C 2 № 1. Решение. найдите угол между медианой грани

C 2 № 1. В правильном тетраэдре
плоскостью
Решение.
найдите угол между медианой
Пусть, ребро тетраэдра
— высота грани
средняя линия треугольника
Тогда
вательно,
— искомый.
Кроме того,
грани
— центр треугольника
значит,
и
—
и, следо-
откуда
Далее имеем:
Ответ:
C 2 № 2. В правильном тетраэдре
дианой
боковой грани
.
Решение.
, значит,
найдите угол между высотой тетраэдра
Пусть и
— средняя линия треугольника
и, следовательно,
. Кроме того,
.
Пусть длина ребра тетраэдра равна , тогда имеем:
и ме-
. Тогда
Ответ:
.
C 2 № 3. В кубе
мой
Решение.
Проведем отрезок
все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки до пря-
и опустим перпендикуляр
Искомое расстояние равно высоте
на
прямоугольного треугольника
с прямым углом
Ответ:
C 2 № 4. Дан куб
ны отрезка
до плоскости
Решение.
Длина ребра куба равна Найдите расстояние от середи-
Пусть — середина
— середина
значит,
Кроме того,
следовательно, плоскость
Опустим перпендикуляр
из точки на прямую
кроме этого,
(так как лежит в плоскости
), следовательно,
и является искомым расстоянием.
Искомый отрезок
углом
Поэтому
является высотой прямоугольного треугольника
с прямым
Ответ:
C 2 № 5. Точка
ми
и
.
Решение.
— середина ребра
Примем ребро куба за единицу. Тогда
Прямая
параллельна прямой
Из прямоугольного треугольника
куба
. Найдите угол между прямы-
.
, значит, искомый угол равен углу
.
с прямым углом имеем:
,
тогда
Ответ также может быть представлен в следующем виде:
или
Ответ:
.
C 2 № 6. Точка — середина ребра
куба
куба плоскостью
, если ребра куба равны 2.
Решение.
мая
стью
пересекает ребро
.
Прямая
пересекает прямую
в точке . Пряв его середине — точке .
— сечение куба плоско-
В равнобедренный треугольник
подобен треугольнику
и высота
Поскольку
. Найдите площадь сечения
,
.
— средняя линия треугольника
, получаем:
Ответ: 4,5.
C 2 № 7. На ребре
куба
дите угол между прямыми
Решение.
отмечена точка так, что
и
.
. Най-
Примем ребро куба за . Тогда
Поскольку
Проведем через точку
причем треугольники
ним).
, получаем:
и
.
.
прямую, параллельную
. Она пересекает ребро
в точке ,
и
равны. Искомый угол равен углу
(или смежному с
В прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике
с прямым углом
с прямым углом
В треугольнике
откуда
Тогда
Ответ может быть представлен и в другом виде:
Ответ:
или
.
C 2 № 8. На ребре
куба
дите угол между прямыми
Решение.
отмечена точка так, что
и
Най-
Примем ребро куба за
Поскольку
Проведем через точку
причем треугольники
ним).
получаем:
В прямоугольном треугольнике
откуда
и
прямую, параллельную
Она пересекает ребро
в точке
и
равны. Искомый угол равен углу
(или смежному с
В прямоугольном треугольнике
В треугольнике
Тогда
с прямым углом
с прямым углом
тогда
Ответ может быть представлен и в другом виде:
или
Ответ:
C 2 № 9. Точка — середина ребра
ми
и
.
Решение.
через точку
, причём
куба
. Найдите угол между прямы-
Примем ребро куба за единицу. Тогда
. Проведём
прямую, параллельную
. Она пересекает продолжение ребра
в точке
. Искомый угол равен углу
В прямоугольном треугольнике
(или смежному с ним).
с прямым углом
В прямоугольном треугольнике
с прямым углом
В треугольнике
откуда
а тогда
.
Ответ:
.
C 2 № 10. Точка — середина ребра
куба
куба плоскостью
если ребра куба равны
Решение.
Найдите площадь сечения
Прямая
костью
пересекает ребро
В равнобедренном треугольнике
Прямая
пересекает прямую
в точке .
в его середине — точке
— сечение куба плос-
имеем
и высота
Поскольку
Ответ:
— средняя линия треугольника
получаем:
C 2 № 11. Длины ребер
равны соответственно
Решение.
как
угольника
то
откуда
и
и
прямоугольного параллелепипеда
Найдите расстояние от вершины до прямой
Опустим из точки перпендикуляр
на прямую
Так
а, значит, отрезок
― высота прямоугольного треДалее находим:
Ответ: 12.
C 2 № 12. Длины ребер BC, BB1 и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
равны соответственно 8, 12 и 9. Найдите расстояние от вершины D1 до прямой A1C.
Решение.
как
то
угольника A1CD1, откуда
Ответ:
Опустим из точки D1 перпендикуляр D1E на прямую A1C. Так
а, значит, отрезок D1E ― высота прямоугольного треДалее находим: