- Математика для всех!

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Лицей №180
Ленинского района г.Н.Новгорода
Научное общество учащихся
Решение задач с помощью
теории сравнений.
Выполнил: Соловьёв Илья,
ученик 7«В» класса
Научный руководитель:
Калинина Е.А.,
Учитель алгебры, геометрии
Н.Новгород 2014
2
Содержание.
Стр.
Введение ...……………………………………………….……………………
3
ГЛАВА 1. Основное понятие «Теория сравнений» ………………………
5
1.0.1. Определение …………………………………………
5
1.0.2. Обозначение ………….……………………………...
5
1.0.3. Примеры ……….…………………………………….
5
1.1. Свойства сравнений ………………………..…………………..
6
1.2. Леммы ……………………………………….………………….
7
1.3. Свойства сравнений, связанные с делением ….……………...
7
ГЛАВА 2. Задачи на тему «Теория сравнений»…………………………....
8
2.1. Задача №1 ………………………………………..……………...
8
2.2. Задача №2 ………………………………………..……………...
8
2.3. Задача №3 ……………………………………....……………....
9
2.4. Задача №4 ………………………………………………………
9
2.5. Задача №5 ……………………………………………………… 10
2.6. Задача №6 ……………………………………………………… 11
2.7. Задача №7 ……………………………………………………… 12
Заключение ..………………………………………………………………..… 13
Источники ..…………………………………………………………………... 14
3
Введение
Меня заинтересовала тема «Решение задач с помощью теории
сравнений», потому что теория сравнений применяется в школьном курсе по
алгебре, и способ решения задач с помощью сравнений намного короче и
удобней, чем обычное решение.
Методы теории сравнений широко применяются в различных областях
науки, техники, экономики.
В астрономии теория сравнений применяется в устройстве телескопа.
Чтобы картинка отражалась без искажений, при создании телескопа ученые
делают расчёты с помощью теории сравнений.
Также в технических механизмах применяется теория сравнений. В
устройстве токарных станков при расчёте диаметров шестерёнок, при
налаживании скоростей, для создания многих других деталей и систем станка
применяется теория сравнений.
4
Даже в обыкновенных очках применяется теория сравнений. Чтобы
изображение было равномерным, расстояние в некоторых местах должно
быть одинаковым и, чтобы его выровнять используют теорию сравнений.
При строительстве зданий широко используются башенные краны, но и
в системе башенных кранов надо точно всё рассчитать и при расчете всех
движений крана используется теория сравнений.
Я выбрал тему «Теория сравнений», потому что теория сравнений
широко применяется в различных технологиях и вещах и также решение с
помощью теории сравнений является короче, чем обычное решение.
Раздел алгебры «Теория сравнений» занимает важное место в
образовании математиков, физиков и других специалистов. Я хочу изучить
основу теоретического материала и рассмотреть задачи.
В моей работе раскрываются основные понятия теории сравнений и
свойства сравнений. Также приводятся примеры решения задач, которые
решаются с помощью сравнений.
Изложение теоретического материала иллюстрируется большим
количеством примеров.
5
ГЛАВА 1.
1.Основное понятие «Теория сравнений»
Понятие теория сравнений было введено впервые Карлом Гауссом.
Несмотря на свою кажущуюся простоту, это понятие очень важно и имеет
много приложений.
Определение: два целых числа a и b называются сравнимыми по
модулю натурального числа n тогда и только тогда, когда (a-b) нацело
делится на n, т.е. a и b имеют одинаковые остатки при делении на n.
Обозначение: a ≡ b(mod n).
Таким образом, сравнение представляет собой соотношение между
тремя числами. a и b называются левой и правой частями сравнения.
Примеры:
1≡3(mod 2)
9≡0(mod 3)
-12≡3(mod 5)
13≢−5 (mod 4)
6
1.1. Свойства сравнений
Для любых целых a, b и c, и натурального n
1) (рефлексивность) a ≡ a(mod n);
12≡12(mod 3)
3
1.5≡ (mod 20)
2
2) (симметричность) если a ≡ b(mod n), то b ≡ a(mod n);
5≡17(mod 4)
17≡5(mod 4)
30≡23(mod 7)
23≡30(mod 7)
3) (транзитивность) если a ≡ b(mod n) и b ≡ c(mod n), то a ≡ c(mod n);
5≡16(mod 4), 16≡9(mod 4) значит 5≡9(mod 4)
2≡34(mod 8), 34≡26(mod 8) значит 2≡26(mod 8)
Если a ≡ b(mod n) и c ≡ d(mod n), то:
1≡3(mod 2), 7≡5(mod 2)
4) (сложение) a+c ≡ b+d(mod n);
1+7≡5+3(mod 2), 8≡8(mod 2)
5) (вычитание) a–c ≡ b–d(mod n);
1-7≡5-3(mod 2), -6≡2(mod 2)
в частности, a+k ≡ b+k(mod n), где k – целое число.
6) (умножение) ac ≡ bd(mod n);
1*5≡7*3(mod 2), 5≡21(mod 2)
15 ≡35 (mod 2) 1≡243(mod 2)
в частности, ka ≡ kb (mod n), где k – целое число.
7) (возведение в степень) 𝑎𝑚 ≡ 𝑏 𝑚 (mod n), где m – натуральное число
15 ≡35 (mod 2) 1≡243(mod 2)
7
1.2. Леммы
При различных целых a и b, и натуральном m
1) (am – bm)( a – b)
При целых a и b, в сумме не дающих 0, и натуральном нечётном m
2) (am + bm)( a + b)
1.3. Свойства сравнений, связанные с делением
a b
n
 (mod )
k , если a, b и n делятся на натуральное число k;
1) k k
18 6
4
 (mod )
2 2
2 9≡3(mod 2)
2)
a b
 (mod n)
k k
, если
60 12
 (mod 8)
6
6
a и b делятся на целое число k, взаимно простое с n;
10≡2(mod 8)
n
a  b(mod )
k , если n делится на натуральное число k.
3)
4
18  6(mod )
2
18≡6(mod 2)
8
ГЛАВА 2.
2. Задачи на тему «Теория сравнений»
Задача №1
Число a при делении на 8 даёт в остатке 3, а число b при делении на 8
даёт в остатке 5. Какой остаток получится при делении числа ab на 4?
Решение.
a≡3(mod 8)
b≡5(mod 8)
ab≡3x5≡15(mod 8) – свойство сравнений
Так как ab≡15(mod 8),то и ab≡15(mod 4)
ab≡15≡3(mod 4)
Значит ab при деление на 4 даёт остаток 3(по определению)
Ответ: ab при деление на 4 даёт остаток 3.
Задача №2
Числа a, b, c – натуральные. a+b+c делится на 6. Доказать, что
𝑎3 +𝑏 3 +𝑐 3 делится на 6.
Решение.
a + b + c ≡ 0(mod 6) так как делится без остатка на 6
𝑎3 +𝑏 3 +𝑐 3 ≡ a+b+c(mod 6) – свойство сравнений (возведение в степень)
𝑎3 +𝑏 3 +𝑐 3 ≡ 0(mod 6)
9
Задача №3
Найдите остаток от деления числа 20142014 на 13.
Решение.
20142014 ≡ ? (mod 13)
20142014 ≡ −12014 (mod 13) так как 2015 нацело делится на 13
20142014 ≡ 12014 (mod 13) так как любое отрицательно число в четной
степени будет положительное.
20142014 ≡ 1 (mod 13)
Тоесть число 20142014 при делении на 13 дает остаток 1.
Задача №4
Найдите остаток от деления числа 20142014 на 11.
20142014 ≡ ? (mod 11)
Решение.
20142014 ≡ 12014 (mod 11) так как 2013 без остатка делится на 11.
20142014 ≡ 1 (mod 11) так как 1 в любой степени равно 1.
Тоесть число 20142014 при делении на 11 дает остаток 1.
10
Задача №5
Доказать что при любом натуральном n число 122𝑛+1 + 11𝑛+2 делится
на 133.
Решение.
Мы имеем 122𝑛+1 = 12 * 122𝑛 = 12 * 144𝑛
Но 144 ≡ 11 (mod 133)
Значит 144𝑛 ≡ 11𝑛 по свойству сравнений (возведение в степень)
Умножая на 12, получаем 12 * 144𝑛 ≡ 12 * 144𝑛 по свойству сравнений
(умножение)
Так что 122𝑛+1 ≡ 12 * 11𝑛 (mod 133)
Далее 11𝑛+2 ≡ 121* 11𝑛 (mod 133)
А так 121 ≡ -12 (mod 133) , то 121 * 11𝑛 ≡ -12 * 11𝑛 (mod 133)
Тоесть 11𝑛+2 ≡ -12 * 11𝑛
Складывая сравнения
122𝑛+1 ≡ 12 * 11𝑛 (mod 133) по свойству сравнений (сложение)
11𝑛+2 ≡ -12 * 11𝑛 (mod 133) по свойству сравнений (сложение)
Получаем 122𝑛+1 + 11𝑛+2 ≡ 0 (mod 133)
Значит число 122𝑛+1 + 11𝑛+2 делится на 133.
11
Задача №6
Доказать, что если 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 делится на 9, то хотябы одно из чисел
𝑎2 − 𝑏 2 , 𝑎2 − 𝑐 2 , 𝑏 2 − 𝑐 2 делится на 9.
Решение.
Мы имеем
Если n ≡ 0 (mod 9), то 𝑛2 ≡ 0 (mod 9)
Если n ≡ 1 (mod 9), то 𝑛2 ≡ 1 (mod 9)
Если n ≡ 2 (mod 9), то 𝑛2 ≡ 4 (mod 9)
Если n ≡ 3 (mod 9), то 𝑛2 ≡ 9 ≡ 0 (mod 9)
Если n ≡ 4 (mod 9), то 𝑛2 ≡ 16 ≡ 7 (mod 9)
Если n ≡ 5 (mod 9), то 𝑛2 ≡ 25 ≡ 7 (mod 9)
Если n ≡ 6 (mod 9), то 𝑛2 ≡ 36 ≡ 0 (mod 9)
Если n ≡ 7 (mod 9), то 𝑛2 ≡ 39 ≡ 4 (mod 9)
Если n ≡ 8 (mod 9), то 𝑛2 ≡ 64 ≡ 1 (mod 9)
Итак, каково бы ни было целое число n, число 𝑛2 может иметь при делении
на 9 только остатки 0, 1, 4, 7.
Обозначим через r1, r2, r3 остатки, которые дают при делении на 9 числа 𝑎2 ,
𝑏 2 , 𝑐 2 , так что
𝑎2 ≡ r1 ( mod 9), 𝑏 2 ≡ r2 (mod 9), 𝑐 2 ≡ r3 (mod 9).
Складывая эти сравнения, получаем:
𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ≡ r1 + r2 + r3 (mod 9).
А так как по условию 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 делится на 9, то есть 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ≡ 0
(mod 9), то r1 + r2 + r3 ≡ 0 (mod 9). Но каждое из чисел r1, r2, r3 может
принимать лишь значения 0, 1, 4, 7. Легко видеть поэтому, что сумма r1 + r2 +
r3 может делиться на 9 лишь в следующих случаях:
12
1) r1 = r2 = r3 = 0;
2) одно из чисел r1, r2, r3 равно 1, а два других равны 4;
3) одно из чисел r1, r2, r3 равно 7, два других равны 1;
4) одно из чисел r1, r2, r3 равно 4, два других 7.
Во всех случаях среди чисел r1, r2, r3 найдутся два одинаковых, то есть какиенибудь два из чисел 𝑎2 , 𝑏 2 , 𝑐 2 имеют одинаковые остатки при делении на 9.
Значит, хотя бы одна из разностей 𝑎2 − 𝑏 2 , 𝑎2 − 𝑐 2 , 𝑏 2 − 𝑐 2 делится на 9.
Задача №7
Доказать, что 𝑛3 +2n делится на 3 при любом натуральном n.
Решение: Переберем все возможные остатки n от деления на 3 (перебор всех
остатков действительно является полным решением!). Составим таблицу, в
первом столбце которой поместим остатки по модулю 3
𝑛3
N
2n
𝑛3 +2n
0
0
0
0
1
1
2
0
2
2
1
0
В последнем столбце стоят одни нули, значит, при любом n (поскольку
любое n дает от деления на 3 остаток 0, 1 или 2) 𝑛3 +2n делится на 3 что и
требовалось доказать.
13
Заключение
Я рассмотрел основу теории сравнений и сделал много выводов. Мы
убедились что решение задач с помощью теории сравнений, в некоторых
случаях, намного проще и короче чем обычное решение. В решении задач с
помощью теории сравнений широко используются свойства сравнений и
леммы.
В данной работе достаточно полно изложены основные моменты
теории, они иллюстрируются примерами, которые позволяют глубже понять
рассматриваемые вопросы.
Так как я рассмотрел только основу теории сравнений, я хочу
продолжить моё изучение теории сравнений в следующей работе и изучить
её наиболее глубже. В следующей работе я собираюсь рассмотреть такие
темы, как: «Классы вычетов», «Системы вычетов», «Сравнения первой
степени», «Сравнения второй степени», «Системы сравнений» и другие.
Узнав глубже теорию сравнений, я смогу решать более сложные задачи и
доказывать теоремы.
Приведенный список литературы позволяет рассмотреть наиболее
интересующие или сложные моменты теории сравнений и их приложений.
Итак, мы можем отблагодарить Карла Гаусса, создателя теории
сравнений, за то, что он открыл целый раздел чисел и ещё один вариант
решения задач и множество теорем на тему теория сравнений. Несмотря на
то, что теории сравнений уже около 200 лет, она известна сейчас и широко
применяется во многих технологиях и вещах.
14
Источники
Литература:
1. Вейль А. «Основы теории чисел»
2. Виноградов И. М. «Основы теории чисел»
3. Виленкин Н. Я. «Сравнения и классы вычетов»
4. Журнал «Квант» — 1978г. — № 10. — Стр. 4—8
5. Вахитова Е.В. «Теория сравнений и ее приложения»
Сайты:
1. https://www.hse.ru/data/2011/09/29/1270027522/СравнениядиофантовыУравнения
2. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D1%F0%E0%E2%ED%E5%ED%E8%E5
_%EF%EE_%EC%EE%E4%F3%EB%FE
15