10 класс. Условия задач. u

10 класс. Условия задач.
10.1.. Из пункта А одновременно вышли два катера вниз по
течению реки. Скорость течения реки u = 1,8 км/ч. Начальная
скорость первого катера относительно воды 7,2 км/ч, и он двигался
с постоянной скоростью.
Начальная скорость второго катера относительно воды равна нулю,
но он двигался с ускорением a = 0,01 м/с2. На половине пути между
пунктами A и В второй катер обогнал первый. Достигнув пункта В,
катера повернули обратно, при этом второй катер двигался с
постоянной скоростью, которую он имел в пункте В, а первый
катер двигался с ускорением a = 0,01 м/с2 при начальной скорости
(относительно воды) 7,2 км/ч. Определить расстояние между
пунктами А и В и время (в минутах), затраченное каждым катером
при движении «туда» и «обратно».
10.2 На горизонтальной подставке с коэффициентом трения k
находятся два одинаковых больших бруска массой М каждый,
связанных легкой нерастяжимой нитью. На гладкой верхней грани
одного из брусков находится небольшой гладкий грузик массой т.
Подставку двигают по горизонтали с большой скоростью,
направленной параллельно нити в сторону первого бруска (того,
что с грузиком). Найти силу натяжения нити, связывающей
движущиеся тела (и побыстрее! – пока грузик не свалился).
М
k
т
М
k
p
10.3 На рисунке приведен
график некоторого процесса AB
в виде зависимости давления
газа от его объема. Каким будет
график зависимости давления от
температуры в этом процессе?
Ответ обоснуйте.
B
A
0
10.4. В горизонтально расположенном цилиндре сечения S под
тонким поршнем находится ν молей сжатого воздуха. Поршень
удерживается на расстоянии l от
l
L
дна цилиндра. Затем поршень
отпускают, и он начинает без
трения двигаться в цилиндре. На
какое расстояние L сместится
поршень к моменту достижения им
максимальной скорости? Внешнее давление атмосферное,
температура комнатная. Процесс расширения можно считать
изотермическим.
10.5 Из проволоки, электрическое сопротивление
которой 65 Ом, сделана фигура, представляющая собой
квадрат с одной из его диагоналей. Чему равно
сопротивление между двумя концами этой диагонали и
сопротивление между двумя соседними вершинами
квадрата?
V
10 класс. Решения задач.
10.1.. Из пункта А одновременно вышли два катера вниз по
течению реки. Скорость течения реки u = 1,8 км/ч. Начальная
скорость первого катера относительно воды 7,2 км/ч, и он двигался
с постоянной скоростью.
Начальная скорость второго катера относительно воды равна
нулю, но он двигался с ускорением a = 0,01 м/с2. На половине пути
между пунктами A и В второй катер обогнал первый. Достигнув
пункта В, катера повернули обратно, при этом второй катер
двигался с постоянной скоростью, которую он имел в пункте В, а
первый катер двигался с ускорением a = 0,01 м/с2 при начальной
скорости (относительно воды) 7,2 км/ч. Определить расстояние
между пунктами А и В и время (в минутах), затраченное каждым
катером при движении «туда» и «обратно».
Решение.
Пусть t – время, за которое катера прошли половину
расстояния, u – скорость течения реки, тогда имеем:
S  v  u t  ut  at 2 .
1
2
2
2v
4v
v1  u  u  at  t  1 ; S  v1  u  1 .
a
a
2
В пункт В первый катер прибыл через
4v
t1  2t  1 .
a
Время, затраченное вторым катером, определится из уравнения
at22
S  ut2 
,
2
а его скорость в пункте В как
v2  u  at2.
v22  u 2
v u
Имеем S 
 v2  2aS  u 2 ; t2  2 .
a
2a
Обратный путь был пройден вторым катером за время
t 2  S .
v2  u
Первый катер двигался на обратном пути равноускоренно с
начальной скоростью v1 относительно воды и с ускорением a.
Уравнение его движения
at12
S  v1  u  t1 
.
2
Следовательно,
v1  u   v1  u  2 2S

t  




a
1
a


a
Вычисления.


S   7,2 1,8  4  7,2 м  2000м  2 км.
 3,6  0,01 3,6
t1  4  7,2 с  800 с  13,3 мин.
0,01 3,6
v2 


2  0,01 2000   7,2 
 3,6 
2
 44  6,6м/с ;
t 2  6,6 1,8 с  480с  8мин.
0,01
t2  2000 с  417 с  7 мин.
6,6 1,8
7,2  1,8
t1   3,6 
0,01







7,2  1,8 
3,6   2  2000   150  650с.
0,01 
0,01
2


t1  500 с  8,3 мин.
Таким образом, получаем:
расстояние между двумя пунктами 2км;
первый катер затратил время (13,3+8,3) мин.=21,6 мин.;
второй катер затратил время (8+7) мин.=15 мин.
10.2 На горизонтальной подставке с коэффициентом трения k
находятся два одинаковых больших бруска массой М каждый,
связанных легкой нерастяжимой нитью. На гладкой верхней грани
одного из брусков находится небольшой гладкий грузик массой т.
Подставку двигают по горизонтали с большой скоростью,
направленной параллельно нити в сторону первого бруска (того,
что с грузиком). Найти силу натяжения нити, связывающей
движущиеся тела (и побыстрее! – пока грузик не свалился).
М
k
т
М
k
Решение.
Брусок с грузиком давит на подставку с силой N1  M  m g , а
брусок без грузика – с силой N 2  M g . Подставку двигают
слишком быстро (по условию задачи), следовательно, есть
проскальзывание, и бруски не успевают набрать такой скорости,
как у подставки.
Будем считать, что сила трения, действующая на первый
брусок со стороны подставки и направленная в сторону движения
подставки, равна F1  kN1  k M  m g. На второй брусок действует
в том же направлении сила трения, равная F2  kN 2  k M g. При
этом грузик не ускоряется. Нить остается натянутой. Таким
образом, имеем
 F  T  Ma,
k M  m  T  Ma,
 1
.

.


kM  T  Ma.
 F2  T  Ma.
kmg
.
Откуда находим: T 
2
p
10.3 На рисунке приведен
график некоторого процесса
AB в виде зависимости
давления газа от его объема.
Каким
будет
график
зависимости
давления
от
температуры в этом процессе?
Ответ обоснуйте.
B
A
0
V
Решение.
Процесс, изображенный на рисунке, не является изопроцессом,
так как при увеличении давления увеличивается и объем.
Зависимость давления от объема будет иметь вид
p  p0  k V V0  ,
так как имеем линейную зависимость, а график не проходит через
начало координат.
p
p
B
B1
A1
A
0
V
0
T
Воспользуемся уравнением Клапейрона – Менделеева pV  m RT .
M
p  p0
 V0 :
Подставим в него значение объема V 
k
 p  p0

p

p
 V0   m RT  p 2  p 0  V0   m RT .
k

 M
 k
 M
Последнее выражение можно рассматривать как уравнение
параболы:
 p  p2  nT  T .
При одном и том же давлении температура данной массы газа
выше в том случае, когда газ занимает больший объем и, наоборот,
температура ниже при большем объеме газа. В зависимости от
конкретных значений давления и объема газа процесс в
координатах p–T , процесс будет изображаться либо верхней, либо
нижней параболой А1В1.
10.4. В горизонтально расположенном цилиндре сечения S под
тонким поршнем находится ν молей сжатого воздуха. Поршень
удерживается на расстоянии l от
l
L
дна цилиндра. Затем поршень
отпускают, и он начинает без
трения двигаться в цилиндре. На
какое расстояние L сместится
поршень к моменту достижения
им максимальной скорости? Внешнее давление атмосферное,
температура комнатная. Процесс расширения можно считать
изотермическим.
Решение.
Давление газа под поршнем равно p   RT . Оно больше
Sl
атмосферного, поэтому поршень будет двигаться с ускорением до
тех пор, пока давление под поршнем не сравняется с атмосферным.
Из условия изотермического процесса получаем
p  p0  RT 
plS  p0 l  L S , L 
l 
1 l.
p0
p
lS
 0

10.5 Из проволоки, электрическое сопротивление которой 65 Ом,
сделана фигура, представляющая собой квадрат с
одной из его диагоналей. Чему равно сопротивление
между
двумя
концами
этой
диагонали
и
сопротивление между двумя соседними вершинами
квадрата?
Решение.
Длина проволоки равна сумме учетверенной длины стороны
квадрата
и
длины
диагонали:
L  4а  2а   4  2 а ,

В
12
12
17
С
12

следовательно, сопротивление одной стороны
R0
квадрата равно r 
 65 Ом  12 Ом. а
4  2 5,41


сопротивление
диагонали
равно
r1  2 r  17 Ом.
А
D
Сопротивление между вершинами ВD
12
определим по формуле сопротивления при
параллельном соединении трех резисторов:
1  1  1  1  2r1  2r  r1  r ;
rr1
R1 2r 2r r1
2rr1
rr
R1  1  12 17 Ом  7 Ом.
r  r1 12  17
Сопротивление между двумя соседними вершинами квадрата
(например, АВ) как сопротивление параллельного соединения двух
ветвей: первая ветвь – это сторона квадрата АВ, вторая –
последовательное соединение стороны квадрата АD с
параллельным соединением диагонали BD и двух сторон ВСD.
Сопротивление первой ветви R2  12 Ом.
Сопротивление второй ветви
2r  r1 

R2  r 
 12  24 17  Ом  22 Ом.
2r  r1 
24 17 
Сопротивление между соседними вершинами
R  R
R2  2 2  12  22 Ом  7,8 Ом  8 Ом.
R2  R 12  22