3. ПОМОГАЮТ ВЕКТОРЫ. Числа a, b, c, d удовлетворяют

§ 3. ПОМОГАЮТ ВЕКТОРЫ.
36.Числа a, b, c, d удовлетворяют условиям a2+b2=1, c2+d2=1. Доказать, что |ac  bd|  1.
1 1 1
1
1
1
для положительных чисел.
  


a b c
ab
bc
ca
1 1
3
3
3 1
2
38.Доказать неравенство ( a  b  c )(   )  ( a  b  c ) для положительных чисел.
a b c
37.Доказать неравенство
39.Доказать для любых x, y, z неравенство sin x sin y  sin z + cos x  cos y  cos z  1.
40.Решить уравнение 2 x  1  5 x  ( x 2  4)( x  24) .
41.Известно, что x2+3y2+z2=2. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения
2x+y-z .
42.Решить уравнение x  2  4  x  x 2  6 x  11 .
43.Дано 8 действительных чисел a, b, c, d, e, f, g, h. Докажите, что хотя бы одно из шести
чисел ac+bd, ae+bf, ag+bh, ce+df, cg+dh, eg+fh неотрицательно.
44.Доказать неравенство a12  b12  a22  b22  ...  an2  bn2  ( a1  a2  ...  an )2  ( b1  b2  ...  bn )2 .
45.На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены параллелограммы
АА1В1В, ВВ2С1С, СС2А2А. Могут ли отрезки А1А2, В1В2, С1С2 быть сторонами
некоторого треугольника?
46.Доказать неравенство cos A + cos B + cos C  3/2, где А, В, С – углы треугольника.
47.Доказать, что если А, В, С – углы треугольника, то cos 2A + cos 2B + cos 2C   3/2.
48.Пусть , ,   плоские углы некоторого трехгранного угла. Доказать, что
cos  + cos  + cos  >  3/2.
49.Доказать, что углы между биссектрисами плоских углов трехгранного угла или все
острые, или все прямые, или все тупые.