Связь между математикой и музыкой, между Пифагором и Бахом.

е
Связь между математикой и музыкой, между
Пифагором и Бахом.
Благодарная память единомышленников сохранила для человечества имя
Пифагора – выдающегося математика, творца акустики, основоположника
теории музыки, человека высокой нравственности, личности богатой,
загадочной. Слова мелодия , ритм родились в Элладе, название слова
«гамма» происходит от греческой буквы (гамма). Пифагорический
музыкальный старт, определивший на столетия судьбу европейской музыки –
это математика. Создание логарифмически равномерной 12-тонной
музыкальной школы – итог современной деятельности музыкантов и
математиков. В XVIII в. создается музыкальная акустика. После создания
точной математической теории струны, поняв, что любой музыкальный
инструмент – всего-навсего «физико-акустический прибор», музыку уже не
отделить от математики. Математическому анализу подлежат и звук, и тембр,
и лад, и гармония. Пифагор создал математическую теорию музыки, слушая,
как звучат медные чаши. Каждое настоящее искусство имеет свою теорию,
которую можно выразить в терминах математики. Математики, начиная с
Пифагора, постоянно проявляют интерес к музыке. Математическая теория
музыки явилась вообще первой теорией музыки у греков. Иоганн Себастьян
Бах первым продемонстрировал достоинства темперированного строя. Бах
сочинил 48 прелюдий и фуг во всех возможных тональностях, помещенных
в два сборника, которые называются «Хорошо темперированный клавир».
(Клавир – старинное название клавесина).
е
Целые дни юный Пифагор проводил у ног старца Гермодаманта, слушая
мелодии кифары, песни Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера
Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи великим мудрецом, окруженным
толпой учеников, Пифагор начинал день с пения песен Гомера. Одним из
четырех предметов в школе Пифагора была музыка, и Пифагора по праву
считают творцом акустики и основоположником теории музыки.
Арифметика – учение о количестве, выражаемое числом; музыка – учение,
которое рассматривает числа по отношению в звуке; благодаря счастливому
союзу, музыка получила прочный математический фундамент гамм и
универсальный язык нот. Согласно преданию, сам Пифагор обнаружил, что
приятные слуху созвучия – консонансы, т. е. созвучия, получаются лишь в
том случае, когда длины струн относятся как целые числа первой четверки, т.
е. как 1:2, 2: 3, 3:4. Именно это открытие впервые указывало на
существование числовых закономерностей в природе.
Закон целочисленных отношений в консонансах был открыт Пифагором.
Два закона легли в основу пифагорейской теории музыки:
З а к о н 1. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их
длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число.
10 = 1 + 2 + 3 + 4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4.
З а к о н 2. Четверка чисел 1, 2, 3, 4 – тетраэдр – лежит в основе
построения различных музыкальных ладов. Лады состоят из основных
ступеней. В основу гаммы пифагорейцы положили интервал октава –
восемь. Далее октаву разделили на благозвучные части, и Пифагор
обнаружил приятные слуху созвучия: квинта – пятая ступень, кварта –
четвертая, октава – восьмая. Основа всей музыки – тетрахора.
По преданию, в античном мире четыре струны настраивались по
тетраэдру. Музыкальная гамма до сих пор применяется при настройке
музыкальных инструментов. Пифагорейцы не только нашли строгие
математические построения музыкальных ладов, но заложили основу учения
о каждом ладе. Пифагорейцев интересовал музыкальный строй. И они
блестяще справились с задачей построения музыкальных ладов.
До – соль – ре – ля – ми – си – фа – полученные звуки собирались в октаву.
е
Чтобы научить правильному восприятию, чтобы выработать привычку к
соразмерности, Пифагор сделал музыку основой восприятия. Читал из
Гомера, перебирал струны, и с помощью музыки сдерживал и исцелял
болезни, обращал и приводил душевные страсти в спокойное состояние.
Судя по описаниям, это была особая музыка, она не соответствовала
привычным представлениям о мелодии. Она строилась на гармоничном
сочетании тонов, которые не связывались в определенную тему, но только
создавали чистый звуковой фон, способствующий сосредоточению и
уверенному течению мысли. Подобную музыку сейчас обозначают термином
new age – нью эйдж. И соединяет она шум моря, голоса птиц, звучание
старинных и просто странных инструментов.
е
Что мы знаем о Греции VI в. до н. э? Какие музыкальные инструменты
были у древних греков?
Мудрецы являлись властителями душ в конце VII – начале VI вв. до н. э.,
именно вера в могущество человеческого разума и одновременно
восхищение им определяли духовный климат этой эпохи, которую стали
называть «временем семи мудрецов». Называют их родину, имя, изречения:
«Мера важнее всего», - говорил Клебул Линдский; «Познай самого себя», проповедовал в Спарте Хилон; сдерживать гнев увещал Периандр, уроженец
Коринфа»; «Лишку ни в чем!», - была поговорка милетинца Питтака; «Кто
хочет править спокойно, пусть охраняет себя не копьями, а всеобщей
любовью», - говорил Периандр. Соломон Адгинский: «Наслаждение бренно
– честь бессмертна», «О мертвых хорошее или ничего».
Музыкальными инструментами древних греков были: флейта, труба, авлос
(духовые), лира, кифара (струнные).
Пифагор делил струну на три, четыре, пять равных частей. При этом он
получал разные по высоте звуки. Эти звуки он расположил по высоте. А
расстояние между нижним и верхним назвали октава, т. е. восемь. Внутри
октавы выстроились по порядку 8 звуков – ступенек. Этот ряд звуков –
звукоряд – получил название Пифагоров звукоряд. Шло время и в системе
Пифагора обнаружили неожиданные изъяны. И музыкант-ученый
Веркхмейстер решил немного подправить звукоряд. Чуть повысил одни
звуки, понизил другие, получив тем самым темперированный строй.
Величайший немецкий композитор Иоганн Себастьян Бах сочинил
величественный цикл прелюдий и фуг (48). С тех пор, как в музыке начали
применять инструменты с закрепленной (струной) высотой каждого звука, т.
е. клавишные инструменты (орган, клавесин, клавикорд), где каждой
клавише соответствует звук раз навсегда установленной постоянной высоты,
встал вопрос о способе настройки этих инструментов.
Еще древнегреческие ученые опытным путем установили, что 2/3
натянутой на монохорде струны, приведенной в колебание, дают звук на
чистую квинту выше основного тона, возникающего при колебании всей
струны. Квинта – это расстояние между пятью звуками. Именно по чистым
квинтам было принято настраивать органы и клавесины. Однако получалось,
что, начиная с «до», каждая 12-я квинта не совпадала по звучанию с
первоначальным звуком, а была выше (ход по квинтам: до – соль – ре – ля –
ми – си – фа – до – соль – ре – ля – ми – си – до и си – это одна и та же
клавиша, но в пифагорейском строе она издавала разный звук. Отдельные
квинты звучали фальшиво. Их называли «волчьи квинты». Позже, в конце
XVII в. – начале XVIII в., была изобретена равномерная темперация.
(Темперация означает «приводить в порядок».)
Сущность ее в следующем: установленную разницу в звучании, т. е. 1/9
тона, разделили между 12-ю квинтами, и каждую уменьшили на эту часть
тона. Этой разницы ( 1/108 тона) человеческий слух не улавливает. Теперь
е
стало возможным применять при игре на инструментах любые интервальные
сочетания, любые тональности.
Как назывался первый музыкальный инструмент Пифагора.
Первым музыкальным инструментом Пифагора был монохорд.
Инструмент под названием монохорд в переводе означает «однострун».
Монохорд – один из первых шагов на пути к рождению фортепиано. Ему
было суждено сыграть в истории музыки огромную роль. Именно он
является предком нынешнего фортепиано.
Как в дальнейшем изменялся монохорд.
Сначала к его единственной струне добавили еще одну, а затем стали
натягивать все большее число струн. Позднее играли на нескольких струнах.
Появился инструмент цилибалы, на Руси – гусли. В средние века (XIV в.)
знали и пользовались органом. Вот и пришла к кому-то в голову
замечательная мысль: приспособить клавиатуру к многострунному
монохорду. Так появились клавикорд, клавесин, а затем фортепиано.
Что означает буква «и» в имени Пифагора.
Пифагор – это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал
истину так же постоянно, как дельфийский оракул. Пифагор значит
«убеждающий речью». Этимология связывает наречение с культом Аполлона
Пифийского. Вторая буква в имени Пифагора («и» греческое) являет собой
графическое изображение выбора двух дорог: пути добродетели и пути
порока. Вплоть до средних веков было распространено выражение: «По
пифагоровой букве выбирать дорогу», т. е. выбирать достойный путь на
пересечении жизненных стезей. Пифагорова буква «и» (греческая) есть в
гербе города Саратова.
е
Какие слова Пифагора нам известны? Какие математические
открытия сделал Пифагор?
«Любым способом следует избегать и отсекать огнем, железом, любыми
средствами от тела - болезнь, от души – невежество, от желудка –
излишество, от города – смуту, от дома – разногласие, от всего в целом –
неумеренность», - говорил Пифагор.
С именем Пифагора многое в математике связано, в первую очередь
теорема, носящая его имя. Пифагор обосновал многие свойства
геометрических фигур. Он и его последователи заложили основы
систематических доказательств в геометрии. Они ввели в научный оборот
такие понятия, как точка, не имеющая длины и ширины; линия, которая
имеет только длину, и фигуры, составленные из таких линий. Громадная
заслуга древних греков в развитии науки состоит в том, что они находили
причины и выводили из них соответствующие следствия. Каждое
утверждение доказывалось посредством логических рассуждений. Доказав
какое-либо положение, математик применял его при доказательстве
следующего положения или утверждения, а затем переходил к
доказательству нового. В Древней Греции сложились основы науки
геометрии, в которой каждое утверждение обосновывалось строгим
доказательством. Лишь основные понятия – аксиомы были приняты как
истины, не требующие доказательств. Такой строго обоснованной науки до
этого не было ни у одного народа.
е
Какая музыка звучала в школе Пифагора? Кто первым употребил слово
«космос»?
В результате первой же прочитанной лекции Пифагор приобрел 2000
учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими женами и детьми
образовали огромную школу и создали государство, названное «Великая
Греция», в основу которого были положены законы и правила Пифагора,
почитаемые как божественные заповеди.
Любимое детище великого эллинского мудреца – пифагорейский союз. Это
был союз истины, добра и красоты. Обучение в школе Пифагора было
двухступенчатым. Одни ученики назывались математиками, т. е.
познавателями, а другие – акусматиками, т. е. слушателями. Пифагорейская
система знаний состояла из четырех разделов:
1. Арифметика (учение о числах).
2. Геометрия (учение о фигурах и их измерениях).
3. Музыка (учение о гармонии и теории музыки).
4. Астрономия (учение о строении Вселенной).
«Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою
школу и слушают твои беседы?»
«Вот сколько, - ответил философ. – Половина изучает математику,
четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть
еще три женщины».
В школе Пифагора получила свое первоначальное оформление
математическая теория музыки.
Не музыкантов готовила школа Пифагора, она готовила людей, которые
искали гармонию мира, живущего в тени звезд. Искали в себе человека,
искали музыку небесных сфер. Дни и ночи в школе великого грека
связывались точными аккордами. «Две есть поры, самые важные для
мышления: когда идешь ко сну и когда встаешь ото сна». Утром сонное
оцепенение снималось напевами – минутным сочетанием лиры и голоса.
Потом ученики совершали прогулки в местах тихих и безлюдных, там, где
отбрасывают тени храмы, священные рощи, где пламенное море, шум
крыльев, оливковые деревья, тат, где нет ни одной скользящей тени, кроме
твоей, потому что не следует встречаться с кем-либо, пока не приведешь в
порядок собственную душу и не настроишь разум на соразмерный лад.
После измеренной шагами тишины – занятия.
Гимнастика, бег, борьба.
Изучение разных законодательств, чужеземных и необычных.
Опять прогулка, во время которой новички – с первого по пятый класс,
видимо, плелись молча, пиная камешки, а остальные, по совету учителя,
беседовали друг с другом, обсуждая только что услышанное. Потом
математика, изучение путей звезд и познание летучих секретов души. А
вечером огромная школа внимала торжественным песнопениям,
примирявшим с мыслью о мироздании.
е
В свою школу Пифагор принимал тех, кто очистил душу музыкой и
тайной гармонией чисел. С Пифагора в математике стал господствовать
греческий стиль мышления – это явилось главной причиной ее сегодняшнего
расцвета. В важнейшем философском вопросе о природе первоначал
Пифагор избрал путь, который из античности вел прямо в современность.
Пифагор назвал звездный мир словом «космос», что на языке его далекой
родины означало: порядок, совершенство, прекрасная обустроенность. У
пифагорейцев было понятие о числе человека, лошади, собаки. Подобными
значками человек стал заниматься недавно – с открытием информатики.
Когда и где родился Пифагор? Кто были его родители?
В VI веке до нашей эры средоточием греческой науки и искусства стала
Иония – группа островов Эгейского моря, расположенных у берегов Малой
Азии. Там в семье золотых дел мастера, резчика печатей и гравера Мнесарха
родился сын. По преданию, однажды Мнесарх со своей женой Парфенисой
приплыл в неурожайный год на остров Самос в 576 г. до н. э. по своим
торговым делам. Там на острове и родился его сын Пифагор, которого отец
часто брал с собой в деловые поездки. Благодаря им у мальчика развились
любознательность и желание познать новое. Мнесарх дал сыну хорошее
воспитание и образование. Как всякий отец, он мечтал, что сын будет
продолжать его дело – ремесло золотых дел мастера. Жизнь рассудила иначе.
Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие
способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор
получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти
Гермодамас заставлял его учить песни из «Одиссеи» и «Илиады». Первый
учитель прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам.
Прожил Пифагор 80 лет. Умер в 496 г. до н. э.
е
Пифагор – философ.
Пифагор был первым, кто назвал свои рассуждения о смысле жизни
философией (любомудрием). Пифагор был «выдающимся философом», т. е.
учителем мудрости. «Ум сам по себе все видит и все слышит, прочее же
слепо и глухо!». Не перечислить всего, чему учили в школе Пифагора, а
учили там хорошо. Правители и народы доверяли свои государства ее
выпускникам. Человечество на протяжении своей истории вновь открывает
те идеи, которые пифагорейцы обсуждали еще два с половиной тысячелетия
назад. Сам Пифагор не был особенно озабочен тем, как прославить и
увековечить свое учение. Он создавал не только учение, но и творил образ
жизни, при котором оно могло быть правильно воспринято.
Как понимать слова «Все есть число»?
Пифагор создал самую яркую и самую современную «религию»: воспитал
в человечестве веру в могущество разума, уверенность в том, что ключом к
тайнам мировоззрения является математика. Музыка для Пифагора стала
даже не средством вдохновения, а предметом научных изысканий, и именно
в музыке Пифагор нашел прямое доказательство своему знаменитому тезису:
«Все есть число». 2500 лет назад Пифагор направил людей по пути
торжества Разума.
Весь мир, утверждал Пифагор, есть распределенная по числам гармония. А
числа эти образуют соотношения, что и интервалы между различными
ступенями гаммы. Названиями интервалов в музыке служат латинские
числительные, которые указывают порядковый номер ступени: октава – 8 ,
квинта – 5, кварта – 4 и т. д.
Издавна числа казались людям чем-то таинственным. Любой предмет
можно было увидеть и потрогать. Число потрогать нельзя и, вместе с тем,
числа реально существуют, поскольку все предметы можно посчитать... Эта
странность заставила людей приписывать числам сверхъестественные
свойства. Основателем мистического учения о числах стал знаменитый
древнегреческий философ VI в. до н. э. Пифагор. Он и его последователи
считали, что все в природе измеряется, все подчиняется числу, и познать мир
– это значит познать управляющие им числа. Пифагорейцы разбили числа на
четные и нечетные. Четные числа считались мужскими, нечетные –
женскими. Одни числа считались счастливыми, несущими добро и радость,
другие – несчастливыми, несущими зло и горе. От Пифагора и его
последователей и пошли всякие суеверия, связанные с числами.
е
Пифагор: Легенда или быль?
Пифагору повезло больше, чем другим ученым древности. О нем
сохранились десятки легенд и мифов, правдивых и выдуманных, реальных и
вымышленных. Пифагор не только самый популярный ученый за всю
историю человечества, но и самая загадочная личность, человек – символ и
человек – фантом, философ и пророк. Основоположник дедуктивного
научного знания – математики и родоначальник многих мистических знаний,
учредитель религиозно-эпического братства и создатель научнофилософской школы, ставшей воистину союзом Истины, Добра и Красоты.
Пифагор – Учитель, повел за собой других, провозгласил учения, которые
просуществовали тысячелетия и во многом определили будущую историю
цивилизации. Математика Пифагора – неизвестная нам наука. Современная
математика заняла бы в ней не больше одного раздела. Пифагор превратил
математику в дедуктивную науку: ввел доказательство. Практическая
геометрия, опиравшаяся ранее только на наблюдения и опыт, трудами
древних греков получила строгие научные обоснования – доказательство
каждого высказанного положения. Сами греки связывали рождение
геометрии как науки с деятельностью Пифагора.
е
Особенно много суеверий связано с числом 3. Те, кто считает его
счастливым, говорят: «Бог любит троицу». Другие, напротив, считают его
несчастливым. Отсюда и ругательное слово «треклятый». Число 3 играло
важную роль в магических обрядах. В сказках судьба испытывает героя
трижды. В русских сказках у царя обычно три сына, есть и немецкая сказка
«Три брата», японская – «Три сокровища» и другие.
Число 9 – утроенный вариант тройки. Во многих преданиях говорится о
девяти музах. У многих народов 9 – символ опасности, отсюда идет
выражение «девятый вал». Многие сказки начинаются со слов «за тридевять
земель»? Утроенная девятка сулила большие приключения...
Другое «волшебное» число – 7: семь чудес света; семь дней недели;
семь цветов радуги. Герои сказок надевают семимильные сапоги и
сражаются с драконами о семи головах. Число 7 чаще других встречается в
поговорках и пословицах: «Семь раз отмерь, один раз отрежь»; «Семеро
одного не ждут»; Семь бед – один ответ»; «Семь пятниц на неделе»...
О «чертовой дюжине» слышали все. Это число 13. Его считают
несчастливым. Все, кроме итальянцев. У них это число счастливое.
Есть еще одно очень «несчастливое» число – 41. Считается, что это
число несет смерть. Зато число 40 – счастливое. По поверьям, убить паука –
значит избавиться от 40 грехов. Число 40 играло большую роль в русской
метрологии. Пуд содержал 40 фунтов, бочка – сорок ведер.
Особенно зловещим считали число 666. В Библии его называют «числом
зверя». Под ним якобы скрывается освободившийся из заключения дракон.
С числами было связано много предсказаний. У древних евреев была
даже наука – кабалистика. С помощью числовых гаданий они пытались
узнать грядущую судьбу.
е
Пресс-конференция «ПИФАГОР И МУЗЫКА».
Цели: формирование познавательного интереса учащихся как определяющий
фактор в самореализации учащихся;
воспитание любви и уважения к своей национальной, современной
периодической литературе.
Технология: коммуникативных отношений (диалога).
Ход конференции.
Оформление: портрет Пифагора, портрет Баха, плакат «Музыкальные
интервалы», герб города Саратова, фото ракеты «Вояджер», теорема
Пифагора, рисунок треугольного числа, модели объемных геометрических
тел.
Эпиграф: «О, сколько нам открытий чудных
Готовит просвещенья дух?
И опыт – сын ошибок трудных,
И гений – парадоксов друг»?
1. (Звучат фуги Баха). Вступительное слово учителя:
Сейчас вы слышали музыку, которую написал немецкий композитор
Иоганн Себастьян Бах, живший в 18 веке. Именно он развил основу
музыкальной грамоты Пифагора – великого математика-философа, жившего
в VI веке до н. э.
Пифагор создал математическую теорию музыки, слушая, как звучат
медные чаши. Каждое настоящее искусство имеет свою теорию, которую
можно выразить в терминах математики. Математическая теория музыки
явилась вообще первой теорией музыки у греков. А Иоганн Себастьян Бах
первым продемонстрировал достоинства темперированного строя.
Особый вклад в признание величия Баха находится в космосе, в тысячах
миль от Земли. В 1977 г. (30 лет назад) был запущен космический корабль
Вояджер, на борту которого находится золотой диск с музыкой Баха, готовый
зазвучать, если этот корабль встретит жизнь на других планетах. И первыми
звуками, представляющими наше человечество другим внеземным
цивилизациям, будет «Бранденбургский концерт №2».
А 4 октября отмечалось 50 – летие запуска первого космического корабля
(1957 г.), первого искусственного спутника Земли.
Ребята, сегодня мы с вами проводим пресс-конференцию, которая
называется «Пифагор и музыка», в ходе которой вы познакомитесь с
величайшим ученым – математиком, философом, творцом акустики,
е
основоположником теории музыки, человеком высокой нравственности,
личности интересной и загадочной. Я говорю о Пифагоре.
Прежде, чем начать нашу конференцию, я хотела бы сказать о том, что
ранее у нас проходил конкурс на изготовление моделей многогранников, и
лучшие работы вы сейчас можете видеть на выставке.
Среди представленных тел найдите тетраэдр.
В нашей конференции принимают участие – герои нашей программы –
команда знатоков – учащиеся 9 «А» класса (перечислить их имена, они
сидят за столами лицом к залу, в мантиях и шляпах мудрецов) и
корреспонденты различных широко известных в области математики,
информатики и физики газет и журналов, - учащиеся 6 «Б» класса
(перечислить их имена).
Итак, начнем.
2. Пресс-конференция.
1)
Корреспондент журнала «Математика в школе», Новикова Маргарита,
ученица 6»Б» класса. Вопрос:
«Какая связь между математикой и музыкой? Между Пифагором и
Бахом?»
Ответ: Чеснакова Екатерина и Енина Ракель.
2) Корреспондент газеты «Первое сентября», Лукашенко Наталья, ученица
6 «Б» класса. Вопрос:
«Когда и где родился Пифагор? Кто были его родители?»
Ответ: Данишина Мария.
3) Журнал «Знание – сила», собственный корреспондент Короваев
Александр, ученик 6 «Б» класса. Вопрос:
«Что мы знаем о Греции VI в. до н. э.? Какие музыкальные инструменты
были у древних греков?»
Ответ: Суровцева Марина.
4) Корреспондент журнала «Образование», Овсянникова Анастасия,
ученица 6 «Б» класса. Вопрос:
«Что означает вторая буква «и» в имени Пифагор?»
Ответ: Борисова Наталья (показывает герб Саратова).
е
5) Газета «Учитель», собственный корреспондент Трушин Артем,
ученик 6 «Б» класса. Вопрос: «Как назывался первый музыкальный
инструмент Пифагора?»
Ответ: Борисова Наталья.
6) Корреспондент журнала «Техника молодежи» Баринова Мария,
ученица 9 «А» класса. Вопрос:
«Как в дальнейшем изменялся монохорд?»
Ответ: Борисова Наталья.
7) Корреспондент журнала «Квант», Ткаченко Александр, ученик 9 «А»
класса. Вопрос:
«Какие слова Пифагора нам известны? Какие математические открытия
сделал Пифагор?»
Ответ: Сальхина Наталья.
8) «Соросовский образовательный журнал», корреспондент Максимова
Дарья, ученица 9 «А» класса. Вопрос:
«Расскажите о Пифагоре – философе».
Ответ: Сальхина Наталья.
9) Корреспондент журнала «Наука и жизнь», Аникин Алексей, ученик
9 «А» класса. Вопрос:
«Как понимать слова «Все есть число»?»
Ответ: Бурмистров Григорий.
10) Корреспондент журнала «Открытый урок», Кондратьева Яна,
ученица 9 «А» класса. Вопрос:
«Какая музыка звучала в школе Пифагора? Кто первым употребил слово
«космос»?»
Ответ: Антонов Дмитрий.
11) Собственный корреспондент журнала «Древо познания», Бородин
Сергей, ученик 9 «А» класса. Вопрос:
«Пифагор: легенда или быль?»
Ответ: Данишина Мария.
е
е