Найдите значение выражения . О т в е т : 6.

Задание 5
Найдите значение выражения
.
Пояснение.
О т в е т : 6.
Задание 11
Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного
на нагревание воды массой
(в килограммах) от температуры до температуры (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы
кг. Он определяется формулой
,
где
Дж/(кг К) — теплоемкость воды,
Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть
кг воды
от
до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше
. Ответ выразите в килограммах.
Пояснение.
Задача
сводится
к
решению
неравенства
при
известных
значениях
теплоёмкости
воды
менения температуры
удельной теплоты сгорания дров
Дж/кг, массы воды
кг и из-
кг.О т в е т : 21.
Задание 12
Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 28 секунд. Петя загружает файл размером 28 Мб за 24 секунды, а Миша загружает файл размером 38 Мб за 32 секунды. Сколько секунд будет загружаться файл размером 665 Мб на компьютер с наибольшей скоростью загрузки?
Пояснение.
Рассмотрим все случаи. Скорость интернета Васи составляет
Скорость интернета Пети составляет
Мб/с.
Скорость интернета Миши составляет
Поскольку
Мб ему понадобится
Мб/с.
Мб/с.
, с наибольшей скоростью может скачать файл Миша. На скачивание 665
с.О т в е т : 560.
Задание 13
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 99 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 4 км.
Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 22 минуты. Чему равнялась
средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через
20 минут? Ответ дайте в км/ч.
Пояснение.
Первый обогнал второго на 4 км за 20 минут, то есть, за треть часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна
км/ч. Обозначим скорость второго гонщика
го
км/ч. Составим и решим уравнение:
Таким образом, скорость второго гонщика равна 108 км/ч.О т в е т : 108.
Задание 14
км/ч, тогда скорость перво-
Найдите точку максимума функции
Пояснение.
.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение
функции:
Искомая точка максимума
О т в е т : −1.
Задание 15
В треугольнике ABC угол C равен 90°,
Пояснение.
Выполним преобразования:
,
. Найдите BC.
О т в е т : 15.
Задание 16
Куб вписан в шар радиуса
. Найдите объем куба.
Пояснение.
Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна
. Если ребро куба равно , то диагональ куба дается формулой
. Следовательно,
ребро куба равно 2, а его объем равен 8.О т в е т : 8.
Задание 18 В классе учится 30 человек, из них 20 человек посещают кружок по истории, а 16 человек — кружок
по математике. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных. В этом классе
1) найдутся хотя бы два человека, которые посещают оба кружка
2) если ученик не ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике
3) нет ученика, который не посещает ни кружок по истории, ни кружок по математике
4) не найдётся 17 человек, которые посещают оба кружка
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Пояснение.
1) Всегда найдётся хотя бы шесть человек, которые ходят на оба кружка. Шесть достигается в том случае, если
все 10 человек из тех, кто не посещает кружок по истории, посещают кружок по математике.
2) Может быть такое, что 16 из тех, кто посещает кружок по истории, посещают кружок по математике, и тогда
10 человек не посещают ни один кружок.
3) В примере из прошлого пункта аж 10 человек подходят под это условие.
4) Это так, ведь кружок по математике посещают всего 16 человек.
Задание 19Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе
укажите ровно одно получившееся число.
Пояснение.
Число делится на 15 тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 5. Число делится на 3, если сумма цифр
числа делится на 3. Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или на 5. На 5 число заканчиваться не может,
чтобы число заканчивалось на 0, следует вычеркнуть две последние цифры 1, 8. Тогда получаем число 531640, из
которого осталось вычеркнуть одну цифру так, чтобы сумма оставшихся делилась на три. Поскольку сумма цифр
числа 531640 равна 19, можно вычеркнуть 4 или 1, получая: 53 160 или 53 640. Любое из этих чисел является ответом.О т в е т : 53 160 или 53 640.
Задание 20
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;
2) за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.
У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него
стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных
монет
у
Николы?
Пояснение.
Пусть Никола сделал сначала операций второго типа, а затем операций первого типа. Тогда имеем:
Тогда серебряных монет стало на
больше, то есть на 10 меньше.