Задачи к гос. экзамену по математике для 554 (2012 г.)

Задачи для подготовки к государственному экзамену по математике
для специальности «физика с дополнительной специальностью математика»,
2011-2012 уч. год
АЛГЕБРА
1.
+
|x2+5x+1|=x+1
2.
3.
4.
Найти OOФ f(x)=
5.
6.
|x2-8x+15|<x-3
|x2-9| (x2- 7x+ 10)<0
7.
(x2-2,8x+1,8)
+
log0,2log3
8.
9.
10.
ТРИГОНОМЕТРИЯ
11. Решите уравнение:
12. Решите уравнение:
=
13. Решите уравнение:
14. Решите уравнение:
15. Решите уравнение: (x -3)2 sin x = | sin x|
16. Решите неравенство: cos2x+ sin x cos x ≥ 0
17. Решите неравенство: cos 2x + cos x ≥ 0
18. Решите неравенство: cos22x – sin22x
19. Решите неравенство: 5 – 2 cos2x + 7 sin x > 0
20. Решите неравенство:
≥0
ЗАДАНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
21. Решите относительно х уравнение (а2 – 9) (х + 1) = а2 – 6а + 9.
22. Решите относительно х уравнение 4х - 2х (2а + 1) + а2 + а = 0.
23. Решите относительно х уравнение log а (х - 1) = 2.
24. Решите относительно х неравенство а2(х – 1) + а(х + 3) < 2(3х + 1).
25. Решите относительно х неравенство (а - 1) х2 – 2(а +1)х + 2а - 1 < 0.
26. Определите число корней уравнения х2 – 6х + 5 = - а в зависимости от
значения параметра а.
27. Определите значения параметра а, при которых уравнение | x – a | = 1 + | x | не
имеет решений.
28. Найдите значения параметра а, при которых уравнение х 2 + 2а х - 7а - 10 = 0 имеет
корни разных знаков.
29. Найдите
значения
параметра
а,
при
которых
уравнение
2
(2а – 1)х + (3а - 2) х + а - 1 = 0 имеет единственное решение.
30. Найдите значения параметра а, при которых корни квадратного трёхчлена
ах2 - 2(2а - 1)х - 3а + 2 больше 1.
ПЛАНИМЕТРИЯ
31. Дан равнобедренный треугольник. Из произвольной точки основания на боковые
стороны опущены перпендикуляры. Докажите, что сумма этих перпендикуляров
равна высоте треугольника, проведённой на боковую сторону.
32. Высота трапеции, диагонали которой перпендикулярны равна 4. Найдите
площадь трапеции, если известно, что одна из её диагоналей равна 5.
33. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма её
оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.
34. Докажите, что биссектрисы углов, прилегающих к боковой стороне трапеции,
пересекаются под прямым углом и точка их пересечения лежит на средней линии
трапеции.
35. Если на сторонах АВ и ВС треугольника АВС как на диаметрах построены две
окружности, то вторая точка пересечения окружностей лежит на прямой АС.
36. Докажите, что во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения
продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
37. Докажите, что если биссектрисы углов АВС и СВК перпендикулярны, то точки
А,В и К лежат на одной прямой.
38. Дан прямой угол АОВ и точка М внутри него. Построены точки С и К,
симметричные точке М относительно сторон этого угла. Докажите, что точки О и
С и К лежат на одной прямой.
39. Внутри треугольника АВС взята точка М такая, что площади треугольников
АВМ и СВМ равны. Докажите, что точка М лежит на медиане ВК.
40. Равнобедренные треугольники АВС и АВК имеют общее основание АВ, причём
вершины этих треугольников лежат на одну сторону от основания. Докажите, что
их медианы, проведённые к основанию, лежат на одной прямой.