Решения 2

Пример решения заданий студенческой интернет-олимпиады 2014 (2 курс).
1. Пусть A и B - матрицы размерности 3 2 и 2 3 соответственно, такие, что
 16 4  4 


произведение A B равно  4 10 8  . Найти произведение B  A .
  4 8 10 


Решение. Заметим, что
 16 4  4   16 4  4   288 72  72 

 
 

 A  B    A  B    4 10 8    4 10 8    72 180 144  
  4 8 10    4 8 10    72 144 180 

 
 

 16 4  4 


 18   4 10 8   18 A  B
  4 8 10 


Таким образом, ( A  B)  ( A  B)  18( A  B) .
Преобразуем предыдущее равенство, умножив обе части этого равенства слева на
матрицу A , левую обратную к A , а справа на матрицу B , правую обратную к B :
A  ( A  B)  ( A  B)  B  A  18( A  B)  B
 A  A  B  A  B  B  18 A  A  B  B
E  B  A  E  18 E  E.
Т.е. A  B  18E .
2. Найти наименьшее значение a, при котором сумма 204 n  a  199 n делится на 2015
при всех нечетных n.
Решение. Число 2015 можно разложить на множители 5 и 403. Сумма 204 n  a  199 n
будет делиться на 2015, если она будет делиться на 5 и на 403.
Преобразуем исходную сумму:
204 n  a 199 n  199  5n  a 199 n  5k  199 n  a 199 n  5k  (a  1) 199 n .
Поскольку 5 и 199 взаимно простые числа, то исходная сумма будет делиться на 5,
если a  1 будет кратно 5, т.е. a  5 p  1.
С другой стороны,
204 n  a 199 n  403  199 n  a 199 n  403t  199 n  a  199 n  403t  (a  1) 199 n .
Таким образом, поскольку 403 и 199 взаимно простые числа, исходная сумма будет
делиться на 403, если a  1 будет кратно 403, т.е. a  403s  1 .
Равенство 5 p  1  403s  1 возможно при наименьшем значении s  1. Таким
образом, наименьшее значение a , при котором сумма 204 n  a  199 n делится на 2015,
равно 404.
3. Функция f (x) непрерывна на отрезке [0;1] и дифференцируема в промежутке
(0;1) . Известно, что функция f (x) удовлетворяет условию 6 f ( x 5 )  f 2 ( x 7 )  9 .
Докажите, что на (0;1) существует точка c такая, что f (c)  0 .
Решение. При x  0 неравенство 6 f ( x 5 )  f 2 ( x 7 )  9 примет вид
6 f (0)  f 2 (0)  9 
 f (0)  32  0

f (0)  3.
Аналогично, при x  1 неравенство 6 f ( x 5 )  f 2 ( x 7 )  9 примет вид
6 f (1)  f 2 (1)  9 
 f (1)  32  0

f (1)  3.
Т.е. на отрезке для функции выполнены условия теоремы Ролля, следовательно,
В интервале (0;1) существует точка c такая, что f (c)  0 .

4. Вычислить
3


5 x11  3x 7  2 x  3tg 6 x
dx .
cos 2 x
3
Решение.



3 5 x  3x  2 x
3 tg 6 x
5 x  3 x  2 x  3tg x
dx  
dx  3 
dx

2
cos2 x
cos2 x


 cos x
3

11
7
6
11

3
7

3
3
Первый интеграл в полученной разности равен 0 как интеграл от нечетной функции по
симметричному относительно 0 промежутку.



3
tg 6 x
tg 7 x 3
2 7  54 3
6
dx

tg
x
d
(
tgx
)


tg

.


2
7
7
3
7
cos
x






3
3
3
3
Таким образом,

5 x11  3x 7  2 x  3tg 6 x
162 3
dx  
.

2
7
cos x

3

3
5. Найти расстояние между графиками y 
1
log 5 x и y  52014 x .
2014
Решение. Поскольку функции взаимно обратны, то их графики симметричны
относительно прямой y  x . Следовательно, расстояние между графиками равно
удвоенному расстоянию от одного из графиков, например, y  52014 x , до прямой
y  x . Найдем на графике функции y  52014 x точку x0 , расстояние от которой до
прямой y  x минимально. Это та точка, касательная в которой параллельна прямой
y  x , т.е. угловой коэффициент касательной равен 1:
k 1 
y( x0 )  1 .
Получаем уравнение относительно x0
1
2014 ln 5  5
2014 x0
1 

ln 2014 ln 5 
1
.
x0  
ln 2014 ln 5, y ( x0 )  5 2014
2014
Расстояние от найденной точки до прямой x  y  0 равно
1
1

ln 2014 ln 5 

ln 2014 ln 5  
1
1
2  1
,
2014
2014

ln 2014 ln 5  5


ln 2014 ln 5  5


2
2014
2 2014


расстояние между графиками функций равно
1
 1

ln 2014 ln 5  
.
2 
ln 2014 ln 5  5 2014
 2014



1


x x
3
2
6
6. Вычислить lim  x  x    e  x  1 .
x   
2


1


x x
3
2
6

Решение. lim  x  x    e  x  1    .
x   
2


Используя разложение в ряд Маклорена функций y  e x и
y  (1  x)
1
2,
получим:
1
1
1



x x
x x
1  2


3
2
6
3
2
3
lim  x  x    e  x  1  lim  x  x    e  x 1  6   
x   
2
2
 x  
 x   


x  1
1
1
1
1
3




 lim  x 3  x 2    1   2
 3  ...  x 3 1  6  12
 3

...
 
x   
2   x x  2! x  3!
4 x  2! 2  3!x18

 2x

x
1 x 1 1 1

 1
 lim  x 3  x 2   x 2  x       o( x)  x 3  o( x)  
x  
2
2 2 2 x 6
 6
7. Функция y  y(x) является решением дифференциального уравнения y  
1
начальным условием y (0)  1 . Пусть y (1)  a . Вычислить
x
2
y( x)dx .
0
Решение.
1
1
  
1
1 3
3
 x y ( x)dx  3  y ( x) d x  3 x  y ( x)
0
0
2
1

0
11 3
  x  y( x)dx 
30
1
1 1 x3
a 1 1 
y 5 
 y (1)   3
dx    1  3
dx 
5
5
3
30 x  y
3 3 0 x  y 
1
a x
11 5
a 1 1a 5
a  1 a6  1
 
  y  ydx     y dy 

.
3 3
30
3 3 31
3
18
0
1
с
x  y5
3
x
8. Решить уравнение y( x)   y(t ) cos( x  t )dt  sin x .
0
Решение. Преобразуем правую часть исходного равенства, а затем
продифференцируем обе части равенства два раза по :
x
y ( x)   y (t )(cos x  cost  sin x  sin t )dt  sin x;
0
x
x
0
0
y ( x)  cos x   y (t )  costdt  sin x   y (t )  sin tdt  sin x;
x
x
y( x)   sin x   y (t )  costdt  y ( x) cos x  cos x   y (t )  sin tdt  y ( x) sin 2 x  cos x;
2
0
x
0
x
y( x)   sin x   y (t )  costdt  cos x   y (t )  sin tdt  y ( x)  cos x;
0
x
0
y( x)   cos x   y (t )  costdt  y ( x)  sin x  cos x 
0
x
 sin x   y (t )  sin tdt  y ( x)  sin x  cos x  y( x)  sin x;
0
x
x
0
0
y( x)   cos x   y (t )  costdt  sin x   y (t )  sin tdt  y( x)  sin x
Учитывая значение y (x) , получаем уравнение
y   y  y ,
решение которого имеет вид:

3
3
 .
y  e 0,5 x  c1  cos
 c2  sin
2
2

