вершины (точки), ребра (прямые), грани (плоскости). В основе построения изображений лежит метод проецирования. Получить изображение какого-то предмета, значит, спроецировать его отдельные элементы на какую-то плоскость. Так как простейшим элементом любой фигуры является точка, изучение проецирования начинают с точки. Для получения изображения точки А на плоскость П, через точку А проводят проецирующий луч АА1 (рисунок 1). Точка пересечения проецирующего луча с плоскостью П будет изображением точки А на плоскость П и она называется проекцией точки А на плоскость . Рисунок 1 Такой процесс получения изображения называют проецированием, а плоскость П является плоскостью проекций. Существует три способа проецирования: - центральное; - параллельное; - ортогональное (прямоугольное). 6 1.1 Центральное, проецирование параллельное и ортогональное Центральное проецирование – это получение проекций с помощью проецирующих лучей, проходящих через одну точку S, которую называют центром проецирования (рисунок 2). Рисунок 2 Примеры: проецирование кадров кинофильма или слайдов на экран, изображение на сетчатке нашего глаза. Центральное проецирование, в основном, применяют в архитектурно-строительных чертежах. Параллельное проецирование – если центр проецирования – точку S удалить в бесконечность, то проецирующие лучи станут параллельными друг, другу (рисунок 3). Рисунок 3 В зависимости от направления проецирующих лучей по отношению к плоскости проекций параллельные проекции делятся на прямоугольные и косоугольные. При косоугольном проецировании угол наклона проецирующих лучей не равен 90 (рисунок 4). 7 Рисунок 4 При прямоугольном проецировании проецирующие перпендикулярны плоскости проекций (рисунок 5). лучи Рисунок 5 Рассмотренные выше способы проецирования не устанавливают взаимно однозначного соответствия между объектом (точка А) и его изображением (проекцией). При заданном направлении проецирующих лучей на плоскости проекций всегда получается лишь одна проекция точки, но судить о положении точки в пространстве по одной ее проекции невозможно, так как на одном и том же проецирующем луче АА1 (рисунок 6) точка может занимать различные положения, находясь выше или ниже заданной точки А, и какое положение точки в пространстве соответствует изображению (проекции) А1, определить невозможно. 8 Рисунок 6 Для того чтобы по изображению точки можно было определить ее положение в пространстве, необходимо как минимум иметь две проекции этой точки. При этом должно быть известно взаимное расположение плоскостей проекций и направление проецирования. Тогда, имея два изображения точки А, можно будет представить, как расположена точка в пространстве. Наиболее простым и удобным является проецирование на взаимно перпендикулярные плоскости проекций с помощью проецирующих лучей, перпендикулярных плоскостям проекций. Такое проецирование называют ортогональным проецированием, а полученные изображения – ортогональными проекциями. 2 Общие сведения о плоскостях проекций Рисунок 7 9 На рисунке 7, а показано расположение трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций, с помощью которых получают ортогональный чертеж. Плоскости располагаются под углом 90 друг к другу. Плоскость П1–называется горизонтальной плоскостью проекций; Плоскость П2 – называется фронтальной плоскостью проекций; Плоскость П3 – называется профильной плоскостью проекций. Линии пересечения плоскостей проекций называют осями координат и обозначают ОХ, ОУ, ОZ. Точка пересечения трех осей координат (точка О) является началом координат, от которой ведется отсчет координат по осям. Угол образованный тремя плоскостями называется координатным углом. Для того чтобы перейти от пространственного чертежа к плоскому чертежу, плоскости мысленно совмещают с одной плоскостью (рисунок 7, б). При этом фронтальная плоскость П2 остается на месте, горизонтальная плоскость П1 поворачивается вокруг оси ОХ на угол 90, а профильная плоскость П3 поворачивается вправо от оси ОZ на угол 90, плоскости П1 и П3 условно разрезаются по оси ОУ. Совмещенные плоскости разделяются взаимно перпендикулярными осями, которые определяют на чертеже рабочее поле для построения проекций предмета. Каждая плоскость проекций имеет два измерения по взаимно перпендикулярным направлениям: - для горизонтальной плоскости П1 – ОХ и ОУ; - для фронтальной плоскости П2 – ОХ и ОZ; - для профильной плоскости П3 – ОУ и ОZ; Изображения, совмещенные в одну плоскость или на плоском чертеже, называют комплексным или ортогональным чертежом. 3 Проекции точки Проецирование точки на три плоскости проекций координатного угла начинают с получения ее изображения на плоскости П1 – горизонтальной плоскости проекций. Для этого через точку А (рисунок 8, а) проводят проецирующий луч перпендикулярно плоскости П1. На рисунке перпендикуляр к плоскости П1 параллелен оси ОZ. Точку пересечения луча с плоскостью П1 (точку А1) 10 выбирают произвольно. Отрезок АА1 определяет, на каком расстоянии находится точка А от плоскости П1, указывая тем самым однозначно положение точки А на рисунке по отношению к плоскостям проекций. Точка А1 является прямоугольной проекцией точки А на плоскость П1 и называется горизонтальной проекцией точки А (рисунок 8, а). Рисунок 8 Для получения изображения точки А на плоскости П2 (рисунок 8, б) через точку А проводят проецирующий луч перпендикулярно фронтальной плоскости проекций П2. На рисунке перпендикуляр к плоскости П2 параллелен к оси ОУ. На плоскости П1 расстояние от точки А до плоскости П2 изобразится отрезком А1АХ, параллельным оси ОУ и перпендикулярным оси ОХ. Проведя из точки А Х в 11 плоскости П2 перпендикуляр к оси ОХ, который является изображением проецирующего луча АА1 на плоскости П2, в пересечении с проецирующим лучом получают точку А2. Точка А2 является фронтальной проекцией точки А, т.е. ее изображением на плоскости П2. Изображение точки А на профильной плоскости проекций (рисунок 8, в) строят с помощью проецирующего луча, перпендикулярного плоскости П3. На рисунке перпендикуляр к плоскости П3 параллелен оси ОХ. Проецирующий луч от точки А до плоскости П3 на плоскости П1 изобразится отрезком А1АУ, параллельным оси ОХ и перпендикулярным оси ОУ. Из точки АУ параллельно оси ОZ и перпендикулярно оси ОУ строят изображение проецирующего луча АА1 и в пересечении с проецирующим лучом получают точку А3. Точка А3 называется профильной проекцией точки А, т.е. изображением точки А на плоскости П3. Точку А3 можно построить, проведя от точки А2 отрезок А2АZ (изображение проецирующего луча АА3 на плоскости П2) параллельно оси ОХ, а от точки АZ – отрезок А3АZ параллельно оси ОУ до пересечения с проецирующим лучом. Получив три проекции точки А на плоскостях проекций, координатный угол развертывают в одну плоскость, как показано на рисунке 7, б, вместе с проекциями точки А и проецирующих лучей, а точку А и проецирующие лучи АА1, АА2, АА3 убирают. Края совмещенных плоскостей проекций не проводят, а проводят только оси проекций ОZ, ОУ и ОХ, ОУ1 (рисунок 9). Рисунок 9 12 Отрезки ОАх, ОАу и ОАz, расположенные на осях проекций, являются графическим выражением размеров координат Х, У и Z точки А. Измерив величину этих отрезков, можно определить положение точки в пространстве, т.е. задать координаты точки. На комплексном чертеже отрезки А2АХ и А1АХ располагаются как одна линия, перпендикулярная к оси ОХ, а отрезки А2АZ и А3АZ – к оси ОZ. Они пересекают оси проекций в точках АХ и АZ соответственно. Линия проекционной связи, соединяющая горизонтальную проекцию точки А с профильной, оказалась «разрезанной» в точке АУ. Две проекции одной и той же точки всегда располагаются на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций. Для представления положения точки в пространстве достаточно двух ее проекций и заданного начала координат (точка О). На рисунке 8, б две проекции точки полностью определяют ее положение в пространстве. По этим двум проекциям можно построить профильную проекцию точки А. Поэтому в дальнейшем, если не будет необходимости в профильной проекции, комплексные чертежи будут построены на двух плоскостях проекций: П1 и П2. Рассмотрим несколько примеров построения и чтения чертежа точки. Пример 1. По заданным проекциям точки В (В1 и В2) на комплексном чертеже, определить ее координаты (рисунок 10). Рисунок 10 Измеряются три отрезка: отрезок ОВХ (координата Х), отрезок ВХВ1 (координата У) и отрезок ВХВ2 (координата Z). Координаты 13 записываются в следующем порядке: Х, У и Z, после буквенного обозначения точки, например, В (20; 30; 15). Пример 2. По заданным координатам точки С (30; 10; 40), построить ее проекции на комплексном чертеже (рисунок 11). Рисунок 11 На оси ОХ находят точку СХ, в которой линия проекционной связи пересекает ось проекций. Для этого по оси ОХ от начала координат (точка О) откладывают координату Х (размер 30) и получают точку СХ. Через эту точку перпендикулярно оси ОХ проводят линию проекционной связи и от точки СХ вниз откладывают координату У (размер 10), получают точку С1 – горизонтальную проекцию точки С. Вверх от точки СХ по линии проекционной связи откладывают координату Z (размер 40), получают точку С2 – фронтальную проекцию точки С. Вопросы для самопроверки 1 Какой чертеж называется комплексным? 2 Как называются и обозначаются основные плоскости проекций? 3 Что такое вертикальная линия связи? Горизонтальная линия связи? 4 Как называется расстояние, определяющее положение точки относительно плоскости проекций П1, П2? 5 Как построить горизонтальную проекцию точки, если на чертеже имеется ее фронтальная и профильная проекция? 6 Как построить фронтальную проекцию точки по данным горизонтальной и профильной проекций точки? 7 Какие координаты точки можно определить по ее горизонтальной проекции? профильной проекции? 14 8 Как можно построить комплексный чертеж точки по ее координатам? 4 Проецирование отрезка прямой линии При проецировании прямой линии на какую-либо плоскость проекций, проецирующие лучи, проходящие через точки прямой, образуют проецирующую плоскость Q, которая пересекает плоскость проекций по прямой (рисунок 12). Следовательно, проекцией отрезка, будет отрезок прямой. Рисунок 12 Обычно проекция отрезка меньше самого отрезка, так как его проекция является частью катета прямоугольного треугольника МВ1В, а отрезок АВ частью гипотенузы этого треугольника. Так как МВ1МВ, то А1В1АВ. Отношение проекции отрезка к его действительной величине А1В1/АВ называется коэффициентом искажения, К= А1В1/АВ 1. Если отрезок прямой линии параллелен плоскости проекций, то К = 1, т.е. отрезок проецируется на эту плоскость без искажения. Если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях этой прямой и на одной линии проекционной связи. На рисунке 12 точка М лежит на прямой АВ. 4.1 Различные положения прямой линии относительно плоскостей проекций Прямые линии подразделяются на прямые общего положения и частного положения. Прямыми общего положения называются прямые, которые не параллельные и не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций (рисунок 13). 15 Рисунок 13 Прямыми частного положения называются такие прямые, которые расположены или параллельно или перпендикулярно к плоскостям проекций. Прямые частного положения подразделяются на прямые уровня и проецирующие прямые. Прямыми уровня называются прямые, которые расположены параллельно плоскостям проекций. Проецирующими прямыми называются прямые, которые расположены перпендикулярно плоскостям проекций. Прямые уровня Горизонтальная прямая – прямая, параллельная плоскости П1. Все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П1 (рисунок 14, а), т.е. координаты Z всех точек отрезка ВС равны между собой, ВВ1=СС1=В2ВХ=С2СХ=ZВ=ZC. Фронтальная проекция горизонтальной прямой параллельна оси ОХ (рисунок 14, б). Положение второй проекции относительно оси ОХ определяется положением самой прямой. Угол наклона горизонтальной прямой к плоскости П2 - . На плоскость П1 отрезок горизонтальной прямой проецируется в действительную величину. 16 Рисунок 14 Фронтальная прямая – прямая, параллельная плоскости П2. Все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П2 (рисунок 15, а), т. е. координаты У всех точек отрезка СD равны между собой. Горизонтальная проекция фронтальной прямой параллельна оси ОХ (рисунок 15, б). Положение второй проекции относительно оси ОХ определяется положением самой прямой. Угол наклона фронтальной прямой к плоскости П1 - . На плоскость П2 отрезок фронтальной прямой проецируется в действительную величину. Рисунок 15 Профильная прямая – прямая параллельная плоскости П3. Все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П3 (рисунок 16, а), т.е. координаты Х всех точек отрезка DЕ равны между 17 собой. Фронтальная проекция профильной прямой параллельна оси ОZ, а горизонтальная оси ОУ (рисунок 16, б). Положение профильной проекции определяется положением самой профильной прямой. Угол наклона профильной прямой к плоскости П1 - , к плоскости П2 - . На плоскость П3 отрезок профильной прямой проецируется в действительную величину. Рисунок 16 Проецирующие прямые Горизонтально проецирующая прямая перпендикулярна плоскости П1. Проекция такой прямой на плоскости П1 является точкой, а ее фронтальная проекция перпендикулярна оси ОХ и параллельна оси ОZ (рисунок 17). На плоскость П2 прямая проецируется в действительную величину. 18 Рисунок 17 Фронтально проецирующая прямая перпендикулярна плоскости П2. Проекция этой прямой на плоскость П2 является точкой, а ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси ОХ и параллельна оси ОУ (рисунок 18). На плоскость П1 прямая проецируется в действительную величину. Рисунок 18 19 Профильно проецирующая прямая перпендикулярна плоскости П3. Проекция этой прямой на плоскость П3 является точкой. Ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси ОУ и параллельна оси ОХ, а фронтальная – перпендикулярна оси ОZ и параллельна оси ОХ (рисунок 19). На плоскости П1 и П2 прямая проецируется в действительную величину. Рисунок 19 4.2 Деление отрезка прямой линии в данном отношении Если в пространстве точка делит отрезок прямой линии в каком то отношении, то на чертеже, проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же отношении. Пример: Разделить заданный отрезок АВ в отношении 2:3. Рисунок 20 20 Из горизонтальной проекции точки А, А1 провести вспомогательную, произвольную прямую под любым углом к горизонтальной проекции прямой А1В1, на этой прямой отложить сумму заданных частей произвольных, но равных между собой (2+3) =5, точку 5 соединить с горизонтальной проекцией точки В 1. Через точку 2 провести прямую параллельную отрезку 5В1, получим точку К, которая делит отрезок АВ в заданном отношении. Если точка в пространстве принадлежит прямой, то на чертеже проекции этой точки принадлежат одноименным проекциям прямой. 4.3 Определение длины отрезка прямой линии и углов наклона прямой к плоскости проекций Если отрезок прямой линии параллелен плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость в свою действительную величину. Рассмотрим случай, когда прямая линия не параллельна плоскости проекций (рисунок 21). Рисунок 21 Длина отрезка прямой линии равна гипотенузе прямоугольного треугольника А1В, одним катетом этого треугольника является проекция отрезка на плоскость П1, А1 = А1 В1. Другой катет В1 равен разности расстояний точек А и В до плоскости П1, т.е. разность Z. Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как угол, составленный прямой с ее проекцией на эту плоскость: - угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций П1; - угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций П2; - угол наклона прямой к профильной плоскости проекций П3; 21 Пример: Определить действительную величину отрезка АВ и угол его наклона к горизонтальной плоскости проекций П1. Рисунок 22 На горизонтальной плоскости проекций П1 строим прямоугольный треугольник А1В1Во, у которого один катет А1 В1 является горизонтальной проекцией отрезка, а второй катет В1Во равен разности расстояний Z концов этого отрезка от горизонтальной плоскости проекций П1, гипотенуза этого треугольника А1Во является действительной величиной отрезка АВ. Угол определяет угол наклона отрезка прямой АВ к плоскости П1. Если вместо плоскости П1 взять плоскость П2, то длину отрезка можно определить аналогично, отложив разность расстояний точек А и В от плоскости П2, т.е. разность Y. 4.4 Следы прямой линии Следом прямой линии называется точка, в которой прямая пересекается с плоскостью проекций. Так как след прямой принадлежит одной из плоскостей проекций, то одна из координат каждого следа должна быть равна нулю. В общем случае прямая может пересекать все три плоскости проекций и иметь три следа: горизонтальный след М – точка пересечения прямой с плоскостью П1, ее координата ZМ = 0; фронтальный след N(YN = 0) – точка пересечения прямой с плоскостью П2; 22 профильный след Т(ХТ = 0) –пересечение с плоскостью П3; Рассмотрим прямую АВ в системе двух плоскостей проекций и найдем ее горизонтальный и фронтальный следы (рисунок 23). Рисунок 23 Горизонтальный и фронтальный следы определены как точки, в которых прямая пересекается со своими проекциями. Каждый след, являясь точкой, одновременно принадлежащей и данной прямой и одной из плоскостей проекций, совпадает с одноименной своей проекцией. Так, М совпадает с М1, а N – с N2. Что касается проекций, разноименных данному следу, то они расположены на оси ОХ, т.е. фронтальная проекция М2 горизонтального следа М и горизонтальная проекция N1 следа N должны лежать на оси ОХ. Причем это будут те точки оси, в которых она пересекается с соответствующими проекциями данной прямой. Пересечение А1В1 и оси ОХ определяет N1, а пересечение А2В2 и той же оси ОХ дает М2, Отмеченные особенности в расположении проекций следов позволяют сформулировать следующие правила построения следов на комплексном чертеже: 1 Для построения горизонтального следа М прямой необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью ОХ и в этой точке восставить к оси перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой. 2 Для построения фронтального следа N прямой нужно из точки пересечения горизонтальной проекции ее с осью ОХ восставить 23 перпендикуляр к оси до пересечения с фронтальной проекцией прямой. С помощью этих правил на рисунке 24 найдены следы прямой АВ. Рисунок 24 Следы прямых являются точками перехода прямой из одной четверти в другую, это позволяет отмечать видимость прямой. 4.5 Взаимное расположение двух прямых линий Пересекающиеся прямые. В этом случае прямые АВ и СД имеют одну общую точку, проекции которой Е1Е2 расположены на одной линии проекционной связи (рисунок 25). Значит, если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций должны находиться на одной линии связи. Рисунок 25 24 Параллельные прямые. Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) – параллельны. Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций, т.е. если АВ //СД , то А1В1 // С1Д1, А2В2 // С2Д2 (рисунок 26). Рисунок 26 В общем случае справедливо и обратное утверждение: если на комплексном чертеже одноименные проекции прямых параллельны, то прямые в пространстве параллельны. Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки взаимного положения прямых следует построить их проекции на плоскость П3 (рисунок 27). В данном случае прямая ВД не параллельна прямой ЕF. 25 Рисунок 27 Скрещивающиеся прямые. Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии проекционной связи (рисунок 28). Рисунок 28 Точка пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых представляет собой проекции двух точек, одна из которых (точка 2) принадлежит прямой АВ, другая (точка 1) принадлежит прямой СД. Например: точки 1 и 2 одинаково удалены от плоскости П2, но расстояние их от плоскости П1 различны. 26 Проекции точки 2 (21 и 22) расположены дальше от плоскости П1 чем проекции точки 1 (11 и 12). Проекции точки 2 принадлежащей прямой АВ закрывает собой проекции точки 1 принадлежащей прямой СД, следовательно прямая АВ видима относительно плоскости П1. Видимость прямых АВ и СД относительно плоскости П2 определяем аналогично, рассмотрев точки 3 и 4. Точки, проекции которых совпадают, т.е. точки которые находятся на одном проецирующем луче, называются конкурирующими точками, а способ определения видимости геометрических элементов на комплексном чертеже называется способом конкурирующих точек. Вопросы для самопроверки 1 Чем определяется проекция прямой линии 2 Какое положение может занимать прямая относительно плоскостей проекций 3 Какие линии уровня вы знаете Как располагаются проекции прямых уровня 4 Какие проецирующие прямые вы знаете 5 Какие точки называются конкурирующими 6 Как определить видимость элементов пространства относительно данной плоскости проекций с помощью конкурирующих точек 7 Как определить действительную величину отрезка по его комплексному чертежу 8 Как могут быть расположены в пространстве две различные прямые 9 Как на комплексном чертеже располагаются проекции параллельных прямых и почему 10 Как на комплексном чертеже располагаются точки пересечения пересекающихся прямых 11 Как располагаются точки пересечения одноименных проекций двух скрещивающихся прямых 5 Способы задания плоскости, следы плоскости Положение плоскости в пространстве определяется: 1 Проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рисунок 29, а); 27 2 Проекциями прямой и точки, не лежащей на этой прямой (рисунок 29, б); 3 Проекциями двух пересекающихся прямых (рисунок 29, в); 4 Проекциями двух параллельных прямых (рисунок 29, г); 5 Проекциями плоской фигуры (рисунок 29, d). Рисунок 29 Каждый из представленных способов задания плоскости на чертеже может быть преобразован в любой другой из них. Например, проведя через точки А и В (рисунок 29, а) прямую, получим второй способ задания плоскости, представленной на рисунке 29, б; соединив одноименные проекции точек А, В и С (рисунок 29, а) в треугольник, получим пятый способ задания плоскости, изображенный на рисунке 29, d. Более наглядно на чертеже плоскость может быть задана при помощи прямых, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Эти прямые называются следами плоскости на плоскостях проекций. На рисунке 30 показана плоскость общего положения и отмечены линии ее пересечения с плоскостями проекций. Плоскость общего положения – это плоскость, расположенная наклонно ко всем плоскостям проекций, она имеет три следа: горизонтальный, фронтальный и профильный. 28 Рисунок 30 Прямая, по которой плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью проекций, называется горизонтальным следом плоскости и обозначается 1. Прямая, по которой плоскость пересекается с фронтальной плоскостью проекций, называется фронтальным следом плоскости и обозначается 2. Прямая, по которой плоскость пересекается с профильной плоскостью проекций, называется профильным следом плоскости и обозначается 3. Каждая пара следов сходится в точке, которая называется точкой схода следов плоскости и располагается на оси проекций. Плоскость общего положения имеет три точки схода, которые обозначаются Х, У, Z. След плоскости на плоскости проекций сливается со своей проекцией на этой плоскости. След 1 (рисунок 30, а) сливается со своей горизонтальной проекцией, фронтальная проекция этого следа располагается на оси ОХ. След 2 сливается со своей фронтальной проекцией, горизонтальная проекция этого следа располагается на оси ОХ. След 3 сливается со своей профильной проекцией, горизонтальная проекция этого следа располагается на оси ОУ. На чертеже плоскость может быть задана проекциями ее следов, но можно ограничиться обозначением только самих следов (рисунок 30, б). Такой чертеж нагляден и представляет удобства при некоторых построениях. 29 Любые два следа плоскости, как две пересекающиеся прямые, вполне определяют положение плоскости в пространстве. Третий след плоскости всегда можно построить по двум данным. Плоские фигуры, лежащие в плоскости общего положения, проецируются на плоскости проекций с искажением. 5.1 Различные положения плоскости относительно плоскостей проекций 1 Плоскость , перпендикулярная плоскости П1, горизонтально проецирующая плоскость (рисунок 31). - Рисунок 31 Горизонтальная проекция такой плоскости представляет прямую, которая одновременно является горизонтальным следом 1 плоскости. Горизонтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в этой плоскости, совмещены с горизонтальным следом 1. Так горизонтальная проекция треугольника АВС, расположенного в плоскости , есть прямая линия, совпадающая с горизонтальным следом 1. 2 Плоскость , перпендикулярная плоскости П2, фронтально проецирующая плоскость (рисунок 32). 30 Рисунок 32 Фронтальная проекция такой плоскости представляет прямую, которая одновременно является фронтальным следом 2 плоскости. Фронтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в этой плоскости, совмещены с ее фронтальным следом. Например, фронтальная проекция треугольника АВС, который находится в плоскости , есть прямая линия А2 В2 С2, совпадающая с 2. 3 Плоскость , перпендикулярная плоскости П3, профильно проецирующая плоскость (рисунок 33). Рисунок 33 Профильная проекция такой плоскости представляет прямую, которая одновременно является профильным следом 3 плоскости. 31 Профильные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в этой плоскости, совмещены с ее профильным следом. Например, профильная проекция треугольника АВС, который находится в плоскости , есть прямая линия А3 В3 С3, совпадающая с 3. 4 Плоскость , параллельная плоскости П1, называется горизонтальной (рисунок 34). Рисунок 34 Эта плоскость перпендикулярна двум плоскостям проекций П2 и П3. Фронтальная и профильная проекции такой плоскости горизонтальные прямые, совпадающие со своими одноименными следами 2 и 3. Любая фигура, расположенная в плоскости , на горизонтальную плоскость проекций П1 проецируется без искажения. 5 Плоскость , параллельная плоскости П2, называется фронтальной (рисунок 35). Эта плоскость перпендикулярна плоскостям проекций П1 и П3. Горизонтальная и профильная проекции такой плоскости - прямые линии, совпадающие со своими одноименными следами 1 и 3. Любая фигура, расположенная в плоскости , на фронтальную плоскость проекций П2 проецируется без искажения. 32 Рисунок 35 Рассмотренные выше горизонтальная и фронтальная плоскости часто называются плоскостями уровня. В заключении еще раз подчеркнем основное свойство проецирующих плоскостей: если фигура расположена в плоскости, перпендикулярной некоторой плоскости проекций, то на эту плоскость фигура проецируется в виде прямой, которая совпадает с одноименным следом проецирующей плоскости. 5.2 Построение следов плоскости Каждый след плоскости представляет собой прямую, для построения которой нужно знать либо две точки, либо одну точку и направление. Двумя точками, с помощью которых определяется положение следа плоскости, могут быть одноименные следы двух прямых, принадлежащих плоскости. На рисунке 36 показано построение горизонтального следа плоскости с помощью одноименных, т. е. горизонтальных следов пересекающихся прямых а и б, которыми определена плоскость . На рисунке 37 приведен пример построения следов плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми. Горизонтальный след 1 плоскости определен горизонтальными следами М1и М1 прямых АВ и АС. Фронтальный след 2 построен с помощью одноименных следов N2и N2 прямых АВ и АС. Заметим, что 2 можно было построить с помощью фронтального следа одной из прямых и точки схода Х. 33 Рисунок 36 Рисунок 37 5.3 Прямые линии и точки, расположенные в данной плоскости Рассмотрим две основные задачи на взаимную принадлежность точки, прямой и плоскости. Задача 1. Построить проекции произвольной прямой l плоскости , которая задана пересекающимися прямыми m и n (рисунок 38). 34 Рисунок 38 Воспользуемся основной аксиомой принадлежности, утверждающей, что прямая принадлежит плоскости, если две точки этой прямой принадлежат той же плоскости. На заданных прямых m и n отмечаем произвольные точки А m и В n, которые и определяют искомую прямую l (l1, l2 ). Одна из двух точек, А или В, может быть несобственной, и тогда аксиома принадлежности формулируется так: прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой – либо прямой, расположенной в этой плоскости. На рисунке 39 показаны проекции прямой l, принадлежащей плоскости (m ∩ n). Эта прямая пересекает прямую n в точке А и параллельна прямой m. 35 Рисунок 39 Задача 2. Построить горизонтальную проекцию точки А, которая принадлежит плоскости общего положения (m n) (рисунок 40). Рисунок 40 Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой принадлежащей этой плоскости. Для нахождения горизонтальной проекции точки нужно воспользоваться вспомогательной прямой l, которую проведем по плоскости через фронтальную проекцию точки А (А2). Таких прямых можно провести через точку А по плоскости бесчисленное множество. Одна из них и представлена на чертеже. Проекция l1 построена с помощью точек В и С, в которых прямая l пересекает данные прямые m и n. Искомая горизонтальная проекция А1 точки А определена пересечением l1 и линии проекционной связи. 5.4 Главные линии плоскости Среди прямых линий, расположенных в данной плоскости, особое положение занимают горизонтали, фронтали, профильные прямые и линии наибольшего ската плоскости. 36 Эти прямые, особенно горизонтали и фронтали, очень часто применяются в различных построениях и при решении задач. Это объясняется значительной простотой построения указанных прямых, поэтому их удобно применять в качестве вспомогательных. 1 Горизонтали плоскости. Это прямые, которые лежат в данной плоскости и параллельны горизонтальной плоскости проекций П1. Рисунок 41 На рисунке 41, в плоскости заданной треугольником АВС и в плоскости , заданной следами, построена горизонталь H (h1, h2). Построение горизонтали начинают с ее фронтальной проекции т.к. она всегда параллельна оси ОХ. Если плоскость задана следами (рисунок 41,б), фронтальная проекция горизонтали параллельна оси ОХ, а горизонтальная ее проекция h1 всегда будет параллельна горизонтальному следу 1 плоскости . 2 Фронтали плоскости. Это прямые, которые лежат в данной плоскости и параллельны фронтальной плоскости проекций П2. 37 Рисунок 42 На рисунке 42, в плоскости заданной треугольником АВС и в плоскости , заданной следами, построена фронталь F (f1, f2). Построение фронтали начинают с ее горизонтальной проекции т.к. она всегда параллельна оси ОХ. Если плоскость задана следами (рисунок 42,б), горизонтальная проекция фронтали f1 параллельна оси ОХ, а фронтальная ее проекция f2 всегда параллельна фронтальному следу 2 плоскости . 3 Профильные прямые плоскости. Это прямые, которые лежат в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций П3. Рисунок 43 38 На рисунке 43 показана профильная прямая l (l1, l2). Фронтальная и горизонтальная проекции этой прямой перпендикулярны к оси ОХ. 4 Линии наибольшего ската плоскости. Это линии, которые лежат в плоскости и перпендикулярны к горизонталям данной плоскости. Рисунок 44 На рисунке 44 показана линия наибольшего ската l (l1, l2). Построение линии наибольшего ската начинают с горизонтальной ее проекции l1, которую проводят перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h1. Перечисленные прямые называют главными линиями плоскости. На любой плоскости можно провести бесчисленное множество главных линий. Все горизонтали плоскости параллельны между собой, все фронтали плоскости также параллельны друг другу и т.д. Следует заметить, что следы плоскости, рассмотренные раннее (раздел 5.2), можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след – это горизонталь плоскости, фронтальный – фронталь плоскости и т.д. С помощью главных линий плоскости оказывается удобным решать вопросы о взаимном расположении точки и плоскости. На рисунке 45 даны плоскость (f ∩ h) и проекции 39 А1 и А2 точки А. Необходимо установить, лежит ли эта точка в данной плоскости. Проведем по плоскости горизонталь h на том же уровне, на котором расположена точка А. Фронтальная проекция горизонтали пройдет через А2 перпендикулярно линии связи, а горизонтальная проекция h1 – параллельно горизонтальной проекции горизонтали h данной плоскости (f ∩ h). Горизонтальная проекция А1 точки А оказалась вне одноименной проекции прямой. Следовательно, точка А не лежит в данной плоскости. Рисунок 45 6 Взаимное расположение двух плоскостей Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельными, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекающимися. 1 Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. При решении различных задач часто приходится через данную точку А проводить плоскость , параллельную данной плоскости . На рисунке 46 плоскость задана двумя пересекающимися прямыми а и б. Искомая плоскость определена прямыми 40 а′ и б, соответственно параллельными а и б и проходящими через точку А. Рисунок 46 2 Пересекающиеся плоскости. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей. Перед тем как рассмотреть построение линии пересечения двух плоскостей, разберем важную и вспомогательную задачу: найдем точку К пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью. Пусть, например, даны прямая а и горизонтально проецирующая плоскость (рисунок 47). Рисунок 47 41 Тогда горизонтальная проекция К1 искомой точки должна одновременно лежать на горизонтальной проекции 1 плоскости и на горизонтальной проекции а1 прямой а, т.е. в точке пересечения а1 с 1 (К1= а1 ∩ 1) (рисунок 48). Фронтальная проекция К2 точки К расположена на линии проекционной связи и на фронтальной проекции а2 прямой а. Рисунок 48 А теперь разберем один из частных случаев пересекающихся плоскостей, когда одна из них – проецирующая. На рисунке 49 приведены плоскость общего положения, заданная треугольником АВС, и горизонтально проецирующая плоскость . Рисунок 49 Найдем две общие точки для этих двух плоскостей. Очевидно, этими общими точками для плоскостей ∆АВС и будут точки пересечения сторон АВ и ВС треугольника АВС с проецирующей плоскостью . Построение точек D и 42 Е не вызывает затруднений после разобранного выше примера. Соединяя одноименные проекции точек D и Е, получим проекции линии пересечения плоскости ∆АВС и плоскости . Таким образом, горизонтальная проекция D1Е1 линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскости - с ее горизонтальным следом 1. Рассмотрим теперь общий случай. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения и (рисунок 50). Для построения линии их пересечения необходимо, как отмечалось выше, найти две точки, общие обеим плоскостям. Рисунок 50 Для определения этих точек заданные плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких плоскостей целесообразнее взять проецирующие плоскости и, в частности, плоскости уровня. На рисунке 50 первая вспомогательная плоскость уровня каждую из данных плоскостей пересекает по горизонталям h и h, которые определяют точку 1, общую для плоскостей и , а значит, и принадлежащую линии их пересечения. Взяв вторую вспомогательную плоскость , например, также параллельную П1, получим еще одну точку – 2, общую плоскостям и . Эта точка определяется пересечением 43 горизонталей h и h, по которым вспомогательная плоскость пересекает каждую из данных плоскостей. Описанный метод применен для построения проекций линии пересечения двух плоскостей, первая из которых задана двумя параллельными прямыми, а вторая треугольником (рисунок 51). С помощью вспомогательной плоскости найдена точка 1 как точка, в которой пересекаются горизонтали h и h. Точно так же с помощью плоскости определена вторая точка – 2. Рисунок 51 7 Взаимное расположение прямой линии и плоскости Возможны следующие три случая относительного расположения прямой и плоскости: прямая принадлежит плоскости; прямая параллельна плоскости; прямая пересекает плоскость. Первому случаю был посвящен раздел 5.3, в котором рассматривалась одна из основных графических операций – построение прямых линий, принадлежащих плоскости. Критерием этого случая является известное свойство плоскости: если прямая линия соединяет две точки данной плоскости, то такая прямая всеми своими точками лежит в этой плоскости. 44 Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее. Для более определенного суждения через прямую а (рисунок 52) проводят вспомогательную плоскость и устанавливают относительное положение двух прямых а и n, последняя из которых является линией пересечения вспомогательной плоскости и данной . Каждому из трех возможных случаев относительного расположения этих прямых соответствует аналогичный случай взаимного расположения прямой и плоскости. Рисунок 52 Так, если обе прямые совпадают, то прямая а лежит в плоскости , параллельность прямых укажет на параллельность прямой и плоскости и, наконец, пересечение прямых соответствует случаю, когда прямая а пересекает плоскость . Два последних случая требуют более подробного изучения. 7.1 Прямая линия, параллельная плоскости При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости. 45 Следуя методике, изложенной в предыдущем параграфе, оценим взаимное положение прямой а и плоскости, представленных на рисунке 53. Для этого, прежде всего, проведем через прямую а вспомогательную плоскость . Весьма удобно в качестве такой плоскости воспользоваться одной из проецирующих плоскостей. В данном случае, через прямую а проведена горизонтально проецирующая плоскость , горизонтальный след которой сливается с одноименной проекцией прямой. Далее построены проекции n1 и n2 линии пересечения плоскостей, сравнение которых с проекциями данной прямой показывает, что прямая а не параллельна плоскости треугольника ВСD. Рисунок 53 7.2 Прямая линия, пересекающая плоскость Задача, которой посвящен настоящий параграф, является одной из основных задач начертательной геометрии. От того, насколько хорошо она будет усвоена, зависит успешное изучение последующего материала. Достаточно перечислить некоторые из задач курса, которые, в конечном счете, сводятся к определению точки пересечения прямой линии и 46 плоскости: пересечение прямой с многогранником, пересечение многогранника, конуса, цилиндра и т.д. Согласно изложенной в разделе 7 методике решения задачи на пересечение прямой линии и плоскости необходимо различать следующие три этапа: 1 построение вспомогательной плоскости , которую проводят через прямую а ( а ); 2 построение линии пересечения n вспомогательной плоскости и заданной ( n=∩ ); 3 определение искомой точки К как точки пересечения двух прямых: данной а и построенной n ( К=а ∩ n) ( рисунок 52). В разделе 8 указывалось, что в качестве вспомогательной плоскости рекомендуется брать одну из проецирующих. Рассмотрим решение примеров. На рисунке 54 дано изображение прямой а, пересекающейся с плоскостью треугольника ВСD. Рисунок 54 Точка пересечения К найдена с помощью горизонтально проецирующей плоскости , которая с заданной плоскостью пересекается по прямой n. Построение прямой n – линии пересечения плоскости общего положения с проецирующей плоскостью – было рассмотрено в разделе 6. Искомая точка К пересечения прямой а с данной плоскостью треугольника ВСD определена как точка пересечения линий а и n. 47 Точно в такой же последовательности решается пример на рисунке 55. Рисунок 55 При выполнении задач необходимо проявлять особое внимание к последней стадии решения, когда определяются проекции искомой точки. Следует иметь в виду, что если в качестве вспомогательной плоскости взята горизонтально проецирующая, то первой из двух будет определена фронтальная проекция искомой точки (рисунок 54). Применяя же фронтально проецирующую плоскость, сначала находят горизонтальную проекцию К1, а затем К2 (рисунок 55). Решение задачи на комплексном чертеже должно завершиться определением видимых участков на проекциях данной прямой. Видимость прямой а относительно плоскости треугольника ВСD (рисунок 54) установлена с помощью специальных лучей, которые мысленно проводят через точки пересечения проекций данной прямой и сторон треугольника так, как это было изложено в разделе 4.5, посвященном взаимному расположению двух прямых. Вопросы для самопроверки 1 Перечислить способы задания плоскости на чертеже; 2 Что называется следом плоскости? 3 Какое положение может занимать плоскость относительно плоскости проекций? 48 4 Какими свойствами обладают проецирующие плоскости проекций? 5 Условие принадлежности прямой линии и плоскости; 6 Условие принадлежности точки и плоскости; 7 Какие прямые называются главными линиями плоскости? 8 Какое положение в пространстве могут занимать две плоскости относительно друг друга? 9 Какой порядок построения линии пересечения двух плоскостей общего положения? 10 Какое положение в пространстве прямая линия может занимать относительно плоскости? 11 Назовите три основных этапа построения точки пересечения прямой линии и плоскости. 8 Способы преобразования чертежа Целью преобразования чертежа является приведение заданных на чертеже геометрических элементов в новое положение по отношению к плоскостям проекций, более удобное для решения поставленной задачи. Чаще всего преобразование чертежа делают для того, чтобы в новой системе плоскостей проекций геометрические элементы (отрезок, плоская геометрическая фигура и т.п.) проецировались на новую плоскость проекций без искажения, в действительную величину. Преобразование чертежа можно осуществлять двумя способами. Первый способ – введение дополнительных плоскостей проекций с неизменным положением геометрических элементов. Второй – перемещение геометрических элементов в пространстве с неизменным положением плоскостей проекций. Рассмотрим наиболее часто применяемые способы преобразования чертежа. 8.1 Способ перемены плоскостей проекций 49 Суть способа заключается в том, что вводят новые, дополнительные плоскости проекций и получают новую систему плоскостей проекций, где геометрические элементы имеют иное положение относительно плоскостей проекций. Но при введении новой плоскости проекций обязательно сохраняют перпендикулярность плоскостей проекций, т. е. новую плоскость проекций устанавливают перпендикулярно одной из оставляемых плоскостей – П1 или П2. Вопрос о том какую плоскость проекций заменить и как расположить новую плоскость проекций зависит от условия поставленной задачи. На рисунке 56 показана точка А, заданная в системе плоскостей проекций П1 / П2. Заменим одну из них, например П2 на новую плоскость П4 и построим новую, фронтальную проекцию точки А на плоскость П4. Так как плоскость П1 является общей для «старой» и новой систем, координата Z точки А остается неизменной. Следовательно: расстояние от новой проекции точки А до новой оси Х1 равно расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси, т.е. А4АХ1 = А2АХ. При этом точка А4 определена как основание перпендикуляра опущенного из точки А на плоскость П4. Проекция же А1 остается прежней, а координата У точки А будет иной. Рисунок 56 Для получения комплексного чертежа (рисунок 57), плоскость П4 вращением вокруг оси Х1 совмещается с 50 плоскостью П1, а с ней и фронтальная проекция А4, которая окажется на одном перпендикуляре с проекцией А1. Рисунок 57 Аналогично можно заменить горизонтальную плоскость проекций П1 плоскостью П4. Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси, равно расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси. Определение действительной величины отрезка показано на рисунке 58. Новая ось Х1 проведена параллельно горизонтальной проекции отрезка на произвольном расстоянии от нее и перпендикулярно плоскости П1. На перпендикулярах к оси Х1 от точек Ах1 и Вх1 откладывают координаты ZA и ZB, строят новые проекции А4 и В4 точек А и В. На плоскость П4 прямая проецируется в действительную величину. 51 Рисунок 58 Определение действительной величины треугольника DEC показано на рисунке 59. Рисунок 59 Плоскость треугольника DEC фронтально – проецирующая. На плоскость П2 треугольник DEC проецируется в прямую линию. Для определения действительной величины треугольника новую плоскость проекций П4 ставят параллельно плоскости треугольника, т. е. ось Х1 проводят параллельно линии, в которую проецируется треугольник DEC (Х1 // D2E2C2). Из точек D2,E2,C2, проводят линии проекционной связи перпендикулярно новой оси и на них от 52 оси Х1 откладывают координаты УD, УЕ и УС. В новой системе плоскостей проекций треугольник D4E4C4 является действительной величиной треугольника DEC. 8.2 Способ вращения Сущность способа вращения заключается в том, что положение геометрических элементов относительно плоскостей проекций изменяют вращением вокруг оси, которая проводится перпендикулярно к какой – нибудь плоскости проекций; положение плоскостей проекций при этом остается неизменным. На комплексном чертеже строят новые проекции повернутых геометрических элементов. На рисунке 60 показано вращение точки А вокруг оси i, перпендикулярной плоскости П1. Рисунок 60 Точка А, вращаясь вокруг оси вращения i опишет окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения i. Центр окружности О расположен в точке пересечения оси вращения i с плоскостью , а радиус R определится как расстояние от точки А до оси вращения. Точка А перемещается по окружности, плоскость которой // П1, поэтому на плоскость П1 эта окружность проецируется без искажения и проекция А1 на плоскости П1 будет перемещаться по окружности. На плоскость П2 эта 53 окружность проецируется в прямую линию параллельную оси Х, следовательно, проекция А2 на плоскости П2 будет перемещаться по прямой линии параллельной оси Х. На рисунке 60,б показан комплексный чертеж вращения точки А вокруг оси вращения i, перпендикулярной плоскости П1 на угол . На рисунке 61,а показано построение действительной величины отрезка АВ, где ось вращения i проведена через точку А перпендикулярно плоскости П2. Рисунок 61 Фронтальная проекция оси вращения i (i2) совпала с фронтальной проекцией А2 точки А. Фронтальная проекция А2В2 отрезка АВ повернута до положения, параллельного оси Х. Отрезок стал параллельным плоскости П1 и спроецировался на нее в действительную величину. Траектория точки В при вращении проецируется на плоскость П1 отрезком В1В1, параллельным оси Х. На рисунке 61,б показано построение действительной величины треугольника АВС (плоскость треугольника АВС перпендикулярна плоскости П2). Через вершину А треугольника АВС проводят ось вращения i перпендикулярно плоскости П2. Отрезок А2В2 – проекцию треугольника АВС на плоскость П2 – поворачивают в положение, параллельное оси Х. Траектории поворота вершин треугольника спроецировались на плоскость П2 в 54 дуги окружностей, а на плоскость П1 – в отрезки прямых, параллельных оси Х. Проведя линии проекционной связи получают действительную величину треугольника АВС, так как его плоскость параллельна плоскости П1. Точка А своего положения не изменила, так как она находится на оси вращения. 8.3 Способ плоскопараллельного перемещения При анализе способа вращения мы видим, что если вращать отрезок прямой линии или плоскую фигуру вокруг оси перпендикулярной к плоскости проекций, то проекция на эту плоскость не изменяется ни по виду, ни по величине – меняется лишь положение этой проекции относительно оси проекций. А другая проекция, в плоскости параллельной оси изменяется и по виду и по величине. Пользуясь этими свойствами можно применить способ вращения, не задаваясь изображением оси вращения, достаточно одну из проекций заданной фигуры переместить в требуемое нам положение, а затем построить вторую проекцию тем способом, которым мы пользовались в способе вращения. Способ плоскопараллельного перемещения – это частный случай способа вращения. На рисунке 62 построена действительная величина треугольника АВС способом плоскопараллельного перемещения. Треугольник АВС повернули в положение, параллельное плоскости П1. Его фронтальная проекция А2В2С2 изображена на произвольном месте плоскости П2 параллельно оси Х. В пересечении линий проекционной связи, проведенных от проекций точек после поворота, и линий, параллельных оси Х, получают точки, определяющие положение второй проекции после поворота. 55 Рисунок 62 Вопросы для самопроверки 1 Зачем необходимо преобразование комплексного чертежа? 2 Какие вы знаете способы преобразования чертежа? 3 Какие основные задачи решаются путем преобразования чертежа? 4 В чем сущность способа замены плоскостей проекций? 5 Как надо расположить новые плоскости проекций, чтобы отрезок прямой общего положения спроецировался в действительную величину? 6 При каком расположении плоской фигуры можно определить ее действительную величину путем замены только одной плоскости проекций? 7 В чем сущность преобразования чертежа способом вращения? 8 Как изменяется фронтальная проекция предмета при вращении его вокруг фронтально проецирующей прямой? 9 Многогранники Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскостями, называется многогранником. К наиболее часто используемым в практике многогранникам относятся призма и пирамида. 9.1 Призма 56 Призмой называется многогранник, основаниями которого являются многоугольники, а боковыми гранями – четырехугольники (прямоугольники или параллелограммы). Если основаниями призмы являются правильные многоугольники, то такая призма называется правильной. Если основаниями призмы являются неправильные многоугольники, то такая призма называется неправильной. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой. Если ребра наклонены к основанию, то призма называется наклонной. Ортогональные проекции призмы На рисунке 62 показано проецирование призмы на три плоскости проекций. Рисунок 62 57 Рисунок 63 На комплексном чертеже сначала строят горизонтальную проекцию призмы (рисунок 63). Для этого на плоскости П1 строят треугольник. Поскольку призма прямая, ее ребра и грани располагаются перпендикулярно к основаниям, и на плоскости П1 два основания сольются в одно, причем видимым будет верхнее основание. Все боковые грани спроецируются в отрезки прямых линий 1-2, 2-3, 3-1, которые совпадут со сторонами основания. Боковые ребра призмы спроецируются в точки как прямые, перпендикулярные к плоскости проекций и совпадут с вершинами основания (точки 1,2,3). Итак, горизонтальная проекция данной призмы изобразилась в виде правильного треугольника, в который спроецировались не только два основания, но и боковые грани и ребра. Так как основания призмы параллельны плоскости П 1, то их горизонтальная проекция изобразилась в действительную величину. Для построения фронтальной проекции призмы, из горизонтальной проекции каждой вершины основания проводят линии связи параллельно оси Z и на них откладывают высоту призмы. Основания призмы на фронтальную плоскость спроецировались как отрезки, один из которых будет лежать на оси Х (нижнее основание), а второй будет находиться на расстоянии от оси Х, равном высоте призмы (верхнее основание). Боковые грани призмы спроецируются в виде прямоугольников. Грань 1-3 на фронтальную плоскость спроецируется в действительную величину. Остальные грани 1-2, 2-3 спрецируются с искажением, так как расположены не 58 параллельно плоскости П2. На фронтальной плоскости видимыми гранями будут грани с основанием 1-2, 2-3, а грань 3-1 невидима. На профильной плоскости видимой гранью будет грань с основанием 1-2, невидимой 2-3, а грань с основанием 1-3 на плоскость П3 спроецируется в прямую линию, так как расположена перпендикулярно к плоскости П3. На плоскость П3 все грани призмы проецируются с искажением, так как ни одна грань не параллельна плоскости П3. Развертка поверхности призмы При построении развертки поверхности любого многоугольника все его грани располагают в одной плоскости. В результате построения развертки получают плоскую фигуру, в которой все грани многогранника сохраняют свою форму, действительные размеры и последовательность расположения (рисунок 64). Для построения развертки призмы проводят горизонтальную прямую линию, на которой откладывают три отрезка, каждый из которых равен ширине грани или стороне основания призмы. Этот размер берут с горизонтальной проекции основания так как основание на плоскость П1 спроецировалось без искажения. Затем из точек 1,2,3 проводят перпендикуляры (ребра боковой поверхности), на которых откладывают высоту призмы, взятую с фронтальной проекции. Далее строят два основания. Точку 1 строят с помощью засечек. Рисунок 64 Построение точки, лежащей на поверхности призмы Построение точки, лежащей на поверхности призмы показано на рисунке 63. Сначала строят проекцию точки на той плоскости проекций, где грань, на которой лежит заданная точка, проецируется в линию. Точка А находится на фронтальной проекции грани 1-2, на 59 плоскость П1 эта грань проецируется в отрезок, совпадающий со стороной основания 1-2. Из точки А2 проводят вниз линию проекционной связи до пересечения с отрезком 1-2, получают горизонтальную проекцию точки А (А1). По линии проекционной связи от горизонтальной и фронтальной проекций до их взаимного пересечения на плоскости П3 получают профильную проекцию точки А (А3). Для построения точки А на развертке (рисунок 64), на горизонтальной проекции призмы (рисунок 63), измеряют основание 11А1 и откладывают его на развертке от точки 1 на стороне 1-2, находят точку А0 и от нее вверх проводят прямую, на которой откладывают координату Z для точки А. 9.2 Пирамида Пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками, имеющие общую вершину. Если все боковые грани имеют форму треугольников с одной общей вершиной, то такая пирамида называется полной пирамидой. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник и ее высота проходит через центр основания, то такая пирамида называется правильной пирамидой. Во всех остальных случаях пирамида называется неправильной пирамидой. Ортогональные проекции правильной полной пирамиды 60 Рисунок 65 Рисунок 66 На рисунке 65 показано проецирование пирамиды на три плоскости проекций. Порядок построения пирамиды на комплексном чертеже (рисунок 66) такой же, как и чертежа призмы. Развертка поверхности правильной полной пирамиды Так как боковые ребра правильной пирамиды равны между собой и все грани равнобедренные треугольники, то развертку боковой поверхности пирамиды начинают строить с проведения дуги радиусом, равным размеру ребра боковой поверхности пирамиды (рисунок 67). Ребро S2 на профильную плоскость проецируется без искажения, так как оно расположено параллельно плоскости П3. Радиусом, равным длине ребра S2, описываем дугу, и на ней откладываем три равные хорды, равные стороне основания. Размер стороны основания берут с горизонтальной проекции пирамиды. Затем для построения основания на развертке из точек 2 и 3 радиусом, равным стороне основания, проводят дуги до взаимного пересечения в точки 3. 61 Рисунок 67 Построение точки, лежащей на поверхности пирамиды Точка А лежит на боковой поверхности пирамиды, задана ее фронтальная проекция (рисунок 66). Требуется построить горизонтальную и профильную проекцию этой точки, а так же построить ее на развертке. Две проекции заданной точки можно построить только с помощью дополнительных построений. Известно, что точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в данной плоскости. Поэтому в плоскости 1S2 проводят прямую S4 через точку А, строят ее горизонтальную проекцию (S141) и по линии проекционной связи находят горизонтальную проекцию точки А (А1). Имея две проекции точки А фронтальную (А2) и горизонтальную (А1), с помощью линий проекционной связи находят профильную проекцию точки А (А3). Для построения точки А на развертке необходимо сначала построить на грани 1S2 дополнительную прямую S4 (рисунок 67). Для этого на горизонтальной проекции измеряют расстояние от точки 1 до точки 4 и откладывают это расстояние на развертке от точки 1. Полученную точку 4 соединяют с вершиной S прямой линией. Это будет вспомогательная прямая, лежащая в плоскости боковой грани 1S2. Затем на профильной проекции через точку А3 проводят проекцию прямой, параллельной стороне основания 1 2, до пересечения с ребром в точке 5. Эту точку строят на развертке. Для этого на профильной проекции измеряют расстояние от точки 2 3 до точки 5 и соответственно переносят на развертку. Далее через точку 5 параллельно стороне основания 1 2 проводят дополнительную 62 прямую до пересечения с прямой S4 в точке А, это и будет искомая точка. 10 Поверхности вращения Поверхности, которые образуются вращением образующей вокруг неподвижной оси, называются поверхностями вращения. В технике широко используются тела вращения – цилиндр, конус, шар, тор. Построение ортогональных проекций тел вращения выполняют в следующей последовательности: 1- проведение осей координат; 2проведение осевых и центровых линий; 3- построение горизонтальной проекции; 4- построение фронтальной и профильной проекций. 10.1 Цилиндр Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями. Цилиндрическая поверхность вращения образуется при вращении прямой линии (образующей) вокруг неподвижной оси, параллельной образующей. Если часть цилиндрической поверхности отсечь двумя перпендикулярными к оси вращения плоскостями, то отсеченная часть цилиндрической поверхности будет боковой поверхностью цилиндра, а круги, расположенные в секущих плоскостях, - верхним и нижним основаниями цилиндра. Полученное таким образом геометрическое тело называется полным прямым круговым цилиндром. Высота прямого кругового цилиндра равна отрезку оси, заключенному между основаниями. Ортогональные проекции полного прямого кругового цилиндра На рисунке 68 показан комплексный чертеж прямого кругового цилиндра. Горизонтальная проекция полного прямого кругового цилиндра будет кругом, так как основания цилиндра при проецировании совпадут. При этом верхнее основание будет видимым, а нижнее – невидимым. Боковая цилиндрическая поверхность перпендикулярна к основаниям, и поэтому она спроецируется в окружность, все точки которой совпадут с очерковыми линиями проекций оснований. Следовательно, на горизонтальной проекции в одну и ту же 63 окружность спроецировались очерки двух оснований цилиндра и боковая поверхность. Рисунок 68 На фронтальную плоскость проекций цилиндр спроецируется в прямоугольник. Профильная проекция цилиндра представляет собой такой же прямоугольник. На фронтальной проекции видимой будет та часть цилиндра, которая на горизонтальной проекции располагается вниз от центровой линии 1 2. На профильной проекции видимой будет та часть цилиндра, которая на горизонтальной проекции располагается слева от центровой линии 3 4. Развертка поверхности цилиндра Развертка поверхности цилиндра представляет собой развернутую боковую поверхность цилиндра и его оснований, совмещенных в одной плоскости (рисунок 69). Для ее построения проводят прямую линию, на которой откладывают отрезок, равный длине окружности основания (2R). Из концов отрезка проводят перпендикулярные отрезки, равные высоте цилиндра, полученные точки соединяют. К боковой поверхности цилиндра пристраивают два основания. Развертку боковой поверхности можно выполнить приближенно, разделив окружность основания на 12 равных частей и отложив на прямой 12 хорд. Далее построение ведут, как описано выше. 64 Рисунок 69 Построение точки, лежащей на поверхности цилиндра Точка, лежащая на боковой поверхности цилиндра, задана одной проекцией, требуется построить две другие ее проекции. Начинают построение на той плоскости проекций, на которую боковая поверхность, с лежащей на ней точкой, проецируется в линию (окружность). На поверхности цилиндра задана фронтальная проекция точки А, требуется построить ее горизонтальную и профильную проекцию. Сначала строят горизонтальную проекцию точки А. Для этого от фронтальной проекции А2 точки А проводят линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией цилиндра – окружностью. Профильную проекцию А3 точки А строят с помощью линий проекционной связи, проведенных с фронтальной и горизонтальной проекций. Для построения точки А на развертке боковой поверхности цилиндра от образующей 1 откладывают длину дуги или хорду 1А0 (n), от точки А0 на прямой, параллельной образующей 1, откладывают расстояние ZA, взятое с фронтальной или профильной проекции цилиндра. 10.2 Конус Конус – геометрическое поверхностью и плоскостью. тело, 65 ограниченное конической Коническая поверхность вращения образуется вращением вокруг оси прямой линии (образующей), которая пересекает эту ось. Точка пересечения образующей и оси вращения называется вершиной конической поверхности. Если часть конической поверхности отсечь плоскостью, перпендикулярной оси вращения, то отсеченная часть конической поверхности будет боковой поверхностью полного прямого кругового конуса, а круг, расположенный в секущей плоскости, - основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины S на основание, будет высотой конуса. Ортогональные проекции полного прямого кругового конуса На рисунке 70 показан комплексный чертеж полного прямого кругового конуса. Рисунок 70 Горизонтальная проекция полного прямого кругового конуса – круг, в который спрецировалась боковая поверхность конуса как видимая. Основание конуса при проецировании совпадает с проекцией боковой поверхности и будет невидимым. Фронтальная и профильная проекции конуса изобразятся как равнобедренные треугольники, нижние стороны которых являются проекциями основания конуса. При проецировании они совпадут с осями Х и У, так как конус стоит на плоскости П1. 66 Развертка поверхности конуса Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор, у которого радиус равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. Если радиус окружности основания обозначить буквой R, а длину образующей боковой поверхности – L, то угол сектора можно определить по формуле: = 360х R / L. На рисунке 71 показано построение развертки поверхности конуса. Рисунок 71 Сначала проводят дугу радиусом, равным длине образующей L которую берут с фронтальной или профильной проекции крайних образующих (рисунок 70), потому что на эти плоскости проекций крайние образующие проецируются без искажения, так как они располагаются параллельно плоскостям проекций. Затем строят угол , который определяют по приведенной выше формуле, получают сектор, являющийся развернутой боковой поверхностью конуса. К любой точке дуги сектора пристраивается основание конуса. Развертку боковой поверхности конуса можно выполнить приближенно, разделив окружность основания конуса на 12 равных частей и отложив по дуге радиуса 12 хорд. Далее построение ведут, как описано выше. Построение точки, лежащей на поверхности конуса 67 Точка А, лежащая на боковой поверхности конуса, задана фронтальной проекцией А2 (рисунок 70), требуется построить ее горизонтальную и профильную проекции. В данном случае для построения проекций точки А используют вспомогательную плоскость проходящую через точку А параллельно основанию конуса. Плоскость пересечет конус по окружности радиуса r, фронтальная проекция этой окружности изобразится отрезком, заключенным между крайними образующими. Горизонтальная проекция этой окружности изобразится в окружность радиуса r. Опустив на эту окружность линию связи из точки А 2, получим две горизонтальные проекции точки А (А1), (видимая и невидимая). Видимой будет та точка, проекция которой находится ниже диаметра 1 2, невидимая – проекция которой находится выше диаметра 1 2. Горизонтальную проекцию точки А можно построить с помощью вспомогательной образующей проведенной через вершину конуса S и точку А, построить ее проекции на горизонтальной и профильной плоскости проекций и по линии проекционной связи построить горизонтальную и профильную проекции точки А лежащей на этой образующей. Профильную проекцию А3 точки А строят с помощью линий проекционной связи, проведенных с горизонтальной и фронтальной проекций. Для построения точки А на развертке (рисунок 71) строят образующую (S5), на которой лежит эта точка. Для этого на дугу сектора переносят хорду, в данном случае хорду 3 5. Если хорда большая, то ее делят пополам или на три части и переносят на развертку частями. Чем меньше хорда, тем точнее построение. Построенную на развертке точку 5 соединяют с вершиной конуса S. Она будет образующей, на которой лежит точка А. Пересечение дуги окружности радиуса r, взятым с фронтальной проекции (рисунок 70), с образующей S5 определяет точку А лежащую на развертке конуса. Вопросы для самопроверки 1 Как проецируются боковые ребра прямой правильной призмы на фронтальную и горизонтальную плоскости проекций, если ее основание лежит в плоскости П1? 2 Как проецируется основание пирамиды на плоскость проекций П1, П2 и П3, если оно расположено в плоскости П1? 68 3 Где располагаются на профильной и горизонтальной проекциях крайние образующие фронтальной проекции конуса и цилиндра? 4 С помощью каких вспомогательных линий можно построить проекции точки, заданной одной проекцией на боковой поверхности конуса? 5 При каком положении боковое ребро пирамиды, стоящей на плоскости П1, проецируется в действительную величину на плоскость П2 или П3? 11 Пересечение многогранников проецирующей плоскостью Если многогранник рассечь плоскостью, то линия пересечения поверхности многогранника с плоскостью будет замкнутой плоской ломаной линией, т.е. многоугольником. Каждая вершина этого многоугольника есть точка, в которой плоскость пересекла его ребро. Каждая сторона многоугольника есть отрезок прямой линии, по которой плоскость пересекла грань многогранника. Значит для того, чтобы построить линию пересечения плоскости с поверхностью многогранника, необходимо построить линии пересечения плоскости с гранями. А это и есть построение линии пересечения двух плоскостей: секущей плоскости с плоскостью грани. Для построения линии пересечения двух плоскостей, т.е. одной стороны многоугольника, достаточно построить две ее точки. Этими точками будут точки пересечения прямой с плоскостью, где прямая – ребро многогранника. Итак, построение линии пересечения многогранника с плоскостью сводится к нахождению точек пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью. Затем эти точки соединяют отрезками и получают стороны многоугольника, лежащего в плоскости пересекающей многогранник. 11.1 Пересечение призмы проецирующей плоскостью На рисунке 71 изображена четырехугольная прямая призма. Призма пересечена фронтально – проецирующей плоскостью , которая задана следами 1 и 2. Требуется построить проекции сечения призмы плоскостью , действительную величину сечения и развертку боковой поверхности усеченной призмы. Будем считать, что плоскость отсекла верхнюю часть призмы, которую на проекциях и развертке изобразим тонкими линиями. Оставшуюся 69 (нижнюю) часть называют усеченной призмой и обводят сплошной основной линией. Так как плоскость перпендикулярна плоскости проекций П2, то она спроецируется на эту плоскость в прямую линию. На эту же линию спроецируется и фронтальная проекция сечения призмы плоскостью . Горизонтальная проекция сечения будет совпадать с основанием призмы, профильную проекцию сечения строят по линии проекционной связи. Ни на одной из трех плоскостей проекций сечение не проецируется в действительную величину, так как плоскость, в которой сечение лежит, не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Для того, чтобы построить действительную величину сечения, необходимо расположить сечение параллельно какой – либо плоскости проекций. На рисунке 71,а это выполнено способом плоскопараллельного перемещения (раздел 8.3). 70 Рисунок 71 Развертка поверхности усеченной призмы На рисунке 71,б показана развертка усеченной призмы. Сначала проводят прямую, на которой откладывают четыре отрезка, равных стороне основания (ширина грани), размер отрезка берется с горизонтальной проекции. Затем из полученных точек проводят прямые, перпендикулярные этой прямой. На проведенных перпендикулярах откладывают длины соответствующих усеченных ребер, которые измеряют на фронтальной или профильной проекции. Построенные точки соединяют отрезками и получают ломаную линию сечения. Затем пристраивают основание, а к одной из линий сечения – действительную величину сечения. 11.2 Пересечение пирамиды проецирующей плоскостью На рисунке 72 изображена правильная треугольная пирамида, основание которой лежит в плоскости П1. Пирамиду пересекает фронтально-проецирующая плоскость , которая задана следами 1 и 2. Требуется построить проекции сечения пирамиды плоскостью , действительную величину сечения и развертку боковой поверхности усеченной пирамиды. 71 На горизонтальную плоскость проекций основание проецируется без искажения, так как оно лежит в плоскости П1, а боковая поверхность проецируется в треугольники с искажением, так как они наклонены к плоскости П1. На фронтальной и профильной проекциях боковые грани тоже изобразились с искажением. На профильную плоскость проекций ребро пирамиды SC спроецировалось без искажения, так как оно параллельно плоскости П3. Поскольку плоскость пересекла все три ребра боковой поверхности пирамиды, то фигура сечения будет треугольником. На фронтальную плоскость проекций сечение проецируется в отрезок, совпадающий со следом плоскости 2, потому что лежит в плоскости , перпендикулярной к плоскости П2. Горизонтальную и профильную проекцию сечения стоят по линии проекционной связи. Ни на одной из трех плоскостей проекций сечение не проецируется в действительную величину, так как плоскость, в которой сечение лежит, не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Для того, чтобы построить действительную величину сечения, необходимо расположить сечение параллельно какой – либо плоскости проекций. На рисунке 72,а это выполнено способом плоскопараллельного перемещения (раздел 8.3). 72 Рисунок 72 Развертка поверхности усеченной пирамиды Для построения развертки поверхность пирамиды мысленно разрезают по одному из боковых ребер, трем сторонам нижнего основания и трем сторонам фигуры сечения и развертывают в одну плоскость (рисунок 72,б). Основания треугольников боковой поверхности расположатся как хорды по дуге, радиус которой равен длине бокового ребра пирамиды, проекции S3C3, так как оно на плоскость П3 спроецировалось без искажения. Произвольно выбирают вершину S развертки боковой поверхности пирамиды и радиусом равным длине ребра S3C3 описывают дугу. На проведенной дуге из произвольно выбранной точки откладывают три отрезка, равные сторонам основания пирамиды, получают точки А,С,В,А. Затем эти точки соединяют отрезками между собой и с вершиной S тонкими линиями. Боковая поверхность пирамиды разрезана по ребру А. От точек А,С,В,А к вершине S откладывают действительные длины величины соответствующих усеченных ребер пирамиды взятые с профильной проекций (на чертеже показаны засечками), получают точки 1,2,3,1. 12 Пересечение тел вращения проецирующей плоскостью 73 При пересечении тела вращения плоскостью контур пересечения будет представлять собой замкнутую кривую линию, форма которой зависит от формы тела вращения и положения секущей плоскости относительно оси вращения. Это может быть окружность, эллипс, парабола, гипербола, а также различные сложные сочетания кривых линий. Чтобы построить линию пересечения поверхности вращения с секущей плоскостью, необходимо построить ряд точек, которые будут принадлежать и поверхности тела вращения, и плоскости. Построение следует начинать с характерных точек. К таким точкам относятся: габаритные точки, определяющие наибольшие размеры линии пересечения по высоте и ширине; точки, лежащие на крайних образующих и образующих, проекции которых совпадают с осевыми линиями. По расположению этих точек можно представить характер искомой линии пересечения. Построив характерные точки, строят промежуточные точки, используя для этого в качестве вспомогательных линий прямые – образующие или окружности (меридианы и параллели). Строя линию пересечения, необходимо знать, по какой кривой пересекаются тела вращения – цилиндр, конус, шар и т.д. 12.1 Пересечение цилиндра проецирующей плоскостью Если прямой круговой цилиндр рассечь плоскостью, параллельной его основаниям, то в сечении будет - окружность. Если цилиндр рассечь наклонной плоскостью так, чтобы пересеклись все его образующие, то в сечении будет – эллипс. Если цилиндр рассечь плоскостью, параллельной оси вращения цилиндра, то в сечении будет – прямоугольник. На рисунке 73 изображен прямой круговой цилиндр. Цилиндр рассечен фронтально – проецирующей плоскостью , которая задана следами 1 и 2. Требуется построить проекции сечения цилиндра плоскостью , действительную величину сечения и развертку боковой поверхности усеченного цилиндра. Будем считать, что плоскость отсекла верхнюю часть цилиндра, которую на проекциях и развертке изобразим тонкими линиями. Оставшуюся (нижнюю) часть называют усеченной частью цилиндра и обводят сплошной основной линией. Так как плоскость перпендикулярна плоскости проекций П2, то она спроецируется на эту плоскость в прямую линию. На эту же линию спроецируется и фронтальная проекция сечения цилиндра (эллипс). Горизонтальная проекция сечения будет совпадать с 74 основанием цилиндра, профильную проекцию сечения строят по линии проекционной связи. Ни на одной из трех плоскостей проекций сечение (эллипс) не проецируется в действительную величину, так как плоскость, в которой сечение лежит, не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Для того, чтобы построить действительную величину сечения, необходимо расположить сечение параллельно какой – либо плоскости проекций. На рисунке 73,а это выполнено способом плоскопараллельного перемещения (раздел 8.3). Развертка поверхности усеченного цилиндра При построении развертки поверхности усеченного цилиндра сначала строят развертку боковой поверхности полного цилиндра, которая представляет собой прямоугольник. Высота прямоугольника равна высоте цилиндра. Длина прямоугольника равна длине окружности основания (2R), (рисунок 73,б). Построенные на боковой развертке поверхности цилиндра точки (раздел 10.1) соединяют от руки плавной кривой линией и обводят по лекалу. Далее пристраивают полное основание к любой образующей боковой поверхности снизу, а сверху – действительную величину сечения. 75 Рисунок 73 12.2 Пересечение конуса проецирующей плоскостью На рисунке 74 показаны примеры пересечения конуса плоскостями различного положения. Если прямой круговой конус рассечь плоскостью, параллельной основанию, то линия пересечения боковой поверхности конуса с плоскостью будет окружностью (рисунок 74, а). Если конус рассечь наклонной плоскостью так, чтобы пересеклись все его образующие, то линия пересечения боковой поверхности конуса с плоскостью будет эллипсом (рисунок 74, б). Если конус рассечь плоскостью, проходящей через его вершину, то линия пересечения боковой поверхности конуса с плоскостью будет треугольником (рисунок 74, в). Если конус рассечь плоскостью параллельной двум образующим, то боковая поверхность конуса пересечется этой плоскостью по гиперболе (рисунок 74, г). Если конус рассечь плоскостью параллельной одной образующей, то боковая поверхность конуса пересечется этой плоскостью по параболе (рисунок 74, д). 76 Рисунок 74 На рисунке 75 изображен прямой круговой конус. Конус рассечен фронтально – проецирующей плоскостью , которая задана следами 1 и 2. Требуется построить проекции сечения конуса плоскостью , действительную величину сечения и развертку боковой поверхности усеченного конуса. Будем считать, что плоскость отсекла верхнюю часть конуса, которую на проекциях и развертке изобразим тонкими линиями. Оставшуюся (нижнюю) часть называют усеченной частью конуса и обводят сплошной основной линией. Конус рассечен наклонной плоскостью, линия пересечения боковой поверхности конуса с плоскостью будет эллипсом. Так как плоскость перпендикулярна плоскости проекций П2, то она спроецируется на эту плоскость в прямую линию. На эту же линию спроецируется и фронтальная проекция сечения конуса (эллипс). По характерным точкам (1,2,3,4,5) строят горизонтальную и профильную проекции эллипса (раздел 10.2). Ни на одной из трех плоскостей проекций сечение (эллипс) не проецируется в действительную величину, так как плоскость, в которой сечение лежит, не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Для того, чтобы построить действительную величину сечения, необходимо расположить сечение параллельно какой – либо плоскости проекций. На рисунке 75,а это выполнено способом плоскопараллельного перемещения (раздел 8.3). 77 Рисунок 75 Развертка поверхности усеченного конуса Выполняя развертку боковой поверхности конуса, из произвольно взятой точки S радиусом, равным длине крайней образующей, взятым на ортогональных проекциях, проводят дугу (рисунок 75,б). По дуге от произвольно выбранной точки откладывают последовательно 12 хорд, взятых с горизонтальной проекции основания конуса. Все 12 точек на дуге соединяют с 78 вершиной S прямыми, которые являются дополнительными образующими, проведенными на поверхности конуса для построения сечения. Затем на каждой образующей, лежащей на развертке боковой поверхности, откладывают действительные длины усеченных образующих. Полученные точки соединяют плавной кривой линией от руки и обводят по лекалу. Затем к любой точке боковой поверхности пристраивают основание и действительную величину сечения. Вопросы для самопроверки 1 Какой геометрической фигурой является фигура сечения многогранника плоскостью, расположенной наклонно к его основаниям? 2 Какие линии получатся при пересечении конуса плоскостью, параллельной одной его образующей и параллельной двум его образующим? 3 Какая линия получится в пересечении цилиндра наклонной плоскостью, пересекающей все его образующие? 13 Взаимное пересечение поверхностей При выполнении различного рода чертежей часто приходится вычерчивать линии перехода между различными поверхностями. Для правильного их вычерчивания нужно уметь строить линии пересечения геометрических поверхностей. Общим способом построения проекций линии пересечения поверхностей, является нахождение проекций отдельных точек, принадлежащих этой линии. Для нахождения таких точек применяют вспомогательные поверхности – посредники. В качестве посредников чаще всего используют либо плоскости, либо сферы. 79 Рисунок 76 На рисунке 76 показаны поверхности Q и S, пересечены плоскостью – посредником . Плоскость пересекает поверхность Q по линии м, а поверхность S по линии n. Линии м и n пересекаются между собой в точках 1 и 2 общих для поверхностей Q и S, и следовательно принадлежащих линии их пересечения. Повторяя такие построения многократно, находят необходимое количество общих точек принадлежащих линии их пересечения. Сформулируем общее правило построения линии пересечения поверхностей: - выбирают вид вспомогательных поверхностей; - строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями; - находят точки пересечения построенных линий и соединяют их между собой. При построении точек линии пересечения поверхностей вначале находят те точки, которые называют характерными или опорными. 13.1 Применение вспомогательных секущих плоскостей Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения призмы с конусом вращения (рисунок 77). 80 Рисунок 77 Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают конус по окружности, а призму по прямым линиям. На пересечении этих окружностей и прямых линий находят точки искомой линии пересечения. В этом примере вначале найдены характерные точки линии пересечения: высшая точка 1 и нижние точки 2 и 3. Точка 1 определена с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости проходящей через верхнее ребро призмы и пересекающую конус по окружности. Точки 2 и 3 определены с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости проходящей через нижнюю грань призмы и пересекающую конус по окружности. Промежуточные точки 4 и 5 линии пересечения найдены при помощи горизонтальной плоскости . Полученные точки соединяют между собой с учетом видимости. Вопросы для самопроверки 1 Как строят линию пересечения двух поверхностей? 2 Какие вспомогательные поверхности удобно использовать при построении точек линии пересечения двух поверхностей? 3 В чем сущность способа вспомогательных секущих плоскостей в построении линии пересечения двух поверхностей. 81 14 Аксонометрические проекции При выполнении технических чертежей возникает необходимость построения их наглядных изображений. Для построения таких изображений применяют проекции, называемые аксонометрическими. Аксонометрические проекции обладают высокой наглядностью и поэтому применяются для построения конструкций сложных деталей и их составных частей. Метод аксонометрического проецирования состоит в том, что данный образ вместе с осями координат параллельно проецируется на некоторую плоскость, называемую аксонометрической плоскостью проекций. При этом предполагаем, что образ (предмет) находится в системе трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций П1, П2, П3 и вместе с ними параллельно спроецирован на некоторую плоскость . Направление проецирование S при этом не должно быть параллельно ни одной из плоскостей проекций. Графически это представлено на рисунке 78. Оси О0Х0, О0У0, О0Z0 называются аксонометрическими осями координат, проекции образа на аксонометрической плоскости – аксонометрическими проекциями: - А0 – первичная (основная) проекция точки А; - А10, А20, А30 – вторичные проекции точки А (горизонтальная, фронтальная, профильная). Отрезки О0АХ0, О0АУ0, О0АZ0 по аксонометрическим осям в сравнении с их действительной величиной ОАХ, ОАУ, ОАZ, получили искажение, выражаемое отношениями: КХ= О0АХ0 / ОАХ; КУ= О0АУ0 / ОАУ; КZ= О0АZ0 / ОАZ. 82 Рисунок 78 Отвлеченные числа КХ, КУ, КZ характеризующие это отношение, называются коэффициентами искажения по аксонометрическим осям О0Х0, О0У0, О0Z0. В зависимости от соотношения между коэффициентами искажения по аксонометрическим осям аксонометрические проекции делятся на три вида: 1 Изометрические – все три коэффициента искажения равны между собой: КХ= КУ= КZ; 2 Диметрические – два коэффициента искажения одинаковы, а третий не равен им: КХ= КZ КУ; 3 Триметрические – все три коэффициента искажения различны: КХ КУ КZ. В зависимости от направления проецирования S, аксонометрические проекции делятся на прямоугольные и косоугольные – в первом случае направление проецирования составляет с картинной плоскостью прямой угол. ГОСТ 2.317-69 устанавливает следующие виды аксонометрических проекций: - прямоугольные (изометрия, диметрия); - косоугольные (фронтальная, горизонтальная, изометрические и диметрические). Прямоугольная изометрия Положение аксонометрических осей показано на рисунке 79. Коэффициенты искажения по осям: КХ= КУ= КZ=К= 0,82. 83 На практике при построении аксонометрических проекций пользуются не действительными коэффициентами искажения, а приведенными К=1, что упрощает построение и изображение получается увеличенным в 1,22 раза. Рисунок 79 Изображениями окружностей, лежащих в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, являются эллипсы. Их положение, размеры большой и малой осей при К=1 показаны на рисунке 80. Где D- номинальный диаметр изображаемой окружности. Большая ось эллипса перпендикулярна той оси проекций, на которой перпендикулярна плоскость окружности. Рисунок 80 84 На рисунке 81 показано построение точки А в изометрии по ортогональному чертежу. Сначала строят вторичную проекцию точки А на плоскости ХОУ. Для этого от начала координат по оси ОХ откладывают координату ХА (рисунок 81,б), получают вторичную проекцию точки АХ. Из этой точки параллельно оси ОУ проводят прямую и на ней откладывают координату УА. Построенная точка А1 на аксонометрической плоскости будет вторичной проекцией точки А. Проведя из точки А1 прямую, параллельную оси ОZ, откладывают координату ZА и получают точку А, т.е. аксонометрическое изображение точки А. Рисунок 81 В аксонометрических проекциях линии штриховки в каждой плоскости сечения проводят в определенных направлениях: параллельно одной из диагоналей проекций квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях и стороны которых параллельны аксонометрическим осям. На рисунке 82 показана штриховка в изометрии. Рисунок 82 85 Прямоугольная диметрия Положение аксонометрических осей показано на рисунке 83. Рисунок 83 Коэффициенты искажения по осям: КХ= КZ= 0,94; КУ= 0,47. На практике при построении аксонометрических проекций пользуются не действительными коэффициентами искажения, а приведенными КХ=КZ=1 и КУ=0,5, что упрощает построение и изображение получается увеличенным в 1,06 раза. Изображениями окружностей, лежащих в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, являются эллипсы, расположение которых и размеры их осей показаны на рисунке 84. На рисунке 85 показано построение точки А в прямоугольной диметрии по ортогональному чертежу. При построении прямоугольной диметрии необходимо помнить, что действительные размеры откладывают только на осях ОХ и ОZ или на параллельных им линиях. Размеры по оси ОУ и параллельно ей откладывают с коэффициентом искажения 0,5. 86 Рисунок 84 Рисунок 85 На рисунке 86 показана штриховка в диметрии. 87 Рисунок 86 14.1 Построение аксонометрических проекций плоских фигур Треугольник, квадрат, прямоугольник и другие многоугольники, окружности и т.д. являются частями геометрических фигур и технических форм деталей машин. Поэтому возникает необходимость построения их аксонометрических изображений, которое начинается с проведения аксонометрических осей и применение приведенных коэффициентов искажения. На рисунке 87 двумя проекциями задан шестиугольник АБВГДЕ. Для построения его аксонометрического изображения применено внутреннее координирование – аксонометрические оси совмещены с осями симметрии шестиугольника. Изометрическую проекцию (рисунок 88,а) строят следующим образом: - на оси Х от центра координат откладываем отрезок ХА, величина которого взята на рисунке 87, что определяет положение двух вершин А и Г; - на оси У откладываем в обе стороны отрезок УВ, определяем положение точек М и N; - через точки М и N проводим прямые, параллельные оси Х, и отложив от них отрезок ХD находят отдельные вершины шестиугольника. Диметрическую проекцию шестиугольника строят подобным образом, лишь с той разницей, что по оси У откладывается отрезок равный 0,5УВ, так как приведенный коэффициент искажения по этой оси КУ= 0,5 (рисунок 88,б). 88 Рисунок 87 Рисунок 88 14.2 Построение геометрических образов аксонометрических проекций Сложная форма детали при внимательном анализе может быть расчленена на простейшие геометрические формы. Следовательно, построение геометрического изображения детали сводится к выполнению аксонометрического изображения этих форм с учетом их взаимного расположения. 89 На рисунке 89 показано построение шестиугольной призмы в прямоугольной диметрии по ортогональному чертежу. Построение изображения выполнено следующим образом: при построении использовано внутреннее координирование (оси Х, У совмещены с осями симметрии основания, а ось Z – с осью призмы), построена вторичная аксонометрическая проекция основания призмы А1В1С1D1E1F1 по правилам, показанным на рисунке 88. Из вершин основания проведены равные по длине прямые линии – ребра, после соединения которых получено верхнее основание. Видимая часть изображения обводится основной линией. Рисунок 89 Вопросы для самопроверки 1 Что такое аксонометрия? 2 Как получается аксонометрический чертеж? Какую проекцию называют вторичной? 3 Что такое коэффициент искажения? 4 Какие виды аксонометрии вы знаете? 5 Как располагаются оси прямоугольной изометрии? Чему равны натуральные и приведенные коэффициенты искажения в прямоугольной изометрии? 6 Каков масштаб изображения в стандартной прямоугольной изометрии? 90 7 Как располагаются оси прямоугольной диметрии? Чему равны натуральные и приведенные коэффициенты искажения в прямоугольной диметрии? 8 Каков масштаб изображения в стандартной прямоугольной диметрии? 9 Сформулируйте правило выбора направления большой оси эллипса – прямоугольной аксонометрии окружности, расположенной в координатной плоскости или плоскости, ей параллельной? 10 Чему равны большая и малая оси эллипса в прямоугольной изометрии? В прямоугольной диметрии? 91 Литература 1. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. - М.:Наука, 1987.-368 с. 2. Фролов С.А. Начертательная геометрия.- М.:Высш. шк., 1983.- 443 с. 3. Чекмарев А.А. Инженерная графика.- М.:Высш. шк., 1988.334 с. 4. Кондрашев А.И. Начертательная геометрия.-Омск, 1973.-75 с. 5. Лагерь А.И., Колесникова Э.А. Инженерная графика.М.:Высш. шк., 1985.- 176 с. 6. Миронова Р.С., Миронов Б.Г. Черчение. М.:Высшая школа, 1991.- 288 с. 92
