Оценка + пример

Оценка + пример
1. Какое наибольшее количество воскресений может в году?
2. Какое наибольшее число трехклеточных уголков можно
вырезать из клетчатого квадрата 88?
3. Электронные часы показывают
цифры часов и минут
(например, 13:10). Какая наибольшая сумма цифр может быть
на таких часах?
4. Каким наименьшим количеством монет в 3 и 5 коп можно
набрать сумму: 10 рублей 52 копейки?
5. На какое наименьшее число квадратов можно разрезать
прямоугольник 5х6?
6. Произведение 10 целых чисел равно 1. Какую наименьшую
неотрицательную сумму могут составить эти числа?
7. Каким наименьшим числом гирь можно набрать все веса 1 г, 2 г,
3 г, …, 31 г? (гири можно класть только на одну чашку весов).
8. В наборе из пяти попарно различных гирь каждая весит
натуральное число граммов. Известно, что суммарный вес
любых трёх гирь больше суммарного веса оставшихся. Найдите
наименьший возможный суммарный вес всех гирь набора.
9. В соревновании участвуют 4 фигуриста. Соревнования судят
трое судей следующим способом: каждый судья по-своему
распределяет между фигуристами места (с первого по
четвёртое), после чего победителем считается фигурист с
наименьшей суммой мест – рейтингом. Какое наибольшее
значение может принимать рейтинг победителя в случае, когда
победитель единственный?
10.Какое минимальное количество клеток нужно закрасить на
доске 8×8, так чтобы любой квадрат 2×2 содержал, по крайней
мере, одну закрашенную клетку?
11.Каждую грань кубика разбили на четыре одинаковых квадрата,
а затем раскрасили эти квадраты в несколько цветов так, что
квадраты, имеющие общую сторону, оказались окрашенными в
различные цвета. Какое наибольшее количество квадратов
одного цвета могло получиться?
12.Какое наименьшее число можно получить, расставив скобки в
выражении 92  82  7 2  62  52  42  32  22  12 ?
Принцип крайнего (узкое место)
1. На шахматной доске расставлены числа, каждое из которых
равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите,
что все числа равны.
2. Среди 10 человек прошло соревнование по перетягиванию
каната – каждый с каждым. Все оказались различной силы.
Вася посмотрел на протокол и захотел узнать: верно ли, что
любые трое перетянут любых двоих? За сколько
перетягиваний он сможет это установить?
3. Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов
разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если
зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки
длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает громко
барабанить. Какое наибольшее число зайчат сможет начать
барабанить?
4. Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, чтобы
каждый отрезок обоими концами упирался строго внутрь
других отрезков?
5. Гоша задумал четыре неотрицательных числа и посчитал их
всевозможные попарные суммы (всего 6 штук). Какие числа он
задумал, если эти суммы – 1, 2, 3, 4, 5, 6?
6. Можно ли в вершинах кубика расставить все числа от 1 до 8
так, чтобы любые два соседние по ребру числа отличались на 1
или на 2?
7. Семь грибников собрали вместе 59 грибов, причем каждый
собрал разное количество. Докажите, что какие-то три
грибника собрали вместе не менее 33 грибов.
8. Сколькими способами можно переставить числа от 1 до 100
так, чтобы соседние числа отличались не более, чем на 1?
9. Во всех клетках бесконечной клетчатой плоскости
расставлены крестики и нолики с выполнением следующего
условия: у каждого крестика среди соседей больше крестиков,
чем ноликов (соседними считаются все клетки, имеющие с
рассматриваемой хотя бы одну общую точку). Докажите, что
крестиков бесконечно много.
10.Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но
нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух
соседних чисел была квадратом натурального числа.
11.Маляр-хамелеон ходит по клетчатой доске как хромая ладья
(то есть, на одну клетку по вертикали или горизонтали). Попав
в очередную клетку, он либо перекрашивается в её цвет, либо
перекрашивает клетку в свой цвет. Белого маляра-хамелеона
кладут на чёрную доску размерами 8×8 клеток. Сможет ли он
раскрасить её в шахматном порядке?
12.На пустую шахматную доску Саша ставит ладьи: первую куда
хочет, а каждую следующую ставит так, чтобы она била
нечетное количество ранее выставленных ладей. Какое
наибольшее количество ладей он может так выставить?
13.Можно ли некоторые клетки белой доски 99 покрасть в
черный цвет так, чтобы каждая клетка (как белая, так и черная)
граничила по стороне ровно с двумя черными клетками?
Таблицы и турниры
Задачи для первого занятия
1. N участников сыграли однокруговой турнир по а) шахматной, б) футбольной
системе. Сколько сыграно партий? Сколько набрано очков в сумме?
2. Аня, Боря, Валя и Гена закончили однокруговой турнир в крестики-нолики. У Ани
две ничьих, у Бори – одна, у Вали – три победы и у Гены – одно поражение.
Восстановите таблицу.
3. В однокруговом турнире по шахматной системе все участники, кроме одного,
набрали равное число очков. Доказать, что он или у всех выиграл, или всем
проиграл.
4. Задача о справедливости. В олимпийском турнире на 32 человека все участники
различны по силе и более сильный всегда выигрывает у более слабого. Победитель
– сильнейший. А вот какие шансы, что второе место занял второй по силе?
5. Есть турнир по круговой системе. Доказать, что в любой момент число участников,
завершивших вничью нечётное число партий – чётно.
6. Несколько команд участвуют в однокруговом турнире. Докажите, что в любой
момент какие-то две команды сыграли одинаковое число матчей.
7. Шахматист сыграл 20 партий и набрал 12,5 очков. На сколько партий больше он
выиграл, чем проиграл?
Задачи для cамостоятельного решения
8. Несколько шахматистов сыграло однокруговой турнир. В сумме было разыграно
более 50, но менее 60 очков. Сколько было участников?
9. Результат турнира подсчитан по шахматной системе, а потом пересчитан а) по 2-10, б) по футбольной. Может ли получиться так, что Вася и Петя поменяются
местами после пересчёта?
10. Докажите, что если однокруговом турнире не было ничьих и все набрали разное
число очков, то один игрок у всех выиграл, второй – выиграл у всех кроме первого
и так далее, а последний всем проиграл.
11. В шахматном турнире каждый участник выиграл белыми столько партий, сколько
все остальные вместе чёрными. Докажите, что у всех поровну побед.
12. 64 боксёра участвуют в турнире, причём все они разные по силе. Достаточно ли 70
матчей, чтобы выявить и самого сильного, и второго по силе?
Задачи для второго занятия
13. В турнире по олимпийской системе участвует 47 спортсменов. Сколько матчей надо
провести, чтобы выявить победителя?
14. В однокруговом турнире сыграло 20 команд. Может ли получиться так, что каждая
команда выиграла столько же матчей, сколько сыграла вничью?
15. Пятеро шахматистов сыграли круговой турнир. При равенстве очков место
определялось по дополнительным показателям. Известно, что занявший второе
место набрал больше очков, чем третье, четвёртое и пятое вместе. Каков исход
партии между победителем и вторым местом?
16.Какая минимальная разница по очкам может быть между первым и
последним местом в однокруговом турнире на 10 команд, если
известно, что победитель набрал больше всех, а проигравший – меньше
всех?